Vorlesung Algorithmische Geometrie. Streckenschnitte. Martin Nöllenburg

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1 Vorlesung Algorithmische Geometrie LEHRSTUHL FÜR ALGORITHMIK I INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK FAKULTÄT FÜR INFORMATIK Martin Nöllenburg

2 Überlagern von Kartenebenen Beispiel: Gegeben zwei verschiedene Kartenebenen, bestimme deren Schnitt. + = Regionen sind Polygone Polygone sind Streckenmengen berechne alle Streckenschnittpunkte berechne induzierte Regionen Flächennutzung Niederschlag Kombination beider Themen

3 Problemstellung Geg: Ges: Def: Menge S = {s 1,..., s n } von Strecken in der Ebene alle Schnittpunkte von zwei oder mehr Strecken für jeden Schnittpunkt die beteiligten Strecken Strecken sind abgeschlossene Mengen Diskussion: Wie kann man das Problem naiv lösen? Ist das evtl. schon optimal? Seht ihr Verbesserungsansätze?

4 Das Sweep-Line Verfahren: Beispiel

5 Datenstrukturen 1.) Event Queue Q definiere p q def. y p > y q (y p = y q x p < x q ) l speichere Events sortiert nach in balanciertem binärem Suchbaum AVL-Baum, Rot-Schwarz-Baum,... Operationen insert, delete und nextevent in O(log Q ) Zeit p q 2.) Sweep-Line Status T l speichere von l geschnittene Strecken geordnet von links nach rechts benötigte Operationen insert, delete, findneighbor ebenfalls balancierter binärer Suchbaum mit Strecken in den Blättern!

6 Algorithmus FindIntersections(S) Input: Menge S von Strecken Output: Menge aller Schnittpunkte mit zugeh. Strecken Q ; T foreach s S do Q.insert(upperEndPoint(s)) Q.insert(lowerEndPoint(s)) Was passiert mit Duplikaten? while Q do p Q.nextEvent() Q.deleteEvent(p) handleevent(p) Hier versteckt sich der Kern des Algorithmus!

7 Algorithmus handleevent(p) U(p) Strecken mit p oberer Endpunkt L(p) Strecken mit p unterer Endpunkt C(p) Strecken mit p innerer Punkt if U(p) L(p) C(p) 2 then gebe p und U(p) L(p) C(p) aus entferne L(p) C(p) aus T füge U(p) C(p) in T ein if U(p) C(p) = then mit p in Q gespeichert Nachbarn in T Entfernen und Einfügen dreht C(p) um //s l und s r Nachbarn von p in T Q prüfe s l und s r auf Schnitt unterhalb p else //s und s linkeste und rechteste Strecke in U(p) C(p) Q prüfe s l und s auf Schnitt unterhalb p Q prüfe s r und s auf Schnitt unterhalb p

8 Was passiert genau? S s 6 s 4 s 5 s 1 p p s 3 T s 1 s 5 s 3 s 6 s 4 s 3 s 7 s 7 s 6 s 5 s 4 s 1 s 2 s 2 U(p) = {s 2 } L(p) = {s 4, s 5 } C(p) = {s 1, s 3 } Füge Event p = s 1 s 7 in Q ein s 6 s l s 3 s 6 s 3 s 2 s 1 s 1 s 7 s s s r

9 Korrektheit Lemma: Algorithmus FindIntersections findet alle Schnittpunkte und die beteiligten Strecken. Beweis: Induktion über die Reihenfolge der Events. Sei p ein Schnittpunkt und alle Schnittpunkte q p seien bereits korrekt berechnet. Fall 1: p ist Streckenendpunkt p wurde am Anfang in Q eingefügt U(p) an p gespeichert L(p) und C(p) in T vorhanden Fall 2: p ist kein Streckenendpunkt Überlege warum p in Q sein muss!

10 Laufzeitanalyse FindIntersections(S) Input: Menge S von Strecken Output: Menge aller Schnittpunkte mit zugeh. Strecken Q ; T O(1) foreach s S do Q.insert(upperEndPoint(s)) O(n log n) Q.insert(lowerEndPoint(s)) while Q do p Q.nextEvent() Q.deleteEvent(p) handleevent(p) O(log Q )?

11 Laufzeitanalyse handleevent(p) U(p) Strecken mit p oberer Endpunkt L(p) Strecken mit p unterer Endpunkt C(p) Strecken mit p innerer Punkt if U(p) L(p) C(p) 2 then gebe p und U(p) L(p) C(p) aus entferne L(p) C(p) aus T füge U(p) C(p) in T ein if U(p) C(p) = then //s l und s r Nachbarn von p in T Q prüfe s l und s r auf Schnitt unterhalb p else //s und s linkeste und rechteste Strecke in U(p) C(p) Q prüfe s l und s auf Schnitt unterhalb p Q prüfe s r und s auf Schnitt unterhalb p Lemma: Algorithmus FindIntersections hat eine Laufzeit von O(n log n + I log n), wobei I die Anzahl der Schnittpunkte ist.

12 Zusammenfassung Satz: Sei S eine Menge von n Strecken in der Ebene. Dann können alle Schnittpunkte in S zusammen mit den beteiligten Strecken in O((n + I) log n) Zeit und O(n) Platz ausgegeben werden. Beweis: Korrektheit Laufzeit Speicherplatz Überlege wie viel Platz die Datenstrukturen benötigen! T maximal n Elemente Q maximal O(n + I) Elemente Reduktion von Q auf O(n) Platz: s. Übung

13 Diskussion Ist der Sweep-Line Algorithmus immer besser als der naive? Nein, denn falls I Ω(n 2 ) hat der Algorithmus eine Laufzeit von O(n 2 log n). Geht es noch besser? Ja, in Θ(n log n + I) Zeit und Θ(n) Platz [Balaban, 1995]. Wie löst man damit das Kartenüberlagerungs-Problem? Unter Verwendung einer geeigneten Datenstruktur (doppelt-verkettete Kantenliste) für planare Graphen lässt sich in ebenfalls O((n + I) log n) Zeit die überlagerte Unterteilung der Karte berechnen. (Details s. Buch) Bonus: und dynamische Punktbeschriftung Dynamic One-Sided Boundary Labeling, N., Polishchuk, Sysikaski, 2010

14 Motivation Boundary (external) labels and leaders avoid conflicts and occlusions Label 5 Label 4 Label 3 Label 2 Label 1 But what about zooming?

15 Motivation Label 5 Label 4 Label 3 Label 2 But what about zooming? Label 1

16 Motivation Labels are too large Label 5 Label 4 Label 3 Label 2 Label 1

17 Motivation Label 5 Label 4 Label 3 Labels have unnecessary spacing Label 2 Label 1

18 Motivation Leader lengths not minimal Label 5 Label 4 Label 3 Label 2 Label 1

19 Motivation Label 5 Label 4 Label 3 Label 2 Label 1 Label stack not optimal

20 Motivation Optimal solution Label 5 Label 4 Label 3 Label 2 Label 1 Goal: dynamically maintain minimal leader lengths and optimal label stacks during zooming

21 Model Select rectangular viewport of given aspect ratio scale it by 1/z and display it on screen 1 z zoom viewport region z [1, ] is called zoom level

22 Label placement and zooming Objectives constant label size on screen labels grow linearly in z due to scaling with 1/z z = 1 1 z z = z

23 Label placement and zooming Objectives constant label size on screen labels grow linearly in z due to scaling with 1/z minimize total leader length it suffices to minimize vertical length

24 Label placement and zooming Objectives constant label size on screen labels grow linearly in z due to scaling with 1/z minimize total leader length optimal label placement as a function of z z 0 z 1 z

25 Label placement and zooming Objectives constant label size on screen labels grow linearly in z due to scaling with 1/z minimize total leader length optimal label placement as a function of z Two variants single-stack labeling clustered labeling

26 Dynamic clustering clusters form as z increases 5 clusters 3 clusters Individual clusters behaves like single stacks with median leaders 1 cluster zoom level z

27 Cluster merging Observation Two adjacent clusters collide when the distance between the two medians y j y i equals the height (j i) z of the labels between them. This is the intersection point of the lines y = y i iz and y = y j jz! y y 4 4z y 4 y 3 y 1 y 2 y 3 3z y 2 2z y 1 z z

28 Cluster merging Observation Two adjacent clusters collide when the distance between the two medians y j y i equals the height (j i) z of the labels between them. This is the intersection point of the lines y = y i iz and y = y j jz! y 4 y 3 y 1 y 2 y kurze Demo y 3 3z y 2 2z y 1 z y 4 4z z

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