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1 Prof. Dr.-Ing. Jörg Raisch Dipl.-Ing. Anne-Kathrin Hess Dipl.-Ing. Thomas Seel Fachgebiet Regelungssysteme Fakultät IV Elektrotechnik und Informatik Technische Universität Berlin Integrierte Lehrveranstaltung Grundlagen der Regelungstechnik 2. Praktikum Die Abgabe der Vorbereitungsaufgaben erfolgt einzeln, im Praktikum kann dann wieder in 2er-Gruppen abgegeben werden. Name: Matrikelnummer: Praktikumstermin: Die Vorbereitungsaufgaben sind zu Beginn des Praktikums abzugeben, sonst darf an diesem Termin nicht teilgenommen werden! Lernziele: Blockschaltbild aus nichtlinearen Gleichungen erstellen Linearisierung eines nichtlinearen Modells um den Arbeitspunkt 1 Einleitung In diesem Versuch soll ein nichtlineares Modell für ein Windrad aufgestellt und unter Xcos implementiert werden. Anschließend soll das Modell an einem Arbeitspunkt linearisiert und dann das Verhalten des nichtlinearen Modells mit dem des linearisierten Modells verglichen werden. Ein Windrad ist eine Vorrichtung in Windkraftanlagen zum Umwandeln der Windenergie in eine Drehbewegung, die dann mithilfe eines Generators in elektrische Energie umgewandelt wird. Mit Windenergie wird dabei die kinetische Energie der auf den Rotor treffenden Luft bezeichnet, welche u.a. von der Windgeschwindigkeit, der Luftdichte und dem Radius der Rotorfläche abhängt. Die Abbildung 1 zeigt vereinfacht den Aufbau des Windrades. Darin ist v [ ] m s die Anströmungsgeschwindigkeit der Luft, α [ ] der Anstellwinkel der Flügel des Windrades, ω [ ] rad 1 s die Winkelgeschwindigkeit der Welle, J [kgm 2 ] das Massenträgheitsmoment von Windrad und Welle, d [Nms] die Reibungskonstante des geschwindigkeitspropotionalen Lagerreibungsmomentes M R [Nm] und M A [Nm] das Antriebsmoment. 1 [rad] ist eine dimensionslose SI-Einheit, ω kann also auch durch [ 1 s ] angegeben werden. 1

2 α Î Ö Ø ÐÐ ÒÖ ØÙÒ Ù Ö Ò Ò Ø ÐÐÛ Ò Ð α v d ω, M A J Ò Ö ØÓÖ Abbildung 1: Schema eines Windrades 2 Regelung Windenergie lässt sich nur bei Windstärken innerhalb eines bestimmten Bereichs nutzen. Windkraftanlagen sind so ausgelegt, dass sie bereits bei mittleren Windgeschwindigkeiten ihre Nennleistung erreichen. Wird der Wind kräftiger, muss die Leistungsaufnahme begrenzt werden, um die Anlage nicht zu beschädigen. Deshalb und um einen möglichst gleichmäßigen Lauf des Generators zu gewährleisten, ist eine Regelung notwendig, welche die Winkelgeschwindigkeit ω trotz schwankender Windgeschwindigkeit v annähernd konstant hält. Die gewünschte Regelung geschieht oft über den Anstellwinkel α der Rotorblätter, welche dann durch einen eigenen Blattverstellantrieb gesteuert werden. Diese Regelung wird als Pitch- Regelung bezeichnet. (Bei manchen Anlagen kann jedes Rotorblatt einzeln verstellt werden.) Meist sind größere Windkonverter mit einer automatischen Rotorblattverstellung ausgerüstet. Bei schwachem Wind werden die Rotorblätter so eingestellt, dass sie in voller Breite gegen die Strömung stehen. Bei stärkerem Wind lässt sich der Anstellwinkel der Windstärke anpassen und bei Sturm werden die Blätter parallel zur Windströmung gerichtet, bis sich der Rotor nicht mehr dreht. Zusätzlich verfügen diese Anlagen über ein hydraulisch betriebenes Scheibenbremssytem für den Notfall. 3 Modellbildung des Windrades (ohne Regelung) Für die Modellbildung wird nun angenommen, dass die Windgeschwindigkeit v konstant ist. Somit ist das Antriebsmoment des Windrades eine Funktion von ω und α und berechnet sich aus der Formel: M A = f(ω, α), M A = k 1 αωv + k 2 ωv + k 3 αv 2 + k 4 v 2. Durch Anwendung des Drallsatzes auf das System erhält man: M A = J ω + dω. 2

3 4 Systemparameter des Windrades Es seien folgende Parameterwerte gegeben: Windgeschwindigkeit: v = 12 m s Massenträgheitsmoment: J = 2, kgm 2 Reibungskonstante: d = 0, 005 Nms Windradkonstanten: k 1 = 10, kgm k 2 = 0, kgm k 3 = 2, kg k 4 = 419, kg 5 Vorbereitungsaufgaben Aufgabe 5.1 (Nichtlineare Zustandsraumdarstellung) Geben Sie den Zustand x R, die Eingangsgröße u R und die Ausgangsgröße y R des Systems an! Stellen Sie das nichtlineare Modell des Windrades mit der Zustandsgleichung ẋ(t) = f(x(t), u(t)) und der linearen Ausgangsgleichung y(t) = Cx(t) auf! x(t) = R, y(t) = R, u(t) = R 3

4 Warum ist das System nichtlinear? Zeichnen Sie das Blockschaltbild des nichtlinearen Modells! 4

5 Aufgabe 5.2 (Linearisierung) Linearisieren Sie das nichtlineare Zustandsmodell um eine allgemeine Ruhelage (ω AP, α AP ) und ermitteln Sie die resultierende Zustandsraumdarstellung für das System in der Form: ξ(t) = Aξ(t) + Bµ(t), (1) ν(t) = Cξ(t) + Dµ(t). (2) Definieren Sie dazu zunächst ξ, µ und ν! 5

6 Prof. Dr.-Ing. Jörg Raisch Dipl.-Ing. Anne-Kathrin Hess Dipl.-Ing. Thomas Seel Fachgebiet Regelungssysteme Fakultät IV Elektrotechnik und Informatik Technische Universität Berlin Integrierte Lehrveranstaltung Grundlagen der Regelungstechnik 2. Praktikum Die Abgabe der Praktikumsaufgaben erfolgt in 2er-Gruppen. Name: Name: Matrikelnummer: Matrikelnummer: Praktikumstermin: 6 Ergebnisse der Vorbereitungsaufgaben Gegebene Parameterwerte: Windgeschwindigkeit: v = 12 m s Massenträgheitsmoment: J = 2, kgm 2 Reibungskonstante: d = 0, 005 Nms Windradkonstanten: k 1 = 10, kgm k 2 = 0, kgm k 3 = 2, kg k 4 = 419, kg Aufgabe 6.1 (Nichtlineares Modell des Windrades) Aufgabe 6.2 (Matrizen des linearisierten Modells mit allgemeiner Ruhelage) A = B = C = D = 6

7 7 Praktikumsaufgaben Aufgabe 7.1 (Implementierung in Xcos) a) Implementieren Sie das nichtlineare Modell in Xcos (mithilfe nichtlinearer Blöcke)! b) Berechnen Sie die zur Ruhelage (ω AP, α AP = 30 ) gehörende Winkelgeschwindigkeit ω AP! ω AP = c) Implementieren Sie das (an der berechneten Ruhelage) linearisierte Modell in Xcos. Dies kann mit folgendem Zustandsraummodell-Block (Palette Linear) und durch Eingabe der Matrizen A, B, C und D sowie der Anfangswerte realisiert werden: Aufgabe 7.2 (Simulation) Vergleichen Sie das Eingangs-Ausgangs-Verhalten des nichtlinearen Systems mit dem des linearisierten Systems, indem Sie die Systemausgänge y l und y nl für immer größer werdende sprunghafte Änderungen des Anstellwinkels betrachten. Man simuliere die Verläufe für 3000 s, ausgehend von der berechneten Ruhelage. Nach 100 s nehme man einen Sprung mit einer Höhe von 2, danach einen bei 300 s mit einer Höhe von 7 und anschließend einen Sprung bei 1000 s mit einer Höhe von 15 (Abbildung 2) an. Sprungfunktionen finden Sie unter Palette Sources. 7

8 Verlauf von Alpha Alpha Zeit (s) Abbildung 2: Verlauf von dem Anstellwinkel in [ ] a) Gibt es große Unterschiede zwischen dem Verhalten des nichtlinearen und dem des linearisierten Systems? Plotten Sie die Abweichung y = y nl y l zwischen den Ausgangssignalen! Wie groß ist die maximale Abweichung in den einzelnen Zeitabschnitten? (Abschnitt 1: [0, 100], Abschnitt 2: [100, 300], Abschnitt 3: [300, 1000] und Abschnitt 4: [1000, 3000]) Zeitabschnitt 1: max( y 1 ) = Zeitabschnitt 2: max( y 2 ) = Zeitabschnitt 3: max( y 3 ) = Zeitabschnitt 4: max( y 4 ) = 8

9 b) Wie kann man die sich ändernde Abweichung zwischen den beiden Kurven erklären? c) Welchen Anstellwinkel α AP 2 muss man einstellen um bei einer Windgeschwindigkeit von v = 8 m/s die in Aufgabe 7.1 berechnete Winkelgeschwindigkeit zu halten? Welchen Wert würden Sie dann für die System-Matrix A des am Arbeitspunkt linearisierten Systems erhalten? Inwiefern würden sich die Sprungantworten des nichtlinearen Systems von den in Aufgabe 7.2 simulierten Verläufen (in der Nähe des jeweiligen Arbeitspunktes) qualitativ unterscheiden (schneller/langsamer/etwa gleich)? 9

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