Priority search queues: Loser trees

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1 Priority search queues: Loser trees Advanced Algorithms & Data Structures Lecture Theme 06 Tobias Lauer Summer Semester 2006

2 Recap Begriffe: Pennant, Top node Linien gestrichelt vs. durchgezogen Intro 2 2

3 Special cases of insertion 1. The tree is empty. (trivial) 2. The key of the inserted node is larger than all other keys in the tree. Exercise 1 3

4 Priority search pennant: example 1, , 3 5, 10 10, 1 3, 7 1, , , 5 16, , , , , 18

5 Deletion of a point with key x Again, we must ensure that search-tree condition, semi-heap condition, and split-key condition are still fulfilled after the deletion. Follow the search path for x until the end. On the way down, remember the node N containing x as its key the node S containing x as its split key If x is not contained in the tree, we are done. Otherwise, consider the last node E on the search path. Observe that E has at most one child (otherwise, we could proceed further down). The split key of E is either x itself or the symmetric predecessor of x. (The symmetric predecessor of x is the largest key in the tree that is smaller than x.) Exchange the split keys of E and S (if E S) and remove E from the tree (replace it by its child if it has one). 5

6 Deletion of a point with key x Walk back the search path until N. At each node C on the way up: If the priority of C is smaller than that in E, exchange the points in E and C (but leave the split keys). Note that this may flip the dominated subtree of C but never destroys the semi-heap condition! Continue by the same method up the tree. If we arrive at N, exchange the points of N and E. Now E can be completely deleted. 6

7 Example: delete(20) 1, , 3 5, 10 10, 1 3, 7 1, , , 5 16, , , , , 18 7

8 Example: delete(20) S 1, , 3 N 5, 10 10, 1 3, 7 1, , , 5 16, , , , , 18 E 8

9 Example: delete(20) S 1, , 3 N 5, 10 10, 1 3, 7 1, , , 5 16, , , , , 20 E

10 Example: delete(20) S 1, , 3 N 5, 10 10, 1 3, 7 1, , , , 20 E, , , ,

11 Example: delete(20) S 1, , 3 N 5, 10 10, 1 15, 5 20 E 3, 7 1, , , 16, , , ,

12 Example: delete(20) S 1, , 3 N 10, 20 E 5, 10 15, 5 1 3, 7 1, , , 16, , , ,

13 Example: delete(20) S 1, , N 20, 3 20 E 5, 10 15, 5 1 3, 7 1, , , 16, , , ,

14 Example: delete(20) 1, , 5, 10 15, 5 1 3, 7 1, , , 16, , , ,

15 Analysis of delete We require one complete walk down the search path. Find N, S and E Then we walk up the same search path again (until N) Swap points if necessary. Running time: If the tree is balanced: How can we keep a priority search pennant balanced? 15

16 Balancing We always leave the top node as it is and only balance the loser tree. The loser tree is a standard binary tree. Binary trees can be balanced with different schemes Information for balancing must be kept in the nodes, e.g. heightdifference of subtrees (AVL trees) weight(#nodes) of the subtree (BB[α] trees, IPR balancing) color (red-black trees) If the tree is out of balance after an insertion or deletion, the balance is restored by restructuring the tree using rotations. Rotations preserve the search-tree property! But what about the semi-heap property? 16

17 Rotation 7, 3 5, 6 5, 6 7, 3 t 3 t 1 t 1 t 2 t 2 t 3 Bad news: Rotation can destroy the semi-heap property! Good news: We can repair it! 17

18 1st case: x A s A and x B s B A 7, 3 2, 6 B 2, 6 7, 3 t 3 t 1 t 1 t 2 t 2 t 3 No repair needed! 18

19 2nd case: x A s A and x B > s B A 7, 3 7, 3 B 5, 6 5, 6 t 3 t 1 t 1 t 2 t 2 t 3 Swap! 1

20 3rd case: x A > s A and x B s B Case 3a y A y B 2, 6 A 10, 3 2, 6 B 10, 3 t 3 t 1 t 1 t 2 t 2 t 3 Case 3b y A > y B B 2, 3 A 10, 6 2, 3 10, 6 No repair needed! t 3 t 1 t 1 t 2 t 2 t 3 20

21 th case: x A > s A and x B > s B Case a y A y B B 7, 6 A 10, 3 10, 3 7, 6 Swap! t 3 t 1 t 1 t 2 t 2 t 3 Case b y A > y B B 7, 3 A 10, 6 t 3 t 1 7, 3 10, 6 No repair needed! t 1 t 2 t 2 t 3 21

22 Rotations Right rotation: Condition for swapping: x B > s B and y A y B Only one additional match is required Repair takes constant time! Left rotation: Symmetric condition Double rotations (left-right and right-left) Either: like two single rotations Or: Exercise 3 22

23 South-grounded range queries y top x left x right enumeraterectangle: Report all points of S inside the rectangle minxinrectangle: Find the leftmost point of S inside the rectangle maxxinrectangle: Find the rightmost point of S inside the rectangle minyinxrange: Find the bottommost point of S in a given x-range 23

24 MinXinRectangle Sei Min ein Zeiger auf den besten bisher gefundenen Knoten (zu Beginn setze Min auf einen Dummyknoten D mit x D = x max ). Beim Besuch von Knoten N: 1) Falls N der Suchbedingung genügt (x x N < x Min AND y N y), setze Min = N. 2) Besuche den linken Teilbaum, falls nötig, d.h. falls dieser existiert UND a) gültige x-werte enthalten kann: s N x UND b) gültige y-werte enthalten kann: y N y ODER N stammt aus seinem rechten Teilbaum (x N > s N ) 3) Besuche den rechten Teilbaum, falls nötig, d.h. falls dieser existiert UND d) gültige x-werte enthalten kann: s N < x Min UND e) gültige y-werte enthalten kann: y N y ODER N stammt aus seinem linken Teilbaum (x N s N ) Depth-first search (in preorder) with pruning 2

25 Analyse Definition: Ein bei minxinrectangle(x, x, y) inspizierter innerer Knoten N heißt potentiell verzweigend, wenn N bei seinem ersten Besuch alle der Bedingungen a-d erfüllt. N heißt (tatsächlich) verzweigend für minxinrectangle(x, x, y), wenn bei der Suche beide seiner Söhne inspiziert werden. Bemerkungen: (1) Für potentiell verzweigende Knoten N gilt immer y N y. (2) Jeder tatsächliche verzweigende Knoten ist auch potentiell verzweigend. (3) Umgekehrt muss jedoch nicht jeder potentiell verzweigende Knoten auch tatsächlich verzweigend sein. 25

26 Analyse Beobachtung 1: Wenn während minxinrectangle (x, x, y) im linken Teilbaum eines potentiell verzweigenden Knotens N ein neuer Knoten L mit y L y und x x L x Min gefunden wird, so ist N nicht tatsächlich verzweigend. Beobachtung 2: Für den Splitwert s N eines Knotens N, der bei einer Suchanfrage (x, x, y) potentiell verzweigend ist, gilt beim ersten Besuch von N: x s N < k Min. [Die Aussage ist die Zusammenfassung von (a) und (d).] 26

27 Verteilung verzweigender Knoten Lemma 1: Sei N ein verzweigender Knoten für minxinrectangle(x, x, y). Dann gibt es im rechten Teilbaum von N keine potentiell verzweigenden Knoten. Beweis: Da N verzweigend, ist x s N < x Min (s. Beobachtung 2). Annahme: R im rechten Teilbaum ist potentiell verzweigend, d.h. x s R < x Min x N s N x R s R x s N s R x Min 27

28 Beweis Lemma 1: Sei N ein verzweigender Knoten für minxinrectangle(x, x, y). Dann gibt es im rechten Teilbaum von N keine potentiell verzweigenden Knoten. 1. Fall: R stammt aus seinem linken Teilbaum (x R s R ) x N s N x R s R x s N x R s R x Min 28

29 Beweis Lemma 1: Sei N ein verzweigender Knoten für minxinrectangle(x, x, y). Dann gibt es im rechten Teilbaum von N keine potentiell verzweigenden Knoten. 2. Fall: R stammt aus seinem rechten Teilbaum (x R > s R ) x N s N x W x R s R x s N x W s R x Min x R 2

30 Verteilung verzweigender Knoten Lemma 2: Trifft man bei minxinrectangle (x, x, y) im linken Teilbaum eines potentiell verzweigenden Knotens N auf einen weiteren potentiell verzweigenden Knoten L, so ist N nicht tatsächlich verzweigend. Beweis: Da N potentiell verzweigend ist, gilt x s N < x Min. Sei L im linken Teilbaum potentiell verzweigend, d.h. x s L < x Min x N s N x W x L s L x L x s L x W s N x Min 30

31 Verzweigende Knoten Lemma 1: Sei N verzweigender Knoten für minxinrectangle(x, x, y). Dann gibt es im rechten Teilbaum von N keine potentiell verzweigenden Knoten. Lemma 2: Trifft man bei minxinrectangle(x, x, y) im linken Teilbaum eines potentiell verzweigenden Knotens N auf einen weiteren potentiell verzweigenden Knoten L, so ist N nicht tatsächlich verzweigend. Satz 1: Bei einer MinXinRectangle-Suche (x, x, y) in einem Priority Search Pennant gibt es höchstens einen verzweigenden Knoten. (Formaler Beweis per Induktion über den Suchpfad) 31

32 Ergebnis Satz 2: Die Laufzeit der Min-X-in-Rectangle-Suche in einem Priority Search Pennant P der Höhe h ist durch O(h) beschränkt. Genauer gilt: Es werden höchstens 2 (h 1)Knoten besucht. Ist P ein balancierter Priority Search Pennant mit n Elementen, so ist die Laufzeit der Min-X-in-Rectangle-Suche durch O(log n) beschränkt. Bemerkung: Priority Search Pennants sind also für die MinXinRectangle-Suche (asymptotisch) worst-case-optimal. (Denn schon die einfache Suche nach einem Schlüssel erfordert ja im worst case O(log n) Schritte.) 32

33 maxxinrectangle Andere Rechteckanfragen Analoger Beweis: O(log n) minyinxrange Ähnliche Argumentation über Verzweigung: O(log n) enumeraterectangle Beweis in Hinze (2001): O(r (log n log r +1)) wobei r die Anzahl der Punkte im Rechteck ist Bemerkung: Hier sind Priority Search Trees (McCreight, 185) besser: O(log n + r) 33

34 References R. Hinze. A simply implementation technique for priority search queues. In Proceedings of the International Conference on Functional Programming (ACM ICFP 01), pages Florence, Italy: ACM Press, E. M. McCreight. Priority search trees. In SIAM Journal on Computing, 1(2): May