B) Übungen zu parametrisierten Flaechen

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Hilko Armbruster
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1 Übngn zr Fnktionalmatri Koordinatntransformation. Wnn T di Transformation von dridimnsionaln kartsischn Koordinatn in Polarkoordinatn ist, dann ist T - di ücktransformation mit dn folgndn lichngn: r sinϑ cosϕ T : r sinϑ sinϕ r cosϑ Brchnn Si di Fnktionaldtrminant dr ücktransformation nd rlätrn si ihr Bdtng für di Intgration übr ³ - bit. ösng: findt sich im Vorlsngsskript.. Di bbildng cosα sinα sinα cosα rgibt in Pnkttransformation in in ns, m dn Winkl α vrdrhts, kartsischs -Sstm. Wlchn Wrt dr Fnktionaltdtrminant rwartn Si nd warm? chnn Si nach. Witr Übngn: Bispil im Vorlsngstt. B Übngn z paramtrisirtn Flachn Krzrklärng zm Vrständnis dr Flächninhalt gkrümmtr paramtrisirtr Flachn altrnativ zm Vorlsngstt F :. Ein Ein paramtrisirt Fläch si ggbn drch mikroskopisch klins achsnparallls chtck in Paramtrram wird in linarr Nahrng mit dr Matri F folgndrmaßn abgbildt:

klins achsnparallls chtck in im Paramtrram: klins Paralllogramm in gkrümmtr Fläch Inhalt dr Paralllogrammzll: Btrag ds Krzprodkts d d k j i samtr Flächninhalt von F : Smm Intgral übr all

2 klins achsnparallls chtck in im Paramtrram: klins Paralllogramm in gkrümmtr Fläch Inhalt dr Paralllogrammzll: Btrag ds Krzprodkts d d k j i samtr Flächninhalt von F : Smm Intgral übr all Paralllogramm. lso ist di gsamt paramtrisirt Fläch di Smm allr Paralllogrammzlln: d. Häfigr "Spzialfall", F Spzill bi dism Tp Flachnparamtrisirng ist, dass di bidn rstn Komponntn ds Bildvktors idntisch vom Variablnvktor übrnommn wrdn. D.h. dr --Paramtrram ist pnktwis idntisch mit dr --Ebnn ds Bildrams. Daras rgibt sich di d d [ ] ' d F [ ] ' d F

3 folgnd Standardforml zr Flächnbrchnng, di in dr itratr häfig vrwndt wird: d. Brchn dis Forml as dm allgminn Satz vol F d. ösng: lso vol F k j i Dahr gilt fr disn Tp paramtrisirtr Wg di Flachnforml vol F d d. Flächinhalt inr inn mit Halbkris-Qrschnitt Um di skizzirt Flach z paramtrisirn, stzt man am zwckmassigstn di folgnd infach Zordnng an:, F - i F j k

4 Um di korrkt Bmssng dr inn mit ang nd Krmmngsradis z rhaltn, mss das Paramtrgbit Variablngbit richtig zgschnittn wrdn: Daras rgibt sich: sin : cos cos Sbstittion mit d d d d d d d d π π π. inn mit Parablqrschnitt Von disr im Prinzip nndlich asdhnbarn Flach soll nr drjnig sschnitt bstimmt wrdn, dr drch das links skizzirt mal Paramtr- Qadrat dfinirt ist. -

5 5 ösng: d d d k j i [ ] d d d d d Sbstittion mit hprbolischr Fnktion sih nhang d d nd d d h arcsin d d d v d d d d

6 6,789,6 ar 5 arc ar nhang z dn hprbolischn Fnktionn: d d nd d d B z,75.. C Übngn z paramtrisirtn Wgn. Si in Krv im zwidimnsionaln Vktorram Ebn. nasogt kann man dis Krv als paramtrisirtn Wg r im darstlln. Zig, daß di Bognläng-Forml dt t t r für dis Krv in di Forml ] [ übrght.

7 . Brchn di Bognläng dr folgndn paramtrisirtn Krvn. sin t a cost wobi < t < π ist ös:π Skizzirn Si di 8t Wgkrv t t b wobi < t < ist t. Si in paramtrisirtr Wg t ggbn. Sin schwindigkitsvktor t Fnktionalmatri ist slbr in Fnktion ds Paramtrs t nd dahr in nr paramtrisirtr Wg. Man kann ihn ablitn nd rhält dadrch di zwit blitng Bschlnigngsvktor t ds rsprünglichn par. Wgs t. a Bild dn Bschlnigngsvktor ds paramtrisirtn Wgs,5π cos t m s m zm Zitpnkt ts an. ös:,,5π sin t s s b Skizzir disn Vktor nd intrprtir ihn phsikalisch.. Es gilt dr Satz: Dr Bschlnigngsvktor t stht immr orthogonal zm schwindigkitsvktor t, solang disr nr sin ichtng, nicht abr sinn Btrag ändrt. Zig disn Satz drch blitn dr lichng t konstant nd drch vktorill Intrprtation ds rhaltnn sdrcks. 7

8 5. Zkloid ϕ ϕ ϕ π ϕ π Wg ins Vntils an inm Fahrradrifn, wnn das ad ohn Schlpf rollt. Stll Paramtrisirngsglichngn zr Bschribng ds Vntilwgs in dr snkrchtn --Ebn af. Vrwnd dn Drhwinkl als variabln Paramtr. Brchn di äng dr Krv. ϕ Hinwis: cosϕ sin wird gbracht. ösngn: ϕ sin ϕ ϕ cosϕ ϕ,π mit [ ] Wgläng 8 ϕ Zsatzafgab: Zig cosϕ sin drch kompl chnng mit dr kompln Darstllng ds Kosins. 8

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