Die Modellierung einer Lithium-Batterie Zwischenpräsentation zum Praktikum Nichtlineare Modellierung in den Naturwissenschaften

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1 MÜNSTER Die Modellierung einer Lithium-Batterie Zwischenpräsentation zum Praktikum Nichtlineare Modellierung in den Naturwissenschaften Christoph Fricke, Natascha von Aspern, Carla Tameling

2 , Inhalt MÜNSTER Die Modellierung einer Lithium-Batterie 2 /16 Das Modell Randbedingungen Differentialgleichungen Ausblick

3 , Aufbau MÜNSTER Die Modellierung einer Lithium-Batterie 3 /16 Lithiumfolie als Anode, fester Elektrolyt, poröse Kathode Abbildung: Modell der Batterie

4 Modellannahmen MÜNSTER Die Modellierung einer Lithium-Batterie 4 /16 Reduktion der Batteriezelle auf 1-D Modell

5 Modellannahmen MÜNSTER Die Modellierung einer Lithium-Batterie 4 /16 Reduktion der Batteriezelle auf 1-D Modell glatte Grenzfläche zwischen dem Elektrolyten und den Elektroden

6 Modellannahmen MÜNSTER Die Modellierung einer Lithium-Batterie 4 /16 Reduktion der Batteriezelle auf 1-D Modell glatte Grenzfläche zwischen dem Elektrolyten und den Elektroden elektrochemische Reaktionen laufen nur auf der planaren Grenzfläche ab

7 Modellannahmen MÜNSTER Die Modellierung einer Lithium-Batterie 4 /16 Reduktion der Batteriezelle auf 1-D Modell glatte Grenzfläche zwischen dem Elektrolyten und den Elektroden elektrochemische Reaktionen laufen nur auf der planaren Grenzfläche ab konstanter Diffusionskoeffizient für die Lithium-Ionen im Elektrolyt

8 Modellannahmen MÜNSTER Die Modellierung einer Lithium-Batterie 4 /16 Reduktion der Batteriezelle auf 1-D Modell glatte Grenzfläche zwischen dem Elektrolyten und den Elektroden elektrochemische Reaktionen laufen nur auf der planaren Grenzfläche ab konstanter Diffusionskoeffizient für die Lithium-Ionen im Elektrolyt keine Modellierung des Elektronentransports

9 , MÜNSTER Die Modellierung einer Lithium-Batterie 5 /16 Stern-Doppelschicht I Abbildung: Helmholtz-Doppelschicht: a) Schematische Darstellung und b) Verlauf des elektrischen Potentials

10 , MÜNSTER Die Modellierung einer Lithium-Batterie 6 /16 Stern-Doppelschicht II Besteht aus 2 verschiedenen Schichten

11 , MÜNSTER Die Modellierung einer Lithium-Batterie 6 /16 Stern-Doppelschicht II Besteht aus 2 verschiedenen Schichten In der Helmholtzschicht ist eine lineare Abhängingkeit der Stromstärke zu beobachten

12 , MÜNSTER Die Modellierung einer Lithium-Batterie 6 /16 Stern-Doppelschicht II Besteht aus 2 verschiedenen Schichten In der Helmholtzschicht ist eine lineare Abhängingkeit der Stromstärke zu beobachten Überspannung

13 , MÜNSTER Die Modellierung einer Lithium-Batterie 6 /16 Stern-Doppelschicht II Besteht aus 2 verschiedenen Schichten In der Helmholtzschicht ist eine lineare Abhängingkeit der Stromstärke zu beobachten Überspannung Wird hier über einen Plattenkondensator modelliert

14 , MÜNSTER Die Modellierung einer Lithium-Batterie 7 /16 Resultierende Robin-Randbedingung Mit Gauß-Gesetz E = X1 Φ und Plattenkondensator-Ansatz erhält man dann die Robin-Randbedingungen:

15 , MÜNSTER Die Modellierung einer Lithium-Batterie 7 /16 Resultierende Robin-Randbedingung Mit Gauß-Gesetz E = X1 Φ und Plattenkondensator-Ansatz erhält man dann die Robin-Randbedingungen: Auf der Anoden-Seite Φ n X 1=0 + C S ɛ 0 ɛ r Φ X1=0= C S ɛ 0 ɛ r Φ 0 (1)

16 , MÜNSTER Die Modellierung einer Lithium-Batterie 7 /16 Resultierende Robin-Randbedingung Mit Gauß-Gesetz E = X1 Φ und Plattenkondensator-Ansatz erhält man dann die Robin-Randbedingungen: Auf der Anoden-Seite Φ n X 1=0 + C S ɛ 0 ɛ r Φ X1=0= C S ɛ 0 ɛ r Φ 0 (1) und auf der Kathoden-Seite Φ n X 1=L 1 + C S ɛ 0 ɛ r Φ X1=L 1 = 0 (2)

17 , MÜNSTER Die Modellierung einer Lithium-Batterie 8 /16 Die Butler-Volmer-Gleichung I Redox-Reaktion erster Ordnung: C A t = k f C A + k b C B (3)

18 , MÜNSTER Die Modellierung einer Lithium-Batterie 8 /16 Die Butler-Volmer-Gleichung I Redox-Reaktion erster Ordnung: C A t = k f C A + k b C B (3) Gleichung für den Koeffizienten der Reaktionsrate k i (Arrheniusgleichung): k i = k ( ) BT h exp Gi RT (4)

19 MÜNSTER Die Modellierung einer Lithium-Batterie 9 /16 Die Butler-Volmer-Gleichung II Abbildung: Veränderung der Energiebarrieren einer chemischen Reaktion durch zusätzliche Potentialdifferenzen,

20 , MÜNSTER Die Modellierung einer Lithium-Batterie 10 /16 Die Butler-Volmer Gleichung III (3) und (4) zusammen ergibt: t C A(X, t) = k f C A (X, t)e α Φ S(X,t) + k b C B (X, t)e (1 α) Φ S(X,t) Dabei ist α [0, 1] ein dimensionsloser Symmetriefaktor. (5)

21 , MÜNSTER Die Modellierung einer Lithium-Batterie 11 /16 Resultierende Neumann-Randbedingung Ist J A der Fluss von der Spezies A durch die Grenzfläche, so gilt (mit der äußeren Normale n) nj A = t C A (6)

22 , MÜNSTER Die Modellierung einer Lithium-Batterie 11 /16 Resultierende Neumann-Randbedingung Ist J A der Fluss von der Spezies A durch die Grenzfläche, so gilt (mit der äußeren Normale n) nj A = t C A (6) Dann ergibt sich die (nichtlineare) Neumann-Randbedingung nj A = k f [C A e S] α Φ Ω1 [ k b C B e (1 α) Φ S ] Ω2 (7)

23 , MÜNSTER Die Modellierung einer Lithium-Batterie 12 /16 PDE I Außerdem benötigt man noch partielle Differentialgleichungen im Inneren der Gebiete. Massenbilanzgleichung: C i t = J i X j (8)

24 , MÜNSTER Die Modellierung einer Lithium-Batterie 12 /16 PDE I Außerdem benötigt man noch partielle Differentialgleichungen im Inneren der Gebiete. Massenbilanzgleichung: C i t = J i X j (8) Fluss der geladenen Teilchen im Elektrolyt: ( ) C J Li + = D Li + Φ Li + + µ X Li +C Li + 1 x 1 (9)

25 , MÜNSTER Die Modellierung einer Lithium-Batterie 12 /16 PDE I Außerdem benötigt man noch partielle Differentialgleichungen im Inneren der Gebiete. Massenbilanzgleichung: C i t = J i X j (8) Fluss der geladenen Teilchen im Elektrolyt: ( ) C J Li + = D Li + Φ Li + + µ X Li +C Li + 1 x 1 Aus (8) und (9) folgt die Advektions-Diffusions-Gleichung C i 2 ( ) C = D Li + Φ t Li + X1 2 + µ Li + C X Li + 1 X 1 (9) (10)

26 , PDE II MÜNSTER Die Modellierung einer Lithium-Batterie 13 /16 Fluss der entladenen Teilchen in der Kathode: J Li = D Li C Li X 2 (11)

27 , PDE II MÜNSTER Die Modellierung einer Lithium-Batterie 13 /16 Fluss der entladenen Teilchen in der Kathode: Aus (8) und (11) folgt die Transportgleichung J Li = D Li C Li X 2 (11) C Li t = D Li 2 C Li X 2 2 (12)

28 PDE III MÜNSTER Die Modellierung einer Lithium-Batterie 14 /16 Das elektrische Potential im Elektrolyt ergibt sich wegen des Gauß-Gesetzes E = X1 Φ durch die Possion-Gleichung ɛ b 2 Φ X 2 1 = ρ (13)

29 PDE III MÜNSTER Die Modellierung einer Lithium-Batterie 14 /16 Das elektrische Potential im Elektrolyt ergibt sich wegen des Gauß-Gesetzes E = X1 Φ durch die Possion-Gleichung ɛ b 2 Φ X 2 1 = ρ (13) Dabei gilt für die Ladungsdichte ρ = F(C Li + C A ) (14)

30 PDE III MÜNSTER Die Modellierung einer Lithium-Batterie 14 /16 Das elektrische Potential im Elektrolyt ergibt sich wegen des Gauß-Gesetzes E = X1 Φ durch die Possion-Gleichung ɛ b 2 Φ X 2 1 = ρ (13) Dabei gilt für die Ladungsdichte ρ = F(C Li + C A ) (14) F ist die Faraday-Konstante, C A die (konstant angenommene) Anionen-Konzentration im Elektrolyt und ɛ b die dielektrische Feldkonstante.

31 MÜNSTER Die Modellierung einer Lithium-Batterie 15 /16 Ausblick auf die 2. Hälfte des Praktikums Lösen des Systems von gekoppelten PDEs

32 MÜNSTER Die Modellierung einer Lithium-Batterie 15 /16 Ausblick auf die 2. Hälfte des Praktikums Lösen des Systems von gekoppelten PDEs Dazu zunächst Programmierung von Lösern für einfache PDE mit Dirchlet-RB

33 MÜNSTER Die Modellierung einer Lithium-Batterie 15 /16 Ausblick auf die 2. Hälfte des Praktikums Lösen des Systems von gekoppelten PDEs Dazu zunächst Programmierung von Lösern für einfache PDE mit Dirchlet-RB Schrittweiser Übergang zu komplexeren Problemen

34 , MÜNSTER Die Modellierung einer Lithium-Batterie 16 /16 Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!

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