Grundwissen zur Stochastik

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1 Grundwissen zur Stochastik Inhalt: ABHÄNGIGE EREIGNISSE...2 ABHÄNGIGKEIT UND UNABHÄNGIGKEIT VON ERGEBNISSEN...2 ABHÄNGIGKEIT UND UNABHÄNGIGKEIT VON MERKMALEN IN VIERFELDERTAFELN...2 ABSOLUTE HÄUFIGKEIT...2 ALLGEMEINE SUMMENREGEL...2 AUSLASTUNGSMODELL...2 BERECHNUNG DER WAHRSCHEINLICHKEITEN STOCHASTISCH ABHÄNGIGER EREIGNISSE...2 BERECHNUNG DER WAHRSCHEINLICHKEITEN STOCHASTISCH UNABHÄNGIGER EREIGNISSE...2 BERNOULLI-VERSUCH...2 BINOMIALVERTEILUNG...3 EIGENSCHAFTEN DER RELATIVEN HÄUFIGKEIT...3 ELEMENTARE SUMMENREGEL...3 EMPIRISCHES GESETZ DER GROßEN ZAHLEN...3 ERGEBNIS...3 ERGEBNISRAUM...3 EREIGNIS...4 ERWARTUNGSWERT EINER ZUFALLSGRÖßE...4 ERWARTUNGSWERT BEI EINER BINOMIALVERTEILUNG...4 GESETZ DER GROßEN ZAHLEN...4 HÄUFIGKEITSINTERPRETATION UND ERWARTUNGSWERT...4 KOMBINATORISCHE GRUNDBEGRIFFE...4 KOMPLEMENTÄRREGEL...5 KUGEL-FÄCHER-MODELL...5 KUMULIERTE BINOMIALVERTEILUNG...5 LAPLACE-REGEL...5 LAPLACE-VERSUCH...5 MITTLERE WARTEZEIT ZWISCHEN ZWEI ERFOLGEN...5 PFADADDITIONSREGEL...6 PFADMULTIPLIKATIONSREGEL...6 RELATIVE HÄUFIGKEIT...6 SATZ VON BAYES...6 SICHERES BZW. UNMÖGLICHES EREIGNIS...6 UNABHÄNGIGE EREIGNISSE...6 UNABHÄNGIGKEIT VON ERGEBNISSEN...6 UNABHÄNGIGKEIT VON MERKMALEN IN VIERFELDERTAFELN...6 UNMÖGLICHES EREIGNIS...6 VARIANZ UND STANDARDABWEICHUNG BEI BINOMIALVERTEILUNGEN...6 VARIANZ UND STANDARDABWEICHUNG EINER ZUFALLSGRÖßE...6 VERFEINERUNG...7 VERGRÖBERUNG...7 WAHRSCHEINLICHKEIT...7 WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNG...7 ZUFALLSEXPERIMENT...7 ZUFALLSGRÖßE UND WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNGEN...7 zusammengestellt von Hendrik van Duijn Seite 1 von 7

2 Abhängige Ereignisse S. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten stochastisch abhängiger Ereignisse Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Ergebnissen Hängt die Wahrscheinlichkeit für das Teilergebnis einer Stufe vom Teilergebnis der vorherigen Stufe ab, dann heißen diese Ergebnisse voneinander abhängig. Im Baumdiagramm sind voneinander abhängige Teilergebnisse durch unterschiedliche Teilbäume zu erkennen. Umgekehrt ist Kennzeichen voneinander unabhängiger Teilergebnisse im Baumdiagramm gleiche Teilbäume. Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Merkmalen in Vierfeldertafeln Stehen die (relativen oder absoluten Häufigkeiten in den Spalten oder in den Zeilen einer Vierfeldertafel im gleichen festen Zahlenverhältnis, dann sind die zugehörigen Merkmale voneinander unabhängig; sonst sind sie voneinander abhängig. Absolute Häufigkeit Unter der absoluten Häufigkeit versteht man die Anzahl, wie häufig ein Ergebnis aufgetreten ist. Im einführenden Notenbeispiel wurde beispielsweise in einem Fall sechsmal für 30 Schüler die Note 2 vergeben. S. a. Relative Häufigkeit. Allgemeine Summenregel Setzt sich ein Ereignis E aus Ereignissen E 1 und E 2 zusammen, die sich überschneiden können, d. h. die gemeinsame Ergebnisse enthalten können, dann muss man darauf achten, dass diese gemeinsamen Ergebnisse nicht doppelt berücksichtigt werden. Für E 1 E 2 gilt: P( E 1 E 2 = P( E 1 + P( E 2 P( E 1 E 2 Auslastungsmodell Während eines gewissen Zeitraums üben n Personen pro Stunde (im Mittel m Minuten eine bestimmte Tätigkeit aus. Sofern die Personen dies unabhängig voneinander tun, erscheint es angemessen, mithilfe eines Binomialmodells die Wahrscheinlichkeit dafür zu berechnen, dass k Personen gleichzeitig diese Tätigkeit ausüben: P(X = k = n m 60 k 1 m 60 n k Berechnung der Wahrscheinlichkeiten stochastisch abhängiger Ereignisse Für zwei stochastisch abhängige Ereignisse A und B gilt: P(A B = P B (A P(B. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten stochastisch unabhängiger Ereignisse Für zwei stochastisch abhängige Ereignisse A und B gilt: P(A B = P(A P(B. Bei stochastisch abhängigen Ereignisse A und B ist also P(A = P B (A. Bernoulli-Versuch Ein Zufallsversuch mit nur zwei möglichen Ergebnissen heißt Bernoulli-Versuch. Diese Ergebnisse bezeichnet man als Erfolg bzw. Misserfolg. Wird ein Bernoulli-Versuch n-mal durchgeführt und ändert sich die Erfolgswahrscheinlichkeit p und die Misserfolgswahrscheinlichkeit q= 1 - p nicht, so spricht man von einem n- stufigen Bernoulli-Versuch. zusammengestellt von Hendrik van Duijn Seite 2 von 7

3 Binomialverteilung Gegeben ist ein n-stufiger Bernoulli-Versuch mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p und der Misserfolgswahrscheinlichkeit q = 1 - p. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X: Anzahl der Erfolge heißt Binomialverteilung. Die Wahrscheinlichkeit für k Erfolge berechnet sich nach der Formel: P(X = k = n p k q n k = n p k 1 p ( n k Berechnung mit GTR: 2nd DISTR 0:binompdf(. Dieser Befehl berechnet die Wahrscheinlichkeit bei Anzahl k für die diskrete Binomialverteilung mit der angegebenen Anzahl der Versuche n und der Erfolgswahrscheinlichkeit p für jeden Versuch. Eingabe: binompdf(n,p für alle k = 0,...,n bzw. binompdf(n,p,k für ein ganz bestimmtes k. S. a. Kumulierte Binomialverteilung. Eigenschaften der relativen Häufigkeit Eigenschaften der relativen Häufigkeit eines Ereignisses A in einer Versuchsfolge: Die relative Häufigkeit h n eines Ereignisses A in einer Versuchsfolge mit n Versuchen ist eine rationale Zahl aus dem Intervall [ 0;1], d.h. für alle ω Ω gilt: 0 h n ( A 1. Die relative Häufigkeit h n eines Ereignisses A A ( ist gleich der Summe der relativen ( A= h n ( ω Häufigkeiten derjenigen Elementarereignisse, deren Vereinigung A ist. h n Das unmögliche Ereignis tritt nie ein, d.h. h n ( = 0. Das sichere Ereignis Ω tritt dagegen bei jedem Versuch ein. Somit gilt: h n Ω S. a. Relative Häufigkeit. Elementare Summenregel ( =1 Betrachtet man bei einem Zufallsversuch mehrere Ergebnisse und fragt nach der Wahrscheinlichkeit, dass eins von diesen Ergebnissen eintritt, so fasst man diese Ergebnisse zu einem Ereignis zusammen. Gehören zum Ereignis E die Ergebnisse a 1 ;a 2 ; ;a m, so gilt für die Wahrscheinlichkeit P E ( des Ereignisses E P( E= P( a 1 + P( a P( a m Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der zu E gehörenden Ergebnisse a 1 ;a 2 ; ;a m. Empirisches Gesetz der Großen Zahlen Bei langen Versuchsreihen, also bei häufiger Wiederholung eines Zufallsversuchs, liegen die relativen Häufigkeiten eines Ergebnisses in der Nähe der Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses. Ergebnis Ein Ergebnis (häufig auch Elementarereignis genannt ist ein Versuchsausgang eines Zufallsexperimentes. Im einführenden Notenbeispiel ist der Ausgang WZWZ ein mögliches Ergebnis, das zur Note 3 führt. Ergebnisraum Unter dem Ergebnisraum versteht man die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperimentes. Jedem Versuchsausgang wird höchstens ein Element aus dem Ergebnisraum Ω mit Ω = { ω 1 ;ω 2 ;ω 3 ; ;ω n } zugeordnet. Die Elemente ω i des Ergebnisraums Ω sind die Er- zusammengestellt von Hendrik van Duijn Seite 3 von 7 ω A

4 gebnisse des Zufallexperimentes, es gilt ω i Ω. Im einführenden Notenbeispiel lautet ein sinnvoll gewählter Ergebnisraum: Ω ={ZZZZ; ZZZW; ZZWZ; ZWZZ; WZZZ; ZZWW; ZWZW; ZWWZ; WZZW; WZWZ; WWZZ; WWWZ; WWZW; WZWW; ZWWW; WWWW}. Ereignis Ergebnisse können zu Ereignissen zusammengefasst werden. Im einführenden Notenbeispiel ergibt sich das Ereignis Note 4 aus den vier verschiedenen Ergebnissen WWWZ; WWZW; WZWW; ZWWW. Erwartungswert einer Zufallsgröße Eine Zufallsgröße X nehme die Werte a l, a 2,..., a m mit den Wahrscheinlichkeiten P(X = a 1, P(X = a 2,..., P(X = a m an. Dann wird der zu erwartende Mittelwert E(X der Verteilung als Erwartungswert der Zufallsgröße X bezeichnet. Es gilt: m E(X = a i P(X = a i = a 1 P(X = a a m P(X = a m i=1 Der Erwartungswert E(X wird auch mit µ (lies: mü bezeichnet. Es gilt also µ = E(X. Erwartungswert bei einer Binomialverteilung Gegeben sei ein n-stufiger Bernoulli-Versuch mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p. Für den Erwartungswert µ der Zufallsgröße X: Anzahl der Erfolge gilt: µ = E(X = n p S. a. Häufigkeitsinterpretation und Erwartungswert. Gesetz der Großen Zahlen S. Empirisches Gesetz der Großen Zahlen Häufigkeitsinterpretation und Erwartungswert Die Häufigkeitsinterpretation der Wahrscheinlichkeit besagt: Hat ein bestimmtes Ergebnis eines Zufallsversuchs die Wahrscheinlichkeit p, dann machen wir die Prognose, dass nach einer großen Zahl n von Versuchsdurchführungen das Ergebnis ungefähr n p-mal auftreten wird. Voraussetzung ist, dass die Versuchsbedingungen unverändert gelten müssen. Bei der Häufigkeitsinterpretation spricht man deshalb auch nur von ungefähr n p zu erwartenden Erfolgen. S. a. Erwartungswert einer Zufallsgröße und Erwartungswert bei einer Binomialverteilung. Kombinatorische Grundbegriffe Anzahlbestimmungen werden mit den Formeln der Tabelle vorgenommen. Stichproben vom Umfang k aus einer n- elementigen Menge Unter Beachtung der Reichenfolge Berechnung mit GTR Ohne Beachtung der Reihenfolge Berechnung mit GTR Mit Zurücklegen n k (n k = Wert 1 ^ Wert 2 k + n 1 k siehe rechts Ohne Zurücklegen n! (n k! MATH PRB 2:nPr Wert 1 npr Wert 2 n MATH PRB 3:nCr Wert 1 ncr Wert 2 Permutationen (unterscheidbare Murmeln Kombinationen (gleichartige Murmeln zusammengestellt von Hendrik van Duijn Seite 4 von 7

5 Mit Mehrfachbesetzung Ohne Mehrfachbesetzung Verteilung von k Kugeln auf n Fächer Komplementärregel Schließen sich zwei Ereignisse E 1, E 2 gegenseitig aus und ergänzen sie sich so, dass es kein Ergebnis des Zufallsversuchs gibt, das weder zu E 1 noch zu E 2 gehört, dann ergänzen sich die Wahrscheinlichkeiten der beiden Ereignisse zu eins: Für E 1 E 2 = und E 1 E 2 = Ω gilt: P( E 1 + P( E 2 =1 Kugel-Fächer-Modell Gegeben sind n Kugeln, die auf f Fächer zufällig verteilt werden. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden dann auf ein beliebig ausgewähltes Fach 0, 1, 2,..., n Kugeln verteilt? Zufallsversuche von dieser Art können als n-stufige Bernoulli-Versuch mit der Erfolgswahrscheinlichkeit 1 f aufgefasst und mit dem Binomialansatz gelöst werden. Kumulierte Binomialverteilung Bei der kumulierten Binomialverteilung werden die einzelnen Wahrscheinlichkeiten aufaddiert. Die Verteilung etwa für mindestens k Erfolge berechnet sich nach der Formel: P(X k = k i= 0 n p i q n i i Berechnung mit GTR: 2nd DISTR A:binomcdf(. Dieser Befehl berechnet die Summenwahrscheinlichkeit bei Anzahl k für die diskrete Binomialverteilung mit der angegebenen Anzahl der Versuche n und der Erfolgswahrscheinlichkeit p für jeden Versuch. Eingabe: binomcdf(n,p für die Angabe aller Summen von k = 0,...,n bzw. binomcdf(n,p,k für die Summe der ersten k Einzelwahrscheinlichkeiten. S. a. Binomialverteilung. Laplace-Regel Bei einem Laplace-Versuch gilt für die Wahrscheinlichkeit P E Anzahl der zu E gehörenden Ergebnisse P( E= Anzahl aller möglichen Ergebnisse Laplace-Versuch ( eines Ereignisses: Bei einem Laplace-Versuch geht man davon aus, dass alle möglichen Ergebnisse des Zufallsversuchs die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Wenn man also jedem Ergebnis die Wahrscheinlichkeit p = zuordnet, dann ist dies eine Modell- 1 Anzahl aller möglichen Ergebnisse Annahme (Laplace-Modell. Mittlere Wartezeit zwischen zwei Erfolgen Der Häufigkeitsinterpretation der Wahrscheinlichkeit entspricht auch die Aussage, dass die mittlere Wartezeit zwischen zwei Erfolgen 1 p ist. Anders formuliert: Im Mittel ist jeder 1 p -te Versuch erfolgreich. Beispielsweise kommen auf 6 Würfe ungefähr 1 Erfolg. Auf n Würfe kommen ungefähr n p Erfolge. zusammengestellt von Hendrik van Duijn Seite 5 von 7

6 Pfadadditionsregel Setzt sich bei einem mehrstufigen Zufallsversuch ein Ereignis aus verschiedenen Pfaden (im Baumdiagramm zusammen, dann erhält man die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses durch Addition der einzelnen Pfadwahrscheinlichkeiten. Pfadmultiplikationsregel Bei einem mehrstufigen Zufallsversuch ist die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses (eines Pfades im Baumdiagramm gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten längs des zugehörigen Pfades im Baumdiagramm. Relative Häufigkeit Unter dem Begriff der relativen Häufigkeit versteht man den Quotienten aus absoluter Häufigkeit und Gesamtzahl der Versuche. Im einführenden Notenbeispiel musste daher gerechnet werden 6 30 = 1 = 0,2 = 20%. 5 S. a. Eigenschaften der relativen Häufigkeit und Absolute Häufigkeit. Satz von Bayes Sei A ein Ereignis, dass unter der Bedingung B gilt, also von B abhängig ist. Dann gilt für die Wahrscheinlichkeit P B (A für das Ereignis A unter der Bedingung B die Bayes sche Regel: P(A B P B (A = P(B Sicheres bzw. unmögliches Ereignis Ein Versuchsausgang, der nicht eintreten kann, heißt unmögliches Ereignis. Ein Versuchsausgang, der dagegen in jedem Fall eintreten wird, heißt sicheres Ereignis. Im einführenden Notenbeispiel ist es sicher, dass jeder Schüler eine Note bekommt. Standardabweichung S. Varianz und Standardabweichung bei Binomialverteilungen und Varianz und Standardabweichung einer Zufallsgröße Unabhängige Ereignisse S. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten stochastisch unabhängiger Ereignisse Unabhängigkeit von Ergebnissen S. Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Ergebnissen Unabhängigkeit von Merkmalen in Vierfeldertafeln S. Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Merkmalen in Vierfeldertafeln Unmögliches Ereignis S. Sicheres bzw. unmögliches Ereignis Varianz und Standardabweichung bei Binomialverteilungen Gegeben ist ein n-stufiger Bernoulli-Versuch mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p und der Misserfolgswahrscheinlichkeit q = 1 - p. Für die Zufallsgröße X: Anzahl der Erfolge berechnet sich die Varianz V(X = n p q und die Standardabweichung σ = V (X = n p q. Varianz und Standardabweichung einer Zufallsgröße Eine Zufallsgröße X mit dem Erwartungswert µ nehme die Werte a l, a 2,..., a m mit den Wahrscheinlichkeiten P(X = a 1, P(X = a 2,..., P(X = a m an. Als Varianz V(X der Zufallsgröße zusammengestellt von Hendrik van Duijn Seite 6 von 7

7 X bezeichnet man die zu erwartende mittlere quadratische Abweichung vom Erwartungswert µ der Zufallsgröße X. Es gilt: m V(X = ( a i µ i=1 2 P(X = a i = a 1 µ ( 2 P(X = a ( a m µ 2 P(X = a m Die Quadratwurzel aus der Varianz einer Zufallsgröße heißt Standardabweichung σ: Es gilt: σ = V (X Verfeinerung Beispiel Würfel: Der relativ genaue Ergebnisraum Ω ={1;2;3;4;5;6} wird anstelle des ungenaueren Ergebnisraumes Ω ={Augenzahl gerade; Augenzahl ungerade}betrachtet. Eine Verfeinerung bedeutet einen Gewinn an Information. Vergröberung Beispiel Würfel: Anstelle des relativ genauen Ergebnisraumes Ω ={1;2;3;4;5;6} wird der ungenauere Ergebnisraum Ω ={Augenzahl gerade; Augenzahl ungerade} betrachtet. Eine Vergröberung bedeutet einen Verlust an Information. Wahrscheinlichkeit Unter der Wahrscheinlichkeit versteht man die bestmögliche Prognose für die relative Häufigkeit eines Ausgangs eines Zufallsexperimentes. Im einführenden Notenbeispiel ist die Wahrscheinlichkeit, das beim Wurf einer Münze Wappen fällt, gerade P(Wappen = 1 2. Das P steht für das englische probability, Wahrscheinlichkeit. Wahrscheinlichkeitsverteilung Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung P ω ( zu jedem Elementarereignis ω über dem Ergebnisraum Ω hat folgende Eigenschaften: Die Wahrscheinlichkeit jedes Elementarereignisses ist eine rationale Zahl aus dem Intervall [ 0;1], d.h. 0 P( ω 1. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Elementarereignisse ist 1, d.h. P( ω =1. Die Wahrscheinlichkeit des unmöglichen Ereignisses ist 0, d.h. P( = 0. Die Wahrscheinlichkeit eines möglichen Ereignisses A ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten seiner Elementarereignisse, d.h. P( A= P( ω. ω A S. a. Zufallsgröße und Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Zufallsexperiment Ein Zufallsexperiment ist ein (theoretisch beliebig oft wiederholbarer Versuch, dessen Ergebnis sich nicht mit Sicherheit vorhersagen lässt. Im einführenden Notenbeispiel konnte durch den Münzwurf nicht vorhergesagt werden, wie eine bestimmte Note für eine Arbeit lauten wird. Sicher war nur, dass es eine Note zwischen 1 und 5 geben würde. Zufallsgröße und Wahrscheinlichkeitsverteilungen Zufallsgrößen sind quantitative Merkmale bei Zufallsversuchen. Zu jedem Ergebnis eines solchen Zufallsversuchs gehört ein Wert der Zufallsgröße. Jeder Wert der Zufallsgröße tritt mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit auf. Häufig gibt man die Werte der Zufallsgröße und deren zugehörige Wahrscheinlichkeiten in einer Tabelle an. Diese Tabelle beschreibt die (Wahrscheinlichkeits-Verteilung der Zufallsgröße. S. a. Wahrscheinlichkeitsverteilung. ω A zusammengestellt von Hendrik van Duijn Seite 7 von 7