Bachelor- Vertiefungspraktikum Informationstechnik

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1 Bachelor- Vertiefungspraktikum Informationstechnik Versuchsbeschreibungen WS 2016/17 Fakultät für Elektrotechnik und Informationstechnik

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3 Versuchsverzeichnis Spurensucher (ATP) Autonomes Fahrzeug (ATP) Quellenlokalisation mit Mikrofonarrays (AIKA) Auditive virtuelle Umgebung (AIKA) Ultraschallbildgebung praktische Aspekte (MT) Ultraschallbildgebung Signalverarbeitung (MT) Glasfaserübertragungsstrecke (PTT) OFDM (DKS) Digitale Modulation (DKS) Digitale Übertragungsstrecke (MCA) IT-V1 IT-V2 IT-V3 IT-V4 IT-V5 IT-V6 IT-V7 IT-V8 IT-V9 IT-V10

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5 Versuch IT-V1: Spurensucher Inhaltsverzeichnis 1 Ziel des Versuchs 2 2 Aufbau 2 3 Grundlagen Steuerung und Regelung Modell der Strecke Regelung ereignisdiskreter Systeme Vorbereitungsaufgaben 6 5 Praktikumsaufgaben Einstellungen und Programmstruktur Interface- und Fahrzeugtest Streckenmessung Spurensuche Vermessung einer Geraden und einer Schleife Hinweise zur Ausarbeitung Struktur der Ausarbeitung Wissenschaftliches Schreiben (einige Hinweise) IT-V1 1

6 1 Ziel des Versuchs In diesem Versuch soll ein Fischertechnik-Fahrzeug (siehe Abb. 1) so programmiert werden, dass es einer vorgegebenen schwarzen Spur folgt. Wenn der Spurensucher die Spur verlassen hat, soll er diese durch geeignete Fahrmanöver wiederfinden. Zusätzlich soll die Spur vermessen werden. Das Ziel des Versuchs ist es, Grundbegriffe und -prinzipien der Automatisierungstechnik kennenzulernen und diese auf ein einfaches technisches System anzuwenden. Abbildung 1: Spurensucher-Fahrzeug Die folgenden wichtigen Begriffe sollen im Rahmen des Versuchs kennengelernt und verstanden werden: Sensor Aktor Steuerung Regelung Nichtdeterministischer Eingangs-/Ausgangsautomat Verknüpfungssteuerung Ablaufsteuerung. 2 Aufbau Der Spurensucher verfügt über drei Räder, von denen sich zwei über die Motoren M1 und M2 getrennt voneinander ansteuern lassen. Das dritte Rad befindet sich im hinteren Teil des Fahrzeugs und läuft frei mit. An den beiden äußeren Rädern ist jeweils ein Taster verbaut, der pro Radumdrehung eine gewisse Anzahl von Impulsen erzeugt. Zusätzlich sind insgesamt sechs Fototransistoren vorhanden, die (mit einer Ausnahme) jeweils direkt neben einer Lampe platziert wurden. Im oberen Teil des Fahrzeugs befinden sich die Batterie sowie das ROBOInterface. Hierbei handelt es sich um ein Microcontrollerboard, auf das über eine USB-Schnittstelle vom IT-V1 2

7 PC aus Programme übertragen werden können. Außerdem verfügt das ROBOInterface über jeweils 8 Ein- und Ausgänge, an welche die zuvor beschriebenen Komponenten angeschlossen sind. Abbildung 2 zeigt die Zuordnung der verbauten Komponenten zu den entsprechenden Ein- und Ausgängen. Abbildung 2: Beschaltung des Spurensucher-Fahrzeugs Die vom Fahrzeug zu verfolgende Spur ist jeweils eine schwarze Linie auf weißem Grund von ca. 2 cm Breite. Es handelt sich dabei einerseits um eine Gerade, andererseits um eine Schleife. 3 Grundlagen 3.1 Steuerung und Regelung Prinzipiell unterscheidet man zwischen zwei Strukturen, in denen eine Automatisierungseinrichtung auf das zu beeinflussende technische System (Strecke) einwirken kann: Steuerung in der offenen Wirkungskette Regelung im geschlossenen Wirkungskreis. Abbildung 3 verdeutlicht den Unterschied zwischen den beiden Prinzipien. Bei Verwendung einer Steuerung in der offenen Kette gibt es keine Rückwirkung vom Ausgang der Strecke auf den Eingang der Steuerung. Stattdessen wird die Stellgröße auf Basis eines Modells der Strecke komplett im Voraus berechnet. Im Gegensatz dazu hat ein Regler Zugriff auf die gemessenen Werte der Strecke. Dadurch ist es ihm möglich, mit einem ungenauen Modell der Strecke zu arbeiten und auf die Strecke wirkende Störungen auszugleichen. Die Strecke lässt sich üblicherweise in drei Bereiche unterteilen: Aktoren IT-V1 3

8 Abbildung 3: Offene Wirkungskette (oben) und geschlossener Wirkungskreis (unten) System Sensoren. Abbildung 4 verdeutlicht diese Struktur. Die Aktoren dienen als Stellglieder mit denen die Steuerung bzw. der Regler das Verhalten des technischen Systems beeinflussen kann. Die Sensoren messen im System vorhandene physikalische Größen, um diese Informationen dem Regler zur Verfügung zu stellen. Abbildung 4: Strecke mit Aktoren und Sensoren 3.2 Modell der Strecke Abhängig davon, welches technische System betrachtet wird und welche Automatisierungsaufgabe gelöst werden soll, können unterschiedliche Modellformen zur Beschreibung des Verhaltens der Strecke genutzt werden. Prinzipiell unterscheidet man zwischen kontinuierlichen Systemen, in denen alle Signale reelle Werte annehmen, und ereignisdiskreten Systemen, in denen die Eingaben, Ausgaben und internen Zustände der Strecke aus Mengen diskreter Werte (z.b. {0, 1}) stammen. Darüber hinaus gibt es auch Mischformen, bezeichnet als hybride Systeme, die jedoch hier nicht weiter betrachtet werden sollen. In diesem Versuch wird der Spurensucher als ereignisdiskretes System modelliert. Eine Beschreibungsform für diese Systemklasse stellen die Eingangs-/Ausgangs-Automaten (E/A-Automaten) dar. Ein nichtdeterministischer E/A-Automat A wird durch das Tupel A = (Z, V, W, L, Z 0 ) beschrieben, mit Z - Zustandsmenge IT-V1 4

9 V - Menge der Eingaben W - Menge der Ausgaben L - Verhaltensrelation Z 0 - Menge der Anfangszustände. Die Verhaltensrelation L : Z W Z V {0, 1} beschreibt, von welchem Zustand z Z der Automat mit der Eingabe v V in welchen Nachfolgezustand z Z übergehen und dabei die Ausgabe w W erzeugen kann. Ist dieser Übergang möglich, so hat die Verhaltensrelation den Wert eins: L(z, w, z, v) = 1, andernfalls null. Der Automat heißt nichtdeterministisch, wenn man aus der Kenntnis des Anfangszustandes und der Folge von Eingangssignalen das Verhalten des Automaten nicht eindeutig vorhersagen kann. Der Automat, der den Spurensucher beschreibt, ist durch die folgenden Elemente definiert: Z = {Links, Mittig, Rechts, Links neben, Rechts neben} V = {Linkskurve, Geradeaus, Rechtskurve} W = {ss, sw, ws, ww} Z 0 = {Mittig} Die Zustände Links, Mittig, Rechts, Links neben und Rechts neben beschreiben, wo sich das Fahrzeug im Verhältnis zu der Spur, die es verfolgen soll, befindet. Durch die Eingaben Linkskurve, Geradeaus und Rechtskurve kann seine weitere Fahrtrichtung vorgegeben werden. Die Ausgaben zeigen die Messwerte der beiden Sensoren unter dem Fahrzeug an. Hier steht der Buchstabe w für weiß und s für schwarz. Die Ausgabe sw bedeutet demnach, dass der linke Sensor die Farbe schwarz und der rechte die Farbe weiß erkennt. Abbildung 5 zeigt den Automatengrafen des Spurensuchers. Er beschreibt die Verhaltensrelation L des Fahrzeugs. Die Knoten eines Automatengrafen entsprechen den Zuständen, während die Kanten die Zustandsübergänge mit den entsprechenden Ein- und Ausgaben symbolisieren. Anfangszustände (hier nur der Zustand Mittig ) werden durch einen zusätzlichen Pfeil gekennzeichnet. Befindet sich nun der Automat beispielsweise im Zustand Rechts und erhält die Eingabe Linkskurve, so geht er in den Zustand Mittig über und erzeugt die Ausgabe ss. Für das Fahrzeug bedeutet dies, dass es sich zunächst am rechten Rand der Spur befindet und den Befehl zum Fahren einer Linkskurve erhält. Dadurch kehrt es in die Mitte der Spur zurück, weswegen sich dann beide Sensoren über der schwarzen Spur befinden (ss). IT-V1 5

10 Geradeaus/ws Geradeaus/ws Linkskurve/ws Geradeaus/ss Geradeaus/sw Rechtskurve/sw Geradeaus/sw Linkskurve/ww Geradeaus/ww Links Mittig Rechts Rechtskurve/ss Linkskurve/ss Linkskurve/sw Links neben Rechtskurve/ws Linkskurve/ww Rechtskurve/ww Geradeaus/ww Rechtskurve/ww Geradeaus/ww Linkskurve/ww Rechtskurve/ww Geradeaus/ww Rechts neben Abbildung 5: Automatengraf des Spurensuchers 3.3 Regelung ereignisdiskreter Systeme Die Regelung ereignisdiskreter Systeme kann verschiedene Regelungsziele verfolgen, zum Beispiel: die Strecke soll einen vorgegebenen Endzustand erreichen die Strecke soll eine vorgegebene Zustandsfolge durchlaufen die Strecke darf die Zustände einer vorgegebenen Menge von verbotenen Zuständen nicht annehmen. Prinzipiell ist sowohl eine Steuerung in der offenen Wirkungskette als auch eine Regelung im geschlossenen Kreis möglich, um das gewünschte Regelungsziel zu erreichen. Man unterscheidet dabei zwischen zwei Arten von Reglern 1 : Verknüpfungssteuerungen ermitteln die Eingabe v(k) für die Strecke nur aus der aktuellen Ausgabe w(k) der Strecke Ablaufsteuerungen ermitteln die Eingabe v(k) für die Strecke aus den vorherigen Ausgaben und der aktuellen Ausgabe w(k) der Strecke, wofür ein interner Zustand z s (k) eingeführt wird. In diesem Versuch soll der Spurensucher einer vorgegebenen schwarzen Spur stets folgen. Deshalb ist das Regelungsziel für den Spurensucher der Verbleib im Zustand Mittig. 4 Vorbereitungsaufgaben Die folgenden Aufgaben sind im Vorfeld handschriftlich zu bearbeiten und zu Beginn des Praktikumsversuchs vorzuzeigen. 1. Sollte die Ansteuerung des Fahrzeugs zur Verfolgung der Spur durch eine Steuerung in der offenen Kette oder einen Regler erfolgen? Begründen Sie Ihre Antwort. 1 Aus historischen Gründen werden Regler für ereignisdiskrete Systeme häufig als Steuerung bezeichnet, obwohl sie im geschlossenen Wirkungskreis arbeiten IT-V1 6

11 2. Über welche Sensoren und Aktoren verfügt das Fahrzeug? 3. Die in Abb. 5 gezeigte Verhaltensrelation L des Automaten des Spurensuchers kann auch in Form einer Tabelle notiert werden. Vervollständigen Sie die Tabelle 1, wobei beispielhaft bereits eine Zeile für den Übergang vom Zustand Rechts in den Zustand Mittig mit der Eingabe Linkskurve und der Ausgabe ss eingetragen ist. 4. In welchen Zuständen kann sich der Automat zu den Zeitpunkten k = 1, 2, 3 befinden, wenn er die Eingabefolge V (0... 2) = (v(0), v(1), v(2)) = (Geradeaus, Rechtskurve, Linkskurve) erhält? Nehmen Sie an, dass der Spurensucher zu Beginn in der Mitte der schwarzen Spur steht. 5. Definieren Sie eine Verknüpfungssteuerung für den Spurensucher indem Sie eine Tabelle aufstellen, welche jede Ausgabe w W des Spurensuchers mit einer Eingabe v V verknüpft, sodass das Regelungsziel erreicht wird. z w z v Mittig ss Rechts Linkskurve Tabelle 1: Verhaltensrelation L des Spurensuchers IT-V1 7

12 5 Praktikumsaufgaben 5.1 Einstellungen und Programmstruktur Die Programmierung des ROBO-Interface erfolgt über die Software ROBOPro. Der Zugriff auf Programmelemente ist in ROBOPro durch das eingestellte Level beschränkt. In diesem Praktikum muss in der ROBOPro-Software im Menü Level der Punkt Level 3: Variablen ausgewählt werden. Weiterhin muss als Umgebung das ROBO Interface benutzt werden. Unter der Schaltfläche Schnittstellenoptionen muss USB/Bluetooth als Schnittstelle ausgewählt und ebenfalls der Punkt ROBO Interface markiert werden. In Abb. 6 ist die für diesen Versuch vorgegebene Programmstruktur aus ROBOPro dargestellt. Diese besteht aus dem Unterprogramm der Strecke und einem Unterprogramm für die Steuerung. Abbildung 6: Programmstruktur in ROBOPro 5.2 Interface- und Fahrzeugtest Es ist ein Interface- und Fahrzeugtest durchzuführen. Zu diesem Zweck wird das ROBO- Interface per USB an den PC angeschlossen und der Interface-Test der ROBOPro- Software verwendet. 1. Es sollen die Reaktionen von Aktoren und Sensoren auf verschiedene Eingaben getestet werden. Dazu sind die folgenden Fragen zu beantworten: a) Wie reagieren die Fotodioden, wenn man sie ins Licht hält? Mit einer 1 am Ausgang (entspricht Haken im Interfacetest), oder mit einer 0 am Ausgang? (Hinweis: Nehmen Sie die Lampe ab und halten Sie diese vor die Fotodiode. Die Beleuchtung des Praktikumsraums könnte nicht ausreichend sein.) b) Das Modell ist auf weißes Papier zu stellen. Wie reagieren die Sensoren auf einbzw. ausgeschaltetes Licht? 2. Es sollen zwei Ablaufprogramme zur Steuerung der Strecke im Unterprogramm Steuerung entworfen werden. IT-V1 8

13 a) Das Fahrzeug soll sich zunächst vorwärts und dann nach 3 Sekunden rückwärts bewegen. b) Das Fahrzeug soll sich im Kreis bewegen. c) Werden die Ausgaben der Strecke benötigt? Handelt es sich um eine Steuerung in der offenen Wirkungskette oder um einen geschlossenen Wirkungskreis? 5.3 Streckenmessung 1. Das Programm für die Vorwärtsfahrt ist so zu erweitern, dass der Roboter genau 40 Impulse, gemessen mit dem Taster am linken Rad, geradeaus fährt. Welche Einstellung der Tasterabfrage ergibt die größte Genauigkeit? Begründen Sie die Antwort und verwenden Sie diese Einstellung für die folgenden Versuche. 2. Führen Sie den Versuch 3 Mal durch und messen Sie jeweils die zurückgelegte Strecke. Versuch 1 40 Versuch 2 40 Versuch 3 40 Anzahl Impulse Strecke Strecke pro Impuls 3. Wie viele Impulse werden pro Radumdrehung erzeugt? Damit ist der Umfang des Rades zu bestimmen. 5.4 Spurensuche Es ist ein Programm zu erstellen, das sicherstellt, dass das Fahrzeug einem vorgegebenen schwarzen Strich folgt. Dazu sind zwei Regler zu entwerfen und die zuvor gesammelten Erkenntnisse über die Fotodioden anzuwenden. 1. Implementieren Sie eine Verknüpfungsteuerung in dem Unterprogramm Steuerung. Verwenden Sie dazu die Tabelle aus der Vorbereitungsaufgabe Erweitern Sie die Verknüpfungssteuerung zu einer Ablaufsteuerung. a) Führen Sie dafür eine globale Variable ein, die speichert auf welcher Seite das Fahrzeug von der Linie abgekommen ist. Nutzen Sie diese Variable für die Realisierung der Ablaufsteuerung. b) Zeichnen Sie den E/A-Automaten der Ablaufsteuerung. IT-V1 9

14 Hinweise: Die Lampe und die Dioden müssen richtig ausgerichtet sein, damit der Unterschied zwischen schwarzem Strich und weißem Papier ausreichend gut gemessen werden kann. Am Anfang sollte eine sehr kleine Geschwindigkeit der Motoren eingestellt werden, da es bei hohen Geschwindigkeiten sein kann, dass die Regelung trotz erkanntem Dunkel-Hell-Übergang, nicht schnell genug reagieren kann, bevor das Fahrzeug die Spur ganz verliert. 5.5 Vermessung einer Geraden und einer Schleife 1. Das Programm zur Spurensuche ist so zu erweitern, dass nun zwei Zähler im Online- Modus die Impulse an den Tastern mitzählen können. Hierfür ist im Programm eine Variable zu implementieren. 2. Vermessen Sie die Gerade. a) Wie viele Impulse hat das Programm gezählt? b) Wie lang ist damit die Strecke? 3. Vermessen Sie die Schleife. Wie lang ist eine Runde? Diskutieren Sie Ihre Ergebnisse. Entsprechen die gemessenen Werte den erwarteten? Gibt es Abweichungen zwischen Realität und Messung und warum? 6 Hinweise zur Ausarbeitung Jeder Student muss eine eigene Ausarbeitung anfertigen. Ausarbeitungen die komplett oder teilweise von anderen Studenten oder aus der Versuchsbeschreibung abgeschrieben wurden, werden nicht akzeptiert. 6.1 Struktur der Ausarbeitung 1. Einleitung Aufgabenstellung (kurz zusammengefasst) Versuchsaufbau (Geräte / Software / Anlage etc.) Ziel des Versuchs (nicht die Aufgabe beschreiben, sondern theor. / prakt. Lernziele) 2. Versuchsdurchführung und Ergebnisse Aufgabenstellung jeweils kurz nennen Programme ausdrucken und erläutern Wichtige Einstellungen erläutern Diskussion des Resultats! 3. Zusammenfassung Kurz: Was wurde bearbeitet mit welchem Ziel und welchem Resultat IT-V1 10

15 6.2 Wissenschaftliches Schreiben (einige Hinweise) Keine Umgangssprache verwenden (Nicht das Fahrzeug auf die Strecke getan ). Ganze Sätze schreiben. Kein ich, wir oder unser verwenden, stattdessen im Passiv schreiben. Formeln absetzen und korrekte Symbole verwenden (z.b. nicht statt ). Abbildungen nummerieren und beschriften (z.b. Abbildung 1: Spurensucher ). Auf alle Abbildungen im Text verweisen ( In Abb. 1 sieht man... ). Neue Abkürzungen zunächst einführen. IT-V1 11

16 Versuch IT-V2: Autonomes Fahrzeug Inhaltsverzeichnis 1 Ziel des Versuchs 2 2 Vorbereitungsaufgaben Physikalische Modellbildung Reglerentwurf Versuchsaufgaben Parameteridentifizierung des Modells der Regelstrecke Implementierung des Reglers und Analyse des geschlossenen Regelkreises Fahrmanöver: Fahren eines Rechtecks Ausarbeitung 7 IT-V2 1

17 1 Ziel des Versuchs In diesem Versuch soll das in Abbildung 1(a) gezeigte Fahrzeug so programmiert werden, dass verschiedene Fahrmano ver (z.b. Geradeausfahrt und Kurvenfahrt) durchgefu hrt werden ko nnen. Dazu wird ein Regler entworfen, der bei geeigneter Wahl der Sollwerte, fu r die erfolgreiche Durchfu hrung eines vorgegeben Fahrmano vers sorgt. Die theoretischen Grundlagen, die fu r diesen Versuch beno tigt werden, ko nnen zum Beispiel in der Vorlesung Automatisierungstechnik gewonnen werden. Im Fokus steht die Beschreibung und das Verhalten kontinuierlicher Systeme sowie dessen Stabilita tsanalyse. Bevor das zu automatisierende System die gewu nschte Funktion selbsta ndig ausfu hrt, mu ssen die folgenden Aufgaben gelo st werden: 1. Physikalische Modellbildung 2. Identifizierung der Modellparameter 3. Analyse der Regelstrecke 4. Auswahl einer geeigneten Reglerstruktur 5. Parametrierung des Reglers 6. Analyse des geschlossenen Regelkreises 7. Implementierung des Reglers im Experiment 8. Evaluation der Ergebnisse 9. Dokumentation der Ergebnisse In diesem Versuch haben Sie die Mo glichkeiten diese Punkte kennenzulernen. y(t) (a) Foto des Fahrzeugs (b) Beschaltung des Fahrzeugs Abbildung 1: Fahrzeug von Fischertechnik IT-V2 2

18 2 Vorbereitungsaufgaben Die folgenden Aufgaben sind als Vorbereitung auf das Praktikum zu lösen und von Ihnen handschriftlich an dem Versuchstag mitzubringen. Die Vorbereitungsaufgaben können nicht während des Versuchs gelöst werden. 2.1 Physikalische Modellbildung Zunächst wird ein physikalisches Modell des Fahrzeugs benötigt. Bevor die eigentliche Modellierung stattfindet, macht es jedoch Sinn sich zunächst über das grundlegende Verhalten einige Gedanken zu machen. 1. Wie können Sie das Fahrzeug geradeaus fahren lassen? Wie lassen Sie es eine Linkskurve oder eine Rechtskurve fahren? Wie beeinflussen Sie den Kurvenradius? Für die weitere Beschreibung wird die Winkelgeschwindigkeit ω 1 (t) des Motors M1 (siehe Abbildung 1(b)) und die Winkelgeschwindigkeit ω 2 (t) des Motors M2 als Summe zweier Größen beschrieben: ω 1 (t) = ω 0 + ω(t) ω 2 (t) = ω 0 ω(t) Die konstante Größe ω 0 dient dazu, die Geschwindigkeit des Fahrzeugs zu bestimmen. Durch die zeitabhängige Größe ω(t) wird das Fahrzeug gedreht. Diese Größe wird später als Stellgröße u(t) genutzt, d.h. u(t) = ω(t). Während des Versuchs geht es hauptsächlich um die Geradeausfahrt des Fahrzeugs. In Abbildung 1(b) ist die Beschaltung des Fahrzeugs mit den Motoren, Tastern, Lampen und Fotodioden gezeigt. An den Motoren M1 und M2 befinden sich die Taster I7 und I6, die die Drehung des jeweiligen Rades messen. Diese Taster können genutzt werden, um die rotatorische Auslenkung φ(t) des Fahrzeugs (d.h. Winkel des Fahrzeugs) zu bestimmen. Wichtig ist: Das Fahrzeug fährt geradeaus, wenn φ(t) = 0 gilt und damit ist φ(t) die Regelgröße, d.h. y(t) = φ(t). Insgesamt bedeutet das: Der Eingang u(t) der Regelstrecke ist proportional zur Winkelgeschwindigkeit mit der sich das Fahrzeug dreht. Der Ausgang y(t) der Regelstrecke ist der Winkel des Fahrzeugs. Aus der Physik ist bekannt, dass die Winkelgeschwindigkeit die zeitliche Ableitung des Winkels ist. Damit ergibt sich das Modell der Regelstrecke zu ẋ(t) = b u(t), x(0) = x 0 y(t) = x(t). (1) Es ist zu beachten, dass das Modell (1) ausschließlich das rotatorische Verhalten beschreibt. Der Faktor b beschreibt die Proportionalität zwischen dem Eingang u(t) und der Winkelgeschwindigkeit φ(t), der während des Versuchs experimentell bestimmt wird. IT-V2 3

19 2. Nehmen Sie für die Vorbereitung b = 0,35 und x(0) = 0 an und zeichnen Sie den Ausgang y(t) des Systems, wenn Sie am Eingang folgendes Signal verwenden: { 4 für t 0 s u(t) = 0 sonst Tipp: Lösen Sie die Differentialgleichung oder berechnen Sie die Bewegungsgleichung. 3. Ist die Regelstrecke (1) mit den Parametern aus der vorherigen Aufgabe stabil? Wie überprüfen Sie generell ein System auf Stabilität? 4. Während des Versuchs müssen Sie selbst eine Sprungantwort aufnehmen und daraus auf den Faktor b schließen. Überlegen Sie, wie b die Sprungantwort beeinflusst und wie Sie aus einer gemessen Sprungantwort auf b schließen können? Tipp: Lösen Sie die Differentialgleichung oder berechnen Sie die Bewegungsgleichung mit b als variable Größe. 2.2 Reglerentwurf Für die Regelstrecke (1) soll nun ein Regler entworfen werden, der den Ausgang y(t) auf einen gewünschten Sollwert w(t) regelt. 5. Zeichnen Sie den Standardregelkreis und beschriften Sie diesen vollständig. Als Regler soll nun ein P-Regler verwendet werden. Zur Erinnerung: Ein P-Regler bildet das aktuelle Stellsignal nur auf Basis der aktuellen Regeldifferenz. Allgemein berechnet sich das Stellsignal dann zu u(t) = k p (y(t) w(t)), (2) wobei k p den Regler parametriert. 6. Stellen Sie das Modell des geschlossenen Regelkreises auf, dass sich aus der Regelstrecke (1) und dem Regler (2) ergibt. 7. Können Sie die Regelstrecke mit einem P-Regler (Proportionalregler) stabilisieren? Wenn ja, für welche Reglerparameter ist dies möglich? Tipp: Untersuchen Sie das Modell des geschlossenen Regelkreises auf Stabilität. 8. Wird ein konstanter Sollwert { w für t 0 s w(t) = 0 sonst ohne bleibende Regelabweichung angenommen? Tipp: Untersuchen Sie was passiert, wenn sich der Regelkreis im eingeschwungenen Zustand befindet, d.h. ẋ = 0. IT-V2 4

20 3 Versuchsaufgaben In dem praktischen Teil des Versuchs geht es darum, Ihre Erkenntnisse aus der Vorbereitung zu verifizieren und verschiedene Experimente durchzuführen. 3.1 Parameteridentifizierung des Modells der Regelstrecke Die Regelstrecke haben Sie mit Hilfe der Physik bereits qualitativ beschrieben. Jetzt müssen Sie die unbekannten Parameter identifizieren. Eine Möglichkeit hierzu sind sogenannte Sprungversuche durchzuführen. 1. Geben Sie folgenden Sprung auf Ihre Regelstrecke, d.h. { 4 für t 0 s u(t) = 0 sonst und messen den Ausgang y(t). Dazu gehen Sie wie folgt vor: Öffnen Sie die Datei sprungversuch.rpp mit RoboPro. Passen Sie die Datei (falls nötig) an und laden Sie sie anschließend auf das Fahrzeug. Lassen Sie das Fahrzeug für etwa 10 Sekunden im Onlinemodus fahren. Die Messwerte des Ausgangs werden in der Excel-Datei sprungversuch.xlsx gespeichert. 2. Öffnen Sie die Messwerte mit Excel und zeichnen Sie die Sprungantwort. Stimmt Ihr Modell der Regelstrecke qualitativ mit der realen Regelstrecke überein? Das heißt, passt die Sprungantwort qualitativ? Nutzen Sie Ihr Ergebnis aus der Vorbereitungsaufgabe 4 und bestimmen Sie mit Hilfe des Verlaufs von y(t) den unbekannten Parameter b. Wie lautet das vollständige Modell der Regelstrecke? 3.2 Implementierung des Reglers und Analyse des geschlossenen Regelkreises Nun soll der von Ihnen entworfene Regler implementiert werden. Außerdem wird der Einfluss des Reglerparameters k p auf das Verhalten des geschlossenen Regelkreises untersucht. 3. Nutzen Sie das Programm geradeausfahrt-regelung-sollwert-konstant.rpp zur Lösung dieser Aufgabe. Untersuchen Sie das Verhalten des Fahrzeugs bei Geradeausfahrt für verschiedene Reglerparameter k p. Ist der von Ihnen in der Vorbereitungsaufgabe 7 berechnete Stabilitätsbereich korrekt? Tipp: Testen Sie zum Beispiel das Verhalten für k p = 1, k p = 1 und k p = Wählen Sie einen Reglerparameter k p, der für eine Ihrer Meinung nach gute Geradeausfahrt sorgt. Implementieren Sie den Regler und lassen Sie das Fahrzeug geradeaus fahren. Wie gut fährt Ihr Fahrzeug geradeaus? Messen Sie den seitlichen Versatz auf eine Entfernung von z.b. vier Metern. IT-V2 5

21 Es stellt sich die Frage, ob eine Regelung für die Geradeausfahrt überhaupt benötigt wird oder ob eine Steuerung ausreicht. Zur Erinnerung: Die Steuerung nutzt, im Gegensatz zur Regelung, nicht den gemessenen Ausgang y(t) der Regelstrecke, sondern berechnet das Stellsignal u(t) nur auf Basis des Modells der Regelstrecke. 5. Was glauben Sie: Welchen seitlichen Versatz hat Ihr Fahrzeug auf die gleiche Entfernung wie in der Versuchsaufgabe 4, wenn Sie die Motoren M1 und M2 mit der gleichen Geschwindigkeit drehen lassen? Lassen Sie nun die Motoren M1 und M2 beide mit der gleichen Geschwindigkeit drehen, zum Beispiel ω 0 = 4. Öffnen Sie dazu das Programm geradeausfahrt-steuerung.rpp. Messen Sie nun den tatsächlichen seitlichen Versatz? Gibt es Unterschiede zwischen der Geradeausfahrt mit Regler und mit Steuerung? Wenn ja, welche sind das und wie erklären Sie sich diese? 3.3 Fahrmanöver: Fahren eines Rechtecks In den vorherigen Aufgaben haben Sie ein detailliertes Verständnis der Regelstrecke erhalten und außerdem einen Regler entworfen, der das Fahrzeug geradeaus fahren lässt. Durch Wahl des Sollwertes w(t) können Sie das Fahrzeug eine bestimmte Form fahren lassen. 6. Untersuchen Sie zunächst wie sich das geregelte Fahrzeug verhält, wenn Sie verschiedene konstante Sollwerte einstellen. Nutzen Sie für diese Aufgabe das Programm geradeausfahrt-regelung-sollwert-sprung.rpp. Nutzen Sie Ihre Ergebnisse, um rechnerisch zu bestimmen, bei welchen Sollwerten Ihr Fahrzeug eine 90 -, 180 -, und 360 -Rechtskurve fährt. Geben Sie die von Ihnen berechneten Sollwerte nacheinander auf das Fahrzeug und beobachten Sie das Verhalten. Sie können hierfür das RoboPro Programm geradeausfahrt-regelung-sollwert-liste.rpp benutzen. Fährt Ihr Fahrzeug die gewünschte Form? IT-V2 6

22 4 Ausarbeitung Die Erkenntnisse die Sie während der Vorbereitung und auch während des Versuchs gewonnen haben, müssen Sie dokumentieren. Jeder Studierende fertigt eine eigene Ausarbeitung an. Dabei ist folgende Strukturierung unbedingt einzuhalten: 1. Einleitung (max. 1 Seite) a) Aufgabenstellung / Ziel des Versuchs b) Versuchsaufbau (Geräte, Software, Anlage, usw.) 2. Versuchsvorbereitung (max. 3 Seiten) a) Beantwortung der Vorbereitungsaufgaben 3. Versuchsdurchführung (max. 4 Seiten) a) Aufgabenstellung jeweils kurz nennen. b) Wenn vorhanden, Programme ausdrucken und erläutern. c) Beantworten der Versuchsfragen / Diskussion des Resultats. 4. Zusammenfassung (max. 1 Seite) a) Kurz die Aufgabe wiederholen. b) Erläutern Sie die wichtigsten Resultate. Zusätzlich zu obiger Strukturierung sollten Sie folgende Hinweise beachten, die die Grundlage des wissenschaftlichen Schreibens sind. Verwenden Sie keine Umgangssprache, z.b. wie man sieht. Schreiben Sie ganze Sätze. Schreiben Sie nicht in der 1.Person, z.b. ich oder wir. Nummerieren und beschriften Sie Abbildungen, z.b. Abbildung 1: Beschaltung des Fahrzeugs. Verweisen Sie auf und erläutern Sie alle Abbildung im Text, z.b. In Abbildung 1 ist die Beschaltung des... gezeigt. Verwenden Sie die Fachsprache korrekt. IT-V2 7

23 Î Ö Ù ÁÌ¹Î ÉÙ ÐÐ ÒÐÓ Ð Ø ÓÒ ÙÒ Å ÖÓ ÓÒ ÖÖ Ý ÁÒ ÐØ Ú ÖÞ Ò ½ ÒÐ ØÙÒ ¾ ¾ ÖÙÒ Ð Ò Ö ÉÙ ÐÐ ÒÐÓ Ð Ø ÓÒ ¾ ¾º½ Ë Ò ÐÑÓ ÐÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÉÙ ÐÐ ÒÐÓ Ð Ø ÓÒ Ñ Ø ÞÛ Å ÖÓ ÓÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º Ï Ò Ö ÐØ Ö ÙÒ ÆÄÅË¹ Ð ÓÖ Ø ÑÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÔØ Ú ÁÊ Ï Ò Ö ÐØ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÄÅË¹ ÙÒ ÆÄÅË¹ Ð ÓÖ Ø Ñ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÎÓÑ Ð ÓÖ Ø ÑÙ ÞÙÖ ØÞ Ø¹ ÒÛ Ò ÙÒ º½ ËÈ¹ Ó Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾ ÎÓÒ Ë ÑÙÐ Ò ÞÙ ¹ Ó º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º Ñ Á Ä Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ Ù Ò ½¾ º½ ÎÓÖ Ö Ø Ò Ù Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¾ º¾ Å Ù Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Ä Ø Ö ØÙÖÚ ÖÞ Ò ½ ÁÌ¹Î ¹ ½

24 ½ ÒÐ ØÙÒ ÉÙ ÐÐ ÒÐÓ Ð Ø ÓÒ Ø Ù Ò ÇÖØ Ò Ö Ó Ö Ñ Ö Ö Ö Ù Ø Ö ÉÙ ÐÐ Ò ÞÙ ÒØ Þ Ö Òº ÉÙ ÐÐ Ò ÒÒ Ò Ò Ò Ñ Ù Ø Ö Ø Ö Ò Ò Ê ÙÑ Û Þº º Ò ÏÓ ÒÞ ÑÑ Ö Ó Ö Ò ÖÓÖ ÙÑ Ó Ö Ñ Ö Ð Ò Ò ÛÓ Ò Ó Ö ÒÙÖ Û Ò Ê Ü ÓÒ Ò Ù ØÖ Ø Òº ÉÙ ÐÐ ÒÐÓ Ð Ø ÓÒ ÒØ Ñ Ø ÞÙ Û Ø Ö Ò ÐØ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ò Ñ Ø Ê ØÙÒ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÞÙ Ú Ö ÓÖ Òº Å Ø Ò Ö ÒÓÖ ÒÙÒ Ù ÞÛ Ó Ö Ñ Ö Å ÖÓ ÓÒ Ò Å ÖÓ ÓÒ ÖÖ Ýµ ÙÒ ÒØ ÔÖ Ò Ö Ë Ò ÐÚ Ö Ö ØÙÒ Û Ö Ñ Ð Ò Ö ÙÑÖ ØÙÒ Ò ÑÔ Ò Ð Ø Å ÖÓ ÓÒ ÖÖ Ý ÞÙ Ö Ð Ö Òº À ÖÑ Ø ÒÒ ÔÖ ÒÞ Ô ÐÐ Ò Ó ÑÔ Ò Ð Ø Ò Ê ØÙÒ Ò Ö Ó Ö Ñ Ö Ö Öµ Û Ò Ø Ö ÉÙ ÐÐ Ò Ò Ø ÐÐØ Û Ö Ò Û Ö Ò Ù Ø ËØ ÖÕÙ ÐÐ Ò Ù Ò Ö Ò Ò ÐÐ Ö ØÙÒ Ò ÑÔ Ø Û Ö Òº Î ÖÛ Ò ÙÒ ÚÓÒ Å ÖÓ ÓÒ ÖÖ Ý Û Ö Ò ÙÐ Ù Ð ¹ Ñ ÓÖÑ Ö Þ Ò Ø Û Ð Ö ÒÒ Ð Ð Ò ËØÖ Ð Ù Ø Ö ÑÔ Ò Ð Ø Ò Ò Ê ÙÑ Ø Ù ÖØ Û Ö Ò ÒÒº Ê ØÙÒ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ù Ö ÉÙ ÐÐ ÒÐÓ Ð Ø ÓÒ ÒÒ Ö ÞÙÖ ÔØ Ú Ò ËØ Ù ÖÙÒ Ñ ÓÖÑ Ö Ò ØÞØ Û Ö Òº ÁÒ Ñ Î Ö Ù Û Ö Ò Ë Ñ Ø Ò ÖÙÒ ÔÖ ÒÞ Ô Ò ÙÒ À Ö Ù ÓÖ ÖÙÒ Ò Ö ÉÙ ÐÐ ÒÐÓ Ð Ø ÓÒ Ò Ö Ü ÓÒ Ö Ö ÙÒ Ò Ö Ü ÓÒ Ø Ø Ö ÍÑ ÙÒ Ú ÖØÖ ÙØ Ñ Òº Ë Ð ÖÒ Ò Ò ÓÒ Ö Ø Î Ö Ö Ò ÞÙÖ ÉÙ ÐÐ ÒÐÓ Ð Ø ÓÒ ÒÒ Òº ÁÑ Î Ö Ù Û Ö Ò Ë Ò Ð ÓÖ Ø ÑÙ ÞÙÒ Ø Ò Ö Ë ÑÙÐ Ø ÓÒ ÙÑ ÙÒ Ë ÑÙÐ Ò ÖØ Ø ÐÐ Ò ÙÒ ÙÒØ Ö Ù Ò ÚÓÖ Ë Ò ÒÒ Ò Ç Ø¹ Ó Ö ØÞ Ò Ù Ò Ò Ë Ò ÐÔÖÓÞ ÓÖ Ð Ò ÙÒ Ð ØÞ ØÔÖÓ Ö ÑÑ Ø Ø Òº ¾ ÖÙÒ Ð Ò Ö ÉÙ ÐÐ ÒÐÓ Ð Ø ÓÒ ¾º½ Ë Ò ÐÑÓ ÐÐ Ð ½ Þ Ø ÅÓ ÐÐ Ö ÉÙ ÐÐ ÒÐÓ Ð Ø ÓÒ ÁÒ Ò Ñ Ê ÙÑ Ò Ø Ò Ö ËØ ÐÐ r s Ò ÉÙ ÐÐ Ö Ò Ö Ø ÐÐ ÙÒ Ö Ø ÖØ Ö Ë ÐÐ ÚÓÒ M Å ÖÓ ÓÒ Ò Ù ÒÓÑ¹ Ñ Ò Û Ö º Ë Ò Ð Ò Ð Å ÖÓ ÓÒ m ÖÖ Ø ÒÒ Ð Þ Ø ÓÒØ ÒÙ ÖÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ø ÐÐØ Û Ö Ò y m (t) = a m (t) s 0 (t). ½µ À Ö Þ Ò Ø s 0 (t) ÉÙ ÐÐ Ò Ò Ð Û Ñ ÇÖØ Ö ÉÙ ÐÐ Ù Ò Ø Û Ö ÙÒ a m (t) Ê ÙÑ ÑÔÙÐ ÒØÛÓÖØ ÚÓÑ ÇÖØ Ö ÉÙ ÐÐ ÞÙÑ Å ÖÓ ÓÒ mº Ê ÙÑ Ñ¹ ÔÙÐ ÒØÛÓÖØ Û Ö Ö Ñ Ø Ñ ÉÙ ÐÐ Ò Ò Ð ÐØ Ø ÇÔ Ö ØÓÖ µ ÙÒ ÑÓ ÐÐ ÖØ Ö ÐØ ÖÙÒ Û Ð ÉÙ ÐÐ Ò Ò Ð Ù ÖÙÒ Ö Ê ÙÑÖ Ü ÓÒ Ò Ù Ñ Ï ÞÙÑ Å ÖÓ ÓÒ Ö ÖØº Ê ÙÑ ÑÔÙÐ ÒØÛÓÖØ Ø Ñ ÐÐ Ñ Ò Ò ÐÐ Ò Þ ØÚ Ö Ð Ö Ú ÖÒ ÖØ Û ÒÒ Ô Ð Û ÉÙ ÐÐ Û Øº ÁÑ ÓÐ Ò Ò Ò Û Ö ÚÓÒ Ø Ø Ø Ò Ë Ò Ð Ò Ù ÙÒ Ö ØÞ Ò Ö ÓÒØ ¹ ÒÙ ÖÐ Ò Ø ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÙÖ Ö Ø Ø Ø Ò Î Ö ÓÒ Òº Ô Ð Û ÔÔÖÓÜ Ñ Ö Ò Û Ö Ê ÙÑ ÑÔÙÐ ÒØÛÓÖØ ÙÖ Ò Ò Î ØÓÖ Ö ÄÒ L º º a m = (a m (0), a m (1),..., a m (L 1)) T, ¾µ ÛÓ a m (k) Ø Ø Ø Ê ÙÑ ÑÔÙÐ ÒØÛÓÖØ ÞÙÑ Ö Ø Ò ØÔÙÒ Ø k/f A Þ Ò Ø f A Ø Ø ØÖ Ø ÙÒ Ó Ø ÐÐØ T ÒÒÞ Ò Ø ÌÖ Ò ÔÓÒ ÖÙÒ Î ØÓÖ º ÁÌ¹Î ¹ ¾

25 r s r 1 Ö Ø ÐÐ Ê Ü ÓÒ Ò r m r M e y e x Ð ½ Ë Ò ÐÑÓ ÐÐ Ò Ö Ö Ü ÓÒ Ø Ø Ò ÍÑ ÙÒ º Ö m¹ø Å ÖÓ ÓÒ Ò Ð ÐØ ÒØ ÔÖ Ò y m (k) = a T ms 0 (k) µ s 0 (k) = (s 0 (k), s 0 (k 1),..., s 0 (k L 1)) T. µ ¾º¾ ÉÙ ÐÐ ÒÐÓ Ð Ø ÓÒ Ñ Ø ÞÛ Å ÖÓ ÓÒ Ò Ï Ö Ò Å ÖÓ ÓÒ Ñ ÐÐ Ñ Ò Ò ÐÐ Ð Ñ Ê ÙÑ Ú ÖØ ÐØ Ò Ö Ò ØÖ ¹ Ø Ò Û Ö Ñ ÓÐ Ò Ò Ò ÐÐ Ò Ð Ò Ö Ò ÖÖ Ý Ø Ò Ù M = 2 Å ÖÓ ÓÒ Ò Û Ð ÞÙ ÑÑ Ò Ñ Ø Ö ÉÙ ÐÐ Ò Ö ÙÖ Ò Ø Ú ØÓÖ Ò e x ÙÒ e y Ù Ô ÒÒØ Ò Ò Ð ½µ Ð Òº Ê Ü ÓÒ ÖÑ ÍÑ ÙÒ Ê Ü ÓÒ ÖÑ ÍÑ ÙÒ Ò Û Þº º Ù Ò Ñ Ò Ø Ò Û Ø Ò Ð Ù ØÖ Ø Ò Û Ö Ò Ù Ú Ö Ò Ò Ð Ö Ü ÓÒ Ö Ò ÒÓÑÑ Òº ØÖ ØØ Ö ÒÙÖ Ö Ø ÐÐ Ù º ÁÒ Ñ ÐÐ Ö Ø Ê ÙÑ ÑÔÙÐ ÒØÛÓÖØ a m Ò Î ÖÞ ÖÙÒ τ m ÙÒ Ò ÑÔ ÙÒ b m Ù ÖÙÒ Ø Ò Å ÖÓ ÓÒ ÚÓÒ Ö ÉÙ ÐÐ ÞÙ Ø Ò ÓÑÑØ y m (k) = b m δ(τ m ) s 0 (k) µ = b m s 0 (k τ m ). µ ÁÒ ÓÒ Ö ØÖ ØØ Ö Ò ÐØ ÖÛ Ö ÙÒ Ù ÖÙÒ ÚÓÒ Ê Ü ÓÒ Ò Ù º Á Ø Ñ Ò ÓÒ Å ÖÓ ÓÒ ÖÖ Ý Û ÒØÐ Ð Ò Ö Ð Ò Ø Ò ÞÙÖ Ë ÐÐÕÙ ÐÐ Ó ÒÒ Ñ ÖÖ Ý Ò ÓÑÑ Ò Ï ÐÐ Ò ÖÓÒØ Ò ÖÙÒ Û Ð Ò Ï ÐÐ Ò ÖÓÒØ ØÖ Ø Ø Û Ö Ò ÁÌ¹Î ¹

26 r s c T d ò y 2 (k) y 1 (k) Ð ¾ Ì Ñ Ð Ý Ç ÖÖ Ú Ð Ì Ç µ T ÙÒØ Ö ÖÒ Ð ÒÒ Ñ º c Þ Ò Ø Ë ÐÐ ¹ Û Ò Ø Ò ÄÙ Ø ÙÒ d Ò Ø Ò Ö Å ÖÓ ÓÒ º s 0 (k) y 1 (k) T e(k) y 2 (k) Ð ÉÙ ÐÐ ÒÐÓ Ð Ø ÓÒ Ò Ö Ü ÓÒ ÖÑ Ö ÍÑ ÙÒ º Ö ÐÓ Ì Ø ÐÐØ Ò Ò Ø ÐÐ Ö Î ÖÞ ÖÙÒ Ð Ñ ÒØ Öº ÖÒ Ð ÒÒ Ñ Ð ¾µº Ù Ö Ñ Û Ö Ú Ö Ò Ò Ò ÒÓÑÑ Ò ÑÔ¹ ÙÒ Ø ÖÑ Ö Å ÖÓ ÓÒ Ò Ð Ð ÖÓ Ò b 1 = b 2 µº ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ö Ê ÙÑÖ ØÙÒ θ Ù Ö Ò Ë ÐÐÕÙ ÐÐ Ù Å ÖÓ ÓÒ ÖÖ Ý ØÖ ÐØ Ö Ø ÓÒ Ç Ö¹ Ö Ú Ð Ç µ Ø ÑÔÐ Þ Ø Ñ Ä Ù Þ ØÙÒØ Ö Ì Ñ Ð Ý Ç ÖÖ Ú Ð Ì Ç µ ÞÛ Ò Ò Ë Ò Ð Ò Ò Å ÖÓ ÓÒ ½ ÙÒ ¾ ÒØ ÐØ Òº Ë ÒÒ ÒÒØ Ñ Ì Ç ÙÒ ÒÒØ Ñ Å ÖÓ ÓÒ Ø Ò d Ö Ò Ø Û Ö Ò º ÚÓÖ Ö Ø Ò Ù Òµº ÁÑ Ö Ü ÓÒ Ö Ò ÐÐ ÒÒØ Ð Ó Ñ Ø Ò Ñ Ú Ö Ð Ò Î ÖÞ ÖÙÒ Ð T Î ÖÞ ÖÙÒ ÖÑ ØØ ÐØ Û Ö Ò Ö Ä ØÙÒ Ö ÒÞ Ò Ð Ö Å ÖÓ ÓÒ Ñ Ò Ñ Ð Û Ö Ð Ó Ø Ø Ð ÞÛ Ò Ò Ë Ò Ð Ò ÚÓÖÐ Ò Î ÖÞ ÖÙÒ ÚÓÐÐ ØÒ ÓÑÔ Ò ÖØ Û Ö Ð µº Ù Ö Ó ÖÑ ØØ ÐØ Ò Ì Ç Û Ö ÒÒ Ç θ ÖÖ Ò Øº ÁÌ¹Î ¹

27 s 0 (k) y 1 (k) w e(k) y 2 (k) Ð ÉÙ ÐÐ ÒÐÓ Ð Ø ÓÒ Ò Ö Ü ÓÒ Ø Ø Ö ÍÑ ÙÒ º Ò Ø ÐÐ Ò Î ÖÞ ÖÙÒ Ð Ñ Ò¹ Ø Ö ÒØ Ö ÒØ Ö Ñ Ó Ö Ò Å ÖÓ ÓÒ Ò ÐØ Ö w Ò ÃÓ Þ ÒØ Ò ÔØ Ú Ó Ò Ø ÐÐØ Û Ö Ò Ö Ñ ØØÐ Ö Ð Ö ÞÛ Ò Ó Ö Ò ÙÒ ÙÒØ Ö Ñ È Ñ Ò Ñ Ð Û Ö º Ê Ü ÓÒ Ø Ø ÍÑ ÙÒ ÁÒ Ò Ñ Ø Ò ÐÐ Ò Ø Ö Ð Ø Ö Ò Ö Ü ÓÒ Ø Ø ÍÑ ÙÒ ÒÞÙÒ Ñ Òº ÁÒ Ñ ÐÐ ÒØ ÐØ Ê ÙÑ ÑÔÙÐ ÒØÛÓÖØ Ù Ö Ñ ÓÑ Ò Ö Ò Ò Ö Ø ÐÐ Ú Ö¹ Þ ÖØ ÙÒ Ð ÖØ Û Ñ Ö Ü ÓÒ ÖÑ Ò ÐÐµ ÒÙÒ Ù Ê ÙÑÖ Ü ÓÒ Òº Ö Ð ÖØ Ò Ò Î ÖÞ ÖÙÒ Ð Ö Ò ÓÔØ Ñ Ð Ò Ö Ò º ËØ ØØ Ò Û Ö Û Ò Ð Ö Ø ÐÐØ Ò ÐØ Ö Ó ÔØ ÖØ Ñ ØØÐ Ö Û ÙÒ ÞÛ Ò Ò Å ÖÓ ÓÒ Ò Ð Ò Ñ Ð Ø Ð Ò Û Ö º ÐØ Ö ÑÓ ÐÐ ÖØ Ö Ö Ð Ø Ú Ê ÙÑ ÑÔÙÐ ÒØÛÓÖØ Ð Ó Ò ÍÒØ Ö Ö Ê ÙÑ ÑÔÙÐ ÒØÛÓÖØ Ò Ò Ò ÇÖØ Ò Ö Å ÖÓ ÓÒ º ÈÓ Ø ÓÒ Å Ü ÑÙÑ Ò Ö ØÞØ Ò Ö Ð Ø Ú Òµ ÁÑÔÙÐ ÒØÛÓÖØ ÐØ Ö Ø ÑÑØ ÒÙÒ Ò Ì Ç ÙÒ Û Ö Û ÞÙÚÓÖ Ò Ò Ù Ø Ò Ï Ò Ð θ ÙÑ Ö Ò Øº ÁÑ ÐÐ Ò Ö Ö Ü ÓÒ Ö Ò ÍÑ ÙÒ Û Ö Ò ÓÐ ÔØ Ú ÐØ Ö Û Ö ÞÙ Ò Ñ Ú ÖÞ ÖØ Ò ÙÒ Ð ÖØ Ò Ò Ø ÑÔÙÐ ÓÒÚ Ö Ö Òº ÓÔØ Ñ Ð ÔØ ÓÒ Ö ÐØ Ö Ó Þ ÒØ Ò w Ö ÓÐ Ø Þº º Ñ Ø Ñ Ä Ø Å Ò ËÕÙ Ö ÄÅËµ Î Ö Ö Ò Û Ð Ò Ò ÓÐ Ò Ò Ò ØØ Ò Ò ÖØ Û Ö º ¾º Ï Ò Ö ÐØ Ö ÙÒ ÆÄÅË¹ Ð ÓÖ Ø ÑÙ Ð ÓÖ Ø Ñ Ò Ö ËØ Ö Ò Ð¹ ÙÒ Æ ÐÐÖ Ù Ø ÓÒ ÙÒ Ö Ù Ø Ò Ó ÓÑÔ Ò¹ Ø ÓÒ Ò ÐØ Ò Ò Ö Ñ Ã ÖÒ ÔØ Ú ÇÔØ Ñ Ð ÐØ Öº ÔØ Ú ÇÔØ Ñ Ð ÐØ Ö Ø Ù Ò Ò Ò Ð ÐØ Ö Ó ÞÙ Ú ÖÒ ÖÒ ÙÒØ Ö ÓÖØÐ Ù Ò Ö ÒÔ ÙÒ Ò Ë Ò Ð Ø Ø Ø Ö Ð Ö ÞÛ Ò Ñ Ù Ò Ò Ð ÙÒ Ò Ñ Ê Ö ÒÞ Ò Ð Ñ Ò Ñ ÖØ Û Ö º Ò ØÐ Ñ ØØÐ Ö Ò ÕÙ Ö Ø Ò Ð Ö ÓÔØ Ñ Ð ÐØ Ö Ø Ö Ø Ø ÓÒÖ Ë Ò Ð Ò Ö Ä Ø Ö ØÙÖ Ð Ï Ò Ö ÐØ Ö ÒÒØ Þº º Ìº Ã ½ º Ò ÖÙÒ ØÞÐ Ò Ø Ò ÓÔØ Ñ Ð Ö ÐØ Ö ÓÒ Ö Ð ÒØ Ñ Ø À Ð Ï Ò Ö ÐØ Ö Ö Ø ÐÐ Ò Ð Ò Û Ö Ð Ù Ò ÔÙÒ Ø Ò ØØ ÞÙÒ Ø ÁÊ Ï Ò Ö ÐØ Ö ØÖ Ø Øº Ö Ò Ò Ð Ò ÓÐ Ø Ò Ù ÓÒ ÄÅË¹ Ð ÓÖ Ø ÑÙ Ä Ø Å Ò ËÕÙ Ö Ð ÓÖ Ø ÑÙ µ ÙÒ ÆÄÅË¹ Ð ÓÖ Ø ÑÙ ÆÓÖÑ Ð Þ Ä Ø Å Ò ËÕÙ Ö Ð ÓÖ Ø ÑÙ µº ÁÌ¹Î ¹

28 x(k) ÇÔØ Ñ Ð ÐØ Ö w e(k) ˆd(k) d(k) Ð ÈÖ ÒÞ Ô ÞÞ ÇÔØ Ñ Ð ÐØ Ö º Ê Ö ÒÞ Ò Ð Ø Ñ Ø d(k) Þ Ò Øº ÈÖ ÒÞ Ô ÇÔØ Ñ Ð ÐØ Ö ÁÒ Ð Ø Ö Ë Ò Ð Ù ÇÔØ Ñ Ð ÐØ Ö ÞÞ ÖØº Ò Ò Ò Ð x(k) ÚÓÒ Ñ Ò ÒÓÑÑ Ò Û Ö Ò Ò Ø Ø ÓÒÖ Ò ÙÒ Ñ ØØ ÐÛ ÖØ Ö Ò Ù ÐÐ ÔÖÓÞ Ö Ð ÖØ ÓÐÐ Ó ÐØ ÖØ Û Ö Ò ÐØ ÖØ Ë Ò Ð ˆd(k) Ñ Ê Ö ÒÞ Ò Ð d(k) Ñ Ë ÒÒ Ñ ØØÐ Ö Ò ÕÙ Ö Ø Ò Ð Ö E { e 2 (k) } { ( = E d(k) ˆd(k) ) } 2 µ Ñ Ð Ø ÒÐ Û Ö º Ö ÒÙÒ Ö ÃÓ Þ ÒØ Ò ØÖ Ø Ø Û Ö Ò ÁÊ¹ ÐØ Ö Ö ÇÖ ÒÙÒ Æº Ù Ò Ò Ð ÐØ Ö Ø ÒÙÒ ÙÖ Ò Ð ËÙÑÑ N d (k) = w(i)x (k i) = w T x (k) µ Ò ÛÓ ÙÒ i=0 w = (w(0), w(1),..., w(n)) T x(k)= (x (k),x (k 1),...,x (k N)) T Î ØÓÖ Ò Ö ÐØ Ö Ó Þ ÒØ Ò ÞÛº Ö Ø ØÛ ÖØ Ò Ò Ò Ð Þ Ò Òº ÃÓ Þ ÒØ Ò Ï Ò Ö ÐØ Ö Ö ÐØ Ñ Ò Ù Ö Å Ò Ñ ÖÙÒ Ñ ØØÐ Ö Ò ÕÙ Ö ¹ Ø Ò Ð Ö µº À ÖÞÙ Û Ö Ñ ÓÐ Ò Ò Ö Ñ ØØÐ Ö ÕÙ Ö Ø Ð Ö µ Ò Ò ÐØ Ö Ó Þ ÒØ Ò Ö ÒÞ ÖØ ÙÒ Ð ØÙÒ Ò Ð ÆÙÐÐ ØÞØ w(i) E{(d(k) ˆd(k)) 2 } = 0 E{(d(k) ˆd(k))x(k i)} = 0 j w(j)e{x(k j)x(k i)} = E{d(k)x(k i)} µ ½¼µ ÁÌ¹Î ¹

29 Ö Ø Ò Ð ÙÒ Ý Ø Ñ Ñ Ø N + 1 Ð ÙÒ Ò N w(i) r xx (j i) = r dx (j), j = 0,...,N, i=0 Û Ð Ò Ú ØÓÖ ÐÐ Ö Ë Ö Û Ò ÓÖÑ Ö Å ØÖ Þ Ò Ð ÙÒ R xx w o =p ½½µ Ö Ø ÐÐØ Û Ö Ò ÒÒº R xx Þ Ò Ø ÙØÓ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ñ ØÖ Ü Ë Ò ÐÚ ØÓÖ x(k) R xx = E { x (k)x T (k) } = r xx (0) r xx (1) r xx (N) r xx (1) r xx (0) r xx (N 1) r xx (N) r xx (0) ÙÒ p Ò ÃÖ ÙÞ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ú ØÓÖ ÞÛ Ò Ñ Ê Ö ÒÞ Ò Ð d(k) ÙÒ Ñ Ë Ò ÐÚ ØÓÖ x(k) ½¾µ p= E {d (k)x(k)} = (r dx (0),r dx (1),...,r dx (N)) T. ½ µ ÓÔØ Ñ Ð Ò ÐØ Ö Ó Þ ÒØ Ò w o Ö ÐØ Ñ Ò ÓÑ Ø ÙÖ ÁÒÚ Ö ÓÒ Ö ÃÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ñ ¹ ØÖ Ü R xx w o = R 1 xx p. ½ µ ¾º ÔØ Ú ÁÊ Ï Ò Ö ÐØ Ö Ö ÒÙÒ ÓÔØ Ñ Ð Ò ÁÊ ÐØ Ö Ò Ð ÙÒ ½ ØÞØ Ã ÒÒØÒ Ö Ë Ò Ð¹ Ø Ø Ø Ò ÓÖÑ Ö ÃÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ñ ØÖ Ü R xx ÙÒ ÃÖ ÙÞ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ú ØÓÖ p ÚÓÖ Ù º Ò Ò Ö Ê Ð Ó Ò Ø ÔÖ ÓÖ ÒÒØ ÙÒ Ñ Ò Ú ÖÒ ÖÐ Ö Ë Ò Ð¹ Ø Ø Ø ÓÖØÐ Ù Ò ØÞØ Û Ö Òº Ï ÒÒ Ë Ò Ð ÙÖÞÞ Ø Ø Ø ÓÒÖ ÙÒ Ö Ó Ò ÒÒ Ë Ò Ð Ø Ø Ø Ù ØÑ ØØ ÐÛ ÖØ Ò Ö ÕÙ ¹ Ø Ø ÓÒÖ Ë Ò Ð Ò ØØ Ø ÑÑØ Û Ö Òº Ò ÓÒ Ö ØØÖ Ø Ú Î Ö Ö Ò ÞÙÖ Ø ÑÑÙÒ Ö ÐØ Ö Ó Þ ¹ ÒØ Ò Ø ÙÖ Ò ÄÅË¹ Ð ÓÖ Ø ÑÙ Òº Ö ÄÅË¹ Ð ÓÖ Ø ÑÙ Ò ÖØ Ø Ö Ø Ú Ó Ò ÜÔÐ Þ Ø Ø ÑÑÙÒ Ö ÃÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ñ ØÖ Ü R xx ÙÒ ÃÖ ÙÞ ÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ú ØÓÖ p Ñ Ï Ò Ö ÐØ Ö Òº Ï Ò Ò Ö Ò Ò Ê Ò Ù Û Ò ÙÒ Ò Ö ÊÓ Ù Ø Ø Ò Ö ËØ ÖÙÒ Ò Ø Ö ÚÓÒ ÓÒ Ö Ö ÙØÙÒ Ö ÙÒ º ¾º ÄÅË¹ ÙÒ ÆÄÅË¹ Ð ÓÖ Ø Ñ Ò ÓÔØ Ñ Ð Ò ÃÓ Þ ÒØ Ò ÞÙÖ Å Ò Ñ ÖÙÒ Ñ ØØÐ Ö Ò ÕÙ Ö Ø Ò Ð Ö Ò Ð ÙÒ ÒÒ Ò Þ ÒØ Ñ Ø Ò Ñ Ø Ö Ø Ú Ò Ö ÒØ Ò Ð ÓÖ Ø ÑÙ Ø ÑÑØ Û Ö Òº Ö Ä Ø Å Ò ËÕÙ Ö Ð ÓÖ Ø ÑÙ ÄÅË¹ Ð ÓÖ Ø ÑÙ µ ÔÔÖÓÜ Ñ ÖØ Ò Ö ÒØ Ò Ñ ØØÐ Ö Ò ÕÙ Ö Ø Ò Ð Ö ÙÖ Ò Ö ÒØ Ò ØÙ ÐÐ Ò ÕÙ Ö Ø Ò Ð Ö e 2 (k) ÙÒ ÔØ ÖØ ÐØ Ö Ó Þ ÒØ Ò Ò Ê ØÙÒ Ò Ø Ú Ò ØÞØ Ò ÁÌ¹Î ¹

30 Ö ÒØ Òº Ö Ò ÁÊ ÐØ Ö Ö ÇÖ ÒÙÒ N Ö ÐØ Ñ Ò Ñ Ø Ñ ØÙ ÐÐ Ò ØÞØ Ò Ð Ö Ö ÒØ Ò grad ( e 2 (k) ) = 2e (k)x(k) ½ µ ÃÓ Þ ÒØ ÒÖ ÙÖ ÓÒ ÄÅË¹ Ð ÓÖ Ø ÑÙ w (k + 1) = w (k) + αe (k)x(k), ½ µ ÛÓ α Ë Ö ØØÛ Ø Þ Ò Øº ÃÓÒÚ Ö ÒÞ ÖÛ ÖØÙÒ Û ÖØ Ö ÐØ Ö Ó ¹ Þ ÒØ Ò Ò Ò ÓÔØ Ñ Ð Ò ÃÓ Þ ÒØ ÒÚ ØÓÖ Ø ÒÙÖ ÒÒ ÚÓÒ ÆÙØÞ Ò Û ÒÒ Ù Ö Ñ ØØÐ Ö ÕÙ Ö Ø Ð Ö Ò Ñ Ò Ð Ò Ñ Ð Ø Ð Ò Ò Ï ÖØ ÞÙ ØÖ Øº Ö Ù¹ Ú ÖØ ÐØ ÙÒ Ñ ØØ ÐÛ ÖØ Ö Ø ÒÚ ØÓÖ Ò x(k) Û Ö Ö ÃÓÒÚ Ö ÒÞ Ö Ò Ïº Ñ Ø Ñ Ð Ò Ø Ò Ï ÖØ α Ò Ò Ö Ð ÙÒ α = 2 N λ i (1 αλ i ) 1 i=0 ½ µ Ö ÐÐØ ÛÓÖ Ù Ð ÙÒØ Ö Ë Ö Ò Ö Ñ Ü Ñ Ð Ï ÖØ Ö Ë Ö ØØÛ Ø Ö ËØ Ð ØØ ÞÙ α = 2 3 spur (R xx ) Ö Øº λ i Þ Ò Ò ÒÛ ÖØ Ö ÃÓÖÖ Ð Ø ÓÒ Ñ ØÖ Ü R xx º Þ Ø ÐÐ Ö Ò Ù Ë Ö Ò ÞÙ ÖÓ Ò ØÞØ Øº ÁÑ ÔÖ Ø Ò Ò ØÞ ÑÙ Ö ÄÅË¹ Ð ÓÖ Ø ÑÙ Ö Ñ Ø Ö Ð Ø Ú Ð Ò Ö Ë Ö ØØÛ Ø ØÖ Ò Û Ö Òº ÆÄÅË¹ Ð ÓÖ Ø ÑÙ Ö ÃÓÒÚ Ö ÒÞ Ö ÄÅË¹ Ð ÓÖ Ø ÑÙ Ø Ò Ð ÙÒ ½ ÚÓÒ Ö Ä ØÙÒ Ë ¹ Ò Ð x (k) Ò º Ö ÆÓÖÑ Ð Þ Ä Ø Å Ò ËÕÙ Ö Ð ÓÖ Ø ÑÙ ÆÄÅË¹ Ð ÓÖ Ø ÑÙ µ w (k + 1) = w (k) + α x T (k)x(k) e (k)x(k) ÒÒ Ð Ò ÄÅË¹ Ð ÓÖ Ø ÑÙ Ñ Ø Ù Ò Ö Ë Ò ÐÚ ØÓÖ x T (k)x(k) ÒÓÖÑ ÖØ Ö Ë Ö ØØÛ Ø Ù Ø Û Ö Òº Ö ÖÛ ÖØÙÒ Û ÖØ Ö ÐØ Ö Ó Þ ÒØ Ò ÓÒÚ Ö ÖØ Ö 0 α 2 ÙÒ ÙÚ ÖØ ÐØ Ñ ØØ ÐÛ ÖØ Ö Ø ÒÚ ØÓÖ Ò x(k) Ò ÓÔØ Ñ Ð Ï Ò Ö ÐØ Öº Ö ÃÓÒÚ Ö ÒÞ Ö Ø ÙÒ Ò ÚÓÒ Ö Ä ØÙÒ Ë Ò Ð x (k)º Ë Ö ØØÛ Ø Ò Ò Ö ÒÞ Ò 0 α 2 Ö Ð Ø Ú ÖÓ Û ÐØ Û Ö Ò ÒÒ ÓÒÚ Ö ÖØ Ö ÆÄÅË¹ Ð ÓÖ Ø ÑÙ ÙÒØ Ö ÍÑ ØÒ Ò Ò ÐÐ Ö Ð Ö ÄÅË¹ Ð ÓÖ Ø ÑÙ º ½ µ ½ µ ÎÓÑ Ð ÓÖ Ø ÑÙ ÞÙÖ ØÞ Ø¹ ÒÛ Ò ÙÒ Ð Þ Ø Ò ÒØÛÙÖ ÔÖÓÞ Ò Ñ Ö ÚÓÖÐ Ò Î Ö Ù ÓÖ ÒØ ÖØº Æ Ñ Ò Ð ÓÖ Ø Ñ Á ÙÒ Ò Ø Û Ö ÞÙÒ Ø Ù Ö Î Ö ÐØ Ò ÙÒØ Ö Ò ÞÙ ÁÌ¹Î ¹

31 À Ð Ñ ØØ Ð Ð ÓÖ Ø ÑÙ È Ô Ö ËØ Ø ÃÓÔ Ë ÑÙÐ Ø ÓÒ Ë ÑÙÐ Ò Å ÌÄ ¹ Ó Ç Ø¹ Ó Ù Ö Ö Ö Ó ÓÑÔ Ð Ö ÙÒ Ä Ò Ö Þº º Ó ÓÑÔÓ Ö ËØÙ Ó ËÈ¹ Ó Ö ÈÖÓ ÓÒ Ð Ù Ó Ú ÐÓÔÑ ÒØ Ã Ø ÄÝÖØ Ð ÒØÛÙÖ ÔÖÓÞ ÚÓÑ Ð ÓÖ Ø ÑÙ ÞÙÑ ØÞ Ø Ò ÈÖÓ Ö ÑÑº ÖÛ ÖØ Ò Ò Ê Ñ Ò Ò ÙÒ Ò Ú Ö Ö Ò Ë Ò Ð Ò Ø Ò Î Ö Ø ÓÒ Ö Ð ÓÖ Ø ¹ Ñ ÒÔ Ö Ñ Ø Öµ Ò ÙÒØ Ö Ù Øº Ö Ë Ö ØØ Û Ö Ò Ò Ö Ò Ø Ò Ë ÑÙÐ Ø ÓÒ ÙÑ ÙÒ ÚÓÐÐÞÓ Ò Û Þº º Ë ÑÙÐ Ò Å ÌÄ µº ÐÐ Ò Ø Û Ö Ö Ð ÓÖ Ø ÑÙ Ú Ö Ò ÖØ Ó Ö Ú ÖÒ ÖØ ÙÒ ÖÒ ÙØ ÑÙÐ ÖØº À Ø Ö Ð ÓÖ Ø ÑÙ Ò Ö Ë ÑÙÐ Ø ÓÒ Û Ò Ø Î Ö ÐØ Ò Û Ò ÒÒ ÚÓÒ Ë ÑÙÐ Ò Ù ÃÒÓÔ ÖÙ ÙØÓÑ Ø Ö ÒØ ÔÖ Ò ¹ Ó Ò Ö ÖØ Û Ö Òº Å Ø Ò Ñ ÓÑÔ Ð Ö Û Ö Ö Ö ØÞØ ÙÒ Ñ Ø Ò Ñ Ä Ò Ö Ç Ø¹ Ø Ò ÞÙ Ò Ñ Ù Ö Ö Ò ÈÖÓ Ö ÑÑ Ú Ö ÙÒ Òº Û Ö ÒÒ Ù ÐÔÐ ØØ ÓÖÑ ÖÙÒØ Ö Ð Ò Ù Ö Ùº ºµ Ö Ø Ð Ë Ò ÐÔÖÓÞ ÓÖ ËÈµ ÓÛ ¹ ÙÒ ¹Ï Ò Ð Ö Ò Òº Æ Ì Ø ØÞ ØÚ Ö ÐØ Ò Ð ÓÖ Ø ÑÙ Ø ÙÒØ Ö ÍÑ ØÒ Ò ÒÓØÛ Ò ÖÒ ÙØ Î ÖÒ ÖÙÒ Ò Ñ Ë ÑÙÐ Ò ¹ÅÓ ÐÐ ÚÓÖÞÙÒ Ñ Ò ÙÑ Ó Ò Ð ÓÖ Ø ÑÙ Ò Ò Ö Û Ø Ö Ò ÁØ Ö Ø ÓÒ ÞÙ Ú Ö Ò ÖÒº Ö Ø Ò Ë Ö ØØ º º ÒØÛ ÐÙÒ Ò Ö Ð ÓÖ Ø Ñ Ò¹Á ÙÒ Ö Ò ÍÑ ØÞÙÒ Ò Ò Ë ÑÙÐ Ò ¹ÅÓ ÐÐ Ø Ö Ò ÚÓÖÐ Ò Ò Î Ö Ù Û Ø Ø Ò Ö Ë ÚÓÖ Ö Ø Ø ÞÛº ÐÓ Òº Á Ö Ù Ø Ë ÑÙÐ Ò ¹ÅÓ ÐÐ ÞÙ Ú ÖÚÓÐÐ ØÒ Ò ÞÙ ÙÒØ Ö Ù Ò ÙÒ Ð Ð Ò Ò ØÞ Ø ÈÖÓ Ö ÑÑ ÞÙ Ö ØÞ Ò Û Ð Ð Ò Ù ËÈ¹ Ó Ö ÖÙÒØ Ö Ð Ò ÙÒ Ø Ø Ø Û Ö º ÓÐ Ò Ò ÍÒØ Ö Ò ØØ Ö Ò Ò ËÈ¹ Ó Ö Ò ÒÓØÛ Ò Ò Ë Ö ØØ ÞÙÖ Ò Ö ÖÙÒ ¹ Ó Ö ØÞÙÒ ÙÒ Ä Ò Ò ¹ Ó ÙÒ À ÖÙÒØ ÖÐ Ò Ù Ö Ö Ò ÈÖÓ Ö ÑÑÓ Ù ËÈ¹ Ó Ö º ÁÌ¹Î ¹

32 º½ ËÈ¹ Ó Ö Ñ Ö Ò Î Ö Ù ÒÙØÞØ Ò ËÈ¹ Ó Ö Ò ÐØ ÙÑ ÈÖÓ ÓÒ Ð Ù Ó Ú ÐÓÔÑ ÒØ Ã Ø È Ãµ Ö ÖÑ ÄÝÖØ º Ó Ö Ú Ö Ø Ö ÓÐ Ò ÃÓÑÔÓÒ ÒØ Ò º Ð µ ÈÖÓÞ ÓÖ Ò ËÈ Ì Ü ÁÒ ØÖÙÑ ÒØ ¼¼¼µ ÌÅË ¾¼ ¾ ¼¼¹ÅÀÞ È ¾Ë ¼ ËÔ Ö Ð ½ Å Ë Ê Å ½¾ Å ÁÒÔÙØ»ÇÙØÔÙØ ÁÒØ Ö ¾ È Å ½¼ Î Ö Ò Ð ¾ Ø» ¹ÍÑ ØÞ Ö ½ ¾ ÀÞ ¾ È Å ½¼ Î Ö Ò Ð ¾ Ø» ¹ÍÑ ØÞ Ö ½ ¾ ÀÞ ËÊ ½ ¾ ½ ÝÒ Ñ ÙÑ Ò ½ ½»½ ½ Ø ØÖ Ø Ò¹ÍÑ ØÞ Ö ÃÓ Ü Ð ÙÒ ÓÔØ Ë»È Á Ø Ð Á»Ç Ö Ø ØÖ Ø Ò ÞÙ ½ ¾ ÀÞ ÊË¹¾ ¾ Í ÊÌ Ä ÙÒ ÁÈ¹Ë ÐØ Ö ÏÓÖ ¹ ÐÓ ¹ÁÒØ Ö À ¹ Ô ÍË ¹ÔÓÖØ ÅÁ Á ÁÆ ÇÍÌ ÙÒ ÌÀÊÍ ÔÓÖØ Ö Ò ÐÓ Ò Ò Ö ÐÐ Ñ Ò Û º¾ ÎÓÒ Ë ÑÙÐ Ò ÞÙ ¹ Ó Ö Ê Ð¹Ì Ñ ¹ÏÓÖ ÓÔ ÙÒØ Ö Ë ÑÙÐ Ò ÖÐ Ù Ø Ù Ò ÚÓÒ Ò Ñ Ë ÑÙÐ Ò ¹ÅÓ ÐÐ ÙØÓÑ Ø ¹ Ó ÞÙ Ò Ö Ö Ò Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ð ØØ ÅÓ ÐÐ Ð Øº ÁÑ ÓÐ Ò¹ Ò Û Ö Ò Ò Ø ÐÐÙÒ Ò ÖÐÙØ ÖØ ÖÞÙ ÒÓØÛ Ò Ò º ÙÒ Ø ÑÙ Ò ÅÓ ÐÐ Ò Ë ÑÙÐ Ò Ö Ø ÐÐØ Û Ö Òº ÁÒ Ñ ÅÓ ÐÐ Ñ Ò ÐÐ Ö Ò Î Ö Ù Ù Ù Û Ø Ò Ë ÑÙÐ Ò ¹ Ð Ò Ø ÙÒ Ú Ö ÐØ Ø Û Ö Ò Î Ö Ù Ö ÙÒ µº Ï Ö Ò Ò Ò Ñ Ö Ø Ò Î Ö Ù Ø Ð Ò Å ÖÓ ÓÒ Ò Ð ÞÙÒ Ø Ò Å ØÐ ÑÙÐ ÖØ Û Ö Ò º º Ó Ò Ò Ð Ò Û Ö Ò Ò Ö ÙÖ Ö Ð Ò Ë Ò Ð ÞÙ Ö ØÞ Ò Ö» ¹Ï Ò Ð Ö Ð ÖØº ÒØ ÔÖ Ò ÓÐÐØ Ë ÑÙÐ Ò ¹ ÅÓ ÐÐ Ö ÙÒ Ò Ö» ¹ ÙÒ» ¹µ Ï Ò Ð Ö ÒØ ÐØ Ò Ö Ö ØÞÙÒ ÅÓ ÐÐ Ò Ù Ö Ö Ò ¹ Ó Ñ Ò Òº» ¹ ÞÛº» ¹ Ð Ð Ò Ò Ö Ð ÓØ ÁÃ È Ã ÚÓÖ Û Ð Ñ Ä Ö ÖÝ ÖÓÛ Ö ÚÓÒ Ë ÑÙÐ Ò Ò Øº Ï ÒÒ ÐÐ Ð Ö ØÞ Ø¹ ÒÛ Ò ÙÒ Û Û Ò Ø Ú Ö ÐØ Ø ÙÒ ÐÐ È Ö ¹ Ñ Ø Ö ÓÖÖ Ø Ò Ø ÐÐØ Ò ÒÒ Ñ Ø Ñ Ê Ð¹Ì Ñ ÏÓÖ ÓÔ ÚÓÒ Å ÌÄ Ù Ñ Ë ÑÙÐ Ò ¹ÅÓ ÐÐ ÉÙ ÐÐÓ ÞÙ ÖÞ Ù Òº Ö Ó Û Ö Ò Ò Ö ÖØº ÁÌ¹Î ¹ ½¼

33 Ð ËÝ Ø Ñ ÓÑÔÓÒ ÒØ Ò Ñ Î Ö Ù Ú ÖÛ Ò Ø Ò ËÈ¹ Ó Ö º ÁÌ¹Î ¹ ½½

34 º Ñ Á Ä Ò Å ÌÄ ¹ ÖÛ Ø ÖÙÒ Ñ Á Ä Ò Ú Ö Ò Ø Å ÌÄ ÙÒ Ë ÑÙÐ Ò Ñ Ø Ó ÓÑÔÓ Ö ËØÙ Ó ÚÓÒ Ì Ü ÁÒ ØÖÙÑ ÒØ Ò Ö ÒØÛ ÐÙÒ ¹ ÙÑ ÙÒ Ö» º Å Ø Ð Ñ Á Ä Ò Ø Ñ Ð Ù Ë ÑÙÐ Ò Ö Ù ÙØÓÑ Ø ¹ Ó ÞÙ Ò Ö Ö Ò Ò Ò Ó ÓÑÔÓ Ö ËØÙ Ó ÞÙ Ö ØÞ Ò ÞÙ Ò Ò Ò Ù Ö Ö Ò Ó Ù Ó Ö ÖÙÒØ ÖÞÙÐ Ò ÙÒ Ð Ð Ù ÞÙ Ö Òº ÍÑ Ñ Á Ä Ò Ò Ò Ñ Ë ÑÙÐ Ò ¹ÅÓ ÐÐ ÞÙ ÒÙØÞ Ò ÑÙ Ñ Ò Ò Û Ò Ø ÅÓ ÐÐ Ò Ì Ö Ø ÈÖ Ö Ò ÐÓ Ò Òº ËÓÐ Ð Ò Ø Ñ Ò Ñ Ë ÑÙÐ Ò Ä Ö ÖÝ ÖÓÛ Ö Ò Ñ Å Ò Ì Ö Ø ËÙÔÔÓÖØ È Ì º Ö Ò Ñ Î Ö Ù ÒÙØÞØ ËÈ Ó Ö Ø Ö Ö ¾ È Ã ¹ ÐÓ ÞÙ ÒÙØÞ Òº Ï ÒÒ Ò ÓÐ Ö ÐÓ Ò Ñ Ë ÑÐ Ò ÅÓ ÐÐ Ò Ø Û Ö Ñ Á Ä Ò ÙØÓÑ Ø ÞÙÖ Ó ¹ ÖÞ Ù ÙÒ ÒÙØÞØº ÍÑ Ã ØØ ÚÓÒ ÙØÓÑ Ø ÖØ Ò Ö Ø Ö ØØ Ò Ë ÑÙÐ Ò ¹ÅÓ ÐÐ ¹ Ó Ç Ø¹ Ó Ù Ö Ö Ö Ó À ÖÙÒØ ÖÐ Ò Ù Ó Ö Ù Ö Òµ ÞÙ ÖÑ Ð Ò ÑÙ Ö È Ñ Ø Ñ ËÈ¹ Ó Ö Ö Ò Ò Ó Ò ÒÒØ Ò ÂÌ ¹ ÑÙÐ ØÓÖ ÓÑÑÙÒ Þ Ö Ò ÒÒ Òº ÏÓÖØ ÂÌ Ø Ø Ö ÂÓ ÒØ Ì Ø Ø ÓÒ ÖÓÙÔº Ö Ø Ö ÂÌ ¹ ÑÙÐ ØÓÖ Ë ½¼ÍË Ø Ò Ñ ÂÌ ÈÓÖØ ËÈ³ Ù Ñ Ó Ö Ù Ö Ò Ò Ë Ø ÙÒ Ñ È Ú ÍË ¾º¼ Ù Ö Ò Ö Ò Ë Ø Ú Ö ÙÒ Òº Ò Ò ËØ Ò Ö ÙÒ Ò Ù ÒÙØÞØ Î Ö Ö Ò ÞÙÑ Ì Ø Ò ÙÒ ÞÙÖ Ð Ö Ù Ò Ò Ö À Ö Û Ö º ÙÑ Ô Ð ÖÐ Ù Ø Ö ÂÌ ¹ ÑÙÐ ØÓÖ Ñ Ð Ù Ò Ò ØÞ Ø ØÖ Ê Ø ÖÛ ÖØ ËÈ Ó Ö ÈÖÓ Ö ÑÑÚ Ö Ð Ò Ù ÞÙÐ Òº ÒÒ Ò ÒÒ Ñ Ø Ö Ò ËÓÐÐÛ ÖØ Ò Ú Ö Ð Ò Û Ö Òº Ù Ò º½ ÎÓÖ Ö Ø Ò Ù Ò ÉÙ ÐÐ ÒÐÓ Ð Ø ÓÒ Ò Ö Ü ÓÒ ÖÑ Ö ÍÑ ÙÒ ¼º½ Ä Ø Ò Ë ÓÖÑ Ð Ö Ñ Ø Ö Ù Ñ Ì Ñ Ð Ý Ç ÖÖ Ú Ð Ì Ç µ T Ñ Å ÖÓ ÓÒ Ø Ò d ÙÒ Ö Ë ÐÐ Û Ò Ø Ò ÄÙ Ø c Ö Ò ÐÐ Û Ò Ð θ Ø ÑÑØ Û Ö Ò ÒÒ Ö Ø ÓÒ Ç ÖÖ Ú Ð Ç µ Ð ¾º ÁÌ¹Î ¹ ½¾

35 ¼º¾ Ò Ë ÚÓÒ Ò Ñ Þ Ø Ö Ø Ò ËÝ Ø Ñ Ù Ø Ø Ö ÕÙ ÒÞ f A = 32 ÀÞµ º º Î ÖÞ ÖÙÒ Þ Ø Ò T ÒÒ Ò ÒÙÖ ÒÞÞ Ð Î Ð Ø Ø ÒØ ÖÚ ÐÐ ÒÒ ¹ Ñ Òº Ï Ð Ï Ò Ð ÒÒ Ò ÐÓ Ð ÖØ Û Ö Ò d = 0.24 Ñ c = 343 Ñ» µ ÁÒ Û Ð Ñ Ï Ò Ð Ö Ø Ù ÙÒ Ð Ò Ö Ò ÖÖ Ý Ó Ò ØÐ Ñ Ø Ò º¾ Å Ù Ò Ë ÑÙÐ Ø ÓÒ Ò ÙÒØ Ö Ë ÑÙÐ Ò ÁÑ Ö Ø Ò Ù ÒØ Ð Û Ö Ö ÄÓ Ð ÖÙÒ Ð ÓÖ Ø ÑÙ ÙÒØ Ö Ë ÑÙÐ Ò ÙÒØ Ö Ù Øº Å ÖÓ ÓÒ Ò Ð Û Ö Ò Ö Ë ÑÙÐ Ø ÓÒ Ò ØÐ Ò Ö ÖØº ÙÖ Ù ÖÙ Ö Å ÌÄ ¹ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö Ø Ë Ò Ð µ ÒÒ Ò ÞÛ Å ÖÓ ÓÒ Ò Ð Ò Ö ÖØ Û Ö Ò ÙÑ Ñ ÑÙÐ ÖØ Ò Ò ÐÐ Û Ò Ð ÒØ ÔÖ Ò Ø Ô ÒÒ ÞÙ Ò Ò Ö Ú ÖÞ ÖØ Ò º À Ð ÞÙ Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÐØ Ò Ë Ò Ù ÖÙ ÚÓÒ ÐÔ Ò Ö Ø Ë Ò Ð º ½º½ ËØ ÖØ Ò Ë Å ØÐ Î Ö Ò Ô ÙÒ Ù Ñ ØÓÔµ ÙÒ Ò Ö Ö Ò Ë ÞÛ ÑÙÐ ÖØ Ò Å ÖÓ ÓÒ Ò Ð Ö Ò Ò Ò ÐÐ Û Ò Ð ÚÓÒ ¼ Ö º Ö Ò Ë ÖÞÙ ÙÒØ Ö Å ØÐ ÓÐ Ò Ò Ë Ö ØØ ÙÖ Î ± ËÖ ÔØ ØÞØ Ò È Ö Ñ Ø Ö Û ÚÖ ³Ñ ÒÒºÛ Ú³µ ± Ë Ò Ð ÚÓÒ ÈÐ ØØ Ð Ò Ñ ÈÓ ºÜ ¼ ¼º¾ ± Ü Ý ¹ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Å ÖÓ ÓÒ ½ Ò Ñ Ñ ÈÓ ºÝ ¼ ¼ ± Ü Ý ¹ÃÓÓÖ Ò Ø Ò Å ÖÓ ÓÒ ¾ Ò Ñ Ø Ø ¼ ± ÑÙÐ ÖØ Ö Ò ÐÐ Û Ò Ð Ò Ö Ý Ò Ö Ø Ë Ò Ð Ñ ÈÓ Ø Ø µ ± Ý ÞÛ Ò Ð Ë Ò Ð Ö Ø ÐÐ Ò Ë ÙÒØ Ö Å ØÐ Ò Ò Ö Ô Ò Ö Ò ÑÙÐ ÖØ Ò Å ÖÓ ÓÒ Ò Ð Å ØÐ ÙÖ ÔÐÓØ Ö µº Ä Ò Ë Ò Ò Ñ Ò Ø Ò Ë Ò Ð Ò ØØ Ò Ì Ç Ð ÒÞ Ð Ø ØÛ ÖØ º Ï Ð Ö Ø ÒØ ÔÖ Ø f A = 32 ÀÞµ Ê Ò Ò Ë Ñ Ø Ð Ö ÓÖÑ Ð Ù Ò ÚÓÖ Ö Ø Ò Ò Ù Ò Ò ÖÑ ØØ ÐØ Ò Ì Ç Ò Ò Ò Ï Ò Ð ÙÑº Ö ÐÖ Ò Ë Û ÖÙÑ Ö Ö Ò Ø Ï Ò Ð Ò Ø Ü Ø Ò ÑÙÐ ÖØ Ò Ò ÐÐ Û Ò Ð ÚÓÒ θ = 30 Ö Ö Øº ½º¾ ËØ ÖØ Ò Ë ÒÙÒ Ë ÑÙÐ Ò ÙÒ Ò Ò Ë ÅÓ ÐÐ ÄÓ Ð ÖÙÒ Ð ÓÖ Ø ÑÙ Î Ö Ù Î ½ºÑ Ðº Ë Ð Ò Ë Ò Ò Ù Ò Ì Ç ÒÓ ÒØ ÖÔºµ Ò ÒÞ Ò¹ Ð Ñ ÒØ Ò Ø ÖØ Ò Ë Ë ÑÙÐ Ø ÓÒ ÙÒ ÖÔÖ Ò Ë Ó Ö Ð ÓÖ Ø ÑÙ Ò Ì Ç ÓÖÖ Ø ØÞØ Ö ÙÒØ Ö ½º½ ÑÔÐ Þ Øµ Ò Ø ÐÐØ ÛÙÖ º Æ Ñ ËØ ÖØ Ò Ö Ë ÑÙÐ Ø ÓÒ Û Ö Ò ÞÛ Ò Ø ÖÒ Ö ØÖ Ò Ö ËÔ ØÖ Ò Ö Å ÖÓ ÓÒ Ò Ð Ò Þ Øº ÁÒ Ò Ñ Û Ø Ö Ò Ò Ø Ö Û Ö ÔØ Ö ÙÒØ Ö ½º µ Ö ØÞØ Ò ÐÐ Û Ò Ð Ñ ØØ Ð Ò Ö ÙÑ Ò Ï Ò Ð ÔÔØ Ò Ö Ò ÐÐÙ ØÖ ÖØº Ö Ì Ð Ø ÚÓÖÐÙ ÒÓ Ò Ø Ú Ö ÐØ Øº ½º Ñ ÚÓÖÐ Ò Ò Ë ÑÙÐ Ò ¹ÅÓ ÐÐ ÐØ ÍÑÖ ÒÙÒ ÚÓÑ ØÞØ Ò Ì Ç ÞÙÑ ÓÖÖ ÔÓÒ Ö Ò Ò Ï Ò Ð º ÚÓÖ Ö Ø Ò Ù Òµº Ê Ð Ö Ò Ë Ò Ì Ð Ò ÓÖÑ ÚÓÒ Ë ÑÙÐ Ò ¹ Ð Ò Ë Ò Ö ÒÒÞ Ò Ø Ò ËØ ÐÐ Ñ ÅÓ ÐÐ Ò Ù Òº ÖÔÖ Ò Ë Ò Ò Ö Ë ÑÙÐ Ø ÓÒ Ó Ö Ò ÐÐ Û Ò Ð ÚÓÒ ¼ Ö ÓÖÖ Ø ØÞØ Û Ö º ÁÌ¹Î ¹ ½

36 Ó Ò ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ Ñ Ø ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ ÑÙÐ ÖØ Ö Ï Ò Ð Ó Ø Ø Ö Ì Ç ØÞØ Ö Ï Ò Ð ØÞØ Ö Ï Ò Ð θ Ö Ø ØÛ ÖØ ˆθ Ö ˆθ Ö ½ ¾¼ ¾ ¼ ¼ Ì ÐÐ ½ Ì ÐÐ ÞÙ Ò Å Ù Ò ½º ÙÒ ½º º ½º ÁÒ Ö ÚÓÖ Ö Ø Ò Ò Ù ¼º¾ Ò Ë Ö Ø Ò Ï Ò Ð Ø ÑÑØ ÚÓÒ Ñ Ð ÓÖ Ø ÑÙ ÙÒØ Ö Ò Ò Ò È Ö Ñ Ø ÖÒ ÓÖÖ Ø ÐÓ Ð ÖØ Û Ö Ò ÒÒ Òº ÖÔÖ Ò Ë Á Ö Ê ÒÙÒ Ò Ñ Ë Ö Ò Ò Ö Ì ÐÐ ½ Ù ÖØ Ò Ï Ò Ð Û Ð Å ÖÓ ÓÒ Ò Ð Û ÙÒØ Ö ½º½ Ò Ö Ö Ò ÙÒ Ò Ð Ò Ò Ì Ç ÙÒ Ò ÐÓ Ð ÖØ Ò Ï Ò Ð Ñ Ë ÑÙÐ Ò ¹ÅÓ ÐÐ ÖÑ ØØ ÐÒº Ø Ò Ë Ö Ù ËÝ Ø Ñ Ò ÛÙÒ Ò Ø Û ÒÒ Ë Ï ÖØ Ð Òº ÌÖ Ò Ë Ë ÑÙ¹ Ð Ø ÓÒ Ö Ò Ò Ö Ø Ò Ò ËÔ ÐØ Ò Ö Ì ÐÐ Ò Ó Ò ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ µº ÍÑ Ò Ò Ö Ï Ò Ð Ù ÙÒ Ö Ð Ö Ò ÞÙ ÒÒ Ò ÑÙ Ó Ò ØÐ ÉÙ ÒØ ¹ ÐÙÒ Ö Ì Ç ¹Ï ÖØ Ú ÖÖ Ò ÖØ Û Ö Òº Ø Ð Ð Ò Ö ÓÑ ØÖ ÖÖ Ý ÙÖ Ò Ö Ò Ö Ø ØÖ Ø Ñ Ð º Å Ò Ñ Û Ö Ó Ò Ò ÖÙÒ Ö À Ö Û Ö Ö ÓÖ ÖÒ Ò ÐÐ Ö ¹ÍÑ ØÞ Öµº ËØ ØØ Ò Ò Ø Ö Ò Ú Ö ÖØ Ï Ò Ð Ù ÙÒ Û ÒÛ ÖØ Ò Ö ØÞØ Ò ÁÑÔÙÐ ÒØÛÓÖØ ÞÙ ÒØ ÖÔÓÐ Ö Òº ËÓ ÒÒ Ö Ì Ç ÞÓ Ò Ù ÙÖ ÔÖ Ò Ð Ø ØÖ Ø ÚÓÒ f A = 32 ÀÞ Ò Ø ÒÙÖ ÒÞÞ Ð ÓÒ ÖÒ Ù ÖÓ Ò Ö Ø ÓÒ Ð Ï ÖØ ÒÒ Ñ Òº ÞÙ Ö Ò ÚÓÑ Ð ÓÖ Ø ÑÙ ÖÑ ØØ ÐØ Ò Ò ÐÐ Û Ò Ð Þ Ò ÒÒ Ò Ò Ö ØÙ ÙÒ Ð Ó Ò ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒº Î Ö Ö Ò Ø Ñ ÚÓÖÐ Ò Ò Ë ÑÙÐ Ò ¹ÅÓ ÐÐ Ö Ø ÑÔÐ Ñ ÒØ ÖØ ÒØ ÖÔÓÐ ÖØ Ò Ì Ç ¹Ï ÖØ Ø Ò Ò Ö Ë ÑÙÐ Ø ÓÒ Ñ Ù Ò Ì Ç ÒØ ÖÔºµ ÞÙÖ Î Ö ÙÒ º ½º Ë ÐØ Ò Ë Á Ö Ò ÐÓ Ö Ö ÒÙÒ Ò ÐÐ Û Ò Ð Ù Ñ Ì Ç Ò Ò ÒØ ÖÔÓÐ ÖØ Ò Ì Ç ¹ Ù Ò º Ò Ö Ö Ò Ë ÖÒ ÙØ Å ÖÓ ÓÒ Ò Ð Ö Ò Ì ÐÐ ½ Ò Ò Ò Ò ÐÐ Û Ò Ð Ö Ò Ë Ë ÑÙÐ Ø ÓÒ Ù ÙÒ ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ö Ò Ë ÒÙÒ Ñ Ø ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ ØÞØ Ò Ï Ò Ð Ò ÛÙÒ Ò Ñ ËÝ Ø Ñµ Ò Ì ÐÐ ½º ½º Ò Ò Ë Ò Ð Ö θ = ˆθ θ Ö Ï Ò Ð ØÞÙÒ Ò Ö µ Ó Ò ÞÛº Ñ Ø ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ Ö ÁÑÔÙÐ ÒØÛÓÖØº Î Ö Ð Ò Ë Ö Ò Ë Ñ Ø ÙÒ Ó Ò ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ Ö ÐØ Ò Òº Ö Ø ÐÐ Ò ÙÒ Ì Ø Ö ØÞ Ø ÒÛ Ò ÙÒ ÁÑ ÞÛ Ø Ò Ù ÒØ Ð Û Ö Ë ÑÙÐ Ò ¹ÅÓ ÐÐ Ö ÄÓ Ð ÖÙÒ Ò ØÞ Ø Ò Ó ÙÑ Û Ò ÐØ Ö ØÞØ ÙÒ Ù Ë Ò ÐÔÖÓÞ ÓÖ¹ Ó Ö ÖÙÒØ Ö Ð Òº ÁÌ¹Î ¹ ½

37 ¾º½ Ë Ò Ë Ò Å ÖÓ ÓÒ Ò Ð Ñ Ø Ð Ç Þ ÐÐÓ ÓÔ Òº ËØ ÐÐ Ò Ë Ò Å ÖÓ ÓÒÚ Ö ØÖ Ö Ó Ò Ë Ò Ð Ð Î Ö ØÖ ÙÒ Ö Ö Ò ÙÒ ÒÓÖÑ Ð Ð ÙØ Ñ ÔÖ Ò ÑÔÐ ØÙ Ò ØÛ ¼º Î ÖÖ Òº Ë Ð Ò Ë ÒÒ Ò Ú Ö ØÖ Ø Ò Å ÖÓ ÓÒ Ò Ð Ò Ò Ð ½ ÙÒ ¾ Ö Ò ÐÓ ÁÒÔÙØ ËÈ¹ Ó Ö Òº ¾º¾ Ä Ò Ë ÒÙÒ Ë ÑÙÐ Ò ¹ÅÓ ÐÐ Î Ö Ù Î ¾ºÑ Ð Û Ð Ò Ì Ç Ó Ò ÁÒØ Ö¹ ÔÓÐ Ø ÓÒ ØÞØº Ö ÒÞ Ò Ë ÅÓ ÐÐ Û ÞÙÚÓÖ Ò Ö Ë ÑÙÐ Ø ÓÒ ÙÒØ Ö Ë ÑÙÐ Ò ÙÑ Á Ö ÍÑÖ ÒÙÒ Ì Ç Ò Ò Ò Ï Ò Ðº ÙÖ ØØ Ò Ö Ì Ø Ò ÓÑ ¹ Ò Ø ÓÒ ËØÖ ¹ Û Ö ÒÒ Ö Ò Ò ØØ Ö Ò ÈÖÓÞ Ù Ð Ø Ñ Ë ÑÙÐ Ò ¹ÅÓ ÐÐ Ò ÕÙ Ú Ð ÒØ Ò ¹ Ó ÙÑ ØÞØ Û Ö Ö Ò Ó ÓÑÔÓ Ö ËØÙ Ó Ö ØÞØ ÙÒ ÙÒ Ò Û Ö ÙÒ Ð Ð Ù Ö Ö ÈÖÓ Ö ÑÑ Ù Ó Ö ÖÙÒØ Ö Ð Ò ÙÒ Ø ÖØ Ø Û Ö º À Ö Ø Ö ÓÖ ÖÐ Ë Ò È ÞÙ Ö Ð ÓØ Ò Ò Ò Û Ö Ò Ö ØÞ Ò ÙÒ Ò Ò Ö Ù Ø Û Ö Òº ËÓ Ð Ë ÞÙ Ù ÓÖ ÖØ Û Ö Ò Ò Ë È Ñ Ø Ð Ö Ù Ñ ØÓÔ Ð Ø Ò Î Ö Ò Ô ÙÒ Ò Ä ½ Ä ¾ ËÝ Ø ÑÈ Ø Òº Ë Ò ÐÔÖÓÞ ÓÖ¹ Ó Ö Ú Ö Ø Ö Ò ÒÞ Ñ Ð Øº ÍÑ ÒÒÓ Ò Ö Ø¹ Þ ØÙÑ ÙÒ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ö Ò ØÞØ Ò Ï Ò Ð ÞÙ Ò Ð ÞÙ Ñ Ò Û Ö ÚÓÑ ÈÖÓ Ö ÑÑ Ò Ë ÒÙ ¹Ë Ò Ð ÙÒ Ò Ó ÒÙ ¹Ë Ò Ð ÞÙÖ Î Ö ÙÒ Ø ÐÐØ Ò È ÒÐ Ö ØÞØ Ï Ò Ð θ Øº Ë Ø Ò Ò Ò Ò Ð Ò ½ ÙÒ ¾ Ö Ò ÐÓ ÇÙØÔÙØ ËÈ¹ Ó Ö ÞÙ Î Ö ÙÒ º Ï Ö Ò Ò Ë Ò Ð Ò Ç Þ ÐÐÓ ÓÔ Ñ ÜÝ¹ ØÖ Ò Ó Þ Ø Ù Ñ Ð ÖÑ Ò ÙÑ Ò Ï Ò Ð θ ÔÔØ Ö ÓÑ Ø Û ÞÙÚÓÖ Ò Ö Ë ÑÙÐ Ø ÓÒ Ù Ò ÙÐ ÖØ ÙÒ Ï Ò ØÞØ Ò Ò ÐÐ Û Ò Ð ÐÐÙ ØÖ ÖØº ¾º Ë Ð Ò Ë Ç Þ ÐÐÓ ÓÔ Ñ ÜÝ¹ ØÖ Ò Ò Ù Ò ½ ÙÒ ¾ Ë Ò ÐÔÖÓÞ ÓÖ¹ Ó Ö Òº ÔÖ Ò Ë Å ÖÓ ÓÒ ÖÖ Ý Ò Ù Ö Ò Ñ Ø Ò Ó ÖÒ Ð Ò¹ Ò Ñ Ò ÙØ Ö Æ ÖÙÒ Ö ÐÐØ Øº Î Ö Ö Ò Ë Ò Ò ÐÐ Û Ò Ð Ð Ò Ñ ÚÓÒ θ = 90 Ö 0 Ö º Ï Ú Ð Ö Ø Ï Ò Ð ÔÖ Ò Û Ö Ò Ö Ø Î Ö Ð Ò Ë Ö Ò Ñ Ø Ñ Ø ÓÖ Ø Ò Ï ÖØ Ú Ö Ð ÚÓÖ Ö Ø Ò Ù ¼º¾µº ¾º Ë Ð Ò Ë ÒÙÒ Ò Ø ÐÐ Ö Ò Ø ÒØ ÖÔÓÐ ÖØ Ò ÒØ ÖÔÓÐ ÖØ Ò Ì Ç ¹Ï ÖØ Ò Ï Ò Ð Ö ÒÙÒ Ò ÙÒ Ø Ø Ò Ë ÈÖÓ Ö ÑÑ ÖÒ ÙØº Ë ÓÐÐØ Ò ÒÙÒ Ù Ñ Ç Þ ÐÐÓ ÓÔ Ò Ö Ó Ø Ò ÒÒ Ò Û Ø Ù Ö Ò Ö ËÔÖ Ò Ñ Ø Û ÒÒ Ë ÖÖ Ý Ù Ò Ñ Ò ÖÒ Ò Ï Ò Ð ÔÖ Òº Ù Ò Ñ Ð Ø Ò Ñ Ð Ù Ò Ò ØÖ Ò ÂÌ ¹ ÑÙÐ ØÓÖ ÒÒ Ò Î Ö Ð ÒÛ ÖØ Ñ Ð Ù Ò Ò ØÖ Ù Ñ ËÈ¹ Ó Ö Ù Ð Ò ÙÒ Ò Þ Ø Û Ö Òº Ù Ò ¹Å Ð Ø Û Ö Ò Ë ÒÙÒ ¹ Ð Ò ÒÒ Ò Ð ÖÒ Òº Î Ö Ò Ò Ë Ñ Ë ÑÙÐ Ò ¹ÅÓ ÐÐ Î Ö Ù Î ¾ºÑ Ð Ò ÒØ ÖÔÓÐ ÖØ Ò Ì Ç ¹ Ù Ò ÒÙÒ Ù Ñ Ø Ò Ñ Ù Ò ¹ÈÓÖØ º Ë ÑÙÐ Ò Ä Ö ÖÝ ÖÓÛ Ö Ë Ò µ ÙÒ Ò Ë Ñ Ò Ò Ò ÙØ Ò Æ Ñ Ò Ò Ë ÔØ Ö Ñ ¹ÉÙ ÐÐÓ Û Ö Ò Ò Û Ö Òº ÁÌ¹Î ¹ ½

38 Ò Ë Ò Ò Û Ø Ö Ò Ù Ò ¹ÈÓÖØ Ò Á Ö Ë ÑÙÐ Ò ¹ÅÓ ÐÐ Ò ÙÒ Ú Ö Ò Ò Ë Ò Ñ Ø Ö ÚÓÑ ÐÓ ¹ÄÅË ØÞØ Ò Ö Ð Ø Ú Ò Ê ÙÑ ÑÔÙÐ ÒØÛÓÖØ Ù Ò ÏØ ÐÓ ¹ÄÅË¹ ÐØ Ö µº Þ Ò Ò Ë Ù Ò ÈÓÖØ Ñ Ø Ò Ñ Ö Ø Ö Ø Ò Æ Ñ Òº Ò Ë ÒÒ ÙÒÑ ØØ Ð Ö ÚÓÖ Ò Ù Ò ¹ÈÓÖØ Ò Ò ÐÓ ÞÙÖ ÃÓÒÚ ÖØ ÖÙÒ Ø ÒØÝÔ Ø ÌÝÔ ÓÒÚ Ö ÓÒ µº ËØ ÐÐ Ò Ë Ò ÓÔÔ Ð Ð Ù Ò ÐÓ Ò Ò Ù Ò Ø Ò Ø ÒØÝÔ Ù Ò Ð º À ÖÑ Ø Û Ö Ò Ë Ò Ð Ò Ò Ø Ñ Ø Ò ÓÖÑ Ø ÓÙ Ð ÔÖ ÓÒ ÚÓÖÐ Ò Øµ ÞÙ Ò Ð ÔÖ ÓÒ ¾ Øµ Ñ Ù Ò ÐÓ ÓÒÚ ÖØ ÖØº Ö Ë Ö ØØ Ø ÒÓØÛ Ò Û Ð Û Ö ÙÒ ÔØ Ö Ö Ð Ø Ú Ê ÙÑ Ñ¹ ÔÙÐ ÒØÛÓÖØ Ö Ô ÒÞ Ò Ð Ò ÛÓÐÐ Ò Ó ÓÑÔÓ Ö ËØÙ Ó Ö ÒÙÖ Ø ÒØÝÔ Ò ÞÙ ¾ Ø Ö Ø Ö Ô Ö Ø ÐÐ Ò ÒÒº ËÔ ÖÒ Ë ÅÓ ÐÐ ÙÒ Ð Ò Ë ÙÖ ØØ Ò Ö Ì Ø Ò ÓÑ Ò Ø ÓÒ ËØÖ ¹ ÖÒ ÙØ Ò Ù Ö Ö Ò Ó Ö ØÞ Ò ÙÒ Ù Ë Ò ÐÔÖÓÞ ÓÖ¹ Ó Ö Ð Òº ÈÖÓ Ö ÑÑ ÓÐÐØ Û Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ò º Ç Þ ÐÐÓ ÓÔµº º½ ËÙ Ò Ë Ñ ¹ÉÙ ÐÐÓ Ñ ØØ Ð Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ò Ð Ó ÓÑÔÓ Ö ËØÙ Óµ Ò Á Ö Ñ ÞÙÚÓÖ Ñ Ë ÑÙÐ Ò ¹ÅÓ ÐÐ Ö Ò Ì Ç Ú Ö Ò Ò Þ ¹ Ò Öº ËÙ Ò Ë ÙÒØ Ö Ò ËÙ Ö ÙÐØ Ø Ò Ó Þ Ð Ö Ù Ò Ö Á Ö Ñ ÞÙÚÓÖ ÒÞÙ Ø Ò Ù Ò ¹ÈÓÖØ Ö Ï ÖØ Ö Ì Ç ¹Ë ØÞÙÒ ÞÙ Û Ò Û Ö º Å Ö Ö Ò Ë Ò Ö ËØ ÐÐ Ñ ÈÖÓ Ö ÑÑÓ Ö Î Ö Ð Ò Ð Ð Ñ ÚÓÖ¹ Ò Ø Ñ Î Ö Ù Î ¾ º º È Ö Ö Ø Ñ Å Ù Ð ØÓ Ï Ø Ï Ò ÓÛ ÒÒ Ò Ë Ò Ï ÖØ Ö Î Ö Ð Ò ÒÞ Ò Ð Òº ÙÖ ØÙ Ð ÖÙÒ Ö ÒÞ Û Ð Ò Ë Ù Ñ Ï Ø ¹ Ò Ø Ö Ô Ö Ö Ø Ñ Å Ù Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ê Ö º ÔÖ Ò Ë ÖÖ Ý ÙÒ Ó Ø Ò Ë Ö Ò ÖÙÒ Ù Ñ Ë Ò ÐÔÖÓÞ ÓÖ¹ Ó Ö Ö Ò Ø Ò Ì Ç ¹Ï ÖØ º º¾ ÁÑ Ð ØÞØ Ò Ù ÒØ Ð ÛÓÐÐ Ò Û Ö ÙÒ Ö Ð Ø Ú Ê ÙÑ ÑÔÙÐ ÒØÛÓÖØ ÞÛ Ò Ò Å ÖÓ ÓÒ Òµ ÒÞ Ò Ð Òº ËÙ Ò Ë ËØ ÐÐ Ñ ÉÙ ÐÐÓ Ò Ö Á Ö Ñ ÞÙÚÓÖ Ñ Ë ÑÙÐ Ò ¹ÅÓ ÐÐ Ò Ø Ò Ù Ò ¹ÈÓÖØ Ï ÖØ ÐÓ ¹ÄÅË¹ ÐØ Ö Ò Ò Ö Ë Ð Ö ½¾ Ï ÖØ ÞÙ Û Ò Û Ö Òº Ä Ò Ë Ö Ð Ø Ú Ê ÙÑ ÑÔÙÐ ÒØÛÓÖØ Ñ Ï Ø ¹ Ò Ø Ö ÒÞ Òº Ö Ø Ò Ë ÒÙÒ ÒÞ Ò Ö Ô Ò ÚÓÖ Ò Ñ Ë Ñ Å Ò Î Û Ö Ô Ì Ñ» Ö ÕÙ ÒÝººº ÒÛ Ð Òº Ö ÒØ Ò Ø Ö Ö Ô ÈÖÓ¹ Ô ÖØÝ ÐÓ º ÌÖ Ò Ë Ö Ò ËÔ Ö¹ËØ ÖØ Ö ÖÖ Ý Ò Ñ Ï Ø ¹ Ò Ø Ö ÒØÒ Ñ Ò ÒÒ Ò Ø Ò Ë Ù Ö Ò Ò Ò ¼Ü ÞÙÖ Ã ÒÒÞ ÒÙÒ Ò Ö Ü Þ Ñ Ð Ò Ðµº Ö Ò Ò Ø Ò ÓÐÐØ Ò Û ÓÐ Ø Ò Ø ÐÐØ Ò ÁÌ¹Î ¹ ½

39 ÔÐ Ý ÌÝÔ ÕÙ Ø ÓÒ Ù Ö Ë Þ ÁÒ Ü ÁÒÖ Ñ ÒØ ÔÐ Ý Ø Ë Þ ËÈ Ø ÌÝÔ Ë ÑÔÐ Ò Ê Ø ÀÞµ ÙØÓ Ð Å Ü ÑÙÑ ¹Ú ÐÙ Ì Ñ ÔÐ Ý ÍÒ Ø Ë Ò Ð Ì Ñ ½¾ ½ ½¾ ¾¹ Ø Ó Ø Ò ÔÓ ÒØ ½ Ó ¼º½ ÑÔÐ Æ ØØ ÙÒ ÙÖ ÃÐ Ù Ç Û Ö Ò ½¾ ÃÓ Þ ÒØ Ò Ö Ö Ð Ø Ú Ò Ê ÙÑ ÑÔÙÐ ÒØÛÓÖØ Ö Ô Ö Ø ÐÐØ ÙÒ Ë ÙÒ ØÙ Ð ÖØº ÃÓÑ¹ ÑÙÒ Ø ÓÒ Ñ Ø Ñ Ë Ò ÐÔÖÓÞ ÓÖ¹ Ó Ö Ø Ò ÔÖÙ Ø ÙÒ Ö Ð ÓÖ Ø ÑÙ Û Ö Ò Ù Ð Ò Ò ÐØ Ò Û Ö Ò ÑÙ Ö ÖØ ÄÓ Ð Ø ÓÒ ØÛ ØÖ Ö Ð ÞÙÚÓÖº ÔÖ Ò Ë ÖÖ Ý Ù ÙÒØ Ö Ð Ò Ê ÙÑÖ ØÙÒ Ò ÙÒ Ó Ø Ò Ë Ë ØÞÙÒ Ö Ö Ð Ø Ú Ò Ê ÙÑ ÑÔÙÐ ÒØÛÓÖØº ÏÓ ÒØ Ø Ø Å Ü ÑÙÑ Ö ÙÒ Ø ÓÒ Û ÒÒ ÖÖ Ý ÖÓÒØ Ð ÔÖÓ Ò Û Ö Ï ÖÙÑ Ä Ø Ö ØÙÖ Ìº Ã ½ Ìº Ã Ð Ø Ä ØÙÖ ÓÒ Ï Ò Ö Ò Ã ÐÑ Ò ÐØ Ö Ò º ÁËÅ ÓÙÖ Ò Ä ØÙÖ ÆÓº ½ ¼º ËÔÖ Ò Ö ½ ½º Ïº Ïº Ö Ò Ö Ä ÖÒ Ò Ö Ø Ö Ø Ó ËØÓ Ø ¹ Ö ÒØ¹ ÒØ Ð Ó¹ Ö Ø Ñ Ò Ö Ð ËØÙ Ý Ò ÐÝ Ò Ö Ø ÕÙ º Ë Ò Ð ÈÖÓ Ò ½ Ëº ½½ ½ º ÁÌ¹Î ¹ ½

40 Versuch IT-V4: Auditive virtuelle Umgebungen Inhaltsverzeichnis 1 Eigenschaften einer auditiven virtuellen Umgebung Möglichkeiten zur Auralisierung Authentische und plausible auditive virtuelle Umgebung Berücksichtigung perzeptiver Parameter in vorhandenen Modellen Bedeutung früher Rückwürfe bei der Hörereignisbildung Künstlicher Nachhall Perzeptive Anforderungen an einen Hallgenerator Perzeptiver Vergleich von Kamm- und Allpassfiltern Schroeders parallele Kammfilterstruktur Feedback Delay Networks (FDN) Statistische Modelle Winkelkontinuierliche Bestimmung Kopfbezogener Impulsantworten Definition der kopfbezogenen Impulsantworten Iterative Berechnung mit dem LMS Algorithmus Die Echtzeit Anwendung Simulink Blockdiagramme Real-Time Workshop JACK Audio Connection Kit Von Simulink zum C-Code Vom C-Code zum echtzeitfähigen Programm Versuchsdurchführung Simulationsumgebung Bestimmung der HRIRs Aufbau des Simulink-Modells für die HRIRs Festlegung der Simulationszeit Aufbau der Auditiven Virtuellen Umgebung Simulation Untersuchungen mit der Auditiven Virtuellen Umgebung IT-V4 1

41 5.6.1 Bestimmung der HRIRs für den Direktschall Frühe Rückwürfe und später Nachhall Echtzeit-Anwendung Graphische Benutzeroberfläche Aufgaben: Echtzeit-Anwendung Echtzeit-Anwendung: AVE Presenter Demonstration Aufgabe IT-V4 2

42 1 Eigenschaften einer auditiven virtuellen Umgebung 1 Die Aufgabe auditiver virtueller Umgebungen besteht darin, Schallereignisse zu erzeugen, die zu Hörereignissen führen, die vom Hörer zumindest als plausibel akzeptiert werden. Hierzu ist es erforderlich, ein Modell der Umgebung zu erstellen, in die der Hörer versetzt werden soll; dieses Modell enthält auch die Gesetzmäßigkeiten, die die Herstellung des Schallfeldes bestimmen (z. B. Nachbildung der Naturgesetze der Schallausbreitung in realen Umgebungen). Für die zur Synthese des Schallfeldes notwendigen Berechnungen sind hierbei grundsätzlich zwei Verfahren denkbar: der wellentheoretische Ansatz und die geometrische Akustik. Vorteil der geometrischen Akustik ist der erheblich geringere Rechenzeitbedarf. Beim gegenwärtigen Stand der Technik ist allein mit diesem Ansatz die Implementierung eines realzeitfähigen und somit interaktiven Systems möglich. Hierbei werden der Wellencharakter bei der Schallausbreitung vernachlässigt und Reflexionen mit Hilfe virtueller Schallquellen nachgebildet. Die geometrischen Orte dieser virtuellen Schallquellen werden mit Hilfe des Spiegelschallquellen- oder eines Strahlverfolgungsverfahrens aus dem Ort der primären Schallquelle und der geometrischen Beschreibung der reflektierenden Flächen berechnet. Der Ort des Empfängers muss berücksichtigt werden, um zu entscheiden, ob ein gültiger geometrischer Schallweg zwischen Quelle und Empfänger existiert, d. h. ob diese virtuelle Schallquelle einen Beitrag zur Schallfeldsynthese liefert. Das Signal der virtuellen Schallquelle ergibt sich dabei aus dem Originalsignal unter Berücksichtigung der Eigenschaften der Übertragungsstrecke, die diesen Schallweg beschreibt. Dabei müssen folgende Elemente berücksichtigt werden: Abstrahleigenschaften der Quelle (z. B. Richtcharakteristik) Übertragungseigenschaften des Mediums (z. B. in Abhängigkeit von der Luftfeuchtigkeit) Übertragungseigenschaften der reflektierenden Flächen (in Abhängigkeit von Einfallswinkel und Frequenz, z. B. geometrische und diffuse Reflexionen) Empfangseigenschaften des Empfängers (z. B. Außenohrübertragungsfunktionen) Zur Berechnung des Signals werden diese Elemente als kausale lineare zeitinvariante Systeme angenommen, die sich durch FIR-Filter beliebig gut approximieren lassen; die Übertragungsfunktionen dieser Teilsysteme werden entweder berechnet oder durch Messung bestimmt und in entsprechenden Datenbanken im Simulationssystem abgelegt. Die Auswahl der Filter erfolgt anhand der Parameter des gerade betrachteten Schallweges (z. B. Abstrahlrichtung, Länge des Schallweges, Reflexionswinkel, Einfallsrichtung). Der Übergang zum interaktiven Realzeitsystem erfolgt durch die Betrachtung diskreter Zeitabschnitte, für die das Gesamtsystem wiederum als linear und zeitinvariant angenommen wird. Der Übergang zwischen einzelnen Zeitabschnitte stellt eine eigene Problemstellung dar, für die unterschiedliche Lösungen vorgeschlagen wurden (z. B. Output crossfading oder Parameter Tracking; [2]). 1 Der Abschnitt 1 ist [1] entnommen IT-V4 3

43 Die Synthese des Gesamtschallfeldes erfolgt durch Superposition der Signale sämtlicher aktiver virtueller Schallquellen. Abhängig von der Genauigkeit des geometrischen Modells des Raumes (soweit unter den Annahmen der geometrischen Akustik sinnvoll) sowie der Genauigkeit der Nachbildung der Übertragungseigenschaften der beteiligten Teilsysteme lässt sich das Schallfeld mit theoretisch beliebig hoher Exaktheit synthetisieren. Abbildung 1 zeigt im Überblick die Struktur eines Systems zur Erzeugung einer auditiven virtuellen Umgebung: Auf der statischen Ebene befinden sich Datenbanken (z. B. Außenohrübertragungsfunktionen) und während der Simulation gleich bleibende Eingangsdaten (z. B. Zuordnung von Übertragungsfunktionen zu reflektierenden Flächen). Auf der dynamischen Ebene befinden sich die veränderlichen Eingangsdaten (Quelle- und Empfängerposition), aus denen unter Berücksichtigung des geometrischen Modells die räumliche Verteilung der virtuellen Schallquellen berechnet wird. Aus den Ergebnissen dieser Berechnung ergeben sich die Signalverarbeitungsparameter: Für jede virtuelle Schallquelle wird ein individueller Signalverarbeitungspfad, benötigt. Aus der Entfernung zwischen virtueller Schallquelle VSQ i und Empfänger ergeben sich die Laufzeitverzögerung T i, die Ausbreitungsdämpfung g i und die frequenzabhängige Dämpfung M i des Mediums (ein Verfahren zur Berechnung solcher Übertragungsfunktionen des Mediums wird in [3] beschrieben). Der Abstrahlwinkel von VSQ i bestimmt die jeweilige Abstrahlrichtcharakteristik D i. Die Liste der reflektierenden Wände für diesen Schallweg ergibt die Kettenschaltung H i der entsprechenden Wandübertragungsfunktionen: Hierzu wird auf die im akustischen Modell getroffene Zuordnung von Übertragungsfunktionen zu reflektierenden Flächen zurückgegriffen. Anhand des Einfallwinkels kann die jeweilige Außenohrübertragungsfunktion HRTF(ϕ i,δ i ) für die Ohrsignalsynthese ausgewählt werden. Unter der Bedingung einer möglichst hohen Übereinstimmung des synthetisierten Schallfeldes mit dem realen Schallfeld ist somit die Voraussetzung für perzeptiv äquivalente Hörereignisse gegeben. Hierbei bleibt jedoch unberücksichtigt, inwieweit die durch Ausbreitung und Reflexionen entstehenden Änderungen des Signals durch das menschliche Gehör ausgewertet bzw. wahrgenommen werden. Wie man in Abbildung 1 erkennt, benötigt jeder Schallweg in etwa gleich viel Signalverarbeitungsresourcen: Diese konventionelle Methode der Auralisation hat daher grundsätzlich brute-force Charakter. Voraussetzung für eine effizienter implementierte auditive virtuelle Umgebung wäre jedoch die Kenntnis von Regeln oder Gesetzmäßigkeiten: Diese müssen die Zulässigkeit möglicher Vereinfachungen qualitativ oder deren Auswirkung auf die Attribute des Hörereignisses quantitativ beschreiben. Ausgangspunkt für die Implementierung einer auditiven virtuellen Umgebung ist dann die Einhaltung vorgegebener Qualitätskriterien. Diese können folglich mit weniger Signalverarbeitungsressourcen als bei der konventionellen Methode realisiert werden, bzw. mit den vorhandenen Ressourcen kann eine höhere Qualität erreicht werden. Gleichzeitig können diese Regeln aber auch zur aktiven Gestaltung auditiver virtueller Umgebungen eingesetzt werden, bei denen das Ziel nicht Authentizität, sondern Plausibilität (s. Abschnitt 1.2) ist (z. B. innerhalb einer Mensch-Maschine- Schnittstelle): Bestimmte Attribute des Hörereignisses (z. B. Ausdehnung) können dann gezielt beeinflusst werden. Diese Regeln lassen sich nur mit Hilfe psychoakustischer Untersuchungen bestimmen. Als einfache Methode bieten sich hierzu z. B. AB-Vergleiche an, wobei die Referenzstimuli mit Hilfe der konventionellen Methode erzeugt werden und die Versuchspersonen Gleich- IT-V4 4

44 Bild 1: System zur Erzeugung einer auditiven virtuellen Umgebung [1] IT-V4 5

45 oder Ungleichheit bestimmter Attribute der Hörereignisse beurteilen müssen. Eine andere Möglichkeit bieten Herstellungsmethoden, bei der die Versuchsperson aufgefordert wird, Parameter der virtuellen Umgebung so zu verändern, dass sich ein bestimmtes Hörereignis (bzw. -attribut) einstellt (z. B. Entfernungseindruck). Es ist offensichtlich, dass die so gewonnenen Ergebnisse nicht nur zur Optimierung auditiver virtueller Umgebungen eingesetzt werden können, sondern auch Schlussfolgerungen über Phänomene des Hörens ermöglichen (z. B. Präzedenzeffekt, s. Abschnitt 1.4). Es ergeben sich somit drei Anwendungsgebiete für die Ergebnisse solcher psychoakustischen Untersuchungen: optimierte Nutzung von Signalverarbeitungsressourcen neue Gestaltungsmöglichkeiten für plausible auditive virtuelle Umgebungen Erweiterung von Modellen des räumlichen Hörens in reflexionsbehafteter Umgebung Beim Entwurf eines Auditory Displays sind natürlich die Möglichkeiten zur optimalen Nutzung der Signalverarbeitungsressourcen sowie zur Gestaltung des Hörereignisses von vorrangigem Interesse. 1.1 Möglichkeiten zur Auralisierung Neben den Schallfeldmodellen sind auch die unterschiedlichen Möglichkeiten zur Auralisierung von grundlegender Bedeutung. Ziel der Auralisierung ist die Anregung des Gehörs entsprechend dem gewählten Schallfeldmodell. Letztendlich muss also ein kontrollierter Schalldruckverlauf am Trommelfell des Hörers hergestellt werden. Dieses Ziel kann sowohl mit Kopfhörer- (Ohrsignalsynthese) als auch Lautsprecherbeschallung (Schallfeldsynthese) erreicht werden. Zur Kopfhörerbeschallung wird das Signal jeder virtuellen Quelle mit einem Paar kopfbezogener Impulsantworten gefaltet, die das Übertragungsverhalten der Außenohren nachbilden (HRIR: head-related impulse response bzw. HRTF: head-related transfer function; [4]). Für jede gewünschte Schalleinfallsrichtung wird eine eigene Außenohrübertragungsfunktion sowohl für das linke als auch das rechte Ohr benötigt. Außenohrübertragungsfunktionen können entweder gemessen [5] oder modelliert werden [6, 7]. Um (sowohl unwillkürliche als auch willkürliche) Kopfbewegungen des Hörers zu berücksichtigen, ist es erforderlich, bei der Auralisierung die Position und Ausrichtung des Kopfes fortlaufend zu messen und in die Schallfeldberechnung miteinzubeziehen. Hierdurch wird das Lokalisationsvermögen des Hörers in der virtuellen Umgebung verbessert [8]. Zur Lautsprecherbeschallung sind unterschiedliche Verfahren entwickelt worden. Schroeder und Atal [9] entwickelten ein transaurales System, das mit zwei Lautsprechern realisiert wird. [10] beschreibt das Ambisonics-Verfahren, das für unterschiedliche Lautsprecherkonfigurationen geeignet ist. Gleiches gilt für das Vector Base Amplitude Panning (VBAP) Verfahren von Pulkki [11]. Die Wave Field Synthesis von Berkhout u. a. [12] benötigt eine Vielzahl von Lautsprechern zur Realisierung. Ein grundsätzliches Problem bei Lautsprecherverfahren ist die Abhängigkeit der Qualität der Darbietung (z. B. Genauigkeit der Lokalisation von Schallquellen) vom Hörerort. Ein Vergleich der Lokalisationsgenauigkeit bei Verwendung des Ambisonics- sowie des VBAP-Verfahrens wurde von Strauss und Buchholz [13] vorgenommen. IT-V4 6

46 1.2 Authentische und plausible auditive virtuelle Umgebung Die Unterscheidung zwischen authentischer und plausibler auditiver virtueller Umgebung ergibt sich aus den unterschiedlichen Zielsetzungen (auch wenn beide mit demselben Simulationsverfahren erzeugt werden können). Vereinfacht kann die authentische auditive virtuelle Umgebung auch als Spezialfall der plausiblen auditiven virtuellen Umgebung betrachtet werden. Das Ziel einer authentischen auditiven virtuellen Umgebung ist, Schallereignisse zu erzeugen, die zu Hörereignissen führen, die denen einer spezifischen, als Computermodell nachgebildeten realen Umgebung äquivalent sind. Hierbei kann es sich um eine bestehende bekannte oder um eine geplante reale Umgebung handeln. Entscheidend ist, dass ein möglichst hohes Maß an Übereinstimmung zwischen den jeweiligen Hörereignissen erreicht wird. Dies hängt natürlich nicht nur von dem Simulationsverfahren als solches ab (z. B. Berücksichtigung diffuser Reflexionen), sondern auch von der Qualität der Daten, die als Eingangsparameter dienen (z. B. Detailtreue des geometrischen Modells, Modellierung der Wandmaterialien) und die durch physikalische Messungen gewonnen werden. Ein typisches Einsatzgebiet für eine authentische auditive virtuelle Umgebung ist die raumakustische Planung; die auditive virtuelle Umgebung dient hierbei als Werkzeug zur Auralisation und zur Berechnung gewünschter Kennzahlen (z. B. Nachhallzeit). Das Ziel einer plausiblen auditiven virtuellen Umgebung ist es, Schallereignisse zu erzeugen, die zu Hörereignissen führen, von denen der Hörer annimmt, dass sie in einer ihm bekannten oder unbekannten realen Umgebung entstehen könnten, d.h. sie werden von ihm nicht als Artefakte empfunden. Aus der Art der Anwendung können sich weitere Rahmenbedingungen ergeben: Typische Einsatzgebiete für plausible auditive virtuelle Umgebungen sind Mensch-Maschine-Schnittstellen und Telekommunikationssysteme; die auditive virtuelle Umgebung dient hier zur Auralisation der Kommunikationskanäle in einer räumlichen Anordnung, um bei der Kommunikation von den Vorteilen des räumlichen Hörens zu profitieren (z. B. Cocktail-Party-Effekt). Prinzipiell besteht selbstverständlich die Möglichkeit, einen realen Raum (von dem bekannt ist, dass er für eine spezifische Anwendung gut geeignet ist, z. B. Besprechungszimmer für Teleconferencing) durch eine authentische auditive virtuelle Umgebung zu simulieren und damit ein System zu realisieren, dessen Anforderungen sich auch mit einer plausiblen auditiven virtuellen Umgebung erfüllen lassen. Davon abgesehen, dass dieser Ansatz i. a. zu einem überdimensionierten System führen wird, beraubt man sich damit auch der zusätzlichen Gestaltungsmöglichkeiten, die die virtuelle Umgebung bietet. Dies betrifft zum Einen die Anordnung der virtuellen Schallquellen (z. B. räumliche Verteilungen, die sich nicht mittels des Spiegelschallquellenverfahrens aus einer realen Raumgeometrie konstruieren lassen), zum anderen die Modellierung der durch eine virtuelle Schallquelle repräsentierten Filterwirkung (im authentischen System enthält dieser Filter die Übertragungsfunktionen der Teilsysteme, die an diesem Schallweg beteiligt sind). Hier sind ebenfalls Eigenschaften denkbar, die sich durch reale akustische Systeme nicht verwirklichen lassen, aber z. B. für ein Kommunikationssystem von Vorteil sein könnten. IT-V4 7

47 1.3 Berücksichtigung perzeptiver Parameter in vorhandenen Modellen Vorhandene Raumsimulationssysteme verstehen sich i. a. als authentische auditive virtuelle Umgebung. In der Praxis ist jedoch ein fließender Übergang zwischen plausibler und authentischer auditiver virtueller Umgebung zu beobachten. Raumsimulationssysteme erheben zwar den Anspruch, die physikalische Realität möglichst genau nachzubilden: Dennoch gibt es auch aus diesem Bereich einige perzeptiv motivierte Ansätze zu Vereinfachungen bei der Schallfeldberechnung, um die immensen Rechenzeiten zu reduzieren. Die Auswirkungen von Vereinfachungen der akustischen Eigenschaften der reflektierenden Flächen sowie geometrischer Vereinfachungen wurden von Pompetzki [14] untersucht. Aufgrund systematischer Fehler des verwendeten Strahlverfolgungsverfahrens werden nicht alle Rückwürfe detektiert: Pompetzki beschreibt ein statistisches Verfahren zur Energiekorrektur von Rückwürfen im späten Nachhallbereich, um diese Fehler auditiv zu kompensieren. Lehnert und Richter [15] untersuchten die Zulässigkeit der Verwendung von Außenohrübertragungsfunktionen mit einer verringerten Anzahl von Filterkoeffizienten. Kriterium für die Zulässigkeit war die Ununterscheidbarkeit von Stimuli im A-B-Vergleich: Zur Herstellung der Stimuli wurden Rückwürfe mit unterschiedlich langen Außenohrimpulsantworten auralisiert. Sahrhage und Hunold [16] implementierten ein psychoakustisch motiviertes Modell zur Eliminierung nicht wahrnehmbarer Rückwürfe. Die Auswahl von Rückwürfen für die Auralisierung stützt sich auf psychoakustische Untersuchungen zur Wahnehmbarkeit von Rückwürfen. Sahrhage und Hunold implementieren einen Algorithmus, der auf Grundlage dieser Daten entscheidet, ob ein Rückwurf durch den Direktschall oder einen anderen Rückwurf maskiert wird: In diesem Fall wird der Rückwurf nicht auralisiert. Die dadurch freiwerdenden Signalverarbeitungsressourcen werden für die Auralisierung von Rückwürfen höherer Ordnung genutzt. Heinz [17] beschreibt ein hybrides Raumsimulationssystem, bei dem mittlerer und später Nachhallbereich durch statistische Verfahren berechnet werden, während Direktschall und frühe Rückwürfe durch geometrische und diffuse Reflexionen modelliert werden. Die unterschiedliche Behandlung wird durch die unterschiedliche Auswertung dieser Bereiche im menschlichen Gehör motiviert und gerechtfertigt. Aufgrund der Zielsetzung der authentischen auditiven virtuellen Umgebung wurde zumeist jedoch nur die Übereinstimmung bzw. Identität der Hörereignisse der Auralisation mit und ohne Anwendung der oben beschriebenen Vereinfachungen untersucht. Von den zuvor beschriebenen drei Fragestellungen einer solchen psychoakustischen Untersuchung ist somit allenfalls eine beantwortet, nämlich die der (Rechenzeit-) Optimierung einer authentischen auditiven virtuellen Umgebung. Eine weitergehende Klassifizierung der beobachteten Unterschiede in den Hörereignissen, aus der sich Gestaltungsregeln für plausible auditive virtuelle Umgebungen ableiten ließen oder eine Interpretation dieser Unterschiede in Hinblick auf das binaurale Hören in reflexionsbehafteter Umgebung steht noch aus. IT-V4 8

48 1.4 Bedeutung früher Rückwürfe bei der Hörereignisbildung Die Wahrnehmung mehrerer korrelierter Schallereignisse führt häufig nur zu einem Hörereignis: Die beiden wichtigsten Ursachen für dieses Phänomen sind die Summenlokalisation und der Präzedenzeffekt. Die Summenlokalisation ist u. a. Grundlage stereofonischer Systeme; die Bedingungen, unter denen Summenlokalisation zustande kommt, werden von Blauert [4] beschrieben. Der Präzedenzeffekt ist insbesondere beim Hören in reflexionsbehafteter Umgebung von Bedeutung. Hierbei führt die Überlagerung von Direktschall und Rückwürfen zu einem Hörereignis, dessen Ort von der Position der Quelle des Direktschalls bestimmt wird 2. Ein ausführlicher Überblick über zahlreiche grundlegende Untersuchungen zum Präzedenzeffekt wird von Blauert [4] gegeben. Für die Gestaltung eines Auditory Display ist es wichtig, dass beim Präzedenzeffekt die Rückwürfe nicht einfach unterdrückt werden: Stattdessen ist es so, dass bestimmte Merkmale des Hörereignisses (z. B. Entfernung und Ausdehnung) durch die Rückwürfe entscheidend mitbestimmt werden. Diese Merkmale können aber als Informationsträger genutzt werden (z. B. kann der Hörereignisort eines Warnsignals genutzt werden, um den Ort der Gefahrenquelle zu konnotieren). Auf die Auralisierung von Rückwürfen kann also nicht verzichtet werden. Hartmann [18] beschreibt Lokalisationsexperimente in einem realen Raum, bei dem sowohl die Raumgeometrie als auch die akustischen Eigenschaften der Wände verändert wurden; zusätzlich wurden diese Experimente mit unterschiedlichen Arten von Stimuli durchgeführt. Hartmann beobachtete eine Beeinflussung der Lokalisation durch die zeitliche Reihenfolge früher Rückwürfe, die er durch Änderungen der Raumgeometrie beeinflusste. Er beschreibt außerdem eine größere Unbestimmtheit der Lokalisation bei frühen seitlichen Rückwürfen, was im Prinzip mit dem bereits erwähnten Begriff der Räumlichkeit aus der Konzertsaalakustik übereinstimmt. Dieser Einfluss der frühen seitlichen Rückwürfe wird von Blauert und Lindemann [19] bestätigt, die ihre Versuche mit realen Quellen in einem reflexionsarmen Raum durchführten. Der Direktschall wurde über einen frontalen Lautsprecher wiedergegeben. Die Rückwürfe wurden mit seitlich aufgestellten Lautsprechern simuliert, über die das Signal zeitverzögert und z. T. spektral modifiziert wiedergegeben wurde; als Tonmaterial diente reflexionsarm aufgenommene Orchestermusik. Diese Darbietungen wurden mit einem Kunstkopf binaural aufgezeichnet und den Versuchspersonen im Paarvergleich dargeboten. Guski [20] führte Lokalisationsexperimente ebenfalls in einem reflexionsarmen Raum durch, in den zusätzlich eine reflektierende Fläche eingebracht wurde. Die Position dieser Fläche wurde zwischen den einzelnen Versuchsdurchläufen verändert. Hierdurch wurde entweder eine seitliche, eine Boden-, oder eine Deckenreflexion erzeugt. Als Schlussfolgerung aus den Ergebnissen schreibt Guski der Bodenreflexion eine besondere Bedeutung zu: Bei dieser Anordnung wurde die Elevation der Schallquelle von den Versuchspersonen präziser geschätzt. 2 Der Präzedenzeffekt wird deswegen häufig auch als,,gesetz der ersten Wellenfront bezeichnet. IT-V4 9

49 2 Künstlicher Nachhall 3 Die ersten analogen Geräte zur Erzeugung künstlichen Nachhalls nutzten mechanische Prinzipien und bestanden aus Federn oder Hallplatten. Heute verwendet man digitale Geräte, die digitalisierte Audiosignale in Echtzeit verarbeiten. Seit der Pionierarbeit von Schroeder in den 60 er Jahren wurde in der Literatur eine Vielzahl von Algorithmen vorgeschlagen, die auf rekursiven digitalen Verzögerungsnetzwerken beruhen, [21] - [25]. Selbst mit einer großen Anzahl von Filterabgriffen oder gar mit variablen Verzögerungslängen ist es bei diesen Algorithmen schwierig, unnatürliche Resonanzen zu verhindern, die einen charakteristischen Klang verursachen, der gemeinhin als metallisch bezeichnet wird. 2.1 Perzeptive Anforderungen an einen Hallgenerator Unter der Annahme, dass alle relevanten physikalischen Phänomene linear sind, läßt sich der gesamte Verhallungsprozeß durch eine binaurale Impulsantwort angeben. Eine Raumsimulation durch Faltung eines Eingangssignals mit einer gemessenen oder berechneten Impulsantwort erfordert jedoch viel Rechenleistung 4. Auch wenn eine extrem genaue Simulation für einige Anwendungen wie z. B. Echounterdrückung erforderlich ist, ist eine solche Genauigkeit für einen überzeugenden künstlichen Nachhalleffekt nicht notwendig. Für die Erzeugung künstlichen Nachhals genügt, dass er perzeptiv nicht unterscheidbar ist von natürlichem Nachhall. Beginnend mit Sabines Formel zur Nachhallzeit wurde eine ganze Reihe von psychoakustischen Untersuchungen durchgeführt, um Kriterien zur Beschreibung der akustischen Qualität von Räumen zu finden. Seit der Arbeit von Barron ist es üblich, zwei Teile des Verhallungsprozesses zu unterscheiden: Die frühen Reflektionen (näherungsweise die ersten 80ms der Impulsantwort) und der späte Nachhall (der verbleibende Teil der Impulsantwort) [26]. Die frühe Impulsantwort besteht aus diskreten Rückwürfen, deren Zeit- und Amplitudenverteilung stark von der Form des Raumes und der Position der Quelle und des Empfängers abhängt. Diese Rückwürfe sind von zentraler Bedeutung für den subjektiven räumlichen Eindruck. Im Gegensatz dazu eignet sich der späte Nachhall für eine eher statistische Beschreibung. Er kann als Charakteristik der Außenwände betrachtet werden und ist unabhängig von der Position der Quelle und des Empfängers. Diese Beobachtungen rechtfertigen ein Konstruktionsverfahren, das sich hauptsächlich auf den Entwurf eines Hallfilters zur Simulation späten monauralen Nachhhalls konzentriert. 2.2 Perzeptiver Vergleich von Kamm- und Allpassfiltern Kamm- und Allpassfilter sind IIR Filter mit einem Verzögerungselement, die sich nur durch den zusätzlichen Direktpfad beim Allpassfilter unterscheiden, wie in Abbildung 2 dargestellt [21, 22]. Schroeder fand heraus, dass mit einer einfachen Modifikation der Amplitude des ersten Impulses der Impulsantwort ein Allpassfilters und somit ein Filter mit konstantem Amplitudengang erzielt werden kann [21]. Für ein stationäres Eingangssignal reduziert das Allpassfilter die starke Klangfarbenänderung, die von den Kammfiltern 3 Der Abschnitt 2 ist [27] und [28] entnommen 4 Auf einem modernen PC ist die benötigte Rechenleistung vernachlässigbar klein IT-V4 10

50 verursacht werden. Die Antwort des Filters auf Eingangssignale mit kurzen Transienten offenbart aber zwei Schwächen des Filters: a) Die Rückwurfdichte der zeitlichen Impulsantwort ist nicht hoch genug (verursacht Flatterechos ) b) Die Klangfärbung des Kammfilters wird nicht beseitigt. Hört man sich direkt die Impulsantwort an, wird dies recht deutlich. Der Effekt hängt stark von dem Rückkopplungsfaktor g ab. Dabei ist zu beachten, dass die Impulsantwort des Allpassfilters auf einen einzigen Impuls reduziert wird (die Amplitude des ersten Impulses wird ( g), die Amplitude des zweiten wird (1 g 2 ), siehe Abbildung 2(b)), wenn g sich dem Wert 1 annähert (Stabilitätsgrenze). In diesem Fall hat das Allpassfilter gar keinen Einfluss auf das Eingangssignal! Für kleinere Werte für g ist die Klangfarbe des Kammfilters im letzten Teil der Impulsantwort des Allpassfilters hörbar. Für g = 1 2 ist kaum ein Unterschied zwischen den Impulsantworten beider Filtern zu hören. Dieses Ergebnis ist nicht weiter verwunderlich, da die Impulsantworten bis auf den ersten Impuls identisch sind (siehe Abbildung 2). Diese Beobachtungen verdeutlichen den Einfluss des Eingangssignals auf Hörversuche und weisen darauf hin, dass allein schon die Impulsantwort nützliche Informationen zur Beurteilung der Qualität von Hallgeneratoren liefert. Ein Vergleichstest kann mit Hilfe einer Kurzzeitfouriertransformation (Sonogram) und den Impulsantworten durchgeführt werden, wie in [25] vorgeschlagen. g x( t) + z -m g y( t) x( t) z -m + + -g y( t) (a) Kammfilter (b) Allpassfilter y(t) 0 y(t) t / mt t / mt (c) Impulsantwort des Kammfilters (d) Impulsantwort des Allpassfilters Bild 2: Vergleich von Kamm- und Allpassfilter für g = 1 2 IT-V4 11

51 g 1 g 2 g 3 x( t) z -m1 1 z -m 2 z -m g1 1 -g 2 -g 3 y( t) Bild 3: Serienschaltung von Allpassfiltern 2.3 Schroeders parallele Kammfilterstruktur Um die Rückwurfdichte (Anzahl der Rückwürfe pro Sekunde in der Impulsantwort) unter Vermeidung von Klangfarbenänderungen zu verbessern, schlug Schroeder im Wesentlichen eine Kombinationen der beiden o. g. Filterkomponenten vor: Eine Serienschaltung von Allpassfiltern (Abbildung 3) und eine Parallelschaltung von Kammfiltern (Abbildung 4). Eine Serie von Allpassfiltern ergibt ein neues Allpassfilter mit konstantem Amplitudengang. Es erzeugt auch einen Anstieg der Rückwurfdichte ähnlich dem, der in einem echten Raum auftritt. Die unnatürlichen Klangverfärbungen bei kurzen Transienten sind dabei aber leider immer noch vorhanden, wie von Moorer berichtet [22]. Mit den parallelen Kammfiltern kann ein konstanter Amplitudengang nicht erreicht werden. Wenn der Frequenzgang auf Grund von vielen Überlagerungen von Kammfilterresonanzen eine genügend große Anzahl an Resonanzüberhöhungen pro Hz aufweist, ähnelt er mehr dem eines echten Raums. Interessanterweise verschwinden die Klangverfärbungen der einzelnen Kammfilter sogar für impulsartige Eingangssignale, wenn die resultierenden Nachhallzeiten der einzelnen Filter gleich gewählt werden. x( t) + z -m 1 g 1 + y( t) z -m 2 + g z -m 3 g 3 Bild 4: Parallelschaltung von Kammfiltern 2.4 Feedback Delay Networks (FDN) Ein Netzwerk mit N Verzögerungselementen der Länge τ i = m i T und einem Ein- und Ausgang läßt sich ganz allgemein als Linearkombination von verzögerten Rückkopplungs- IT-V4 12

52 a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 b z -m q 1 ( t) c 1 b 2 + z -m 2 q 2 ( t) c 2 + x( t) b 3 + z -m3 q 3 ( t) c 3 d + + y( t) Bild 5: Feedback Delay Network signalen q i (t) und dem Eingangssignal x(t) angeben: N y(t) = c i q i (t) + dx(t) (1) i=1 q i (t + m j ) = a ij q i (t) + b j x(t) (2) Das resultierende Netzwerk ist in Abbildung 5 dargestellt. Die Rückkopplungsmatrix A enthält dabei die Rückkopplungsfaktoren a ij von Verzögerungselement i zu Verzögerungselement j. Diese von Stautner und Puckette vorgeschlagenen feedback delay networks (FDN) können, wie in Abbildung 6 dargestellt, durch Tiefpaßfilter erweitert werden, um frequenzabhängige Nachhallzeiten realisieren zu können [23]. a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 b 1 + z -m 1 h 1 ( z) c 1 b 2 h 2 ( z) z -m 2 + c 2 + b 3 + z -m 3 z c 3 + t( z) h 3 ( ) x( t) d + y( t) Bild 6: Modifiziertes Feedback Delay Network IT-V4 13

53 2.5 Statistische Modelle Moorer bemerkte, dass es eine gewisse Ähnlichkeit zwischen der Raumimpulsantwort eines Konzertsaales und weißem Rauschen multipliziert mit einer exponentiell abklingenden Einhüllenden gibt und dass die Faltung eines trockenen Audiosignal mit dieser synthetischen Impulsantwort einen natürlich klingenden Halleffekt bewirkt [22]. Nach Polack kann die synthetische Raumimpulsantwort als Realisierung eines nicht stationären stochastischen Prozesses betrachtet werden: h(t) = b(t)e δt for t 0 (3) b(t) sei hier mittelwertfreies, stationäres, Gaußsches Rauschen und δ die Konstante zur Einstellung der Nachhallzeit. Um eine frequenzabhängige Nachhallzeit zu erhalten, schlug Moorer vor, eine Filterbank zu verwenden und die Ausgänge zu addieren, nachdem sie mit exponentiell abklingenden Einhüllenden multipliziert wurden (Abbildung 7). b( t) stationäres weißes Rauschen H(f) Filterbank f k 2k 4k e d1t e d2t e d3t e d4t e d5t e d6t x x x x x x d i = -3 ln10 Tr i n d( t) Direktschall h( t) synthetische Impulsantwort Bild 7: Synthese einer Raumimpulsantwort nach Moorer IT-V4 14

54 3 Winkelkontinuierliche Bestimmung Kopfbezogener Impulsantworten 3.1 Definition der kopfbezogenen Impulsantworten Kopfbezogene Impulsantworten (engl. head related impulse responses: HRIRs) sind das entscheidende Werkzeug zur Erzeugung virtueller akustischer Realitäten für kopfhörerbasierte Auralisierung. HRIRs beschreiben das richtungsabhängige Übertragungsverhalten des Schalls von einer Schallquelle im Raum zu einem Bezugspunkt im linken/rechten Außenohr. Da sich der Schall im Gehörgang unabhängig von der Einfallsrichtung ausbreiten, wird als Bezugspunkt oft Ohreneingang gewählt. Der Versuch einer präziseren Definition dieses Bezugspunktes ist noch immer Grundlage aktueller Forschung. Die Defintion der HRIRs begrenzt sich eindeutig auf die Beschreibung der akustischen Empfängereigenschaften (im wesentlichen Außenohr, Kopf und Oberkörper des Hörers) und soll keinerlei Charakteristik der akustischen Umgebung (also eines Raumes) aufweisen. HRIRs sind also unter sogenannten Freifeldbedingungen definiert. Praktisch werden Freifeldbedingungen näherungsweise in speziell ausgekleideten, reflexionsarmen akustischen Meßräumen erreicht. Abbildung 8 verdeutlicht schematisch die Anordnung von akustischer Signalquelle (Lautsprecher) und Empfänger (Kopf). Die Signalquelle ist dabei durch das elektrische Signal x(k) zum Abtastzeitpunkt k beschrieben, während die resultierenden Größen am Ort des Empfängers durch die beiden elektrischen Signale y 1 (k) und y 2 (k) gegeben sind. Diese elektrischen Größen am Empfänger können über geeignete Meßmikrofone erzeugt werden. Ein experimenteller Aufbau dieser Art kann zur Bestimmung der HRIRs genutzt werden. x(k) ϕ k y 1 (k) y 2 (k) play and record Bild 8: Zur Definition und Messung kopfbezogener Impulsantworten. Zu den bereits erwähnten Empfängereigenschaften zählen vor allen Dingen die Phänomene der akustischen Beugung und Reflexion sowie die interauralen Laufzeit- und Dämpfungunterschiede der eintreffenden Wellenfront. All diese Eigenschaften können in der IT-V4 15

55 linearen Systemtheorie durch die Impulsantworten von der Signalquelle zum Eingang des Gehörgangs erfasst werden. Mit dem Meßsignal x(k) und den beiden Empfangssignalen y 1 (k) und y 2 (k) erfolgt also die mathematische Definition der HRIRs h i (κ,ϕ k ) im Sinne der linearen Faltung: y i (k) = N x(k κ)h i (κ,ϕ k ). (4) κ=0 Die azimuthale Winkelabhängigkeit der zeitdiskreten Impulsantworten h i (κ,ϕ k ) wird durch das Winkelargument ϕ k beider HRIRs berücksichtigt. Beide Impulsantworten, welche durch i {1,2} indiziert sind, seien außerdem durch die endliche Zahl von N Koeffizienten modelliert. N muß dabei so gewählt werden, dass die grundsätzlich unendlich langen akustischen Impulsantworten mit hinreichender Genauigkeit beschrieben werden. An dieser Stelle wird praktisch immer ein Kompromiß von Genauigkeit und Komplexität der mathematischen Beschreibung eingegangen. Bei einer Abtastfrequenz von 44.1 khz wird üblicherweise mit N = 128 oder N = 256 Koeffizienten der Impulsantwort gearbeitet. Das Konzept der azimuthalen Winkelabhängigkeit (horizontale Ebene) kann grundsätzlich auf eine dreidimensionale Abhängigkeit erweitert werden, soll aber an dieser Stelle nicht weiter thematisiert werden. Die Versuchdurchführung ermöglicht jedoch auch ein eingeschränktes Experimentieren mit dreidimensionaler virtueller akustischer Realität. Unter Laborbedingungen kann, bei gleichzeitiger Wiedergabe des Meßsignales x(k), eine Aufnahme der Signale y 1 (k) und y 2 (k) entweder personalisiert oder unter Zuhilfenahme der Kunstkopftechnik erfolgen. Mit Kenntnis dieser Signale können dann mit Hilfe von Kreuzkorrelationstechniken der digitalen Signalverarbeitung die interessierenden kopfbezogenen Impulsantworten errechnet werden. Die so gefundenen HRIRs dienen dann als Werkzeug innerhalb eines Systemes zur Erzeugung virtueller akustischer Realität. Personalisierte Messungen liefern mehr akustische Transparenz und ermöglichen eine genauere akustische Lokalisierung virtueller Tonquellen, müssen aber für den entsprechenden Benutzer individuell und mit geeignetem Gerät durchgeführt werden. 3.2 Iterative Berechnung mit dem LMS Algorithmus Traditionell erfolgt die Messung der HRIRs für eine begrenzte Anzahl ausgewählter Winkel ϕ. Die Justierung des Meßequipments und die eigentliche Messung im Abstand von üblicherweise ϕ = Grad ist in diesem Falle sehr zeitintensiv. Die gefundenen HRIRs werden dann in Tabellenform den Systemen zur Erzeugung virtueller Realitäten zur Verfügung gestellt und die Erzeugung von HRIRs an den Zwischenwinkeln muß vom System zusätzlich geleistet werden. Hierzu benutzen die Systeme der virtuellen Realität im allgemeinen Techniken der Interpolation, wobei die Wahl einer geeigneten räumlichen Interpolationsmethode für Impulsantworten ebenfalls Gegenstand der Forschung ist. In diesem Versuch wird ein neuartiges, am Institut für Kommunikationsakustik entwickeltes Verfahren [29] zur unmittelbar winkelkontinuierlichen Bestimmung der Impulsantworten eingesetzt. Das Verfahren beruht auf der Erkenntnis, dass eine messtechnische Bestimmung der HRIRs für alle Winkel ϕ mit endlichem Zeitaufwand zwangsläufig dynamisch erfolgen muss. Praktisch wird das Messobjekt (also z. B. ein mit zweikanaliger IT-V4 16

56 Aufnahmetechnik ausgestatter Kunstkopf) während der Messsignalwiedergabe einmal um 360 um seine Achse gedreht. Zu jedem Zeitpunkt k gilt dann im Rahmen der Aufnahme ein anderes Winkelargument ϕ k. Die resultierenden Aufnahmesignale y 1/2 (k) repräsentieren dann die winkelkontinuierliche Gesamtheit aller HRIRs. Nach derzeitigem Stand der Forschung kann die erforderliche Aufnahmedauer unter einer Minute liegen. Die Extraktion der benötigten HRIRs aus dem Aufnahmesignal geschieht in diesem Verfahren mit Hilfe einer iterativen Technik aus der digitalen Signalverarbeitung, dem s.g. Least-Mean-Square (LMS) Algorithmus. Der Algorithmus beruht auf vektorwertigen Berechnungsvorschriften, die im Folgenden noch kurz beschrieben werden: Zum Aufnahmezeitpunkt k und dem dazugehörigen Winkel ϕ k beschreibe der Vektor x(k) = (x(k), x(k 1),...,x(k N + 1)) T (5) die endliche Anzahl N der zuletzt abgespielten Abtastwerte des Meßsignals. Weiterhin enthalten die Vektoren h i (ϕ k ) = (h i (0,ϕ k ), h i (1,ϕ k ),...h i (N 1,ϕ k )) T (6) die N Koeffizieten der bereits oben definierten kopfbezogenen Impulsantworten h i (κ,ϕ k ). Es handelt sich also um eine kompakte vektorielle Darstellung der HRIRs. Der iterative LMS Algorithmus bestimmt nun die HRIRs zum beliebigen Zeitpunkt k + 1 aus den bereits gefunden HRIRs zum Zeitpunkt k, h i (ϕ k+1 ) = h i (ϕ k ) + µ 0 e i (k)x(k) x(k) 2 2 (7) e i (k) = y i (k) h T i (ϕ k)x(k), (8) und nutzt hierzu die Differenzsignale e i (k), deren mittlere Leistungen bei gelungener Identifikation der HRIRs minimiert werden. Die Größe x(k) 2 2 bezeichnet in diesem Algorithmus die 2-Norm des Vektors x(k), während der skalare Faktor 0 µ 0 1 zur Anpassung des Algorithmus an die Umdrehungsgeschwindigkeit bei der Signalaufnahme dient. Mit der Verfügbarkeit der Signale x(k) und y 1/2 (k) kann das iterative Verfahren an einer beliebigen Stelle k gestartet werden, wobei üblicherweise eine Initialisierung der HRIRs mit Null erfolgt. Wenn die HRIRs zum gewünschten Winkel ϕ gefunden sind, wird das Verfahren abgebrochen. Werden neue HRIRs für einen neuen Winkel ϕ benötigt, so kann die Iteration direkt an der Abbruchstelle fortgesetzt werden (ohne neue Initialisierung). Für eine Erzeugung virtueller, kontinuierlich bewegter Tonquellen kann das neue Verfahren kontinuierlich angepasste HRIRs liefern. Das iterative Berechnungsverfahren (LMS Algorithmus) muß in diesem Falle ohne Unterbrechung ausgeführt werden. Anstatt der traditionellen HRIR-Tabellen werden im Zusammenhang mit dem neuen Verfahren die vorab gemessenen Signale x(k) und y 1/2 (k) als Informationsquelle im System zur Erzeugung virtueller Realität gespeichert. IT-V4 17

57 4 Die Echtzeit Anwendung In diesem Versuchsteil geht es darum eine Auditive Virtuelle Umgebung (engl. Auditory Virtual Environment - AVE) auf dem Rechner zu modellieren, um daraus eine Echtzeit- Anwendung zu erstellen. Um diese beiden Aufgaben zu erfüllen, werden im Folgenden einige komplexe Werkzeuge benutzt, die hier einmal genauer vorgestellt werden. Einen Überblick über den Ablauf der Entstehung der Echtzeit-Anwendung gibt Bild 9. AVE Simulink Model Real Time Workshop Software Environment: (JACK Application) Parameter Bild 9: Ablauf der Aufgaben 4.1 Simulink Blockdiagramme Die Plattform Simulink ist eine Erweiterung zu dem bereits bekannten Programm Matlab von The MathWorks. Sie dient der Simulation und dem modellbasierten Entwurf dynamischer Systeme. Es werden eine interaktive, grafische Entwicklungsumgebung mit individuell anpassbaren Blockbibliotheken geboten, für die eine Reihe von Erweiterungen für spezielle Anwendungsgebiete zur Verfügung stehen. Simulink ermöglicht die hierarchische Modellierung mit Hilfe grafischer Blöcke. Dabei stellt Simulink eine Grundmenge an kontinuierlichen und diskreten Schaltblöcken zur Verfügung. Der Datenfluss zwischen den Blöcken wird grafisch über Verbindungslinien realisiert (sog. gerichteter Graph) Real-Time Workshop Mit Hilfe der Toolbox Real-Time Workshop kann aus einem Simulink-Modell Programmcode erzeugt werden, der mit Konfigurationsdateien für verschiedene Zielsprachen anpassbar ist. In diesem Praktikum wird C-Code aus dem Simulink-Modell erzeugt. Der erzeugte Code lässt sich für vielfältige Echtzeit- und Nicht-Echtzeit-Anwendungen nutzen, etwa zur Simulationsbeschleunigung, für das Rapid Prototyping und für Hardwarein-the-Loop-Tests. Der generierte Code kann mit Simulink-Blöcken sowie integrierten Analysefunktionen optimiert und kontrolliert oder außerhalb der Matlab- und Simulink- Umgebung ausgeführt und beeinflusst werden. IT-V4 18

58 4.2 JACK Audio Connection Kit Für die Anwendung in Echtzeit wird nun das JACK Audio Connection Kit benutzt. Dabei handelt es sich um eine Softwareschnittstelle für Audio-Computerprogramme (Clients) unter Unix-ähnlichen Systemen. Dieser sog. JACK-Server verwaltet die Ein- und Ausgänge von Audioprogrammen und Audio-Hardware (z. B. Mikrofoneingang und Audioausgang der Soundkarte) und routet die Audiosignale zwischen ihnen. Der JACK- Server synchronisiert die Clients, indem er zu festen Zeiten Callback-Funktionen aufruft, die einen Block von Audiodaten am Eingang der Soundkarte einlesen oder an den Ausgang weitergeben. In diesem Praktikum benutzen Sie die Oberfläche mit dem Kommando qjackctl. In Bild 10 sehen Sie einen JACK-Server direkt nach dem Aufruf von qjackctl. Bild 10: JACK-Server 4.3 Von Simulink zum C-Code Um mit Hilfe des JACK-Servers eine Echtzeit-Anwendung zu realisieren, muss C-Code, in dem die Callback-Funktionen für die JACK-Anwendung eingebunden sind, erzeugt und kompiliert werden. Um aus einem Simulink-Modell C-Code zu erzeugen, wird in diesem Fall der Generic Real-Time Workshop von Matlab benutzt, welcher aus den einzelnen Blöcken und Algorithmen eines Simulink-Modells automatisch C-Code generiert. 4.4 Vom C-Code zum echtzeitfähigen Programm Ist der C-Code generiert, geht es darum ihn mit dem JACK-Server zu verbinden und dann zu kompilieren, um das Echtzeit-Programm ausführen zu können. Zu diesem Zweck muss der Code in ein bereits vorhandenes C-Projekt eingefügt werden, in welchem die Einstellungen für die JACK-Anwendung vorgenommen werden. Dort werden Verbindungen vom C-Projekt zum JACK-Server und von dort aus zur Soundkarte eingestellt. Die Einund Ausgänge werden mit Hilfe einer globalen Speicherumgebung (global memory area) realisiert. Dadurch lassen sich die Signale, welche an den Ein- und Ausgängen anliegen, direkt vom C-Code ansprechen, auslesen oder an andere Speicheradressen kopieren. Somit kann eine Signalverarbeitung des Eingangssignals realisiert werden, indem der Eingang eingelesen, mit dem aus Simulink erzeugten Code verarbeitet, und an den Ausgang zurückgegeben wird. Die bearbeiteten Signale am Ausgang werden ausgelesen und vom C-Projekt an den JACK-Server weitergegeben. Das C-Projekt für JACK zusammen mit dem generierten Code aus Simulink, dem Input/Output-Interface und dem JACK- Server bilden den Software-Teil der Echtzeit-Anwendung. Dieser kommuniziert mit der IT-V4 19

59 Soundkarte und stellt sicher, dass alle Signale an den Eingängen eingelesen, bearbeitet und dann an die Ausgänge der Soundkarte zurückgegeben werden. Die Bearbeitung der Signale an den Ein- und Ausgängen der Soundkarte erfolgt mit einer Abtastrate (Sampling Frequency) von 44,1 khz. Eine Übersicht über die Interaktionen zwischen den einzelnen Programmteilen und der Hardware wird in Bild 11 gezeigt. Inputs Simulink Code Outputs Funktionsaufruf C Projekt JACK Server Software Environment (SW) Fs = 44.1kHz Soundkarte CD Player (Audio In) Kopfhörer (Audio Out) Bild 11: Schema der Soft- und Hardwareinteraktion IT-V4 20

60 5 Versuchsdurchführung Dieser Versuch ist in zwei Abschnitte unterteilt: Winkelkontinuierliche Bestimmung kopfbezogener Impulsantworten (HRIRs) Aufbau einer Raumsimulation (Auditive Virtuelle Umgebung) durch Faltung eines Eingangsignals (mono Signal) mit synthetisierten Raumimpulsantworten Beide Experimente werden in Simulink durchgeführt. Im Hintergrund wird zur Erzeugung der Impulsantworten, die die frühen Rückwürfe und den späten Nachhall enthalten, zusätzlicher Matlab-Code genutzt. Eine weitere Analyse des Matlab-Codes ist nicht Gegenstand der Versuchsdurchführung. 5.1 Simulationsumgebung Sämtliche in diesem Versuch gebrauchten Dateien befinden sich auf dem Desktop im Ordner V4. Hier befinden sich alle Daten, die eingelesen werden müssen sowie bereits angelegte leere Simulink-Modelle (*.mdl), in denen die während des Praktikums angefertigten Blockdiagramme gespeichert werden sollen. Aus diesem Grund ist es wichtig, dass Matlab und Simulink von diesem Ordner aus gestartet wird. Um in den gewünschten Ordner zu gelangen öffnet man eine Konsole und tippt cd Desktop/V4 ein. Um Matlab zu starten gibt man matlab ein. Um nun Simulink zu öffnen gibt man im Matlab- Hauptfenster simulink ein. 5.2 Bestimmung der HRIRs Mit den vorab gemessenen Signalen x(k) und y 1/2 (k) können die kopfbezogenen Impulsantworten wie in Bild 8 bestimmt werden. Diese Signale sind in den Dateien xk 20s.wav (mono) yk 20s.wav (Stereo) bei einer Abtastfrequenz von 44.1 khz gespeichert. Die Umdrehungsdauer des Meßobjektes (z.b. Kunstkopf) beträgt 19.5 Sekunden. Das Stereosignal y 1/2 (k) ermöglicht die Bestimmung der kopfbezogenen Impulsantworten sowohl für das linke als auch für das rechte Ohr. 5.3 Aufbau des Simulink-Modells für die HRIRs Öffnen Sie nun die Datei HRIR.mdl. Erstellen Sie in diesem leeren Modell ein wie in Bild 26 dargestelltes Blockdiagramm zur Berechnung der kopfbezogenen Impulsantworten. Sollten Sie einen der benötigten Blöcke nicht unmittelbar finden, können die Blöcke in der Symbolzeile des Simulink Library Browser namentlich gesucht werden ( Enter search term ). Wo Sie die Blöcke der ikalib finden ist im Bild 12 gezeigt. Kopieren Sie die Blöcke Reference Input und Microphone Signal von der IKA Audio Library (ikalib) in ein leeres Simulink-Modell, um die Signale x(k) und y 1/2 (k) einzulesen. Kopieren Sie dann zwei LMS Filter Blöcke aus der Simulink-Library in das Modell und nehmen Sie die Einstellungen wie in Bild 13 gezeigt vor. IT-V4 21

61 Bild 12: ikalib in Simulink Verwenden Sie einen Constant-Block aus der Simulink-Library um die Schrittweiteneingang (Step-size) des NLMS-Algorithmus zu beschalten. Da in diesem Versuch zunächst nur die Impulsantwort der Filter (Ausgang Wts - weights) untersucht wird, verbinden Sie die anderen beiden Ausgänge der Filter mit einem Terminator. Die Impulsantworten stellen Sie mit einem Vector Scope dar und speichern Sie als left und right im Matlab Workspace über die Blöcke To Workspace (Konfiguration siehe Bild 14). Verbinden Sie alle Blöcke wie in Bild 26 gezeigt. Für die Initialisierung des Modells laden Sie die Datei configlms.mat in den Matlab-Workspace. Führen Sie hierzu unter Matlab den folgenden Schritt durch: load( configlms.mat ); 5.4 Festlegung der Simulationszeit In den Signalen x(k) und y 1/2 (k) korrespondiert jeder Aufnahmezeitpunkt mit einer bestimmten Winkelposition des Meßobjektes (z.b. Kunstkopf). IT-V4 22

62 Bild 13: Einstellungen des LMS Filter-Blocks. Bild 14: Einstellungen des To Workspace-Blocks. IT-V4 23

63 Um die kopfbezogenen Impulsantworten für einen gewünschten Winkel ϕ zu berechnen, müssen also die Daten x(k) und y 1/2 (k) mit dem Simulink-Aufbau vom Anfang bis zum jeweiligen Aufnahmezeitpunkt prozessiert werden. Hierzu muss unter Simulink Configuration Parameters die Simulationszeit entsprechend eingestellt werden, wie in Bild 15 gezeigt. Bei einer Umdrehungsdauer von T 360 Sekunden können Sie die Stop time und die Start time der Simulation mit folgenden Formeln berechnen: Start time = Stop time = ϕ 360 T ϕ 360 T 360. (9) Bild 15: Einstellung der Simulationszeit für die Bestimmung der HRIRs. 5.5 Aufbau der Auditiven Virtuellen Umgebung Simulation Eine auditive virtuelle Umgebung besteht aus einer Simulation des richtungsabhängigen Direktschalles sowie der Simulation früher und später Reflexionen. Öffnen Sie nun das ebenfalls leere Modell AVEsim.mdl und bauen Sie das Blockschaltbild einer auditiven virtuellen Umgebung nach dem Vorbild von Bild 27 auf: Kopieren Sie die Simulink-Blöcke Direct Sound, Early Reflections und Late Reverberations (jeweils left und right) von der IKA Audio Library (ikalib) in das Simulink-Modell und speisen Sie die Module durch ein Audiosignal (WavFromFile). IT-V4 24

64 Fügen Sie digitale Schalter zum Aktivieren bzw. Deaktivieren der drei Module hinzu, indem Sie Konstanten (Constant) hinzufügen, welche auf 1 oder 0 eingestellt werden können, mit denen die Signale multipliziert werden. In diese Blöcke tragen Sie die Variablennamen dsen (Direct Sound Enable), eren (Early Reflections Enable) und lren (Late Reverberations Enable) ein, welche sich schon im Workspace befinden, und über welche die Effekte einund ausgeschaltet werden können. Addieren Sie die Ausgangssignale der drei Module und führen Sie das Ergebnis einem Audiowiedergabe-Block (Play Stereo) zu. Stellen Sie die Simulationszeit ein, wie in Bild 16 gezeigt. Die Blöcke, welche in dem Bild 27 die Signale von der Quelle zur Verarbeitung und später zur Addition verbinden, heißen GoTo und From. Sie werden über die sog. Tags gesteuert, d.h. alle GoTo und From-Blöcke, in denen Sie die gleichen Tags einsetzen, werden miteinander verbunden. In Bild 17 sehen Sie zum Beispiel die Sink Block Parameters eines GoTo-Blocks. Bild 16: Einstellung der Simulationszeit der AVE. Nun speichern Sie das Modell (Strg+S), sodass sich in dem Ordner V4 nun drei Simulink-Modelle befinden - HRIR.mdl, AVEsim.mdl und AVE.mdl. 5.6 Untersuchungen mit der Auditiven Virtuellen Umgebung Bestimmung der HRIRs für den Direktschall Hinweis: In dieser Aufgabe werden wir uns nur mit dem Direktschall beschäftigten. Frühe Rückwürfe und später Nachhall sind deaktiviert. IT-V4 25

65 Bild 17: Einstellungen eines GoTo-Blocks 1. Bestimmen Sie die HRIRs für die Winkel 90 und 270 und speichern Sie dann die Ergebnisse als Datei ab. Führen Sie hierzu unter Matlab die folgenden Befehle aus: save( hrir90.mat, left, right ); save( hrir270.mat, left, right ); Die Winkel können über die entsprechende Variable ϕ im Workspace angepasst werden. 2. Plotten Sie die HRIRs in Matlab und vergleichen Sie die Amplituden und die Verzögerung zwischen linker und rechter HRIR für die genannten Winkel. Beschreiben Sie grob den zu erwartenden Höreindruck eines damit prozessierten Audiosignals. Mit den folgenden Befehlen unter Matlab können Sie die HRIRs für die jeweiligen Winkel in den Workspace laden: load hrir90.mat; load hrir270.mat; IT-V4 26

66 3. Simulieren Sie nun das Modell aus Bild 27 zunächst nur für den Direktschall (frühe Rückwürfe und später Nachhall sind zu deaktivieren). Hören Sie sich das binaurale Signal an und beschreiben Sie den auditiven Eindruck für beide Winkel Frühe Rückwürfe und später Nachhall 1. Erzeugen Sie nun die Signale einschließlich der frühen Rückwürfe und des späten Nachhalls für einen Winkel von Verändern Sie die Parameter der Nachhallblöcke, wie z.b. die Größe des Raums und die Nachhallzeit und versuchen Sie eine Einstellung zu finden, die dem Höreindruck einer realen Umgebung entspricht. Dokumentieren Sie die Parametereinstellung und beschreiben Sie Ihren Höreindruck. Anhaltswerte für typische Umgebungen finden Sie in Tabelle 1. In den Bildern 18 und 19 sehen Sie die Parameter-Dialoge der Blöcke Direct Sound, Early Reflections und Late Reverberations. 3. Deaktivieren Sie nun den späten Nachhall. Welchen Höreindruck haben Sie jetzt im Vergleich zur vorherigen Aufgabe. Bild 18: Parametermaske des Direct Sound Blocks 120 Hz 380 Hz 1200 Hz 3908 Hz Hz Größe (m 3 ) Initialisierung Moderne Konzertsäle Historische Säle Große Kirchen Tabelle 1: Frequenzabhängiger Nachhall verschiedener Umgebung. Die Nachhallzeiten, welche in der Tabelle gegeben sind, lassen sich in den Blöcken für Early Reflections und Late Reverberations einstellen. Dazu muss die Parameter- Maske der Blöcke durch Doppelklick geöffnet werden und die Werte aus der Tabelle übertragen werden. Bild 18 und Bild 19 zeigen die Parameter-Masken der Blöcke Direct Sound, Early Reflections und Late Reverberation in der Grundeinstellung. IT-V4 27

67 (a) Early Reflections (b) Late Reverberations Bild 19: Parametermasken für frühen und späten Nachhall 5.7 Echtzeit-Anwendung Um von der Simulation zu einer Echtzeit-Version der auditiven virtuellen Umgebung zu kommen müssen einige Änderungen am Modell vorgenommen werden. Hierzu öffnen Sie nun das Modell AVE.mdl und nehmen die Anpassungen gemäß dem Bild 28 vor. Damit der Code, welcher aus dem Modell mit Hilfe des Real-Time Workshop generiert wird, in die hier benutzte Echtzeit-Umgebung integriert werden kann sind insbesondere folgende Vorgaben einzuhalten: Signale werden nicht mehr aus dem Matlab-Workspace eingelesen und nach der Verarbeitung dort gespeichert, sondern die Ein- und Ausgabe der Signale geschieht über Ein- und Ausgänge ( In und Out ). Eine genauere Beschreibung der Einstellungen erfolgt später in diesem Kapitel. Die Steuerung der Effekte (z.b. frühe Reflektionen etc.) wird später über eine graphische Benutzeroberfläche von der Echtzeit-Anwendung direkt übernommen. Deswegen müssen auch hier die Eingänge benutzt werden, welche die Echtzeit- Anwendung später bedienen kann. Auch die Simulationszeit muss angepasst werden. Da im kontinuierlichen Echtzeitbetrieb nicht mehr über eine bestimme Zeit simuliert, sondern durchgehend verarbeitet wird, muss hier inf (unendlich) eingestellt werden. IT-V4 28

68 Desweitern müssen Änderungen unter Simulation Configuration Parameters... vorgenommen werden. Der Solver muss den Anforderungen entsprechend eingestellt werden. Hierbei ist darauf zu achten, dass es sich um einen Discrete (no continous states) Solver handelt, welcher vom Typ Fixed-Step ist. Die Fixed-step size muss auf 1/Fs eingestellt werden, was dem Abtastintervall der Analog/Digital- Umsetzung entspricht. Desweiteren müssen unter Hardware Implementation die benutzte Hardware angegeben und unter Real-Time Workshop die richtige Programmiersprache für den Real-Time Workshop eingestellt werden. Eine Übersicht über diese Einstellungen geben Bild 20 und Bild 21. Bild 20: Hardware Implementation Die Verarbeitung der Daten für die AVE verläuft Frame basiert. Aus diesem Grund müssen die in dem Modell AVE.mdl neu eingefügten Eingänge ebenfalls konfiguriert werden. Die Framegröße für die Verarbeitung der Audiodaten über die JACK-Anwendung liegt bei R = 2048 Werten. Die Steuerung der Effekte verläuft binär über 0 und 1. Deswegen wird im Eingang In1 eine Framegröße von R und in den Eingängen In2, In3 und In4 eine Framegröße von 1 eingestellt. Die genauen Informationen über die Einstellungen der Eingänge können Sie aus Bild 22 entnehmen. Wenn alle Blöcke wie gewünscht verschaltet und alle Attribute korrekt eingestellt sind kann der Code erzeugt werden. Dies geschieht - bei geöffnetem Modell - mit der Tastenkombination Strg+B oder im Menü unter Simulation Configuration Parameters... und dann unter Real-Time Workshop durch drücken des Buttons Generate code. Während der Erzeugung des C++-Codes wird der aktuelle Fortschritt im Hauptfenster von Matlab angezeigt. IT-V4 29

69 Bild 21: Real-Time Workshop Nach dem Abschluss des Vorganges werden alle benötigten Dateien automatisch in einem neuen Ordner in Ihrem aktuellen Matlab-Verzeichnis gespeichert. Der Ordner hat den Namen AVE grt. Das Kürzel grt steht für Generic Real-Time Workshop. Ist der Code erzeugt, geht es darum, ihn - wie im vorhergehenden Abschnitt beschrieben - in die JACK-Anwendung und die Hardware-Kette einzubinden. Da das Kopieren der einzelnen Dateien und die Einstellung der einzelnen Komponenten relativ viel Zeit in Anspruch nimmt, wird diese Aufgabe im Praktikum von einem vorgefertigten Skript übernommen. Dieses Skript finden Sie im Praktikumsordner ( V4 ) auf dem Desktop. Zum Ausführen des Skriptes, führen Sie den folgenden Befehl im Ordner V4 über die Konsole aus:./scriptv4 Das Skript erledigt nun folgende Aufgaben (die Fettgedruckten Aufgaben müssen von Ihnen selbst erledigt werden): Starten der Oberfläche qjackctl der JACK-Server muss nun von Ihnen gestartet werden (grüner Knopf) Kompilierung des C++-Codes für die JACK-Anwendung zusammen mit dem generierten Code aus Simulink Ausführung des kompilierten Programms angeschlossene graphische Benutzeroberfläche öffnet sich Erstellung der Verbindungen der Ein- und Ausgänge der Soundkarte über JACK, siehe Bild 23 Start der kompilierten Echtzeit-Anwendung (JACK-Client) IT-V4 30

70 (a) Eingang In1 (b) Eingänge In2, In3 und In4 Bild 22: Einstellungen für die Eingänge Bild 23: Verbindungen der Ein- und Ausgänge der Soundkarte über JACK IT-V4 31

71 5.7.1 Graphische Benutzeroberfläche Um die Effekte der auditiven virtuellen Umgebung in Echtzeit zu steuern, wurde hierfür eine kleine graphische Benutzeroberfläche (engl. Graphical User Interface - GUI) eingebaut. Über diese Benutzeroberfläche kann man den Direktschall, die frühen Reflektionen und den späten Nachhall einund ausschalten. Mit Hilfe dieser Funktionen ist es möglich sich einen akustischen Eindruck der einzelnen Effekte zu verschaffen. In Bild 24 sehen Sie die GUI, welche nach dem Ausführen des Skriptes erscheint. Bild 24: Graphische Benutzeroberfläche Wenn die Option All Processing Bypass aktiviert ist, sind automatisch alle anderen Optionen deaktiviert - erst sobald man diese Option deaktiviert kann man die anderen Effekte wirklich untersuchen. 5.8 Aufgaben: Echtzeit-Anwendung In diesem Aufgabenteil verwenden Sie als Signaleingang einen CD-Player, welcher mit der Soundkarte verbunden ist. Die im Rechner verarbeiteten Signale hören Sie sich mit den Kopfhörern an, welche über einen Kopfhörerverstärker an die Soundkarte angeschlossen sind. 1. Legen Sie die CD Versuch V4 - CD 1 ein und stellen Sie ein Hörereignis aus der Tabelle 1 ein. Erzeugen Sie für diese Einstellung die Echtzeit-Anwendung und vergleichen Sie das Hörereignis mit der Simulation. Beschreiben Sie außerdem welche Veränderungen sich durch Ein- und Ausschalten der einzelnen Effekte ergeben. 2. Wechseln Sie nun die CD im CD-Player und legen Sie die CD Versuch V4 - CD 2 ein. Auf dieser CD befindet sich ein trockenes -Audiosignal einer Oper (ohne Hall- oder sonstige Effektanteile). Erstellen Sie nun durch Variation der Parameter für frühe Reflektionen und späten Nachhall ein Hörereignis, welches Ihrer Meinung nach dem eines Opernsaales am nächsten kommt. Tragen Sie die Parameterwerte (als Antwort 5.8.2) in die Versuchsauswertung ein. IT-V4 32

72 6 Echtzeit-Anwendung: AVE Presenter Auf der Basis der Struktur dieses Praktikumsversuchs wurde an diesem Lehrstuhl ein weiterführendes und umfangreicheres Projekt entwickelt. In diesem Projekt, dass sich AVE Presenter nennt, wird die Bestimmung der HRIRs in Echtzeit vorgenommen. Diese Änderung ermöglicht eine Neupositionierung der Quelle an jedem Punkt der azimutalen Ebene während der Laufzeit. Im Programm wird der Code aus zwei Simulink Modellen benötigt, welcher parallel abläuft und miteinander interagiert. Das Modell zur Schätzung der HRIRs ist hier (so wie das Modell der AVE im Versuch V4) ebenfalls echtzeitfähig gemacht worden, was bedeutet, dass Ein- und Ausgänge für die Signalquellen und - senken eingefügt wurden und die samplebasierte Schätzung der HRIRs mit Hilfe der normalisierten LMS Filter in eine Blockbasierte Filterung abgeändert wurde. Um alle gewünschten Funktionen realisieren zu können musste der Algorithmus, der zur Echtzeit- Schätzung der HRIRs genutzt wird, von Hand angepasst werden. Das Modell der AVE hat zusätzliche Eingänge bekommen, über die die neu erfassten HRIRs während der Laufzeit übergeben werden können. Des weiteren ist die graphische Benutzeroberfläche verändert worden. Die aktuell gewünschte Position der Quelle wird an das Programm übergeben, damit der Simulink Code die benötigten HRIRs schätzen kann. Um die Anwendung möglichst natürlich darzustellen, ist sie so implementiert worden, dass die Bewegung von der letzten zur aktuell gewünschten Position nicht sprunghaft, sondern kontinuierlich abläuft. Die Quelle bewegt sich so zu sagen virtuell auf der azimutalen Ebene um den Kopf. Die Steuerung der einzelnen Teile des Projekts (Simulink Modelle, GUI, JACK- Server) musste ebenfalls an die Anforderungen der neuen Anwendung angepasst werden. Sie ist zusammen mit der Interaktion zwischen C++-Projekt und Soundkarte schematisch im Bild 25 dargestellt. Legende: Qt3 Simulink C++ Hardware GUI Azimut Echtzeit-System Azimut Eingangsblock + HRIR HRIR.mdl Steuerung Faltung.mdl HRIR verarbeitete Daten Eingangsblock Ausgangsblöcke JACK-Server Mono-Audiosignal Stereo-Audiosignal Soundkarte Bild 25: Steuerung des C++-Projekts IT-V4 33

73 6.1 Demonstration Um sich die Demonstration ansehen zu können gehen Sie bitte wie folgt vor: Beenden Sie das Skript, das für den Versuch V4 benötigt wurde. Navigieren Sie zum Ordner AVEPre, der sich auf dem Desktop befindet. Nun tippen Sie folgenden Befehl in die Konsole ein:./scriptrun Damit wird ein Linux Skript ausgeführt, das die folgenden Schritte für den Benutzer übernimmt: Kopieren der benötigten C++ Dateien, damit das Programm ordnungsgemäß ablaufen kann Textpassagen ersetzen, damit alle Modelle (HRIR.mdl und AVE.mdl) parallel in Echtzeit ablaufen können Starten der Oberfläche qjackctl der JACK-Server muss nun von Ihnen gestartet werden (grüner Knopf) Kompilierung des C++-Codes für die JACK-Anwendung zusammen mit dem generierten Code aus Simulink Ausführung des kompilierten Programms angeschlossene graphische Benutzeroberfläche öffnet sich Erstellung der Verbindungen der Ein- und Ausgänge der Soundkarte über JACK, siehe Bild 23 Start der kompilierten Echtzeit-Anwendung (JACK-Client) Wenn die Anwendung läuft, kann man mit Hilfe der 3 bekannten Checkboxen Direktschall, frühe Rückwürfe und späten Nachhall einschalten. Ist keine der Checkboxen aktiviert befindet sich das Programm im ByPass Modus. Ist der Signalverarbeitungsmodus eingeschaltet, kann die Position der Quelle mit Hilfe des Zeigers auf der Wählscheibe verstellt werden. Die Geschwindigkeit der Bewegung der Quelle beträgt 1 pro 2048 Samples. IT-V4 34

74 6.2 Aufgabe Beschreiben Sie den Höreindruck während der Benutzung des Programms mit den folgenden Effekteinstellungen: 1. Nur Direktschall 2. Nur frühe Rückwürfe 3. Nur später Nachhall 4. Direktschall, frühe Rückwürfe und später Nachhall Geben Sie markante Punkte auf der Azimutalen Ebene an, die gut lokalisierbar sind und beschreiben Sie den Eindruck in den Übergängen zwischen diesen Punkten. Woher könnten mögliche Lokalisationsprobleme kommen? Vergleichen Sie die Ergebnisse der vier Effekteinstellungen miteinander. IT-V4 35

75 White Noise Reference Input Microphone Signals Left Right HRIR Estimation Input Output Desired Normalized LMS Error Step size Wts LMS Filter Input Output Desired Normalized LMS Error Step size Wts LMS Filter1 stepsize Step size Time Left left Left Ear Time Right right Right Ear Bild 26: Schätzung der HRIR unter Verwendung des NLMS-Algorithmus. IT-V4 36

76 Bild 27: Modell einer auditiven virtuellen Umgebung IT-V4 37

77 Bild 28: Echtzeit-Modell einer auditiven virtuellen Umgebung IT-V4 38

78 Literatur [1] Bernd Dürrer. Untersuchung zum Entwurf von Auditory Displays. PhD thesis, Ruhr- Universität Bochum, May [2] E. M. Wenzel, J. D. Miller, and J. S. Abel. Sound lab: A real-time, software-based system for the study of spatial hearing. Proceedings of the 108th Convention of the Audio Engineering Society, February [3] H. Lehnert. Binaurale Raumsimulation. Shaker, Aachen, [4] J. Blauert. Spatial Hearing. MIT Press, Cambridge, MA, [5] K. Hartung. Modellalgorithmen zum Richtungshören, basierend auf den Ergebnissen psychoakustischer und neurophysiologischer Experimente mit virtuellen Schallquellen. Shaker, Aachen, [6] K. Genuit. Ein Modell zur Beschreibung von Außenohrübertragungsfunktionen. PhD thesis, RWTH Aachen, [7] R. Sottek. Modellierung kopfbezogener Impulsantworten. DAGA, [8] K. Sorkin and Elvers. An exploratory study of the use of movement-correlated cues in an auditory head-up display. Hum. Factors, 31(2): , [9] M. R. Schroeder and B. S. Atal. Apparent sound source translator. US Patent , [10] M. A. Gerzon. Ambisonics in multichannel braodcasting and video. J. Audio. Eng. Soc., 33(11): , [11] V. Pulkki. Virtual sound source positioning using vector based amplitude panning. J. Audio. Eng. Soc., 45(6): , [12] A. J. Berkhout, D. de Vries, and P. Vogel. Acoustic control by wave field synthesis. J. Acoust. Soc. Am., 93(5): , [13] H. Strauss and J. Buchholz. Comparison of virtual sound source positioning with amplitude panning and ambisonic reproduction. Coll Papers 137th Meeting Ac. Soc. Am and 2nd Conv. EAA, [14] W. Pompetzki. Psychoakustische Verifikation von Computermodellen zur binauralen Raumsimulation. Shaker, Aachen, [15] H. Lehnert and M. Richter. Vereinfachung von binauralen impulsantworten zur auralisierung von rückwürfen. Fortschritte der Akustik DAGA, pages , [16] J. Sahrhage and M. Hunold. Optimierte realzeit-verfahren zur auditiven raumsimulation. Fortschritte der Akustik DAGA, pages , IT-V4 39

79 [17] R. Heinz. Entwicklung und Beurteilung von computergestützten Methoden zur binauralen Raumsimulation. Shaker, Aachen. [18] W. M. Hartmann. Localization of sound in rooms. J. Acoust. Soc. Am., 74(5): , [19] J. Blauert and W. Lindemann. Auditory spaciousness: Some further psychoacoustic analyses. J. Acoust. Soc. Am., 80(2): , [20] R. Guski. Auditory localization: effects of reflecting surfaces. Perception, 19(6): , [21] M. R. Schroeder. Natural Sounding Artificial Reverberation. Journal of the Audio Engineering Society, 10(3): , [22] J. Moorer. About this Reverberation Business. Computer Music Journal, 3(2):13 18, [23] J. Stautner and M. Puckette. Designing Multi-Channel Reverberators. Computer Music J., 6(1):52 65, [24] J. Sikorav. Implementation of Reverberators on Digital Signal Processors. In 80th AES Convention, Montreux, Swiss, Mar [25] D. Griesinger. Practical Processors and Programs for Digital Reverberation. In 7th int. AES Convention, Toronto, Canada, May [26] M. Barron. The subjective effects of first reflections in concert halls - the need for lateral reflections. J. of Sound and Vibration, 15(4): , [27] J.-M. Jot. Digital delay networks for designing artificial reverberators. In 90th AES Convention, Paris, France, [28] J.-M. Jot and L. Cerveau and O. Warusfel. Analysis and Synthesis of Room Reverberation Based on a Statistical Time-Frequency Model. In 103rd AES Convention, New York, NY, USA, [29] G. Enzner. Analysis and Optimal Control of LMS-type Adaptive Filtering for Continuous-Azimuth Acquisition of Head Related Impulse Responses. In Proc. IEEE International Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing (ICASSP), Las Vegas, USA, IT-V4 40

80 Versuch IT-V5: Ultraschallbildgebung - praktische Aspekte Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Physikalische Grundlagen Erzeugung von Schallwellen: Piezoelektrischer Effekt Aufbau eines Schallwandlers Reflexion und Brechung Ortsabbildung Vorbereitungsfragen 5 4 Praktikumsaufgaben 6 Literaturverzeichnis 7 IT-V5-1

81 1 Einleitung Das menschliche Gehör kann Schall bis zu einer Frequenz von etwa 20 khz wahrnehmen. Die Bezeichnung Ultraschall steht für Schallwellen oberhalb dieser Hörschwelle. Aus der Natur sind einige Lebewesen wie Fledermäuse oder Delphine bekannt, die Schallwellen mit Frequenzen weit oberhalb dieser Schwelle zur Orientierung einsetzen. Der Mensch hat eine Fülle von technischen Anwendungen des Ultraschalls entwickelt, wie die zerstörungsfreie Materialprüfung, das Echolot bei Schiffen oder Einparkhilfen an Fahrzeugen. Die wohl bekannteste Anwendung ist der medizinische Ultraschall, besonders in der Geburtshilfe. Alle diese Verfahren basieren auf dem Puls-Echo Prinzip: Ein Puls wird ausgesendet und die Laufzeit bis zum Eintreffen des Echos ausgewertet. Diese gibt Aufschluss über die Entfernung des reflektierenden Objekts. Doppler-Verfahren, also die Auswertung der Frequenzverschiebung des Echosignals, können zusätzlich Aufschluss über die Bewegungsgeschwindigkeit des Objektes geben. In den beiden Versuchen zur Ultraschalltechnik soll Ihnen ein praktischer Einblick in die grundlegenden Prinzipien der Abbildung mit Ultraschall gegeben werden. In diesem ersten Teil sollen zunächst die physikalischen Aspekte der Ultraschallerzeugung und -ausbreitung behandelt werden. 2 Physikalische Grundlagen 2.1 Erzeugung von Schallwellen: Piezoelektrischer Effekt In der medizinischen Diagnostik liegen die Schallfrequenzen in der Regel im Bereich von 1-10 MHz. Zum Senden und Empfangen dieser Wellen wird der direkte und inverse Piezoelektrische Effekt genutzt. Ultraschallwandler bestehen aus Materialien die bei Belastung durch Druck oder Zug eine elektrische Spannung erzeugen. Durch die mechanische Kraft verschieben sich im Material die Ladungsschwerpunkte, so dass ein Potentialunterschied entsteht. So können die Schallwellen empfangen und in ein elektrisches Signal umgewandelt werden. Zum Senden wird der inverse piezoelektrische Effekt genutzt: Durch Anlegen einer elektrischen Spannung verformt sich das Material mechanisch und erzeugt so eine Druckwelle. Die industriell eingesetzten Ultraschall-Piezoelemente bestehen zumeist aus Keramiken. Das am häufigsten eingesetzte Material ist Blei-Zirkonat-Titanat (PZT). Mit Hilfe dieser Materialien können also sowohl Pulse gesendet als auch empfangen werden. Piezoelektrische Materialien können zu mechanischen Schwingungen angeregt werden. Die Resonanzfrequenz ergibt sich aus den Materialkonstanten des Piezos und seinen geometrischen Abmessungen. 2.2 Aufbau eines Schallwandlers Der vereinfachte Aufbau eines Einzelelement-Wandlers ist in Abbildung 1 dargestellt. Die rückwärtige Schicht, das sogenannte Backing, dämpft die Schwingung, um einen möglichst kurzen Puls zu erzeugen. Die Anpassungsschicht vor dem Piezo-Element dient der Anpassung an weiches Gewebe oder Wasser, so dass der Übergang möglichst reflexionsfrei erfolgt. IT-V5-2

82 Elektroden Anpassungsschicht Backing Piezo Wasser U Bild 1: Aufbau eines Schallwandlers Das Schallfeld des Wandlers wird durch seine geometrischen Abmessungen definiert, wie in Abbildung 2 dargestellt. Die gestrichelten Linien stellen Punkte gleichen Drucks dar. Um die Ausdehnung des Schallfeldes zu kennzeichnen, wird in der Regel die Halbwertsbreite angegeben. Die Ausdehnung des Schallfeldes bestimmt die Auflösung des Abbildungssystems in lateraler Richtung. Die Auflösung ist gekennzeichnet durch den minimalen Abstand, den zwei Punkte haben müssen, um getrennt dargestellt werden zu können. Je geringer die Ausdehnung des Schallfeldes, um so kleiner wird dieser Abstand - also um so besser die Auflösung. Wandler lateral axial elevational Bild 2: Unfokussierter Schallwandler Eine geeignete Krümmung der Wandleroberfläche bewirkt eine Einschnürung des Feldes in einer bestimmten Tiefe. Die größte Schallintensität entsteht so an der Fokus-Position. Ein solcher Wandler wird daher als fokussiert bezeichnet. Abbildung 3 zeigt das entsprechende Schallfeld. Das Bild verdeutlicht, dass die Ausdehnung des Schallfeldes sehr stark über der Tiefe variiert. Somit ändert sich auch das Auflösungsvermögen der Ultraschallaufnahme mit der Tiefe. IT-V5-3

83 Wandler r f d lat Bild 3: Fokussierter Schallwandler 2.3 Reflexion und Brechung Echos entstehen u. a. durch Reflexion an Grenzflächen zwischen Medien unterschiedlicher akustischer Impedanz. Die akustische Impedanz ist das Produkt aus Schallgeschwindigkeit und Dichte des jeweiligen Materials. Z = c ρ (1) Die Grenzflächen können in medizinischen Anwendungen verschiedene Gewebetypen oder Einschlüsse bei der Materialprüfung sein. Der Reflexionskoeffizient der Druckamplitude berechnet sich aus Γ p = Z 2 Z 1 Z 2 + Z 1 (2) Die Amplitude des Echos ändert sich somit in Abhängigkeit des Impedanzsprungs zwischen den beiden Medien. Der nicht reflektierte Teil dringt weiter ins Material ein. Dieser Anteil kann nun weitere Echos in größerer Tiefe verursachen, sodass auch in tiefer liegenden Schichten noch Aufnahmen gemacht werden können. Insbesondere bei menschlichem Gewebe sind die Impedanzsprünge klein genug, dass auch tieferliegendes Gewebe noch zu sehen ist. Medium 1 Medium 2 Z 1, c 1 Z 2, c 2 Bild 4: Reflexion IT-V5-4

84 Ähnlich wie in optischen Systemen ist die Reflexion abhängig vom Einfallswinkel. Ähnlich wie bei den Gesetzen für die optische Brechung gilt: Γ = Z 2 cos(θ 1 ) Z 1 cos(θ 2 ) Z 2 cos(θ 1 ) + Z 1 cos(θ 2 ) sin(θ 1 ) sin(θ 2 ) = c 1 c 2 (4) Abbildung 5 veranschaulicht die Geometrie. (3) Medium 1 Medium 2 ϑ 1 ϑ1 2 ϑ Z 1, c 1 Z 2, c 2 Bild 5: Winkelabhängige Reflexion 2.4 Ortsabbildung Um Gewebe abzubilden oder die Position eines Einschlusses zu bestimmen, muss jedem Echo eine Position zugeordnet werden. Wenn die Schallgeschwindigkeit bekannt ist, so kann diese aus der Laufzeit des Pulses berechnet werden: x = 1 2 c t (5) Umgekehrt kann so auch die Schallgeschwindigkeit bestimmt werden, wenn der räumliche Abstand zwischen zwei Reflektoren bekannt ist. Das mit Hilfe des Piezoelements in elektrische Spannung gewandelte Signal muss zur weiteren Verarbeitung digitalisiert werden. Dies geschieht mit Hilfe eines Analog/Digitalwandlers, der das analoge Signal mit einer Abtastrate f s aufnimmt und in eine Binärzahl umwandelt. Die Aufnahme kann nun digital weiterverarbeitet werden, was Teil des nächsten Versuchs sein wird. 3 Vorbereitungsfragen Die folgenden Fragen sollen von Ihnen vor dem Praktikumstermin bearbeitet werden. Sie werden während des Kolloquiums danach gefragt. Die schriftliche Beantwortung ist zudem Teil der Ausarbeitung. IT-V5-5

85 1. Reflexionskoeffizient: Wie groß ist der Reflexionskoeffizient eines idealen Reflektors? Wie können Sie mit Hilfe der Messung an einem idealen Reflektor die Reflexionskoeffizienten anderer Medien berechnen, auch wenn die Amplitude der einfallenden Welle unbekannt ist? 2. Schallgeschwindigkeit: Woher resultiert der Faktor 1 in der Formel zur Positionsbestimmung? Wie bestimmen Sie die Schallgeschwindigkeit in einem Medium aus dem 2 Ultraschallecho? 3. Fokussierung: Sie betrachten das Echo eines Reflektors im Fokus. Anschliessend verschieben Sie den Reflektor in axialer Richtung. Wie verändert sich die Amplitude? 4. Abtastung: Sie haben ein näherungsweise bandbegrenztes Messsignal. Wie muss die Abtastrate für die Diskretisierung gewählt werden, damit alle Informationen erhalten bleiben? 4 Praktikumsaufgaben Einrichten des Setups Verbinden Sie die US-Box mit dem PC. Befestigen Sie den Ultraschallwandler in der Halterung im Wasserbecken. Öffnen Sie das Matlab Skript start_v1.m und starten Sie es. Sie haben nun eine graphische Oberfläche, mit deren Hilfe Sie Daten aufnehmen können. Zuvor müssen Sie die Abtastrate korrekt einstellen. In der graphischen Oberfläche haben Sie mehrere Abtastraten für die Aufnahme des Signals zur Auswahl. Zusätzlich haben Sie das Datenblatt des Ultraschallwandlers erhalten. Betrachten Sie das Spektrum des Wandlers. Welche Abtastrate müssen Sie wählen, damit keine Informationen verlorengehen? Nehmen Sie ein Testsignal auf, indem Sie auf Aufnahme klicken. Zunächst wird das Signal über die Sample-Zahl dargestellt. Für einige Aufgaben benötigen Sie jedoch die Darstellung über der Zeit. Berechnen Sie den korrekten Zeitabstand zwischen zwei Abtastwerten und tragen Sie ihn im Textfeld ein. Aufgaben 1. Reflexionskoeffizient Legen Sie nacheinander die drei Materialien unter den Schallwandler. Achten Sie darauf, dass sich die Oberfläche immer parallel zur Schallwandleroberfläche befindet. Warum muss dies gewährleistest sein? Machen Sie für jeden Gegenstand eine Aufnahme und speichern Sie diese ab. Nehmen Sie an, das Metallstück sei ein idealer Reflektor. Berechnen Sie nun die Reflexionskoeffizienten der beiden anderen Materialien. IT-V5-6

86 2. Schallgeschwindigkeitsmessung Legen Sie den Plexiglas-Block unter den Schallwandler. Bestimmen Sie aus dem aufgenommenen Echo-Signal die Schallgeschwindigkeit in Plexiglas. 3. Fokussierung Im einleitenden Text wurde über die Fokussierung des Schallwandlers gesprochen. Diese soll nun anhand von Messungen betrachtet werden. Hierzu setzen Sie das Drahtphantom unter den Schallwandler. Machen Sie 8 Aufnahmen des Drahtes bei denen Sie den Abstand vom Schallwandler variieren. Beginnen Sie im Abstand von ca. einem Zentimeter und enden Sie bei etwa 8 cm. Bestimmen Sie die Maxima bei jeder Tiefe und deren Position [in mm]. Tragen Sie diese mit Matlab in einer Graphik gegeneinander auf. Bestimmen Sie hieraus die ungefähre Fokustiefe des Schallwandlers. 4. Laterale Änderung Für diesen Versuch ist ein Umbau des Setups erforderlich. Nehmen Sie die Positionier- Schiene aus der Halterung und drehen Sie diese in eine horizontale Position. Montieren Sie die Wandler-Halterung so dass der Wandler nach unten zeigt. Positionieren Sie den Wandler zentral über dem Draht und bewegen Sie ihn von dort 5 mm in laterale Richtung. Bewegen Sie den Wandler in Millimeterschritten über den Draht und nehmen Sie an jeder Position das Signal auf. Speichern Sie alle Aufnahmen. Führen Sie diese Aufnahmen für alle 3 Positionen, die Sie mit den vorgegebenen Abstandshaltern einstellen können, durch. Diese Daten werden Sie im zweiten Versuchsteil auswerten. Literatur [1] B. Angelsen. Ultrasound Imaging: Waves, Signals, and Signal Processing, volume 1. John Wiley & Sons, [2] B. A. Auld. Acoustic Fields and Waves in Solids. John Wiley and Sons, [3] H. Kuttruff. Physik und Technik des Ultraschalls. S. Hirzel Verlag, [4] R. Millner. Ultraschalltechnik. Physik Verlag, [5] Kino. G. S. Acoustic Waves. Prentice Hall, [6] G. Schmitz. Ultraschall in der Medizin. Vorlesungsskript, Lehrstuhl für Medizintechnik, Ruhr-Universität Bochum. IT-V5-7

87 Î Ö Ù ÁÌ¹Î ÍÐØÖ ÐÐ Ð ÙÒ ¹ Ë Ò ÐÚ Ö Ö ØÙÒ ÁÒ ÐØ Ú ÖÞ Ò ½ ÒÐ ØÙÒ ¾ ¾ ÖÙÒ Ð Ò ¾ ¾º½ Ø ÑÑÙÒ Ö À ÐÐ ÙÖÚ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÎÓÑ ¹Ë Ò ÞÙÑ ¹ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÎÓÖ Ö ØÙÒ Ö Ò ÈÖ Ø ÙÑ Ù Ò ½¼ º½ ÎÓÖ Ö ØÙÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º¾ Ì Ô ÐØ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º ÑÓ ÙÐ Ø ÓÒ Ñ Ø ÐØ ÖÙÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º ÑÓ ÙÐ Ø ÓÒ Ñ Ø À Ð ÖØ ÌÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½¼ º ¹ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½ Å ÌÄ Ð ½¾ Ä Ø Ö ØÙÖÚ ÖÞ Ò ½ ÁÌ¹Î ¹ ½

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89 ÓÖÑ Ù Ò Ø Ò ÍÐØÖ ÐÐÔÙÐ Ø ÙÖ ÖØÖ ÙÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ë ÐÐ¹ Û Ò Ð Ö ÙÒ ÙÖ Ò Ð ØÖ Ò Ò Ò ÑÔÙÐ Ø ÑÑØº ØÖ Ø Ø Ñ Ò ËÔ ¹ ØÖÙÑ Ñ Ò Ò Ë Ò Ð Ó Ø ÞÙ Ö ÒÒ Ò Ò Û Ò Ö Ø ÙÑ Å ØØ Ò Ö ÕÙ ÒÞ Ë ÐÐÛ Ò Ð Ö f Ù Û Øº Ö ÓÑ Ø Ò ÖÙÒ Û Ð Ò ¹ Ö ÒÞØ Ò ÒÓÑÑ Ò Û Ö Òº Ò ÐÐ Ò A(t) Ø ÓÐ Ð Ø Ô ¹ Ò Ö ÒÞØ Ñ Ø Ö ÒÞ Ö ÕÙ ÒÞ f A º Ð ÙÒ ¾ Þ Ø ËÔ ØÖÙÑ Þ Ø ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ò Ö ÐÐÛ ÖØ Ò Å Ò Ð º ÐØ ω = 2πf ÙÒ ω A = 2πf A º X(jω) ω ω A ω ω +ω A ω ω A ω ω +ω A ω Ð ¾ ËÔ ØÖÙÑ X(jω) Þ Ø ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ò Ö ÐÐÛ ÖØ Ò Å Ò Ð º Ö ÕÙ ÒÞ Ö ÌÖ Ö Û Ò ÙÒ ω 0 Ñ ÅÓ ÐÐ ½µ ÒØ ÔÖ Ø ÓÑ Ø Ö Å ØØ Ò Ö ÕÙ ÒÞ Ë ÐÐÛ Ò Ð Ö ω º Ø ÐÐØ ÓÖ ÖÙÒ A(t) Ñ Î Ö Ð ÞÙÖ ÌÖ Ö Û Ò¹ ÙÒ Ð Ò Ñ Ò ÖØ ÙØ Ø ω > ω A º ÙÖ Ø Ð Ò Î Ö Ö ØÙÒ Ó Ö ÕÙ ÒØ Ò Å Ò Ð x(t) Þº º ÙÖ Ò Ò È Ó Ö ÙÖ Ô Þ ÐÐ Ë Ò ÐÔÖÓÞ ÓÖ Ò Ø Ò Ø ØÙÒ ÓÛ Ò ÉÙ ÒØ ÖÙÒ Ö ÓÖ ÖÐ º ÁÒ Ñ Î Ö Ù Û Ö Ò Ù Ð Ð ÙÖ Ø ØÙÒ ÒØ Ø Ò Ò ÃÓÒ ÕÙ Ò¹ Þ Ò Ö Ø Ð Ë Ò ÐÚ Ö Ö ØÙÒ Ò Ö ØÖ Ø Øº Ö n Z x[n] = x(nt ) Ø Ø Ø Å Ò Ð ÛÓ T Ø ØÔ Ö Ó Ò Ù Ö Þ Ò Øº Ö Ã ÖÛ ÖØ f = T 1 Ø Ó º Ø ØÖ Ø ÙÒ ω = 2πf ÞÙ Ö Ø Ø Ö Ö ÕÙ ÒÞº Ñ Ø Þ Ø ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Å Ò Ð x(t) ÚÓÐÐ ØÒ Ù Ò Ø ØÛ ÖØ Ò x[n] Ö ÓÒ ØÖÙ ÖØ Û Ö Ò ÒÒ ÑÙ Ø ØØ ÓÖ Ñ ω > 2(ω +ω A ) ¾µ Ö ÐÐØ Òº ØÞ Ò Û Ö Ö ÓÐ Ò Ò Ò ØØ ÚÓÖ Ù ËÔ ØÖÙÑ Ø Ø Ø Ò Ë Ò Ð X(ω) Ø ω ¹Ô Ö Ó Ï Ö ÓÐÙÒ ËÔ ¹ ØÖÙÑ X(jω) Þ Ø ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ò Ë Ò Ð º ËÔ ØÖÙÑ Ø Ø Ø Ò Ë Ò Ð Ø Ò Ð ÙÒ Ö Ø ÐÐØº X(ω) ω ω ω A ω +ω A ω ω Ð ËÔ ØÖÙÑ X(ω) Ø Ø Ø Ò Å Ò Ð x[n] Ö ÐÐÙÒ ÚÓÒ ¾µº ÁÌ¹Î ¹

90 ÁÑ ÓÐ Ò Ò ÓÐÐ ÒÙÒ À ÐÐ ÙÖÚ A(t) Ù Ñ Ø Ø Ø Ò Å Ò Ð x[n] Ö Ò Ø Û Ö Òº Ø ØØ ÓÖ Ñ ¾µ Ö ÐÐØ Ø ÒÒ A(t) Ù ÙÖ Ø ØÛ ÖØ A[n] ÕÙ Ú Ð ÒØ Ö Ø ÐÐØ Û Ö Òº ÙÖ Ø ÑÑÙÒ ÚÓÒ A[n] Û Ö Ò ÞÛ ÙÒØ Ö Ð Î Ö¹ Ö Ò ÚÓÖ Ø ÐÐØ ÑÓ ÙÐ Ø ÓÒ Ñ Ø Ò Ð Ò Ö Ì Ô ÐØ ÖÙÒ ÓÛ À Ð ÖØ¹ ÌÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒº ÑÓ ÙÐ Ø ÓÒ ÙÒ Ì Ô ÐØ ÖÙÒ ËÔ ØÖÙÑ Ö Ø Ø Ø Ò À ÐÐ ÙÖÚ A[n] ÒÒ Ò ØÖ ØÙÒ ÚÓÒ Ð ÙÒ Ó Ò Ö ÛÓÒÒ Ò Û Ö Ò Û ÒÒ ËÔ ØÖÙÑ X(ω) ÙÑ ω Ò Ê ØÙÒ Ö Ò Ø Ú Ò ω¹ Ú Ö Ó Ò Û Ö ÙÒ ÐÐ ÙÒ ÖÛ Ò Ø Ò ËÔ ØÖ Ð ÒØ Ð Ñ ØØ Ð Ò Ì Ô ÐØ Ö ÙÒØ Ö Ö Ø Û Ö Òº ÎÓÖ Ò Û Ø Ò Ð ÙÒ Ö Ø ÐÐØº H ÌÈ (ω) X ÑÓ (ω) = X(ω +ω ) ω ω A ω A ω ω Ð ËÔ ØÖÙÑ ÑÓ ÙÐ ÖØ Ò Ø Ø Ø Ò Å Ò Ð X ÑÓ (ω) ÙÒ ÖØÖ ÙÒ ÙÒ ¹ Ø ÓÒ H ÌÈ (ω) Ò Ð Ò Ì Ô ÐØ Ö º Î Ö ÙÒ ËÔ ØÖÙÑ X(ω) Ñ Ö ÕÙ ÒÞ Ö Ð Ø Ñ Ø Ö ÙÖ ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ñ Ø Ò Ö ÓÑÔÐ Ü Ò ÜÔÓÒ ÒØ Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ð Ö Òº ÇÔ Ö Ø ÓÒ ¹ Þ Ò Ø Ñ Ò Ù Ð ÑÓ ÙÐ Ø ÓÒº Ú Ö Ó Ò ËÔ ØÖÙÑ X ÑÓ (ω) = X(ω+ω )º ÁÑ Ø Ö ÐØ ÓÐ Ð x ÑÓ [n] = x[n]e jω nt. µ ÁÒ Ò Ö À Ö Û Ö ¹ÁÑÔÐ Ñ ÒØ ÖÙÒ Ø Ù Ò ÓÑÔÐ ÜÛ ÖØ Ò Ø ÒØÝÔ Òº Ê Ð¹ ÙÒ ÁÑ ÒÖØ Ð Ò µ Ñ Ø Ò ÓÐ Ð ØÖ ÒÒØ ÚÓÒ Ò Ò Ö Ö Ò Ø Û Ö Òº Ö Ö ÒÙÒ Ñ Ø Å ÌÄ ÙÖ ÖØ Û Ö Ö Ò Û Ö Ó ÓÑÔÐ Ü Ë Ö Û Ú ÖÛ Ò Òº ÑÓ ÙÐ ÖØ Ë Ò Ð µ ÒØ ÐØ ÒÙÒ ÒÓ ÙÒ ÖÛ Ò Ø ÝÑÑ ØÖ ËÔ ØÖ Ð ÒØ Ð ÙÒ ËÔ ØÖ Ð ÒØ Ð ÙÖ Ô Ö Ó Ï Ö ÓÐÙÒ ÒØ Ø Ò Ò Ò º ÒÛ Ò¹ ÙÒ Ì Ô ÐØ Ö ÞÙÖ ÍÒØ Ö Ö ÙÒ Ö ËÔ ØÖ Ð ÒØ Ð ÒÒ Ð ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ñ Ö ÕÙ ÒÞ Ö ÚÓÒ Ö ÖØÖ ÙÒ ÙÒ Ø ÓÒ { 1 Ö ω ω ÌÈ, H ÌÈ (ω) = 0 Ö ω ÌÈ < ω ω 2 ÙÒ X ÑÓ (ω) ÙÑ ØÞØ Û Ö Òº ÁÑ Ø Ö ÒØ ÔÖ Ø Ö ÐØÙÒ µ A[n] = 2(x ÑÓ h ÌÈ )[n], µ ÁÌ¹Î ¹

91 ÛÓ h ÌÈ [n] ÁÑÔÙÐ ÒØÛÓÖØ Ì Ô ÐØ Ö Øº Ö ØÓÖ 2 Ò µ Ø ÒÓØÛ Ò ÙÑ Ë Ò Ð Ò Ö ÞÙ Ö ÐØ Òº Ö Ò Ø Ð Ö Û Ö Ö Ì Ô ÐØ Ö Ð Ð Ò Ö¹ Ô Ö ÁÊ Ò Ø ÑÔÙÐ Ö ÔÓÒ µ ÐØ Ö Ö Ð ÖØº ÞÙ ÒÙØÞ Ò Ë Ò Å ÌÄ ÙÒ Ø ÓÒ Ö½º Ù ÑÑ Ò ÙÒ Ö ÎÓÖ Ò Û Ø ÑÑÙÒ Ö À ÐÐ ÙÖÚ Ñ ØØ Ð ÑÓ¹ ÙÐ Ø ÓÒ ÙÒ Ì Ô ÐØ ÖÙÒ º ½º ÑÓ ÙÐ Ø ÓÒ Å Ò Ð Ñ µº ¾º ÖÞ Ù ÙÒ Ö ÁÑÔÙÐ ÒØÛÓÖØ h ÌÈ [n] Ò Ò Ø Ò Ì Ô ÐØ Ö Ñ Ø Ö ÒÞ¹ Ö Ö ÕÙ ÒÞ ω ÌÈ º Î ÖÛ Ò Ò Ë ÞÙ ÙÒ Ø ÓÒ Ö½º º ÒÛ Ò ÙÒ Ì Ô ÐØ Ö Ñ ØØ Ð µº º Ö Ø ÐÐÙÒ ÚÓÒ A[n] º À Ð ÖØ¹ÌÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò Û Ø Ö Å Ð Ø ÞÙÖ Ø ÑÑÙÒ Ö À ÐÐ ÙÖÚ Ð ÖØ À Ð ÖØ¹ÌÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒº ÙÑ Î Ö ØÒ Ò Ö Å Ø Ó Ø ÒÓØÛ Ò Ò Ö Ò ÐÝØ Ò Ë Ò Ð ÒÞÙ Ö Òº Ù ÖÙÒ Ö ËÝÑÑ ØÖ Ñ ËÔ ØÖÙÑ ÚÓÒ Ö ÐÛ ÖØ Ò Ë Ò Ð Ò Ø Ù ÒÒÚÓÐÐ ÙÒ Û Ò Ö Ö Ò Ù Û Ò ÒÙÖ ËÔ ØÖ Ð ÒØ Ð Ò Ø¹Ò Ø Ú Ò Ö ÕÙ ÒÞ Ò ÞÙ Ö Ø Òº Ð Ò Ò ËÔ ØÖ Ð ÒØ Ð Ò Ò Ø Ú Ò Ö ÕÙ ÒÞ Ò Ö Ò ÒÒ Û Ò Ö ËÝÑÑ ØÖ Ù Ò Ö Ø Ø Ò ËÔ ØÖ Ð ÒØ Ð Ò ÔÓ Ø Ú Ò Ö ÕÙ ÒÞ Òº Ë Ò Ð Ó ÑÔÐ Þ Ø Ò Ò Ö Ø Ø Ò ËÔ ØÖ Ð ÒØ Ð Ò ÔÓ Ø Ú Ò Ö ÕÙ ÒÞ Ò ÒØ ÐØ Òº ÃÓÒÞ ÔØ Û Ö Ñ Ø Ñ Ò ÐÝØ Ò Ë Ò Ð Ú Ö ÓÐ Øº ÓÑÔÐ ÜÛ ÖØ Ò ÐÝØ Ø Ø Ø Å Ò Ð x + [n] Ø Ö Ò ËÔ ØÖÙÑ X(ω) Ö ω = 0, X + (ω) = 2X(ω) Ö 0 < ω < ω 2, µ 0 Ö ω < ω < 0 2 Ò ÖØº Ö ØÓÖ 2 Ò µ Ø ÒÓØÛ Ò ÙÑ Ë Ò Ð Ò Ö ÞÙ Ö ÐØ Òº ËÔ ØÖÙÑ Ø Ò Ð ÙÒ Ö Ø ÐÐØº X + (ω) ω ω ω A ω +ω A ω ω Ð ËÔ ØÖÙÑ X + (ω) ÓÑÔÐ ÜÛ ÖØ Ò Ò ÐÝØ Ò Ø Ø Ø Ò Å Ò Ð x + [n]º ÁÌ¹Î ¹

92 Ö Ê ÐØ Ð Ò ÐÝØ Ò Ë Ò Ð x + [n] Ø Ó Ö ÕÙ ÒØ Ø Ø Ø Å Ò Ð x[n]º Ö ÁÑ ÒÖØ Ð Ø À Ð ÖØ¹ÌÖ Ò ÓÖÑ ÖØ ˆx[n] Ê ÐØ Ð x[n]º ÐØ Ð Ó x + [n] = x[n]+jˆx[n] = x[n]+jh{x}, µ ÛÓ H À Ð ÖØ¹ÌÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÒÒÞ Ò Øº Å Ò ÒÒ Þ Ò À Ð ÖØ¹ÌÖ Ò ¹ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ð Ò Ö Ð Ò Ö Ö ÐØ Ö Ñ Ø Ö ÖØÖ ÙÒ ÙÒ Ø ÓÒ 0 Ö ω = 0, H À Ð ÖØ (ω) = jsgn(ω) = j Ö 0 < ω < ω 2, j Ö ω < ω < 0 2 Ñ Ö ÕÙ ÒÞ Ö Ö Ð ÖØ Û Ö Ò ÒÒº Ö Ö Ø À Ð ÖØ¹ÌÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ØÖ Ø Ø Û Ö Û Ö ÓÐØ Ù ËÔ ØÖÙÑ ω ¹Ô Ö Ó º Å ÌÄ Ø Ø Á Ò Ò ÞÙÖ Ö ÒÙÒ Ò ÐÝØ Ò Ë Ò Ð µ Ù Ò Ñ ÚÓÖ Ò Ë Ò Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ð ÖØº ËÔ ØÖÙÑ Ö Ù Ø Ò À ÐÐ ÙÖÚ A(ω) Ö Ø Ñ Ð ÙÒ Û ÒÒ ËÔ ØÖÙÑ X + (ω) ÙÑ ω Ò Ê ØÙÒ Ö Ò Ø Ú Ò ω¹ Ú Ö Ó Ò Û Ö º ÐØ Ð Ó A(ω) = X + (ω +ω ) ÙÒ Ñ Ø ÒØ ÔÖ Ò Ö ÑÓ ÙÐ Ø ÓÒ Ñ Ø Ö A[n] = x + [n]e jω nt. A[n] > 0 ÐØ Ö Ø Ö Ù Ø Ù ÑÑ Ò Ò A[n] = A[n] = x + [n]e jω nt = x + [n] e jω nt = x + [n]. µ }{{} =1 ÙÖ Ø ÑÑÙÒ Ö À ÐÐ ÙÖÚ A[n] ÑÙ Ð Ó ÒÙÖ Ö ØÖ ÓÑÔÐ ÜÛ ÖØ Ò Ò ÐÝ¹ Ø Ò Ø Ø Ø Ò Å Ò Ð x + [n] Ö Ò Ø Û Ö Òº Ð Ô Ð Ö Ò À Ð ÖØ¹ÌÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ØÖ Ø Ò Û Ö ÅÓ ÐÐ Ö Ó Ö ¹ ÕÙ ÒØ Ø Ø Ø Å Ò Ð x[n] = A[n]cos(ω nt ). ω A < ω Ö Ø Ð À Ð ÖØ¹ÌÖ Ò ÓÖÑ ÖØ Ö Ö ÒØ ÔÖ Ò Ë ÒÙ Ñ µ Ø Ò ÐÝØ Ë Ò Ð ÒÒ ˆx[n] = H{x} = A[n]sin(ω nt ). x + [n] = x[n]+jˆx[n] = A[n]e jω nt ÙÒ Ò ØÖ A[n] > 0º x + [n] = A[n] = A[n], ÁÌ¹Î ¹

93 Ù ÑÑ Ò ÙÒ Ö ÎÓÖ Ò Û Ø ÑÑÙÒ Ö À ÐÐ ÙÖÚ Ñ ØØ Ð À Ð ÖØ¹ÌÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒº ½º Ö Ò Ò Ë Ò ÐÝØ Å Ò Ð x + [n] Ñ Ø Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ð ÖØº Ö ÓÖÖ Ø ÙÖ ÖÙÒ Ö À Ð ÖØ¹ÌÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÑÙ Å Ò Ð ÞÙÚÓÖ ÙÑ Ò Ò Ð ÒØ Ð Ö Ò Ø Û Ö Òº ¾º Ö ØÖ Ò ÐÝØ Ò Å Ò Ð Ø Ù Ø À ÐÐ ÙÖÚ º º Ö Ø ÐÐÙÒ ÚÓÒ x + [n] º ¾º¾ ÎÓÑ ¹Ë Ò ÞÙÑ ¹ Ð Ù Ò Ó Ö ÕÙ ÒØ Ò Ø Ò Ö ÐØ Ñ Ò Ñ Ø Ò Ó Ò Ö Ò Ò Å Ø Ó Ò Ò Ñ¹ ÔÐ ØÙ ÒÚ ÖÐ Ù Ò Ö ÒÞ ÐÒ Ò Ä Ò º ÍÑ Ò ÚÓÐÐ ØÒ ÞÛ Ñ Ò ÓÒ Ð ÍÐØÖ ÐÐ Ð ÞÙ Ö ÐØ Ò Ñ Ò ÒÙÒ Ñ Ö Ö ¹Ë Ò Ò Ò Ò Ö ÙÖ ÖØ Û Ö Òº Ë ÐÐ¹ Ò Ð Û Ö Ö Ð Ø Ö Ð Ú Ö Ó Ò Ó Ò Ò Ò Ò Ö Ð Ò Ä Ò Ò Ù ÒÓÑÑ Ò Û Ö Òº Â ÒÞ ÐÒ Ä Ò Û Ö Û Ó Ò Ö Ò ÑÓ ÙÐ ÖØº Ò Ð Ò Û Ö Ò Ä Ò Ò ÞÙ Ò Ñ ÑØ Ð ÞÙ ÑÑ Ò Øº Ò ÓÐ Ð Û Ö Ð ¹ Ð Þ Ò Øº Ø Ø Ö Ö ³ Ö ØÒ ³º ÁÑ ÚÓÖ Ò Ò Ò Ò Î Ö Ù ÛÙÖ Ò ÓÐ Ù Ò Ñ ÙÖ Î Ö Ò ÒÞ Ð Ð Ñ ÒØÛ Ò Ð Ö Ö Ð ÖØº Ð Ò Ö Ï Ò Ð ÖÞ Ð ÒÞ Ð Ð Ñ ÒØÛ Ò Ð Ö Ë ÒÖ ØÙÒ ¹ Ð Ð ÒØ Ø ÙÒ Ò ¹ Ð Ñ Ø À Ð Ò Ö Ð Ò Ö Ò Ï Ò Ð ÖÞ Ð º Ö Ð Ò ÒÛ Ò ÙÒ Ò Ø Ò ÍÐØÖ ÐÐÛ Ò Ð Ö Ò Ö Ê Ð Ù Ò Ñ ÖÖ Ý ÚÓÒ ÒÞ ÐÒ Ò Ð Ñ ÒØ Òº Å Ø Ö ÒÓÖ ÒÙÒ ÒÒ Ñ Ò Î Ö ÙÒ ÙÖ ÁÌ¹Î ¹

94 Ò Ð ØÖÓÒ Î Ö ÙÒ Ö ØÞØ Û Ö Ò ÒÞ Ð Ð Ñ ÒØ Û Ö Ò Ò ÖÙÔÔ Ò Þ ØÚ Ö ØÞØ Ò Ö Ø ÙÒ Ó Ñ Ö Ö Ä Ò Ò Ù ÒÓÑÑ Òº Ð ÙÒ Ú Ö Ò ÙÐ Ø ÈÖ ÒÞ Ôº ÁÌ¹Î ¹

95 ÎÓÖ Ö ØÙÒ Ö Ò ÓÐ Ò Ò Ö Ò ÓÐÐ Ò ÚÓÒ Á Ò Ò ÚÓÖ Ñ ÈÖ Ø ÙÑ Ø ÖÑ Ò Ö Ø Ø Û Ö Òº Ë Û Ö Ò Û Ö Ò ÃÓÐÐÓÕÙ ÙÑ Ò Ö Øº Ö ØÐ ÒØÛÓÖØÙÒ Ø ÞÙ Ñ Ì Ð Ö Ù Ö ØÙÒ º Ù Ñ Û Ö ÖÛ ÖØ Ø Ë Ò Ö Ä Ò Ó Ò Ö ¹ Ò Ò ÖÙÒ Ð Ò Ñ Ø Ò Ò ÏÓÖØ Ò Û ÖÞÙ Òº Ë Û Ö Ò Ò Ñ ÈÖ Ø ÙÑ Ð ØÒ Å ØÐ Ë Ö ÔØ Ö Òº Ð À Ð Ø ÐÐÙÒ Ò Ø Ò Ò ØØ Ò Ö Ø Ö Ò Ø Ø Ò Å ØÐ Ð º Ò Ë ÚÓÖ Ñ Î Ö Ù ÙÖ Ó ÖÒ Ë Ò Ø Ñ Ø Å ØÐ Ú ÖØÖ ÙØ Ò º ½º Ë Ö Ò Ò ÍÐØÖ ÐÐÛ Ò Ð Ö Ñ Ø Ò Ñ ÙÖÞ Ò Ö Ö Ø Ò Ò Ð ØÖ Ò ÁÑÔÙÐ Òº ÏÓ ÙÖ Ö Ø Ý Ø ÑØ ÓÖ Ø Ö ØÖ ØÙÒ ËÔ ØÖÙÑ Ë Ò Ð ¾º ØÖ Ø Ò Ë Ö Ø Ö Ò ÚÓÖ Ø ÐÐØ Ò À ÐÐ ÙÖÚ Ò Ø Ø ÓÒ Ú Ö Ö Ò ¹ Ò Ù Ö Å Ø Û Ð Ö Ö ÕÙ ÒÞ ÑÙ Ë Ò Ð ÑÓ ÙÐ ÖØ Û Ö Ò Ï Ð Ö ÒÞ Ö ¹ ÕÙ ÒÞ Ø Ö Ò Ì Ô ÐØ Ö ÞÙ Û Ð Ò º Á Ø Ã ÒÒØÒ Ú ÖÛ Ò Ø Ò Ë ÐÐÛ Ò Ð Ö Ö ÞÛ Ø ÚÓÖ Ø ÐÐØ Î Ö Ö Ò Ö Ð Ú ÒØ Ö Ò Ò Ë Ö ÒØÛÓÖØº Ö ÐÖ Ò Ë Ö Ø Û Ö À Ð ÖØ¹ ÌÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò Û Ò Ò ËØÞ Òº º Ö ÐÖ Ò Ò ÞÛ Ö ËØÞ Ò Û Ð Ò ÕÙ Ð Ø Ø Ú Ò ÍÒØ Ö Ë ÞÛ Ò Ñ Ö Ò Ö À ÐÐ ÙÖÚ Ò Ø Ø ÓÒ Ñ ØØ Ð À Ð ÖØ¹ÌÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÙÒ Ñ Ø Ì Ô Ð¹ Ø ÖÙÒ ÖÛ ÖØ Òº º Ï Ø ÖØÖ ÙÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ð Ò Ì Ô ÐØ Ö Ù Ë ÞÞ µ Ë ÞÞ ¹ Ö Ò Ë Ù Ö Ñ ÖØÖ ÙÒ ÙÒ Ø ÓÒ ÞÛ Ö Ö Ð Ö Ì Ô ¹ ÐØ Ö ÒÑ Ð Ö Ú Ð ÐØ Ö Ó Þ ÒØ Ò ÒÑ Ð Ö Û Ò ÃÓ Þ ÒØ Òº Ö Ò Ë ÍÒØ Ö¹ º ÁÌ¹Î ¹

96 ÈÖ Ø ÙÑ Ù Ò ØØ Ð Ò Ë Ù Ò Ø ÐÐÙÒ ÚÓÐÐ ØÒ ÙÖ ÚÓÖ Ë ÒÒ Ò Î ÖÛ Ò Ò Ë Ñ¹ Ð Ñ Ø Ò Ò Ë Ö Ò Å ØÐ Ó Ù Ö Ò ÙÒ Ú ÖÑ Ò Ë Ö Ø Ñ Ø Ö ÃÓÑÑ Ò ÓÞ Ð º Ò Ù Ò Ø Ø Å ØÐ Ð Ò Ò Ò Ò ØØ º ËÔ ÖÒ Ë Ö Ë Ö ÔØ Ñ ÚÓÖ Ò Ò ÇÖ Ò Ö Ù Ñ ØÓÔ º Ö Ø Ò Ë ÐÐ Ò Ð ÙÒ Ò ÑØÐ Òº º½ ÎÓÖ Ö ØÙÒ Ò Ò Ë Å ØÐ Ë Ö ÔØ ³ Ø ÖØ Ú¾ºÑ³º Ë Ò ÒÙÒ Ò Ö Ô Ç Ö ÚÓÖ Ñ Ø Ö Ë Ù Ò Ñ Ò Ñ Ö ÕÙ ÒÞ Ö Ò Ù Ò ÒÒ Òº Ä Ò Ò ÑÓ¹ Ø Ò ØÞ Ö Å Ø ÐÐÔÐ ØØ ÙÒ Ð Ò Ë Ù ³ËÔ ØÖÙÑ³º Ë ÒÒ Ò Ö Ø ÒÞ Ð Ö ËØ ØÞ Ø ÐÐ Ò Ö Ì Ú Ö Ö Òº Ï Ð Ò Ë ½¼¾ ËØ ØÞ Ø ÐÐ Òº Ü¹ Ö Ø ÐÐØ Ò Ö ÕÙ ÒÞÚ ÖÐ Ù Ø ÞÙÒ Ø Ò Ë ÑÔÐ Ð ÖØº Ë Ò Ð ÛÙÖ Ò Ù Û Á Ö Å Ò Ð Ñ Ø Ò Ö Ö ÕÙ ÒÞ ÚÓÒ ¼ ÅÀÞ Ø Ø Øº Ö Û Ð Ò Ö ÕÙ ÒÞ Ö Ö ØÖ Ø Ö Ö Ø ÐÐØ ËÔ ØÖÙÑ Ö Ò Ò Ë Ò Ö ÕÙ ÒÞ¹ Ø Ò ÞÛ Ò ÞÛ Ë ÑÔÐ fº ÃÓÖÖ Ö Ò Ë Ö ÕÙ ÒÞ Ò Ð ÖÙÒ Ò Ñ Ë Ò Ï ÖØ Ò Ì ÜØ Ð ÒØÖ Òº À ÒÛ Ð Ö ËØ ØÞ Ø ÐÐ Ò Þ Ø Ù Ø Ö ÕÙ ÒÞ Ô ØÖÙÑº Ö¹ Ø ÐÐØ Û Ö Ö ÐÐ Ö Ò Ð Ð Ö ÔÓ Ø Ú ÒØ Ðº º¾ Ì Ô ÐØ Ö ÖÞ Ù Ò Ë Ñ Ø Ö Å ØÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ö½ ÃÓ Þ ÒØ Ò Ò Ì Ô ÐØ Ö º Ò Ë ÚÓÒ Ò Ö Ø ØÖ Ø ÚÓÒ ¼ ÅÀÞ Ù ÙÒ Û Ð Ò Ë Ò Ö ÒÞ Ö ÕÙ ÒÞ ÚÓÒ ÅÀÞº Ö Ò Ò Ë ÃÓ Þ ÒØ Ò Ö Ò ÐØ ÖÐÒ ÚÓÒ ¾ ÙÒ ½¾ º ËØ ÐÐ Ò Ë Ò ØÖ Ö ÖØÖ ÙÒ ÙÒ Ø ÓÒ H(ω) Ö Ö ÐØ Ö Ö Ô Ò Ò Ö Ð ÙÒ Öº Ö Ð Ö Ò ÐÐ Ö Ø ÓÙÖ ÖØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ò Å ØÐ Ø Øº Î ÖÛ Ò Ò Ë Ö Ö Ø ÐÐÙÒ Ñ Ò Ø Ò ½¼¾ ËØ ØÞ Ø ÐÐ Òº Ë Ð Ö Ò Ë Ö ÕÙ ÒÞ ÓÖÖ Øº ÏÓÖ Ò ÙÒØ Ö Ò ÐØ Ö º ÑÓ ÙÐ Ø ÓÒ Ñ Ø ÐØ ÖÙÒ Ë ÓÐÐ Ò ÒÙÒ ÑÓ ÙÐ Ø ÓÒ Ñ Ø Ö ÙÖ Ö Òº Å Ø Û Ð Ö Ö ÕÙ ÒÞ ω 0 ÑÙ Ö ÕÙ ÒÞÚ Ö ÙÒ ÙÖ ÖØ Û Ö Ò Ò Ö Ö Ò Ë ÒÙÒ ÐØ Ö¹ÃÓ Þ ÒØ Ò Ñ Ø Ö½º Ï ÑÙ ÐØ Ö¹ ÙØÓ Ö ÕÙ ÒÞ Û ÐØ Û Ö Ò Ä Ò Ë Ò ÑÓ¹ Ø Ò ØÞ Ö Å Ø ÐÐÔÐ ØØ º Ö Ò ÑÓ ÙÐ Ø ÓÒ Ñ Ø Ñ Ö Ò ÒØ ÐØ Ò Ò ¹Ë Ò ÙÖ º º ÑÓ ÙÐ Ø ÓÒ Ñ Ø À Ð ÖØ ÌÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ Ö Ò Ë ÑÓ ÙÐ Ø ÓÒ Ð Ò Ø Ò ØÞ ÒÙÒ Ñ ØØ Ð À Ð ÖØØÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒ ÙÖ º ÙÒ Ø ÓÒ Ð ÖØ Ò Å ØÐ Ø Ò ÐÝØ Ë Ò Ð Ù º ËØ ÐÐ Ò Ë ÁÌ¹Î ¹ ½¼

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100 Versuch IT-V7: Glasfaserübertragungsstrecke Lehrstuhl für Photonik und Terahertztechnologie Inhaltsverzeichnis 1 Hinweise zum Arbeiten mit Lasern Allgemeine Hinweise Hinweise zum verwendeten Laser Einleitung Motivation Versuchsübersicht Grundlagen Die Wechselwirkung von Licht mit Halbleitern Glasfaser Faserherstellung Aufbau und Justage Aufbau Justage Datenübertragung Analog - Audiosignal Digital - Textnachrichten Vorbereitungsaufgaben 11 IT-V7-1

101 1 Hinweise zum Arbeiten mit Lasern 1.1 Allgemeine Hinweise Beim Arbeiten mit Lasern ist grundsätzlich äußerste Vorsicht geboten. Trifft ein Laserstrahl die Netzhaut, entsteht sofort eine Verbrennung, welche zur Vernarbung der Netzhaut und damit zur Blindheit führen kann. Deshalb: Schauen Sie niemals direkt in einen Laserstrahl! In Laboren, in denen mit Lasern gearbeitet wird, ist es verboten reflektierenden Schmuck wie Uhren, Ringe oder Ketten zu tragen, da diese ungewollt den Laser reflektieren und Sie so jemandem Schaden zufügen könnten. Des Weiteren sollte der Laserstrahl den Tisch nicht verlassen, um keine zusätzliche Gefahr für andere Personen im Labor darzustellen. Beim Umgang mit reflektierenden Werkzeugen ist mit Bedacht vorzugehen. 1.2 Hinweise zum verwendeten Laser Die in diesem Praktikum verwendete Laserdiode emittiert Licht der Wellenlänge 650nm. Das bedeutet, Sie werden an den Stellen, an denen der Laser auf Gegenstände trifft einen roten Punkt sehen. Den Laserstrahl an sich können Sie nicht sehen. Daher ist hier Vorsicht geboten. Begeben Sie sich niemals auf Augenhöhe mit der Laserdiode, so lange diese eingeschaltet ist! Müssen Sie dies zur besseren horizontalen Ausrichtung des Aufbaus tun, schalten Sie vorher in jedem Fall die Laserdiode aus! Die verwendete Laserdiode wird kommerziell zum Beispiel in DVD-Playern verwendet. Ihre maximale optische Ausgangsleistung beträgt 7mW. Bei solch hohen Leistungen müssten zum Schutz der Augen Schutzbrillen getragen werden. Wir werden die Strombegrenzung für die Laserdiode in diesem Praktikum jedoch so einstellen, dass die Ausgangsleistung der Laserdiode 1mW nicht überschreiten kann. Es ist wichtig, dass Sie niemals den Begrenzungsstrom erhöhen, da sonst eine Gefahr für Sie und andere besteht. Ist die optische Ausgangsleistung auf weniger als 1mW begrenzt, ist bei sichtbarem Laserlicht das tragen einer Schutzbrille nicht zwangsläufig notwendig, da Sie Ihr Lidschlussreflex vor Schaden bewahren sollte. Dies bedeutet aber nicht, dass bei längerem Blick in den Laser keine Gefahr für ihre Augen besteht. Schauen Sie deshalb niemals direkt in den Laserstrahl! IT-V7-2

102 2 Einleitung 2.1 Motivation Optische Nachrichtenübertragung ist aus der heutigen Welt nicht mehr wegzudenken. Ohne sie wäre Breitband-Internet mit den üblichen Geschwindigkeiten undenkbar. Alle Daten werden spätestens ab der Vermittlungsstelle über optische Glasfasernetzwerke übertragen. Während die physikalische Grenze bei Kupferkabeln bei ca. 3Gbit/s liegt, werden heutzutage kommerziell bis zu 100 Gbit/s über Glasfasern übertragen. Die Grenze ist hier noch lange nicht erreicht, da auch schon Datenübertragungsraten von 32Tbit/s über eine einzelne Faser gezeigt werden konnten. In diesem Praktikum werden Sie selbst ein System aufbauen, das in der Lage sein wird einfache Signale wie z.b. Musik zu übertragen. Zu diesem Zweck werden Sie selbst eine Glasfaser präparieren und diese zur Übertragung nutzen. Optional können Sie gerne Ihre eigene Musik mitbringen. 2.2 Versuchsübersicht In diesem Praktikum geht es darum aus vorgegebenen Komponenten eine optische Übertragungsstrecke aufzubauen, die dann zum übertragen von analogen (Musik) und digitalen Signalen (ASCII-Zeichen) verwendet wird. Dazu werden Sie das Licht einer Laserdiode in eine Faser einkoppeln und die verschiedenen Signale übertragen. Zur Vorbereitung lesen Sie bitte die Ausführungen und lösen Sie die Vorbereitungsaufgaben. 3 Grundlagen 3.1 Die Wechselwirkung von Licht mit Halbleitern Für die Erklärung eines Lasers ist die quantenmechanische Beschreibung des Lichts notwendig. Das heißt nichts anderes, als dass Licht auch über Teilchen beschrieben werden kann, im Gegensatz zum Wellenmodell von Licht. Diese Teilchen sind Lichtquanten oder Photonen und besitzen eine bestimmte Energie (E P h ), die im Wellenmodell mit der Frequenz (f)) bzw. der Wellenlänge (λ) zusammenhängt. Die wesentlichen Zusammenhänge werden über die folgenden Gleichungen beschrieben: E P h = h f (1) c = λ f (2) Dabei steht c für die Lichtgeschwindigkeit und h = 6, Js für das Plancksches Wirkungsquantum. Um mit einem Halbleiter in Wechselwirkung zu treten ist die Energie der einzelnen Photonen relevant. In Abbildung 1 sehen Sie eine vereinfachte Darstellung des Bändermodells eines typischen Halbleiters. Elektronen können sich sowohl im Leitungs- als auch im Valenzband befinden, nicht jedoch in der Energielücke. Elektronen, die sich im Leitungsband befinden, tragen zur elektrischen Leitfähigkeit bei, Elektronen im Valenzband können nicht zur Leitfähigkeit IT-V7-3

103 Leitungsband (LB) Bandlücke (E g ) Valenzband (VB) Bild 1: Vereinfachtes Bändermodell eines Halbleiters. beitragen. Die Bandlücke ist der energetische Unterschied zwischen Leitungs- und Valenzband und ist eine wesentliche Eigenschaft des Halbleitermaterials für die Wechselwirkung mit Licht. Es gibt drei relevante Vorgänge, die beim Wechselwirken von Licht und Halbleiter auftreten: Absorption Trifft ein Photon auf einen Halbleiter, so kann es absorbiert werden. Damit dieser Vorgang stattfinden kann, muss jedoch die Energie des Photons mindestens so groß wie die Bandlücke des entsprechenden Halbleiters sein. Ist dies nicht der Fall kann das Photon nicht absorbiert werden und passiert den Halbleiter ungehindert. Bei der Absorption wird das Photon vernichtet, gibt seine Energie aber an ein Elektron weiter, welches dadurch aus dem Valenzband in das Leitungsband gehoben wird. Dieser Vorgang ist vor allem für die Detektion von Licht maßgeblich. Spontane Emission Sind bereits Elektronen im Leitungsband vorhanden, z.b. durch einen Injektionsstrom so kann es passieren, dass ein Elektron aus dem Leitungsband in das Valenzband fällt. Da auch hierbei die Energieerhaltung gewährleistet sein muss, kann ein Photon mit der Energie gleich der Enegiedifferenz zwischen Leitungs- und Valenzband emittiert werden. Dieser Prozess wird spontane Emission genannt und wird z.b. bei der LED (light-emitting diode) ausgenutzt. Stimulierte Emission Die stimulierte Emission wurde vor gut 100 Jahren von Albert Einstein als Umkehrung der Absorption postuliert. Hierbei wird davon ausgegangen, dass sich Elektronen im Leitungsband befinden. Trifft nun ein Photon auf den Halbleiter kann es mit dem angeregten Elektron in folgender Weise wechselwirken: Das Elektron wird gezwungen ins Valenzband über zu gehen. Dabei behält das Photon seinen ursprünglichen Impuls und auch seine Energie bei. Um die Energieerhaltung zu wahren, wird nun ein weiteres Photon erzeugt, welches ein exakter Klon des eintreffenden Photons ist (gleicher Impuls, gleiche Energie). IT-V7-4

104 Vorwiegend spontane Emission Vorwiegend stimulierte Emission Optische Ausgangsleistung Diodenstrom Bild 2: Optische Kennlinie einer Laserdiode Dadurch stehen nach einer stimulierten Emission zwei Photonen mit gleichen Eigenschaften zur Verfügung. Dieser Mechanismus entspricht einer Verstärkung, und ist für die Funktion von Lasern essentiell. Die Laserdiode Wie der Name schon vermuten lässt, handelt es sich bei der Laserdiode um ein Halbleiterbauelement, dem eine Diodenstruktur zu Grunde liegt. Das heißt, die einfachste Diodenlaserstruktur besteht aus einem n-dotierten und einem p-dotierten Teil, welche in Kontakt sind. Wird nun ein Strom eingeprägt, rekombinieren die Elektronen aus dem p-teil, und die Löcher aus dem n-teil innerhalb der Raumladungszone und es entstehen dabei Photonen. Dieser Prozess findet bei relativ geringen Stromdichten statt und basiert auf spontaner Emission. Befindet sich diese Struktur in einem Resonator, so dass das erzeugte Licht wieder auf die aktive Zone zurückgeworfen wird, und ist die Stromdichte hoch genug, findet überwiegend stimulierte Emission statt und es kann von einem Laser (Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation) gesprochen werden. Die Kennlinie einer Laserdiode ist dementsprechend in Bild 2 gezeigt. Bei geringen Strömen findet keine stimulierte Emission statt, und die optische Leistung ist dementsprechend gering. Ab einem bestimmten Strom beginnt die stimulierte Emission effektiv zu werden und die optische Ausgangsleistung steigt stark an. Oberhalb dieser IT-V7-5

105 Schutzschicht Mantel (n 2 ) Kern (n 1 ) Bild 3: Die verschiedenen Schichten einer Glasfaser Schwelle wird nahezu der komplette eingeprägte Strom in Licht umgesetzt. Wenn Sie nun einen Arbeitspunkt für ihre Übertragung wählen, sollten Sie möglichst einen Punkt über oder unter der Schwelle nehmen. Sonst wird das Signal aufgrund der Nichtlinearität an der Laserschwelle verzerrt. Dabei ist ein Arbeitspunkt über der Schwelle günstiger, da dort eine kleine Änderung der Spannung / des Stromes eine große Änderung der Lichtleistung verursacht. Detektor Der relevante Mechanismus für die elektrische Detektion von Licht ist die Absorption von Photonen, so dass Elektronen im Leitungsband des Halbleiters erzeugt werden. Im einfachsten Fall kann ein Halbleiter direkt als photoelektrischer Widerstand verwendet werden. Die Leitfähigkeit bei Dunkelheit ist relativ gering. Fällt Licht auf den Halbleiter, so werden Elektronen- Loch- Paare erzeugt und der Widerstand des Halbleiters sinkt. Über eine Widerstandsmessung am Halbleiter kann so die einfallende Lichtmenge detektiert werden. Der in diesem Versuch verwendete Detektor ist, ähnlich wie die Laserdiode, eine PN- Diode. Werden Photonen im Bereich des Kontakts zwischen p- und n- Teil absorbiert, so können die erzeugten Elektronen und Löcher durch das eingebaute Feld der Raumladungszone getrennt werden und erzeugen einen Strom. Nach diesem Prinzip funktionieren auch Solarzellen. Um eine hohe Genauigkeit bei der Licht- Messung zu erreichen wird der erzeugte mit einem Strom- Spannungswandler verstärkt und dann gemessen. 3.2 Glasfaser Aufbau Glasfasern werden zum übermitteln von Daten über lange Strecken genutzt. Sie werden häufig auch als Lichtleiter bezeichnet. Diese Lichtleitung funktioniert über einen Prozess, der interne Totalreflexion genannt wird. Glasfasern sind wie folgt aufgebaut: Wie in Abbildung 3 zu sehen, besteht eine Glasfaser aus einem Kern und einem Mantel, welche unterschiedliche Brechungsindizes n x haben. Hat nun der Mantel einen niedrigeren Brechungsindex als der Kern, so kann an der Grenzfläche eine Totalreflexion stattfinden. In diesem Fall bleibt die komplette Lichtleistung im Kern. Desweiteren ist der Winkel, IT-V7-6

106 n 2 θ c n 1 α max θ c Bild 4: Der Akzeptanzwinkel der Faser, unter dem Licht eingekoppelt werden kann, wird durch dir interne Totalreflexion zwischen Mantel und Kern der Faser bestimmt. in dem das Licht auf die Grenzfläche trifft von entscheidender Bedeutung: ist dieser zu groß, gibt es nur eine Teilreflexion und Licht dringt in den Mantel ein. Diese sogenannte Mantelwelle stellt einen Verlust dar, und ist deshalb unerwünscht. Der kritische Winkel (Θ c ), d.h. der größtmögliche Winkel der Totalreflexion ist dann erreicht, wenn sich gerade noch keine Mantelwelle ausbildet und kann über das Brechungsgesetz berechnet werden. Folgende Bedingungen müssen demnach für die Weiterleitung von Licht in einer Glasfaser erfüllt sein: n 1 < n 2 (3) Θ c = arcsin( n 2 n 1 ) (4) Numerische Apertur Die numerische Apertur (NA) gibt das Vermögen einer Linse oder Faser an Licht einzusammeln bzw. beschreibt unter welchem Winkel das Licht emittiert wird. Sie ist definiert als: NA = n sin(α max ) (5) Wobei n der Brechungsindex des die Linse umgebenden Mediums (in unserem Fall Luft: n 1), und α max der Akzeptanzwinkel (s. Abbildung 4) der Linse oder Faser ist. Unter Hinzunahme von Snellius Brechungsgesetz und der Annahme n Luft 1 lässt sich die numerische Apertur einer Lichtleitfaser bestimmen: IT-V7-7

107 Linse Faser f F α α Bild 5: Akzeptanzwinkel / Numerische Apertur einer Linse (F - Fokus, f - Brennweite) und am Faserende 1 n 2 1 sin(α max ) = n 1 sin(90 Θc) (6) 1 sin(α max ) = cos(θc) n 1 (7) sin 2 (α max ) = cos 2 (Θc) = 1 sin 2 (Θc) = 1 n2 2 (8) n 2 1 sin(α max ) = n 2 1 n 2 2 = NA (9) Die oben beschriebe Art von Glasfaser wird auch Stufenindexfaser genannt, da der Brechungsindex von Kern zu Mantel sich stufenartig ändert. In diesem Praktikum liegt ihnen allerdings eine Gradientenindexfaser vor. Hierbei wurde bei der Herstellung der Brechungsindex fließend von innen nach außen reduziert. Solche Fasern sind besser zur Übertragung über lange Strecken geeignet. Dieser Versuch würde sowohl mit einer Stufenindex- als auch mit einer Gradientenindexfaser funktionieren, da die Signale nur über eine kurze Strecke übertragen werden. 3.3 Faserherstellung Zur Herstellung einer Glasfaser werden verschiedene Spezialwerkzeuge benötigt. Zuerst müssen Sie ein Stück Glasfaser (ca. 50cm) von der großen Rolle abtrennen. Die nun folgenden Schritte müssen mit beiden Enden der Faser durchgeführt werden: 1. Mit einem Spezialwerkzeug ca. 2,5cm die Schutzschicht am Ende der Glasfaser entfernen. Kern und Mantel der Faser bleiben erhalten, da sonst keine Übertragung des Lichts möglich wäre. 2. Die offenliegende Faser vorsichtig mit Isopropanol und einem weichen Tuch säubern. IT-V7-8

108 optimal Faser zu tief in Halterung Faserende verschmutzt Bild 6: Ansicht des gebrochenen Faserendes durch das Mikroskop. 3. Nun mit dem Faserschneider das Faserende sauber abtrennen. Dabei wird die Faser mit einer Klinge senkrecht eingeritzt und anschließend durch Druck auf diese Stelle gebrochen. Es sollte sich dabei eine senkrechte Oberfläche ausbilden, die später kontrolliert wird. 4. Die so präparierte Faser vorsichtig in die Halterung schieben, und zwar genau so weit, dass sie bündig mit der Kante abschließt. Dies geht am besten vor einem schwarzen Hintergrund. 5. Die Faserhalterung in das Kontrollgerät stecken und kontrollieren (siehe Bild 6). Hinweis: Seien Sie mit der entmantelten Faser besonders vorsichtig, da die Gefahr besteht, sich diese in die Hand zu stechen, wobei das Ende sofort abbricht und in der Haut stecken bleibt. Hat dieser Vorgang gut funktioniert, sollten Sie den Faserkern deutlich erkennen. Dieser sollte nicht allzu verschmutzt sein. Ein perfektes Ergebnis ist mit dieser Methode nicht zu erreichen, wird aber auch nicht benötigt um die Übertragung durchzuführen. 4 Aufbau und Justage 4.1 Aufbau Wie in Abschnitt 1.2 beschrieben, muss die Leistung der Laserdiode begrenzt werden, um die Gefahr durch die Laserdiode zu reduzieren und ein Arbeiten ohne Schutzbrille zu ermöglichen. Dennoch kann ein direkter Blick in den Strahl Ihr Auge schädigen. Um die notwendige Begrenzung für die Laserdiode einzustellen, verwenden wir ein Powermeter und betreiben Laserdiode und Detektor unter einem Gehäuse. Der Strom ist dann so zu begrenzen, dass die Ausgangsleistung deutlich unter 1mW liegt. Danach muss die optische Übertragungsstrecke aufgebaut und justiert werden (siehe Bild 7). Hierzu müssen die folgenden Komponenten auf der Leiste positioniert werden: Laserdiode im Kühlkörper 2 Mikroskoplinsen Faserhalter Photodiode IT-V7-9

109 Laserdiode Glasfaser Photodiode V Bild 7: Skizze der Übertragungsstrecke Die Photodiode (siehe Abschnitt 3.1) ist in diesem Versuch zusammen mit einem Verstärker in ein Gehäuse eingebaut, so dass am Ausgang der Schaltung direkt eine Spannung gemessen werden kann. Die Verstärkung kann dabei direkt an der Diode verstellt werden. Zur Justage wird die Diode per Adapter an das Multimeter angeschlossen. Als weiteres Hilfsmittel zur Justage eignet sich ein kleines Stück Papier (Visitenkarte) um den Laserspot zu betrachten. 4.2 Justage Zuerst sollten Sie nun die Linse, die direkt hinter dem Laser steht, mit Hilfe eines Sechskantschlüssels so positionieren, dass auf der kompletten Strecke zwischen den Linsen der Laserspot seine Größe nicht verändert. Zudem sollte der Strahl parallel zur Tischoberfäche verlaufen und keinen seitlichen Versatz haben. Erst dann wird die zweite Linse so positioniert, dass der Laserspot komplett auf die Linse fällt und nicht auf dem Rand zu sehen ist. Wenn Sie das Stück Pappe nun hinter den Faserkoppler halten, fällt es ihnen leichter diesen so einzustellen, dass Licht hin durchfällt. Anschließend kann die selbst hergestellte Glasfaser in Faserhalter und Photodiode geschraubt werden (Achtung: Der Stecker besitzt eine Nut und kann dementsprechend nur in einer Position eingeschraubt werden). Nun stellen Sie an der Photodiode die höchste Verstärkungsstufe und am Multimeter die höchste Empfindlichkeit ein. Sie sollten nun eine leichte Auslenkung des Zeigers auf ihrem Multimeter beobachten. Optimieren Sie das Signal nun, indem Sie vorsichtig an den Justageschräubchen ihres Aufbaus drehen und dabei immer das Multimeter im Auge behalten. Tipp: Drehen Sie immer nur an einer Schraube und akzeptieren Sie keine Verschlechterung des Signals. Lässt sich das Signal mit einer Schraube nicht mehr weiter verbessern, gehen Sie zur nächsten Schraube über. 5 Datenübertragung 5.1 Analog - Audiosignal Nachdem Sie den Aufbau nun kalibriert haben, können Sie mit der Übertragung an beginnen. Hierzu wird eine Audioquelle (Computer, MP3-Player) mit einem Spezialkabel (3,5mm Klinke/BNC) an den Modulate-Eingang des Lasertreibers angeschlossen. An den Ausgang IT-V7-10

110 der Photodiode schließen Sie ebenfalls per Spezialkabel (BNC/3,5mm Klinke) Aktivboxen an. Dadurch wird der Strom der Laserdiode über die angelegte Spannung erhöht und dementsprechend wird mehr oder weniger Licht emittiert. Nun müssen Sie den richtigen Arbeitspunkt für die Laserdiode wählen, um eine möglichst verzerrungsfreie Übertragung zu gewährleisten. Zusätzlich können Sie noch zwei drehbaren Linearpolarisatoren zwischen die beiden Linsen stellen. Dadurch haben Sie eine Möglichkeit ihre Signalstärke zu verändern. 5.2 Digital - Textnachrichten Eine einfache Art Textnachrichten von einem PC zum anderen zu senden, besteht mit der Software HyperTerminal, die es ermöglicht einfachen ASCII-Code über eine Nullmodem- Verbindung zu versenden. In diesem Praktikum nutzen Sie jedoch nicht nur ein einfaches Nullmodem-Kabel, sondern ihre optische Übertragungsstrecke zum übermitteln der Nachrichten. Leider funktioniert dies nicht bidirektional, so dass ein PC immer der Sender und der andere der Empfänger ist. Um das elektrische Signal des PCs in ein optisches zu wandeln, benutzen Sie den Modulate- Eingang des Lasertreibers. Da die RS-232 Schnittstelle mit recht hohem Spannungshub arbeitet (typisch -12V bis +12V) und 1V Spannungsänderung am Lasertreiber ca. 20mA Stromänderung mit sich bringt, wird ein Spannungsteiler benötigt, damit der Lasertreiber nicht ständig in die Strombegrenzung geht. Auf der Empfängerseite müssen die Signale vom Detektor wieder für die RS232-Schnittstelle aufbereitet werden. 6 Vorbereitungsaufgaben 1. Sie haben eine Stufenindexfaser mit folgenden Daten: n 1 = 1,48, n 2 = 1,46. wie groß ist die numerische Apertur dieser Faser, wie groß ihr Akzeptanzwinkel? 2. Musiksignale werden amplitudenmoduliert übertragen. Was wird mit der Musik aus den Boxen passieren, wenn Sie die beiden Linearpolarisatoren gegeneinander verdrehen? Was würde passieren, wenn das Signal frequenzmoduliert wäre? 3. Wieso können Sie bei der Übertragung von PC zu PC nicht das Ausgangssignal der Photodiode direkt als Eingangssignal des zweiten PCs nutzen? 4. Wie wählen Sie am besten den Arbeitspunkt ihrer Laserdiode um eine störungsfreie Übertragung zu gewährleisten? 5. Die Wellenlänge der verwendeten Diode beträgt 650nm - berechnen Sie die Energie der Photonen / Energielücke des Halbleiters. 6. Leiten Sie die Formel 4 für den kritischen Winkel Θ c aus dem Brechungsgesetz (n 1 sin(θ 1 ) = n 2 sin(θ 2 )) her. IT-V7-11

111 Versuch IT-V8: OFDM Inhaltsverzeichnis 1 Theoretische Grundlagen Ein- und Mehrträgerverfahren OFDM-Modulation OFDM-Demodulation Realisierung von OFDM Übertragung von OFDM-Signalen Belegung der Subträger Zyklisches Präfix Kanalentzerrung und Detektion Spitzenwertreduktion Synchronisation Vorbereitungsaufgaben Belegung der Subträger Zyklisches Präfix/Guardintervall Übertragung Detektion Versuchsdurchführung SNR und BER PAPR Zyklisches Präfix/Guardintervall Belegung der Subträger Synchronisation Quellenverzeichnis 23 IT-V8-1

112 f T a Einträgerverfahren B H(f) t h(t) f Mehrträgerverfahren T a T s B H(f) T s = N T a t Bild 1: Vergleich von Ein- und Mehrträgerverfahren nach [2]. 1 Theoretische Grundlagen 1.1 Ein- und Mehrträgerverfahren In digitalen Übertragungsverfahren werden Bitfolgen vom einem Sender zu einem Empfänger übermittelt. Diese Bits werden zunächst in Bitgruppen aufgeteilt und anschließend Symbolen zugeordnet (mapping), die typischerweise durch komplexe Zahlen repräsentiert werden. Die Übertragung eines Symbols erfordert eine gewisse Zeitdauer (Symboldauer), andererseits auch eine Bandbreite im Frequenzbereich. Häufig gelangen die abgestrahlten Signale über mehrere Pfade (Mehrwegeausbreitung) mit unterschiedlicher Verzögerung zum Empfänger. Die unterschiedlichen Ankunftszeiten der Signale werden hier vereinfacht durch die Dauer der Impulsantwort h(t) des Kanalsystems modelliert (siehe Abb. 1, rechts). Ein solcher Übertragungskanal zwischen Sender und Empfänger bewirkt eine gegenseitige Beeinflussung der Signale aus verschiedenen Symbolintervallen und verzerrt damit das Sendesignal. Für die Übertragung der Symbole können Ein- oder Mehrträgerverfahren verwendet werden. Ein Einträgerverfahren (single carrier) nutzt für jedes Symbol die gesamte Bandbreite B (siehe Abb. 1, obere Darstellung) und eine vergleichsweise kurze Symboldauer T a, wobei der Kehrwert f a = 1 T a der Abtastrate entspricht. Alle Symbole werden nacheinander mit hoher Rate (Symbole/Zeit) gesendet. Dabei kann die effektive Wirkung der Impulsantwort h(t) des Kanalsystems zeitlich sehr viel länger ausfallen als T a (siehe Abb. 1, rechts), sodass die Verzerrung die gegenseitige Beeinflussung von mehreren, benachbarten Symbolintervallen zur Folge hat. Analog dazu bleibt im Frequenzbereich die Übertragungsfunktion des Kanalsystems H(f) nicht konstant über das gesamte Frequenzband. Somit entsteht IT-V8-2

113 ej2πf N/2 t Map d N/2 gs (t) x N/2 (t) ej2πfn t Bitquelle S/P Map dn gs (t) xn (t) P x(t) ej2πfn/2 1 t Map dn/2 1 gs (t) xn/2 1 (t) Bild 2: Schematische Darstellung der OFDM-Modulation am Sender [2]. Intersymbolinterferenz (ISI), die eine aufwändige Entzerrung am Empfänger erfordert. Ein Mehrträgerverfahren (multi carrier ) verringert diese Störung, indem das Frequenzband in N kleinere Frequenzbänder (Subträger ) unterteilt wird (siehe Abb. 1 unten). Die Symboldauer wird bei gleichbleibender Bandbreite B mit Ts = N Ta größer. Die Datenrate fällt keineswegs geringer aus, da zwar die Symboldauer deutlich erhöht wird, jedoch pro Subträger ein Symbol gesendet wird. Durch die Erhöhung der Symboldauer beeinflussen sich die Signale aus benachbarten Symbolintervallen weniger gegenseitig und die ISI wird reduziert. Im Frequenzbereich wiederum bleibt die Übertragungsfunktion H(f ) näherungsweise konstant innerhalb eines Subträgers, was die Entzerrung sehr vereinfacht. Das OFDM-Verfahren (Orthogonal Frequency Division Multiplexing) ist das mit Abstand am häufigsten eingesetzte Mehrträgerverfahren. Es wird in verschiedenen, allgemein bekannten Kommunikationssystemen verwendet. Im Bereich des digitalen Hörfunk kommt es bei DAB (Digital Audio Broadcasting) zum Einsatz. In drahtlosen Netzwerken (WLAN) basieren viele Standards wie IEEE n auf OFDM. Ebenfalls ist das digitale, terrestrische Fernsehen DVB-T (Terrestrial Digital Video Broadcasting) mit der OFDM-Übertragungtechnik ausgestattet. Schließlich enthält der Mobilfunkstandard der vierten Generation (LTE, Long Term Evolution) das OFDM-Verfahren. 1.2 OFDM-Modulation Die OFDM-Modulation am Sender wird in Abb. 2 dargestellt. Um die mathematische Darstellung zu vereinfachen, wird angenommen, dass die OFDM-Übertragung lediglich einmal vollständig im Zeitraum 0 t Ts ausgeführt wird. Häufig wird ein vollständiges OFDM-Sendesignal auch als OFDM-Symbol bezeichnet. Eine Bitquelle erzeugt zunächst einen kontinuierlichen Bitstrom, der in der Seriell-Parallel-Umwandlung (S/P) auf N parallele Pfade aufgeteilt wird. Anschließend erfolgt auf jedem Pfad die Zuordnung von Bitgruppen (mapping) zu Symbolen dn mit N/2 n N/2 1. Jedem Symbol wird eine Signalform (Pulsform) gs (t) gegeben. Im Falle von OFDM handelt es sich dabei um ein Rechtecksignal mit Breite Ts [2]:! ( 1 t T2s 0 t Ts 1 rect = N. (1) gs (t) = N Ts 0 sonst IT-V8-3

114 Daraufhin erfolgt eine Multiplikation mit einer komplexen Exponentialschwingung, sodass für den nten Pfad die Gleichung ( ) x n (t) = d n N rect 2t T s e j2πfnt (2) 2T s gilt. Dabei zeigt (2) das Grundprinzip von OFDM: Jedem Subträger wird eine Exponentialschwingung mit Frequenz f n zugeordnet, die durch das Rechteck auf eine Symboldauer T s zeitbegrenzt wird. Wird nun f n = n T s gewählt, so sind die Schwingungen der N verschiedenen Pfade zueinander orthogonal. Daher ist es möglich, auch nach der Summation der parallelen Einzelpfade x(t) = N/2 1 n= N/2 x n (t) = 1 N N/2 1 n= N/2 d n rect ( 2t T s 2T s ) e j2π n Ts t, (3) die Symbole aus den einzelnen Subträgern zurückzuerhalten. Diese Eigenschaft wird im nächsten Unterkapitel noch gezeigt. Zunächst folgt noch die Betrachtung von (3) im Frequenzbereich. Es gilt und zusammen mit (2) folgt daraus G s (f) = F {g s (t)} = T s N si (πft s) e jπfts, (4) X n (f) = F {x n (t)} = d n G s ( f n T s ) Für die Fourier-Transformierte des OFDM-Signals gilt daher = T ] s N d n si [π(f nts )T s ( 1) n e jπfts. (5) X(f) = F {x(t)} = N/2 1 n= N/2 X n (f). (6) Die Orthogonalität der Subträger kann anhand der Darstellung im Frequenzbereich (5) anschaulich gezeigt werden. In Abb. 3a sind die Beträge der Frequenzverläufe von X n (f) dargestellt. Die Subträger sind im Abstand f s angeordnet, wobei f s = 1 T s gilt. Es wird deutlich, dass für den nten Subträger der maximale Betrag bei n T s erreicht wird, wogegen alle anderen Spektralverläufe dort ihre Nulldurchgänge aufweisen. Falls auf der Empfängerseite genau dieser Punkt im Frequenzbereich abgetastet wird, kann das zugehörige Symbol ohne Störung durch andere Subträger zurückgewonnen werden. Ein wichtiger Aspekt ist der Bedarf an Bandbreite B des OFDM-Signals, da dem Sender nur ein begrenztes Frequenzband zur Verfügung steht. Da das OFDM-Signal wegen des Rechtecks als Pulsform gemäß (1) zeitbegrenzt ist, muss der Spektralverlauf unbegrenzt bleiben. Eine Hilfestellung zum Frequenzverlauf gibt das mittlere Leistungsdichtespektrum. Es liefert eine Aussage darüber, wie die Signalleistung im stochastischen Mittel über die Frequenzen verteilt ist. Für die Herleitung werden stochastisch unabhängige, mittelwertfreie IT-V8-4

115 Normiertes Xn(f) Normiertes Φxx(f) [db] f/f s f/f s (a) Darstellung normierter OFDM-Subträger im Frequenzbereich mit N = 4. (b) Normiertes mittleres Leistungsdichtespektrum eines OFDM-Signals mit N = 32. Bild 3: Darstellungen charakteristischer Verläufe im Frequenzbereich. Symbole d n angenommen und es werden viele OFDM-Übertragungen über einen langen Zeitraum hinweg betrachtet [4]. Das Ergebnis lautet Φ xx (f) = T s N 2 N/2 1 n= N/2 si 2 [ π(f n T s )T s ]. (7) Das Leistungsdichtespektrum aus (7) wird in Abb. 3b dargestellt. OFDM-Signale haben typischerweise im Mittel einen flachen Verlauf der Leistungsdichte über N T s. Häufig wird daher die Faustformel B N T s als ungefährer Wert für den Bedarf an Bandbreite während der Übertragung angegeben. Aufgrund der Zeitbegrenzung fällt die tatsächlich erforderliche Bandbreite jedoch größer aus. In der Praxis wird daher ein Kompromiss gefunden: Das OFDM-Signal wird so ausgelegt, dass die Leistungsdichte an der Bandgrenze bereits auf einen ausreichend geringen Wert abgefallen ist. Die Verzerrungen des Signals aufgrund der Bandbegrenzung sind dann im Vergleich zu anderen Störquellen vernachlässigbar. 1.3 OFDM-Demodulation Die OFDM-Demodulation am Empfänger wird in Abb. 4 dargestellt. Es wird hier ein störungsfreier Empfang mit y(t) = x(t) angenommen. Die Aufgabe des Empfängers besteht nun darin, die einzelnen Subträger voneinander zu trennen. Zunächst wird in jedem der N Empfangspfade das Signal mit einer komplexen Exponentialschwingung multipliziert, wobei f m = m T s mit N/2 m N/2 1 gilt. Anschließend gelangt das Signal durch ein Filter mit Impulsantwort g e (t). Diese Impulsantwort wird zu g e (t) := N 2 T s g s (T s t) = N T s rect ( t T s 2 T s ) (8) IT-V8-5

116 e j2πf N t 2 ge (t) dˆ N/2 r N/2 (t) Detektion Demap e j2πfm t y(t) ge (t) rm (t) Detektion dˆm Demap P/S Bitsenke j2πf N 1 t e 2 ge (t) dˆn/2 1 rn/2 1 (t) Detektion Demap Bild 4: Schematische Darstellung der OFDM-Demodulation am Empfänger [2]. gewählt, wobei ausgenutzt wurde, dass rect(x) eine gerade Funktion in x ist. Für den mten Empfangspfad ergibt sich folglich rm (t) = y(t) e j2πfm t ge (t)! Z Ts t τ N 2 y(τ ) e j2πfm τ rect dτ (9) = Ts Ts! Z Ts N/2 1 t τ T2s n m 1 X = rect ej2π Ts τ dτ, dn (10) Ts Ts 0 n= N/2 wobei die Definition der Faltung für (9) verwendet wurde und für (10) das Sendesignal aus (3) eingesetzt wurde. Wie in Abb. 9 weiterhin zu sehen ist, wird das Signal rm (t) daraufhin der Detektion zugeführt. Der Detektor versucht anhand eines Abtastwertes zu rekonstruieren, welches Symbol der Sender für diesen Pfad vorgesehen hat. Für die Abtastung zum Zeitpunkt t = Ts gilt Z Ts N/2 1 n m 1 X dn ej2π Ts τ dτ = rm (Ts ) = Ts 0 n= N/2 ( dm 0 n=m, sonst (11) wobei für (11) zunächst ausgenutzt wurde, dass die Rechteckfunktion aus (10) sich über das ganze Integrationsintervall erstreckt. Das Integral liefert jedoch nur einen Beitrag verschieden von Null für den richtigen Empfangspfad m, alle anderen werden faktisch ausgeblendet. Damit ist die Trennung der N parallelen Pfade möglich. 1.4 Realisierung von OFDM Die Modulation von Signalen wird häufig in digitaler Form (d.h. zeit- und wertdiskret) implementiert. Daher lohnt es sich, auch die OFDM-Modulation zumindest zeitdiskret zu beschreiben. Die zeitdiskrete OFDM-Modulation ist in Abb. 5 dargestellt. Als Grundlage wird das Signal aus (3) verwendet. Um das Signal zeitdiskret zu formulieren, wird die Abtastrate fa = T1a = TNs gewählt. Das Frequenzspektrum eines OFDM-Signals ist allerdings IT-V8-6

117 Map Bitquelle S/P Map Map d N/2 d0 Zyklisches Schieben Map d 1 d0 dn/2 1 dn/2 1 d N/2 IDFT P/S x[k] d 1 Bild 5: Die zeitdiskrete OFDM-Modulation am Sender. unbegrenzt (siehe Abschnitt 1.2). Damit tritt bei der Abtastung unvermeidlich eine spektrale Überfaltung auf. Die Orthogonalität der Subträger ist dennoch weiterhin gegeben [1]. Es ergibt sich N/2 1 n Ts 1 X für 0 k N 1. (12) x k = dn ej2π N k N N n= N/2 Zusätzlich wird die Anordnung der Symbole dn auf den parallelen Pfaden geändert. Ausgehend von den Positionen in Abb. 2, werden alle Symbole um N/2 Pfade nach unten versetzt. Solche Symbole, die unten herausfallen, werden von oben wieder hineingeschoben (zyklisches Schieben). Damit kann (12) wie folgt ausgedrückt werden: 1 x[k] := N = 1 N N/2 1 X dn ej2π n+n/2 k N n= N/2 N 1 X n dn N/2 ej2π N k für 0 k N 1. (13) n=0 Dabei wird für (13) eine Indexverschiebung n n N/2 durchgeführt. Der Zusammenhang (13) entspricht der Inversen diskreten Fourier-Transformation (IDFT). Damit kann die zeitdiskrete OFDM-Modulation als Anwendung der IDFT beschrieben werden: x[k] = IDFTN {dn N/2 } für 0 n N 1, 0 k N 1. (14) Der Vorteil der IDFT besteht darin, dass der recheneffiziente Algorithmus der Fast-FourierTransformation (FFT) angewendet werden kann. Dazu muss lediglich die Anzahl der Subträger N eine Potenz von zwei sein. Es kann außerdem gezeigt werden, dass auf der Empfängerseite die DFT bei der zeitdiskreten OFDM-Demodulation eingesetzt wird. Damit ergibt sich der Aufbau, der in Abb. 6 dargestellt ist. Anschließend wird die Reihenfolge der Symbole per zyklischem Schieben auf die ursprüngliche Position zurückgeführt. Auf die nachfolgende Entzerrung und die Detektion wird in Abschnitt 1.8 noch näher eingegangen. IT-V8-7

118 Y N/2 YN/2 1 y[k] S/P DFT Y N /2 Y 1 Zyklisches Schieben Y0 Y 1 Y0 Entz./ Det. Entz./ Det. dˆ N/2 Demap dˆ 1 Entz./ Det. Demap P/S dˆ0 Demap YN/2 1 Entz./ dˆn/2 1 Det. Demap Bild 6: Die zeitdiskrete OFDM-Demodulation am Empfänger. Bits Zeitdiskrete x[k] OFDMModulation x (t) D/A Re Interpolationstiefpass x0 (t) ej2πfc t Analoge Modulation Sendeverstärker Bild 7: Schematische Darstellung des Senders. 1.5 Übertragung von OFDM-Signalen In diesem Abschnitt wird auf die weitere Verarbeitung der OFDM-Signale an Sender und Empfänger eingegangen. Da diese Schritte bei vielen Kommunikationssystemen (nicht nur für OFDM) eingesetzt werden, werden sie hier eher schematisch abgehandelt. Dennoch sind die Auswirkungen der einzelnen Elemente auf das OFDM-Signal zu berücksichtigen. Der Sender ist in Abb. 7 zu sehen. Nach der zeitdiskreten OFDM-Modulation folgt ein Digital-Analog-Umsetzer (D/A-Umsetzer), der das diskrete Signal in ein analoges überführt. Der nachfolgende Interpolationstiefpass hat die Aufgabe, parasitäre Frequenzkomponenten, die im D/A-Umsetzer entstanden sind, aus dem Signal zu entfernen. Gleichzeitig nimmt dieser Tiefpass auch die endgültige Bandbegrenzung des Signals vor. Anschließend wird die analoge Modulation durchgeführt. Dabei wird das Signal aus dem Basisband in ein anderes Frequenzband (Passband ) um die Trägerfrequenz fc verschoben. Mathematisch kann dieser Vorgang durch 1 1 x0 (t) = Re x (t)ej2πfc t = x (t)ej2πfc t + x (t)e j2πfc t 2 2 (15) d t X0 (f ) = 1 1 X (f fc ) + X ( f fc ) 2 2 IT-V8-8 (16)

119 X0 (f ) fc f fc Bild 8: Beispiel für Sendesignal im Passband nach analoger Modulation. y0 (t) Rauscharmer Verstärker A/D e j2πfc t y[k] Zeitdiskrete Bits OFDMDemodulation Tiefpass Analoge Demodulation Bild 9: Schematische Darstellung des Empfängers. beschrieben werden. In der Abb. 8 wird das Ergebnis der analogen Modulation im Frequenzbereich dargestellt. Zuletzt wird das Signal x0 (t) in einen Sendeverstärker geführt, um die abgestrahlte Sendeleistung zu erhöhen. Für WLAN-Systeme liegt diese Sendeleistung bei etwa 100 mw. Häufig verhalten sich diese Verstärker in der Praxis wie nichtlineare Systeme, die zu nichtlinearen Verzerrungen im OFDM-Signal führen können. Das abgestrahlte Signal gelangt über einen Übertragungskanal (meistens die Luftschnittstelle) zum Empfänger, wobei die abgestrahlten Signale mehrere Wege zur Ausbreitung nehmen. Der Empfänger wird in Abb. 9 gezeigt. Das Sendesignal erfährt in der Luftschnittstelle eine starke Dämpfung, daher muss zunächst ein rauscharmer Verstärker die Signalleistung für die Weiterverarbeitung anheben. Die analoge Demodulation führt das empfangene Signal vom Passband zurück in das Basisband. Wird der Einfachheit halber y0 (t) = x0 (t) angenommen, ergibt such zunächst 1 1 e j2πfc t y0 (t) = x (t) + x (t)e j4πfc t 2 2 (17) d t 1 1 F e j2πfc t y0 (t) = X (f ) + X ( f 2fc ), 2 2 (18) sodass der gewünschte Spektralanteil X (f ) im Basisband entsteht. Der zweite Anteil X ( f 2fc ) ist um die Frequenz 2fc zentriert und wird durch den nachfolgenden Tiefpass entfernt. Das Zusammenspiel von analoger Modulation und Demodulation funktioniert nur dann einwandfrei, wenn sowohl Sender als auch Empfänger die gleiche Trägerfrequenz fc erzeugen können. In der Praxis ist dies jedoch faktisch unmöglich. OFDM-Signale reagieren sehr empfindlich auf solche Abweichungen, da die Orthogonalität der Subträger (siehe Abb. 3a) IT-V8-9

120 Q 0000 Q I I (a) QPSK (b) 16-QAM Bild 10: I/Q-Konstellationsdiagramme. verloren geht. Die Subträger beeinflussen sich daraufhin gegenseitig, es entsteht Interträgerinterferenz (ICI, inter-carrier interference). Der Empfänger muss gegen diesen Effekt geeignete Gegenmaßnahmen (Frequenzsynchronisation) ergreifen. Schließlich überführt ein Analog-Digital-Umsetzer (A/D-Umsetzer) das Signal mittels Abtastung in den zeitdiskreten Bereich. Die Diskretisierung der Signalwerte wird hier nicht weiter betrachtet. 1.6 Belegung der Subträger In diesem Abschnitt wird auf die Symbole d n und ihre Verteilung auf die Subträger näher eingegangen. Während der Modulation werden Gruppen von Bits in diese Symbole kodiert. Dabei können die Symbole nur einen begrenzte Menge von Werten, das sogenannte Symbolalphabet A, annehmen. Im Folgenden werden drei sehr weitläufig eingesetzte Alphabete vorgestellt. Das BPSK (Binary-Phase-Shift-Keying) ist das einfachste Alphabet. Es existieren nur zwei mögliche Symbolwerte. Jeweils ein Bit wird in eine BPSK-Symbol kodiert. Bei der QPSK handelt es sich um eine Phasenmodulation. Das Alphabet umfasst vier Symbole, die in der komplexen Ebene im gleichen Abstand vom Ursprung angeordnet sind (siehe Abb. 10a). Im Falle einer QPSK werden zwei Bits pro Symbol kodiert. Die 16-QAM enthält bereits 16 Werte im Alphabet (siehe Abb. 10b). Es können vier Bits pro Symbol kodiert werden. Die drei Alphabete unterscheiden sich erkennbar in der Anzahl der möglichen Werte. Höherwertige Alphabete (wie 16-QAM) erlauben mehr kodierbare Bits pro Symbol und sorgen für eine höhere Datenrate. Allerdings wird der korrekte Empfang bei Störungen während der Übertragung schwieriger. Nach der Zuordnung der Bits zu den Symbolen werden die Symbole auf N Subträger verteilt. In der Praxis werden jedoch nicht alle Subträger auch tatsächlich mit Datensymbolen belegt. In der Abb. 11 wird dieser Umstand dargestellt. So werden N z Subträger, die IT-V8-10

121 virtuelle Subträger Null-Subträger virtuelle Subträger Daten Daten f N/2 f 0 f N/2 1 Bild 11: Beispiel für die Belegung der Subträger mit N z = 3 und N v = 10. sich spektral in der Nähe des Gleichanteils (f = 0) befinden, nur mit dem Wert Null belegt (Null-Subträger). Dadurch wird das OFDM-Signal mittelwertfrei gehalten. Der Subträger bei f = 0 ist außerdem häufig von Störungen erheblich betroffen. Zudem werden die spektral außen liegenden N v Subträger ebenfalls mit Nullen belegt (virtuelle Subträger). Der Interpolationstiefpass am Sender (siehe Abb. 7) und eventuell auch digitale Vorfilter begrenzen die zur Verfügung stehende Bandbreite. Es kann dazu führen, dass der Spektralverlauf der außen liegenden Subträger durch die Bandbegrenzung verzerrt wird. Die Einführung der virtuellen Subträger, die faktisch eine Art Überabtastung darstellt, kann diesem Effekt entgegenwirken. 1.7 Zyklisches Präfix Die vollständige Vermeidung der Intersymbolinterferenz (ISI) stellt eine Grundvoraussetzung dar, um eine OFDM-Übertragungssystem funktionsfähig zu bekommen. Zu diesem Zweck wird ein zyklisches Präfix eingeführt. Um die Notwendigkeit dieser Maßnahme zu verdeutlichen, wird zunächst ein einfaches Kanalmodell vorgestellt. Es basiert auf den bereits eingeführten Modellen aus den Abb. 7 und 9 mit den folgenden Veränderungen: Die Auswirkungen des Interpolationstiefpasses und der Verstärker werden vernachlässigt. Der Kanal wird als lineares, zeitinvariantes System modelliert. Die analoge Modulation und Demodulation können unter diesen Voraussetzungen [4] zusammengefasst werden und heben sich in ihrer Wirkung auf. Das Kanalsystem modelliert nun die Auswirkungen des Übertragungskanals auf das OFDM-Signal im Basisband und besitzt im Allgemeinen eine komplexwertige Impulsantwort. Alle Signale und Systeme werden in ihrer zeitdiskreten Repräsentation beschrieben. In Abbildung 12 ist das neue Modell dargestellt. Dabei wurden die zeitdiskrete OFDM- Modulation und -Demodulation im Abschnitt 1.4 erläutert. Die Systemgleichung des vereinfachten Modells lautet y[k] = x[k] h[k] + w[k]. (19) Dabei beschreibt x[k] das OFDM-Sendesignal, h[k] die Impulsantwort des linear, zeitinvarianten Kanals und w[k] das additive Rauschen. Zunächst soll das Rauschen vernachlässigbar sein mit w[k] = 0, k. Weiterhin enthält x[k] ein OFDM-Symbol bei 0 k N 1. Die IT-V8-11

122 Zeitdiskrete OFDMModulation x[k] h[k] + y[k] Zeitdiskrete OFDMDemodulation w[k] Bild 12: Zeitdiskretes, vereinfachtes Übertragungsmodell. Kopie Kopie GI Symbol 1 Ng N GI Symbol 2 Bild 13: Zyklische Erweiterung des OFDM-Sendesignals nach [2]. Impulsantwort des Kanals h[k] sei begrenzt auf 0 k L 1. Die zeitdiskrete, lineare Faltung ergibt sich zu y[k] = X h[i] x[k i] = i= L 1 X h[i] x[k i]. (20) i=0 Der zeitdiskrete OFDM-Demodulator (siehe Abb. 6) führt eine N-DFT über das Empfangssignal y[k] im Bereich 0 k N 1 aus mit Yn = DFTN {x[k] h[k]}. (21) Ein zuverlässige Rückgewinnung der gesendeten Symbole erfordert, dass sich der Einfluss des Kanals von den Symbolen trennen lässt. Eine einfache Korrespondenz der DFT (Faltung im Zeitbereich Multiplikation im Frequenzbereich) kann hier jedoch nicht angewandt werden, da der Kanal eine lineare Faltung bewirkt, für die Korrespondenz jedoch eine periodische Faltung vorausgesetzt wird. Es muss daher sichergestellt werden, dass die Ergebnisse für lineare und periodische Faltung zumindest im Intervall 0 k N 1 übereinstimmen. Dies wird durch die Einführung eines zyklischen Präfix (CP, cyclic prefix), auch Schutzintervall (GI, guard interval) genannt, erreicht. Dabei werden am OFDM-Modulator die letzten Ng Werte des OFDM-Symbols kopiert und an den Anfang des Signals x[k] gestellt (siehe Abb. 13). Die zyklische Erweiterung fügt dem Signal x[k] eine Art begrenzte Periodizität hinzu. Das OFDM-Symbol wird somit auf N + Ng Abtastwerte verlängert. Wenn die Erweiterung mindestens der Dauer der Kanalimpulsantwort mit Ng L entspricht, kann (21) als Yn = DFTN x [k]n ~ h [k]n = DFTN x [k]n DFTN h [k]n = dn Hn. (22) geschrieben werden, wobei x [k]n und h [k]n die periodischen Erweiterungen von x[k] und h[k] darstellen, basierend auf dem Intervall 0 k N 1. Anschaulich wird der Vorteil eines zyklischen Präfix in Abb. 14 gezeigt. Es wird hier davon ausgegangen, dass das Sendesignal in der Luftschnittstelle über mehrere Pfade zum Empfänger gelangt und daher (hier drei) Anteile des Signals zu unterschiedlichen Zeiten am Empfänger eintreffen. IT-V8-12

123 Symbol 1 Symbol 2 Symbol 3 Symbol 4 Symbol 1 Symbol 2 Symbol 3 Symbol 4 Symbol 1 Symbol 2 Symbol 3 Symbol 4 DF T GI Symbol 1 GI Symbol 2 GI Symbol 3 GI Symbol 4 GI Symbol 1 GI Symbol 2 GI Symbol 3 GI Symbol 4 GI Symbol 1 GI Symbol 2 GI Symbol 3 GI Symbol 4 DF T 0 τ max t ISI 0 τ max t kein ISI Bild 14: Vermeidung von Intersymbol-Interferenz (ISI) durch zyklische Erweiterung nach [1]. Ohne ein zyklisches Präfix (linkes Bild) wird die DFT über Intervallgrenzen der OFDM- Symbole ausgeführt. Dies führt zwangsläufig zu Intersymbolinterferenz. Nach Einführung des Guardintervalls (rechtes Bild) wird dieses Problem vermieden. Ebenfalls wird die Synchronisation am Empfänger durch das zyklische Präfix vereinfacht, da der zeitliche Anfang eines OFDM-Symbols nicht mehr exakt gefunden werden muss. 1.8 Kanalentzerrung und Detektion Die Kanalentzerrung beschreibt einen Vorgang, bei dem die Auswirkungen des Kanals entfernt werden. Es wird ab sofort das Rauschsignal w[k] mit berücksichtigt. Gemäß (22) erhält man Y n = d n H n + W n, N/2 n N/2 1, (23) wobei W n die Koeffizienten der N-DFT von w[k] im Bereich 0 k N 1 darstellen. Vor der Kanalentzerrung muss der aktuelle Kanal jedoch noch geschätzt werden. In der Praxis werden dazu vor der eigentlichen Kommunikation Symbole gesendet, welche dem Empfänger bereits bekannt sind (Präambel). Mithilfe einer solchen Präambel kann der Empfänger die Kanalkoeffizienten Ĥn schätzen. Es gibt verschiedene Verfahren zur Kanalentzerrung. Hier wird ausschließlich die Zero-Forcing-Methode betrachtet. Es ergibt sich ˆd n = Y n Ĥ n = d n H n Ĥ n + W n Ĥ n, N/2 n N/2 1. (24) Bei der Detektion trifft ein Entscheider eine Vermutung über das gesendete Symbol. Der Entscheider kann anhand von (24) das nächstliegende mögliche Symbol aus dem Alphabet als wahrscheinlichstes auswählen. Es wird zum Beispiel im Falle einer QPSK geprüft, in welchem Quadranten der komplexen Ebene sich das empfangene Symbol befindet. Ein Maß für die Qualität eines empfangenen Signals ist der Signal-zu-Stör-Abstand (SNR, signal-to-noise ratio). Er wird für jeden Subträger mit E [ H n d n 2] SNR db,n = 10 log 10 E [ W n 2] = 10 log E [ H n 2] E [ d n 2] 10 E [ W n 2] (25) angegeben, wobei E [ ] der Erwartungswert ist. Ebenfalls wird die Annahme getroffen, dass die Symbole d n und die Kanalkoeffizienten H n stochastisch unabhängig sind. IT-V8-13

124 Anhand des SNR kann auch eine Aussage über die Zuverlässigkeit der Zero-Forcing- Methode getroffen werden. Im Falle eines hohen SNR ist der Rauschanteil von (24) vernachlässigbar. Umgekehrt kann ein geringes SNR dazu führen, dass der Rauschboden deutlich hervorgehoben wird, wenn Ĥn betragsmäßig eher klein ausfällt. 1.9 Spitzenwertreduktion Ein OFDM-Symbol setzt sich gemäß (3) aus der Summe aller Subträgersignale zusammen. Aus diesem Grund können im Signal erhebliche Amplitudenschwankungen auftreten. Das PAPR (Peak-to-Average Power Ratio) ist ein Maß, welches das Verhältnis der maximalen Amplitude (Spitzenwert) zur mittleren Leistung beschreibt: ( max ) 0 k N 1 x[k] 2 PAPR db = 10 log 10. (26) E [ x[k] 2 ] Ein hohes PAPR wirkt sich generell ungünstig aus, da in diesem Fall die Leistungsverstärker über einen großen Aussteuerbereich hinweg ein lineares Verhalten zeigen müssen. Der Aussteuerbereich ist begrenzt und dessen Überschreitung führt zu unerwünschten nichtlinearen Verzerrungen. Die Neigung zu einem hohen PAPR stellt einen der Nachteile von OFDM dar. Um den Kostenaufwand für die lineare Leistungsverstärkung gering zu halten, werden Verfahren zur Spitzenwertreduktion genutzt, von denen zwei näher erläutert werden. Spitzenwertreduktion durch einen Faktor Eine sehr einfache Möglichkeit zur Spitzenwertreduktion stellt die Multiplikation mit einem Faktor dar. Hierbei wird das gesamte Sendesignal mit einem Faktor a, 0 < a 1, multipliziert. Dadurch sinkt die Amplitude des gesamten Signals und des Spitzenwertes, während die Relation zwischen den einzelnen Werten bestehen bleibt. Jedoch bewirkt diese Methode einen Abfall der Sendeleistung und hat eine Verschlechterung des SNR zur Folge. Spitzenwertreduktion durch Scrambling Beim Scrambling wird die eingehende Bitfolge derart verändert, dass im OFDM-Signal ein geringeres PAPR erzielt wird. Ein Scrambler besteht aus einem Schieberegister (LFSR - Linear Feefback Shift Register) als Verzögerer, deren Ausgänge durch lineare Rückkopplungen und XOR-Operationen mit dem Eingangssignal verschaltet sind (siehe Abb.15). Sogenannte primitive Polynome (z.b. x + x 2 + x 4 ) werden als Beschreibung für die Verschaltung der Verzögerungen genutzt. Zu Beginn muss das LFSR mit einem Anfangszustand initialisiert werden. Dabei sind viele Kombinationen möglich, es dürfen jedoch nicht nur Nullen in die Register geladen werden. Das Scrambling kann durch einen identischen Aufbau am Empfänger vollständig rückgangig gemacht werden (Descrambling) Synchronisation Bei Übertragungssystemen sind die Zeit- und Frequenzsynchronisation von großer Bedeutung. Ohne eine Zeitsynchronisation kann der Empfänger den Beginn eines OFDM-Symbols IT-V8-14

125 1 - Anfangszustand IN OUT Bild 15: Scrambler mit Anfangszustand. nicht erkennen. Weiterhin muss die Trägerfrequenz für die analoge Demodulation am Empfänger genau rekonstruiert werden (vgl. Abschnitt 1.5), jedoch ist das in der Praxis nicht möglich. Ein (Kreis-)Frequenzfehler wirkt sich im Zeitbereich gemäß Ω = 2π f f a (27) Y ( e j(ω Ω)) y[k] e j Ωk (28) in einer linearen Phasendrehung aus. Eine Frequenzsynchronisation behebt diese Frequenzabweichung, die ansonsten Interträgerinterferenz (ICI) verursacht. Eine sehr weit verbreiteter Ansatz zur Zeit- und Frequenzsynchronisation ist der Schmidl- Cox-Algorithmus [3]. Dieser basiert auf der Idee, im empfangenen Signal nach Wiederholungen zu suchen. Ein solcher Ansatz bietet den Vorteil, dass der Empfänger den genauen Verlauf des Sendesignals gar nicht kennen muss, solange nur die Dauer einer Grundperiode bekannt ist. Wenn das Empfangssignal y[k] periodisch mit Grundperiode N p gegeben ist, kann im ersten Schritt eine Korrelation über zwei Perioden erfolgen: φ yy [k] = N p 1 m=0 y [k + m] y [k + m + N p ]. (29) Zudem wird die Energie des Signals im Bereich [k, k + N p 1] bestimmt: Schließlich wird die normierte Größe e[k] = N p 1 m=0 y[k + m] 2. (30) γ[k] = φ yy[k] 2 e 2 [k] 1 (31) ermittelt. Der Empfänger kann anhand von (31) den Beginn des Signals finden, wenn γ[k] einen Schwellwert überschreitet. IT-V8-15

126 Normiertes Φxx(f) [db] f [MHz] Bild 16: Mittleres Leistungsdichtespektrum eines OFDM-Signals mit N = 32 Subträgern und f s = 1 MHz. Die Frequenzabweichung kann ebenfalls durch die Korrelation (29) gefunden werden. Wird der Frequenzfehler durch (28) mit berücksichtigt, lautet die Gleichung φ yy [k] = = N p 1 m=0 N p 1 m=0 y [k + m]e j Ω(k+m) y [k + m + N p ] e j Ω(k+m+Np) (32) y[k + m] 2 e j ΩNp = e j ΩNp e[k], (33) wobei für (33) die Tatsache genutzt wurde, dass in der Präambel y[k + m] = y[k + m + N p ] gilt. Die Phase des Terms (33) bleibt offensichtlich konstant, unabhängig von k. Der Frequenzfehler ergibt sich somit aus (27) und (33) zu ( ) arg φyy [k] f = f a. (34) 2πN p Der Wertebereich der Phase aus (33) ist jedoch auf ΩN p [ π,π] begrenzt. Daher können anhand [ von ](34) nur solche Frequenzfehler zuverlässig erkannt werden, die im Bereich f fa f 2N p, a 2N p liegen. 2 Vorbereitungsaufgaben 2.1 Belegung der Subträger In Abb. 16 ist das mittlere Leistungsdichtespektrum eines OFDM-Signals mit N = 32 Subträgern und f s = 1 MHz gegeben. Bevor das Signal über den Kanal übertragen werden kann, muss es zunächst bandbegrenzt werden. Die Grenze des Frequenzbandes liegt bei f g = 15 MHz. a) Wie viele Subträger müssen näherungsweise als virtuell deklariert werden, damit die OFDM-Signale an der Bandgrenze im Mittel um mindestens 20 db gegenüber dem Maximum gedämpft sind? IT-V8-16

127 x[k] 0 h[k] k k Bild 18: Zeitdiskrete Signale. b) Geben Sie die im Passband benötigte Bandbreite B sowohl mit der Faustformel als auch exakt an. 2.2 Zyklisches Präfix/Guardintervall 3000m 3900m Sender 2100m Empfänger Bild 17: Übertragung mit Mehrwegeausbreitung. Im Folgenden gelangt ein Signal durch Reflexionen über mehrere Wege vom Sender zum Empfänger (siehe Abb. 17). Die Abtastrate beträgt f a = Abtastwerte pro Sekunde. a) Berechnen Sie die Verzögerung der drei Signalpfade. Nehmen Sie für die Ausbreitungsgeschwindigkeit c = m sec an. b) Geben Sie die höchste Verzögerung als Vielfaches der Abtastzeitdauer T a an. Wie groß muss das zyklische Präfix/Guardintervall gewählt werden, um am Empfänger die Entzerrung durchführen zu können? Nun sind in Abb. 18 ein Sendesignal x[k] und die Impulsantwort h[k] eines Kanals gegeben. c) Berechnen Sie das Ergebnis der periodischen Faltung y[k] = x [ [k] N ] h [ [k]n ] für N = 4. d) Berechnen Sie das Ergebnis der linearen Faltung y[k] = x[k] h[k]. IT-V8-17

128 e) Vergleichen Sie die Ergebnisse aus c) und d) und stellen Sie den Bezug zum zyklischen Präfix her. 2.3 Übertragung Gegeben sind folgende Parameter: Abtastrate f a = 1 T a Abastwerte/Sekunde Anzahl der Subträger N 64 Länge des zyklischen Präfix N g 16 Symbolalphabet A 16-QAM a) Wie groß ist die minimal benötigte Bandbreite B gemäß der Faustformel? Geben Sie den Subträgerabstand f s an. b) Bestimmen Sie die zeitliche Dauer des zyklischen Präfix in µsec. c) Berechnen Sie die maximal mögliche Datenrate R in Mbit/sec. d) Es ist eine Datenrate von 60 Mbit/sec erforderlich. Welches Symbolalphabet sollte in diesem Fall angewendet werden? e) Nun gilt für die Anzahl der Null-Subträger N z = 3 und die Anzahl der virtuellen Subträger N v = 10 (siehe dazu Abbildung 11). Außerdem wird eine 16-QAM verwendet. Wie ändert sich die Datenrate R im Vergleich zur Teilaufgabe c)? 2.4 Detektion Gegeben ist die folgende Zuordnung von Bitfolgen und Symbolen: Nachrichten Bitfolge Symbol a j b 01 1 j c j d 11 1 j Ein OFDM-Empfänger liefert die Werte Y n aus der Berechnung der DFT. Ebenfalls stehen die geschätzten Kanalkoeffizienten Ĥn zur Verfügung: n Y n 0.25 j j j j Ĥ n j j 0.8 IT-V8-18

129 a) Zeichnen Sie die Signalkonstellation der empfangenen Werte Y n und führen Sie eine Kanalentzerrung durch. b) Zeichnen Sie die Signalkonstellation nach der Entzerrung. Führen Sie die Detektion durch und geben Sie resultierenden Bit- und Nachrichtenfolgen an. 3 Versuchsdurchführung Im Laufe des Versuchs wird mit GNURadio Companion (GRC) gearbeitet. Es handelt sich um ein quelloffenes Progamm, mit dem man (ähnlich wie mit Simulink) Systeme zur Signalverarbeitung modellieren kann. Außerdem kann man in GRC eigene GUI s (Graphical User Interfaces) erstellen, um z.b. Signalverläufe grafisch darzustellen. Das Programm enthält nicht nur die Möglichkeit, eine Signalübertragung zu simulieren, sondern erlaubt auch deren Realisierung über die Ansteuerung von Sende- und Empfangshardware. Im Versuch werden hierfür USRP-Geräte (Universal Software Radio Peripheral) verwendet. Starten Sie ein Terminal, geben Sie gnuradio-companion ein und drücken Sie Enter. Nach kurzer Zeit öffnet sich GNURadio Companion. Der Terminal darf nicht geschlossen werden, da sich das Programm sonst wieder beendet. Zur Durchführung der Versuche werden die *.grc-dateien mit den zugehörigen Signalflussgrafen benötigt. Öffnen Sie die jeweilige Datei zu Ihrem Versuch. Zum Starten der Simulation drücken Sie das grüne Pfeilsymbol oder F6. Während die Simulation läuft, können Sie durch Druck auf die mittlere Maustaste und dann Stop ein Diagramm anhalten. Durch Ziehen mit gedrückter linker Maustaste können Sie entweder einen Rahmen auswählen, um den Ausschnitt zu vergrößern oder Sie können innerhalb des Diagramms scrollen. Durch Drücken der rechten Maustaste kommen Sie schrittweise wieder in den Ausgangszustand zurück. Durch Klicken auf die Legende eines Diagramms können Sie Kurven einund ausblenden. Im folgenden steht TX für Sendesignal/-symbol (Transmitted Signal) und RX für Empfangssignal/- symbol (Received Signal). 3.1 SNR und BER Zunächst wird die Übertragung eines rauschbehafteten Signals über die USRP-Geräte betrachtet. Der Signal-zu-Stör-Abstand (SNR, in db) wird eingestellt. Gemessen werden die Fehler pro Millionen Bit, aus denen Sie den Anteil der fehlerhaften Bits (BER, Bit Error Rate) berechnen können. a) Starten Sie die Simulation und warten Sie kurz. Beenden Sie anschließend die Rauschmessung, indem Sie den Haken entfernen. b) Variieren Sie die Sendeleistung durch den Skalierungsfaktor und berechnen Sie aus dem Fehler jeweils die BER. IT-V8-19

130 c) Tragen Sie mindestens 10 aussagekräftige BER- und SNR-Werte in eine Tabelle ein. Auswertung: Übertragen Sie die Werte der Tabelle in ein BER-SNR-Diagramm wie in Abbildung 19 angedeutet und beschreiben Sie die Zusammenhänge. Nehmen Sie Bezug auf das I/Q-Diagramm. BER SNR [db] Bild 19: BER-SNR-Diagramm 3.2 PAPR Im Folgenden wird die Übertragung von OFDM-Symbolen über USRP-Geräte betrachtet. Als Symbolalphabet wird eine 16-QAM genutzt, wobei nur solche Symbole gesendet werden, in den jeweiligen Quadranten ganz außen liegen (Siehe Abbildung 10). Faktor a) Ermitteln Sie das PAPR (Peak-to-Average Power Ratio) ohne Spitzenwertreduktion. b) Reduzieren Sie das PAPR durch Veränderung des Skalierungsfaktors und tragen Sie 10 Wertepaare in eine Tabelle ein. Auswertung: Berechnen Sie jeweils das PAPR und beschreiben Sie die Zusammenhänge mit Hilfe des I/Q-Diagramms und der BER. Scrambling Öffnen Sie die Datei PAPR_Scrambler.grc. Es handelt sich um die gleiche Übertragung wie in Versuch 3.2 mit dem Faktor 0.5. Die Datei ist noch nicht funktionstüchtig, da die Verzögerungskette noch nicht vorhanden ist. Der Verzögerung soll das Polynom x + x 4 zugrunde liegen. Die Scramblerschaltung liegt durch den Virtual Sink auch am Empfänger vor, wodurch eine fehlerfreie Übersetzung gewährleistet ist. Rot markiert sehen Sie die fehlerhaften Stellen im Signalflussgraphen. c) Setzen Sie an der Stelle des Delays die benötigte Anzahl an Verzögerern ein, indem sie das vorhandene Delay kopieren. d) Machen Sie einen Doppelklick auf das Element Initial State und ändern Sie Number of Delays auf die von Ihnen bestimmte Menge. IT-V8-20

131 e) Verschalten Sie die Delays indem Sie auf den Eingang eines Bauteils und den Ausgang eines anderen klicken. Gibt es keine roten Bauteile mehr, können Sie die Simulation starten. f) Ermitteln Sie wie in 3.2 ein Wertepaar und tragen Sie es in die Tabelle ein. Auswertung: Zeichnen Sie die von Ihnen verwendete Verschaltung. Berechnen Sie das PAPR und beschreiben Sie die Zusammenhänge mit dem I/Q-Diagramm. Vergleichen Sie die beiden Verfahren. 3.3 Zyklisches Präfix/Guardintervall Im Folgenden wird ein rauschfreies Signal betrachtet. Zur Vorbereitung öffnen Sie die Simulation GI.grc. Die Simulation zeigt zwei am Empfänger ankommende identische Signale. Durch Einstellung eines Delays können Sie die Auswirkung einer Verzögerung zwischen diesen Signalen betrachten, was dem Empfang eines Signals mit Mehrwegeausbreitung entspricht. Abtastrate: f a = Abtastwerte pro Sekunde Im folgenden betrachten Sie die simulierte Übertragung eines Signals mit Mehrwegeausbreitung (siehe Abb. 17) ohne Rauschanteil. a) Öffnen Sie nun die Versuchssimulation GI_setup.grc. b) Stellen Sie die als Vorbereitung ermittelte Guardintervalllänge durch Änderung der Variable guard_intervall durch Doppelklick auf das Feld und Änderung des Values ein. c) Starten Sie die Simulation. Auswertung: Überprüfen Sie Ihre Wahl in der Simulation und dokumentieren Sie Ihr Ergebnis. 3.4 Belegung der Subträger Es wird die Übertragung eines Signals ohne Rauschanteil betrachtet. a) Variieren Sie die Anzahl der virtuellen Subträger, indem Sie den Wert der Variablen virtual_subcarrier verändern. b) Starten Sie die Simulation. Auswertung: Beschreiben und begründen Sie die Veränderung des Signals. Wie viele Subträger müssen mit Nullen belegt werden, um den Filtereffekt zu vermeiden? 3.5 Synchronisation Im Folgenden wird die Übertragung eines zufälligen OFDM-Signals mit Präambel simuliert. Die Simulation zeigt die Übertragung mit und ohne Frequenzsynchronisation. Den Einfluss des Frequenzfehlers auf das Signal kann anhand der deterministischen Präambel verdeutlicht werden. Abtastrate: f a = Abtastwerte pro Sekunde IT-V8-21

132 a) Starten Sie die Simulation. ( ) b) Ermitteln Sie den Fehlerwinkel arg φyy [k] Synchronisation aus dem I/Q-Diagramm. durch den Phasendrehungsvektor bei der c) Beschreiben Sie die Synchronisation des Signals anhand der Simulation. Auswertung: Berechnen Sie den Frequenzfehler für N p = 15, siehe dazu Gleichung (34). Wie groß darf der Frequenzfehler maximal werden? IT-V8-22

133 4 Quellenverzeichnis Literatur [1] L. Häring, OFDM Transmission Technique, Vorlesungsskript, Universität Duisburg- Essen, [2] K.D. Kammeyer, Nachrichtenübertragung, Vieweg+Teubner, [3] T. M. Schmidl and D. C. Cox, Robust Frequency and Timing Synchronization for OFDM, IEEE Transactions on Communications, 45(12): , 1997 [4] Karlheinz Ochs, Theorie zeitvarianter linearer Übertragungssysteme, Shaker Verlag, 2012 IT-V8-23

134 Versuch IT-V9: Digitale Modulation Inhaltsverzeichnis Vorwort 2 1 Theoretische Grundlagen Einleitung Digitaler Sender AWGN-Kanal Digitaler Empfänger Vorbereitungsaufgaben Digitaler Sender Digitaler Empfänger Versuchsdurchführung Modulationsverfahren Spektrale Leistungsdichte Augendiagramm Empfänger BER-Kurve Appendix Intersymbolinterferenz Impulsfilter Literaturverzeichnis 26 IT-V9-1

135 Vorwort Wir möchten uns herzlich für die Bereitstellung der Praktikumsunterlagen des Lehrstuhls für Nachrichtentechnik der Technischen Universität München bedanken. Ebenso geht ein großer Dank an PD Dr.-Ing Karlheinz Ochs von dem Lehrstuhl für Digitale Kommunikationssysyeme der Ruhr-Universität Bochum. Er hat uns einige der in diesen Versuchsunterlagen abgedruckten Bilder zur Verfügung gestellt, sodass diese nicht neu erstellt werden mussten. IT-V9-2

136 1 Theoretische Grundlagen 1.1 Einleitung Analoge Quellensignale liegen üblicherweise in der Basisbandlage, also im Tiefpass-Bereich vor. Wird das Quellensignal vor der Übertragung nicht in eine andere Frequenzlage transportiert, so spricht man von Basisbandübertragung. Die wichtigste Anwendung der Basisbandübertragung ist die analoge oder digitale Sprachübertragung über das Fernsprechnetz. Über Funk ist jedoch eine Übertragung im Basisband nicht möglich. Das zu sendende Signal muss deshalb spektral verschoben werden. Die Zuteilungen zu verschiedenen Frequenzbändern werden dabei vom Gesetzgeber geregelt. Das Ziel von Modulationsverfahren ist es nun, die spektralen Eigenschaften eines Signals gezielt zu verändern, um eine Anpassung an den Übertragungskanal zu erreichen oder eine andere Frequenzlage zu erreichen (Frequenzmultiplex, verschiedene Dienste in verschiedenen Frequenzbändern). In der Nachrichtentechnik hat die digitale Darstellung von Nutzsignalen inzwischen eine große Bedeutung. Dabei wird ein gewisser Quantisierungsfehler in Kauf genommen. Das ist ein Nachteil gegenüber der Analogtechnik. Andererseits spielen Störungen, die das Digitalsignal innerhalb einer Quantisierungsstufe verfälschen, keine Rolle. Da ein Digitalsignal also in gewissen Grenzen regenerierbar ist, können bei leitungsgebundener Übertragung über lange Strecken in festen Abständen Regenerativverstärker eingesetzt werden. Im fehlerfreien Fall liegen am Ausgang des Regenerativverstärkers wieder dieselben Signale wie direkt am Senderausgang vor. Außerdem ermöglicht die Digitaltechnik die Nutzung fehlererkennender und fehlerkorrigierender Methoden der Kanalcodierung, was bei stark gestörten Kanälen, wie z.b. im Mobilfunk, von Bedeutung ist. Ein großer Vorteil der Digitaltechnik ist, dass die Übertragungsverfahren weitgehend unabhängig von der Art des Nutzsignals sind. So kann ein sehr flexibles und leistungsfähiges Netz aufgebaut werden, das eine Vielzahl verschiedener Telekommunikationsdienste ermöglicht, z.b. Sprach-, Video- und Datendienste. Weiterhin ermöglicht die Digitalübertragung neben FDMA (Frequency Division Multiple Access) die Nutzung weiterer Vielfachzugriffsverfahren wie TDMA (Time Division Multiple Access) und CDMA (Code Division Multiple Access). Die Grundstruktur eines Übertragungssystems Quelle Sender Kanal Empfänger Senke Bild 1: Übertragungssystem [Ochs06] wird in Abbildung 1 dargestellt. Für diesen Versuch wird ein einfaches digitales Übertragungssystem mit den Komponenten Sender, Kanal und Empfänger untersucht. IT-V9-3

137 1.2 Digitaler Sender In Abbildung 2 ist das Blockschaltbild eines digitalen Senders dargestellt. Eine Nachrichtenquelle erzeugt die zu übertragenden Bits. Häufig werden diese Bitfolgen noch einem Quellsowie einem Kanalcodierer übergeben. Die Aufgabe des Quellcodierers ist es, statistische Redundanz aus der Nachricht zu entfernen. Diese Quellcodierung kann sowohl verlustlos als auch verlustbehaftet sein. Im letzteren Fall handelt es sich dann um eine Datenkompression (wie z.b. beim JPEG-Bildformat). Der Kanalcodierer wiederum fügt gezielt Redundanz zur Nachricht hinzu, wodurch am Empfänger die Möglichkeit besteht, Bitfehler zu erkennen oder gar zu korrigieren. Quelle digitaler Modulator analoger Modulator x 0 (t) Bild 2: Blockschaltbild eines Senders [Ochs06] In diesem Praktikum werden die Codierer jedoch nicht weiter behandelt. Für Untersuchungen an einem Übertragungssystem wird daher häufig einfach angenommen, dass die Nachrichtenquelle die Bits zufällig erzeugt. In der Praxis ist es das Ziel, dass die Zustände 0 und 1 gleichwahrscheinlich auftreten, sodass die Zufallsgenerierung bei diesem Praktikumsversuch gut mit der Realität übereinstimmt. Kernstück des Senders ist ein digitaler Modulator (siehe Abbildung 3), der aus dem Bitstrom ein Signal erzeugt. Der analoge Modulator wiederum verschiebt das Signal in einen höherfrequenten Bandpassbereich, um es für die Übertragung über den Kanal vorzubereiten. In den folgenden Abschnitten werden die einzelnen Komponenten sowohl des digitalen als auch des analogen Modulators erläutert. δ(t kt) Bitstrom S P l 1 Signalraumzuordnung k= ξ k q(t) Bild 3: Blockschaltbild eines digitalen Modulators [Ochs06] x(t) Signalraumzuordnung Im ersten Schritt einer digitalen Modulation werden die Bits aus der Quelle in Gruppen zu jeweils l Bits zusammengefasst. Anschließend werden sie zu komplexen Zahlen, genannt Symbole, zugeordnet. Die jeweils l Bits des digitalen Quellensignals werden durch die Signalraumzuordnung auf ein komplexes Symbol ξ {Ξ 1,Ξ 2,...,Ξ L } C (1) IT-V9-4

138 Q Q Q I I I (a) 2-ASK (b) 8-PSK (c) 8-QAM Bild 4: Signalraumkonstellationen: In-Phase (I), Quadratur (Q) [Ochs06] abgebildet. DieL = 2 l möglichen diskreten Werte (Signalraumpunkte) der Symbole ξ, bilden die Signalraumkonstellation, welche die Modulationsform charakterisieren. In Abbildung 4 sind Beispiele für Signalraumkonstellationen dargestellt. Bei der Amplitudenmodulation mit L Stufen (L-ASK, amplitude shift keying) sind alle Symbole rein reell. Ein L-ASK-Signal ist damit ein reines Zweiseitenbandsignal. Die Symbole ξ unterscheiden sich nur in ihren Beträgen, enthalten jedoch keine Phaseninformation. Bei der Phasenmodulation mit L Stufen (L-PSK, phase shift keying) ist die Information nur in der Phase der Symbole ξ enthalten, es gilt ξ = const (2) Alle Symbole einer L-PSK Signalraumkonstellation liegen auf einem Kreis in der komplexen Ebene. Bei der Quadratur-Amplitudenmodulation mit L Stufen (L-QAM, quadrature amplitude modulation) unterscheiden sich die Symbole ξ in Betrag und Phase. Solche höherstufigen Modulationsverfahren sind Mischformen aus L-ASK und L-PSK und können deshalb als hybride Modulationsverfahren bezeichnet werden. Sie gehören zu den in der Praxis am häufigsten eingesetzten Signalraumkonstellationen. Oft erfolgt nach einer Gray-Codierung die Zuordnung der Bitgruppen zu Signalraumpunkten. Dabei wird die Zuordnung möglichst so gewählt, dass sich benachbarte Signalraumpunkte nur in einem Bit unterscheiden. Falls am Empfänger statt des richtigen Symbols ein benachbartes detektiert wird, gibt es dann nur einen Bitfehler Impulsformung Nach der Signalraumzuordnung werden die Symbole mit dem Takt 1 T weitergereicht (Abbildung 5). Mathematisch kann das als eine gewichtete Abfolge von Delta-Impulsen dargestellt werden: x(t) = k= ξ k δ(t kt). (3) IT-V9-5

139 ξ 2 x(t) ξ 1 ξ 0 ξ 1 ξ t/t Bild 5: Delta-Impulse gewichtet mit den Symbolwerten Solche beliebig kurze Pulse sind in der Praxis jedoch nicht realisierbar, da diese Pulse eine faktisch unbegrenzte Bandbreite erfordern. Dies erfordert implizit eine unendlich hohe Leistung zur Realisierung eines Delta-Impulses. Daher wird bei der Impulsformung ein Filter mit Impulsantwort q(t) eingesetzt, das die Pulse zeitlich verlängert. x(t) = k= ξ k δ(t kt) q(t) = k= ξ k q(t kt) (4) Die Impulsformung hat erheblichen Einfluss auf zentrale Eigenschaften eines digital modulierten Signals wie Bandbreite oder Störanfälligkeit. In diesem Praktikum werden verschiedene Impulsformen untersucht. In Abbildung 6 sind der Rechteckimpuls und der si-impuls dargestellt. 1 q(t) 0 t/t 1/2 1/2 (a) Rechteckimpuls [Ochs06] q(t) t/t (b) si-impuls [Ochs06] Bild 6: Impulsformen IT-V9-6

140 1.2.3 Analoge Modulation Im letzten Schritt vor der Übertragung wird das Basisbandsignal x(t) mit der Trägerschwingung bei Frequenz ω 0 multipliziert und somit im Frequenzbereich spektral verschoben. Im Spezialfall einer ASK als Signalraum ist das Signal x(t) rein reell und es gilt: x 0 (t) = x(t)cos(ω 0 t) = k= ξ k q(t kt)cos(ω 0 t). (5) Ein Beispiel für einen Signalverlauf mit Trägerfrequenz zeigt Abbildung 7. k ξ k x 0 (t) t/t 3 Bild 7: Beispiel für Sendesignal mit 4-ASK und Trägerfrequenz ω 0 = 3π/T [Ochs06] Spektrale Leistungsdichte Ein wichtiger Aspekt beim Entwurf eines digitalen Modulationsverfahrens ist der Bandbreitenbedarf des Signals. Da die zu übertragenen Bits grundsätzlich zunächst unbekannt sind, wird eine Aussage über Frequenzverlauf im stochastischen Mittel getroffen. Das führt auf die spektrale Leistungsdichte des Signals. Für lineare, mittelwertfreie Modulationsverfahren erhält man für die spektrale Leistungsdichte [Ochs06]: Φ xx (jω) = σ2 ξ T Q(jω) 2. (6) Dabei ist σξ 2 die Varianz der Sendesymbole, T die Pulsdauer und Q(jω) die Fouriertransformierte des Filters q(t). Wie in Gleichung (6) zu erkennen ist, hängt die spektrale Leistungsdichte entscheidend vom Frequenzverlauf des Filters ab. Ein Beispiel zeigt Abbildung Spektrale Effizienz Die spektrale Effizienz ist ein Maß für die Qualität eines digitalen Modulationsverfahrens. Es handelt sich dabei um das Verhältnis von von Bitrate F B zur genutzten Bandbreite B: Γ s = F B B. (7) IT-V9-7

141 ASK 4-ASK 8-ASK Φxx(jω) in db ft B Bild 8: Beispiele für spektrale Leistungsdichten für verschiedene ASK-Modulationen mit Rechteck- Impulsformung [Ochs06]. Die Frequenzachse ist auf die Dauer eines Bit T B normiert. Es lässt sich also ermitteln, wieviele Bits pro Sekunde je Hertz Bandbreite übertragen werden können. Die entsprechenden Effizienzwerte können für verschiedene Verfahren miteinander verglichen werden. Dabei zählt als Bandbreite die des Sendeimpulses Q(jω). Falls der Impuls zeitbegrenzt ist, gibt es theoretisch einen beliebig hohen Bandbreitenbedarf. In diesem Fall muss für den Spektralverlauf ein Schwellwert festgelegt werden, der die maximale Dämpfung der Leistungsdichte außerhalb des Übertragungsbandes angibt. 1.3 AWGN-Kanal Im AWGN-Kanalmodell (additive white gaussian noise) überlagert sich am Empfänger additives weißes gaußsches Rauschen w(t) dem Sendesignal x 0 (t). Das gaußsche Rauschen modelliert verschiedene physikalische Rauscheffekte. Dazu gehören die thermische Bewegung von Ladungsträgern, verschiedene Varianten von Rauscheffekten in Halbleitern sowie die Aufnahme von Hintergrundrauschen aus der Atmosphäre durch Antennen. Das Sendesignal bleibt jedoch grundsätzlich formtreu und wird unverzögert übertragen. Der Kanal ist demnach verzerrungsfrei. Das Empfangssignal y 0 (t) ist somit y 0 (t) = x 0 (t)+w(t). (8) Das Rauschsignal w(t) kann nicht explizit angegeben werden. Daher wird es mit einem stochastischen Modell modelliert. Es kann durch seine statistischen Eigenschaften wie z.b. die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f W (w) und das Leistungsdichtespektrum Φ ww (jω) beschrieben werden. Die spektrale Leistungsdichte Φ ww (jω) ist konstant mit Φ ww (jω) = σ 2 für < ω <. (9) Die Amplitudenverteilung des additiven Rauschens wird als mittelwertfrei, stochastisch unabhängig vom gesendeten Signal und gaußverteilt angenommen. Die Wahrscheinlichkeits- IT-V9-8

142 dichtefunktion wird somit vollständig durch die Varianz σ 2 beschrieben: f W (w) = 1 2πσ 2 e w2 2σ 2. (10) Da das Rauschsignal mittelwertfrei ist, entspricht die Rauschleistung der Varianz. 1.4 Digitaler Empfänger Die Grundstruktur eines linearen digitalen Empfängers ist in Abbildung 9 zu sehen. Im ersten Schritt muss eine Synchronisation durchgeführt werden. Dem Empfänger ist grundsätzlich unbekannt, wann genau ein Signal eintrifft. Häufig wird dem Signal eine vordefinierte Sequenz (Präambel) vorangestellt, nach welcher der Empfänger gezielt suchen kann. Zusätzlich besteht in der Praxis häufig das Problem, dass die Oszillatoren in Sender und Empfänger nie exakt die gleiche Trägerschwingung erzeugen. Es muss also auch hier synchronisiert werden. y 0 (t) Synchronisation Analoger Demodulator Digitaler Demodulator Senke Bild 9: Empfänger [Ochs06] Der analoge Demodulator bringt das hochfrequente Empfangssignal zurück in das niederfrequente Basisband. Der digitale Demodulator rekonstruiert daraus anschließend die Bitfolge. Die Elemente im digitalen Demodulator sind in Abbildung 10 zu sehen. Zuerst wird das Signal durch ein Filter mit Impulsantwort r(t) gefiltert. Anschließend erfolgt die Abtastung und Quantisierung des Signals in einem Analog-Digital-Umsetzer (A/D- Umsetzer), dessen Effekte hier nicht weiter betrachtet werden. Der Entscheider rekonstruiert die Symbole aus den Abtastwerten. Die inverse Signalraumzuordnung konvertiert Symbole wieder in Bitgruppen, die schließlich nach der Parallel-Seriell-Wandlung in einem Bitstrom enden. Nachfolgend werden einige Bestandteile des Demodulators noch näher erläutert. y(t) r(t) A/D Entscheider l 1 P S inverse Signalraumzuordnung Bitstrom Bild 10: Digitaler Demodulator [Ochs06] Analoge Demodulation Zunächst muss aus dem empfangenen Signal der Träger entfernt werden. Für den Empfänger wird die Annahme einer kohärenten Demodulation gemacht. Dies bedeutet, dass die Oszillatoren in Sender und Empfänger auf exakt der gleichen Frequenz laufen und keine Phasenverschiebung zueinander haben. Unter der Annahme eines AWGN-Kanals erhält der Empfänger aus Gleichung (5) das Signal y 0 (t) = x(t)cos(ω 0 t)+w(t). (11) IT-V9-9

143 Um aus (11) wieder das Sendesignal im Tiefpassbereich zurück zu gewinnen, muss mit der Trägerschwingung multipliziert werden. Es ergibt sich somit y(t) = (x(t)cos(ω 0 t)+w(t)) cos(ω 0 t) = 1 2 x(t)+ 1 2 x(t)cos(2ω 0t)+ŵ(t), (12) wobei w(t) das additive Rauschen darstellt. Wie aus (12) zu entnehmen ist, enthält das Signal neben dem erwünschten Term noch einen Beitrag bei doppelter Frequenz. Dieser Anteil muss durch ein nachfolgendes Tiefpassfilter mit Impulsantwort h(t) entfernt werden. Für cos(ω 0 t) y 0 (t) h(t) y(t) Bild 11: Produkt-Demodulator [Ochs06] alle weiteren Betrachtungen wird angenommen, dass dieses Filter den Beitrag vollständig unterdrücken kann Signalangepasstes Filter Das Empfangsfilter mit Impulsantwort r(t) soll eine besondere Aufgabe erfüllen. Das Signal enthält wegen des AWGN-Kanals additive Störungen in Form von Rauschen. Das Signal-zu- Geräuschverhältnis (SNR, signal-to-noise ratio) soll aber möglichst groß werden. Allgemein ist das Signal-zu-Geräuschverhältnis definiert als Γ SNR = Leistung des Nutzsignals Leistung des Rauschens. (13) Ein Entwurfskriterium für das Empfangsfilter kann also die Maximierung des Signal-zu- Geräuschverhältnises sein. Dazu wird (12) mit r(t) gefaltet und in einen Nutzanteil x(t) sowie einen Störanteil w(t) aufgeteilt. ỹ(t) = y(t) r(t) = x(t) r(t) +w(t) r(t) }{{}}{{} x(t) w(t) (14) Es kann gezeigt werden [Ochs06], dass das optimale Signal-zu-Geräuschverhältnis für die Wahl von r(t) = αq( t) (15) für das Empfangsfilter erreicht wird, wobei α eine beliebig wählbare reelle Konstante ist. Die Impulsantworten von Sende- und Empfangsfilter besitzen also prinzipiell die gleiche Form. Ein derart gewähltes Empfangsfilter wird signalangepasstes Filter oder Matched- Filter genannt. Das optimale Signal-zu-Geräuschverhältnis ergibt sich zu Γ SNR = P ξe q N 0 /2, (16) IT-V9-10

144 wobei P ξ die mittlere Leistung des Signalalphabets, E q die Energie des Sendeimpulses und N 0 /2 die Leistung des Rauschens beschreibt. Es fällt auf, dass in (16) nur die Impulsenergie mit E q = eingeht, aber nicht die eigentliche Impulsform selbst. q 2 (t)dt (17) Augendiagramm Eine wichtige Überlegung bei der Auswahl des (Impulsformung) Filters ist die Wechselwirkung zwischen verschiedenen Symbolen. Da der Ausgang des angepassten Filters aus Replikationen der Autokorrelationsfunktion von q(t) besteht und die Abtastung zu den Zeitpunkten kt stattfindet, kann Intersymbolinterferenz verhindert werden, indem man sicherstellt, dass die 1. Nyquist-Bedingung erfüllt ist. Mathematisch kann das folgendermaßen ausgedrückt werden: { 1 für k = 0 φ qq (kt) = (18) 0 für k 0, mit φ qq (t), der Autokorrelationsfunktion von q(t). Beim si-impuls ist beispielsweise die Pulslänge größer als die eigentliche Symboldauer T. Daraus resultiert eine gegenseitige Beeinflussung der Symbole, die zu Fehlern am Empfänger führen kann, die Intersymbolinterferenz (ISI) hervorrufen. Um zu verhindern, dass dies geschieht, müssen die Parameter des si-impulses so gewählt werden, dass Gleichung (18) erfüllt ist (siehe Abbildung 12). Zum Abtastzeitpunkt Null soll das Filter den Wert des gewünschten Symbols annehmen. Für alle anderen Abtastzeitpunkte kt darf das Filter jedoch keinen Beitrag liefern, um nicht andere Symbolwerte zu verfälschen. Ein Beispiel dafür liefert Abbildung 12 mit zwei Symbolen, die eine si-impulsformung erhalten. Zum Zeitpunkt t = 0 wirkt sich nur ein si- Verlauf auf den Abtastwert aus, wogegen der andere Impuls genau dort eine Nullstelle hat. Zum anderen Zeitpunkt t = T gibt wiederum nur einer der beiden Impulse einen Beitrag. Beide Funktionen liefern im markierten Punkt t = 2T keinen Beitrag. Daher kann zu genau diesem Zeitpunkt ein weiteres Symbol mit der si-impulsformung übertragen werden, ohne dass dessen Wert von anderen Symbolen verändert wird. 1 φ qq (t) t/t Bild 12: Beispiel für Vermeidung von Intersymbolinterferenz [Ochs06] Für den Fall, dass eine mathematische Beschreibung für das Filter vorliegt, kann die (18) direkt überprüft werden. In der Praxis existiert aber ein einfaches messtechnisches Hilfsmittel dafür, das sogenannte Augendiagramm. Dabei wird das Zeitsignal am Ausgang IT-V9-11

145 des angepassten Filters ỹ(t) in Abschnitte der Länge 2T aufgeteilt. Alle Abschnitte werden in das gleiche Diagramm als Überlagerung eingetragen. Der optimale Abtastzeitpunkt wird sinnvollerweise in die Mitte der Zeitachse gelegt. In Abbildung 13 ist ein Beispiel für ein solches Augendiagramm zu sehen. Als Signalraum wird eine BPSK (binary phase shift keying) angenommen, bei der nur die Symbolwerte ±1 zulässig sind. Toleranz bzgl. Abtastfehler verschobene Nulldurchgänge 1 Amplitudenverzerrung x(t) 0 Toleranz bzgl. Rauschen optimale Entscheidungsschwelle 1 T/2 optimaler Abtastzeitpunkt T/2 Bild 13: Beispiel für ein Augendiagramm [Ochs06] Zum optimalen Abtastzeitpunkt kann nun überprüft werden, ob die (18) erfüllt ist. Lässt das Signal dort noch andere Werte als die des Signal-Alphabets zu, so gibt es Intersymbolinterferenz (ISI) und die (18) wird nicht eingehalten. In Abbildung 13 nimmt das Signal für t = 0 nur die Werte ±1 an, daher ist die Bedingung hier erfüllt. Das Qualitätskriterium ist dabei die Augenöffnung: Es sollte versucht werden, eine möglichst große Augenöffnung sowohl horizontal als auch vertikal zu erreichen. In vertikaler Richtung ist die Augenöffung ein Maß für die Empfindlichkeit gegenüber Rauschen. Bei kleiner Augenöffung und schlechtem Signal-zu-Rauschverhältnis kann das Signal leicht in die Nähe der Entscheidungschwelle geraten. Des Weiteren ist es ein Maß für die ISI und lässt somit erkennen, ob die 1. Nyquist-Bedingung erfüllt ist. Wenn dies nicht der Fall ist bzw. das Rauschen zu stark ist, detektiert der Empfänger unter Umständen ein falsches Symbol. In horizontaler Richtung ist die Augenöffung ein Maß für die Empfindlichkeit gegenüber Synchronisationsfehlern. Praktische Systeme unterliegen immer Abweichungen von dem Abtastzeitpunkt (Taktjitter). Ebenso lässt sich in horizontaler Richtung erkennen, ob die 2. Nyquist-Bedingung erfüllt ist. Eine große Augenöffnung erhöht die Toleranz gegenüber solchen Fehlern. IT-V9-12

146 1.4.3 Korrelationsempfänger Es existiert eine weitere Architektur für Empfänger, welche zu der aus Abschnitt gleichwertig ist. Zunächst wird wieder der Fall angenommen, dass ein Empfangsfilter als signalangepasstes Filter vorhanden ist. Es ergeben sich die gleichen Verhältnisse wie in Gleichung (14). Hierbei sind letztendlich nur die Signalwerte zu den Abtastzeitpunkten kt relevant. Damit ergibt sich ỹ(kt) = y(t) r(t) t=kt = q(τ kt) y(τ) dτ. (19) E q Der Integralausdruck aus (19) kann auch anders interpretiert werden. Das Empfangssignal y(t) wird zunächst mit der Impulsantwort q(t kt)/e q multipliziert und anschließend integriert. Damit erhält man die Struktur eines Korrelationsempfängers, die in Abbildung 14 dargestellt ist. q(t kt) E q Integrator Entscheider y(t) dt A/D- Umsetzer Symbole Bild 14: Korrelationsempfänger [Ochs06] Ein einfaches Beispiel für einen Korrelationsempfänger ergibt sich, wenn ein Rechteck- Impuls als Pulsform eingesetzt wird. Da der Rechteck-Impuls einen konstanten Verlauf über die Symboldauer T besitzt, wird eine Multiplikation mit y(t) wie in (19) nicht mehr benötigt. Stattdessen reicht es aus, das Empfangssignal über eine Periodendauer zu integrieren (Abbildung 15). Ein solcher Aufbau wird als Integrate and Dump-Empfänger bezeichnet. Integrator Entscheider y(t) 1 T T/2 T/2 dt A/D- Umsetzer Symbole Bild 15: Integrate and Dump-Empfänger [Ochs06] Entscheider Anhand des abgetasteten Wertes y := ỹ (kt) soll der Entscheider (oder Detektor) zum Abtastzeitpunkt kt eine Entscheidung über das gesendete Symbol ξ l mit 1 l L treffen. Es wird angenommen, dass alle Symbole reell und voneinander unabhängig sind. Gesucht ist zunächst ein Ausdruck für die Wahrscheinlichkeit, dass der Detektor die richtige Entscheidung trifft. Das ist gleichbedeutend mit der Wahrscheinlichkeit, dass ξ l auch tatsächlich gesendet wurde. P(richtige Entscheidung) = P(Ξ = ξ l ) (20) IT-V9-13

147 Dem Detektor steht der Abtastwert y als Information zur Verfügung. Unter der Bedingung, dass y dem Detektor bekannt ist, gilt P(richtige Entscheidung y wurde empfangen) = P(Ξ = ξ l Y = y) (21) Die Wahrscheinlichkeit einer korrekten Entscheidung am Detektor soll maximiert werden. Daher muss der Ausdruck [Sezg12] [Proa07] P(Ξ = ξ l ) = P(Ξ = ξ l Y = y)f Y (y)dy. (22) maximal werden. Es reicht aus, wenn in (22) die Wahrscheinlichkeitsfunktion P(Ξ = ξ l Y = y) maximal wird. Der Detektor entscheidet sich für ein Symbol η k mit dem Kriterium η k = arg max 1 l L P(Ξ = ξ l Y = y) (23) Der Ausdruck (23) heißt MAP-Kriterium (maximum a posteriori probability). Mit Hilfe der Bayes-Regel kann er noch weiter umgeformt werden. [Schm12] η k = arg max 1 l L f Y Ξ (y ξ l )P(ξ l ). (24) f Y (y) Die Wahrscheinlichkeitsdichte f Y (y) hängt überhaupt nicht vom Index l ab, sodass sie für die Maximierung weggelassen werden kann. Der Ausdruck P(ξ l ) gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit einzelne Symbole gesendet werden. Häufig nimmt man an, dass alle Symbole gleichwahrscheinlich auftreten. Damit gilt P(Ξ = ξ l ) = 1 L 1 l L (25) und fällt als Konstante ebenfalls aus (24) heraus. Der Spezialfall des MAP-Kriteriums mit gleichwahrscheinlichen Symbolen heißt Maximum-Likelihood-Kriterium(ML). Es bleibt der Ausdruck η k = arg max f Y Ξ(y ξ l ) (26) 1 l L bestehen. Falls die Übertragung über einen AWGN-Kanal wie in Abschnitt 1.3 abläuft, so erhält man für die bedingte Wahrscheinlichkeitsdichte in (26) eine Normalverteilung mit Mittelwert ξ l und Varianz σ2 w. Außerdem wird der natürliche Logarithmus angewandt, da der Ausdruck dann einfacher wird, ohne die Monotonieeigenschaften zu ändern. 1 η k = arg max exp ( (y ξ ) l) 2 1 l L 2πσ 2 w = arg max 1 l L ln = arg max 1 l L [ [ ln 1 2πσ 2 w exp 2σ 2 w ( (y ξ ) ] l) 2 2σ 2 w ] 1 (y ξ l) 2 2πσ 2σ 2 w 2 w = arg min 1 l L (y ξ l) 2. (27) IT-V9-14

148 Quadrature In-Phase Bild 16: ML-Kriterium 1 Das Ergebnis bestätigt eine schon intuitive Vorgehensweise: Der Detektor entscheidet sich nach dem optimalen ML-Kriterium für den Signalraumpunkt ξ l, welcher im Konstellationsdiagramm am Nächsten zum empfangenen Punkt y liegt und den kleinsten Abstand (euklidische Distanz) zum empfangenen Punkt hat (siehe Abbildung 16). Der Empfänger muss also jeden Abtastwert mit allen möglichen Symbolen ξ l aus dem Alphabet auf den kleinsten Abstand hin überprüfen. Bei höherstufigen Modulationen kann das einen enormen Rechenaufwand bedeuten. IT-V9-15

149 2 Vorbereitungsaufgaben 2.1 Digitaler Sender Im Folgenden soll der digitale Modulator im Bild 3 behandelt werden. a) Zeichnen Sie ein Signalraumdiagramm für eine 4-ASK. Die Zeichenmenge soll aus { 3, 1,1,3} bestehen. b) Wieviele Bits werden jeweils in einem Symbol codiert? c) Stellen Sie ein Codierungschema für die Bitgruppen auf. Gehen Sie dabei nach einer Gray-Codierung vor. Es soll nun die Bitfolge übertragen werden. d) Codieren Sie die Bitfolge in Symbole gemäß des Codierungschemas. Es soll ein Rechteckimpuls als Pulsform verwendet werden. e) Zeichnen Sie das Signal nach der Pulsformung x(t). f) Skizzieren Sie das Augendiagramm für eine 4-ASK mit Rechteckpulsformung. Verwenden Sie dafür das vorgegebene Diagramm: T/2 0 T/2 g) Was kann in einem Augendiagramm zum optimalen Abtastzeitpunkt überprüft werden? IT-V9-16

150 h) Warum muss das Sendesignal in einen anderen Frequenzbereich spektral verschoben werden, bevor es über die Antenne gesendet werden kann? Es soll nun eine Trägerfrequenz von f 0 = T verwendet werden. i) Zeichnen Sie das entsprechende Sendesignal x 0 (t) nach der analogen Modulation. 2.2 Digitaler Empfänger a) Was bedeutet kohärente Demodulation? Betrachten Sie Abbildung 11: b) Warum wird ein Tiefpassfilter benötigt? c) Welche besondere Funktion hat ein signalangepasstes Filter? d) In einem Übertragungssystem hat das Sendefilter die unten gezeigte Impulsantwort q(t). Zeichnen Sie die Impulsantwort des zugehörigen optimalen Empfangsfilters. f(t) 1 1/2 1/2 t/t In einem Übertragungssystem mit Rechteckpulsformung wird folgendes Signal y(t) empfangen: 1 y(t) 1 2 t/t 1 2 e) Zeichnen Sie die Impulsantwort des zugehörigen optimalen Empfangsfilters. IT-V9-17

151 f) Zeichnen Sie das Signal am Ausgang des Empfangsfilters. Zu welchem Zeitpunkt sollte abgetastet werden? g) Welche Aufgabe erfüllt ein Entscheider im Allgemeinen? h) Wie geht der Entscheider nach dem Maximum-Likelihood-Kriterium vor? Welche Probleme können in der Praxis bei einem solchen Entscheider auftreten? IT-V9-18

152 3 Versuchsdurchführung 3.1 Modulationsverfahren Verwenden Sie für die folgenden beiden Aufgabenpunkte einen Rechteckimpuls für die Impulsformung. Die Bitfolge wird in dem Versuch vorgegeben. a) Skizzieren Sie in einem Diagramm den Verlauf der gesendeten Signale für ein 4-ASK (ask.mdl), 4-PSK (psk.mdl) und einer 4-QAM (qam.mdl). b) Skizzieren Sie den Verlauf für eine 2-ASK (modifizieren Sie dazu ask.mdl) und vergleichen Sie diese mit der 4-ASK aus der vorherigen Aufgabe. 3.2 Spektrale Leistungsdichte In den folgenden Aufgaben werden die spektralen Eigenschaften des Rechteckimpuls und des Wurzel-Cosinus-Rolloff Impuls miteinander verglichen. Laden Sie die Datei bpsk_rect_rrcos_psd.mdl. a) Stellen Sie die Impulsdauer T = 1µs ein. Welche Bandbreiten B (in MHz) sind mindestens erforderlich, wenn die Leistungsdichte außerhalb des Übertragungsbandes höchstens 30 db (bezogen auf das Maximum) betragen darf? b) Es steht eine Bandbreite von B = 5 MHz zur Verfügung. Welche Bitraten F B sind maximal möglich, wenn die Leistungsdichte außerhalb des Übertragungsbandes höchstens 30 db betragen darf (bezogen auf das Maximum)? c) Bestimmen Sie für die zwei Impulsformen jeweils die spektale Effizienz. 3.3 Augendiagramm In den folgenden Aufgaben werden Eigenschaften des Rechteckimpuls und des Wurzel- Cosinus-Rolloff Impuls anhand ihrer Augendiagramme miteinander verglichen. a) Skizzieren Sie jeweils die Augendiagramme für eine 2-ASK (BPSK) Übertragung mit Rechteck-Impulsformung (eye_rect.mdl) und Wurzel-Cosinus-Rolloff Impulsformung (eye_rrcos.mdl). b) Stellen Sie Vergleiche der Impulsformen bezüglich der nachfolgenden Kriterien an. Erfüllung des 1. Nyquist-Bedingung Robustheit gegenüber Rauschen zum Abtastzeitpunkt IT-V9-19

153 Robustheit gegenüber Abweichungen des Abtastzeitpunkts Begründen Sie Ihre Antworten. c) Verwenden Sie nun eine 4-ASK mit Rechteck-Impulsformung und plotten Sie das Augendiagramm (benutzen Sie eye_rect.mdl). Vergleichen Sie das Ergebnis mit Aufgabe 2.1-f). d) Ändern Sie die Parameter des signalangepassten Filters in eye_rrcos.mdl geringfüfig und beobachten Sie die Veränderungen im Augendiagramm. Erläutern Sie diese Veränderungen. 3.4 Empfänger In diesem Aufgabenteil soll der Empfänger eines digitalen Kommunikationssystems näher untersucht werden. Laden Sie die Datei ask_rrcos_mf.mdl. Zunächst wird der Kanal rauschfrei und der Empfänger mit einem signalangepassten Filter angenommen. Stellen Sie zu diesem Zweck die Rauschvarianz auf einen sehr kleinen Wert ein. a) Betrachten Sie den Zeitverlauf des Empfangssignals nach dem signalangepassten Filter. Wo liegt der optimale Abtastzeitpunkt? b) Betrachten Sie das Augendiagramm des Empfangssignals nach dem signalangepassten Filter. Ist die 1. Nyquist-Bedingung weiterhin erfüllt? Begründen Sie. Nun fügen Sie in den AWGN-Kanal Rauscheffekte hinzu. Diese sollen eine Varianz von σn 2 = 0.2 besitzen. c) Betrachten Sie das Augendiagramm des Empfangssignals nach dem signalangepassten Filter. Schätzen Sie die Öffnung des Auges in vertikaler Richtung ab. Ändern Sie nun geringfügig die Parameter des signalangepassten Filters (setzen Sie N z.b. auf 22). d) Handelt es sich bei dem Empfangsfilter immer noch um ein signalangepasstes Filter? Begründen Sie. e) Betrachten Sie das Augendiagramm des Empfangssignals nach dem signalangepassten Filter. Schätzen Sie die Öffnung des Auges in vertikaler Richtung ab. Vergleichen Sie dieses Augendiagramm mit dem Augendiagramm der vorherigen Aufgabe. Wodurch sind die Unterschiede begründet? f) Verringern Sie Sie Rauschvarianz und beobachten Sie dabei das Augendiagramm. Kommentieren Sie das Ergebnis. IT-V9-20

154 3.5 BER-Kurve Die Bitfehlerratenkurve (BER, bit error rate) erlaubt Qualitätsvergleiche in praktischen Systemen. Dabei wird die Anzahl der Bitfehler in Abhängigkeit vom Signal-zu-Geräuschverhältnis gemessen. In diesem Versuch soll eine BER-Kurve für eine 2-ASK sowie für eine 4-ASK aufgenommen werden. Tragen Sie die Messwerte in das vorgegebene Diagramm ein. Benutzen Sie 2-ASK 4-ASK E b db N 0 σ 2 BER σ 2 BER a) Welches Verfahren ist grundsätzlich robuster gegenüber Rauschen? b) Welches Verfahren ermöglicht eine höhere Datenrate? c) In einem Übertragungssystem ist eine maximale Fehlerrate von 10 4 erlaubt. Wie groß muss das Signal-zu-Geräuschverhältnis in beiden Fällen mindestens sein? IT-V9-21

155 4 Appendix 4.1 Intersymbolinterferenz Im Folgenden wird Intersymbolinterferenz bei einer Abtastrate 1 für ein Filter betrachtet, T welches das 1. Nyquist-Kriterium erfüllt (Rechteckimpuls mit Breite T 1 =T) und eines, welches dies nicht tut (Rechteckimpuls mit Breite T 2 =2T). 2 Signal nach der Impulsformung: x(t) t/t Signal nach dem angepassten Filter x(t) BPSK x(t) t/t Bild 17: Beispiel für gesendetes und gefiltertes Empfangssignal bei erfülltem 1. Nyquist-Kriterium IT-V9-22

156 3 Signal nach der Impulsformung: 2 1 x(t) t/t 5 Signal nach dem angepassten Filter x(t) BPSK Falsch dekodierte Symbole x(t) t/t Bild 18: Beispiel für gesendetes und gefiltertes Empfangssignal bei nicht erfülltem 1. Nyquist- Kriterium IT-V9-23

157 4.2 Impulsfilter 1 q(t) 0 t/t 1/2 1/2 (a) Rechteckimpuls [Ochs06] q(t) T f/f 0 (b) Spektrum des Rechteckimpulses [Ochs06] q(t) t/t (c) si-impuls [Ochs06] q(t) T 1/2 0 1/2 f/f 0 (d) Spektrum des si-impulses [Ochs06] IT-V9-24

158 Bild 19: Root-Raised-Cosine-Filter mit verschiedenen Roll-Off-Faktoren IT-V9-25

159 Literatur [Kamm08] K.-D. Kammeyer: Nachrichtentechnik. Teubner, 4. Auflage [Ochs06] K. Ochs: Monographie zur Vorlesung Übertragung digitaler Signale Auflage [Proa07] J. G. Proakis: Digital Communications. McGraw Hill, 5. Auflage [Schm12] [Sezg12] G. Schmitz: Skript zur Vorlesung "Stochastische Signale". Ruhr-Universität Bochum, A. Sezgin: Skript zur Vorlesung "Nachrichtentechnik". Ruhr-Universität Bochum, IT-V9-26

160 Versuch IT-V10: Digitale Übertragungsstrecke Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Eine Einführung in das FPGA-Prototyping mit System Generator Allgemeines zum FPGA Die XtremeDSP Entwicklungsplattform Der System Generator CDMA-System Übersicht Modulation und Demodulation Spreizung und Korrelation Bewertung der Übertragungsqualität - die Bitfehlerrate Der Versuchsaufbau Übersicht Der Empfänger Aufgaben Korrelator QPSK-Demodulator Aufnahme von BER-Kurven A Details zu ausgewählten Blöcken der Xilinx Blockset Bibliothek 26 IT-V10-1

161 1 Einleitung In modernen Kommunikationssystemen wird die ursprünglich analoge Sprachinformation als digitales Signal übertragen. Diese Systeme bestehen aus einer Vielzahl von analogen und digitalen Komponenten. In diesem Versuch lernen Sie die Funktionsweise einiger Komponenten anhand einer digitalen Übertragungsstrecke kennen. Zur Vereinfachung wird auf den Analogteil verzichtet und Sender und Empfänger direkt über einen rauschenden Kanal miteinander verbunden. Das betrachtete Übertragungssystem entspricht in seinen Grundprinzipien dem einer UMTS 1 -Übertragungsstrecke. Der digitale Teil wird auf einer programmierbaren Logik implementiert und kann vom PC mit Hilfe des Programms MATLAB R der Fa. The MathWorks [1] gesteuert werden. Ziel des Versuchs ist es, u.a. ein Verständnis folgender Grundbegri zu erlernen: Modulationsverfahren (hier: BPSK 2, QPSK 3 und 16-QAM 4 ) Zugrisverfahren (hier: CDMA 5 ) Digitaler Schaltungsentwurf mittels FPGA 6 -Prototyping unter Verwendung des Programms System Generator for DSP TM [2] (im Folgenden kurz: System Generator) der Fa. Xilinx Bitfehlerraten 2 Eine Einführung in das FPGA-Prototyping mit System Generator 2.1 Allgemeines zum FPGA Ein FPGA ist ein programmierbarer Baustein. Durch die spezische Konguration interner Strukturen können beliebige Logik-Schaltungen in einem FPGA realisiert werden. Diese reichen von Schaltungen mit geringer Komplexität bis hin zu hochkomplexen Schaltungen (z.b. Mikroprozessoren). FPGAs werden in allen Bereichen der Digitaltechnik eingesetzt, vor allem aber dort, wo es auf schnelle Signalverarbeitung und exible Änderung der Schaltung ankommt. Dadurch können beispielsweise nachträgliche Verbesserungen an den implementierten Funktionen vorgenommen werden, ohne dabei direkt die physikalische Hardware ändern zu müssen. Mit der Einführung von FPGAs wurden kompakte, anwenderspezische Schaltungen in geringen Stückzahlen ermöglicht. Heutzutage gestatten sie die preiswerte und exible Fertigung komplexer Systeme wie Mobilfunk-Basisstationen als Alternative zur teureren Auftragsfertigung durch die Halbleiterhersteller. 1 Universal Mobile Telecommunication System 2 Binary Phase Shift Keying, dt.: Binär-Phasenumtastung 3 Quadrature Phase Shift Keying, dt.: Quadratur-Phasenumtastung 4 Quadrature Amplitude Modulation, dt.: Quadraturamplitudenmodulation 5 Code Division Multiple Access, dt.: Codevielfachzugri 6 Field Programmable Gate Array IT-V10-2

162 LED (D1) Virtex-4 FPGA ADC2 Eingang ADC1 Eingang Ext. Takteingang DAC2 Ausgang DAC1 Ausgang LED (D2) Spartan-II FPGA Abbildung 1: Das XtremeDSP Entwicklungsboard Beim FPGA-Prototyping wird eine digitale Schaltung mit einer Hardwarebeschreibungssprache (HDL 7 ), wie z.b. VHDL 8, oder (wie in diesem Versuch) auf einer höheren Abstraktionsebene mit dem System Generator umgesetzt. Mit Hilfe dieser Entwurfsmethoden kann mittels der sogenannten Logik-Synthese eine Kongurationsdatei (auch Conguration Bitstream genannt) erzeugt werden, die zur Programmierung eines FPGAs eingesetzt wird. 2.2 Die XtremeDSP Entwicklungsplattform Abb. 1 zeigt die XtremeDSP [3] Entwicklungsplattform der Fa. Nallatech. Das Herzstück des Boards ist ein Virtex-4 FPGA von Xilinx [4]. Dieser ist frei programmierbar und kann über einen weiteren Xilinx FPGA (Spartan-II) mit dem PCI-Bus eines PCs kommunizieren. Des Weiteren gehören zwei Analog-Digital-Umsetzer 9 sowie zwei Digital-Analog-Umsetzer 10 zur Ausstattung. Da in diesem Versuch eine reale Datenübertragung von einem Sender zu einem Empfänger untersucht werden soll, kommen die Umsetzer als Eingangs- bzw. Ausgangs-Komponenten im Transceiver 11 -Design zum Einsatz. Zusätzlich stehen zwei LEDs zur Verfügung, welche während des Betriebs als Statusanzeigen genutzt werden können. Die LEDs können in drei verschiedenen Farben leuchten: grün, rot und orange. Die Eingänge der ADCs, bzw. die Ausgänge der DACs werden durch MCX 12 -Steckverbinder an der Vorderseite des Boards verbunden. Die maximale Amplitude des analogen 7 Hardware Description Language 8 Very High Speed Integrated Circuit HDL 9 Analog-to-Digital Converter (ADC) 10 Digital-to-Analog Converter (DAC) 11 Kurzform für Transmitter (dt.: Sender) und Receiver (dt.: Empfänger) 12 Miniature CoaX: kleine (3,5 mm Durchmesser) koaxiale Steckverbinder IT-V10-3

163 Abbildung 2: Das Konzept der Analog-Digital- (links) und der Digital-Analog-Wandlung am Beispiel einer 3-Bit Auösung (1999 Encyclopedia Britannica, Inc) Eingangs- bzw. Ausgangssignals ist 2 V (Spitze-Spitze-Wert), bzw. ± 1 V (bei Verwendung einer 50 Ω-Last am DAC). Die Abtastrate des ADCs beträgt 105 Mega Samples Pro Sekunde (MSPS), der DAC unterstützt eine maximale Eingangsdatenrate von 160 MSPS. Der digitale Eingang des DACs und der digitale Ausgang des ADCs sind mit dem Virtex-4 FPGA verbunden, um Daten und Steuerungssignale austauschen zu können. Dabei besitzen beide Umsetzer eine Auösung von 14 Bits. Es gilt zu beachten, dass die Auösung eines Umsetzers einen direkten Einuss auf den Quantisierungsfehler hat und damit einen Amplitudenfehler im rekonstruierten analogen Signal hervorruft. Das Beispiel eines 3-Bit ADCs, bzw. DACs ist in Abb. 2 gegeben. Eine höhere Auösung resultiert somit in einem kleineren Fehler. Die Abtastrate bestimmt die Form des rekonstruierten Signals. Es wird eine hohe Abtastrate relativ zur Frequenz des Eingangssignals benötigt, um die Form des Eingangssignals zu rekonstruieren. Der grundlegende Aufbau des Virtex-4 FPGAs ist in Abb. 3 dargestellt. Der Baustein besteht aus einem Array von kongurierbaren Logikblöcken (CLB 13 ), welche mit Hilfe der Kongurationsdatei durch programmierbare Zwischenverbindungen, den Verdrahtungskanälen, miteinander verschaltet werden können. Auÿerdem sind in einem FPGA Eingangs- und Ausgangsblöcke (IOB 14 ) enthalten, die Schaltungen für die Kommunikation mit externen Signalen anderer Bausteine bereithalten. Manche FPGAs, wie beispielsweise der Virtex-4, beinhalten zusätzliche Ressourcen wie Speicher oder Multiplizierer. Im Folgenden werden einzelne Elemente des Virtex-4 FPGA näher vorgestellt: 1. Kongurierbare Logikblöcke (CLBs) und Slices Die kongurierbaren Logikblöcke (CLBs) sind die Hauptressource, um sowohl sequentielle als auch kombinatorische Logik zu implementieren. Jedes CLB-Element beinhaltet eine sogenannte Switch Matrix, die den Zugri auf die Verdrahtungskanäle ermöglicht. Darüber hinaus enthält es vier sogenannte Slices, die wiederum jeweils aus zwei Wahrheitstabellen (realisiert als LUT 15 ) mit insgesamt vier Eingängen, zwei 13 Congurable Logic Block 14 Input/Output Block 15 Look-Up Table IT-V10-4

164 FPGA Basics: Architecture Configurable Logic Blocks Multiplier Block RAM Digital Clock Manager I/O Buffers Abbildung 3: Der grundlegende Aufbau eines FPGAs Flip-Flops (Register) als Speicherelemente und weiteren Logikelementen (z.b. Multiplexer) bestehen (s. Abb. 4). Mit Hilfe der CLBs können beliebige logische Funktionen, Speicherstrukturen (z.b. 16x1-Bit RAM 16 ), 16-Bit Schieberegister oder gröÿere Multiplizierer realisiert werden. Der in diesem Versuch verwendete FPGA enthält 96 x 40 CLBs bestehend aus Slices. Folglich können LUTs bzw. Flip-Flops frei programmiert werden. 16 Random Access Memory CLB Slice Slice M U X Logic Slice LUT M U X Register Slice M U X Slice LUT M U X Register Abbildung 4: Vereinfachter Aufbau eines CLBs und der Slice-Architektur IT-V10-5

165 2. DSP Slice Für die schnelle digitale Signalverarbeitung (DSV) beinhaltet die FPGA-Architektur eine dedizierte Logik in Form einer DSP Slice. Da in vielen Aufgaben der DSV Multiplikationen und Additionen umgesetzt werden müssen, besteht ein DSP Slice aus einem 18x18-Bit Multiplizierer gefolgt von einem exiblem 48-Bit Addierer/Subtrahierer (mit drei Eingängen) und einem optionalen Akkumulator. DSP Slices können auÿerdem kaskadiert werden, um z.b. gröÿere Filter zu realisieren. Der Virtex-4 FPGA hat vier Spalten mit DSP Slices, d.h. 192 der insgesamt Slices sind DSP Slices. 3. Block RAM Damit gröÿere Speicherbereiche nicht aus einzelnen Flip-Flops zusammengesetzt werden müssen, sind Speicherblöcke in Form von Block RAMs inklusive Adressdekoder auf dem FPGA enthalten. Block RAMs sind schnelle, 18 kbits groÿe Speicherabschnitte, die kaskadiert werden können, um gröÿere Speicherbereiche zu realisieren. Auf dem Virtex-4 FPGA sind 192 Dual-Port Block RAM Zellen. Demzufolge gibt es insgesamt 432 kbyte dedizierten Speicher im FPGA. 4. Eingangs- und Ausgangsblöcke (IOB) Diese Blöcke dienen der allgemeinen Ein- und Ausgabe von Signalen. Die Pads des FPGAs können wahlweise als Eingang, Ausgang oder als bidirektionaler Anschluss geschaltet werden. Der Virtex-4 FPGA besitzt 448 IOBs mit Flip-Flops, um auch Double Data Rate (DDR 17 )-Signale zu unterstützen. 5. Globale Takteingänge (GCLK) Globale Takte können Flip-Flops des gesamten FPGAs ansprechen. Um dabei die Unterschiede in den Laufzeiten zu den verschiedenen Flip-Flops zu minimieren, sind für diese Signale besondere Verteilstrukturen vorgesehen. Der Virtex-4 Baustein besitzt 16 globale Takteingänge. 6. Digital Clock Manager (DCM) Eine weitere häug benötigte Anwendung ist das Teilen oder Vervielfachen von Taktsignalen. Dabei ist vor allem auf eine Zeitoptimierung zu achten, damit es zwischen den Taktsignalen nicht zu ungewollten Verzögerungen kommt. Auf dem Virtex-4 FPGA sind dazu acht DCMs vorgesehen, mit denen externe Takte stabilisiert, durch variable Faktoren von 1,5 bis 16 geteilt oder mit dem Faktor 2 multipliziert werden können. Des Weiteren ist es möglich, phasenverschobene Signale (90, 180, 270 ) zu erzeugen. Eine Übersicht über die logischen Ressourcen des Virtex-4 FPGA gibt Tabelle 1. CLBs Slices DSP Slices Block RAM Elements DCMs IOBs (432 kbyte) Tabelle 1: Logik-Ressourcen des Virtex-4 FPGAs 17 Mit dem Double Data Rate (DDR) Verfahren können Daten auf einem Datenbus mit der doppelten Datenrate übertragen werden. IT-V10-6

166 2.3 Der System Generator Da elektronische Systeme immer komplexer werden, verschiebt sich der Entwicklungsprozess zusehends von einer geringen Abstraktionsebene (z.b. der Transistorebene) hin zum abstrakteren, modularen Systementwurf. Der System Generator ist ein Werkzeug, das eine schnelle Entwicklung von DSV-Systemen durch eine automatisierte Hardware-Generierung erlaubt. Dies ermöglicht den Entwicklern, sich auf die Algorithmen im Detail zu fokussieren. Dabei wird die Umgebung MATLAB R Simulink R [1] eingesetzt, welche zur Implementierung und Verikation von Algorithmen genutzt werden kann. System Generator besteht aus einer Software, die automatisch das in Simulink R modellierte System in die äquivalente Hardware übersetzt. Es ermöglicht somit Hardware-Entwürfe, die sich aus Xilinx-, VHDL- und MATLAB R -Code-Blöcken zusammensetzen. Das Design kann auf der Register-Transfer- Ebene (RTL 18 ) simuliert und synthetisiert werden, um die entsprechende Kongurationsdatei für den FPGA zu erhalten. System Generator-Modelle und die Hardware-Ausführung sind dabei Bit- und Takt-akkurat. Das bedeutet, dass die Ergebnisse der Simulation exakt mit denen der realen Hardware übereinstimmen. Die eziente Umsetzung in Hardware wird durch die Umschreibung mit schnellen und ächenezienten IP 19 -Blöcken durchgeführt. Ein weiterer Vorteil des System Generators ist, dass man den Hardware-Entwurf unter Kontrolle von Simulink R testen kann kann und somit auf alle Funktionen zur Datenanalyse und Visualisierung von MATLAB R und Simulink R zurückgreifen kann. Abb. 5 zeigt den Ablauf des FPGA-Prototypings mit dem System Generator. Auf die darin gekennzeichneten Schritte 1 bis 4 soll in den folgenden Abschnitten näher eingegangen werden. 18 Register Transfer Level 19 Intellectual Property Specified System functionality Xilinx DSP Blockset System Generator System Model Development 1 2 High-level Verification (simulink simulation) Xilinx Core Generator Automatic RTL generation 3 RTL Verification RTL Implementation: 1. Synthesis 2. Place & Route Bitstream Download to FPGA Hardware Cosimulation 4 Abbildung 5: Entwurfsablauf des FPGA-Prototypings mit System Generator IT-V10-7

167 System Generator Token Signalquellen Gateways Funktionselemente Signalsenke 1 Erstellung des Systemmodells Abbildung 6: Beispiel eines System Generator Modells Abb. 6 zeigt beispielhaft den Aufbau eines System Generator Modells. Anhand des Beispiels werden folgende Begrie erläutert: die Xilinx Blockbibliotheken (zur Erstellung des Systemmodells), der System Generator Token (zur Konguration und Steuerung des Designs) und die Gateways. Zudem erfolgt eine kurze Einführung zur Zahlendarstellung in System Generator und zur Verwendung von MATLAB R -Code (MCode). Die Xilinx Blockbibliotheken Der System Generator hält einen groÿen Satz an Blöcken bereit, um arithmetische, logische und Speicherfunktionen, sowie weitere Funktionen der digitalen Signalverarbeitung zu implementieren. Für diesen Zweck existieren drei Blockbibliotheken [5] für Simulink R : Xilinx Blockset (s. Tab. 2), Xilinx Reference Blockset (s. Tab. 3) und Xilinx XtremeDSP Kit (s. Tab. 4). Unter Verwendung der Bibliotheken kann das Systemmodell erstellt werden. Der Zugri auf die Elemente erfolgt dabei über den Simulink R Library Browser. Dabei ist zu beachten, dass nur solche Blöcke und Subsysteme durch den System Generator in Hardware übersetzt werden, die aus den Xilinx Bibliotheken stammen. Alle anderen Simulink R -Blöcke können nur für die Simulation genutzt werden. Die Xilinx Blockbibliotheken enthalten über 90 Blöcke, die per drag-and-drop dem Design hinzugefügt werden können. Die meisten dieser Blöcke können mit verschiedenen Parametern konguriert werden. Durch Doppelklick auf einen ausgewählten Block können die Eigenschaften mit den jeweiligen Parametern betrachtet und bearbeitet werden. Im Anhang A werden einige Blöcke, die im Receiver- Entwurf voraussichtlich benutzt werden, näher erläutert. System Generator Token Jedes System Generator Modell benötigt wenigstens einen System Generator Token 20 Read-Only Memory 21 COordinate Rotation DIgital Computer IT-V10-8

168 Ebene Inhalt Basic Elements Grundlegende Design-Elemente, Multiplexer, Zähler und spezielle System Generator Elemente: die Black Box und die System Generator Funktion Communication Blöcke für Kommunikationssysteme (Kanalenkoder und -dekoder) Control Logic Bausteine zur Steuerung (z.b. Multiplexer) und Zustandsautomaten Data Types Datenkonvertierung sowie Extraktion und Verkettung von Bits DSP Blöcke zur digitalen Signalverarbeitung (z.b. digitale Filter) Index Alle Blöcke im Xilinx Blockset Math Mathematische Funktionen (z.b Multiplizierer und Inverter) Memory Blöcke für Speicherzugrie wie z.b. RAM und ROM 20 Shared Memory Implementierung für Shared-Memory-Zugrie Tools Tools für Debugging, Codegenerierung, Co-Simulation und Ressourcenschätzung Tabelle 2: Blöcke der Xilinx Blockset Bibliothek Ebene Communication Control Logic DSP Imaging Math Inhalt Blöcke für Kommunikationssysteme (z.b. Übertragungskanäle) Bausteine für Zustandsautomaten (Mealy-/Moore-Zustandsautomat) Blöcke zur digitalen Signalverarbeitung (komplexere Filter) Blöcke zur Bildverarbeitung Mathematische Funktionen (CORDIC 21 -Funktionen) Tabelle 3: Blöcke der Xilinx Reference Blockset Bibliothek Ebene ADC1 ADC2 DAC1 DAC2 External RAM LED Flasher Inhalt Analog Digital Umsetzer (ADC1-Eingang des Nallatech Boards) Analog Digital Umsetzer (ADC2-Eingang des Nallatech Boards) Digital Analog Umsetzer (DAC1-Ausgang des Nallatech Boards) Digital Analog Umsetzer (DAC2-Ausgang des Nallatech Boards) Verbindung mit dem externen SRAM-Speicher des Nallatech Boards Verwendung der zwei 3-farbigen LEDs des Nallatech Boards Tabelle 4: Blöcke der Xilinx XtremDSP Kit Bibliothek (oben links in Abb. 6), der unter Basic Elements der Xilinx Blockset Bibliothek zu nden ist. Dieser Block wird zwar mit keinem anderen verbunden, ist aber für die Generierung der Hardware nötig. Durch einen Doppelklick auf diesen Block kann der Ziel-FPGA, die Hardwarebeschreibungssprache des generierten Codes, Zeitbedingungen, sowie das Synthese-Programm speziziert werden. Gateways System Generator arbeitet mit allgemeinen Simulink R -Blöcken in einund derselben Umgebung. Um zwischen den Simulink R - und System Generator Modellen zu dierenzieren, erfolgt die Abgrenzung des FPGAs mit Gateway In- und Gateway Out-Blöcken. IT-V10-9

169 Fixed Point Binary Numbers Binary Point Integer Bits Fractional Bits 2 n m Unsigned UFix(n+m)_m -2 n-1 Abbildung 2 7: 1 Festkommazahl ohne 2-2 Vorzeichen. 2 -m Two s Complement Signed Der Gateway In Block konvertiert Flieÿkommazahlen in Festkommazahlen. Der Gateway Out konvertiert die FPGA-Ausgaben Fix(n+m)_m entsprechend in die Flieÿkommadarstellung zurück. Während der Hardware-Synthese werden Gateway In und Gateway Out in Eingangs- sowie Ausgangsports abgebildet. Die Anzahl der Bits in den Gateway- Eigenschaften muss groÿ genug gewählt werden, um sicherzustellen, dass Eingaben richtig von Simulink R zum Hardware-Entwurf übertragen werden. Es ist allerdings zu beachten, dass Simulink R -Blöcke innerhalb von Gateway In-/Out-Blöcken nicht unterstützt werden. Zahlendarstellung System Generator benutzt Festkommazahlen, weil diese besser im Hardwareentwurf realisierbar sind. Dabei kann die Wortbreite variabel eingestellt werden. Besonderes Augenmerk muss daher auf einen möglichen Überlauf (Overow) gerichtet werden. Der Festkommadatentyp wird durch UFix_(m+n)_n repräsentiert, wobei U für Unsigned 22 steht, (m+n) die gesamte Bitanzahl angibt und das Komma an der n- ten Bitstelle steht. Abbildung 7 zeigt den Aufbau des Festkommadatentyps. Sowohl vorzeichenlose Festkommazahlen als auch das Zweierkomplement (zur Darstellung negativer Binärzahlen) werden unterstützt. Ein Beispiel, wie Zahlen mit dem Festkommadatentyp dargestellt werden, zeigt Abb. 8. Die Addition von Festkommazahlen wird gewöhnlicherweise mit einfacher Logik realisiert, während für eine Multiplikation dedizierte Logikblöcke (DSP Slices) verwendet werden. MCode Eine typische Anwendung des MCode-Blocks (vgl. Anhang A) ist die Beschreibung von Zustandsautomaten (FSM 23 ). Das Beispiel in Abb. 9 zeigt, wie man eine FSM mit MATLAB R beschreiben kann. In diesem Beispiel ist der Übergang zwischen den Zuständen durch den Wert von In1 festgelegt. Jedem Zustand ist eine bestimmte Ausgabe zugeordnet, daher ist diese FSM ein Moore-Automat. Das folgende Listing zeigt den zugehörigen MATLAB R -Code: function [out1] = fsm(in1) 22 dt.: vorzeichenlos 23 Finite State Machines Persistent state, state= xl_state(0,{xlunsigned,2,0}); IT-V10-10

170 switch (state) case 0 if In1==1 state=1; out1=0; else state=0; out1=1; end case 1 if In1==0 state=0; out1=1; else state=1; out1=0; end otherwise state=0; out1=1; end Eine Zustandsvariable wird mit dem MATLAB R -Befehl dauerhaft (persistent) deklariert und muss mit dem Funktionsaufruf xl_state initialisiert werden. Das erste Argument der xl_state-funktion deniert den Anfangszustand (0 in diesem Beispiel), das zweite Argument deniert den Datentyp und die Anzahl der festen Bitstellen (NumofBits), die gebraucht werden um die FSM-Zustände repräsentieren. Es ist zu beachten, dass 2 NumofBits gröÿer oder gleich der Anzahl der Zustände der FSM sein muss. Fixed Point Binary Numbers Unsigned UFix4_ Signed Fix4_ Abbildung 8: Beispiel für den Wertebereich einer Fix_4_1 und einer UFix_4_1 Binärzahl. IT-V10-11

171 In1= 1 In1 = 0 S 0 1 S 1 0 In1 = 1 In1 = 0 Abbildung 9: Einfaches Beispiel eines Zustandsautomaten 2 Design Verikation (Simulink R Simulation) Nachdem das digitale System durch Verbinden der einzelnen Xilinx Komponenten aufgebaut worden ist, kann es innerhalb Simulink R simuliert werden, um die Funktion zu überprüfen. Danach kann ein HDL-Code des modellierten Systems generiert werden, um das System in Hardware zu realisieren. Für die Simulation in Simulink R werden Eingaben benötigt und die Ausgaben müssen erfasst werden. Dafür kann man die Standard-Simulink R -Blöcke wie die Quelle FromWorkspace, Senken wie ToWorkspace bzw. Scope benutzen (s. auch Abb. 6). In diesem Versuch wird ein ADC-Block (s. auch Tab. 4) der XstremeDSP Entwicklungsplattform als Eingang des Receivers benötigt, um die über das Koaxialkabel gesendeten Daten des Transmitters zu erfassen. Die Verikation des Entwurfs kann dadurch erreicht werden, indem die Ausgabe des Systems mit dem erwarteten Verhalten verglichen wird. Der Wavescope Block aus der Kategorie Tools ist für das Debuggen innerhalb des System Generators sehr hilfreich. Um den Block zu benutzen, muss dieser dem Modell hinzugefügt werden. Nach einem Doppelklick auf diesen, werden die zum Debuggen gewünschten Signale per drag-and-drop hinzugefügt. Nach dem Durchführen der Simulation durch Anklicken des Play-Buttons zeigt das Wavescope- Fenster neben dem Referenztakt den Verlauf der gewählten Signale über der Simulationszeit an. Abb. 10 zeigt ein Beispiel, in dem das Wavescope zur Analyse eines Delay-Blocks (L=4) benutzt wird. Nachdem Sie die Funktion des Entwurfs überprüft haben, können Sie den Resource Estimator Block aus der Kategorie Tools verwenden, um die belegten Ressourcen des Entwurfs in der Zielhardware zu ermitteln. Weiterhin kann dieses Tool vor dem Generieren der realen Hardware die beanspruchte Fläche des Entwurfes optimieren. Letzteres wird in diesem Praktikum jedoch nicht benötigt. 3 RTL-Code Generierung und 4 Hardware Co-Simulation Der nächste Schritt ist, den Entwurf in der realen Hardware zu testen. Um dies durchzuführen, muss dieser erst in HDL sowie in den zugehörigen Bitstream übersetzt werden. Dazu Abbildung 10: Eine Ausgabe im Wavescope-Fenster zum Debuggen des Systems IT-V10-12 In1= 0 In1=1

172 In1= 0 Abbildung 11: Verwendung des Hardware Co-Simulation-Blocks zur Simulation im FPGA 1 wählen Sie per Doppelklick das System Generator Symbol aus, HDL netlist als Compilation Mode, den Virtex-4 XC4VSX35 als Ziel und die FPGA-Taktperiode zu 25 ns. Zum Schluss klicken Sie auf die Schaltäche Generate. Es erscheint ein Fenster, das den Kompilations- und Synthesestatus anzeigt. Nach Beendigung dieses Prozesses können Sie die generierten Berichte bezüglich der belegten FPGA- Ressourcen und der maximal unterstützten Frequenz überprüfen. Des Weiteren erscheint ein Pop-Up Fenster mit einem grauen Block, der das Modell in Hardware repräsentiert (s. Abb. 11). Fügen Sie diesen Block per drag-and-drop in ihr Modell ein und verbinden Sie dessen Ein- und Ausgänge mit denen des Modells. Beachten Sie, dass alle Eingangssignale des Blocks zum FPGA, sowie alle Ausgaben des Blocks vom FPGA in die MATLAB R Simulink R -Umgebung weitergeleitet werden. Mit anderen Worten: Wenn dieser Block mit Eingaben angeregt wird und die Simulation aktiviert ist, ndet die Verarbeitung im FPGA statt. Überprüfen Sie zum Schluss die Ergebnisse des in Hardware simulierten Entwurfs, um sicherzustellen, dass dieser richtig funktioniert. S 0 In In IT-V10-13