AlZAGK-Seminar: Pellsche Gleichung: Kettenbruchverfahren und das Archimedische problema bovinum

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1 AlZAGK-Seminar: Pellsche Gleichung: Kettenbruchverfahren un as Archimeische roblema bovinum Claas Grenzebach 25. Juni 2002 Die Pellsche Gleichung Wenn Harols Streitkräfte, ie in 3 Quarate aufgeteilt waren, mit ihm zusammen auch ein einziges großes Quarat hätten bilen können, wie viele Männer müssen es ann gewesen sein? Loy, 2005 Mit aneren Worten ist x 2 3y 2 + für x, y N zu lösen ies ist ein sezieller Fall einer Pellschen Gleichung: a 2 b 2 ; abei ist eine natürliche Zahl, ie kein Quarat ist. Man kann sich auf a, b N beschränken, a mit a, b auch a, b, a, b un a, b Lösungen arstellen. Offensichtlich gibt es immer ie triviale Lösung, 0, währen a 0 nie eintreten kann. Für nichttriviale Lösungen genügt es also, sogar a, b N : N \ {0} zu forern. Im weiteren soll ies stets vorausgesetzt sein, soweit nichts aneres notiert ist. Pellsche Gleichungen treten zum Beisiel bei er Bestimmung von Einheiten in reellquaratischen Zahlringen auf, es gilt: α a + b Z [ ] Einheit Nα : αᾱ : a + b a b ± a 2 b 2 ± lösbar. Falls es überhaut eine nichttriviale Lösung a, b er Pellschen Gleichung a 2 b 2 gibt, kann man unenlich viele weitere konstruieren: Für alle n N ist nämlich a +b n a b n ; efiniert man a n +b n : a +b n urch Zerlegung in einen rationalen un einen irrationalen Teil, so stellt auch a n, b n eine Lösung ar. Beisiel n 2: a + b 2 a 2 + b 2 + 2ab

2 2 Kettenbrüche Seite 2 Ist a, b ie kleinste Lösung er Pellschen Gleichung in N, erhält man auf iese Weise alle Lösungen un bezeichnet aher a, b als Funamentallösung. Eine Möglichkeit, ie Funamentallösung zu bestimmen, ist as sogenannte Kettenbruchverfahren siehe nächsten Abschnitt. Dieses liefert sogar ie Existenz einer Funamentallösung für alle N, ie kein Quarat sin. Läßt man auch Potenzen n Z zu, so rerouziert man für n 0 ie triviale Lösung, un für n < 0 ist einfach a n a n, b n b n wegen a + b n a b n. Es gilt er Satz : Seien a n, b n ie Lösungen er Pellschen Gleichung a 2 b 2 mit a n + b n : a + b n, n Z un a, b als Funamentallösung, so gilt für n, m Z: a n±m a n a m ± b n b m ; b n±m a m b n ± a n b m. Beweis. Man kann irekt berechnen: a n±m + b n±m a + b n±m a + b n a + b ±m a + b n a ± b m an + b n am ± b m a n a m ± b n b m + a m b n ± a n b m. Durch Trennen in rationalen un irrationalen Anteil folgt ie Behautung. $ 2 Kettenbrüche Unter einer Kettenbruchentwicklung einer reellen Zahl r verstehen wir ie Folge ganzer Zahlen Koeffizienten a n N, ie urch ie Vorschrift: ξ 0 : r; a n : [ξ n ] für n ; ξ n+ : ξ n a n > gebilet wir falls eine er Restzahlen ξ k ganz ist, ist ie Entwicklung bei a k abzubrechen, in em Fall liegt ein enlicher Kettenbruch vor. Dieser weist eine Zweieutigkeit auf: a 0,..., a n, a 0,..., a n +. Beisiele für Kettenbruchentwicklungen sin: ; ;

3 2 Kettenbrüche Seite 3 ie Entwicklung er rationalen Zahl bricht offensichtlich ab, un ie Entwicklung von 3 ist erioisch, wobei man ie einzelnen Koeffizienten gemäß er 3 Vorschrift in folgenen Schritten gewinnt: Platzsarener als en Kettenbruch vollstänig auszuschreiben ist es, nur ie Koeffizienten er Kettenbruchentwicklung anzugeben im weiteren sollen Kettenbrüche stets urch iese Kurzschreibweise charakterisiert weren: 3 3,, 2 3,,, ; 3 3,,,,, ,,,,, 6; er Balken gibt ie erioische Wieerholung er Koeffizienten an. In em gewählten Beisiel stellt ie nach em vierten Koeffizienten abgebrochene Entwicklung von 3 ar. Hat allgemein x R ie unenliche Ket- 3 tenbruchentwicklung a n N, so heißt ie rationale Zahl a 0,..., a k : Q gekürzt er k-te Näherungsbruch von x. Diese Bezeichnung wir urch en folgenen Satz verstänlich, in em einige Eigenschaften von Kettenbrüchen zusammengefaßt sin: Satz 2: Genau ie rationalen Zahlen Q weren urch enliche Kettenbrüche argestellt, un zwar im wesentlichen eineutig. Jeer unenliche nichtabbrechene Kettenbruch, genauer ie Folge seiner Näherungsbrüche, konvergiert gegen eine irrationale Zahl mit er gegebenen Kettenbruchentwicklung, as heißt: lim a u k 0, a,..., a k lim x a 0, a, a 2,... R \ Q. k k v k Die Kettenbruchentwicklung von x R \ Q ist genau ann erioisch, wenn x quaratisch irrational ist, as heißt, Nullstelle eines quaratischen Polynoms. 2 Beweis. Wie man leicht sieht, ist jeer enliche Kettenbruch rational un jeer erioische eine quaratische irrationale Zahl. Die eigentliche Aussage es Satzes steckt in er Umkehrung. 2 Man kann ann schreiben: x m+ q mit geeigneten ganzen Zahlen > 0, m, q m 2. u k v k

4 2 Kettenbrüche Seite 4 Für rationale Zahlen wir ie Behautung urch en eukliischen Algorithmus geliefert. Sei nämlich u 0 u Q, u 0, u Z, ann hat man: u 0 a 0 u + u 2 mit 0 < u 2 < u, u a u 2 + u 3 mit 0 < u 3 < u 2,. u n a n u n + u n+ mit 0 < u n+ < u n, u n a n u n+ mit u n+ ggtu 0, u, un es gilt: u 0 u a 0,..., a n, zur Eineutigkeit vgl. oben. Der Beweis zur Konvergenz einer beliebigen Folge von Näherungsbrüchen gegen eine irrationale Zahl soll hier ausgelassen weren, siehe azu z. B. Forster 996. Jeenfalls erhält man abei: a 0,..., a n, b r r c s s A0... A n b c mit Aj a j 0 Seziell gilt für Näherungsbrüche: u k v k A0... A k a k A0... A k uk u 0 k v k v k A0... A k Außerem: x a 0,..., a k, ξ k+ u k u k ξk+ v k v k Also: k N : x u kξ k+ + u k v k ξ k+ + v k u k v k v k u k k+. Es bleibt zu zeigen, aß quaratische irrationale Zahlen eine erioische Kettenbruchentwicklung haben. Sei also x m 0+ q 0 gegeben mit ganzen Zahlen > 0 kein Quarat, m 0, q 0 m 2 0. Dann können alle Restzahlen ξ k ebenfalls in ieser Form geschrieben weren: ξ k m k + q k mit ganzen Zahlen m k, q k un q k q k m 2 k, wie man er Inuktion zeigt: Für k 0 ist x ξ 0 un aher q : m 2 0/q 0 Z zu setzen. Nun gelte ie Behautung für k, ann hat man: Def. In.vor. q k ξ k+ ξ k a k m k + m k+ + q k a k q k+ mit m k+ : q k a k m k, q k+ : m k q k a k 2 q k m2 k+ q k.

5 2 Kettenbrüche Seite 5 Man kann nun schreiben in Umkehrung von mittels inverser Matrix: ξ k+ v k x u k v k x + u k v k v k x u k /v k x + u k /v k }{{} Es gibt also ein k 0 N, so aß ξ k < 0 für k k 0. Wegen ξ k > ist q k 2 ξ k ξ k > 0, un araus folgt für k > k 0 : m 2 k q kq k < un q k < m k + < 2. Das beeutet, aß es nur enlich viele verschieene Restzahlen ξ k mit k > k 0 gibt, insbesonere gibt es k k 2 mit ξ k ξ k2, un aher ist ie Kettenbruchentwicklung von x erioisch! $ Sezielle quaratisch irrationale Zahlen sin ie Quaratwurzeln nichtquaratischer natürlicher Zahlen. Hier tritt eine besonere Symmetrie in er Kettenbruchentwicklung auf: Satz 3: Sei N kein Quarat. Dann gilt für ie Kettenbruchentwicklung: a0, a,..., a n, 2a 0 mit er Perioenlänge n, a 0 [ ] un a n i a i für alle i {,..., n }. 2 Ist u k v k er k-te Näherungsbruch, ξ k m k+ q k u 2 k v 2 k k+ q k+. Beweis. a : Beweisskizze Details siehe z. B.: Forster, 996: ie k-te Restzahl, so gilt: x : a 0 + ist reuziert x > un < x < 0 mit x a 0 x ist rein erioischer Kettenbruch: x 2a 0, a,..., a n a n,..., a, 2a 0 / x 2a 0, a n,..., a 2a 0 x x a 2 : Es gilt für alle k N: u kξ k+ + u k u km k+ + + uk q k+ v k ξ k+ + v k v k m k+ + + v k q k+ v k m k+ + + v k q k+ uk m k+ + + u k q k+ v k m k+ + v k q k+ u k uk m k+ + u k q k+ v k Da irrational ist, müssen beie Seiten er letzten Gleichung verschwinen. Durch Elimination von m k+ aus em sich ergebenen Gleichungssystem folgt: u 2 k u k v k q k+ v 2 k v k u k q k+, un mit u k v k v k u k k+ vgl. erhält man ie Behautung. $

6 3 Das roblema bovinum es Archimees Seite 6 Folgerung: Wählt man im Satz 3 seziell k n, so ist wegen er Perioizität q k+ q n q 0, es gilt u 2 n v 2 n n ; bei geraer Perioenlänge n ist somit urch en Näherungsbruch u n v n eine Lösung er Pellschen Gleichung a 2 b 2 gegeben, bei ungeraer Perioenlänge ist 2n statt n zu verwenen. Beisiel: Wir sin nun in er Lage, ie eingangs gestellte Aufgabe zu lösen; ie Pellsche Gleichung hat hier en Parameter 3. Nach em Kettenbruchverfahren ist 3 in einen Kettenbruch zu entwickeln un essen Perioe festzustellen. Wie bereits oben bestimmt, gilt: 3 3,,,,, 6. Die Perioe hat eine ungerae Länge, also muß man berechnen: 3,,,,, 6,,,, , un in er Tat gilt: , Harols Armee bestan somit aus Mannen. 3 Das roblema bovinum es Archimees In em Archimeischen Problem ist ie Aufgabe gestellt, ie Größe er Rinerhere es Gottes Helios auszurechnen. Der Sonnengott hat Riner in vier Sorten, weiße, schwarze, gescheckte Schwarzbunte un braune. Bezeichnet man ie Zahlen er weißen, schwarzen, gescheckten bzw. braunen Stiere mit α, β, γ bzw. δ un ie Zahlen er jeweiligen Kühe mit einem zusätzlichen Strich, so entnimmt man em griechischen Text bzw. seiner Übersetzung ie folgenen Beingungen: α β + δ α β + β β γ + δ β γ + γ γ α + δ γ δ + δ δ α + α Diese Gleichungssysteme führen auf ganzzahlige Lösungen: α 2226 α β γ t, β γ s mit s, t N; t 4657 s. δ 89 δ

7 3 Das roblema bovinum es Archimees Seite 7 Die kleinste Lösung erhält man für s zu: weiß schwarz gescheckt braun Stiere Kühe mit einer Gesamtzahl von Hier sin wir noch nicht fertig, im zweiten Teil es Archimeischen Problems soll ie Anzahl er weißen un schwarzen Stiere zusammen eine Quaratzahl α + β n 2, n N, ie Zahl er gescheckten un er braunen Stiere zusammen eine Dreieckszahl γ + δ mm+, m N bilen. Setzt man ie Lösung es 2 ersten Teiles an, so lautet ie Quaratbeingung: α + β 3828 t s! n 2 un ies ist nur erfüllbar, falls s ie Primfaktoren zu einer Quaratzahl ergänzt: s r 2 ; r N. Die mit ieser Beingung kleinstmögliche Lösung r ist mit um fach größeren Werten als in obiger Tabelle bereits recht groß, jeoch verschwinen im Vergleich zum Ergebnis, as man bei Hinzunahme er Dreiecksbeingung erhält. Diese führt auf: γ + δ 247 t s r 2! mm + 2m r 2 2m + 2 Wir haben also eine Pellsche Gleichung a 2 b 2 mit ungeraem a un zu lösen. Unter ihren Lösungen ist anschließen ie kleinste zu finen, bei er ein Teiler von b ist. 3 Das gesuchte kleinstmögliche r für obige Dreiecksbeingung ist ann r b. Mit Hilfe es Kettenbruchverfahrens finet man, aß eine Perioenlänge von 92 besitzt, ie kleinste Lösung er Pellschen Gleichung ergibt sich aus em zur ersten Perioe gehörigen Näherungsbruch zu: a b Ein irekter Lösungsversuch er Gleichung a r 2 über as Kettenbruchverfahren führt nicht sehr weit, so gab 867 er Mathematiker C. F. Meyer nach 240 Schritten auf ohne Comuter kein Wuner, a ie Perioenlänge hier beträgt!

8 3 Das roblema bovinum es Archimees Seite 8 Wie bereits erwähnt, erhält man alle weiteren Lösungen urch Potenzieren von a + b un Trennen in einen rationalen un einen irrationalen Teil: a n + b n : a + b n. Gesucht ist nun as kleinste ϱ N mit b ϱ Allgemein kann man folgene Sätze zeigen Krumbiegel u. Amthor, 880: Satz 4: Sei eine Primzahl. Ist a ϱ, b ϱ ie Lösung er Pellschen Gleichung a 2 b 2 mit kleinstem ϱ N, so aß b ϱ 0 gilt, so erhält man alle Lösungen er Pellschen Gleichung mit ieser Eigenschaft urch Vielfache von ρ: a νϱ, b νϱ mit ν N. Beweis. Für alle ν N sin a νϱ, b νϱ Lösungen er Pellschen Gleichung mit b νϱ 0, wie man er Inuktion unter Verwenung von Satz zeigt: b ν+ϱ b νϱ+ϱ a ϱ b νϱ + a νϱ b ϱ 0 2 Umgekehrt sei a µ, b µ eine weitere Lösung er Pellschen Gleichung mit b µ 0, µ ϱn, µ > ϱ. Sei ν 0 : [µ/ϱ], as heißt, ν 0 N mit 0 < µ ν 0 ϱ < ϱ. Dann ist gemäß Satz auch a µ ν0 ϱ, b µ ν0 ϱ eine Lösung, wobei gilt: b µ ν0 ϱ a µ b ν0 ϱ + a ν0 ϱb µ 0 Das ist ein Wiersruch zur vorausgesetzten Minimalität von a ϱ, b ϱ! $ Satz 5: Sei eine Primzahl, teilerfrem zu. Sin a, b 0, so gilt: ± a b 0... Das Legenresymbol ist oer, je nachem, ob quaratischer Rest oer quaratischer Nichtrest von ist. Beweis. Binomialkoeffizienten erfüllen: 0 un j 0 für j {,..., }. Daher gilt hier: a + b a + b a + b 2. Zusammen mit em Fermatschen Satz a b, gültig, a a, b folgt: a a ; b b 2. Nun gilt: 2 ±, ann liefert Satz : a a a b b a 2 b 2 b a b a b ±a b a b 0 Das war zu zeigen. $,.

9 3 Das roblema bovinum es Archimees Seite 9 Folgerung: Mit M : 2 gilt sogar: b M 0, enn sonst wäre a M 0, weil 0 b 2M 2a M b M Satz un Z Z nullteilerfrei ist. Es folgt: a 2M a 2 M + b 2 M a 2 M + a 2 M,. h., 2 im Wiersruch zur Annahme, aß eine ungerae Primzahl ist. Folgerung: Die kleinste Lösung a ϱ, b ϱ er Pellschen Gleichung a 2 b 2 mit b ϱ 0 für eine zu teilerfreme ungerae Primzahl finet man, inem man in seine Primfaktoren zerlegt: ± n i 2 i ; ann muß ϱ sich aus gefunenen Primfaktoren zusammensetzen. Mit en Sätzen 4 un 5 kann nun ie vollstänige Lösung es Archimeischen Problems angegeben weren. Dazu stellt man zunächst fest, aß ein quaratischer Nichtrest von 4657 ist: Es gilt: em Quaratischen Rezirozitätsgesetz: 2 2 / ; 353. Mit 2328 hat man nach ; ; ; 29 5 ; Es sin also ie Teiler von zu untersuchen, es muß gelten: ϱ {7, 37, 2329}. Mit Satz a n+m a n a m + b n b m ; b n+m a m b n + a n b m rechnet man aus: a 25; b 606; a 7 4; b 7 933; a ; b ; a 2329 ; b Da b 0 2, folgt b n 0 2 für alle n N, also gilt sogar: b Das kleinste r, für as ie Dreiecksbeingung es Problems erfüllt ist, erhält man folglich zu: r b , alle aneren zu r ν b ν mit ν N. Damit ergibt sich ie Gesamtanzahl er Riner zu etwa: r r 2 7, Abschließen kann man alle Lösungen wie folgt notieren: weiß schwarz gescheckt braun s ν s ν s ν s ν Stiere s ν s ν s ν s ν Kühe s ν r 2 ν b2 2329ν $

10 Literatur Seite 0 Literatur Forster, Otto: Algorithmische Zahlentheorie. Braunschweig; Wiesbaen: Vieweg, 996. Krumbiegel, B.; Amthor, A.: Das Problema bovinum es Archimees. In: Historisch-literarische Abtheilung er Zeitschrift für Mathematik un Physik , S. 2 36, Lenstra, H. W., Jr.: Solving the Pell Equation. In: Notices of the AMS , S htt:// Loy, Sam: Die Schlacht von Hastings. In: Garner, Martin Hrsg.: Mathematische Rätsel un Siele. 5. Aufl. Köln: DuMont, 2005, S. 9f. Erster Teil, Aufgabe 68.