Teil 1 Grundlagen. Für moderne Geometrie-Kurse am Gymnasium. und für Realschulen in Bayern! (Prüfungsstoff!)

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1 Vektor-Geometrie für die Mittelstufe (Sekundarstufe 1) Teil 1 Grundlagen Für moderne Geometrie-Kurse am Gymnasium und für Realschulen in Bayern! (Prüfungsstoff!) Auch in der Oberstufe zur Ergänzung einzusetzen, hier wird nur zweidimensional gerechnet! Dafür wird vieles anschaulicher! Datei Nr Friedrich W Buckel Stand 1 Juli 008 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK wwwmathe-cdde

2 Vorwort Dieser Text enthält vor allem viel Lesestoff Wer Vektorrechnung betreiben will, muss sie verstanden haben Daher habe ich versucht, mit vielen Erklärungen und Beispielen anschaulich zu machen, was hinter dem Begriff Vektor, hinter der Addition und Subtraktion von Vektoren steckt usw Rechen- und Konstruktionsbeispiele gibt es daneben genügend Ein Problem könnte auftreten, nämlich dass der Stoff im Unterricht ganz anders dargeboten worden ist Dann empfehle ich dennoch sich die Mühe zu machen, und diese Vektorgeschichte zu lesen Ein anderer Gesichtspunkt hilft vielleicht, manche Verständnisprobleme zu beseitigen Es gibt für die Vektorrechnung auch unterschiedliche Schreibweisen Beispielsweise wird in Bayern die Vektoraddition so geschrieben u v, was durchaus sinnvoll ist, denn eine Vektoraddition ist doch etwas anderes als eine Zahlenaddition, auch wenn diese dazu verwendet wird In den meisten Bundesländern und Büchern ist man da etwas großzügiger und verwendet nachdem geklärt ist, dass die Vektoraddition etwas Neues ist dennoch die Schreibweise der Zahlenaddition: u + v Ich werde dies auch so machen, der Mehrheit folgend Dies sollte keinem Schüler Verständnisprobleme bereiten Ich werde später in Musteraufgaben für die bayerische Realschulabschlussprüfung ausnahmsweise doch die Notation u v verwenden, aber nur dort, weil diese Aufgaben und Lösungen in erster Linie für diese Zielgruppe geschrieben werden Ein Problem ist es, wie viel der dreidimensionalen Vektorgeometrie (siehe Band 6 der INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK) auf die Mittelstufe zu übertragen ist Ich biete hier eine sinnvolle Auswahl an Sollte eine Klasse irgendwo ein wenig mehr behandeln, sollte man eben in Band 6 nachlesen Hier also das Wichtigste für zweidimensionale Vektorgeometrie

3 Inhalt 1 Pfeilvektoren 1 11 Was sind Pfeil(klassen)vektoren? 1 1 Berechnung von Vektorkoordinaten (1) 6 Addition von Pfeilvektoren 10 1 Einführungsbeispiele 10 Rechengesetze der Vektoraddition 13 3 Arbeitsblatt zum Assoziativgesetz 15 4 Aufgabenblatt zur Vektoraddition 18 3 Subtraktion von Pfeilvektoren Einführung 19 3 Konstruktion der Pfeilvektorsubtraktion 0 33 Aufgabenblatt zur Vektorsubtraktion 3 4 Vielfache von Pfeilvektoren (S-Multiplikation) 5 41 Einführung der S-Multiplikation 5 4 Aufgabenblatt zur S-Multiplikation 8 5 Ortsvektoren zu Punkten 9 51 Einführung 9 5 Berechnung von Vektoren aus Ortsvektoren 30 6 Punkte auf einer Strecke Besondere Teilungspunkte einer Beispielstrecke 35 6 Rechenverfahren zu Teilungspunkten Aufgabenblatt 4 Lösungsteil: 43-63

4 11811 Vektorgeometrie 1 Einführung 33 GRUNDAUFGABE 1 Beweise, dass das Viereck ABCD ein Parallelogramm ist: A 1 1 D 5 6 ( ), B7 0, ( ) C3 7 ( ) und ( ) D Lösung C Gemäß der Skizze berechnen wir: oder 7 8 ( 0) ( 1) ( 1) AB = b a = = ( 7) ( 6) ( 1) DC = c d= = ( 7) ( 0) ( 7) BC = c b = = ( 6) ( 1) ( 7) AD = d a = =, Wenn zwei Gegenseiten parallel und gleich lang sind, liegt ein Parallelogramm vor Hier die zugehörige Abbildung: Hinweis: Es genügt immer bereits ein solcher Nachweis: AB = DC oder BC = AD! A Weil AB = DC gilt AB DC und AB = DC, dh ABCD ist ein Parallelogramm Weil BC = AD gilt BC AD und BC = DA, dh ABCD ist ein Parallelogramm B Hinweis: Wer schon Streckenlängen berechnen kann, der findet heraus, dass die Seiten AB und BC gleich lang sind Damit sind alle 4 Seiten gleich lang und es liegt eine Raute vor wwwmathe-cdde

5 11811 Vektorgeometrie 1 Einführung 34 GRUNDAUFGABE Gegeben sind drei Punkte A( 8), B( 4 3) und C6 ( 8) Bestimme den Punkt D so, dass ABCD ein Parallelogramm ist Lösung Wenn AB = DC, dann liegt ein Parallelogramm vor Bedingung also für D: AB = DC dh b a = c d! Umstellen nach d : d= c b+ a Berechnung: d = 6 ( ) 4 ( ) ( 8) = + ( 8 3 8) = + + ( 3) Ergebnis: Genauso geht man vor, wenn ein anderer der vier Parallelogrammpunkte gesucht ist Aufgabe 17 D8 3 ( ) a) Beweise durch Rechnung, dass ABCD mit A ( 3 3 ); B( 4 1 ); C( 5 9 ); D( 5) ein Parallelogramm ist (Anleitung: Überprüfe die Vektoren AB und DC ) Zeichne auch das Parallelogramm! b) Gegeben ist ein Dreieck ABC durch A ( 3 ) ; B( 5 6 ); C( 3 4) Bestimme D so, dass ABCD ein Parallelogramm ist c) Gegeben ist ein Dreieck ABC durch A ( 3 ) ; C( 6 1 ); D( 1 4) Bestimme B so, dass ABCD ein Parallelogramm ist wwwmathe-cdde

6 11811 Vektorgeometrie 1 Einführung 35 6 Punkte auf einer Strecke 61 Besondere Teilungspunkte einer Beispielstrecke Die Abbildung zeigt die Gerade durch A und B mit A ( 4 1) und ( ) B8 7 Ich zeige jetzt, wie man bestimmte Punkte der Strecke einfach berechnen kann A R 1 Mittelpunkt einer Strecke AB - Eine Wanderungsgeschichte Wir betreiben Vektorrechnung, dh wir rechnen nur mit Vektoren Wenn wir somit einen Punkt berechnen wollen, dann suchen wir seinen Ortsvektor Dazu wurden diese Pfeile (die vom Ursprung aus zum gesuchten Punkt zeigen) eingeführt Wir haben gegeben: A ( 4 1), also a = 4 ( 1 ) B8 7, also b = 8 ( 7) und ( ) Wir suchen M, also m= OM Wie man aus der Abbildung erkennen kann, suchen wir also einen Weg (Pfeil), der uns von O (Ursprung) zu M führt Da wir den Pfeil noch nicht kennen, machen wir einen Umweg über den bekannten Punkt A Wir gehen also von O nach A und dann in Richtung B weiter Diese Richtung wird durch den Vektor u= AB bestimmt Wir können diesen sogenannten Richtungs- u= AB = b a = 8 4 = vektor der Strecke bestimmen: ( ) ( ) ( ) M Nun machen wir in Gedanken eine Wanderung: Wir gehen von O nach A und dann nach B Dies geschieht durch diese Vektoraddition: OA + AB = ( 1) + ( 6) = ( 7) Das Ergebnis ist der Ortsvektor von B, wir kamen also von O über A nach B S T B wwwmathe-cdde

7 11811 Vektorgeometrie 1 Einführung 36 Wir wollten aber gar nicht so weit gehen, sondern in M halt machen, also auf halber Strecke zwischen A und B Dann benötigen wir von A aus auch nur die Hälfte des Vektors u Und das ist die zugehörige Rechnung: ( 1) ( 6) ( 1) ( 3) ( 4) OM = OA + AB = OA + u = + = + = Das ist der Pfeil, der von O nach M zeigt, gebastelt aus den Pfeilen OA und AM, der ja als 1 u bekannt war Daher hat M die Koordinaten M 4! ( ) Der Blick auf die Abbildung bestätigt das Ergebnis Aber wer wird denn daran zweifeln??? :-) Nun führen wir diese Rechnung ganz allgemein durch: Wir benötigen dazu den Punkt A ( a a 1 ) und den Endpunkt ( 1 ) Aus diesen berechnen wir den Richtungsvektor b1 a1 b1 a u= AB = b a = 1 b = a b a Bb b Von ihm benötigen wir die Hälfte, um von O über A nach M zu kommen: 1 1 m= OM= OA+ AB= a+ b a ( ) Die rechte Seite können wir noch deutlich vereinfachen: m= a+ b a = a+ b a = a+ b= a+ b MERKE: ( ) ( ) Den Ortsvektor des Mittelpunkts einer Strecke berechnet man m= 1 a+ b durch ( ) Nun verwende ich noch die allgemeinen Koordinaten und rechne weiter: 1 a1 b 1 1 a 1 1+ b1 ( ) m= a+ b a1+ b1 a + b = a + b = = a b + Also gilt für die 1 Koordinate des Mittelpunkts: a1+ b1 m1 = und für die zweite: a + b m = Aufgabe 18 Berechne den Mittelpunkt der Strecke A ( 4 9 ); B( 8 4) wwwmathe-cdde

8 11811 Vektorgeometrie 1 Einführung 37 Lösung Gegeben war die Strecke AB durch A ( 4 9) und B( 8 4) Die vektorielle Lösung geht so: ( ) ( 9) ( 4) ( 13) ( 6,5) m= a+ b = + = = also ist M 6,5 ( ) Die Lösung mit den Koordinatenformeln geht so: a + b a + b = = = =, m = = = = 6,5 1 1 m1 Daraus folgt genauso M 6,5 ( ) Teilungsverhältnisse auf einer Strecke Ein Mittelpunkt halbiert eine Strecke, dh beide Teilstrecken haben die gleiche Länge Man sagt daher auch: M teilt AB im Verhältnis 1 : 1 Oder man gibt dieses 1 Verhältnis als Bruch an Diesen nennt man dann das Teilverhältnis r = = 1 In unserer Abbildung auf Seite 35 sind weitere Punkte auf der Strecke AB R eingezeichnet Beginnen wir mit dem Punkt ( ) Musterbeispiel 1: In welchem Verhältnis teilt R die Strecke AB? Gegeben sind R( ), A ( 4 1) und ( ) Musterlösung: B8 7 Da R auf der Strecke AB liegt, muss der Vektor AR (eigentlich ein Bruchteil) des Vektors u= AB sein 1 ein Vielfaches Da wir es noch nicht genau wissen, schreiben wir einmal: das k-fache Wir fragen: Ist AR = k AB? Mit Koordinaten: Es ist AR = r a = 4 ( ) ( 1) = + ( 1) u= AB = b a = 8 4 = und ( ) ( ) ( ) folgt ( ) = k 1 1 ( 6) Aus dem Ansatz AR = k AB und dies wird richtig für k = Also ist AR = AB 6 Folglich teilt R AB im Verhältnis 1 : 5, denn bis R haben wir 1 und dahinter 5 der Strecke AB 6 6 wwwmathe-cdde

9 11811 Vektorgeometrie 1 Einführung 38 Musterbeispiel : In welchem Verhältnis teilt S die Strecke AB? Gegeben sind S( 4 5 ), A ( 4 1) und ( ) Musterlösung: B8 7 Da S auf der Strecke AB liegt, muss der Vektor AS (eigentlich ein Bruchteil) des Vektors u= AB sein Ansatz: AS = z AB Es ist AS = s a = ( 5) ( 1) = ( 4) Und es ist AB = b a = ( 7) ( 1) = ( 6) 8 = z Also folgt: ( ) ( ) ein Vielfaches Dahinter stecken diesen beiden Gleichungen: 8 = 1 z z = { 4 6 z } = { z = } Beide Koordinatengleichungen werden mit z = gelöst 3 Ergebnis: Es ist AS = AB 3 Folglich teilt S die Strecke AB im Verhältnis : 1, denn links von S liegen und rechts davon 1 der Strecke AB 3 3 Musterbeispiel 3 In welchem Verhältnis teilt T die Strecke AB? Gegeben sind T( 5 5,5 ), A ( 4 1) und ( ) Musterlösung: B8 7 Es ist AT = t a = ( 5,5) ( 1 ) = ( 4,5) Ansatz: AT = x AB dh 9 ( ) = x x 4,5 ( 6 ) = { 4,5 = 6 x} Die 1 Gleichung führt auf x = =, die zweite auf 1 4 4,5 9 3 x = = = Also gilt eindeutig AT = AB Daher teilt T die Strecke AB im Verhältnis 3 : 1, 4 denn links von T liegen 3 4 und folglich rechts davon 1 4 von AB wwwmathe-cdde

10 11811 Vektorgeometrie 1 Einführung 39 6 Rechenverfahren zu Teilungspunkten Es gibt zwei Grundaufgaben: 1 Man hat einen Teilungspunkt gegeben und fragt nach dem Teilverhältnis Man sucht den Teilungspunkt zu einem gegebenen Teilverhältnis 1 Methode Teilverhältnis berechnen Gegeben seien die Endpunkte A und B einer Strecke und ein Punkt T auf der Strecke Dann gilt AT= k AB Berechnet man die Vektoren AT und AB, dann stellt diese Gleichung eine System mit Gleichungen für die Variable k dar Gibt es eine eindeutige Lösung, dann liegt T auf der Strecke und man kennt das Teilverhältnis Gibt es keine eindeutige Lösung, dann liegt T nicht auf AB und ist somit auch kein Teilungspunkt Musterbeispiel 4 Gegeben seien die Punkte A ( 5 3 ) ; B( 1 6) und T( 3 4) Berechne das Teilverhältnis von T zu AB Fortsetzung auf der CD wwwmathe-cdde