Elektrizitätslehre. Kapitel 1 Grundbegriffe

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1 1/51 Elektrizitätslehre Kapitel 1 Grundbegriffe 1.1 Elektrischer Strom Ein elektrischer Strom stellt sich ein, wenn eine Leiterschleife geschlossen wird die eine Quelle (z.b. eine Batterie) enthält. Der Strom kann nicht direkt, sondern nur an seinen Wirkungen festgestellt werden. Als Wirkungen können folgende Phänomene aufgelistet werden, die in verschiedenen Zusammenstellungen auftreten können: Wärmeerzeugung (Entropiezuwachs) Entstehung eines magnetischen Felds Abstrahlung von elektromagnetischen Wellen Entstehung von Licht (bzw. elektromagnetischen Wellen) Beeinflussung von chemischen und biologischen Reaktionen Der Strom in der Leiterschleife hat eine eindeutige Richtung, die durch mpolen der Quelle geändert werden kann. Zur Messung der ntensität eines Stromes, der sogenannten Stromstärke, werden Geräte benutzt die eine der Wirkungen des Stromes erfassen, meistens die magnetische. Solche Geräte werden Strommessgeräte oder weniger treffend Ampèremeter genannt. Die Einheit der Stromstärke ist das Ampère (siehe Anhang 1). 1.2 Ladung Die elektrische Ladung ist immer an Materie, an sogenannte Ladungsträger, gebunden, d.h. sie kann als Eigenschaft der Materie betrachtet werden. Die elektrische Ladung ist also an Masse gebunden. Ladungsträger können Elementarpartikel, wie Elektronen oder Protonen, sowie onen d.h. ionisierte Atome oder Moleküle sein. Elektrisch geladene Körper ziehen sich an oder stossen sich ab. m dies modellmässig erklären zu können, wurde postuliert 1 : Die Ladung hat ein Vorzeichen. Ladung kann positiv oder negativ sein. Ladungsträger mit vorzeichenmässig gleicher Ladung stossen sich ab, solche mit vorzeichenmässig verschiedener Ladung ziehen sich an. Ladungstrennung Entnimmt man einem ungeladenen Körper z.b. Ladungsträger mit negativer Ladung, dann bleibt ein positiv geladener Körper zurück. Ein ungeladener Körper enthält gleichviel positive wie negative Ladung (Symmetrie). Positive und negative Ladung heben sich gegenseitig auf. Ladungserhaltung Als empirische 2 Tatsache gilt: Die elektrische Ladung bleibt erhalten. Sie kann also weder erzeugt noch vernichtet werden (analog zur Energie). Sie bleibt auch im Gegensatz zur Masse bei Geschwindigkeiten in der Nähe der Lichtgeschwindigkeit konstant: Die elektrische Ladung ist relativistisch 3 invariant. Die Ladungserhaltung ist lokal: m in einem beliebigen Raumgebiet die elektrische Ladung zu verändern, ist ein Ladungstransport durch die Gebietsgrenze notwendig. 1 Ein Postulat ist eine unbeweisbare Annahme. 2 auf Erfahrung beruhend 3 entsprechend der Relativitätstheorie Einsteins 28. September 2003, M. Schlup

2 2/51 Elementarladung Bis heute wurden keine kleineren Ladungseinheiten als die Elementarladung e beobachtet 4. e = As Beispiele: Ladung des Elektrons -e Ladung des Protons +e Positron (Antielektron) +e Antiproton -e > Alle Ladungen sind ganzzahlige Vielfache von e. 1.3 Leiter und Nichtleiter Wird ein Stromkreis aus verschiedenen Materialien gebildet, so ist die Stärke der Wirkung des Stromes verschieden, auch wenn die selbe Quelle verwendet wird. Das elektrische Leitungsverhalten von diversen Materialien kann in drei Kategorien eingeteilt werden: Leiter Stoffe bei denen starke Wirkungen entstehen, diese enthalten freie Ladungsträger in grosser Konzentration Metalle: freie Elektronen bis zu cm -3 (bei Kupfer z. B.) elektrolytische Lösungen: Anionen (negative onen) und Kationen (positive onen) Halbleiter Stoffe wie z.b. die Elemente Kohlenstoff (C), Silizium (Si), Germanium (Ge) oder Verbindungen wie Galiumarsenid (GaAs), ndiumantimonid (nsb), Zinkoxid (ZnO) die bei Raumtemperatur Wirkungen zeigen die um Grössenordnungen kleiner sind als bei Leitern, bei höheren Temperaturen jedoch, denen von Leitern nahe kommen können frei bewegliche Ladungsträger: Elektronen und Löcher mit Konzentrationen zwischen und cm -3 Nichtleiter oder solatoren Stoffe wie z.b. diverse Gase (O 2, N 2, CO 2, He, Ne, SF 6 ), Keramik, diverse Kunststoffe, reines Wasser, (trockenes) Holz bei denen keine oder nur sehr schwache Wirkungen beobachtet werden können 1.4 Ladung und Stromstärke Die Wirkung eines elektrischen Stromes, und damit auch sein Vorhandensein, wird immer dann festgestellt, wenn Ladung bewegt wird, bzw. sich Ladungsträger bewegen. Dabei spielt es keine Rolle, ob der Beobachter gegenüber der Ladung, oder die Ladung gegenüber dem Beobachter sich bewegt. Es kommt auf die relative Bewegung an 5! Zwei Beobachter die sich gegeneinander (mit ihren Messinstrumenten) bewegen, werden für dieselben Ladungsträger, verschiedene Stromstärken feststellen (messen). Zum Beispiel: Elektronen z. B. bewegen sich auf einer Flugbahn mit konstanter Geschwindigkeit. Ein ruhender Beobachter, stellt einen konstanten Strom fest und somit ein magnetisches Feld. Er stellt auch ein elektrisches Feld fest, da die bewegte Ladungswolke elektrisch nicht neutral ist. Ein zweiter Beobachter bewege sich mit den Ladungsträgern. Er stellt keinen Strom fest, somit auch kein Magnetfeld, sondern nur ein elektrostatisches Feld. 4 Zur Zeit rein hypothetisches Modell: "Quarks" als Bausteine der Atombausteine mit einer Ladung von einem Drittel der Elementarladung. 5 Die elektromagnetischen Phänomene sind relativistich (im Sinne der Relativitätstheorie Einsteins).

3 3/51 Technische Stromrichtung Anhand der Wirkungen des Stroms kann nicht auf die Art der Ladungsträger geschlossen werden, die am Ladungstransport beteiligt sind: Ob der Strom z. B. aus negativ geladenen Ladungsträgern besteht, die sich in eine Richtung bewegen, oder aus positiv geladenen Ladungsträgern, die sich in die Gegenrichtung bewegen. Aus diesem Grund wurde die positive Stromrichtung willkürlich wie folgt definiert: Die technische Stromrichtung oder konventionelle 6 Stromrichtung entspricht der Bewegungsrichtung der (positiven) Ladung. Sie deckt sich also mit der Richtung von positiv geladenen Ladungsträgern, bzw. sie ist der Richtung von negativ geladenen Ladungsträgern entgegengesetzt. n Metallen fliessen daher die Elektronen entgegen der technischen Stromrichtung. Stromstärke Die Menge der Ladung die pro Zeiteinheit durch eine orientierte Kontrollfläche (Querschnittfläche) eines Leiters fliesst, heisst Stromstärke in diesem Leiter. Die Kontrollfläche durch den Leiter kann willkürlich gelegt und orientiert 7 (ausgerichtet) werden. Diese Ausrichtung deckt sich mit der sogenannten Bezugsrichtung der Stromstärke. Je nach Orientierung der Kontrollfläche ist die betrachtete Ladungsmenge positiv oder negativ: Fliesst ein positiver Ladungsträger in Bezugsrichtung durch die Fläche, so wird seine Ladung positiv gezählt. Fliesst er gegen die Bezugsrichtung, dann negativ. Für negative Ladungsträger ist es gerade umgekehrt. Bei der mkehrung ihrer Bezugsrichtung ändert also die Stromstärke das Vorzeichen. Wird innerhalb der Zeitspanne (Zeitintervall) t=t 2 t 1 die Ladung Q durch die Bezugsfläche verschoben, so ergibt sich für die entsprechende Stromstärke : Q t Qt t Qt t = = ( ) ( ) Falls das Verhältnis Q/ t unabhängig von der Länge des Zeitintervalls und der Zeit ist, so ist die Stromstärke (zeitlich) konstant 8. Mann spricht dann von einem Gleichstrom (Englisch: DC, direct current). Schwankt aber das Verhältnis in der Zeit, so kann aus dem zeitlichen Verlauf der Ladung Q(t) durch die Bezugsfläche die sogenannte momentane Stromstärke i(t) wie folgt definiert werden: Q i(t) = lim = dq t 0 t dt i = dq dt Bemerkung: Die Stromstärke sagt nicht wie die Strömung im Leiterinnern aussieht. Sie wiedergibt ein mittleres Mass über den Leiterquerschnitt, so wie etwa im Fall eines Flusses, die Angabe 100 m 3 /s (die Wassermenge die pro Sekunde weiterfliesst) keinen Aufschluss darüber gibt, wo im Flussbett die Strömung am stärksten oder am schwächsten ist. 6 Konvention: Abmachung 7 Mit Orientierung versteht man die willkürlich gewählte Zählrichtung, d.h. die Richtung mit der positive Ladungsträger beim Durchqueren der Kontrollfläche zu einer Zunahme der betrachteten Ladung führt. 8 Zeitlich konstante Grössen werden im Allgemeinen durch grossgeschriebene Buchstaben gekennzeichnet, zeitlich veränderliche durch kleingeschriebene.

4 4/ Stromdichte Die in einem Leiter am Leitungsprozess beteiligten elektrischen Ladungsträger bewegen 9 sich unter dem Einfluss eines elektrischen Feldes 10. Diese "Strömung" kann durch die Menge der einzelnen von den elektrischen Ladungsträgern eingeschlagenen Bahnen (Trajektorien) veranschaulicht werden. Diese Trajektorien mit der Richtung der konventionellen Stromrichtung, werden Stromlinien genannt. Homogener Fall n einem linearen Leiter 11 wie in einem Draht z. B., soll ein zeitlich konstanter Strom der Stärke fliessen. Die Bezugsrichtung von soll dabei mit der technischen Stromrichtung übereinstimmen. Die Stromlinien sind alle parallel zur Längsrichtung des Leiters und aus Symmetriegründen gleichmässig über den gesamten Querschnitt des Drahtes verteilt. Die Stromstärke pro Flächeneinheit, die sogenannte Stromdichte J ist in diesem Fall homogen (gleichmässig verteilt), d. h. sie besitzt in jedem Punkt innerhalb des Leiters den selben Wert J = A Allgemeiner Fall Bei einer beliebigen Leiterform verlaufen die Stromlinien im Allgemeinen nicht parallel zueinander und die Geschwindigkeiten der Ladungsträger entlang ihrer Bahnen ist ebenfalls nicht konstant. Eine solche Situation kann nicht durch die Stromstärke im Leiter beschrieben werden, da diese lediglich einen mittleren Wert über dem ganzen Leiterquerschnitt darstellt. Dies kann mit der Stromdichte wie folgt beschrieben werden: Eine (beliebige) Leiterquerschnittfläche wird in kleine Flächenelemente A k unterteilt, wobei jedes einzelne Flächenelement A k senkrecht auf den Stromlinien steht. Durch diese Flächenelemente fliessen Teilströme der Stärke k. Die Summe dieser Teilströme ergibt die Gesamtstromstärke durch den Leiter. Für jede dieser Teilflächen lässt sich nun eine entsprechende Stromdichte J k bestimmen: J k = k lim A A 0 k Die Bezugsrichtung der Stromstärken k wird übereinstimmend mit der konventionellen Sromrichtung gewählt, damit die Stromdichten J k einen positiven Wert erhalten. Diese Stromdichten haben ausserdem alle eine Richtung senkrecht zu den Teilflächen A k, d. h. in Richtung der Stromlinien. Die Stromdichte hat also in jedem Punkt des Leiterinnern einen Betrag (J) und eine Richtung. Die Stromdichte kann daher in jedem Punkt im Leiter als Vektor J angegeben werden n der Materie können sich natürlich nur "freie Ladungsträger" bewegen, wie in Metallen z. B. die Valenzelektronen. Gebundene Ladungsträger, wie fest im Atomgitter verankerte Atome, nehmen nicht am Leitungsprozess teil. 10 Dieser Begriff wird später erläutert. Vorläufig, soll das elektrische Feld die lokale (am Ort wo sich die Ladung befindet) rsache für die Ladungsbewegung sein. Das elektrische Feld führt auf eine mittlere Bewegung der Ladungsträger: die sogenannte Driftgeschwindigkeit. Neben dieser, führen die Ladungsträger noch wesentlich schnellere, zufällige thermische Bewegungen aus, die aber keine ausgeprägte Richtung aufweisen und somit nicht am Leitungsprozess teilnehmen. 11 langer Leiter mit konstanter Querschnittfläche 12 Die Stromdichtevektoren im Leiterinnern bilden ein sogenanntes Vektorfeld. Die Feldlinien dieses Vektorfeldes entsprechen den Stromlinien.

5 5/51 Zusammenhang der Stromdichte mit der Geschwindigkeit der Ladungsträger Metallische Leiter besitzen eine Ladungsträgerdichte n (Anzahl freie Elektronen pro Volumeneinheit) die homogen ist und nicht von der Stromstärke abhängt. Jeder dieser Ladungsträger trägt die Ladung q = -e. Fliesst ein Strom in einem linearen Leiter, so bewegen sich alle freien Elektronen mit der mittleren Geschwindigkeit v entlang der Stromlinien. Diese mittlere Geschwindigkeit wird Driftgeschwindigkeit genannt. Sie kann als Vektor v dargestellt werden, da sie einen Betrag und eine Richtung aufweist. m Zeitintervall t verschieben sich die Ladungsträger im Leiter um die Strecke l = v t. Entsprechend verschiebt sich innerhalb dieser Zeit die Ladung Q = n Vol q = n l A q = n v t A q durch die Leiterquerschnittfläche A. Wird die Bezugsrichtung der Stromstärke mit der konventionellen Stromrichtung gleichgesetzt, so erhält man für die resultierende Stromstärke: Q n v t A q = = = e n v A t t Für den Betrag der Stromdichte ergibt sich demzufolge: J = A = e n v Die Beziehung kann vektoriell geschrieben werden, da J und v Vektoren sind. Bei negativen Ladungen wie bei Metallen (q = -e) sind die Vektoren v und J jedoch entgegengerichtet (antiparallel). J = e n v Allgemein, wenn positive und negative Ladungsträger am Strom beteiligt sind wie z. B. bei Halbleitern 13 oder Elektrolyten, schreibt man: J = q p n p v p + q n n n v n (q p > 0, q n < 0, v p ist v n entgegengerichtet, v p parallel zu J) Der ndex p steht für Ladungsträger mit positiver, n für solche mit negativer Ladung. Die Dichten der Ladungsträger n p und n n und deren Driftgeschwindigkeiten v p und v n sind für beide Arten im Allgemeinen verschieden. 13 Bei dotierten Halbleitern (durch gezielt dazugegebene "Verunreinigungen") ist meistens nur eine der beiden Ladungsträgerarten am Strom massgeblich beteiligt.

6 6/ Energie, Potential und Spannung Energie ist eine abstrakte Grösse die in sämtlichen physikalischen Prozessen vorkommt und mit der die Wechselwirkungen zwischen diesen Prozessen beschrieben werden können. Energie ist kein greifbarer Stoff, sondern ein Mass (Maß) das den "Wert" eines Prozesses wiedergibt. Dabei kann ein Prozess Energie "kosten", d. h. Energie binden oder im Gegensatz dazu, Energie "schenken", d. h. Energie freisetzen. Energie kann weder erzeugt noch vernichtet werden (Energieerhaltungssatz). Energie braucht einen Träger mit dem sie transportiert wird. m Falle der Elektrizität ist unter Anderem die Ladung (bzw. die Ladungsträger) Träger von Energie. Die Energie einer Ladung in einem (Raum-) Punkt ist proportional zu dieser Ladung 14. Falls also in einem bestimmten Punkt die Ladung Q die Energie W besitzt, so würde in diesem Punkt die Ladung 2Q die Energie 2W und die Ladung Q die Energie W besitzen 15. Die Ladung Q soll im Punkt P 1 die Energie W 1 und im Punkt P 2 die Energie W 2 besitzen. Verschiebt man diese Ladung vom Punkt P 1 zum Punkt P 2, wird dabei die Energie W = W 2 - W 1 umgesetzt 16 : Falls W 1 > W 2, bzw. bei W < 0, findet der Vorgang von selbst (spontan) statt, unter Freisetzung von Energie. Die Ladung gibt dabei Energie ab. Falls W 1 < W 2, bzw. bei W > 0, kann der Vorgang nur stattfinden unter Bindung von Energie an die Ladung. Energie muss dafür "von aussen" geliefert werden, z. B. in Form von mechanischer Arbeit. Besitzt die Ladung Q im Punkt P 1 mehr Energie als im Punkt P 2, so wird sie spontan von P 1 zu P 2 gehen. Die Ladung Q hingegen, wird umgekehrt spontan von P 2 nach P 1 gehen. Ladungen fliessen spontan zu dem für sie tieferen Energieniveau. Der Energieüberschuss wird dabei freigesetzt. Potential Bilden wir für jeden Punkt des Raums das Verhältnis zwischen der Energie und der dazugehörenden Ladung, so ergibt sich, wegen der Proportionalität zwischen Ladung und Energie, eine vom Vorzeichen und dem Betrag der Ladung unabhängige Grösse, das sogenannte elektrische Potential: 1 ϕ 1 := W Q 2 bzw. ϕ 2 := W Q Das Potential eines Punktes des Raums ist ein Mass für die Energie, die die Einheitsladung in diesem Punkt bezüglich einem Referenzpunkt besitzen würde. Das Potential hängt nicht von der Ladung ab, sondern ist eine Eigenschaft des Raums allein. Die Einheit des elektrischen Potentials ist [ ϕ]= J As = V (Volt) Das Potential ist ein Skalarfeld, d.h. jedem Punkt des Raums wird eine Zahl zugewiesen. > Das elektrische Verhalten 17 des Raums bezogen auf eine Ladung kann durch die Angabe des Potentials (in jedem Punkt) beschrieben werden. 14 Die Energie bezieht sich auf einen beliebigen aber festen Bezugspunkt mit Energiepegel Null. 15 Eine negative Energie bedeutet, dass der Energiepegel tiefer als der des Bezugspunkts liegt. 16 Änderung der Energie der Ladung: Energiemenge "nachher" minus Energiemenge "vorher". 17 Diese Aussage gilt für elektrostatische (konstante Felder, keine Ströme) und stationäre (konstante Felder und Gleichströme) Zustände.

7 7/51 Die Energie die zwischen den Punkten P 1 und P 2 durch die Verschiebung einer Ladung Q umgesetzt werden kann, lässt sich mit den Potentialen dieser Punkte wie folgt berechnen: ( ) W = W W = Q ϕ Q ϕ = Q ϕ ϕ W entspricht der Änderung der Energie der Ladung bei der Verschiebung vom Punkt P 1 zum Punkt P 2. Aus der Sicht des "aussenstehenden Betrachters" wird dabei die Energie - W umgesetzt: W = ( W W)= Q ϕ ϕ Spannung ( ) Die Potentialdifferenz zwischen den Punkten P 1 und P 2 heisst Spannung zwischen diesen Punkten. Definitionsgemäss, wird die Spannung vom Punkt mit dem höheren zum Punkt mit dem niedrigeren Potential positiv gerechnet. Dies führt auf folgende Beziehung: 12 = ϕ 1 ϕ 2 damit gilt auch: 21 = 12 Mit der Spannung lässt sich die durch eine Ladungsverschiebung zwischen zwei Punkten freigesetzte Energie bestimmen: W 12 = Q 12 st das Ergebnis positiv, so wird die Energie W 12 durch die Ladung freigesetzt, andernfalls gebunden. Bemerkungen: Das Potential eines Punktes lässt sich auch als Spannung zwischen diesem Punkt und einem (für alle Punkte des Raums gültigen) Referenzpunkt mit Potential Null interpretieren. Allgemein, lässt sich das Potential beliebig festlegen: Der Punkt mit Potential Null kann willkürlich gewählt werden. 1.7 Leistung Die Energie die durch Verschieben einer Ladung zwischen zwei Punkten umgesetzt wird, hängt nicht von der Geschwindigkeit ab mit der diese Verschiebung ausgeführt wird, sondern nur von der Spannung zwischen diesen Punkten. Als Mass für die ntensität mit der eine bestimmte Menge Energie zeitlich umgesetzt wird, kann der Energiestrom oder Leistung herangezogen werden. Wird also die Ladung Q in der Zeitspanne t "über die Spannung" verschoben, so wird dabei die Energie W = Q umgesetzt. Erfolgt die Verschiebung gleichmässig (mit Gleichstrom), so ist auch die Leistung (zeitlich) konstant: P = W t = Q t = Q t = P = Die Leistung die also in einem elektrischen Prozess zwischen zwei Punkten eines elektrischen Kreises umgesetzt wird, lässt sich berechnen als Produkt der Spannung zwischen diesen Punkten mit der Stromstärke im Kreis. Falls die Spannung und die Stromstärke sich zeitlich verändern, so ist auch die Leistung zeitabhängig. Für die momentane Leistung oder Momentanleistung p(t) gilt dann: dw w u q p = = lim = lim dt t 0 t t 0 t = u i pt () = ut () it ()

8 8/51 Anhang 1 Grössen und Einheiten A1.1 S-Einheiten Das Système nternational d'nités definiert die sieben Basiseinheiten: Meter für die Länge, Kilogramm für die Masse, Sekunde für die Zeit, Ampère für die Stromstärke, Kelvin für die Temperatur, Mol für die Stoffmenge und Candela für die Lichtstärke. Gebiet (Lehre von) Grundgrösse Grundeinheit Zeichen Geometrie (Raum) Länge Meter m Kinematik (Bewegung) + Zeit Sekunde s Dynamik (Trägheit, mpuls) + Masse Kilogramm kg Elektromagnetismus + elektrische Stromstärke Ampère A Tabelle: Basisgrössen und einheiten Definition der Stromstärkeeinheit Die Einheit Ampère wird über die Kraftwirkung pro Leiterlänge die zwischen zwei stromdurchflossenen, unendlich langen, parallelen Leitern im Abstand r wirkt. Die Kraft treibt die Leiter auseinander, wenn die Ströme in den Leitern entgegengesetzt fliessen. Falls die Stromstärke in beiden Leitern gleich gross ist, lautet der allgemeine formelmässige Zusammenhang wie folgt: F L = µ 0 2π 2 r wobei F Kraft in N (Newton) L Länge des Leiterabschnitts in m auf den die Kraft F wirkt Stromstärke in A in den Leitern r Leiterabstand in m µ 0 magnetische Feldkonstante, µ 0 = 4π 10-7 N A -2 Per Definition, fliesst in der Leitung eine Stromstärke von 1 A, wenn der Leiterabstand 1 m beträgt und die Kraft pro Meter Leiterlänge 0.2 µn beträgt. Die Realisiergenauigkeit (Reproduzierbarkeit mittels einer Stromwaage) dieser Definition liegt bei einigen Millionstel (10-6 ), was beim heutigen Entwicklungsstand der elektrischen Messinstrumente kaum mehr genügt. Es ist in den nächsten Jahren zu erwarten, dass eine neue Definition der Stromstärkeeinheit über Quanteneffekte (Josephson-Effekt > Referenzspannung, quantisierter Hall-Effekt > Hall-Widerstand) festgelegt wird. Die erreichbare Realisiergenauigkeit könnte damit um den Faktor 100 auf 10-8 verbessert werden. Aus der Definition der Stromstärke ergibt sich für die Einheit der elektrischen Ladung Q: [Q] = A s (Ampère-Sekunde), daraus die abgeleitete Einheit Coulomb: 1 As = 1 C

9 9/51 A1.2 esu-einheiten Dieser Abschnitt soll zur nformation dienen und ist nicht Teil des geprüften Stoffs. Neben den S-Einheiten existieren noch weitere Einheitensysteme für elektrische Grössen. Diese sollten eigentlich nicht mehr verwendet werden, sind aber in der älteren Literatur natürlich immer noch vorhanden. Gewisse Formeln die den selben physikalischen Sachverhalt beschreiben, sind je nach verwendetem Einheitensystem verschieden! Zum Verständnis älterer Werke es daher notwendig, sich mit diesen Systemen auseinanderzusetzen. Zum Beispiel wird das absolute elektrostatische System (e.s.u.: electrostatic units) in der Atomphysik aus praktischen Gründen Heute immer noch verwendet. Es basiert auf dem cgs-system mit den Grundeinheiten: Centimeter, Gramm und Sekunde. n diesem System wird die Ladungseinheit anstelle der Stromstärkeneinheit definiert. Die Definitionsgleichung für die absolute elektrostatische cgs-ladungseinheit (Kraftwirkung zwischen zwei Punktladungen Q 1 und Q 2 im Abstand r) lautet: F = Q 1 Q 2 r 2 wobei Kraft F in dyn (1 dyn = 1 g cm s -2 ) und r in cm N Bemerkung: Dieselbe Formel im S lautet: F = 10 7 A Q 1 Q 2 2 c2 r 2 mit c = 2, m/s (Lichtgeschwindigkeit im Vakuum) Die Ladungseinheit erhält keine eigene Einheit, sondern sie wird aus mechanischen Basiseinheiten definiert! Es ergibt sich somit: [ Q]= g 12 cm 32 s 1 statclb (Statcoulomb) Entsprechend für die Stromstärkeneinheit: []= g 12 cm 32 s 2 statclb s statampère mrechnung e.s.u. S: 1 C = 1 As 2, statclb

10 A1.3 Gleichungen Grössengleichung EL1-1 bis 4 10/51 Die Grössengleichung verknüpft physikalische Grössen miteinander, die jeweils aus Zahlenwert und Einheit bestehen. Die Grössen werden durch Symbole oder Formelzeichen dargestellt. Beispiel: = R verknüpft die Grössen, R und : Spannung = Widerstandswert mal Stromstärke 4 V = 2000 Ω 0,002 A (4 Volt = 2000 Ohm 0,002 Ampère) oder 4 V = 2 kω 2 ma (4 Volt = 2 Kilo-Ohm 2 Milli-Ampère) > Die symbolische Grössengleichung kann unabhängig von den verwendeten Einheiten angegeben werden. Einheitengleichung Setzt man die Einheiten der verknüpften Grössen in die Grössengleichung ein, so erhält man die sogenannte Einheitengleichung. m die Einheit einer physikalischen Grösse zu bezeichnen, verwendet man die eckigen Klammern: [] = Volt liest sich: Die Einheit der Spannung ist Volt Für das Beispiel oben: [] = [R] [] Einheit der Spannung = Einheit des Widerstandswertes R mal Einheit der Stromstärke V = Ω A bzw. V = kω ma Bemerkung: Auch wenn die Verwendung von eckigen Klammern zum Hervorheben von Einheiten (wie z.b. [A] oder [m/s]) weit verbreitet ist, ist dies dennoch falsch und unzweckmässig! Zahlenwertgleichung Setzt man nur die Zahlenwerte der Grössen in eine Gleichung ein, so erhält man die Zahlenwertgleichung. Für das Beispiel oben: 4 = ,002 bzw. 4 = 2 2 Wert der Spannung in V = Wert des Widerstandswertes R in Ω mal Wert der Stromstärke in A Wert der Spannung in V = Wert von R in kω mal Wert von in ma Beispiel mit Symbolen und Zahlenwerten: Die Zahlenwertgleichung ϑ = 18,5 th wobei ϑ Temperaturwert in C th Thermospannung in mv weitere mögliche Schreibweise für dieselbe Zahlenwertgleichung: ϑ C = 18,5 th mv lautet als Grössengleichung ϑ = 18,5 C/mV th

11 11/51 Kapitel 2 Zweipole 2.1 Passive Zweipole Zweipole und Kennlinien Ein elektrisches Bauteil mit zwei Anschlussklemmen wird Zweipol genannt 18. Dabei kann es sich um ein elementares Bauelement handeln wie z.b. einen Widerstand oder einen Kondensator, aber auch ein Bauteil wie eine ganze Schaltung von der zwei Anschlüsse betrachtet werden. Zwischen den Klemmen eines Zweipols liegt im allgemeinen eine elektrische Spannung die wir mit bezeichnen wollen. Wird dieser Zweipol z. B. an eine Quelle angeschlossen, so wird durch diese Klemmen auch ein Strom fliessen. Seine Stromstärke bezeichnen wir mit. nter der Annahme, dass sich im Zweipol keine Ladungen ansammeln 19, muss der an einer Klemme in den Zweipol hineinfliessende Strom gleich gross sein, wie der an der anderen Klemme wieder herausfliessende. > Ohne Einschränkung der Allgemeingültigkeit kann also festgelegt werden, dass an den beiden Klemmen eines Zweipols zu jedem Zeitpunkt die gleiche Stromstärke herrscht. Die Wahl der Bezugsrichtungen für Strom und Spannung ist willkürlich. Es ergeben sich insgesamt vier Möglichkeiten. Zwei davon sind den anderen zwei aber äquivalent, so, dass im Wesentlichen zwischen dem Verbraucherpfeilsystem, wo die Bezugsrichtung für den Energiefluss zum Zweiplol zeigt und dem Erzeugerpfeilsystem, wo die Bezugsrichtung vom Zweiplol weg zeigt (siehe Anhang 2). Das elektrische Verhalten eines Zweipols kann durch die Angabe des Zusammenhangs zwischen der Klemmenspannung und dem Klemmenstrom vollständig 20 beschrieben werden. Dieser Zusammenhang wird mit Kennlinie oder Charakteristik des Zweipols bezeichnet und kann durch eine Gleichung 21 (Zweipolgleichung) oder eine Graphik dargestellt werden. Ein Zweipol wird als passiv bezeichnet, wenn bei offenen Klemmen die Spannung Null ist und bei kurzgeschlossenen Klemmen kein Strom fliesst. n allen anderen Fällen wird der Zweipol aktiv 22 genannt. > Bei einem passiven Zweipol geht die Kennlinie durch den Koordinatenursprung (=0, =0). 18 Zweipole werden manchmal auch Eintore genannt. 19 Diese Annahme ist für technische Anwendungen immer erfüllt, auch für Bauelemente wie Kondensatoren. 20 Über die Verhältnisse im nneren des Zweipols kann aus dem Klemmenverhalten nichts ausgesagt werden. 21 Meistens eine mathematische Näherung der Kennlinie (mathematisches Modell). 22 Ein aktiver Zweipol kann aber auch passiv wirken d.h. Energie aufnehmen (z.b. Aufladen eines Akkus). m anderen Fall wirkt er aktiv.

12 12/ Widerstand und Leitwert Das Verhältnis zwischen Spannung und Stromstärke wird elektrischer Widerstand (Englisch: resistance) genannt und mit dem Symbol R bezeichnet. Das inverse Verhältnis ist der elektrische Leitwert (conductance) mit dem Symbol G. Widerstand 23 und Leitwert sind physikalische Eigenschaften eines Zweipols. Es gilt natürlich R = 1/G und umgekehrt. Einheit von R: [R] = V/A = Ω (Ohm) Einheit von G: [G] = A/V = Ω -1 = S (Siemens) Der einfachste Fall liegt vor, wenn zwischen Spannung und Strom Proportionalität herrscht. n diesem Fall sind Widerstand und Leitwert konstante Grössen. Ein passiver Zweipol bei dem die Beziehung zwischen Spannung und Stromstärke linear 24 ist, heisst linearer, passiver Zweipol (LPZP). -Kennlinie eines LPZP im Verbraucherpfeilsystem Ein passiver Zweipol bei dem die Beziehung zwischen Spannung und Strom nichtlinear ist, heisst nichtlinearer, passiver Zweipol (NPZP). Bei einem NPZP hängt der Widerstand bzw. der Leitwert von der Spannung oder der Stromstärke ab. r -Kennlinie eines NPZP im Verbraucherpfeilsystem Bei einem NPZP wird ausserdem unterschieden zwischen dem sogenannten statischen Widerstand R s (bzw. Leitwert G s ) und den differentiellen Widerstand r (bzw. Leitwert g). Der statische Widerstand entspricht der Steigung der Sekante vom rsprung zum betrachteten Punkt der Kennlinie, der differentielle der Steigung der Kennlinie in diesem Punkt (siehe Kennlinie oben). Rs 23 Der gleiche Begriff wird auch zur Bezeichnung des Bauelements Widerstand (resistor) verwendet. 24 Die Proportionalität ist ein linearer Zusammenhang.

13 2.1.3 Leitfähigkeit, spezifischer Widerstand EL1-1 bis 4 13/51 Es zeigt sich, dass der Widerstand eines Metalldrahtes z.b., nicht nur von Material abhängt, sondern auch von der Geometrie des Leiters. Es wäre nützlich herauszufinden wie der Widerstandswert vom Material und von der Geometrie abhängt. Ein langer 25 Leiter mit konstanter Querschnittfläche nennen wir linearer Leiter. Es zeigt sich, dass der Widerstand eines linearen Leiters proportional zu seiner Länge L und sein Leitwert proportional 26 zu seiner Querschnittfläche A ist. Daher: mit R L und G A R 1 A wird R L A bzw. G A L Durch Einführen einer materialabhängigen Proportionalitätskonstante kann geschrieben werden: R L A =ρ bzw. G =γ A L ρ spezifischer Widerstand (Symbol: Rho) Einheit: [ ρ] = Ω m (S) oder [ρ] =Ω mm2 m (Praxis) γ Leitfähigkeit oder spezifischer Leitwert (Symbol: Gamma 27 ), es gilt: γ=1/ρ m Einheit: [γ] =Ω 1 m 1 (S) oder [γ] = Ω mm (Praxis) Temperaturabhängigkeit der Leitfähigkeit Die Leitfähigkeit von Metallen und Halbleitern ist temperaturabhängig. Mit zunehmender Temperatur nimmt die Leitfähigkeit bei Metallen im Allgemeinen ab 28 und bei Halbleitern zu 29. Dies lässt sich vereinfacht durch folgende, in ihrer Wirkung entgegengesetzte Effekte erklären: 1. Mit zunehmender Temperatur nehmen auch die Gitterbewegungen der Atome zu. Dabei nimmt die mittlere Zeitspanne 30 zwischen den "Kollisionen" der Ladungsträger mit dem Atomgitter ab und somit auch deren Driftgeschwindigkeit. Dieser Effekt ist bei Metallen und Halbleitern vorhanden und sorgt für eine Abnahme der Leitfähigkeit. 2. Mit zunehmender Temperatur werden mehr Ladungsträger für den Ladungstransport zur Verfügung gestellt, insbesondere bei Halbleitern durch Bildung von zusätzlichen Elektron-Löcher-Paaren. Damit erhöht sich die Ladungsträgerdichte. Dieser Effekt überwiegt bei Halbleitern, so dass ihre Leitfähigkeit mit der Temperatur zunimmt. 25 Bezogen auf seinen Durchmesser. 26 Das Symbol bedeutet proportional zu. 27 n der angelsächsischen Literatur wird meistens das Symbol σ (Sigma) für die Leitfähigkeit (conductivity) verwendet. 28 Metalle zeigen Kaltleiter-Verhalten. 29 Halbleiter zeigen Heissleiter-Verhalten. 30 Diese Zeit wird Relaxationszeit genannt.

14 14/51 n der Praxis wird üblicherweise nicht die Temperaturabhängigkeit der Leitfähigkeit angegeben, sondern die des spezifischen Widerstands. Für einen beschränkten Temperaturbereich kann die Temperaturabhängigkeit des spezifischen Widerstands wie folgt angenähert werden: ( ) lineare Approximation ρ = ρ + ϑ α ϑ quadratische Approximation ρ = ρ 1 + α ϑ+ β ϑ Dabei sind ρ 20 ρ ϑ ϑ 2 ( ) spez. Widerstand bei der Bezugstemperatur 20 C spez. Widerstand bei der Temperatur ϑ, [ ϑ ] = C ϑ = ϑ 20 C α 20 Temperaturkoeffizient, [ α 20 ] = C -1 oder K -1 β 20 quadratischer Temperaturkoeffizient, [β 20 ] = C -2 oder K -2 Material Ag Cu Au Al W Fe Manganin 31 Kohle γ 20 in m Ω -1 mm -2 62, ,3 0,02 0,03 α 20 in 10-3 C -1 3,80 3,92 4,00 3,77 4,10 6,00 ±0,020-0,8-2,0 Temp. Bereich C C - - Tabelle: Leitfähigkeiten und Temperaturkoeffizienten verschiedener Stoffe Für Elementarhalbleiter (Si, Ge) kann im Temperaturbereich zwischen 200 K und 500 K folgende Formel für die Temperaturabhängigkeit der Leitfähigkeit angegeben werden: γ( T) = C e E a kt E a k Anregungsenergie (0,5 ev bis 1 ev) Boltzmann-Konstante, k = 8, evk -1 T Temperatur in K C Materialkonstante, [C = [γ] Supraleitung Bei gewissen reinen Metallen 32 (Al, Hg, Pb, Nb), Legierungen (NbN, NbAlGe), Kupferoxiden (z.b. LaBaCuO) und Keramiken (z.b. YBaCuO) sinkt der spezifische Widerstand bei der sogenannten Sprungtemperatur auf einen unmessbar kleinen Wert ab. Die Sprungtemperatur ist in der Regel nur wenig oberhalb des absoluten Temperaturnullpunktes. Den Rekord für die bis jetzt höchste Sprungtemperatur hält zur Zeit ein Quecksilber-Barium-Calcium-Cuprat (Schilling, 1993) mit einem Wert von 133,5 K (Nullwiderstand unterhalb 95 K). Da der Schmelzpunkt von flüssigem Stickstoff (N 2 ) unterhalb 90 K liegt, wäre eine wirtschaftliche Kühlung des supraleitenden Materials möglich. Eine breite technische Anwendung in den Gebieten Energieumwandlung, -transport und -speicherung, sowie Motor- und Generatorenbau ist im heutigen Stand der Technik noch nicht möglich, da der supraleitende Effekt beim Vorhandensein starker Stromdichten verschwindet. Darüber hinaus sind die Formgebung und die mechanische Verarbeitung der supraleitenden Materialien mit hohen Sprungtemperaturen wegen ihrer Sprödheit problematisch. 31 Manganin ist eine Legierung bestehend aus 84 % Cu, 4 % Ni und 12 % Mn 32 Reines Kupfer (Cu) wird nicht supraleitend.

15 15/ Das ohmsche Gesetz Bei Metallen und Halbleitern ist bei konstant gehaltener Temperatur der Widerstand bzw. der Leitwert unabhängig von der Stromstärke. Das Verhältnis / ist also konstant. Dieser Zusammenhang wurde von G. F. Ohm in 1826 entdeckt und wird entsprechend ohmsches Gesetz genannt. = konstan t > R = konstant 33, bzw. G = konstant Dieses Verhalten ist nicht selbstverständlich, da der Leitungsprozess ein sehr komplizierter Vorgang ist: Die freien Elektronen werden durch das elektrische Feld im Leiter beschleunigt aber durch "Kollisionen" untereinander und mit dem festen Atomgitter immer wieder abgebremst. Ein konstanter Widerstand bedeutet unter diesen mständen, dass, um den Strom, bzw. die Stromdichte zu verdoppeln, die elektrische Feldstärke 34 verdoppelt werden muss. Bei einem Automobil z.b. kann mit einem doppelten Motordrehmoment nicht eine doppelt so hohe Geschwindigkeit erreicht werden. 33 Die Beziehung = R gilt auch für nicht-konstante Widerstandswerte. Sie wiedergibt also nicht das Ohmsche Gesetz! 34 Genau genommen ist die Leitfähigkeit, bzw. der spezifische Widerstand unabhängig von der Stromdichte im Material. rsache für die Stromdichte ist die sogenannte elektrische Feldstärke. Als Mass für letztere Grösse kann hier die Spannung betrachtet werden.

16 16/ Aktive Zweipole deale Quellen deale Spannungsquelle Eine ideale Spannungsquelle liefert eine vom Klemmenstrom unabhängige Klemmenspannung. Dies gilt auch für den Fall wo die Quelle passiv wirkt, bzw. Energie aufnehmen muss (gestrichelter Teil der - Kennlinie) 35. Schaltsymbol -Kennlinie (Erzeugerpfeilsystem) q q =q deale Stromquelle Eine ideale Stromquelle liefert einen von der Klemmenspannung unabhängigen Klemmenstrom. Dies gilt auch für den Fall wo die Quelle passiv wirkt, d.h. Energie aufnehmen muss (gestrichelter Teil der - Kennlinie). Schaltsymbol -Kennlinie (Erzeugerpfeilsystem) q =q q Lineare Quellen m Gegensatz zu idealen Quellen, verringert sich bei nichtidealen Quellen die Klemmenspannung mit der Belastung. Die bei unbelasteter Quelle vorhandene Klemmenspannung heisst Leerlaufspannung ( 0 ). Wirkt die Quelle aktiv, so ist ihre Klemmenspannung kleiner als die Leerlaufspannung. st der Spannungsabfall bezogen auf die Leerlaufspannung proportional zum Klemmenstrom, so spricht man von einer linearen Quelle 36. Theoretisch kann eine lineare Quelle belastet werden bis ihre Klemmenspannung den Wert Null erreicht. Der in diesem Fall fliessende Strom heisst Kurzschlussstrom ( c ). Offensichtlich ist die Kennlinie einer linearen Quelle eine Gerade zwischen den Punkten (= 0, =0) und (=0, = c ). > Leerlaufspannung und Kurzschlusstrom beschreiben das elektrische Verhalten einer linearen Quelle vollständig. Das Verhalten einer linearen Quelle kann durch die Serieschaltung einer idealen Spannungsquelle mit der Quellenspannung qe = 0 und eines nnenwiderstandes mit dem Widerstandswert R ie = 0 / c 35 Praktisch können ideale Quellen mit elektronischen Mitteln realisiert werden (Stabilisierschaltung). Sie können aber im Allgemeinen nicht passiv betrieben werden. 36 Der Zusammenhang zwischen Klemmenspannung und Klemmenstrom ist aber keine lineare Funktion.

17 nachgebildet werden (Spannungsquellenersatzschaltung 37 ). An diesem Widerstand entsteht ein dem Quellenstrom proportionalen Spannungsverlust. 0 17/51 R (Lastwiderstandskennlinie im Verbraucherpfeilsystem) Rie=0/c 0 i<0 resultierende Quellenkennlinie im Erzeugerpfeilsystem c qe=0 i R Rie (nnenwidersandskennlinie im Erzeugerpfeilsystem) Für die Kennliniengleichung der linearen Spannungsquelle ergibt sich: = qe - R ie oder = ( qe - )/R ie Die genau gleiche Kennlinie kann auch durch die Parallelschaltung einer idealen Stromquelle mit dem Quellenstrom qe = c und eines nnenwiderstandes mit dem Leitwert G ie = c / 0 nachgebildet werden (Stromquellenersatzschaltung). Durch diesen Widerstand fliesst ein der Quellenspannung proportionaler "Verluststrom". qe=c i Gie = c/0 R Für die Kennliniengleichung der linearen Stromquelle ergibt sich: = qe - G ie oder = ( qe - )/G ie Diese Gleichungen sind denjenigen der Spannungsquelle identisch, da qe = qe /R ie und G ie = 1/R ie. Welche der beiden Ersatzschaltungen verwendet wird, ist für die Beschreibung der Kennlinie belanglos. Die Quellenersatzschaltungen beschreiben nur das elektrische Verhalten der linearen Quelle an den Klemmen (d.h. die Kennlinie) und nicht den inneren Aufbau des Zweipols! 37 Der ndex "e" bei qe und Rie (bzw. qe und Gie) soll für Ersatz stehen.

18 18/ Elementare Schaltungen Belastete ideale Spannungsquelle Wird ein Lastwiderstand R an eine ideale Spannungsquelle geschaltet, so stellt sich darin der Strom a = q /R ein. Das sich einstellende Wertepaar ( a, a ) wird Arbeitspunkt genannt. =a Lastgerade R q P =a R q Arbeitspunkt (a,a) Die Bezugsrichtungen von, und P entsprechen dem Erzeugerpfeilsystem für die Quelle und dem Verbraucherpfeilsystem für den Lastwiderstand. Dadurch können die Kennlinien der beiden Komponenten in einer einzigen Graphik eingetragen werden. Der Arbeitspunkt liegt in ihrem Kreuzungspunkt. Die Quelle wirkt dabei aktiv, der Widerstand passiv. Für eine ideale Stromquelle ergibt sich ein analoges 38 Ergebnis Belastete lineare Quelle Wird ein Lastwiderstand R an eine lineare Spannungsquelle geschaltet, so stellt sich darin der Strom a = q /(R i +R) und die Spannung a = R a = q R/(R i +R) ein. q Ri =a a R q =a R a c=q/ri Bei einer linearen Stromquelle die mit dem Leitwert G belastet wird, ergibt sich die Spannung a = q /(G i +G) und der Strom a = G a = q G/(G i +G). q q =a a G Gi =a G a 0=q/Gi 38 Ein zum Fall der Spannungsquelle duales Ergebnis: Es ergeben sich Formeln mit einer identischen Struktur, wenn ideale Spannungsquellen durch ideale Stromquellen, Spannungen durch Ströme, Widerstandswerte durch Leitwerte, Serieschaltungen durch Parallelschaltungen und umgekehrt ersetzt werden.

19 19/ Gegenreihenschaltung zweier Quellen Werden zwei Quellen parallel geschaltet wie zum Beispiel ein Ladegerät mit einem Akkumulator 39, so spricht man von Gegenreihenschaltung. Gegenreihenschaltung Der Arbeitspunkt der Anordnung (= a, = a ) kann graphisch ermittelt werden. Die Kennlinie der einen Quelle wird dabei im Erzeugerpfeilsystem dargestellt, die der anderen im Verbraucherpfeilsystem. Der Kreuzungspunkt der Kennlinien (falls es einen gibt) entspricht dem Arbeitspunkt. nter der Annahme, dass das Verhalten beider Quellen durch lineare Quellen beschrieben werden kann 40, ergibt sich folgendes Bild: 01 a 02 -c2 a c1 Für den Arbeitspunkt ergibt sich mit G i = c 0 und R i = 0 c : a = c1 + c2 G i1 + G i2 a = R i1 + R i2 Liegt der Arbeitspunkt im ersten Quadranten ( a > 0), so wirkt die Quelle 1 aktiv, die andere passiv. st der Arbeitspunkt im zweiten Quadranten ( a < 0), so ist es gerade umgekehrt. 39 Wiederaufladbare Batterien oder Akkumulatoren werden auch als galvanische Sekundärelemente bezeichnet. 40 Das elektrische Verhalten einer linearen Quelle wird durch die Angabe der Leerlaufspannung und des Kurzschlussstromes vollständig beschrieben.

20 2.4 Leistungsanpassung EL1-1 bis 4 20/51 Beispiel: belastete, lineare Spannungsquelle Ri q R Wie verläuft die von der Quelle an die Last abgegebene Leistung in Funktion des Stromes oder der Spannung? nter welchen Bedingungen ist diese Leistung maximal? Normierte Charakteristik 1 Nutzleistung (normiert) 1 / o 0.5 P / Pmax / c / c Die Leistung P entspricht der Fläche des Rechtecks unterhalb der Quellenkennlinie. Diese Fläche ist maximal bei = 0 /2 und = c /2. Leistungsanpassung Für lineare Quellen stellt sich der optimale Arbeitspunkt für R = R i (bzw. G = G i ) ein. n diesem Fall beträgt die maximale Leistung P max = 0 /2 c /2 = 0 c / 4. Achtung: Dieses Ergebnis gilt nur für lineare Quellen! Der Wirkungsgrad einer linearen Quelle ist definiert als das Verhältnis der Nutzleistung zur Leistung der idealen Quelle. Für eine lineare Spannungsquelle ergibt sich: η= P = P q q = 1 = q 1 + R i R Wirkungsgrad einer linearen Spannungsquelle normierte Last (r=r/ri) Bei Leistungsanpassung herrscht also der Wirkungsgrad 0.5!

21 Allgemein gilt: EL1-1 bis 4 21/51 Es herrscht Leistungsanpassung, wenn die von der Quelle an die Last abgegebene Leistung maximal ist. Bei nichtlinearen Quellen macht der Begriff nnenwiderstand keinen Sinn. Der optimale Arbeitspunkt muss in diesem Fall durch die rechnerische oder graphische Bestimmung der Arbeitspunktleistung P = in Funktion der Spannung oder des Stroms ermittelt werden, wie im folgenden Beispiel dargestellt wird: normierte Spannung (u=/o) Nichtlineare Quellenkennlinie mit optimalem Arbeitspunkt normierter Strom (i=/c) normierte Leistung (p=p/pmax) normierter Strom (i=/c)

22 22/51 Anhang 2.1 Proportionalität Zwei Grössen sind einander proportional, wenn das Verhältnis ihrer Werte konstant ist. Graphisch äussert sich die Proportionalität dadurch, dass die Beziehung zwischen zwei Grössen eine Gerade durch den rsprung des Koordinatensystems bildet. Beispiel: Ohm'sches Gesetz: = konst Die Spannung ist proportional zum Strom (bei gleichbleibender Temperatur). Zwei Grössen sind einander umgekehrt proportional, wenn das Produkt ihrer Werte konstant ist. Die umgekehrte Proportionalität ergibt graphisch dargestellt, eine Hyperbel mit den Koordinatenachsen als Asymptoten. Beispiel: elektrischer Widerstand: R =ρ L A List die Länge und A die Querschnittfläche eines linearen homogenen Leiters ρ der spezifische Widerstand des Leitermaterials Der Widerstandswert R ist umgekehrt proportional zur Querschnittfläche A > R A = konst Zudem ist R noch proportional zu L und zu ρ.

23 23/51 Anhang 2.2 Bezugspfeilsysteme Das Bezugspfeilsystem legt die Bezugsrichtungen für die Grössen Spannung, Strom und Energiefluss an einem Tor (z.b.: Klemmen eines Zweipols) fest. st eine Grösse bezogen auf die gewählte Bezugsrichtung positiv, so deckt sich die Bezugsrichtung mit dem "wirklichen" Richtungssinn der betrachteten Grösse. Grundsätzlich sind zwei verschiedene Bezugspfeilsysteme denkbar. Welches davon angewendet wird ist willkürlich. A2.2.1 Verbraucherpfeilsystem Beim Verbraucherbezugspfeilsystem, kurz Verbraucherpfeilsystem 41 zeigt die Bezugsrichtung des Energieflusses (Leistung) in das Tor hinein. Dies bedeutet, dass bei einem positiven Vorzeichen des Energiestroms (Leistung) P Energie in elektrischer Form in den Zweipol hinein fliesst. P Das Verbraucherpfeilsystem, ist für energieaufnehmende (passiv wirkende) Zweipole anschaulich, da sich die Bezugsrichtung des Energieflusses mit seiner tatsächlichen Richtung deckt. > 0 > P > 0 Energie fliesst in das Tor hinein (Zweipol wirkt passiv) < 0 > P < 0 Energie fliesst aus dem Tor heraus (Zweipol wirkt aktiv) Die Bezugsrichtungen von Spannung und Strom sind beim Verbraucherpfeilsystem gleichgerichtet (parallel). -Charakteristik eines passiven linearen ZP -Charakteristik eines aktiven linearen ZP P>0 P<0 P>0 P>0 P>0 41 Die Bezeichnung Verbraucher ist im Zusammenhang mit Energie irreführend, da Energie nicht "verbraucht", sondern nur umgeladen, bzw. umgeformt werden kann.

24 A2.2.2 Erzeugerpfeilsystem EL1-1 bis 4 24/51 Beim Erzeugerbezugspfeilsystem, kurz Erzeugerpfeilsystem 42 zeigt die Bezugsrichtung des Energieflusses (Leistung) aus dem Tor heraus. Dies bedeutet, dass bei einem positiven Vorzeichen des Energiestroms (Leistung) P Energie in elektrischer Form aus den Zweipol heraus fliesst. P Das Erzeugerpfeilsystem, ist für energieabgebende (aktiv wirkende) Zweipole anschaulich, da sich die Bezugsrichtung des Energieflusses mit seiner tatsächlichen Richtung deckt. > 0 > P > 0 < 0 > P < 0 Energie fliesst aus dem Tor heraus (Zweipol wirkt aktiv) Energie fliesst in das Tor hinein (Zweipol wirkt passiv) Die Bezugsrichtungen von Spannung und Strom sind beim Verbraucherpfeilsystem entgegengesetzt gerichtet (antiparallel). -Charakteristik eines passiven linearen ZP -Charakteristik eines aktiven linearen ZP P<0 P<0 P>0 P<0 P<0 42 Die Bezeichnung Erzeuger ist im Zusammenhang mit Energie schlichtweg falsch, da Energie mit Sicherheit nicht erzeugt werden kann.

25 25/51 Anhang 2.3 Wirkungsgrad

26 Kapitel 3 Kirchhoffsche Regeln 26/ Knotensatz (Kirchhoffsches Stromgesetz) Knoten nter Knoten verstehen wir allgemein ein beliebiges Raumgebiet. Dieses Gebiet ist durch eine geschlossene Fläche begrenzt, die Hüllfläche (Volumen begrenzt durch Oberfläche). Bei elektrischen Schaltungen, werden als Knoten sinnvollerweise Punkte gewählt, wo zwei oder mehr Leiter zusammenstossen (Kontaktpunkte). Knotensatz Für jeden willkürlich wählbaren Knoten gilt: Fliessen Ströme in einem Knoten zusammen 43, so ist die Summe aller Stromstärken Null. nter Berücksichtigung der technischen Stromrichtung der einzelnen Ströme bedeutet dies: die Summe der in den Knoten hineinfliessenden Stromstärken = die Summe der aus dem Knoten herausfliessenden Stromstärken. Dieser Satz ist ein Bilanzgesetz. Er gilt ganz allgemein, insbesondere auch für Netzwerke mit linearen, nichtlinearen, passiven und aktiven Bauelementen. Sind nur Ladungsströme 44 vorhanden, bedeutet dies, dass für jede Ladung die in einen Knoten hineinfliesst, zur selben Zeit eine identische Ladung herausfliessen muss. Es kommt dabei nicht zu einer Veränderung der Gesamtladung im Knoten. n diesem Fall ist der Knotensatz gleichbedeutend mit dem Ladungserhaltungssatz: Ladungserhaltungssatz Die in einem beliebigen Gebiet vorhandene Ladung kann nur durch Ladungstransport über die Gebietsgrenze verändert werden. 43 Alle Bezugsrichtungen zum Knoten hin oder vom Knoten weg, entsprechend der willkürlich gewählten Bezugsrichtung (Flächenorientierung). 44 Zur Zeit betrachten wir nur Ladungströme (Ströme die durch Ladungstransport zustande kommen). Die Erfahrung zeigt aber, dass die zeitliche Änderung des elektrischen Feldes auch als Stromdichte angesehen werden muss (Stichwort: Maxwellsche Verschiebungstromdichte), da sie dieselben Wirkungen aufweist wie ein Ladungstrom. Für die Bilanz des Knotensatzes sind daher alle Arten von Ströme zu berücksichtigen. nter diesem Gesichtspunkt ist der Knotensatz doch verschieden vom Ladungserhaltungssatz.

27 3.2 Maschensatz (Kirchhoffsches Spannungsgesetz) 27/51 Masche nter Masche 45 verstehen wir allgemein einen beliebigen aber geschlossenen Weg oder Pfad. Dieser Weg kann als Rand einer offenen 46 Fläche verstanden werden. Zum Weg wird eine willkürlich gewählte mlaufrichtung oder Zählrichtung festgelegt. Bei elektrischen Schaltungen, werden als Maschen sinnvollerweise geschlossene Wege entlang von Leiterbahnen gewählt. Maschensatz Entlang jeder willkürlich gewählten Masche ist die Summe 47 der Spannungen Null (die Summe verschwindet). Dieser Satz ist ein Energiebilanzgesetz. Er gilt ganz allgemein, insbesondere auch für Netzwerke mit linearen, nichtlinearen, passiven und aktiven Bauelementen. n die Elektrostatik und für stationäre Verhältnisse lassen sich alle Spannungen aus Potentialdifferenzen 48 bestimmen. n diesem Fall ist die Bedeutung des Maschensatzes offensichtlich: wird eine Ladung entlang einer Masche für einen vollen mlauf bewegt, so kann dabei keine Energie freigesetzt oder gebunden werden. Das Potential des Startpunktes ist auch das des Endpunktes, da die beiden Punkte zusammenfallen. 45 Diese Definition deckt sich nicht mit dem Befgriff "Masche" wie er in der Graphentheorie (Teilgebiet der Topologie) verwendet wird. 46 m Gegensatz zu einer Hüllfläche, die eine geschlossene Fläche bildet. 47 Spannungen mit Bezugsrichtungen parallel zur mlaufrichtung werden dabei positiv gezählt. 48 n diesen Fällen kann das elektrische Feld als Potentialfeld dargestellt werden. Dies ist aber nicht allgemeingültig: zeitlich sich verändernde Magnetfelder führen zu Spannungen die sich nicht als Potentialdifferenz darstellen lassen (sogenannte mlaufspannungen). Auch diese Spannungen müssen im Maschensatz berücksichtigt werden.

28 3.3 Verbindung passiver Zweipole, Ersatzschaltungen 28/ Serie- oder Reihenschaltung nter Serieschaltung von Zweipolen versteht man eine Schaltung bei der der Strom durch die einzelnen Zweipole 49 identisch ist. 1 = 1 ZP1 = = 1 2 ZP2 2 = Dass = 1 = 2 bei obiger Schaltung gilt, ist offensichtlich (Knotensatz und Konvention über die Klemmenströme beim Zweipol). Für die Klemmenspannung des zusamengesetzten Zweipols ergibt sich gemäss Maschensatz: = = f 1 ( 1 ) + f 2 ( 2 ) = f 1 () + f 2 () Dabei sind 1 = f 1 ( 1 ) und 2 = f 2 ( 2 ) die nach den Spannungen aufgelösten Zweipolgleichungen der Zweipole 1 und 2. Die Kennlinie des zusammmengesetzten Zweipols kann gemäss der obigen Beziehung graphisch einfach konstruiert werden. Dies ist besonders von Bedeutung bei nichtlinearen Zweipolkennlinien die nur in graphischer Form gegeben sind. Ersatzwiderstand Das Verhalten der Serieschaltung von n Widerständen mit spannungs-, bzw. stromunabhängigen Widerstandswerten R k kann durch einen einzigen Widerstand (Ersatzwiderstand) mit Widerstandswert R dargestellt werden: R = R 1 + R R n = R k 49 Es können mehr als nur zwei Zweipole in Reihe geschaltet werden. n diesem Fall müssen die im Text folgenden Gleichungen und Beziehungen entsprechend erweitert werden.

29 3.3.2 Parallelschaltung EL1-1 bis 4 29/51 nter Parallelschaltung von Zweipolen versteht man eine Schaltung bei der die Spannung zwischen den Zweipolklemmen für alle Zweipole identisch ist, oder anders ausgedrückt, bei der die Zweipole gemeinsame Klemmenpotentiale aufweisen. 1 = ZP ZP2 2 Dass = 1 = 2 bei obiger Schaltung gilt, ist offensichtlich. Für den Klemmenstrom des zusamengesetzten Zweipols ergibt sich gemäss Knotensatz: = = f 1 ( 1 ) + f 2 ( 2 ) = f 1 () + f 2 () Dabei sind 1 = f 1 ( 1 ) und 2 = f 2 ( 2 ) die nach den Strömen aufgelösten Zweipolgleichungen der Zweipole 1 und 2. Die Kennlinie des zusammmengesetzten Zweipols kann gemäss der obigen Beziehung graphisch einfach konstruiert werden. Dies ist besonders von Bedeutung bei nichtlinearen Zweipolkennlinien die nur in graphischer Form gegeben sind. Ersatzleitwert Das Verhalten der Parallelschaltung von n Widerständen mit spannungs-, bzw. stromunabhängigen Leitwerten G k kann durch einen einzigen Widerstand (Ersatzwiderstand) mit Leitwert G dargestellt werden: G = G 1 + G G n = G k