KULTUSMINISTERIUM DES LANDES SACHSEN-ANHALT. Abitur Januar/Februar Mathematik (Grundkurs) Arbeitszeit: 210 Minuten

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1 KULTUSMINISTERIUM DES LANDES SACHSEN-ANHALT Abitur Januar/Februar 2002 Mathematik (Grundkurs) Arbeitszeit: 210 Minuten Der Prüfling wählt je eine Aufgabe aus den Gebieten G 1, G 2 und G 3 zur Bearbeitung aus. Gewählte Aufgaben (Die drei zur Bewertung vorgesehenen Aufgaben sind vom Prüfling anzukreuzen.): Gebiet G 1 Gebiet G 2 Gebiet G 3 Aufgabe 1.1 Aufgabe 2.1 Aufgabe 3.1 Aufgabe 1.2 Aufgabe 2.2 Aufgabe 3.2 Unterschrift Prüfling:

2 Gebiet G 1 Aufgabe 1.1 Analysis Die Funktion f mit dem Definitionsbereich D f = R hat die Ableitung f ' und es ist f '(x) = 4 x 2. In einem kartesischen Koordinatensystem sei G der Graph der Funktion f und G der Graph der Ableitungsfunktion f. Der Graph G verläuft durch den Punkt P(3 0). a) Ermitteln Sie eine Gleichung für die Funktion f. [Mögliches Ergebnis zur Kontrolle: f(x) = 3 1 x 3 + 4x 3] Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f. Zeichnen Sie die Graphen G und G im Intervall 4 x 4. Beschreiben Sie dazu (ohne Rechnung) die Zusammenhänge zwischen der Lage von Extrempunkten bzw. Wendepunkten des Graphen G und dem Verlauf des Graphen G. b) Die Tangente im Schnittpunkt S(x S >0 f (x S )) des Graphen G mit der x-achse und die dazugehörige Normale begrenzen gemeinsam mit der y-achse ein Dreieck. Ermitteln Sie jeweils eine Gleichung der Tangente und der Normale. Berechnen Sie die Maßzahl des Inhaltes dieser Dreiecksfläche. c) Die Gerade mit der Gleichung x = u, 1 u 3, schneidet die x-achse im Punkt A und den Graphen G im Punkt D. Die Gerade mit der Gleichung x = 2u, 1 u 3, schneidet die x-achse im Punkt B und den Graphen G im Punkt C. Die Punkte A, B, C und D sind die Eckpunkte eines Trapezes. Ermitteln Sie eine Gleichung zur Berechnung der Maßzahl des Flächeninhalts dieses Trapezes in Abhängigkeit vom Parameter u. Anmerkung: Diese Gleichung kann auch als eine Gleichung der Zielfunktion zur Ermittlung des maximalen Flächeninhalts angesehen werden.

3 Gebiet G 1 Aufgabe 1.2 Analysis Gegeben ist die Funktion f durch y = f(x) = 2 e - x, x R. a) Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte des Graphen der Funktion f mit den Koordinatenachsen. Untersuchen Sie die Funktion f auf Monotonie. Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f im Intervall 2 x 5. b) Der Graph der Funktion f und die Koordinatenachsen begrenzen eine Fläche A 1. Berechnen Sie die Maßzahl des Inhalts der Fläche A 1. Die im Punkt P(0 f(0)) an den Graphen der Funktion f gelegte Tangente und die Koordinatenachsen begrenzen eine Dreiecksfläche A 2. Der Inhalt dieser Fläche ist ein Näherungswert des Inhalts der Fläche A 1. Berechnen Sie die prozentuale Abweichung des Inhaltes der Fläche A 2 vom Inhalt der Fläche A 1. c) Die Entwicklung der Biomasse eines Gehölzbestandes in Abhängigkeit von der Zeit kann durch die Funktionsgleichung y = g(t) = a 10 e -b t, a, b, t R, a, b > 0, t 0, näherungsweise beschrieben werden. Dabei ist y die Maßzahl der Biomasse in 10 2 Tonnen und t die Maßzahl der Zeit in Jahren. Die Parameter a und b sind Konstanten, die u.a. von der Gehölzart und den klimatischen Bedingungen abhängen. Die Biomasse zu bestimmten Zeiten ist in der nachfolgenden Tabelle angegeben: Zeit t in Jahren 0 10 Biomasse y in 10 2 Tonnen 10 16,321 Berechnen Sie den jeweiligen Wert der Konstanten a und b und geben Sie eine Funktionsgleichung y = g(t) für diese Biomasse an. [Teilergebnis zur Kontrolle: b = 0,1] Für t strebt die Biomasse einem Grenzwert zu. Berechnen Sie diesen Grenzwert. Der Bestand soll wirtschaftlich verwertet werden, wenn die Biomasse 95% ihres Grenzwertes erreicht hat. Berechnen Sie die Zeit bis zur Verwertung.

4 Gebiet G 2 Aufgabe 2.1 Analytische Geometrie Vom Punkt A(0 0-1) zum Punkt B(5 11-3) sowie vom Punkt C(5 32 0) zum Punkt D( ) ist jeweils ein geradliniger Stollen in einen Berg getrieben. Die Lage dieser Punkte wird in einem kartesischem Koordinatensystem beschrieben, dabei entspricht eine Einheit 10 Meter. a) Die Punkte A, B, C und D liegen in einer Ebene. Ermitteln Sie eine Koordinatengleichung dieser Ebene. Die Punkte B und D sollen durch einen Stollen verbunden werden, der die Form eines Kreisbogens besitzt. Dieser Kreisbogen sei Teil eines Kreises, den die Gerade AB im Punkt B und den die Gerade DC im Punkt B A D berührt. (Siehe nebenstehende Skizze.) r b) Weisen Sie nach, dass der Punkt M(10 8-7) Mittelpunkt dieses Kreises ist. Berechnen Sie das Gradmaß des Winkels BMD. M D Berechnen Sie die Länge des gesamten Stollens (einschließlich der Verbindung) vom Punkt A bis zum Punkt C. Skizze nicht maßstäblich C

5 Gebiet G 2 Aufgabe 2.2 Analytische Geometrie In einem kartesischen Koordinatensystem sind gegeben die Geraden g 1 : y = 3 1 x 3, und der Punkt g 2 : x r = + t 1, t R, A(8-2). a) Stellen Sie eine parameterfreie Gleichung der Geraden g 2 auf. Begründen Sie, dass die Geraden g 1 und g 2 einander schneiden, ermitteln Sie die Koordinaten des Schnittpunktes S sowie das Gradmaß ihres Schnittwinkels. b) Ein Kreis k, dessen Radius die Maßzahl r = 3 besitzt, verläuft durch die Punkte A und S. Begründen Sie, dass es genau einen derartigen Kreis gibt und ermitteln Sie eine Gleichung dieses Kreises. [Teilergebnis zur Kontrolle: (x 5) 2 + (y - y M ) 2 = 9] Auf dem Kreis k liegen zwei Punkte B und C, die gemeinsam mit den Punkten A und S die Eckpunkte eines Quadrates bilden. Berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhaltes dieses Quadrates. Berechnen Sie den Abstand des Mittelpunktes des Kreises k von der Geraden g 2.

6 Gebiet G 3 Aufgabe 3.1 Stochastik Über einen Datenkanal werden voneinander unabhängig Datenpakete gesendet. Der Datenkanal hat die Dienstgüte 1 (DG1), wenn die Datenpakete mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,99 fehlerfrei übertragen werden. Dienstgüte 2 (DG2) liegt vor, wenn die Datenpakete mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,95 fehlerfrei übertragen werden. Die Übertragung wird unterbrochen, wenn bei drei aufeinanderfolgenden Datenpaketen Fehler auftreten. a) Eine Nachricht bestehe aus 100 Datenpaketen. Berechnen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit, mit der in DG1 genau zwei Datenpakete fehlerhaft übertragen werden und in DG2 höchstens zwei Datenpakete fehlerhaft übertragen werden. b) Ermitteln Sie, mit wie viel fehlerhaften Datenpaketen bei der Übertragung von 1000 Datenpaketen in der jeweiligen Güteklasse zu rechnen ist. c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten, mit denen bei einer Übertragung von 100 Datenpaketen mit DG2 - die ersten drei gesendeten Datenpakete (Ereignis A) - die letzten drei gesendeten Datenpakete (Ereignis B) zum Übertragungsabbruch führen. d) Bei der Übertragung von Steuersignalen in DG1 darf die Wahrscheinlichkeit, mit der ein oder mehr Datenpakete fehlerhaft übertragen werden, höchstens 0,04 betragen. Berechnen Sie, aus wie vielen Datenpaketen ein Steuersignal unter diesen Bedingungen höchstens bestehen kann.

7 Gebiet G 3 Aufgabe 3.2 Stochastik a) In einer Urne befinden sich insgesamt vier Kugeln, zwei schwarze und zwei weiße. Nacheinander werden zwei Kugeln blindlings gezogen. Zeichnen Sie für diesen Vorgang ein Baumdiagramm und tragen Sie jeweils die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten an den Pfaden ein. Unterscheiden Sie dabei in - Ziehen mit Zurücklegen und - Ziehen ohne Zurücklegen. Es interessieren für beide Ziehungsarten die Ereignisse A: Die erste gezogene Kugel ist schwarz. B: Die zweite gezogene Kugel ist schwarz. Berechnen Sie für beide Ziehungen jeweils die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse A und B. Weisen Sie nach, dass die beiden Ereignisse A und B beim Ziehen mit Zurücklegen voneinander (stochastisch) unabhängig sind. b) An einem Aufnahmetest einer Universität haben 1000 Abiturienten teilgenommen. Von diesen Abiturienten be- Test bestanden ja nein Summe suchten 600 Vorbereitungskurse. Das Testergebnis geht aus der nebenstehenden Vierfeldertafel hervor. Anzahl Abiturienten ohne Kursbesuch Anzahl Abiturienten mit Kursbesuch Summe Für einen zufällig ausgewählten Abiturienten interessieren die Ereignisse C und D. C: Der Abiturient hat keinen Kurs besucht. D: Der Abiturient hat den Test bestanden. Untersuchen Sie, ob die Ereignisse C und D (stochastisch) voneinander unabhängige Ereignisse sind. Formulieren Sie die Wahrscheinlichkeiten P C (D) und P C (D) in Worten. Geben Sie an, welcher Zusammenhang zwischen diesen beiden Wahrscheinlichkeiten jeweils bei stochastischer Abhängigkeit sowie bei stochastischer Unabhängigkeit der Ereignisse C und D besteht.

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