TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

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1 Prof. Dr. D. Casrigiano Dr. M. Prähofer Zenralübung TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zenrum Mahemaik Mahemaik 3 für Physik (Analysis ) hp://www-hm.ma.um.de/ss/ph/ 49. Eine reguläre Kurve ha keinen Knick Sei G {(s, s ) : s R} R. Man beweise oder widerlege (a) Es gib eine seig differenzierbare Kurve, deren Spur G is. (b) Es gib eine reguläre Kurve, deren Spur G is. (c) G kann auf Bogenlänge paramerisier werden. Sommersemeser Lösungsbla 8 (9.6.) (a) f : R G, ( 3, 3 ) is seig differenzierbar, da f () (3, 3sgn() ) auch bei seig is. (b) Nein. AnnahmeEs gib eine reguläre Kurve f : I G. OBdA sei f() (, ). Nenne g() : f(), dann is f() (g(), g() ). Fall : g (). Dann is g() bei nich differenzierbar (Mielwersaz). Widerspruch zu seig differenzierbar. Begründung: oe sei g () >. Dann gib es ɛ > mi g() > für ], ɛ[ und g() < g() g() für ] ɛ, [. somi is lim g g() g() () und lim + g (). Fall : g (). Dann is g (). is singulärer Punk. Widerspruch zu regulär. (c) Für f : (, ) gil: f () (, sgn()) für.

2 5. Krümmung der Klohoide Die Krümmung κ() einer zweimal seig differenzierbaren regulären Kurve γ : R R 3 is gegeben durch γ() γ() κ() γ() 3. Man zeige: (a) Die Krümmung is invarian uner zweimal seig differenzierbaren Parameerransformaionen. (b) Eine Kurve, die einen Kreis mi Radius r > durchläuf, ha die Krümmung r. (c) Für die Klohoide gil κ(). γ() cos(s /)ds, sin(s /)ds, (a) Is : R R zweimal seig differenzierbar und γ γ, so gil Somi is κ(s) γ (s) γ (s) γ (s) 3 γ (s) γ((s)) (s), γ (s) γ((s))( (s)) + γ((s)) (s). γ((s)) γ((s)) ) γ((s)) 3 γ((s)) (s) ( γ((s))( (s)) + γ((s)) (s) ) γ((s)) (s) 3 κ((s)). (b) x() (r cos, r sin, ) beschreib einen Kreis mi Radius r >. ẋ() ( r sin, r cos, ), ẍ() ( r cos, r sin, ), ẋ() ẍ() (,, r sin, r cos ). Somi is κ() r r 3 r. (c) γ() cos( /), sin( /),, γ() ( sin( /), cos( /), ), γ() γ() (,, ). Also is κ().

3 5. Rekifizierbare Wege Is I R ein beliebiges Inervall und f : I R n eine Kurve, so heiß L(f) : sup L(f [a,b] ) R + { } [a,b] I die Bogenlänge von f. Is L(f) <, so is f rekifizierbar. (a) Is f seig differenzierbar, so is die Länge von f durch das uneigenliche Inegral L(f) f() d gegeben. (b) Sei f : R + C, f() e z. Für welche z C is f rekifizierbar? Man berechne L(f). I (a) (a, b) L(f [a,b] ) is monoon wachsend in b und monoon fallend in a, denn für b > b gib es zu jeder Zerlegung Z von [a, b] eine Zerlegung Z von [a, b ], die als lezes Segmen von b zu b läuf, ansonsen aber idenisch mi Z is. Somi is L(f, Z ) L(f, Z) und dami auch für das Supremum über alle Zerlegungen L(f [a,b ]) L(f [a,b] ). Is nun z.b. I ]c, d[, c d +, so gil (b) f () ze z z e Re z. Also is L(f) b d L(f) lim lim f() d f() d. a c b d a c z e Re z d { z Re z lim r [ere z ] r z Re z für Re z <, für Re z.

4 Hausaufgaben 5. Zurückgelege Wege (a) Herrchen und Hund sind m von einem Baum enfern. Herrchen geh mi 5km/h zu dem Baum. Gleichzeiig läuf sein Hund mi 5km/h zum Baum, dreh dor sofor um und läuf zurück zum Herrchen, dreh wieder zum Baum um, usw. Welche Srecke leg der Hund zurück? (b) Zwei parallele Plaen unendlicher Masse befinden sich im Absand m. Die eine Plae beweg sich mi 5cm/s auf die zweie, ruhende zu. Ein (punkförmiger) Ball schweb zu Beginn in der Mie zwischen den Plaen. Welchen Gesamweg leg der Ball bis zur Kollision der Plaen zurück, wenn er von den Plaen bei jedem Soß elasisch reflekier wird? Rechnen Sie nichrelaivisisch. (c) Is im relaivisischen Fall die Wegsrecke, die der Ball bezüglich des Bezugssysems der ruhenden Plae zurückleg, endlich oder unendlich? (a) 3m (b) Sei s n der Absand der Plaen bei der n-en Reflexion, n N, an der mi w.5[m/s] bewegen Plae, s. Sei v n die Geschwindigkei des Balls vor der n-en Reflexion an der bewegen Plae, also v n nw, n N. Dann is die Zei zwischen (n )-er und n-er Reflexion an der bewegen Plae n s n w + v n (spiegel man an der ruhenden Plae, so sare der Ball bei s n mi der Geschwindigkei v n und die bewege Plae bei +s n mi der Geschwindigkei w). Somi is ( s n s n n w s n ) n n + n + s n, d.h. s 3 s, s 3 5 s 5 s,..., also s n n+ s (Indukion!). Die vom Ball zurückgelege Gesamsrecke is also s + s + s + s ( ) s + s n n +. Die Kurve, die die Posiion des Balls in Abhängigkei von der Zei beschreib, is also nich rekifizierbar, der Ball leg in endlicher Zei eine unendlich große Srecke zurück. (c) Im relaivisischen Fall is die Geschwindigkei des Balls immer kleiner c. Da zwischen ersem Soß und Treffen der Plaen nur s vergehen leg der Ball höchsens die Srecke s c also ca. 6 Millionen Kilomeer zurück. Sie is also in jedem Fall endlich.

5 53. Rekifizierbar oder nich? Sei f : ], ] R, f(x) x α sin x und G f R der Graph von f. Man zeige: G f is genau dann rekifizierbar, wenn α > is. Hinweis: Zeigen und benuzen Sie b a + (a b) + a + b für a, b R. Es is b a b a (b a) + (b a) + b a + b + a wegen der Monoonie der Wurzelfunkion und (a, b) (a, b). Wir unersuchen das uneigenliche Bogenlängeninegral L + f (x) dx Für α > is nach dem Hinweis + (αx α sin x xα cos x ) dx. L ( + αx α sin x + xα cos x )dx + α + α + [ xα α ] + α + α <. x α dx + x α dx Nach Aufgabe 5 der Zenralübung is f also rekifizierbar. Für α wähl man die Zerlegung x n πn+ π, n,..., N +. Dann is f(x n ) x α n( ) n und dami L N (xn+ x n ) + (f(x n+ ) f(x n )) n N N für N Für < α gil, wenn man b a b a + (b a) benuz, n L y x (x α cos x αxα sin x )dx cos y y α dy C π α π π cos y dy n (n+ )π n (n )π n α C, x α cos x dx C cos y ((n + dy C )π)α wobei C αx α dx [x α ] + gewähl werden kann.

6 54. Zykloide Eine Zykloide enseh durch Überlagerung einer geradlinigen und einer kreisförmigen Bewegung mi gleichem Geschwindigkeisberag. γ : R R, γ() ( sin, cos ) is z.b. eine solche Zykloide. cos (a) Berechnen Sie die Bogenlänge von γ : γ [,π]. Hinweis: sin. (b) Paramerisieren Sie γ auf Bogenlänge. (c) Zeigen Sie, dass sich das in (, ) aufgehänge Zykloidenpendel mi Fadenlänge 4, dessen Faden sich an die Zykloide γ anschmieg, siehe Abbildung, wieder enlang einer (verschobenen) Zykloide beweg. Hinweis: sin sin cos. 3 3 (a) γ() ( cos, sin ), γ() cos sin. (b) l() Somi is L(γ ) π sin s ds [ 4 cos s ] 4 4 cos sin d [ 4 cos ]π 4 ( 4) 8. (s) : l (s) arccos( s 4 ). γ(s) γ((s)) für [, π]. Die Umkehrfunkion is ( ) (s) sin (s) cos (s) die naürliche Paramerisierung des Zykloidenbogens γ([, π]). (c) Aus Symmeriegründen genüg es, Auslenkungen des Pendels nach rechs zu berachen. Wir paramerisieren die Pendelposiion durch die Bogenlänge s, die der Faden enlang der begrenzenden Zykloide verläuf. Die Schnur lös sich also am Punk γ(s) von der Zykloide und verläuf weier angenial, also in Richung γ (s). Das Gewich befinde sich also bei x(s) γ(s) + (4 s) γ (s) γ((s)) + (4 s) γ((s)) (s). Sei nun x() x(l()). Mi (l()) l () x() ( ) sin + 4 l() cos l () ( + sin cos cos 4 cos ( π ) + erhäl man ( ) cos sin ) ( + sin cos sin ), ( ( π) sin( π) cos( π) sin cos + cos sin cos cos sin sin cos ) ( ) + sin cos also offenbar wieder ein nach unen und rechs verschobene Zykloide. sin

7 55. Keenlinie Eine in den Punken (±, ) R eingespanne Kee nimm im homogenen Schwerefeld die Form einer Keenlinie f : [, ] R, f(x) a (cosh(ax) cosh a) mi a > an. (a) Man berechne die Bogenlänge der Keenlinie und den Durchhang in Abhängigkei von a. (b) Wie sark häng eine Kee ungefähr durch, wenn sie nur einen Meer länger is, als die km breie Schluch, die sie überspann? (a) L(a) + f (x) dx + sinh (ax)dx cosh(ax)dx [ a sinh(ax)] a sinh a. Der Durchhang is f() a ( cosh a). (b) Besimm wurde L(a) a sinh a a (a + 6 a3 + a5 + ) + 3 a, wenn a. Es gil ungefähr a 3(L ). Is L.[km] so erhäl man a In der Ta ergib L(.55). und L(.54).97 (Taschenrechner). Da L(a) sreng monoon seigend is (L (a) 3 a + a3 + > für a > ), gil a [.54,.55]. Der maximale Durchhang is dann, bei x, also a ( cosh a) a ( a 4 a4 ) a, d.h. ungefähr 7m. Mi a [.54,.55] erhäl man die Schranken für den Durchhang d [7, 7.5] in Meern a