1.2. Kinematik. x(t ) x(t ) = oder auch in

Transkript

1 ... Die eradlini leichförmie Beweun.. Kinemaik Ein Körper bewe sich eradlini und leichförmi enlan der -Achse, wenn seine Geschwindikei (eloci) konsan bleib. Srecke Zeiabschni Orsänderun Zeiänderun Geschwindikeien werden in der SI-Einhei [] m s ( ) ( ) oder auch in Δ () Srecke Flächeninhal Δ Δ km h m 36 s 3,6 m s aneeben. Die Geschwindikeis-Zei-Gleichun laue () und das Geschwindikeis-Zei-Diaramm zei eine waareche Gerade. Δ Δ () + Geschwindikei Seiun Die zurückelee Srecke Δ ( ) ( ) is dann proporional zum benöien Zeiabschni Δ. Man kann sie als Flächeninhal Δ Δ im Geschwindikeis-Zei- Diaramm ablesen. Umekehr kann man die Geschwindikei als Seiun aus dem Or-Zei-Diaramm ablesen. Mi und dem Saror () erhäl man die Or-Zei-Gleichun () + und das Or-Zei-Diaramm zei eine Gerade mi Sarwer und Seiun. Übunen: Aufaben zur Kinemaik Nr Milere und momenane Geschwindikei /m Bewe sich ein Körper mi eränderlicher Geschwindikei, so is die milere Geschwindikei im Zeiabschni [ ; ] leich der Seiun der Sekanen durch die Punke ( ) und ( ) im Or-Zei- Diaramm: [ ; ] ( ) ( ) Möche man die momenane Geschwindikei in einem Zeipunk besimmen, so muss man den Absand Δ der beiden Punke immer weier errinern, bis sie schließlich aufeinander lieen. Anselle des Buchsaben Δ erwende man für unmessbar kleine Differenzen ein d und schreib () d d Solche unmessbar kleinen Differenzen heißen Differeniale und sind die Grundlae der Differenialrechnun. Graphisch erhäl man die momenane Geschwindikei aus dem Or-Zei-Diaramm als Seiun der Tanene. Übunen: Aufaben zur Kinemaik Nr. /m Δ 3 Δ /s () /s (3),

2 ..3. Die leichmäßi beschleunie Beweun Ein Körper bewe sich leichmäßi beschleuni enlan der -Achse, wenn seine Beschleuniun (acceleraion) a bleib. m Die SI-Einhei der Beschleuniun is [a]. s ( ) ( ) konsan () a a Die Geschwindikeis-Zei-Gleichun laue () a und das Geschwindikeis-Zei-Diaramm zei eine Gerade mi der Seiun a. Die insesam zurückelee Srecke kann man als Dreiecksfläche a a im Geschwindikeis-Zei-Diaramm ablesen. Man erhäl die Or-Zei-Gleichun () Diaramm zei eine Parabel. Übunen: Aufaben zur Kinemaik Nr. 6 a und das Or-Zei- () a Srecke Dreiecksfläche Δ a Δ a..4. Geschwindikeis-Zei-Diaramme zusammenesezer Beweunen Beispiel: Das Einparken eines Auos läss sich im Geschwindikeis-Zei-Diaramm erfolen: 4 s: Konsane Geschwindikei orwärs: in m/s m s 4 7 s: Gleichmäßie Verzöerun: a m / s m,6 3s s 7 9 s: Auo seh 9 s: Gleichmäßie Beschleuniun rückwärs: a 3 m / s m, s s 4 s: Konsane Geschwindikei rückwärs: - - in s -3 m s 4 7 s: Gleichmäßie Verzöerun a 3 m / s m 3s s Übunen: Aufaben zur Kinemaik Nr. 7

3 ... Besimmun des zurückeleen Wees durch raphische Ineraion Den zurückeleen We erhäl man durch aufsummieren (inerieren) der kleinen Orsänderunen d d. Als Smbol für diese Summe dien häufi das Ineralzeichen S: d d. Im --Diaramm erscheinen die Orsänderunen d d als schmale Rechecke, deren Flächeninhal man z.b. durch Abzählen der Raserkäschen besimm. d d Beispiel: d 3 in m 3 - in s Inerieren Flächen aufsummieren in m/s 4 3 in s Übunen: Aufaben zur Kinemaik Nr. 8 und 9 3

4 ..6. Besimmun der Geschwindikeien durch raphische Differeniaion Um umekehr aus dem --Diaramm das --Diaramm abzuleien, muss man die Tanenenseiunen d am -d Diaramm besimmen. Weil dabei das Verhälnis der Differeniale on Or und Zei jeweils zeichnerisch ermiel wird, sprich man auch on raphischer Differeniaion. Beispiel: in m Seiun in m/s: - Differeniaion Tanenenseiunen besimmen in m/s in s in min Übunen: Aufaben zur Kinemaik Nr. und..7. Gleichunen für zusammeneseze Beweunen () a + Mi Saror, Sareschwindikei und Beschleuniun a erhäl man die Or-Zei-Gleichun () a + +. und die Geschwindikeis-Zei-Gleichun () a +. a Vorzeichenbedeuunen: Saror > : ersez in posiie -Richun < : ersez in neaie -Richun Sareschwindikei > : in posiie -Richun < : in neaie -Richun Beschleuniun a > : in posiie -Richun a < : in neaie -Richun Verzöerun beschleuni: () a + + a unbeschleuni: () + Übunen: Aufaben zur Kinemaik Nr. und 3 4

5 ..8. Der Bremsoran () a + Ein Fahrzeu mi der Sareschwindikei > in posiie -Richun erzöer (brems) mi a <, bis es zum Sehen komm. Bremszei: Aus + a fol a Bremswe: Dreiecksfläche a a a Übunen: Aufaben zur Kinemaik Nr. 4 a. unebrems: () ebrems: () a Der freie Fall Ein Körper fäll aus der Höhe uner der in neaie -Richun wirkenden Fallbeschleuniun m/s. Fallzei: Aus + fol ± ( für Abwurf und + für Aufprall) Falleschwindikei: ( ) (+ für Aufsie und für Absie) () + () + Übunen: Aufaben zur Kinemaik Nr. und 6... Der senkreche Wurf Ein Körper wird mi Anfanseschwindikei in posiie -Richun eworfen, sei infole der Verzöerun durch die Fallbeschleuniun aber nur bis zur Höhe und kehr im freien Fall wieder zum Boden zurück. Seisrecke Gipfelzei Aus dem Geschwindikei-Zei-Diaramm erkenn man, das Aufsie und Absie smmerisch zueinander sind und dem freien Fall ensprechen. Die Fludauer is deshalb enau doppel so lan wie beim freien Fall und die Aufpralleschwindikei is umekehr leich der Abwurfeschwindikei: Fluzeibesimmun mi der Geschwindikei-Zei-Gleichun: Landezei Fallsrecke () + Aus + fol die Gipfelzei. Da die Seisrecke leich der Fallsrecke is, sind die beiden Dreiecke flächenleich und die Landezei is die doppele Gipfelzei. Fluzeibesimmun mi der mi der Or-Zei-Gleichun: Aus + ( ) fol Sarzei und () + Landezei. Die Fluhöhe fol aus der Dreiecksfläche im Geschwindikeis-Zei-Diaramm: Übunen: Aufaben zur Kinemaik Nr. 7 und 8.

6 ... Der schiefe Wurf Der schiefe Wurf is eine Überlaerun der eradlini-leichförmien Beweun mi Sareschwindikei in -Richun und des senkrechen Wurfes mi Sareschwindikei in -Richun. Häufi ib man den Bera der Sareschwindikei und den Neiunswinkel α zur Horizonalen an. Dann il im rechwinklien Dreieck + bzw. an(α) und cos(α) bzw. sin(α) Vom senkrechen Wurf in -Richun (..6.) kann man übernehmen Gipfelzei () Landezei Fallsrecke () + () eliminieren! Seisrecke () + Gipfelzei bzw. Fludauer doppele Gipfelzei und die. α / Bahnkure () + an(α) Fluhöhe Aus der eradlini leichförmien Beweun in -Richun (...) erib sich durch Einsezen der Fludauer die Fluweie Durch Auflösen on () nach und Einsezen in () + + erhäl man die Bahnkure oder Spur () + +. Of sez man noch die oben sehenden Beziehunen zum Neiunswinkel α ein: () cos( ) + an(α) + Übunen: Aufaben zur Kinemaik Nr. 9-6