Ausgleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate mit der a posteriori Schätzung der Gewichte

Transkript

1 Paper-ID: VGI Ausleichun nach der Methode der kleinsten Quadrate mit der a posteriori Schätzun der Gewichte Florijan Vodopivec 1, Dusan Kooj 2 1 University of Ljubljana, Faculty for Civil and Enineerin and Geodetic Enineerin, Jamova 2, SL Ljubljana, Slovenia 2 University of Ljubljana, Faculty for Civil and Enineerin and Geodetic Enineerin, Jamova 2, SL Ljubljana, Slovenia VGI Österreichische Zeitschrift für Vermessun und Geoinformation 85 (3), S BibT E Title = {Ausleichun nach der Methode der kleinsten Quadrate mit der a posteriori Sch{\a}tzun der Gewichte}, Author = {Vodopivec, Florijan and Kooj, Dusan}, Journal = {VGI -- {\O}sterreichische Zeitschrift f{\u}r Vermessun und Geoinformation}, Paes = { }, Number = {3}, Year = {1997}, Volume = {85} }

2 104.0 CR Republic in west-east direction are probably caused by different ways of considerin the vertical dynamics of the Earth's on the territory alon the common border. The fact that in this area the vertical dynamic is very stron is evidenced by Fis. 3 and 4. References Fi. 5: Heiht-differences (A ustrian minus Czech Trieste Datum) in mm An explanation of this discrepancies can be based on the followin facts: The heiht of point Lisov was determined in the last century with a rms-error of ± 42 mm and since that time it is used with its oriinal value. This could partly be the source of the differences of heiht levels. The discrepancies also can partly be explained by the fact that the heiht difference between the Austrian and the Slovenian networks (taken in the same sense Austrian Trieste Datum minus Slovenian Trieste Datum) reaches the averae value of about -100 mm. This difference is especially sinificant because both networks are territorially close to the reference heiht at Trieste. lncreasin values of heiht differences alon the common border of Austria and the Czech [1) Bretterbauer, K. (1 986): Das Höhenproblem der Geodäsie. ÖZNuPh, 74. Jahran, Heft 4, pp [2) Höerl, N. (1 986): Die Ausleichun des österreichischen Präzisionsnivellementnetzes. ÖZNuPh, 7 4. Jahran, Heft 4, pp [3) Höerl, N. (1 995): Contribution of Austria to the UELN 95. Report on the Symposium of the IAG Subcommission for the European Reference Frame (EUREF), Helsinki, Verla der Bayerischen Akademie der Wissenschaften, München, 1995, pp [4) Zeman, A. (1 988): General Trends of Normal Heiht Chanes in Czechoslovakia for a Period of Approximately 33 Ye ars. Journal of Geodynamics, 10, pp [5) Ze man, A Be ne, F. (1995): UELN Activities in the Czech Republic. Report on the Symposium of the IAG Subcommission for the European Reference Frame (EUREF), Helsinki, Verla der Bayerischen Akademie der Wissenschaften, München 1995, pp [6) Zeman, A. (1 996): Study on Some Relations Amon Different Heiht Systems in Central Europe. Report on the Symposium of the IAG Subcommission for the European Reference Frame (EUREF), Ankara, To be published. Anschrift der Verfasser: o.univ.-prof. Dr. Kurt Bretterbauer: Institut für Theoretische Geodäsie und Geophysik, TU Wien, Gußhausstraße 27-29, 1040 Wien, Austria Doc. Antonfn Zeman: Czech Technical University in Praue, Department of Advanced Geodesy, Thakurova 7, Praha 6 -Dejvice, Czech Republic. Ausleichun nach der Methode der kleinsten Quadrate mit der a posteriori Schätzun der Gewichte Florijan Vodopivec und Dusan Kooj, Ljubljana Zusammenfassun Die a posteriori-varianzenschätzun ist ein iterativer Process. Die Beobachtunen können sinnweise in Gruppen vereinit sein. Die annähernde Anfanswerte der Gruppenvarianzen sind ausewählt. Die neue Werte der Gruppenvarianzen, die eine Einansanabe für den neuen Ausleich darstellen, sind von der Erebnisse des Ausleiches kalkuliert. Der lterationsprozess konveriert zu den Erwartunswert der Gruppenvarianzen und der unbekannten Parameter. Vier Methoden sind auf praktischen Exemplären der trianulation-trilateration Netze etestet. Die Vorzüe und die Nachbarkeiten der einzelnen Methoden sind auf Grund der Testenerebnisse festestellt. Abstract The a posteriori determination of variances is an iterative process. In a loical sense, observations can be joint into roups. Approximate initial variance values of the roups are selected. New values of variances the roups are calculated on the basis of the adjustment's results, and represent entrance data for a new adjustment. The iterative process converes to the most probable values of unknown parameters and corrections of measured quantities. Four methods have been tested at practical examples of the trianulation trilateration nets. Based on the testin results, the advantaes and disadvantaes of each individual method were established. 202

3 1. Einleitun Bei der Ausleichun nach der Methode der kleinsten Quadrate sind die Genauikeitsverhältnisse den Beobachtunen im voraus zu bestimmen. Den Beobachtunen werden Gewichte zueordnet. Diese stellen die Zuverlässikeit der Meßresultate dar. Es wird vorausesetzt, daß die Korrelation zwischen den Beobachtunen nicht berücksichtit ist. In diesem Fall kann man auf relativ einfache Weise auf die Gewichte schließen, sofern die Varianzen der Beobachtunen bekannt sind. Gewöhnlich sind die Varianzen jedoch nicht bekannt und können nur eschätzt werden. Die Schätzun der Varianzen der Beobachtunen vor der Ausleichun wird Vorab Schätzun oder a priori-varianzenschätzun der Genauikeit enannt. Diese Methoden eben in den meisten Fällen kein richties Bild von der Genauikeit der Beobachtunen. Die Genauikeit der Beobachtunen kann auch auf Grundlae der Ausleichunsresultate eschätzt werden. Die Schätzun der Genauikeit nach der Ausleichun heißt a posteriori Varianzschätzun. Wenn das Verhältnis der Varianzen zwischen den Beobachtunen bekannt ist, stellt der mittlere Fehler der Gewichtseinheit nach der Ausleichun die Bestätiun oder Zurückweisun der a priori-genauikeit dar. Ein nicht entsprechend a priori bestimmtes Gewichtsverhältnis bewirkt eine Übertraun der Verbesserunen von einer auf die andere Meßart. Die Fole ist eine unobjektive Schätzun der Genauikeit der Beobachtunen und der Endresultate. Ein noch rößeres Problem ist, daß sich die Koordinatenwerte der neuen Punkte ändern. Dies bewirkt eine Deformation des Netzes. 2. Problemlösun Im linearen Ausleichunsmodell 1 + v = Ax (Gauß-Markov-Modell) werden mit Hilfe von Kovarianzmatrix der Beobachtunen LLL die unbekannten Parameter x und die Verbesserunen der Beobachtunen v eschätzt. Die nach der Methode der kleinsten Quadrate eschätzten Werte der unbekannten Parameter x sind nur dann die wahrscheinlichsten Werte, wenn die Kovarianzmatrix der Beobachtunen LLL bekannt ist. In diesem Fall ist auch die auf Grundlae der Verbesserunen v eschätzte Varianz der Beobachtunen minimal. Die Kovarianzmatrix beschreibt die stochastischen Eienschaften des Vektors der echten Verbesserunen i;; sie wird stochastisches Modell des Vektors der Beobachtunen enannt. Im Falle nicht korrelierter Beobachtunen ist dies eine Diaonalmatrix. Die Kovarianzmatrix ist im allemeinen nicht bekannt. Ihre Form muß also a priori eschätzt werden. Trotz Berücksichtiun aller Reeln und bei Anwendun der bewährten Methoden bleibt die a priori Schätzun LLL hypothetisch. Der loische We wäre also, neben den unbekannten Parametern x auch das Gewicht (Kofaktormartix) QLL als Unbekannte zu betrachten; hierbei versat das rechnerische Modell allerdins. Einen Auswe aus dieser Situation bieten Methoden, die leichzeiti mit der Schätzun der Parameter x auch eine a posteriori - Schätzun der Verhältnisse der Gewichte zwischen den emessenen Menen ermölichen (Erweiterte Methode der kleinsten Quadrate). Der Allemeinfall der Schätzun der Varianz und Kovarianz (QLL als volle Matrix) ist sehr komplex, deshalb sind die Methoden üblicherweise nur auf die Schätzun der Varianz der Beobachtunen beschränkt (QLL als Diaonalmatrix nicht korrelierter Beobachtunen). Eine noch häufiere Lösunsweise basiert auf der Gruppierun der Beobachtunen. A posteriori eschätzte Varianzen einzelner Gruppen eben neue Gruppenewichte, die die Grundlae für eine erneute Ausleichun bieten. Die Methoden der a posteriori- Varianzenschätzun sind also lterationsverfahren. 3. A posteriori Schätzun der Gewichte Für die Gewichte der Beobachtunen müssen deren Schätzunen p bestimmt werden. Die Gewichte p sind in der Reel nicht unmittelbar bestimmt, sondern aus der Schätzun der Varianz s hereleitet. Neben der in der Geodäsie bereits eineführten Verfahren beschreibt die Literatur auch zahlreiche andere Mölichkeiten. Eine davon ist die a posteriori - Varianzenschätzun. Wenn die Gewichte mit Hilfe statistischer Schätzunen bestimmt wurden, ist eine objektive Wahrscheinlichkeit des Ereinisses der einzelnen Werte p ewährleistet. Geeben ist eine Serie von Beobachtunen. Die Serie besteht aus t Gruppen, innerhalb welcher es nt Beobachtunen ibt. Man setzt voraus, daß innerhalb einer einzelnen Meßruppe dieselben Genauikeiten auftreten oder daß die Verhältnisse der Gewichte der Beobachtunen innerhalb einer einzelnen Gruppe bekannt sind. Auf Grundlae der Ausleichunsresultate kann die Varianzen der Beobachtunen feste- 203

4 stellt werden, somit können auch die Gewichte a posteriori bestimmt werden. Aus der Maximum Likelihood-Methode oder direkt aus der Methode der kleinsten Quadrate sind verschiedene Alorithmen zur a posteriori- Varianzenschätzun hereleitet. Bei allen sind die Varianzen der Gruppen q1 emeinsam bestimmt. Ausehend von den entsprechenden unefähren Werten erhalten wir mit jeder ( neue empirische Gruppenvarianzen q1,v (v-te ). Der lterationsprozeß wird abebrochen, wenn die Werte bestätit werden, wenn also der Einanswerte der Gruppenvarianzen leich ihrem Ausanswerte sind. Die Methoden der a posteriori-varianzschätzun werden in der Theorie der Entscheidun zu den Risikosituationen ezählt. Die Gewichte sind nach diesen Methoden mit objektiver Wahrscheinlichkeit eschätzt. Behandelt werden vier Methoden, benannt nach Autoren, die sie veröffentlichten. Bei allen vier Methoden dient das Gauß-Markov-Modell als funktionales Modell. Die Kovarianz-Matrix der nicht korrelierten Beobachtunen hat folende Form: l [q1,v 11 QLL,v = q;,v I; qt,v lt Auf Grundlae des bekannten Ausleichunsalorithmus und der a priori bestimmten Kofaktormatrix werden die wahrscheinlichsten Werte der unbekannten Parameter und die Verbesserunen der Beobachtunen errechnet: Nv = ATQLL,vA Xv = N1ATQLL, va Vv = ÄXv Methode nach Helmert Diese Methode ist auch als Methode der Ermittlun von Gruppenewichten bekannt. Sie ist aus der Methode der kleinsten Quadrate hereleitet. Der Alorithmus zur Berechnun penvarianzen hat die Form: {K; = N-1N-n. K. _ - ' 1 {n; - 2 tr(k;) + tr(k;kj) tr(k;ki) v;,v = {vtqt:l v};,v &+ 1 = {K- 1 v}v q;,v+1 = CT+ 1q;,v 204 i = i} i f j V der Grup Methode nach Kubik Die Varianzschätzun und die Schätzun der Unbekannten sind aus der Maximum-Likelihood-Methode hereleitet. Die Varianzen sind zusammen mit den übrien Unbekannten auf Grundlae der Meßresultate eschätzt. Die Autoren Kubik und Ebner haben folenden lterationsprozeß zur Schätzun nicht verzerrter Gruppenvarianzen ausearbeitet: {s; = vtv - n;q; + tr(a;w 1 ATHv {H;,j =-2vTA;W 1 ATvi-tr(ATA;W 1 ATAiW 1 ) + n;qfo;,i}v dpv = H;Sv q;,v+1 = q;,v (1 + dp;,vq;,vt Methode nach Ebner Diese Methode ist aus der Methode der kleinsten Quadrate entstanden und hat folenden Alorithmus: qi,v+1 = {vt v + tr(a;w1 Af )} nj V 3.4. Methode nach Förstner Die Methode eht von den Gleichunen nach Ebner aus, die zur Schätzun der Gruppenvarianzen der Beobachtunen führen. Der Alorithmus lautet: {Ow; = OLu - A;W 1 AT}v {vtv } qi,v+1 = 7.1 V {r; = tr(qvv 10LuHv 4. Testun der Methoden an praktischen Beispielen eodätischer Netze Alle vier Methoden wurden an vier Beispielen ebener eodätischer Trianultions-Trilaterations-Netze etestet. Aus den Ausleichunsresultaten wurden die Gruppenvarianz der beobachteten Richtunen und die Gruppenvarianz der emessenen Distanzen eschätzt. Diese Varianzen bilden die Grundlae für die Berechnun der Gruppenewichte in der neuen Ausleichun. Die vier Testnetze waren: - Netz Kubik Netz Borst 1991 (Entfernunsmesser Kern ME 5000, Theodolit Kern E2) - Netz Dobravica 1978 (Entfernunsmesser Kern ME 3000, Theodolit Kern E2) - Netz Dobravica 1991 (Entfernunsmesser Kern ME 3000, Theodolit Kern E2)

5 11 10 bl) i2 Netz Dobravica Fall 1 Gruppe der Richtunen.. : Kubik Ebner ::;: 0 l I 6 j 5. 3 :lj l : ::;: Netz Dobravica Fall 1 Gruppe der Distanzen Ebner Kubik Cl) i Netz Dobravica Fall 4 Gruppe der Richtunen Ebner 0 l r o tj :lj 5 J : 0 l 2 3 Netz Dobravica Fall 4 Gruppe der Distanzen Ebncr. Forstner c 1.1 eo.m 'l'l 0.9.i :lj Netz Borst Fall 4 Gruppe der Richtunen Helmert 0 l I J 0.5 Netz Borst Fall 4 Gruppe der Distanzen

6 4. 1. Einansparameter Die Beobachtunen wurden nach der Meßart in zwei Gruppen eineteilt, und zwar in die Gruppe der beobachteten Richtunen und in die Gruppe der emessenen Distanzen. Je nach dem benutzten Instrumentarium und der Beobachtunssmethode wurden für jedes Netz esondert die Anfanswerte der Gruppenewichte bestimmt - Fall P (Grundfall). Damit wurde die Kovarianz-Matrix der Beobachtunen bestimmt. Das funktionale und das stochastische Modell stellen die Einanswerte für den lterationsprozeß. Für den nächsten lterationsschritt bekommt man auf Grundlae der Schätzunen der Gruppenvarianzen aus den Ausleichunsresultaten neue Gruppenewichte und damit ein neues stochastisches Modell. Der lterationsprozeß endet, wenn das Konverenzkriterium erfüllt ist. Die Auswahl der eeinetsten Methode richtet sich nach: - dem Verlauf der Konverenz abhäni vom Anfanswert der Gruppenvarianzen, - der Invarianz des Endresultats des lterationsprozesses abhäni vom Anfanswert der Gruppenvarianzen, - der Anzahl der lterationsschritte, - der Computerzeit, die für die Berechnun nöti ist. Damit alle diese Eienschaften aus den Tests an praktischen Beispielen eodätischer Netze erkennbar werden, wurde das stochastische Grundmodell (Fall P) absichtlich noch zusätzlich verzerrt. - Fall P: die beiden Anfanswerte der Gruppenvarianzen werden auf Grundlae des anewandten Instrumentariums und der Arbeitsmethode eschätzt, - Fall 1: die beiden Gruppenvarianzen sind 100 mal rößer, - Fall 2: die Varianz der Gruppe der Richtunen ist 100 mal rößer, die Varianz der Gruppe der Distanzen ist 100 mal kleiner, - Fall 3: die beiden Gruppenvarianzen sind 100 mal kleiner, - Fall 4: die Varianz der Gruppe der Richtunen ist 100 mal kleiner, die Varianz der Gruppe der Distanzen ist 100 mal rößer. Es wurden 80 lterationsprozesse durcheführt. Gemessen wurde auch die Zeit, die für die Computerberechnun nach den einzelnen Methoden benötit wird. Es wurden zwei Krite- 206 rien für die Beendiun des lterationsprozesses ewählt: - das Teilkriterium der Unterbrechnun bezieht sich auf den Unterschied zwischen den Werten der Unbekannten in zwei aufeinanderfolenden lterationsschritten, - das Kriterium der Beendiun (Endkriterium) bezieht sich auf den Wert des mittleren Fehlers der Gewichtseinheit, der nahe enu an 1 sein muß Resultate Die ausewählten Graphen zeien die Werte der mittleren Fehler der Beobachtunsruppen im lterationsprozeß bis zur Erfüllun des Te ilkriteriums. Aus den Graphen ist der Unterschied in der Geschwindikeit und Form der Konverenz für die Berechnunsmethoden ersichtlich. 5. Schlußfolerunen Als Endresultat des lterationsprozesses erhält man die wahrscheinlichsten Werte der Unbekannten. Die Testresultate haben ezeit, daß im Falle ut ewählter Anfanswerte der Gruppenvarianzen alle Methoden zum selben Endresultat konverieren. Probleme treten auf, wenn die Beobachtunen innerhalb einer Gruppe unabhäni sind und die Anzahl der Beobachtunen in dieser Gruppe leich dem Ran des Netzes ist. Innerhalb der Gruppe ist eine eindeutie Lösun des mathematischen Modells mölich. Die Methoden konverieren zu unobjektiven werten der Gruppenvarianzen. In manchen Testfällen treten bei der Berechnun nach Helmerts Methode neative Gruppenvarianzen im lterationsprozeß auf, die Endresultate sind jedoch trotzdem die wahrscheinlichsten Gruppenvarianzen, ausenommen bei Fällen, in denen die Werte der Gruppenvarianzen - bewertet nach den übrien drei Methoden bei Erfüllun des Konverenzkriteriums - nicht objektiv sind. Das Endresultat der a posteriori-varianzenschätzun nach Helmert ist in diesen Fällen eine neative Gruppenvarianz einer der Beobachtunsruppen. Wir behaupten, daß die a posteriori-varianzenschätzun nach Helmert bezülich der Anfanswerte der Gruppenvarianzen immer dann invariant ist, wenn die Anfanswerte der Gruppenvarianzen in einem Intervall lieen, für welches ilt, daß die Schätzunen der mittleren Fehler der Beobachtunsruppen bei Erfüllun des Konverenzkriteriums reale Werte dar-

7 stellen. Für die übrien Methoden ilt diese Behauptun nicht. Für die Methode nach Kubik ilt, daß sehr ute Anfanswerte der Gruppenvarianzen nöti sind. Da die Berechun nach dieser Methode am kompliziertesten ist und die benötite Computerzeit deshalb lan ist, erweist sich diese Methode als die am wenisten eeinete. Für die übrien Methoden ilt, daß die Abhänikeit von den Anfanswerten, bei denen die zu den wahrscheinlichsten Werten der Gruppenvarianzen konveriert, wesentlich eriner ist. Es enüt bereits, daß wir die Varianzen der Beobachtunen auf Grundlae des anewandten Instrumentariums und der Beobachtunsmethode unefähr abschätzen. Die a posteriori-varianzenschätzun nach Ebner ist die einfachste. Die für einzelne sschritte benötite Zeit ist am kürzesten. Die Anzahl der lterationsschritte ist bei dieser Methode sehr abhäni von der Auswahl der Anfanswerte der Gruppenvarianzen und der Auswahl des Kriteriums der Unterbrechun des lterationsprozesses. Bei anspruchsvolleren Kriterien erhöht sich die Anzahl der lterationsschritte stark. Die Konverenzeschwindikeit ist bei dieser Methode am erinsten. Fralich ist die Auswahl des Konverenzkriteriums. Die Anzahl der nötien lterationsschritte für die Berechnun die Endwerte der Gruppenvarianzen ist bei Helmerts Methode und Förstners Methode am wenisten von der Größe der Anfanswerte der Gruppenvarianzen abhäni. Die Tests haben ezeit, daß die Anzahl nur vom Verhältnis der Anfanswerte abhänt. Sowohl hinsichtlich der für einzelne sschritte benötiten Zeit, als auch hinsichtlich der Konverenzeschwindikeit ibt es keine wesentlichen Unterschiede zwischen beiden Methoden. Die Anzahl der nötien sschritte ist im Verleich zu Ebners Methode eriner, bei streneren Unterbrechunskriterien soar wesentlich eriner. In den Testfällen war die für die Erfüllun des Endkriteriums benötite Computerzeit wesentlich kürzer (Faktor 0,2 bis 0, 7 im Verleich zu Ebners Methode). Durch die a posteriori-varianzenschätzun der Beobachtunen wird die Menenberechnun in eodätischen Netzen vereinfacht. Die Schätzun der Gewichte im Rahmen des anewandten mathematischen Modells stellt eine Ausweitun der bekannten Ausleichunsmethode der kleinsten Quadrate dar. Man erhält die wahrscheinlichsten Gewichtswerte und somit auch die wahrscheinlichsten Endresultate. Diitale photorammetrische Auswertestation D.V.P. von«! Möc:;hten Sie sehr preisünsti in die diitale Photorammetrie einsteien und trotzdem sehr effizient eine Auswertun durchführen oder rasch ein Orthophoto enerieren? Wir bieten eine komplette DVP-Station zum Verkauf an. Das Demo-System befindet sich in einem sehr uten Zustand und kann umehend eliefert und installiert werden. Hauptproramm für Orientierun und Datenerfassun Orthophoto-Modul Modul für 2D-Entzerrun Betrachtunsoptik Spieelstereoskop Komplette Hardware mit Pentium-Computer, 2 Bildschirmen und Diitizer Installation und Einschulun nach Vereinbarun; zuständi: Hr. DI Malle, Telefon: (01) ,.. fl Telefon: Für weitere Auskünfte kontaktieren Sie bitte: (01) ' I'!+3. I'!QS 111 Telefax: (01) A-1150 Wien Marzstraße 7- I: eo@ Literatur [1] Ebner H. : A-posteriori Varianzschätzunen für die Koordinaten unabhänier Modelle; ZN Nr. 4/1 972, [2] Förstner W.: Ein Verfahren zur Schätzun von Varianz- und Kovarianzkomponenten; AVN 11-12/1979 [3] Förstner W.: Konverenzbeschleuniun bei der a-posteriori Varianzschätzun; ZN Nr.4/1 979 [4] Kooj D.: lzbira najprimernejse metode a-posteriori ocene utezi merjenih kolicin eodetskih mrez. Disertation, Ljubljana, Februar [5] Kubik K.: The Estimation of the Weihts of Measured Quantities within the Method of Least Squares; Bulletin Geodesique, No.95/1970 [6] Link E Wa ldbauer G.: Erfahrunen mit der a-posteriori Schätzun von Varianzen und Kovarianzen photorametrischer Modellkoordinaten; ZN Nr. 5/1972 [7] Patzer H.: Geodätische Netze in Landes- und Inenieurvermessun II; Kontaktstudium 1985, Konrad Witter, Salzbur [8] Selle H.: Statistische Probleme bei der Ausleichun direkter, unabhänier, normalverteilter Beobachtunen mit eschätzten Gewichten; DGK- Reihe C: Dissertationen, Heft Nr. 213, München [9] Welsch W.: A-posteriori Varianzschätzun nach Helmert; AVN 2/1987 Anschrift der Autoren: Univ.-Prof. Dr. Florijan Vodopivec, Doc. Dr. Dusan Kooj, University of Ljubljana, Faculty for Civil and Enineerin and Geodetic Enineerin, Jamova 2, SL Ljubljana, Slovenia 207