Grundwissen zur Stochastik

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Grundwissen zur Stochastik"

Transkript

1 Grundwissen zur Stochastik Inhalt: ABHÄNGIGE EREIGNISSE...2 ABHÄNGIGKEIT UND UNABHÄNGIGKEIT VON ERGEBNISSEN...2 ABHÄNGIGKEIT UND UNABHÄNGIGKEIT VON MERKMALEN IN VIERFELDERTAFELN...2 ABSOLUTE HÄUFIGKEIT...2 ALLGEMEINE SUMMENREGEL...2 AUSLASTUNGSMODELL...2 BERECHNUNG DER WAHRSCHEINLICHKEITEN STOCHASTISCH ABHÄNGIGER EREIGNISSE...2 BERECHNUNG DER WAHRSCHEINLICHKEITEN STOCHASTISCH UNABHÄNGIGER EREIGNISSE...2 BERNOULLI-VERSUCH...2 BINOMIALVERTEILUNG...3 EIGENSCHAFTEN DER RELATIVEN HÄUFIGKEIT...3 ELEMENTARE SUMMENREGEL...3 EMPIRISCHES GESETZ DER GROßEN ZAHLEN...3 ERGEBNIS...3 ERGEBNISRAUM...3 EREIGNIS...4 ERWARTUNGSWERT EINER ZUFALLSGRÖßE...4 ERWARTUNGSWERT BEI EINER BINOMIALVERTEILUNG...4 GESETZ DER GROßEN ZAHLEN...4 HÄUFIGKEITSINTERPRETATION UND ERWARTUNGSWERT...4 KOMBINATORISCHE GRUNDBEGRIFFE...4 KOMPLEMENTÄRREGEL...5 KUGEL-FÄCHER-MODELL...5 KUMULIERTE BINOMIALVERTEILUNG...5 LAPLACE-REGEL...5 LAPLACE-VERSUCH...5 MITTLERE WARTEZEIT ZWISCHEN ZWEI ERFOLGEN...5 PFADADDITIONSREGEL...6 PFADMULTIPLIKATIONSREGEL...6 RELATIVE HÄUFIGKEIT...6 SATZ VON BAYES...6 SICHERES BZW. UNMÖGLICHES EREIGNIS...6 UNABHÄNGIGE EREIGNISSE...6 UNABHÄNGIGKEIT VON ERGEBNISSEN...6 UNABHÄNGIGKEIT VON MERKMALEN IN VIERFELDERTAFELN...6 UNMÖGLICHES EREIGNIS...6 VARIANZ UND STANDARDABWEICHUNG BEI BINOMIALVERTEILUNGEN...6 VARIANZ UND STANDARDABWEICHUNG EINER ZUFALLSGRÖßE...6 VERFEINERUNG...7 VERGRÖBERUNG...7 WAHRSCHEINLICHKEIT...7 WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNG...7 ZUFALLSEXPERIMENT...7 ZUFALLSGRÖßE UND WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNGEN...7 zusammengestellt von Hendrik van Duijn Seite 1 von 7

2 Abhängige Ereignisse S. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten stochastisch abhängiger Ereignisse Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Ergebnissen Hängt die Wahrscheinlichkeit für das Teilergebnis einer Stufe vom Teilergebnis der vorherigen Stufe ab, dann heißen diese Ergebnisse voneinander abhängig. Im Baumdiagramm sind voneinander abhängige Teilergebnisse durch unterschiedliche Teilbäume zu erkennen. Umgekehrt ist Kennzeichen voneinander unabhängiger Teilergebnisse im Baumdiagramm gleiche Teilbäume. Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Merkmalen in Vierfeldertafeln Stehen die (relativen oder absoluten Häufigkeiten in den Spalten oder in den Zeilen einer Vierfeldertafel im gleichen festen Zahlenverhältnis, dann sind die zugehörigen Merkmale voneinander unabhängig; sonst sind sie voneinander abhängig. Absolute Häufigkeit Unter der absoluten Häufigkeit versteht man die Anzahl, wie häufig ein Ergebnis aufgetreten ist. Im einführenden Notenbeispiel wurde beispielsweise in einem Fall sechsmal für 30 Schüler die Note 2 vergeben. S. a. Relative Häufigkeit. Allgemeine Summenregel Setzt sich ein Ereignis E aus Ereignissen E 1 und E 2 zusammen, die sich überschneiden können, d. h. die gemeinsame Ergebnisse enthalten können, dann muss man darauf achten, dass diese gemeinsamen Ergebnisse nicht doppelt berücksichtigt werden. Für E 1 E 2 gilt: P( E 1 E 2 = P( E 1 + P( E 2 P( E 1 E 2 Auslastungsmodell Während eines gewissen Zeitraums üben n Personen pro Stunde (im Mittel m Minuten eine bestimmte Tätigkeit aus. Sofern die Personen dies unabhängig voneinander tun, erscheint es angemessen, mithilfe eines Binomialmodells die Wahrscheinlichkeit dafür zu berechnen, dass k Personen gleichzeitig diese Tätigkeit ausüben: P(X = k = n m 60 k 1 m 60 n k Berechnung der Wahrscheinlichkeiten stochastisch abhängiger Ereignisse Für zwei stochastisch abhängige Ereignisse A und B gilt: P(A B = P B (A P(B. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten stochastisch unabhängiger Ereignisse Für zwei stochastisch abhängige Ereignisse A und B gilt: P(A B = P(A P(B. Bei stochastisch abhängigen Ereignisse A und B ist also P(A = P B (A. Bernoulli-Versuch Ein Zufallsversuch mit nur zwei möglichen Ergebnissen heißt Bernoulli-Versuch. Diese Ergebnisse bezeichnet man als Erfolg bzw. Misserfolg. Wird ein Bernoulli-Versuch n-mal durchgeführt und ändert sich die Erfolgswahrscheinlichkeit p und die Misserfolgswahrscheinlichkeit q= 1 - p nicht, so spricht man von einem n- stufigen Bernoulli-Versuch. zusammengestellt von Hendrik van Duijn Seite 2 von 7

3 Binomialverteilung Gegeben ist ein n-stufiger Bernoulli-Versuch mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p und der Misserfolgswahrscheinlichkeit q = 1 - p. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X: Anzahl der Erfolge heißt Binomialverteilung. Die Wahrscheinlichkeit für k Erfolge berechnet sich nach der Formel: P(X = k = n p k q n k = n p k 1 p ( n k Berechnung mit GTR: 2nd DISTR 0:binompdf(. Dieser Befehl berechnet die Wahrscheinlichkeit bei Anzahl k für die diskrete Binomialverteilung mit der angegebenen Anzahl der Versuche n und der Erfolgswahrscheinlichkeit p für jeden Versuch. Eingabe: binompdf(n,p für alle k = 0,...,n bzw. binompdf(n,p,k für ein ganz bestimmtes k. S. a. Kumulierte Binomialverteilung. Eigenschaften der relativen Häufigkeit Eigenschaften der relativen Häufigkeit eines Ereignisses A in einer Versuchsfolge: Die relative Häufigkeit h n eines Ereignisses A in einer Versuchsfolge mit n Versuchen ist eine rationale Zahl aus dem Intervall [ 0;1], d.h. für alle ω Ω gilt: 0 h n ( A 1. Die relative Häufigkeit h n eines Ereignisses A A ( ist gleich der Summe der relativen ( A= h n ( ω Häufigkeiten derjenigen Elementarereignisse, deren Vereinigung A ist. h n Das unmögliche Ereignis tritt nie ein, d.h. h n ( = 0. Das sichere Ereignis Ω tritt dagegen bei jedem Versuch ein. Somit gilt: h n Ω S. a. Relative Häufigkeit. Elementare Summenregel ( =1 Betrachtet man bei einem Zufallsversuch mehrere Ergebnisse und fragt nach der Wahrscheinlichkeit, dass eins von diesen Ergebnissen eintritt, so fasst man diese Ergebnisse zu einem Ereignis zusammen. Gehören zum Ereignis E die Ergebnisse a 1 ;a 2 ; ;a m, so gilt für die Wahrscheinlichkeit P E ( des Ereignisses E P( E= P( a 1 + P( a P( a m Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der zu E gehörenden Ergebnisse a 1 ;a 2 ; ;a m. Empirisches Gesetz der Großen Zahlen Bei langen Versuchsreihen, also bei häufiger Wiederholung eines Zufallsversuchs, liegen die relativen Häufigkeiten eines Ergebnisses in der Nähe der Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses. Ergebnis Ein Ergebnis (häufig auch Elementarereignis genannt ist ein Versuchsausgang eines Zufallsexperimentes. Im einführenden Notenbeispiel ist der Ausgang WZWZ ein mögliches Ergebnis, das zur Note 3 führt. Ergebnisraum Unter dem Ergebnisraum versteht man die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperimentes. Jedem Versuchsausgang wird höchstens ein Element aus dem Ergebnisraum Ω mit Ω = { ω 1 ;ω 2 ;ω 3 ; ;ω n } zugeordnet. Die Elemente ω i des Ergebnisraums Ω sind die Er- zusammengestellt von Hendrik van Duijn Seite 3 von 7 ω A

4 gebnisse des Zufallexperimentes, es gilt ω i Ω. Im einführenden Notenbeispiel lautet ein sinnvoll gewählter Ergebnisraum: Ω ={ZZZZ; ZZZW; ZZWZ; ZWZZ; WZZZ; ZZWW; ZWZW; ZWWZ; WZZW; WZWZ; WWZZ; WWWZ; WWZW; WZWW; ZWWW; WWWW}. Ereignis Ergebnisse können zu Ereignissen zusammengefasst werden. Im einführenden Notenbeispiel ergibt sich das Ereignis Note 4 aus den vier verschiedenen Ergebnissen WWWZ; WWZW; WZWW; ZWWW. Erwartungswert einer Zufallsgröße Eine Zufallsgröße X nehme die Werte a l, a 2,..., a m mit den Wahrscheinlichkeiten P(X = a 1, P(X = a 2,..., P(X = a m an. Dann wird der zu erwartende Mittelwert E(X der Verteilung als Erwartungswert der Zufallsgröße X bezeichnet. Es gilt: m E(X = a i P(X = a i = a 1 P(X = a a m P(X = a m i=1 Der Erwartungswert E(X wird auch mit µ (lies: mü bezeichnet. Es gilt also µ = E(X. Erwartungswert bei einer Binomialverteilung Gegeben sei ein n-stufiger Bernoulli-Versuch mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p. Für den Erwartungswert µ der Zufallsgröße X: Anzahl der Erfolge gilt: µ = E(X = n p S. a. Häufigkeitsinterpretation und Erwartungswert. Gesetz der Großen Zahlen S. Empirisches Gesetz der Großen Zahlen Häufigkeitsinterpretation und Erwartungswert Die Häufigkeitsinterpretation der Wahrscheinlichkeit besagt: Hat ein bestimmtes Ergebnis eines Zufallsversuchs die Wahrscheinlichkeit p, dann machen wir die Prognose, dass nach einer großen Zahl n von Versuchsdurchführungen das Ergebnis ungefähr n p-mal auftreten wird. Voraussetzung ist, dass die Versuchsbedingungen unverändert gelten müssen. Bei der Häufigkeitsinterpretation spricht man deshalb auch nur von ungefähr n p zu erwartenden Erfolgen. S. a. Erwartungswert einer Zufallsgröße und Erwartungswert bei einer Binomialverteilung. Kombinatorische Grundbegriffe Anzahlbestimmungen werden mit den Formeln der Tabelle vorgenommen. Stichproben vom Umfang k aus einer n- elementigen Menge Unter Beachtung der Reichenfolge Berechnung mit GTR Ohne Beachtung der Reihenfolge Berechnung mit GTR Mit Zurücklegen n k (n k = Wert 1 ^ Wert 2 k + n 1 k siehe rechts Ohne Zurücklegen n! (n k! MATH PRB 2:nPr Wert 1 npr Wert 2 n MATH PRB 3:nCr Wert 1 ncr Wert 2 Permutationen (unterscheidbare Murmeln Kombinationen (gleichartige Murmeln zusammengestellt von Hendrik van Duijn Seite 4 von 7

5 Mit Mehrfachbesetzung Ohne Mehrfachbesetzung Verteilung von k Kugeln auf n Fächer Komplementärregel Schließen sich zwei Ereignisse E 1, E 2 gegenseitig aus und ergänzen sie sich so, dass es kein Ergebnis des Zufallsversuchs gibt, das weder zu E 1 noch zu E 2 gehört, dann ergänzen sich die Wahrscheinlichkeiten der beiden Ereignisse zu eins: Für E 1 E 2 = und E 1 E 2 = Ω gilt: P( E 1 + P( E 2 =1 Kugel-Fächer-Modell Gegeben sind n Kugeln, die auf f Fächer zufällig verteilt werden. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden dann auf ein beliebig ausgewähltes Fach 0, 1, 2,..., n Kugeln verteilt? Zufallsversuche von dieser Art können als n-stufige Bernoulli-Versuch mit der Erfolgswahrscheinlichkeit 1 f aufgefasst und mit dem Binomialansatz gelöst werden. Kumulierte Binomialverteilung Bei der kumulierten Binomialverteilung werden die einzelnen Wahrscheinlichkeiten aufaddiert. Die Verteilung etwa für mindestens k Erfolge berechnet sich nach der Formel: P(X k = k i= 0 n p i q n i i Berechnung mit GTR: 2nd DISTR A:binomcdf(. Dieser Befehl berechnet die Summenwahrscheinlichkeit bei Anzahl k für die diskrete Binomialverteilung mit der angegebenen Anzahl der Versuche n und der Erfolgswahrscheinlichkeit p für jeden Versuch. Eingabe: binomcdf(n,p für die Angabe aller Summen von k = 0,...,n bzw. binomcdf(n,p,k für die Summe der ersten k Einzelwahrscheinlichkeiten. S. a. Binomialverteilung. Laplace-Regel Bei einem Laplace-Versuch gilt für die Wahrscheinlichkeit P E Anzahl der zu E gehörenden Ergebnisse P( E= Anzahl aller möglichen Ergebnisse Laplace-Versuch ( eines Ereignisses: Bei einem Laplace-Versuch geht man davon aus, dass alle möglichen Ergebnisse des Zufallsversuchs die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Wenn man also jedem Ergebnis die Wahrscheinlichkeit p = zuordnet, dann ist dies eine Modell- 1 Anzahl aller möglichen Ergebnisse Annahme (Laplace-Modell. Mittlere Wartezeit zwischen zwei Erfolgen Der Häufigkeitsinterpretation der Wahrscheinlichkeit entspricht auch die Aussage, dass die mittlere Wartezeit zwischen zwei Erfolgen 1 p ist. Anders formuliert: Im Mittel ist jeder 1 p -te Versuch erfolgreich. Beispielsweise kommen auf 6 Würfe ungefähr 1 Erfolg. Auf n Würfe kommen ungefähr n p Erfolge. zusammengestellt von Hendrik van Duijn Seite 5 von 7

6 Pfadadditionsregel Setzt sich bei einem mehrstufigen Zufallsversuch ein Ereignis aus verschiedenen Pfaden (im Baumdiagramm zusammen, dann erhält man die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses durch Addition der einzelnen Pfadwahrscheinlichkeiten. Pfadmultiplikationsregel Bei einem mehrstufigen Zufallsversuch ist die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses (eines Pfades im Baumdiagramm gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten längs des zugehörigen Pfades im Baumdiagramm. Relative Häufigkeit Unter dem Begriff der relativen Häufigkeit versteht man den Quotienten aus absoluter Häufigkeit und Gesamtzahl der Versuche. Im einführenden Notenbeispiel musste daher gerechnet werden 6 30 = 1 = 0,2 = 20%. 5 S. a. Eigenschaften der relativen Häufigkeit und Absolute Häufigkeit. Satz von Bayes Sei A ein Ereignis, dass unter der Bedingung B gilt, also von B abhängig ist. Dann gilt für die Wahrscheinlichkeit P B (A für das Ereignis A unter der Bedingung B die Bayes sche Regel: P(A B P B (A = P(B Sicheres bzw. unmögliches Ereignis Ein Versuchsausgang, der nicht eintreten kann, heißt unmögliches Ereignis. Ein Versuchsausgang, der dagegen in jedem Fall eintreten wird, heißt sicheres Ereignis. Im einführenden Notenbeispiel ist es sicher, dass jeder Schüler eine Note bekommt. Standardabweichung S. Varianz und Standardabweichung bei Binomialverteilungen und Varianz und Standardabweichung einer Zufallsgröße Unabhängige Ereignisse S. Berechnung der Wahrscheinlichkeiten stochastisch unabhängiger Ereignisse Unabhängigkeit von Ergebnissen S. Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Ergebnissen Unabhängigkeit von Merkmalen in Vierfeldertafeln S. Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Merkmalen in Vierfeldertafeln Unmögliches Ereignis S. Sicheres bzw. unmögliches Ereignis Varianz und Standardabweichung bei Binomialverteilungen Gegeben ist ein n-stufiger Bernoulli-Versuch mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p und der Misserfolgswahrscheinlichkeit q = 1 - p. Für die Zufallsgröße X: Anzahl der Erfolge berechnet sich die Varianz V(X = n p q und die Standardabweichung σ = V (X = n p q. Varianz und Standardabweichung einer Zufallsgröße Eine Zufallsgröße X mit dem Erwartungswert µ nehme die Werte a l, a 2,..., a m mit den Wahrscheinlichkeiten P(X = a 1, P(X = a 2,..., P(X = a m an. Als Varianz V(X der Zufallsgröße zusammengestellt von Hendrik van Duijn Seite 6 von 7

7 X bezeichnet man die zu erwartende mittlere quadratische Abweichung vom Erwartungswert µ der Zufallsgröße X. Es gilt: m V(X = ( a i µ i=1 2 P(X = a i = a 1 µ ( 2 P(X = a ( a m µ 2 P(X = a m Die Quadratwurzel aus der Varianz einer Zufallsgröße heißt Standardabweichung σ: Es gilt: σ = V (X Verfeinerung Beispiel Würfel: Der relativ genaue Ergebnisraum Ω ={1;2;3;4;5;6} wird anstelle des ungenaueren Ergebnisraumes Ω ={Augenzahl gerade; Augenzahl ungerade}betrachtet. Eine Verfeinerung bedeutet einen Gewinn an Information. Vergröberung Beispiel Würfel: Anstelle des relativ genauen Ergebnisraumes Ω ={1;2;3;4;5;6} wird der ungenauere Ergebnisraum Ω ={Augenzahl gerade; Augenzahl ungerade} betrachtet. Eine Vergröberung bedeutet einen Verlust an Information. Wahrscheinlichkeit Unter der Wahrscheinlichkeit versteht man die bestmögliche Prognose für die relative Häufigkeit eines Ausgangs eines Zufallsexperimentes. Im einführenden Notenbeispiel ist die Wahrscheinlichkeit, das beim Wurf einer Münze Wappen fällt, gerade P(Wappen = 1 2. Das P steht für das englische probability, Wahrscheinlichkeit. Wahrscheinlichkeitsverteilung Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung P ω ( zu jedem Elementarereignis ω über dem Ergebnisraum Ω hat folgende Eigenschaften: Die Wahrscheinlichkeit jedes Elementarereignisses ist eine rationale Zahl aus dem Intervall [ 0;1], d.h. 0 P( ω 1. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Elementarereignisse ist 1, d.h. P( ω =1. Die Wahrscheinlichkeit des unmöglichen Ereignisses ist 0, d.h. P( = 0. Die Wahrscheinlichkeit eines möglichen Ereignisses A ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten seiner Elementarereignisse, d.h. P( A= P( ω. ω A S. a. Zufallsgröße und Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Zufallsexperiment Ein Zufallsexperiment ist ein (theoretisch beliebig oft wiederholbarer Versuch, dessen Ergebnis sich nicht mit Sicherheit vorhersagen lässt. Im einführenden Notenbeispiel konnte durch den Münzwurf nicht vorhergesagt werden, wie eine bestimmte Note für eine Arbeit lauten wird. Sicher war nur, dass es eine Note zwischen 1 und 5 geben würde. Zufallsgröße und Wahrscheinlichkeitsverteilungen Zufallsgrößen sind quantitative Merkmale bei Zufallsversuchen. Zu jedem Ergebnis eines solchen Zufallsversuchs gehört ein Wert der Zufallsgröße. Jeder Wert der Zufallsgröße tritt mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit auf. Häufig gibt man die Werte der Zufallsgröße und deren zugehörige Wahrscheinlichkeiten in einer Tabelle an. Diese Tabelle beschreibt die (Wahrscheinlichkeits-Verteilung der Zufallsgröße. S. a. Wahrscheinlichkeitsverteilung. ω A zusammengestellt von Hendrik van Duijn Seite 7 von 7

Die ABSOLUTE HÄUFIGKEIT einer Merkmalsausprägung gibt an, wie oft diese in der Erhebung eingetreten ist.

Die ABSOLUTE HÄUFIGKEIT einer Merkmalsausprägung gibt an, wie oft diese in der Erhebung eingetreten ist. .3. Stochastik Grundlagen Die ABSOLUTE HÄUFIGKEIT einer Merkmalsausprägung gibt an, wie oft diese in der Erhebung eingetreten ist. Die RELATIVE HÄUFIGKEIT einer Merkmalsausprägung gibt an mit welchem Anteil

Mehr

Ziegenproblem, Monty-Hall-Problem, Wahrscheinlichkeitsrechnung. Ziegenproblem, Monty-Hall-Problem, Drei-Türen-Problem

Ziegenproblem, Monty-Hall-Problem, Wahrscheinlichkeitsrechnung. Ziegenproblem, Monty-Hall-Problem, Drei-Türen-Problem Ziegenproblem, Monty-Hall-Problem, Drei-Türen-Problem Wahrscheinlichkeitsrechnung Theorie Ziegenproblem, Monty-Hall-Problem, Drei-Türen-Problem Ziegenproblem, Monty-Hall-Problem, Drei-Türen-Problem Ziegenproblem,

Mehr

Basiswissen Daten und Zufall Seite 1 von 8 1 Zufallsexperiment Ein Zufallsexperiment ist ein Versuchsaufbau mit zufälligem Ausgang, d. h. das Ergebnis kann nicht vorhergesagt werden. 2 Ergebnis (auch Ausgang)

Mehr

Zusammenfassung Mathe II. Themenschwerpunkt 2: Stochastik (ean) 1. Ein- und mehrstufige Zufallsexperimente; Ergebnismengen

Zusammenfassung Mathe II. Themenschwerpunkt 2: Stochastik (ean) 1. Ein- und mehrstufige Zufallsexperimente; Ergebnismengen Zusammenfassung Mathe II Themenschwerpunkt 2: Stochastik (ean) 1. Ein- und mehrstufige Zufallsexperimente; Ergebnismengen Zufallsexperiment: Ein Vorgang, bei dem mindestens zwei Ereignisse möglich sind

Mehr

Zusammenfassung Stochastik

Zusammenfassung Stochastik Zusammenfassung Stochastik Die relative Häufigkeit Ein Experiment, dessen Ausgang nicht vorhersagbar ist, heißt Zufallsexperiment (ZE). Ein Würfel wird 40-mal geworfen, mit folgendem Ergebnis Augenzahl

Mehr

Programm. Wiederholung. Gleichverteilung Diskrete Gleichverteilung Stetige Gleichverteilung. Binomialverteilung. Hypergeometrische Verteilung

Programm. Wiederholung. Gleichverteilung Diskrete Gleichverteilung Stetige Gleichverteilung. Binomialverteilung. Hypergeometrische Verteilung Programm Wiederholung Gleichverteilung Diskrete Gleichverteilung Stetige Gleichverteilung Binomialverteilung Hypergeometrische Verteilung Wiederholung verschiedene Mittelwerte für verschiedene Skalenniveaus

Mehr

Ergebnis Ergebnisraum Ω. Ereignis. Elementarereignis

Ergebnis Ergebnisraum Ω. Ereignis. Elementarereignis Stochastik Die Stochastik besteht aus zwei Teilgebieten, der Statistik und der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Die Statistik beschreibt die Vergangenheit und verwendet Informationen, die (in realen Versuchen)

Mehr

Grundlagen der Stochastik

Grundlagen der Stochastik Grundlagen der Stochastik Johannes Recker / Sep. 2015, überarbeitet Nov. 2015 Fehlermeldungen oder Kommentare an recker@sbshh.de Inhalt 1. Grundlegende Begriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung... 2 1.1.

Mehr

Wird ein Bernoulli- Versuch, bei dem die Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,2 ist, n = 40 mal durchgeführt, dann erwarten wir im Mittel 8 Treffer.

Wird ein Bernoulli- Versuch, bei dem die Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,2 ist, n = 40 mal durchgeführt, dann erwarten wir im Mittel 8 Treffer. R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 06.1008 Erwartungswert binomialverteilter Zufallsgrößen. Wird ein Bernoulli- Versuch, bei dem die Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,2 ist, n = 40 mal durchgeführt,

Mehr

Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer Zufallsgröße. Was ist eine Zufallsgröße und was genau deren Verteilung?

Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer Zufallsgröße. Was ist eine Zufallsgröße und was genau deren Verteilung? Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer Zufallsgröße Von Florian Modler In diesem Artikel möchte ich einen kleinen weiteren Exkurs zu meiner Serie Vier Wahrscheinlichkeitsverteilungen geben

Mehr

Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Wahrscheinlichkeitsverteilungen Universität Bielefeld 3. Mai 2005 Wahrscheinlichkeitsrechnung Wahrscheinlichkeitsrechnung Das Ziehen einer Stichprobe ist die Realisierung eines Zufallsexperimentes. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung betrachtet

Mehr

Stochastik - Kapitel 2

Stochastik - Kapitel 2 " k " h(a) n = bezeichnet man als die relative Häufigkeit des Ereignisses A bei n Versuchen. n (Anmerkung: für das kleine h wird in der Literatur häufig auch ein r verwendet) k nennt man die absolute Häufigkeit

Mehr

Modelle diskreter Zufallsvariablen

Modelle diskreter Zufallsvariablen Statistik 2 für SoziologInnen Modelle diskreter Zufallsvariablen Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec Zufallsvariable Eine Variable (Merkmal) X, deren numerische Werte als Ergebnisse eines Zufallsvorgangs aufgefasst

Mehr

Grundwissen Stochastik Grundkurs 23. Januar 2008

Grundwissen Stochastik Grundkurs 23. Januar 2008 GYMNSIUM MIT SCHÜLERHEIM PEGNITZ math.-technolog. u. sprachl. Gymnasium WILHELM-VON-HUMBOLDT-STRSSE 7 91257 PEGNITZ FERNRUF 09241/48333 FX 09241/2564 Grundwissen Stochastik Grundkurs 23. Januar 2008 1.

Mehr

Wahrscheinlichkeit (Teschl/Teschl 2, Kap. 26)

Wahrscheinlichkeit (Teschl/Teschl 2, Kap. 26) Wahrscheinlichkeit (Teschl/Teschl 2, Kap. 26) Gegeben Menge Ω (Wahscheinlichkeitsraum, Menge aller möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments), Abbildung P : P(Ω) [0, 1] (Wahrscheinlichkeit): Jeder Teilmenge

Mehr

Kapitel 5 Stochastische Unabhängigkeit

Kapitel 5 Stochastische Unabhängigkeit Kapitel 5 Stochastische Unabhängigkeit Vorlesung Wahrscheinlichkeitsrechnung I vom SoSe 2009 Lehrstuhl für Angewandte Mathematik 1 FAU 5.1 Das Konzept der stochastischen Unabhängigkeit. 1 Herleitung anhand

Mehr

Abiturvorbereitung Stochastik. neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB Holger Wuschke B.Sc.

Abiturvorbereitung Stochastik. neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB Holger Wuschke B.Sc. Abiturvorbereitung Stochastik neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB 24.02.2014 Holger Wuschke B.Sc. Siedler von Catan, Rühlow 2014 Organisatorisches 0. Begriffe in der Stochastik (1) Ein Zufallsexperiment

Mehr

Es werden 120 Schüler befragt, ob sie ein Handy besitzen. Das Ergebnis der Umfrage lautet: Von 120 Schülern besitzen 99 ein Handy.

Es werden 120 Schüler befragt, ob sie ein Handy besitzen. Das Ergebnis der Umfrage lautet: Von 120 Schülern besitzen 99 ein Handy. R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 08..2009 Von der relativen Häufigkeit zur Wahrscheinlichkeit Es werden 20 Schüler befragt, ob sie ein Handy besitzen. Das Ergebnis der Umfrage lautet: Von 20 Schülern

Mehr

Fit for Abi & Study Stochastik

Fit for Abi & Study Stochastik Fit for Abi & Study Stochastik Prof. Dr. Tilla Schade Hochschule Harz 15. und 16. April 2014 No. 1 Stochastik besteht aus: Wahrscheinlichkeitsrechnung Statistik No. 2 Gliederung Grundlagen Zufallsgrößen

Mehr

Die Voraussetzungen aus Klasse 8-10

Die Voraussetzungen aus Klasse 8-10 Die Voraussetzungen aus Klasse 8-10 I. Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung Zusammenstellung der Voraussetzungen: Pfadregel Ereignisse Additionssatz Ge gener eignis A B A B P(A B) = P(A) + P(B) P(A

Mehr

Basistext - Wahrscheinlichkeitsrechnung

Basistext - Wahrscheinlichkeitsrechnung Basistext - Wahrscheinlichkeitsrechnung Die Wahrscheinlichkeitsrechnung beschäftigt sich mit Vorgängen, die in ihrem Ausgang unbestimmt sind. Sie versucht mögliche Ergebnisse der Vorgänge zu quantifizieren.

Mehr

Mathematik Anders Machen Eine Initiative zur Lehrerfortbildung

Mathematik Anders Machen Eine Initiative zur Lehrerfortbildung Eine Initiative zur Lehrerfortbildung Materialien zum Kurs Keine Angst vor Stochastik - Teil 2 Referenten Dr. Elke Warmuth und Stephan Lange Projektleiter: Prof. Dr. Günter Törner Fachbereich Mathematik

Mehr

Anliegen: Beschreibung von Versuchsergebnissen mit Zahlen, um mit Zahlen bzw. bekannten Funktionen rechnen zu können.

Anliegen: Beschreibung von Versuchsergebnissen mit Zahlen, um mit Zahlen bzw. bekannten Funktionen rechnen zu können. 2 Zufallsvariable 2.1 Einführung Anliegen: Beschreibung von Versuchsergebnissen mit Zahlen, um mit Zahlen bzw. bekannten Funktionen rechnen zu können. Eine Zufallsvariable X ordnet jedem elementaren Versuchsausgang

Mehr

Grundwissen Stochastik Leistungskurs 10. Februar 2008

Grundwissen Stochastik Leistungskurs 10. Februar 2008 GYMNSIUM MIT SCHÜLERHEIM PEGNITZ math.-technolog. u. sprachl. Gymnasium WILHELM-VON-HUMBOLDT-STRSSE 7 91257 PEGNITZ FERNRUF 09241/48333 FX 09241/2564 Grundwissen Stochastik Leistungskurs 10. Februar 2008

Mehr

WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG

WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG Mathematischer Teil In der Wahrscheinlichkeitsrechnung haben wir es mit Zufallsexperimenten zu tun, d.h. Ausgang nicht vorhersagbar. Grundbegriffe Zufallsexperiment und Ergebnisse

Mehr

Erwartungswert, Umgebungswahrscheinlichkeiten und die Normalverteilung

Erwartungswert, Umgebungswahrscheinlichkeiten und die Normalverteilung R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 5.05.0 Erwartungswert, Umgebungswahrscheinlichkeiten und die Normalverteilung Erwartungswert binomialverteilter Zufallsgrößen Wird ein Bernoulli- Versuch, bei

Mehr

Dieses Quiz soll Ihnen helfen, Kapitel besser zu verstehen.

Dieses Quiz soll Ihnen helfen, Kapitel besser zu verstehen. Dieses Quiz soll Ihnen helfen, Kapitel 2.5-2. besser zu verstehen. Frage Wir betrachten ein Würfelspiel. Man wirft einen fairen, sechsseitigen Würfel. Wenn eine oder eine 2 oben liegt, muss man 2 SFr zahlen.

Mehr

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung Algorithmen und Datenstrukturen 349 A Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung Für Entwurf und Analyse randomisierter Algorithmen sind Hilfsmittel aus der Wahrscheinlichkeitsrechnung erforderlich.

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung Vermischte Aufgaben 2 Lösungen

Wahrscheinlichkeitsrechnung Vermischte Aufgaben 2 Lösungen Wahrscheinlichkeitsrechnung Vermischte Aufgaben 2 Lösungen 1. Eine Münze wird viermal hintereinander geworfen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man a) dreimal Z, einmal W, b) mindestens dreimal Z,

Mehr

Abiturvorbereitung Stochastik. neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB Holger Wuschke B.Sc.

Abiturvorbereitung Stochastik. neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB Holger Wuschke B.Sc. Abiturvorbereitung Stochastik neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB 21.02.2014 Holger Wuschke B.Sc. Glücksspiel auf der Buchmesse Leipzig, 2013 Organisatorisches 1. Begriffe in der Stochastik (1)

Mehr

STOCHASTISCHE UNABHÄNGIGKEIT. Annika Pohlmann Philipp Oel Wilhelm Dück

STOCHASTISCHE UNABHÄNGIGKEIT. Annika Pohlmann Philipp Oel Wilhelm Dück STOCHASTISCHE UNABHÄNGIGKEIT Annika Pohlmann Philipp Oel Wilhelm Dück 1 GLIEDERUNG 1) Bedingte Wahrscheinlichkeiten 2) Unabhängigkeit für mehr als zwei Ereignisse 3) Unabhängigkeit für Zufallsvariable

Mehr

Lernkarten. Stochastik. 4 Seiten

Lernkarten. Stochastik. 4 Seiten Lernkarten Stochastik 4 Seiten Zum Ausdrucken muss man jeweils eine Vorderseite drucken, dann das Blatt wenden, nochmals einlegen und die Rückseite drucken. Am besten druckt man die Karten auf festem Papier

Mehr

Stochastik. Grundwissenskatalog G8-Lehrplanstandard

Stochastik. Grundwissenskatalog G8-Lehrplanstandard GRUNDWISSEN MATHEMATIK Stochastik Grundwissenskatalog G8-Lehrplanstandard Basierend auf den Grundwissenskatalogen des Rhöngymnasiums Bad Neustadt und des Kurt-Huber-Gymnasiums Gräfelfing J O H A N N E

Mehr

Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung

Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Sven Garbade Fakultät für Angewandte Psychologie SRH Hochschule Heidelberg sven.garbade@hochschule-heidelberg.de Statistik 1 S. Garbade (SRH Heidelberg) Wahrscheinlichkeitsrechnung

Mehr

Zufallsgröße X : Ω R X : ω Anzahl der geworfenen K`s

Zufallsgröße X : Ω R X : ω Anzahl der geworfenen K`s X. Zufallsgrößen ================================================================= 10.1 Zufallsgrößen und ihr Erwartungswert --------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mehr

Wichtige Definitionen und Aussagen

Wichtige Definitionen und Aussagen Wichtige Definitionen und Aussagen Zufallsexperiment, Ergebnis, Ereignis: Unter einem Zufallsexperiment verstehen wir einen Vorgang, dessen Ausgänge sich nicht vorhersagen lassen Die möglichen Ausgänge

Mehr

Sachrechnen/Größen WS 14/15-

Sachrechnen/Größen WS 14/15- Kapitel Daten & Wahrscheinlichkeit 3.1 Kombinatorische Grundlagen 3.2 Kombinatorik & Wahrscheinlichkeit in der Grundschule 3.3 Daten Darstellen 3.1 Kombinatorische Grundlagen Verschiedene Bereiche der

Mehr

Binomialverteilung. Statistik für SoziologInnen 1 Diskrete Verteilungsmodelle. Marcus Hudec

Binomialverteilung. Statistik für SoziologInnen 1 Diskrete Verteilungsmodelle. Marcus Hudec Binomialverteilung Jakob Bernoulli (1654-1705) Ars Conjectandi Klassisches Verteilungsmodell für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit für die Häufigkeit des Eintretens von Ereignissen in bestimmten noch

Mehr

3 Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Zufallsversuchen

3 Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Zufallsversuchen Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Zufallsversuchen Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Zufallsversuchen.1 Pfadregeln.1.1 Pfadmultiplikationsregel Eine faire Münze und

Mehr

Berechnung von W für die Elementarereignisse einer Zufallsgröße

Berechnung von W für die Elementarereignisse einer Zufallsgröße R. Albers, M. Yanik Skript zur Vorlesung Stochastik (lementarmathematik) 5. Zufallsvariablen Bei Zufallsvariablen geht es darum, ein xperiment durchzuführen und dem entstandenen rgebnis eine Zahl zuzuordnen.

Mehr

Kapitel VII. Punkt- und Intervallschätzung bei Bernoulli-Versuchen

Kapitel VII. Punkt- und Intervallschätzung bei Bernoulli-Versuchen Kapitel VII Punkt- und Intervallschätzung bei Bernoulli-Versuchen Einführungsbeispiel: Jemand wirft einen korrekten Würfel 60 mal. Wie oft etwa wird er die 6 würfeln? Klar: etwa 10 mal, es kann aber auch

Mehr

2 Zufallsvariable und Verteilungsfunktionen

2 Zufallsvariable und Verteilungsfunktionen 8 2 Zufallsvariable und Verteilungsfunktionen Häufig ist es so, dass den Ausgängen eines Zufallexperiments, d.h. den Elementen der Ereignisalgebra, eine Zahl zugeordnet wird. Das wollen wir etwas mathematischer

Mehr

Wahrscheinlichkeitsräume (Teschl/Teschl 2, Kap. 26)

Wahrscheinlichkeitsräume (Teschl/Teschl 2, Kap. 26) Wahrscheinlichkeitsräume (Teschl/Teschl 2, Kap. 26 Ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P ist eine Menge Ω (Menge aller möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments: Ergebnismenge versehen mit einer Abbildung

Mehr

Beispiel 37. Wir werfen eine Münze so lange, bis zum ersten Mal

Beispiel 37. Wir werfen eine Münze so lange, bis zum ersten Mal Beispiel 37 Wir werfen eine Münze so lange, bis zum ersten Mal Kopf erscheint. Dies geschehe in jedem Wurf unabhängig mit Wahrscheinlichkeit p. Wir definieren dazu die Zufallsvariable X := Anzahl der Würfe.

Mehr

3. Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit

3. Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit 3. Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit Es geht hier um die Bestimmung der Kardinalität endlicher Mengen. Erinnerung: Seien A, B, A 1,..., A n endliche Mengen. Dann gilt A = B ϕ: A B bijektiv Summenregel:

Mehr

Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Bedingte Wahrscheinlichkeiten Bedingte Wahrscheinlichkeiten Bei der Betrachtung der Ereignisse A und B eines Zufallsexperiments muss man die beiden im folgendem beschrieben zwei Situationen unterscheiden. 1. Das Ereignis A und B tritt

Mehr

Institut für Biometrie und klinische Forschung. WiSe 2012/2013

Institut für Biometrie und klinische Forschung. WiSe 2012/2013 Klinische Forschung WWU Münster Pflichtvorlesung zum Querschnittsfach Epidemiologie, Biometrie und Med. Informatik Praktikum der Medizinischen Biometrie (3) Überblick. Deskriptive Statistik I 2. Deskriptive

Mehr

3.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit

3.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit 28 3.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit Oft ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses B gesucht unter der Bedingung (bzw. dem Wissen), dass ein Ereignis A bereits eingetreten ist. Man bezeichnet diese Wahrscheinlichkeit

Mehr

STATISTIK Teil 2 Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik

STATISTIK Teil 2 Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik Kapitel 11 Diskrete Zufallsvariablen 11.1. Wahrscheinlichkeits- und diskret Wahrscheinlichkeitsverteilungen Wahrscheinlichkeitsfunktion von X Nimmt abzählbare Anzahl von Ausprägungen an (z.b. Zählvariablen)

Mehr

Wie hoch ist der zu erwartende Gewinnausschüttung des Anbieters des Glücksspiels pro Spiel? (Erwartungswert)

Wie hoch ist der zu erwartende Gewinnausschüttung des Anbieters des Glücksspiels pro Spiel? (Erwartungswert) 1. Einheit: Erwartungswert Beispiel 1: Bei einem einfachen Glücksspiel möchte der Anbieter eines Glücksspiels (Zufallsexperiment) wissen, wie groß die Summe ist, die er pro Spiel an den Spieler auszahlen

Mehr

Abschlussprüfung Berufliche Oberschule 2015 Mathematik 12 Nichttechnik - S I - Lösung

Abschlussprüfung Berufliche Oberschule 2015 Mathematik 12 Nichttechnik - S I - Lösung Abschlussprüfung Berufliche Oberschule 20 Mathematik 12 Nichttechnik - S I - Lösung Im Folgenden werden relative Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten interpretiert. Teilaufgabe 1.0 Ein neues Medikament

Mehr

Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung I. Wahrscheinlichkeit und relative äufigkeit Ein herkömmlicher Würfel wird 0, 0, 30, 00 mal geworfen und die Augenzahl wird nach jedem Wurf notiert. So ergibt

Mehr

Stochastik. 1. Wahrscheinlichkeitsräume

Stochastik. 1. Wahrscheinlichkeitsräume Stochastik 1. Wahrscheinlichkeitsräume Ein Zufallsexperiment ist ein beliebig oft und gleichartig wiederholbarer Vorgang mit mindestens zwei verschiedenen Ergebnissen, bei dem der Ausgang ungewiß ist.

Mehr

7.7 Spezielle diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen

7.7 Spezielle diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen 7.7 Spezielle diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen 7.7.1 Die Laplace-Verteilung Sei X eine gleich verteilte Zufallsvariable mit den Werten in der Menge Ω X = {x i R : i = 1,...,n}, d.h. f (x i = 1

Mehr

Wahrscheinlichkeit und Zufall

Wahrscheinlichkeit und Zufall Wahrscheinlichkeit und Zufall Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten 16. Juni 2009 Dr. Katja Krüger Universität Paderborn 1 Inhalt Ereignisse i und deren Wahrscheinlichkeit h hk i Laplace-Regel Baumdiagramm

Mehr

Abiturvorbereitung Mathematik Stochastik. Copyright 2013 Ralph Werner

Abiturvorbereitung Mathematik Stochastik. Copyright 2013 Ralph Werner biturvorbereitung Mathematik Stochastik Copyright 2013 Ralph Werner Zufallsexperiment in Zufallsexperiment ist ein Vorgang, dessen usgang ungewiss ist das beliebig oft wiederholt werden kann dessen Wiederholungen

Mehr

Vorwort Zufallsvariable X, Erwartungswert E(X), Varianz V(X) 1.1 Zufallsvariable oder Zufallsgröße Erwartungswert und Varianz...

Vorwort Zufallsvariable X, Erwartungswert E(X), Varianz V(X) 1.1 Zufallsvariable oder Zufallsgröße Erwartungswert und Varianz... Inhaltsverzeichnis Vorwort... 2 Zum Einstieg... 3 1 Zufallsvariable X, Erwartungswert E(X), Varianz V(X) 1.1 Zufallsvariable oder Zufallsgröße... 5 1.2 Erwartungswert und Varianz... 7 2 Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Mehr

Woche 2: Zufallsvariablen

Woche 2: Zufallsvariablen Woche 2: Zufallsvariablen Patric Müller ETHZ WBL 17/19, 24.04.2017 Wahrscheinlichkeit und Statistik Patric Müller WBL 2017 Teil III Zufallsvariablen Wahrscheinlichkeit

Mehr

2.2 Binomialverteilung, Hypergeometrische Verteilung, Poissonverteilung

2.2 Binomialverteilung, Hypergeometrische Verteilung, Poissonverteilung 2.2 Binomialverteilung, Hypergeometrische Verteilung, Poissonverteilung Die einfachste Verteilung ist die Gleichverteilung, bei der P(X = x i ) = 1/N gilt, wenn N die Anzahl möglicher Realisierungen von

Mehr

Willkommen zur Vorlesung Statistik (Master)

Willkommen zur Vorlesung Statistik (Master) Willkommen zur Vorlesung Statistik (Master) Thema dieser Vorlesung: Verteilung diskreter Zufallsvariablen Prof. Dr. Wolfgang Ludwig-Mayerhofer Universität Siegen Philosophische Fakultät, Seminar für Sozialwissenschaften

Mehr

Stochastik. Inhaltsverzeichnis

Stochastik. Inhaltsverzeichnis Stochastik Inhaltsverzeichnis 1. Allgemeine Definition... 2 2. Laplace-Wahrscheinlichkeit... 2 3. Gegenereignis (häufig bei mindestens -Aufgaben)... 3 4. Vereinigung von 2 Ereignissen ( oder -Formulierungen)...

Mehr

Informatik II Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Informatik II Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung lausthal Begriffe Informatik II rundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Zachmann lausthal University, ermany zach@in.tu-clausthal.de Definition: Unter einem Zufallsexperiment versteht man einen,

Mehr

Übersicht Wahrscheinlichkeitsrechnung EF

Übersicht Wahrscheinlichkeitsrechnung EF Übersicht Wahrscheinlichkeitsrechnung EF. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung (eite ). Regeln zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten (eite ). Bedingte Wahrscheinlichkeit und Vierfeldertafel

Mehr

SS 2017 Torsten Schreiber

SS 2017 Torsten Schreiber 173 Diese Lücken sollten nicht auch bei Ihnen vorhanden sein: Wird die Anordnung von unterschiedlichen Objekten eines Experiments untersucht, so handelt es sich um eine. Möchte man die Anzahl der möglichen

Mehr

= 7! = 6! = 0, 00612,

= 7! = 6! = 0, 00612, Die Wahrscheinlichkeit, dass Prof. L. die Wette verliert, lässt sich wie folgt berechnen: Ω = {(i 1,..., i 7 ) : i j {1... 7}, j = 1... 7}, wobei i, j für den Wochentag steht, an dem die Person j geboren

Mehr

Stochastik Lehr-und Aufgabenbuch. Skriptum zum Vorbereitungskurs

Stochastik Lehr-und Aufgabenbuch. Skriptum zum Vorbereitungskurs Stochastik Lehr-und Aufgabenbuch Skriptum zum Vorbereitungskurs 1 WICHTIGER HINWEIS: Ich bitte den Eigentümer dieses Skriptes, weder das gesamte Skript noch Teilauszüge daraus zu kopieren, einzuscannen

Mehr

Informatik II Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Informatik II Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung lausthal Informatik II rundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Zachmann lausthal University, ermany zach@in.tu-clausthal.de Begriffe Definition: Unter einem Zufallsexperiment versteht man einen,

Mehr

9 Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer Zufallsgröÿe

9 Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer Zufallsgröÿe Übungsmaterial 9 Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer Zufallsgröÿe 9. Erwartungswert Fragt man nach dem mittleren Wert einer Zufallsgröÿe X pro Versuch, so berechnet man den Erwartungswert

Mehr

P (X = 2) = 1/36, P (X = 3) = 2/36,...

P (X = 2) = 1/36, P (X = 3) = 2/36,... 2.3 Zufallsvariablen 2.3 Zufallsvariablen Meist sind die Ereignisse eines Zufallseperiments bereits reelle Zahlen. Ist dies nicht der Fall, kann man Ereignissen eine reelle Zahl zuordnen. Zum Beispiel

Mehr

4 Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen

4 Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen 4 Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen 4.1 Wahrscheinlichkeitsräume, Ereignisse und Unabhängigkeit Definition: Ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum ist ein Paar (Ω, Pr), wobei Ω eine endliche oder

Mehr

Wie hoch ist das Risiko, dass ein System, das aus mehreren Komponenten besteht, ausfällt?

Wie hoch ist das Risiko, dass ein System, das aus mehreren Komponenten besteht, ausfällt? In diesem Kapitel werden wir den egriff Wahrscheinlichkeit und die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung kennenlernen, um z.. folgende Fragestellungen zu beantworten. Wie hoch ist das Risiko, dass

Mehr

2.2 Ereignisse und deren Wahrscheinlichkeit

2.2 Ereignisse und deren Wahrscheinlichkeit 2.2 Ereignisse und deren Wahrscheinlichkeit Literatur: [Papula Bd., Kap. II.2 und II.], [Benning, Kap. ], [Bronstein et al., Kap. 1.2.1] Def 1 [Benning] Ein Zufallsexperiment ist ein beliebig oft wiederholbarer,

Mehr

Mathematik für Biologen

Mathematik für Biologen Mathematik für Biologen Prof. Dr. Rüdiger W. Braun Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf 11. November 2010 1 Erwartungswert und Varianz Erwartungswert Varianz und Streuung Rechenregeln Binomialverteilung

Mehr

Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende

Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende Universität Duisburg-Essen Essen, den 15.0.009 Fachbereich Mathematik Prof. Dr. M. Winkler C. Stinner Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende Lösung Die Klausur gilt als bestanden,

Mehr

Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum. Zufallsvariablen. Dr. Thomas Zehrt

Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum. Zufallsvariablen. Dr. Thomas Zehrt Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Zufallsvariablen Dr. Thomas Zehrt Inhalt: 1. Einführung 2. Zufallsvariablen 3. Diskrete Zufallsvariablen 4. Stetige Zufallsvariablen 5. Erwartungswert

Mehr

Rumpfskript. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung. Prof. Dr. Ralf Runde Statistik und Ökonometrie, Universität Siegen

Rumpfskript. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung. Prof. Dr. Ralf Runde Statistik und Ökonometrie, Universität Siegen Rumpfskript Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung Prof. Dr. Ralf Runde Statistik und Ökonometrie, Universität Siegen Vorbemerkung Vorbemerkung Das vorliegende Skript heißt nicht nur Rumpf skript, sondern

Mehr

1.5 Erwartungswert und Varianz

1.5 Erwartungswert und Varianz Ziel: Charakterisiere Verteilungen von Zufallsvariablen durch Kenngrößen (in Analogie zu Lage- und Streuungsmaßen der deskriptiven Statistik). Insbesondere: a) durchschnittlicher Wert Erwartungswert, z.b.

Mehr

Wählt man aus n Mengen mit z 1 bzw. z 2,..., bzw. z n Elementen nacheinander aus jeder Menge jeweils ein Element aus,

Wählt man aus n Mengen mit z 1 bzw. z 2,..., bzw. z n Elementen nacheinander aus jeder Menge jeweils ein Element aus, V. Stochastik ================================================================== 5.1 Zählprinzip Wählt man aus n Mengen mit z 1 bzw. z 2,..., bzw. z n Elementen nacheinander aus jeder Menge jeweils ein

Mehr

1 Vorbemerkungen 1. 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2. 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4. 4 Laplace-Experimente 6

1 Vorbemerkungen 1. 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2. 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4. 4 Laplace-Experimente 6 Inhaltsverzeichnis 1 Vorbemerkungen 1 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4 4 Laplace-Experimente 5 Hilfsmittel aus der Kombinatorik 7 Bedingte

Mehr

1.5 Erwartungswert und Varianz

1.5 Erwartungswert und Varianz Ziel: Charakterisiere Verteilungen von Zufallsvariablen (Bildbereich also reelle Zahlen, metrische Skala) durch Kenngrößen (in Analogie zu Lage- und Streuungsmaßen der deskriptiven Statistik). Insbesondere:

Mehr

Willkommen zur Vorlesung Statistik (Master)

Willkommen zur Vorlesung Statistik (Master) Willkommen zur Vorlesung Statistik (Master) Thema dieser Vorlesung: Verteilung diskreter Zufallsvariablen Prof. Dr. Wolfgang Ludwig-Mayerhofer Universität Siegen Philosophische Fakultät, Seminar für Sozialwissenschaften

Mehr

1 Stochastische Konvergenz 2. 2 Das Gesetz der grossen Zahlen 4. 3 Der Satz von Bernoulli 6

1 Stochastische Konvergenz 2. 2 Das Gesetz der grossen Zahlen 4. 3 Der Satz von Bernoulli 6 Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum 0 Universität Basel Mathematik Dr. Thomas Zehrt Grenzwertsätze Benötigtes Vorwissen: Der Stoff der Vorlesung,,Statistik wird als bekannt vorausgesetzt, insbesondere

Mehr

Musterlösung. Abitur Mathematik Bayern G Bayern Aufgabe 1. Abitur Mathematik: Musterlösung. Stochastik II

Musterlösung. Abitur Mathematik Bayern G Bayern Aufgabe 1. Abitur Mathematik: Musterlösung. Stochastik II Abitur Mathematik: Bayern 2012 Aufgabe 1 a) VIERFELDERTAFEL P(R ) = 88 % und P(V) = 18 % stehen in der Aufgabenstellung. 60 % in der Angabe stehen für die bedingte Wahrscheinlichkeit P R (V). P(R V) =

Mehr

Kapitel 6. Kapitel 6 Mehrstufige Zufallsexperimente

Kapitel 6. Kapitel 6 Mehrstufige Zufallsexperimente Mehrstufige Zufallsexperimente Inhalt 6.1 6.1 Mehrstufige Experimente 6.2 6.2 Bedingte Wahrscheinlichkeiten Seite 2 6.1 Mehrstufige Experimente Grundvorstellung: Viele Viele Experimente werden der der

Mehr

Interaktives Skriptum: Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung

Interaktives Skriptum: Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung Interaktives Skriptum: Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung 1. Grundbegriffe Würfeln, Werfen einer Münze, Messen der Lebensdauer einer Glühbirne Ausfall/Ausgang: Würfeln: Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6

Mehr

Einführung. Wahrscheinlichkeit. 1 Wahrscheinlichkeit: Definition und Interpretation. 2 Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung, bedingte

Einführung. Wahrscheinlichkeit. 1 Wahrscheinlichkeit: Definition und Interpretation. 2 Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung, bedingte Einführung 1 Wahrscheinlichkeit: Definition und Interpretation 2 Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung, bedingte Wahrscheinlichkeit Axiome nach Kolmogorov Gegeben sei ein Zufallsexperiment mit Ergebnisraum

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wahrscheinlichkeitsrechnung Teil V Wahrscheinlichkeitsrechnung Inhaltsangabe 6 Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung 125 6.1 Kombinatorik......................... 125 6.2 Grundbegri e......................... 129 6.3 Wahrscheinlichkeiten.....................

Mehr

Kapitel ML:IV. IV. Statistische Lernverfahren. Wahrscheinlichkeitsrechnung Bayes-Klassifikation Maximum-a-Posteriori-Hypothesen

Kapitel ML:IV. IV. Statistische Lernverfahren. Wahrscheinlichkeitsrechnung Bayes-Klassifikation Maximum-a-Posteriori-Hypothesen Kapitel ML:IV IV. Statistische Lernverfahren Wahrscheinlichkeitsrechnung Bayes-Klassifikation Maximum-a-Posteriori-Hypothesen ML:IV-1 Statistical Learning c STEIN 2005-2011 Definition 1 (Zufallsexperiment,

Mehr

Ist P(T) = p die Trefferwahrscheinlichkeit eines Bernoulli-Experiments,

Ist P(T) = p die Trefferwahrscheinlichkeit eines Bernoulli-Experiments, . Binomialverteilung ==================================================================.1 Bernoulli-Experimente und Bernoullikette -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mehr

Ausgewählte spezielle Verteilungen

Ausgewählte spezielle Verteilungen Ausgewählte spezielle Verteilungen In Anwendungen werden oft Zufallsvariablen betrachtet, deren Verteilung einem Standardmodell entspricht. Zu den wichtigsten dieser Modelle gehören: diskrete Verteilungen:

Mehr

Zufallsprozesse, Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten die Grundlagen

Zufallsprozesse, Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten die Grundlagen Zufallsprozesse, Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten die Grundlagen Wichtige Tatsachen und Formeln zur Vorlesung Mathematische Grundlagen für das Physikstudium 3 Franz Embacher http://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung [probability]

Wahrscheinlichkeitsrechnung [probability] Wahrscheinlichkeitsrechnung [probability] Hinweis: Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist nicht Gegenstand dieser Vorlesung. Es werden lediglich einige Begriffsbildungen bereitgestellt und an Beispielen erläutert,

Mehr

Verteilung von Summen

Verteilung von Summen Verteilung von Summen Beispiel: Würfelwurf Frage: Wie verhält sich die Verteilung der Augensumme von -Würfeln bei wachsendem? Zur Beantwortung führen wir ein Simulationseperiment durch. 6 Würfe mit 1 Würfel

Mehr

Pfadregel. 400 Kugeln durchlaufen die möglichen Pfade. Das Diagramm zeigt das Ergebnis am Ende der Versuchsdurchführung.

Pfadregel. 400 Kugeln durchlaufen die möglichen Pfade. Das Diagramm zeigt das Ergebnis am Ende der Versuchsdurchführung. Würfelsimulation 1) Bezeichnen Sie in den Säulendiagrammen (Histogrammen - 2. Graphik) die senkrechten Achsen und vervollständigen Sie im ersten Diagramm die Achseneinteilung. Lesen Sie im Histogramm für

Mehr

4. Schularbeit/7C/2-stündig Schularbeit. 7C am

4. Schularbeit/7C/2-stündig Schularbeit. 7C am 4. Schularbeit 7C am 24.5.2017 Name: Note: Beispiel-Nr. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 AP Teil 1: Teil 2: Punkte Teil 1 (inkl. AP) Punkte Teil 2 Gesamtpunkte Notenschlüssel: 0 7 P von Teil 1 (inkl. Anrechnungspunkte

Mehr

Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 2

Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 2 Statistik I für Betriebswirte Vorlesung 2 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 11. April 2016 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff Statistik I für Betriebswirte Vorlesung

Mehr

Nimm Stellung! Die Heilungschancen bei dieser Krankheit sind 99%.

Nimm Stellung! Die Heilungschancen bei dieser Krankheit sind 99%. (I) Wahrscheinlichkeitsrechnung Standards 8 Umsetzungsbeispiel nach K. Bracht 1. Subjektive Wahrscheinlichkeitsvorstellungen aufgreifen Welche Bedeutung bzw. Aussagekraft hat eine Wahrscheinlichkeitsaussage?

Mehr

Biostatistik, Winter 2011/12

Biostatistik, Winter 2011/12 Biostatistik, Winter 2011/12 Wahrscheinlichkeitstheorie:, Unabhängigkeit Prof. Dr. Achim Klenke http://www.aklenke.de 6. Vorlesung: 02.12.2011 1/30 Inhalt 1 Wahrscheinlichkeit 2 2/30 Wahrscheinlichkeit

Mehr

Wahrscheinlichkeit3 Binomialverteilung/Bernoulli-Formel

Wahrscheinlichkeit3 Binomialverteilung/Bernoulli-Formel Wahrscheinlichkeit3 Binomialverteilung/Bernoulli-Formel Aufgaben Lösen Sie A1 und A sowohl mit der Bernoulli-Formel als auch mit dem TR(BV), die anderen Aufgaben lösen sie mit dem TR(BV). A1 Eine Familie

Mehr