Über das inverse Machtindexproblem

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1 Über das inverse Machtindexproblem Sascha Kurz Süddeutsches Power-Meeting 2011, Augsburg,

2 Über das inverse Machtindexproblem Einleitung 1 / 26 Europäische Wirtschaftsgemeinschaft Land Stimmen Deutschland 4 Frankreich 4 Italien 4 Niederland 2 Belgien 2 Luxemburg 1 Quota 70 % mindestens 12 von 17 Stimmen

3 Über das inverse Machtindexproblem Einleitung 1 / 26 Europäische Wirtschaftsgemeinschaft Land Stimmen Deutschland 4 Frankreich 4 Italien 4 Niederland 2 Belgien 2 Luxemburg 1 Quota 70 % mindestens 12 von 17 Stimmen Wie mächtig ist Luxemburg?

4 Über das inverse Machtindexproblem Einleitung 2 / 26 Wen interessiert schon Luxemburg? Was ist Macht? Macht bezeichnet die Fähigkeit die Meinung bzw. das Verhalten einer sozialen Gruppe zu beeinflussen.

5 Über das inverse Machtindexproblem Einleitung 2 / 26 Wen interessiert schon Luxemburg? Was ist Macht? Macht bezeichnet die Fähigkeit die Meinung bzw. das Verhalten einer sozialen Gruppe zu beeinflussen. Eine Ja/Nein-Entscheidung (Stimmen ohne Luxemburg / Stimmen mit Luxemburg) Abstimmung St.o.L. St.m.L. N N N N N 0 1 N N N N Y 2 3 N N N Y N 2 3 N N N Y Y 4 5 N N Y N N 4 5 N N Y N Y 6 7 N N Y Y N 6 7 N N Y Y Y 8 9 N Y N N N 4 5 N Y N N Y 6 7 N Y N Y N 6 7 N Y N Y Y 8 9 N Y Y N N 8 9 N Y Y N Y N Y Y Y N N Y Y Y Y Abstimmung St.o.L. St.m.L. Y N N N N 4 5 Y N N N Y 6 7 Y N N Y N 6 7 Y N N Y Y 8 9 Y N Y N N 8 9 Y N Y N Y Y N Y Y N Y N Y Y Y Y Y N N N 8 9 Y Y N N Y Y Y N Y N Y Y N Y Y Y Y Y N N Y Y Y N Y Y Y Y Y N Y Y Y Y Y 16 17

6 Über das inverse Machtindexproblem Einleitung 2 / 26 Wen interessiert schon Luxemburg? Was ist Macht? Macht bezeichnet die Fähigkeit die Meinung bzw. das Verhalten einer sozialen Gruppe zu beeinflussen. Eine Ja/Nein-Entscheidung (Stimmen ohne Luxemburg / Stimmen mit Luxemburg) Abstimmung St.o.L. St.m.L. N N N N N 0 1 N N N N Y 2 3 N N N Y N 2 3 N N N Y Y 4 5 N N Y N N 4 5 N N Y N Y 6 7 N N Y Y N 6 7 N N Y Y Y 8 9 N Y N N N 4 5 N Y N N Y 6 7 N Y N Y N 6 7 N Y N Y Y 8 9 N Y Y N N 8 9 N Y Y N Y N Y Y Y N N Y Y Y Y Abstimmung St.o.L. St.m.L. Y N N N N 4 5 Y N N N Y 6 7 Y N N Y N 6 7 Y N N Y Y 8 9 Y N Y N N 8 9 Y N Y N Y Y N Y Y N Y N Y Y Y Y Y N N N 8 9 Y Y N N Y Y Y N Y N Y Y N Y Y Y Y Y N N Y Y Y N Y Y Y Y Y N Y Y Y Y Y Schlussfolgerung: Luxemburg hat keinerlei Macht.

7 Über das inverse Machtindexproblem Machtindizes 3 / 26 Wie kann man Macht messen? Shapley-Shubik Machtindex (es gibt andere) Die Macht eines Spielers wird gemessen durch den Anteil der möglichen Abstimmungsreihenfolgen, in denen der Spieler die entscheidende Stimme abgibt. Der Machtindex ist normiert zwischen 0 und 1. Beispiel: A 3, B 2, C 1, D 1, Quota= 4 ABCD ABDC ACBD ACDB ADBC ADCB BACD BADC BCAD BCDA BDAC BDCA CABD CADB CBAD CBDA CDAB CDBA DABC DACB DBAC DBCA DCAB DCBA

8 Über das inverse Machtindexproblem Machtindizes 3 / 26 Wie kann man Macht messen? Shapley-Shubik Machtindex (es gibt andere) Die Macht eines Spielers wird gemessen durch den Anteil der möglichen Abstimmungsreihenfolgen, in denen der Spieler die entscheidende Stimme abgibt. Der Machtindex ist normiert zwischen 0 und 1. Beispiel: A 3, B 2, C 1, D 1, Quota= 4 ABCD ABDC ACBD ACDB ADBC ADCB BACD BADC BCAD BCDA BDAC BDCA CABD CADB CBAD CBDA CDAB CDBA DABC DACB DBAC DBCA DCAB DCBA Pow(A) = 12 24, Pow(B) = 4 24, Pow(C) = 4 24, Pow(D) = 4 24

9 Über das inverse Machtindexproblem Machtindizes 4 / 26 Definition Shapley-Shubik Machtindex Ein Wähler i ist ein Swing für eine Koalition S, wenn S {i} gewinnt aber S verliert. Beispiel: A 3, B 2, C 1, D 1, Quota= 4 Koalition S = {A} ist ein Swing für Wähler B, da {A, B} gewinnt aber {A} verliert.

10 Über das inverse Machtindexproblem Machtindizes 4 / 26 Definition Shapley-Shubik Machtindex Ein Wähler i ist ein Swing für eine Koalition S, wenn S {i} gewinnt aber S verliert. Beispiel: A 3, B 2, C 1, D 1, Quota= 4 Koalition S = {A} ist ein Swing für Wähler B, da {A, B} gewinnt aber {A} verliert. Lemma Pow(i) = 1 n! S N\{i} ist Swing für i S! (n S 1)!

11 Über das inverse Machtindexproblem Gewichtete Wahlspiele 5 / 26 Gewichtete Wahlspiele Definition Ein n-personen gewichtetes Wahlspiel wird dargestellt durch eine Liste [q; w 1, w 2,..., w n ] von Zahlen aus R 0 : [4; 3, 2, 1, 1]. Eine Koalition C {1,..., n} gewinnt falls w i q und verliert anderenfalls. i C

12 Über das inverse Machtindexproblem Gewichtete Wahlspiele 5 / 26 Gewichtete Wahlspiele Definition Ein n-personen gewichtetes Wahlspiel wird dargestellt durch eine Liste [q; w 1, w 2,..., w n ] von Zahlen aus R 0 : [4; 3, 2, 1, 1]. Eine Koalition C {1,..., n} gewinnt falls w i q und verliert anderenfalls. i C {A, B, C, D} {A, B, C} {A, B, D} {A, C, D} {B, C, D} {A} {B} {C} {D} {A, B} {A, C} {A, D} {B, C} {B, D} {C, D} {}

13 Über das inverse Machtindexproblem Faire Stimmgewichte 6 / 26 Alternativen für die Europäische Wirtschaftsgemeinschaft Land St. Pow St. Pow St. Pow Deutschland Frankreich Italien Niederlande Belgien Luxemburg Quota Welche Abstimmungsregel ist am fairsten?

14 Über das inverse Machtindexproblem Faire Stimmgewichte 7 / 26 Quadratwurzelgesetz von Penrose Wie viele Stimmen für Polen? Eine Person eine Stimme?

15 Über das inverse Machtindexproblem Faire Stimmgewichte 7 / 26 Quadratwurzelgesetz von Penrose Eine Person eine Stimme? In a fair assignment of voting weights the voting power of a state should be proportional to the square-root of the population of this state. Lionel Penrose, 1946 Vertrag von Nizza (2001) Land Bevölkerung St. St. % Banzhaf Shapley-Shubik Bevölkerung Deutschland % % % % % Frankreich % % % % % Verein. Königreich % % % % % Italien % % % % % Spanien % % % % 9.86 % Niederlande 4.26 % % 5.54 % 5.26 % 6.15 % Griechenland 2.89 % % 5.21 % 5.08 % 5.07 % Belgien 2.73 % % 5.21 % 5.08 % 4.92 % Portugal 2.73 % % 5.21 % 5.08 % 4.92 % Schweden 2.34 % % 4.32 % 4.20 % 4.56 % Österreich 2.13 % % 4.32 % 4.20 % 4.35 % Dänemark 1.42 % % 3.12 % 3.01 % 3.55 % Finnland 1.37 % % 3.12 % 3.01 % 3.49 % Irland 1.05 % % 3.12 % 3.01 % 3.05 % Luxemburg 0.13 % % 2.03 % 1.91 % 1.07 % Quota 169

16 Über das inverse Machtindexproblem Faire Stimmgewichte 8 / 26 Fairnessoptimierung Berechnung von Stimmgewichten Optimierungsproblem Für n Spieler, einen Vektor I der idealen Machtverteilung und eine Norm, bestimme ein gewichtetes Wahlspiel W, so dass die Differenz I Pow(W ) zwischen der idealen und der erreichten Machtverteilung minimiert wird.

17 Über das inverse Machtindexproblem Faire Stimmgewichte 8 / 26 Fairnessoptimierung Berechnung von Stimmgewichten Optimierungsproblem Für n Spieler, einen Vektor I der idealen Machtverteilung und eine Norm, bestimme ein gewichtetes Wahlspiel W, so dass die Differenz I Pow(W ) zwischen der idealen und der erreichten Machtverteilung minimiert wird. Stand der Dinge Bisher wurden nur Heuristiken verwendet: Fixpunkt-Iteration W = W + λ (I Pow(W )) auf den Stimmgewichten Dennis Leech, 2002.

18 Über das inverse Machtindexproblem Faire Stimmgewichte 9 / 26 Problem Endliches Problem? Die Gewichte und die Quota eines gewichteten Wahlspiels sind nicht eindeutig: [4; 3, 2, 1, 1] und [11; 9, 5, 5, 4] stellen dasselbe Spiel dar.

19 Über das inverse Machtindexproblem Faire Stimmgewichte 9 / 26 Problem Endliches Problem? Die Gewichte und die Quota eines gewichteten Wahlspiels sind nicht eindeutig: [4; 3, 2, 1, 1] und [11; 9, 5, 5, 4] stellen dasselbe Spiel dar. Zugrunde liegende diskrete Struktur Die (inklusions-) minimalen gewinnenden Koalitionen von [4; 3, 2, 1, 1] sind gegeben durch {A, B}, {A, C}, {A, D}, {B, C, D}. Jedes gewichtete Wahlspiel ist eine monotone Boolsche (Schwellwert) Funktion Υ : {0, 1} n {0, 1} oder auch einfaches Spiel. (Vorläufiger) Optimierungsalgorithmus Durchlaufe die endliche Menge der gewichteten Wahlspiele und wähle dasjenige, welches die gegebene Zielfunktion minimiert.

20 Über das inverse Machtindexproblem Faire Stimmgewichte 10 / 26 Daten Eine ILP-Formulierung gewünschte Machtverteilung σ = (σ 1,..., σ n ), Menge N = {1,..., n} von Spielern, w A = ( A! (n A 1)!)/n!, minimiere Pow(χ) σ 1 für Wahlspiele χ

21 Über das inverse Machtindexproblem Faire Stimmgewichte 10 / 26 Daten Eine ILP-Formulierung gewünschte Machtverteilung σ = (σ 1,..., σ n ), Menge N = {1,..., n} von Spielern, w A = ( A! (n A 1)!)/n!, minimiere Pow(χ) σ 1 für Wahlspiele χ Variablen x A {0, 1}: Gewinnt Koalition A N? y i,a {0, 1}: Ist Koalition A ein Swing für Spieler i? p i : Shapley-Shubik Macht von Spieler i d i : p i σ i

22 Über das inverse Machtindexproblem Faire Stimmgewichte 11 / 26 Eine ILP-Formulierung (Forts.) n min d i i=1 s.t. σ i d i p i σ i + d i i N, p i = w A y i,a i N, A N\{i} y i,a = x A {i} x A i N, A N\{i}, x A x A\{j} A N, j A, x = 0 x N = 1 x A {0, 1} A N, y i,a {0, 1} i N, A N\{i}, d i, p i 0 i N.

23 Über das inverse Machtindexproblem Faire Stimmgewichte 12 / 26 Rechenergebnisse gewichtete Wahlspiele Inst. 1 Knoten Zeit Untere Schranke EU s EU s EU s EU s EU s EU s EU s EU s EU s EU m EU h Tabelle: Resultate für die EU bei Verwendung des Shapley-Shubik Machtindex. Bemerkung Für spezielle Wunschmachtverteilungen wie (0.75, 0.25, 0,... ) ist n = 16, 17 rechenbar.

24 Über das inverse Machtindexproblem Machtvektoren die schwer zu approximieren sind 13 / 26 Machtvektoren die schwer zu approximieren sind Theorem, Alon and Edelmann, 2009 Let n > k be positive integers, let ε < 1 k+1 be a positive real, and n let χ be a simple game for n voters. If B(χ, i) ε, then }{{} i=k+1 Banzhaf power there exists a simple game χ for k voters such that B(χ) B(χ ) 1 = k B(χ, i) B(χ, i) + i=1 n i=k+1 B(χ, i) 0 (2k + 1)ε 1 (k + 1)ε + ε.

25 Über das inverse Machtindexproblem Machtvektoren die schwer zu approximieren sind 14 / 26 Machtvektoren die schwer zu approximieren sind Problem Bestimme ein einfaches Spiel χ, so dass Pow(χ) σ n 1 minimiert wird für σ n = (0.75, 0.25, 0,... 0).

26 Über das inverse Machtindexproblem Machtvektoren die schwer zu approximieren sind 14 / 26 Machtvektoren die schwer zu approximieren sind Problem Bestimme ein einfaches Spiel χ, so dass Pow(χ) σ n 1 minimiert wird für σ n = (0.75, 0.25, 0,... 0). Resultat Für 2 n 14 Spieler gilt Pow(χ) σ n für alle einfachen Spiele (gewichteten Wahlspiele) mit Pow {SS, B}. Vermutung Die obige Ungleichung gilt für alle n 2 und für jede Machtverteilung σ existiert ein gewichtetes Wahlspiel χ mit Pow(χ) σ (Vergleiche Alon und Edelmann (2009); k = 2 und ε = 1 18 B(χ) σ n )

27 Über das inverse Machtindexproblem Machtvektoren die schwer zu approximieren sind 15 / 26 7 Spieler: Machtverteilungen für Spieler 1 und 2 (Projektionen) Banzhaf Machtindex Shapley-Shubik Machtindex i < j: p i p j und ip i + (j i)p j 1 i = 1 < j: (j 1)p 1 + (n + 1 j)p j 1

28 Über das inverse Machtindexproblem Machtvektoren die schwer zu approximieren sind 16 / 26 8 Spieler: Machtverteilungen für Spieler 1 und 2 Banzhaf Machtindex Shapley-Shubik Machtindex

29 Über das inverse Machtindexproblem Machtvektoren die schwer zu approximieren sind 17 / 26 9 Spieler: Machtverteilungen für Spieler 1 und 2 Banzhaf Machtindex Shapley-Shubik Machtindex

30 Über das inverse Machtindexproblem Vollständige einfache Spiele 18 / 26 Austausch-Ordnung auf Koalitionen Beobachtung Für die Gewichte w 1 w 2 w n sei τ = (i, j) eine Transposition mit i j. Falls Koalition c Spieler j enthält, dann gilt Υ(τ( c)) Υ( c) und wir schreiben τ ( c ) c. (Wir haben Spieler j durch Spieler i ausgetauscht.) Einfache Spiele, welche diese Halbordnung erfüllen, heißen vollständige einfache Spiele. Beispiel [1100] [1010] [1001] und [1100] [0111], wobei c 1 c 2 dafür steht, dass weder c 1 c 2 noch c 1 c 2 gilt.

31 Über das inverse Machtindexproblem Vollständige einfache Spiele 19 / 26 Das Hasse Diagramm von auf [4; 3, 2, 1, 1] [1111] [1110] [1101] [1011] [1100] [0111] [1010] [1001] [0110] [1000] [0101] [0100] [0011] [0010] [0001] [0000]

32 Über das inverse Machtindexproblem Vollständige einfache Spiele 20 / 26 Definition Vollständige einfache Spiele Ein vollständiges einfaches Spiel ist eine Menge W {0, 1} n \ 0 mit w 1 w 2 für alle w 1 w 2 W. Eine Koalition c {0, 1} n gewinnt, wenn es ein w W mit c w gibt. Beispiel Die minimalen gewinnenden Koalitionen {A, B}, {A, C}, { {A, D}, } {B, C, D} von [4; 3, 2, 1, 1] werden beschrieben durch [1001], [0111]. n cs(n) time 0.02 s 1.23 s 44:01 m Tabelle: Vollständige einfache Spiele für n Spieler Enumeration von Cliquen mit Cliquer.

33 Über das inverse Machtindexproblem Vollständige Enumeration gewichteter Wahlspiele 21 / 26 Bemerkung Gewichtete Wahlspiele Ein vollständiges einfaches Spiel genau dann gewichtet falls w i x > l j x oder w i x y lj x < y x 1 x n 0 x 1 x n 0, y > 0 eine Lösung für alle minimal gewinnenden Koalitionen w i und alle maximal verlierenden Koalitionen l j besitzt. Enumerationsalgorithmus (Freixas et al.) Berechne alle vollständigen einfachen Spiele und anschließend jeweils ein lineares Programm. n = 9 unerreichbar

34 Über das inverse Machtindexproblem Vollständige Enumeration gewichteter Wahlspiele 22 / 26 Ein neuer Enumerationsalgorithmus Löse das lineare Programm w i x y w i x + y 0 lj x y 1 l j x y 1 x 1 x n 0, y 1, wobei w i minimale gewinnende und l j maximal verlierende Koalitionen bezeichnen. Satz, K Für eine Teilmenge W der minimal gewinnenden Koalitionen eines vollständigen einfachen Spiels lässt sich bereits eine Teilmenge L der maximal verlierenden Koalitionen berechnen. Es müssen nicht alle vollständigen einfachen Spiele erzeugt werden.

35 Über das inverse Machtindexproblem Vollständige Enumeration gewichteter Wahlspiele 23 / 26 Enumerationsresultate n cs(n) Zeit 0.02 s 1.23 s 44:01 m wm(n) Zeit 0.5 s 2.25 m 4.3 d Tabelle: Anzahl cs(n) vollständiger einfacher und wm(n) gewichteter Wahlspiele. (Neue Resultate) Bemerkung Wir haben eine Reimplementierung des dualen Simplexalgorithmus in Tableauxdarstellung verwendet, um die linearen Programme effizient zu lösen. Im Durchschnitt wurde weniger als 9 Mikrosekunden pro linearem Programm benötigt. (In dieser Zeit kann die verwendete Maschine nur 2500 Additionen in einer Schleife durchführen.)

36 Über das inverse Machtindexproblem Enumerationsformeln für vollständige einfache Spiele 24 / 26 Definition Äquivalenzklassen von Spielern Zwei Spieler i, j sind äquivalent, falls Υ(τ( c)) = Υ( c) für alle Koalitionen mit i c, j / c und τ = (ij) gilt. Mit cs(n, t) bezeichnen wir die Anzahl der vollständigen Spiele mit n Spielern in t Äquivalenzklassen.

37 Über das inverse Machtindexproblem Enumerationsformeln für vollständige einfache Spiele 24 / 26 Definition Äquivalenzklassen von Spielern Zwei Spieler i, j sind äquivalent, falls Υ(τ( c)) = Υ( c) für alle Koalitionen mit i c, j / c und τ = (ij) gilt. Mit cs(n, t) bezeichnen wir die Anzahl der vollständigen Spiele mit n Spielern in t Äquivalenzklassen. Satz (May, 1952) cs(n, 1) = n. Satz (Freixas, Molinero und Roura, 2009; K., 2009) ( ) cs(n, 2) = Fibonacci(n + 6) n 2 + 4n + 8.

38 Über das inverse Machtindexproblem Enumerationsformeln für vollständige einfache Spiele 25 / 26 Parametrischer Barvinok Algorithmus Satz (K. und Tautenhahn, 2008) Es gibt eine Bijektion der vollständigen einfachen Spielen mit n Spielern in t Äquivalenzklassen und r minimal gewinnenden Koalitionen auf die Menge der ganzzahligen Punkte eines geeigneten Polyeders P(n, t, r).

39 Über das inverse Machtindexproblem Enumerationsformeln für vollständige einfache Spiele 25 / 26 Parametrischer Barvinok Algorithmus Satz (K. und Tautenhahn, 2008) Es gibt eine Bijektion der vollständigen einfachen Spielen mit n Spielern in t Äquivalenzklassen und r minimal gewinnenden Koalitionen auf die Menge der ganzzahligen Punkte eines geeigneten Polyeders P(n, t, r). Das Polyeder P(n, t, r) lässt sich in eine endliche Menge an Teilpolyedern zerlegen, deren Koeffizienten nicht mehr von n abhängen. Für die Anzahl cs(n, t, r) der zugehörigen vollständigen Spiele können exakte Formeln mit Hilfe des parametrischen Barvinok Algorithmus berechnet werden. Beispiel cs(n, 2, 3) = n n n n n n 2 [ ] [ , 13 n + 0, 4480 n 1 ] 128 n

40 Über das inverse Machtindexproblem Zukünftige Forschungsfragen 26 / 26 Zukünftige Forschungsfragen Beweis der 1 3 -Approximationsvermutung Ende Kombination des ILP-Ansatz mit der Enumerationsmethode Polyedrische Analyse des vorgeschlagenen ILP Modells Charakterisierung von Regionen von Machtverteilungen, die schwer zu approximieren sind Enumeration der gewichteten Wahlspiele mit 10 Spielern Herleitung einer Formel für die Anzahl wm(n, 2) der gewichteten Wahlspiele mit zwei Äquivalenzklassen von Spielern Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!