3.6 Einführung in die Vektorrechnung

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1 3.6 Einführung in die Vektorrechnung Inhaltsverzeichnis Definition des Vektors 2 2 Skalare Multiplikation und Kehrvektor 4 3 Addition und Subtraktion von Vektoren 5 3. Addition von zwei Vektoren Addition von mehreren Vektoren Algebraische Darstellung von Vektoren 9 5 algebraische Grundoperationen mit Vektoren 6 Der Abstand zwischen zwei Punkten 3 6. Die Bildung eines Vektors aus zwei Punkten konkreter zweidimensionaler Fall allgemeiner zweidimensionaler Fall allgemeiner dreidimensionaler Fall Ein Abstandsproblem linear abhängige Vektoren und kolineare Vektoren 6

2 Vektorrechnung Theorie und Übungen 2 Definition des Vektors Definition Ein Vektor a ist ein Pfeil mit gegebener Richtung und gegebener Länge. Einen Vektor mit gegebenem Anfangspunkt A und gegebenem Endpunkt B bezeichnen wir mit #» AB. Wir betrachten Vektoren in der Ebene (2-dim. Vektoren) und im Raum (3-dim. Vektoren). Auf der folgenden Abbildung sehen wir ein paar Beispiele von Vektoren. Definition 2 Zwei Vektoren a, b betrachten wir als gleich, d.h. a= b, wenn sie die gleiche Richtung und die gleiche Länge haben. Diese Definition scheint auf den ersten Blick überflüssig zu sein. Sie sagt aus, dass uns der Anfangspunkt eines Vektors nicht interessiert. Ein Beispiel dazu:

3 Vektorrechnung Theorie und Übungen 3 Alle diese Vektoren werden als gleich angesehen, obwohl sie nicht am gleichen Ort beginnen. Wenn uns jemand den Auftrag gibt, einen bestimmten Vektor a auf ein Blatt Papier zu zeichnen, dann haben wir unendlich viele Vektoren zur Auswahl, die wir zeichnen können. Es gibt auch Vektoren, die beim Ursprung beginnen, sogenannte Ortsvektoren. Sie werden mit a #» 0, b #» 0,... bezeichnet. Beispiele Schliesslich definieren wir noch einen speziellen Vektor, den Nullvektor. Definition 3 Der Nullvektor hat die Länge 0 und eine unbestimmte Richtung. In der Physik nennen wir Grössen die durch Angabe eines Vektors festgelegt werden können, Vektorgrössen (z.b. Geschwindigkeiten, Kräfte). Grössen, die schon durch Angabe einer reellen Zahl allein bestimmt werden können (z.b. Massen, Temperaturen), heissen Skalare.

4 Vektorrechnung Theorie und Übungen 4 2 Skalare Multiplikation und Kehrvektor In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit der Frage, wie wir die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl festlegen wollen. Aufgrund der obigen Überlegungen wählen wir folgende Definition: Definition 4 Ist a ein Vektor und x eine reelle Zahl, so versteht man unter x a den Vektor mit der x -fachen Länge und mit der gleichen oder entgegengesetzten Richtung von a, je nachdem ob x positiv oder negativ ist. Definition 5 Der Kehrvektor von a ist gleich lang wie a, hat aber die entgegengesetzte Richtung. Wir bezeichnen ihn mit a. Für den Vektor AB #» mit Anfangspunkt A und Endpunkt B ist der Kehrvektor der Vektor BA. #» Beachte, dass diese Vektoren nicht gleich sind, weil sie nicht die gleiche Richtung haben (aber den gleichen Betrag).

5 Vektorrechnung Theorie und Übungen 5 3 Addition und Subtraktion von Vektoren 3. Addition von zwei Vektoren Definition 6 Die Summe a + b zweier Vektoren a und b ist der Vektor, welcher der Zusammensetzung der Vektoren a und b entspricht. Definition 7 Die Differenz a b zweier Vektoren a und b definieren wir als den Vektor a+( b).

6 Vektorrechnung Theorie und Übungen Addition von mehreren Vektoren Die Addition von mehreren Vektoren lässt sich zurückführen auf die Addition von zwei Vektoren. Ein Beispiel: a b c Übungen. Gegeben sind die Vektoren a, b und c. a b c a) Konstruiere die Vektoren a + b, a + c, a b und a c. b) Prüfe, ob das Kommutativgesetz gilt: a+ b= b+ a. c) Prüfe, ob das Distributivgesetz gilt: 2 a+2 b=2( a+ b) d) Kontruiere den Vektor d so, dass gilt: a + 2 b + d = 0

7 Vektorrechnung Theorie und Übungen 7 2. Die Vektoren AB, #» BA, #» BC, #» CB, #» CD, #» DC, #» DA, #» AD #» beziehen sich auf das untenstehende Parallelgramm. Fülle die Lücken aus. C D B a) d) A #» #» AB=... b) BC=... c) #» #» DC=... e) AD=... f) #» BA=... #» CB= Gegeben sind die Vektoren a, b und c. a b c a) Konstruiere den Vektor a + b + c. b) Konstruiere den Vektor 2 a+0.5 b+ c. c) Konstruiere den Vektor a b c. d) Prüfe, ob das Assoziativgesetz der Addition gilt:( a+ b)+ c= a+( b+ c). 4. Ein Dreieck ABC ist durch AB = c und BC = a gegeben. Der Punkt D ist Mittelpunkt der Seite AB. Drücke die Vektoren AC,AD und CD mit den Vektoren a und c aus. 5. Gegeben ist ein Spat (ein von sechs Parallelogrammen begrenzter Körper, siehe untenstehende Zeichnung) durch die Vektoren a = AB, b = AD und c = AE. Drücke die Vektoren AC, BG, AF, EC, AG und HF durch a, b und c aus.

8 Vektorrechnung Theorie und Übungen 8 6. M sei der Schnittpunkt der beiden Diagonalen des Rechtecks. Drücke den Vektor #» OM mit Hilfe der Vektoren OA, #» OB, #» OC #» und OD #» aus (es müssen nicht zwangsläufig alle vier Vektoren benutzt werden). 7. Gegeben ist das untenstehenden Dreieck. a) Drücke den Vektor #» AM BC mit Hilfe der Vektoren #» AC und #» BC aus. b) Der Schwerpunkt S teilt die Schwerelinien AM BC,BM AC und CM AB im Verhältnis 2: (d.h. z.b., dass AS doppelt so lang ist wie SM BC ) i) Drücke den Vektor BS #» mit Hilfe der Vektoren AB #» und AC #» aus. ii) Zeige dass gilt: SA+ #» SB+ #» SC= #» #» 0 iii) Drücke den Vektor OS #» (0 hat die Koordinaten (0 0)) mit den Vektoren OA, #» OB #» und OC #» aus.

9 Vektorrechnung Theorie und Übungen 9 4 Algebraische Darstellung von Vektoren Bisher haben wir Vektoren nur gezeichnet. Wie können wir aber jemandem am Telefon mitteilen, um welchen Vektor es geht? Ganz einfach, indem wir das Koordinatensystem zu Hilfe nehmen. Genauso wie wir einem Punkt Koordinaten zuordnen können, können wir auch einem Vektor Zahlen zuordnen, die sogenannten Komponenten. Auf der Ebene hat ein Vektor zwei Komponenten (x- und y-komponenten), im Raum sind es drei Komponenten (x-, y- und z-komponenten). Beispiele Wir betrachten den Vektor #» a in der Ebene: #» a = ( 4 3). Der Vektor geht um 4 Einheiten in x-richtung und um 3 Einheiten in y-richtung. Wir betrachten den Vektor #» b in der Ebene: #» b = ( 2 4). Der Vektor geht um 2 Einheiten in die negative x-richtung und um 4 Einheiten in die negative y-richtung. Wir betrachten den Vektor #» c im Raum: #» c = 2 2. Der Vektor geht um 2 Einheiten in x-richtung, um 2 Einheiten in y-richtung und um Einheit in z-richtung. Überlegen wir uns als Nächstes, wie wir die Länge eines Vektors berechnen können:

10 Vektorrechnung Theorie und Übungen 0 ). Der Betrag (Länge) #» a von #» a definieren wir folgender- Definition 8 Gegeben ist der Vektor #» a = massen: #» a = a 2 + a2 2. ( a a 2 Definition 9 Gegeben ist der Vektor #» a = a a 2. Der Betrag (Länge) #» a von #» a ist: #» a = a 2 + a2 2 + a2 3. a 3 Übungen 8. Zeichne die folgenden Vektoren in ein Koordinatensystem als Ortsvektoren ein: a) #» 2 #» a = b) b = c) #» 3 c = 2 2 #» 2 d) d = e) #» 5 #» 0 e = f) f = Berechne die Länge der folgenden Vektoren: a) #» 2 a = [ #» 8] b) b = 2 [ 4] c) #» c = 3 4 [5] Für den Vektor #» x v = gilt: 3 #» v =5 Berechne x. [x,2 =±4]. Für den Vektor #» v = 4 y gilt: #» v =2 Berechne y. [y,2 =±8] 8 2. Der Vektor #» v = x y hat die Länge #» v = 7 und die x-komponente ist um 8 grösser als die y- 3 Komponente. Berechne x und y. [x = 2,y = 6;x 2 = 6,y 2 = 2]

11 Vektorrechnung Theorie und Übungen 5 algebraische Grundoperationen mit Vektoren Wir wollen nun die Grundoperationen bei Vektoren definieren, die algebraisch dargestellt sind. Diese Definitionen sind so gewählt, dass sie mit den geometrischen aus den vorderen Abschnitten übereinstimmen. Definition 0 Gegeben sind die Vektoren #» a = a a 2 und #» b = b b 2. Unter der Summe #» a + #» b verstehen a 3 b 3 wir: #» #» a + b = a + b a 2 + b 2 a 3 + b 3 Definition Gegeben sind die Vektoren #» a = a a 2 und #» b = b b 2. Unter der Differenz #» a #» b verstehen wir: a 3 b 3 #» #» a b = a b a 2 b 2 a 3 b 3 Definition 2 Gegeben ist der Vektor #» a = a a 2 und x R\{0}. Die skalare Multiplikation x #» a des a 3 Vektors #» a definieren wir folgendermassen: x #» a = x a x a 2 x a 3

12 Vektorrechnung Theorie und Übungen 2 Definition 3 Gegeben ist der Vektor #» a = a a 2. Unter dem Kehrvektor #» a verstehen wir den Vektor a 3 #» a = a a 2 a 3 Beispiel Gegeben sind die Vektoren #» a, #» b und #» c. Berechne den Vektor #» #» 2 a + 3 b 2 #» c, wenn #» a = 3, #» b =, #» c = Übungen 3. Gegeben sind die Vektoren #» a, #» b und #» c. Berechne die Komponenten des Vektors #» d = 3 #» a 2 #» b #» c, wenn [ 3 ] 9 #» a = ( 3 4 ), #» b = 2, #» c = Gegeben sind die Vektoren #» a, #» b und #» c. Berechne die Komponenten des Vektors #» d = #» a +2 #» b 0.5 #» c, wenn [ 2 ] 3 #» a = 2, #» b = 0, #» c =

13 Vektorrechnung Theorie und Übungen 3 6 Der Abstand zwischen zwei Punkten 6. Die Bildung eines Vektors aus zwei Punkten Aufgabe: Gegeben sind die Punkte A(a a 2 a 3 ) und B(b b 2 b 3 ). Wie lauten nun die Komponenten des Vektors AB #»? Überlegung: Wir nehmen einfach die Differenz bei der x-, y- und z-komponente. Antwort: AB= #» b a b 2 a 2 b 3 a konkreter zweidimensionaler Fall Fragestellung: Gegeben sind zwei Punkte A=(2 3) und B=(5 4). Wie gross ist der Abstand zwischen den beiden Punkten?

14 Vektorrechnung Theorie und Übungen 4 Überlegung: Wir bilden zuerst den Vektor #» AB und berechnen danach die Länge dieses Vektors. Die Länge entspricht dann dem Abstand zwischen den zwei Punkten. 6.3 allgemeiner zweidimensionaler Fall Fragestellung: Gegeben sind zwei Punkte A=(a a 2 ) und B=(b b 2 ). Wie gross ist der Abstand zwischen den beiden Punkten? #» AB= b a b 2 a 2 #» AB = (b a ) 2 +(b 2 a 2 ) 2 Antwort: Der Abstand beträgt #» AB = (b a ) 2 +(b 2 a 2 ) allgemeiner dreidimensionaler Fall AB= #» b a b 2 a 2 b 3 a 3 #» AB = (b a ) 2 +(b 2 a 2 ) 2 +(b 3 a 3 ) Ein Abstandsproblem Aufgabe: Welche Punkte auf der z-achse haben von P( 6 3 7) den Abstand 7? [z = 5,z 2 = 9]

15 Vektorrechnung Theorie und Übungen 5 Übungen 5. Gegeben sind die Punkte A und B. Berechne den Vektor #» AB, wenn a) A( 2 ) und B( 4 5) b) A(2 0 6) und B( 4 0) [ 0 2, 4 ] Berechne den Abstand zwischen den Punkten A und B, wenn a) A(2 4 5) und B(0 4) [ 4] b) A( 4 2 3) und B( 3 2) [ 35] 7. Berechne den Umfang des Dreiecks ABC, wobei A( 3),B(3 3) und C(8 9). [32] 8. Wie muss y gewählt werden, damit die Strecke AB mit A(7 5) und B(6 y 3) die Länge 9 hat? [y = 3,y 2 = 5] 9. Welche Punkte auf der x-achse haben von P(2 3 6) den Abstand 9? [x = 4,x 2 = 8] 20. Bestimme zeichnerisch und rechnerisch den Punkt P auf der x-achse, der von A( 2 ) und B(4 5) gleich weit entfernt ist. [P(3 0)] 2. Welcher Punkt P auf der y-achse ist von A(7 0 4) und B( 3 7) gleich weit entfernt? [P(0 3 0)]

16 Vektorrechnung Theorie und Übungen 6 7 linear abhängige Vektoren und kolineare Vektoren Definition 4 Gegeben sind 3 Vektoren #» a = ( a a 2 ), #» b = ( b von #» a und #» b, wenn es x,y R so gibt, dass gilt: #» c = x #» a + y #» b. b 2 ) und #» c = ( c c 2 ). #» c ist linear abhängig

17 Vektorrechnung Theorie und Übungen 7 Beispiel: #» a =, #» b = 3 2 und 4 #» c = 8. Ist der Vektor 8 #» c linear abhängig von #» a und #» b? Definition 5 Gegeben sind zwei Vektoren #» a = a a 2 und #» b = b b 2. #» a und #» b sind kolinear (parallel) a 3 b 3 zueinander, wenn es eine Zahl x R so gibt, dass gilt: #» a = x #» b. Beispiel: #» a = 3 4, #» b = 9 2. Prüfe, ob die Vektoren kolinear sind. 5 5

18 Vektorrechnung Theorie und Übungen 8 Übungen 22. Prüfe, ob der Vektor #» c linear abhängig von #» a und #» b ist. a) #» a =, #» 5 b = und 3 4 #» 7 c = 2 b) #» 4 a =, #» 0 b = und 0 5 #» 2 c = 0 c) #» 2 a =, #» b = und 3 5 #» 3 c = Prüfe, ob der Vektor #» d linear abhängig von #» a, #» b und #» c ist. #» a =, #» b = 2 0, #» c = 4 2 und #» d = Sind die Vektoren #» a und #» b kolinear, wenn #» a = 4 2 und #» b = 2 6 3