Lemma Für jede monotone Grammatik G gibt es eine kontextsensitive

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1 Lemma Für jede monotone Grammatik G gibt es eine kontextsensitive Grammatik G mit L(G) = L(G ). Beweis im Beispiel (2.): G = (V,Σ, P, S) : P = {S asbc, S abc, CB BC, ab ab, bb bb, bc bc, cc cc}. (i) G 1 := (V {D a, D b, D c },Σ, P 1, S) : P 1 := {S D a SBC, S D a BC, CB BC, D a B D a D b, D b B D b D b, D b C D b D c, D c C D c D c } {D a a, D b b, D c c}. (ii) G := (V {D a, D b, D c } {Z 1, Z 2 },Σ, P, S) : P := P 1 {CB BC} {CB Z 1 B, Z 1 B Z 1 Z 2, Z 1 Z 2 BZ 2, BZ 2 BC}. 21

2 Problem der ε-regeln Ist G eine Typ 1-Grammatik, so ist ε L(G). Sonderfall: Eine Typ 1-Grammatik G = (V,Σ, P, S) darf die Regel S ε enthalten. Dann darf S aber auf keiner rechten Regelseite vorkommen. Konstruktion: Sei G = (V,Σ, P, S ) eine Typ 1-Grammatik mit L(G ) = L {ε}. Wähle G := (V {S},Σ, P, S) mit P := P {S ε, S S }. Dann ist G eine Typ 1-Grammatik mit L(G) = L. Dies geht auch für Typ 2-Grammatiken. 22

3 Eine Grammatik G = (V,Σ, P, S) mit P V (V Σ) heißt allgemein kontext-frei. Hier: beliebige ε-regeln der Form A ε möglich! Lemma Zu jeder allgemein kontext-freien Grammatik G gibt es eine Typ 2-Grammatik G mit L(G) = L(G ). Beweis: Wir betrachten den Fall, daß ε L(G) ist. Aufgabe: Elimination aller ε-regeln. (1.) Bestimme V 1 := { A V A G ε}: V (1) 1 := { A V (A ε) P } V1 n+1 := V (n) 1 { A V r V (n) 1 : (A r) P }. Dann: V 1 = V (n) ( V ) 1 = V n 1 (2.) Streiche alle ε-regeln. 1. (3.) B xay mit A V 1 und xy ε: neue Regel B xy einfügen. 23

4 Beispiel aus 1.1: Subjekt Artikel Attribut Substantiv Objekt Artikel Attribut Substantiv Artikel ε Attribut ε. ergibt folgende Regeln: Subjekt Artikel Attribut Substantiv Subjekt Attribut Substantiv Subjekt Artikel Substantiv Subjekt Substantiv Objekt... 24

5 Definition Sei L Σ eine Sprache. L ist vom Typ 0/Typ 1/Typ 2/Typ 3, wenn es eine Grammatik G = (V,Σ, P, S) vom Typ 0/Typ 1/Typ 2/Typ 3 gibt mit L = L(G). L i (i {0,1,2,3}) bezeichnet die Klasse der Typ i-sprachen. L 3 L 2 L 1 L 0 Chomsky Hierarchie Alle diese Inklusionen sind echt: L := { a n b n n 1 } L 2 L 3 L := { a n b n c n n 1} L 1 L 2 L := H L 0 L 1 (Kap. 2) 25

6 Das Wortproblem für eine Sprache L Σ : Eingabe: w Σ. Frage: Ist w L? Eine Sprache L ist entscheidbar (rekursiv), wenn ihr Wortproblem algorithmisch entscheidbar ist. Eine Sprache L ist rekursiv aufzählbar, wenn es eine Prozedur gibt, die bei Eingabe von w Σ genau dann terminiert, wenn w L gilt. Alle Typ 1-Sprachen sind entscheidbar. Die Typ 0-Sprachen sind die r.a. Sprachen. 26

7 Satz Nicht jede Sprache L {a} ist vom Typ 0. Beweis: Jede Typ 0-Sprache wird von einer Grammatik erzeugt. Eine Grammatik läßt sich durch eine endliche Zeichenfolge beschreiben. Es gibt nur abzählbar viele Grammatiken. Es gibt nur abzählbar viele Typ 0-Sprachen. Behauptung: 2 {a} ist überabzählbar. Beweis: indirekt: angenommen 2 {a} wäre abzählbar, d.h. Bijektion ϕ : N 2 {a}. Betrachte folgende Sprache D {a} : a n D gdw. a n ϕ(n). ϕ ist Bijektion, d.h. m N : ϕ(m) = D. Dann gilt: a m D gdw. a m ϕ(m) gdw. a m D.! 27

8 Klasse aller Sprachen Typ 0-Sprachen = r.a. Sprachen entscheidbare Sprachen Typ 1-Sprachen = kontext-sensitive Sprachen Typ 2-Sprachen = kontext-freie Sprachen Typ 3-Sprachen = reguläre Sprachen endliche Sprachen Hierarchie der Sprachklassen 28

9 1.1.3 Wortproblem Sei G = (V,Σ, P, S) eine Typ 1-Grammatik, und sei S x 1... x k = x eine Ableitung für ein Wort x Σ n. Dann: x i n für alle i = 1,..., k. Aber: n i=0 (V Σ) i = n i=0 ( V + Σ ) i = ( V + Σ )n+1 1 V + Σ 1 Satz Es gibt einen Algorithmus, der bei Eingabe einer Typ 1-Grammatik G = (V,Σ, P, S) und eines Wortes x Σ in endlich vielen Schritten entscheidet, ob x L(G) oder x L(G) gilt. 29

10 Beweis: Tm n := { w (V Σ) w n und S k G w für ein k m } T n m erhalten wir induktiv über m (n 1): T n 0 := {S}, T n m+1 := Abl n(t n m), wobei Abl n (X) := X { w (V Σ) w n und w G w für ein w X }. Dann: T n 0 T n 1... T n m T n m+1... k 0 T n k. Aber k 0 T n k n i=0 (V Σ) i, d.h. Tk n k 0 ist endlich. m : T n m = T n m+1 =... = Also: x L(G) gdw. x T n m. k 0 T n k. 30

11 Algorithmus zur Lösung des Wortproblems: Eingabe: (G, x); begin n := x ; T := {S}; repeat T 1 := T ; T := Abl n (T 1 ) until (x T) or (T = T 1 ); if x T then Ausgabe: x liegt in L(G) else Ausgabe: x liegt nicht in L(G) end Bemerkung: exponentielle Laufzeit O(c n ) 31

12 Beispiel 2 (aus 1.1.1): P : S asbc, S abc, CB BC, ab ab, bb bb, bc bc, cc cc Für n = 4: T0 4 = {S} T1 4 T2 4 T3 4 = {S, asbc, abc} = {S, asbc, abc, abc} = {S, asbc, abc, abc, abc} T 4 4 = T4 3 Also: L(G) { x {a, b, c} x 4 } = {abc}. 32

13 1.1.4 Syntaxbäume Sei G = (V,Σ, P, S) eine Typ 2-Grammatik, und sei S = x 0 x 1 x 2... x n = x eine Ableitung für ein Wort x L(G). Beschreibung dieser Ableitung durch einen Syntaxbaum: Wurzel mit Markierung S Schritt i: x i 1 = uav urv = x i mit u, v (V Σ), (A r) P, so füge zum Knoten mit Markierung A r Söhne ein, die von links nach rechts mit den Zeichen von r markiert werden. 33

14 Beispiel 1: G = ({S}, {a, b}, {S as, S b}, S) : S a S a S a S b Beispiel 1 (aus 1.1.1): (1.) E T T F F F a F a a (2.) E T T F T a F a a a (1) Linksableitung (2) Rechtsableitung E T T F F a a 34

15 Für eine Typ 2-Grammatik G = (V,Σ, P, S) und ein Wort x Σ sind äquivalent: (a) x L(G) (b) Syntaxbaum mit Markierung x an den Blättern (c) Linksableitung von x in G. Definition Eine Typ 2-Grammatik G heißt eindeutig, wenn es für jedes Wort x L(G) nur einen Syntaxbaum gibt, andernfalls heißt G mehrdeutig. Beispiel 2: G = ({S, A, B}, {a, b, c}, P, S) mit P := {S ab, S Ac, A ab, B bc}: a S b B G ist mehrdeutig. c A G := ({S}, {a, b, c}, {S abc}, S) a S b c 35

16 Definition Eine Typ 2-Sprache L heißt inhärent mehrdeutig, wenn jede Typ 2-Grammatik G mit L = L(G) mehrdeutig ist. L := { a i b j c k i = j oder j = k }: inhärent mehrdeutig. Kann man einer Grammatik (einer Sprache) ansehen, ob sie (inhärent) mehrdeutig ist? 36

17 1.1.5 Backus-Naur-Form Kompakte Notation für Typ 2-Regelmengen: (1.) A β 1 β 2... β n statt A β 1,..., A β n (2.) A α[β]γ statt A αγ, A αβγ (3.) A α{β}γ statt A αγ, A αbγ B β, B βb (1.) : BNF (1.-3.) : erweiterte BNF (EBNF) Mit BNF und EBNF lassen sich gerade die Typ 2-Sprachen darstellen. 37