Zentrale Klassenarbeit unter Prüfungsbedingungen im Schuljahr 2009/2010. Mathematik (A) 26. März 2010

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Rüdiger Gärtner
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1 Miisterium für Bildug, Juged ud Sport Zetrale Klassearbeit uter Prüfugsbediguge im Schuljahr 009/00 Mathematik (A) 6. März 00 Zugelassee Hilfsmittel: - Tascherecher (icht programmierbar ud icht grafikfähig) - Nachschlagwerk zur Rechtschreibug der deutsche Sprache - Tafelwerk - Millimeterpapier Bewertugsschlüssel Note Errreichte Puktzahl

2 Aufgabe : Zahlefolge 8 Pukte Gegebe ist eie beschräkte Zahlefolge ( a ) mit a * = ; N. a) Stelle Sie die erste 6 Folgeglieder i eiem kartesische Koordiatesystem auf Millimeterpapier dar. Bereche Sie a 5 ud a 0. b) Bereche Sie, wie viele Glieder vo ( a ) kleier als,39 sid. c) Utersuche Sie die Zahlefolge ( a ) auf Mootoie ud führe Sie de recherische Nachweis. d) Ermittel Sie de Grezwert g vo ( a ) ud trage Sie diese i das Koordiatesystem vo Teilaufgabe a) ei. e) Bestimme Sie für ε = die atürliche Zahl (ε), vo der ab alle weitere Folgeglieder 5 i der ε-umgebug des Grezwertes g liege. Erwartugsbild Aufgabe a) Glieder der Zahlefolge (zur Grafik) a,5,75,9,06, a =,36 a 0 =, 38 5 P b) <, 39 < 06,8 06 Glieder sid kleier als,39 3 P Mathematik A Klassearbeit uter prüfugsähliche Bediguge Seite vo 7 Schuljahr 009/0 - Mathematik

3 c) Mootoieverhalte Vermutug: Die Zahlefolge ( a ) ist streg mooto wachsed. zu zeige : < 96 < a < ( + )(5 + ) < ( + 6)(5 + 6) 60² < 60² a w. A. ( a ) ist streg mooto wachsed P d) Grezwert g ermittel ( + ) lim =, 6 (5 + ) = g ; P Eizeiche i Grafik a) P e) Nummer des Folgegliedes für ε-umgebug vo g ermittel a g < 5 50,8 < + < ε < Ergebis: Ab = 5 liege alle weitere Folgeglieder i der ε-umgebug vo g=, mit 5 ε =. 3 P 5 Mathematik A Klassearbeit uter prüfugsähliche Bediguge Seite vo 7 Schuljahr 009/0 - Mathematik

4 Aufgabe : Differetialrechug Pukte 3 Gegebe ist eie Fuktio f durch f(x) = x 3x + x (x R) mit dem Graphe G f. a) Bestimme Sie die Nullstelle vo G f. b) Bereche Sie die Koordiate der lokale Extrempukte ud weise Sie die Art der Extrema ach. c) Zeige Sie recherisch, dass der Wedepukt vo G f gleichzeitig ei Achseschittpukt ist. d) Zeiche Sie G f i ei kartesisches Koordiatesystem im Itervall 0,5 x, 5 ei. e) Bereche Sie die Maßzahl des Flächeihaltes der Fläche, die vom Graphe G f ud der x-achse vollstädig begrezt wird. f) Ermittel Sie die Gleichug der Wedetagete t ud zeiche Sie t i das Koordiatesystem vo Teilaufgabe d) ei. Die Tagete t begrezt mit de Koordiateachse eie Fläche vollstädig. Diese wird vo G f i zwei Teilfläche zerlegt. I welchem Verhältis stehe die Maßzahle der Flächeihalte dieser Teilfläche zueiader? Erwartugsbild Aufgabe a) Nullstelle: x = 0 x = x 3 = 3 P b) f (x) =,5x² - 6x +; f (x) = 3x - 6 x² - x = 0; xe = 0,85 x E = 3,5 f (0,85) = - 3,5 H (0,85,5) f (3,5) = 3,5 T (3,5 -,5) 5 P c) 3x - 6 = 0 ; x W = ; f () = 3 W ( 0) 3 P Mathematik A Klassearbeit uter prüfugsähliche Bediguge Seite 3 vo 7 Schuljahr 009/0 - Mathematik

5 d) Graphische Darstellug P e) Flächeberechug: x A = (0,5x³ 3x² + x) dx = x³ + x² = 8 0 x A = (0,5x ³ 3x² + x) dx = x³ + x² = = 8 A gesamt = A + A = 0 Die Maßzahl des Flächeihaltes der eigeschlossee Fläche beträgt. P f) t : y = - x + ; Darstellug vo t P Fläche des Dreiecks: A D = = Utere Teilfläche: A u = A = Obere Teilfläche: A o = A D A u = Das Verhältis der beide Fläche zueiader beträgt :. P Mathematik A Klassearbeit uter prüfugsähliche Bediguge Seite vo 7 Schuljahr 009/0 - Mathematik

6 Aufgabe 3: Itegralrechug 9 Pukte Im Rahme eies Schulprojektes soll der Außebereich farblich eu gestaltet werde. Die rechteckige Rückwad ist 5 Meter lag ud,50 Meter hoch. Für das geplate Ladschaftsbild ist zuächst eie Zweiteilug der Fläche i eie obere blaue ud eie utere grüe Farbbereich vorgesehe. Diese Eiteilug erfolgt durch de Graphe G f eier gazratioale Fuktio f dritte Grades, der durch die Pukte A (0 ), B ( ), C (,8) ud D (5 ) verläuft. a) Zeiche Sie das Rechteck ud die gegebee Pukte i ei kartesisches Koordiatesystem auf Millimeterpapier ei, wobei die like utere Ecke des Rechtecks im Koordiateursprug liegt. Skizziere Sie aus de gegebee Pukte eie mögliche Verlauf des Graphe im Rechteck. G f b) Bereche Sie eie Fuktiosgleichug für die Fuktio f. c) Weise Sie ach, dass die Pukte B ud C lokale Extrempukte der Fuktio f mit 3 f x = 0,05x 0,5x +, x + (x sid. ( ) R) d) Die beide Fläche solle mit blauer bzw. grüer Farbe aus Spraydose eigefärbt werde. Der Ihalt eier Dose reicht für,5 m². Bereche Sie de Bedarf a blaue ud grüe Farbspraydose. Mathematik A Klassearbeit uter prüfugsähliche Bediguge Seite 5 vo 7 Schuljahr 009/0 - Mathematik

7 Erwartugsbild Aufgabe 3 a) Graph G f 3 P b) f( x) = ax + bx + cx + d f ( x) = 3ax + bx + c ( 0) ( ) ( ), 8 ( 5) 3 f = I. d = f = II. 8a + b + c + d = f = III. 6a + 6b + c + d =, 8 f = IV. 5a + 5b + 5c + d = 9 a = = 0,05 ; b = = 0,5; c =,; d = f ( x) = 0,05x 0,5x +,x + 6 P c) f (x) = 0,5x² - 0,9x +,; f (x) =0,3x 0,9 aus f ( ) = 0, f ( ) = 0,3 < 0 ud f( ) = H( ), aus f ( ) = 0, f ( ) = 0,3 > 0 ud f( ),8 T(,8) = 3 P Mathematik A Klassearbeit uter prüfugsähliche Bediguge Seite 6 vo 7 Schuljahr 009/0 - Mathematik

8 d) Flächeberechug: A 5 5 = = x x +,x + dx = x x x x P Die grüe Fläche ist 9,06 m² groß. Ma beötigt Farbdose. A =,5 m 5 m =,5 Re chteck m A = A Rechteck A A =,5 m 9,06 m = 3, m Die blaue Fläche ist 3, m² groß. Ma beötigt Farbdose. P Mathematik A Klassearbeit uter prüfugsähliche Bediguge Seite 7 vo 7 Schuljahr 009/0 - Mathematik

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