Beispiel 1 (Die Urne zu Fall 1: mit Zurücklegen und mit Beachten der Reihenfolge ) Reihenfolge. Fall 1: N n

Transkript

1 Beispiel 1 (Die Urne zu Fall 1: mit Zurücklegen und mit Beachten der Reihenfolge ) 1. Übersicht 1 Ziehungsmodus ohne Zurücklegen des gezogenenloses mit Zurücklegen des gezogenenloses mit Beachten der Reihenfolge Fall 1: N n ohne Beachten der Reihenfolge 2. Verallgemeinerung: Die Produktformel Kann ein Merkmal A auf n 1 verschiedene und ein Merkmal B auf n 2 verschiedene Weisen gewählt werden, so kann sowohl A als auch B in der angegebenen Reihenfolge (nämlich B nach A) auf P = n 1. n 2 verschiedene Arten gewählt werden. Die Menge der Permutationen kann in dem bekannten Rechtecksschema der möglichen Kombinationen zweier Merkmale A und B A\B 1 2 n 2 1 1,1 1,2 1,n 2 2 2,1 2,n 2 n 1 n 1,1 n 1,2 n 1,n 2 dargestellt werden Für M Merkmale, M 2, gilt allgemein P = M Π j=1 Hierzu ein Sonderfall ist das Urnenmodell Fall 1, mit Zurücklegen und Beachten der Reihenfolge, nämlich n j = N (j=1,2; M=2), d.h. beide Merkmale sind gleich, jedes kann jedes der Lose der Urne sein P = 2 Π j=1 n j = N 2. Mit n Zügen folgt dann P = N n. Die Potenz ist die Zahl der Merkmale, die Basis ist die Zahl der identisch gleich vielen Merkmalsausprägungen. n j

2 3. Illustration durch eine Folge von Aufgaben Aufgabe 1 (Ziffernvorrat) Wieviele dreistellige Zahlen 600 können aus den 4 Ziffern 2, 4, 6 und 8 gebildet werden? 3 Möglichkeiten für die 1. Stelle (2,4), 4 Möglichkeiten für die 2. Stelle (2,4,6,8) und 4 Möglichkeiten für die 3. Stelle (2,4,6,8). d.h = 32 verschiedene Zahlen. Aufgabe 2 (Ziffernvorrat) Wie groß ist die Anzahl derjenigen vierstelligen Zahlen, deren Ziffern alle verschieden sind? 1 Anzahl der Permutationen 4. Ordnung aus einer zehn-elementigen Menge, bzw. Ziehen von 4 Kugeln aus 10 Kugeln ohne Wiederholung und mit Berücksichtigung der Anordnung: = ist unmittelbar zu überlegen: Für die erste Ziffer 10 Möglichkeiten, für die zweite 9 Möglichkeiten, für die dritte 8 und für die letzte = 5040 Aufgabe 3 (Ziffernvorrat) Wieviele fünfstellige Zahlen gibt es, bei denen a)alle Ziffern gleich sind, b)vier Ziffern gleich sind und die eine Ziffer davon verschieden, c) alle Ziffern verschieden sind? Beispiele: xxxxx (x=1,2,3,,9), d.h. 9 Beispiele: xxxxb, xxxbx, xxbxx, xbxxx, bxxxx (b x), d.h = 45 Beispiel: 12345, d.h = 120 Aufgabe 4 (Ziffernvorrat) Wieviele fünfstellige Zahlen gibt es, die mit der Ziffer 1 beginnen und bei denen von den übrigen vier Ziffern a)genau drei gleich sind b)mindestens drei gleich sind c) alle verschieden sind. 2

3 3 Aufgabe 5 (Morse-Alphabet) Das Morse-Alphabet (nach Samuel Morse * New York) besteht aus Buchstaben, die jeweils eine Folge von Strichen und Punkten sind. Wieviel Buchstaben lassen sich mit 10 oder weniger Zeichen bilden? mögliche Kombinationen (Buchstaben) Anzahl der verwendeten Zeichen 2 { _ 1 4=2 2 8= { { Also können insgesamt 2 n = n= = = = 2046 Buchstaben gebildet werden.

4 Aufgabe 6 (Wortschatz) Eine asiatische Schrift habe 50 Silbenzeichen zur Verfügung, man vgl. z.b. die japanische Schrift) a) Wieviele Wörter mit höchstens 4 Silben können daraus gebildet werden? b) Um wieviel Prozent verringert sich der Wortschatz, wenn höchstens dreisilbige Wörter zugelassen sind? c) Wieviele Wörter können gebildet werden, wenn n Silbenzeichen zur Verfügung stehen und die Wörter eine Länge bis zu k Silben haben dürfen? a) = mögliche Wörter b) Bei nur dreisilbigen Wörtern verringert sich der Wortschatz auf: = , d.h. auf ca. 2% des Umfangs. k c) n i = 1 nk+1 k 1 i=1 1 n -1 = n ni = n(1 nk ) Σ mögliche Wörter mit n Silben und bis zu k 1 n i=0 insgesamt in einem Wort; vgl. die endliche geometrische Reihe ohne den Anfangswert n 0 = 1. 4 Aufgabe 7 (Postleitzahlen) Die Postverwaltung des neugegründeten Staates X-stan überlegt, welche Postleitzahlen sie für das neue Land einführen soll. Zwei Systeme stehen zur Auswahl: 1. Das deutsche mit der Postleitzahl xxxxx, 2. das englische mit der Postleitzahl aaxx xaa (oder axx xaa) wobei x jeweils eine Ziffer und a ein Buchstabe ist. a) Welches der Systeme erlaubt, mehr Postämter zu bezeichnen? b) Wie ändert sich Ihre Antwort, wenn im englischen System für x nur gerade Ziffern x (x=0,2,4,6,8) zugelassen sind. a) Das deutsche System wird 10 5 verschiedene Zahlen zulassen. Das englische Schema erlaubt Zahlen und ist damit größer. b) Durch die Einschränkung auf gerade x bleiben für das englische System Zahlen. Es ist damit noch immer größer. Aufgabe 8 (KFZ-Kennzeichen) Wieviele KFZ-Kennzeichen gibt es, wenn die Konstruktion wie folgt ist (System Neuseeland) a = Buchstabe {a,b, x,y,z}, x = Ziffer = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} "aa xxxx" oder "aa xxx" oder "aaaaaa" "aaaaa" "aaaa"

5 Aufgabe 9 (KFZ-Kennzeichen) Wie viele verschiedene KFZ-Kennzeichen können in der BRD bei genau einer Buchstaben-Kombination eines Landkreises ausgegeben werden, wenn a) genau 2 Ziffern b) höchstens 3 Ziffern c) genau 3 Ziffern zugelassen werden? (Beachten Sie, daß keine Zahlenfolge mit Null beginnt!) 5 Aufgabe 10 (KFZ-Kennzeichen) Bei einem Straßenverkehrsamt wird in den kommenden Jahren eine Gesamtzahl von über zugelassenen Kraftfahrzeugen erwartet. Wird es ausreichen, Kennzeichen auszugeben, die im Anschluß an die Ortsbuchstaben ein oder zwei beliebige Kennbuchstaben und höchstens drei Ziffern haben? Minimum: x z = 260 Maximum: xx zzz = Aufgabe 11 (Bar code) Damit im Supermarkt die Preisschilder nicht ausgetauscht werden können, geht man dazu über, die Preise mit Hilfe der Streifenmarkierung, die maschinell gelesen werden können, auf die Verpackung aufzudrucken. Das Preisschild soll aus 10 Streifen bestehen, die jeweils dünn, mittelstark oder dick sein können. Welches ist der höchste Preis, der damit angegeben werden kann, wenn die Preise auf Pfennigbeträge genau (bzw. auf 5-Pfennigbeträge genau) unterschieden werden können. "Ziehen von 10 Losen aus 3 mit Wiederholung (klar!) und mit Berücksichtigung der Anordnung": Es gibt 3 10 = verschiedene Möglichkeiten der Anordnung: Markierung auf 1 Pfennig: DM Markierung auf 5 Pfennige: DM Aufgabe 12 (partielle Ableitungen) Wieviele verschiedene partielle Ableitungen der Ordnung r hat eine beliebig oft partiell differenzierbare Funktion mit n Variablen? : Die Anzahl der Kombinationen mit Berücksichtigung der Anordnung, d.h. n r

6 6 Aufgabe 13 (Initialien) Wie viele verschiedene Initialien können gebildet werden, wenn jede Person genau einen Nachnamen und a) genau einen Vornamen b) höchstens zwei Vornamen c) genau zwei Vornamen hat? (Hinweis: Umlaute gelten nicht als eigene Buchstaben, das Alphabet hat also 26 Buchstaben) : Sei bezeichnet Vx = Vorname x; N = Nachname a) V N 26 2 b) V1 V2 N oder V N c) V1 V2 N 26 3 Aufgabe 14 (Blindenschrift) Die Blindenschrift nach Louis Braille (* in Coupvray in Paris) besteht aus zwei Reihen von 3 Punkten, die entweder erhaben oder nicht erhaben sind, sodaß der blinde Leser die Konfiguration durch Abtasten erkennen und mit einem Buchstaben identifizieren kann. Wieviele unterschiedliche Zeichen gibt es? Hinweis: Beispiel: B L I N D : im Prinzip gibt es 26 = 64; eins fällt aber aus, da der blinde Leser das vollständig glatte Zeichen nicht fühlt, d.h. es sind insgesamt 63 erkennbare Zeichen und der Freianschlag (das blanke Zeichen). (COMBINATORICS)