7.2 Moment und Varianz

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1 7.2 Moment und Varianz Def. 21 Es sei X eine zufällige Variable. Falls der Erwartungswert E( X p ) existiert, heißt der Erwartungswert EX p p tes Moment der zufälligen Variablen X. Es gilt dann: + x p f(x)dx, falls X stetig ist EX p = x p i p i, falls X diskret ist i N Def. 22 Es sei X eine zufällige Variable. Wir nennen den Erwartungswert E(X EX) p p tes zentrales Moment der Zufallsgröße X. 247 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

2 Das zweite zentrale Moment E(X EX) 2 nennen wir auch Streuung oder Varianz der Zufallsgröße X. Wir Bez. 6 VarX oder σx 2. Def. 23 Die Größe σ = V ar(x) heißt Standardabweichung der Zufallsvariablen X. Bez.: σ,σ X. Sei µ = EX. 248 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

3 Bem.: : Var (X): mittlere quadratische Abweichung zwischen X und EX. Def. 24 Es seien X 1 und X 2 zwei zufällige Variablen. Wir nennen den Erwartungswert cov (X 1,X 2 ) := E((X 1 EX 1 ) (X 2 EX 2 )) die Kovarianz der zufälligen Variablen X 1 und X 2. Def.: Zwei Zufallsvariablen X 1 und X 2 heißen unabhängig, falls P(X 1 < x 1,X 2 < x 2 ) = P(X 1 < x 1 ) P(X 2 < x 2 ) für alle x 1,x 2 R. 249 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

4 Satz 13 (Eigenschaften der Varianz) 1. Für beliebige c R gilt: Ist P(X = c) = 1, so folgt VarX = 0. Ist umgekehrt VarX = 0, so existiert ein c R, so daß gilt: P(X = c) = Für beliebige c R gilt: Var (X + c) = VarX. 3. Für beliebige a R gilt: Var (a X) = a 2 VarX. 4. Für zwei zufällige Variablen X 1 und X 2 gilt: Var (X 1 + X 2 ) = VarX 1 + VarX cov (X 1,X 2 ). Beweis: Es seien X, X 1 und X 2 beliebige zufällige Variablen. a,c R seien ebenfalls beliebig gewählt. 1. Es gelte: P(X = c) = 1. Nach Satz 11 folgt daraus: 250 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

5 EX = c. Dann gilt: VarX = E(X EX) 2 = E(X c) 2 = E(c c) 2 = 0 Es sei nun VarX = 0 = E(X EX) 2 = 0. Allgemein gilt für c R: E(X c) 2 0. Also, P(X EX = 0) = 1. c := EX leistet das Verlangte. 251 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

6 2. Es gilt mit Satz 11: Var (X + c) = E(X + c E(X + c)) 2 = E(X + c EX Ec) 2 = E(X + c EX c) 2 = E(X EX) 2 = VarX 252 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

7 3. Es gilt mit Satz 11: Var (a X) = E(a X E(a X)) 2 = E(a X a EX) 2 = E(a (X EX)) 2 = E ( a 2 (X EX) 2) = a 2 E(X EX) 2 = a 2 VarX 253 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

8 4. Es gilt mit Satz 11: Var (X 1 + X 2 ) = E(X 1 + X 2 E(X 1 + X 2 )) 2 = E(X 1 + X 2 EX 1 EX 2 ) 2 = E((X 1 EX 1 ) + (X 2 EX 2 )) 2 = E ( (X 1 EX 1 ) 2 + (X 2 EX 2 ) 2) +2 (X 1 EX 1 ) (X 2 EX 2 ) = E(X 1 EX 1 ) 2 + E(X 2 EX 2 ) 2 +2 E((X 1 EX 1 ) (X 2 EX 2 )) = VarX cov (X 1,X 2 ) + VarX W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

9 Lemma 14 Es seien X 1 und X 2 zwei unabhängige Zufallsgrößen. Dann gilt: cov (X 1,X 2 ) = 0. Beweis: Wir betrachten den zufälligen Vektor X = (X 1,X 2 ) T. Wir führen den Beweis nur für den Fall, daß die beiden Zufallsgrößen X 1 und X 2 und damit der Vektor X stetig sind. Für den diskreten Fall verfährt man analog. Es sei f die Dichtefunktion des zufälligen Vektors X. Wir definieren eine Funktion g: R 2 R durch: g(x 1,X 2 ) := (X 1 EX 1 ) (X 2 EX 2 ). 255 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

10 Offenbar, cov (X 1,X 2 ) = Eg(X 1,X 2 ). Außerdem ist: Eg(X 1,X 2 ) = R 2 (x 1 EX 1 ) (x 2 EX 2 ) f(x 1,x 2 )dx 1 dx 2. Nach Voraussetzung sind die zufälligen Variablen X 1 und X 2 unabhängig, also Somit gilt dann: f(x 1,x 2 ) = f X1 (x 1 ) f X2 (x 2 ). 256 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

11 cov (X 1,X 2 ) = = (x 1 EX 1 ) (x 2 EX 2 ) f X1 (x 1 ) f X2 (x 2 )dx 1 dx 2 R 2 = (x 1 EX 1 ) f X1 (x 1 )dx 1 (x 2 EX 2 ) f X2 (x 2 )dx 2 R = E(X 1 EX 1 ) E(X 2 EX 2 ) = 0 R Das ist die Aussage. Bem. 6 Wir haben beim Beweis des Satzes zwei Aussagen verwendet, die erst im Abschnitt Unabhängigkeit behandelt werden. 257 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

12 Die Umkehrung der Aussage von Lemma 14 gilt im allgemeinen nicht, wie das folgende Beispiel zeigt: Bsp. 46 Es sei X 1 eine über dem Intervall [0,π[ gleichverteilte Zufallsgröße, X 1 R(0,π)) mit der Dichtefunktion f X1 (x) = 1 π, falls 0 x < π 0, sonst Die Zufallsgröße X 2 definieren wir durch X 2 = sin X 1. Offenbar, X 1 und X 2 sind streng abhängig. Für die Kovarianz der beiden Zufallsgrößen gilt:. 258 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

13 cov (X 1,X 2 ) = = E((X 1 EX 1 ) (X 2 EX 2 )) = E(X 1 X 2 X 1 EX 2 X 2 EX 1 + EX 1 EX 2 ) = E(X 1 X 2 ) E(X 1 EX 2 ) E(X 2 EX 1 ) + EX 1 EX 2 = E(X 1 X 2 ) EX 1 EX 2 Nun gilt für die Erwartungswerte EX 1 und EX 2 : EX 1 = + = 1 π x f X1 (x)dx = [ ] π x π 0 = 1 π π2 2 = π 2 x 1 π dx 259 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

14 EX 2 = E(sinX 1 ) = + sin x f X1 (x)dx = π 0 sin x 1 π dx = 1 π [ cosx]π 0 = 2 π Für den Erwartungswert E(X 1 X 2 ) gilt nach der Regel des 260 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

15 Faulen Statistikers E(X 1 X 2 ) = E(X 1 sin X 1 ) = π = [ 1 π x cos x] π π = 1 π ( 1)π) = 1 0 x sinx 1 π dx π 0 cosxdx } {{ } =0 Wir setzen alle diese Werte in die Ausgangsgleichung ein und erhalten: cov (X 1,X 2 ) = E(X 1 X 2 ) EX 1 EX 2 = 1 π 2 2 π = W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

16 Trotz der Abhängigkeit der beiden Zufallsgrößen X 1 und X 2 ist ihre Kovarianz gleich Null. Folglich läßt sich die Aussage von Lemma 14 nicht umkehren. Folg. 5 Falls zwei zufällige Variablen X 1 und X 2 unabhängig sind, gilt für die Varianz ihrer Summe: Var (X 1 + X 2 ) = Var (X 1 ) + Var (X 2 ). 262 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

17 Beispiele a) Poisson-Verteilung, X P oi(λ). p i = P(X = i) = λi i! e λ, i = 0, 1, 2,... Var (X) = E(X EX) 2 = = i (i 1)p i + i=2 = λ 2 i=2 (i λ) 2 p i i=0 ip i 2λ i=0 ip i + λ 2 i=0 λ i 2 (i 2)! e λ + λ 2λ 2 + λ 2 = λ. i=0 p i 263 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

18 b) Binomialverteilung, X B(n, p). (ohne Beweis, ÜA) Var (X) = np(1 p). 264 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

19 c) Gleichverteilung auf (a,b), X R(a,b). 1 x (a,b) b a f(x) = 0 sonst. EX = a + b 2. EX 2 = b a x 2 1 b a dx = 1 3 x3 b a = b3 a 3 3(b a) = a2 + ab + b 2. 3 Var (X) = EX 2 (EX) 2 1 b a = 1 12 (4a2 + 4ab + 4b 2 3a 2 6ab 3b 2 ) = 1 12 (a2 2ab + b 2 ) = (b a) W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

20 d) Exponentialverteilung λe λ x falls x 0, f(x) = 0 sonst. EX = 1 λ. EX 2 = 0 x 2 λe λ x dx = 2 λ 2 (ÜA). Var (X) = 1 λ W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

21 e) Normalverteilung f(x) = E(X µ) 2 = 1 e 1 2 ( x µ σ 2πσ = σ 2 )2 dx (x µ) 2 1 e 1 2 ( x µ σ )2 dx 2πσ t 2 1 2π e t2 2 dt = σ 2 1 ( t)( t e t2 2 )dt 2π = σ2 2π ( te t 2 /2 = σ2 2π = σ 2. e t2 2 dt ( 1)e t2 2 dt ) 267 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

22 t = x µ σ, σ dt = dx Bei Normalverteilung sind also die Parameter µ und σ 2 Erwartungswert und Varianz. 268 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

23 7.3 Schiefe und Exzeß Angenommen, das 4. Moment existiert. σ X = V ar(x) (Standardabweichung) Schiefe γ 1 = Kurtosis γ 2 = E(X EX)3 (VarX) 3/2 E(X EX)4 (VarX) W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin

24 γ 1 > 0: γ 1 = 0: γ 1 < 0: γ 2 > 3: γ 2 = 3: γ 2 < 3: rechtsschiefe Verteilung symmetrische Verteilung linksschiefe Verteilung starke Tails Wölbung wie bei NV schwache Tails Bem.: Diese Klassifikation ist recht vage. Es gibt mehrere Verteilungen mit gleichem Erwartungswert, gleicher Varianz, gleicher Schiefe und gleicher Kurtosis, die aber recht unterschiedlich aussehen. 270 W.Kössler, Humboldt-Universität zu Berlin