Wie sch atzt man effizient?

Transkript

1 Vorlesung 8a

2 Wie schätzt man

3 Wie schätzt man effizient?

4 Die Maximum-Likelihood Methode

5 Die Maximum-Likelihood Methode

6 BEISPIEL 1

7 BEISPIEL 1 Panther A

8 BEISPIEL 1 Panther A Schätzung der deutschen Panzerproduktion

9 BEISPIEL 1 Panther A Schätzung der deutschen Panzerproduktion im Zweiten Weltkrieg

10 MODELL

11 MODELL (vereinfacht)

12 MODELL (vereinfacht) Fahrgestellnummer: F = 1, 2,..., λ

13 MODELL (vereinfacht) Fahrgestellnummer: F = 1, 2,..., λ Bei Panther A: λ = 1768

14 MODELL (vereinfacht) Fahrgestellnummer: F = 1, 2,..., λ Bei Panther A: λ = 1768 Nummern der erbeuteten Panzer

15 MODELL (vereinfacht) Fahrgestellnummer: F = 1, 2,..., λ Bei Panther A: λ = 1768 Nummern der erbeuteten Panzer F 1, F 2,..., F n

16 MODELL (vereinfacht) Fahrgestellnummer: F = 1, 2,..., λ Bei Panther A: λ = 1768 Nummern der erbeuteten Panzer F 1, F 2,..., F n Zufallsstichprobe aus der Gesamtproduktion FRAGE

17 MODELL (vereinfacht) Fahrgestellnummer: F = 1, 2,..., λ Bei Panther A: λ = 1768 Nummern der erbeuteten Panzer F 1, F 2,..., F n Zufallsstichprobe aus der Gesamtproduktion FRAGE Wie schätzt man λ aus F 1, F 2,..., F n?

18 Kleine Vereinfachung: F kontinuierlich F λ

19 F Uniform [ 0, λ ] F λ

20 Stichprobe F 1,..., F n (n = 10) F λ

21 Wie schätzt man λ aus F 1,...,F n? F λ

22 Methode der Momente

23 Methode der Momente EF = 1 2 λ

24 Methode der Momente EF = 1 2 λ F EF = 1 2 λ

25 Methode der Momente EF = 1 2 λ F EF = 1 2 λ Erster Schätzer ^λ 1 :

26 Methode der Momente EF = 1 2 λ F EF = 1 2 λ Erster Schätzer ^λ 1 : ^λ 1 := 2 F

27 ^λ 1 := 2 F F λ

28 ^λ 1 := 2 F F λ

29 ^λ 1 := 2 F F λ

30 Zweiter Schätzer

31 Zweiter Schätzer M := max { F 1, F 2,..., F n }

32 Zweiter Schätzer M := max { F 1, F 2,..., F n } BEGRÜNDUNG:

33 Zweiter Schätzer M := max { F 1, F 2,..., F n } BEGRÜNDUNG: Gegeben M

34 Zweiter Schätzer M := max { F 1, F 2,..., F n } BEGRÜNDUNG: Gegeben M enthalten die anderen { F i } keine Information über λ

35 Zweiter Schätzer M := max { F 1, F 2,..., F n } BEGRÜNDUNG: Gegeben M enthalten die anderen { F i } keine Information über λ Wie ist M verteilt?

36 Zweiter Schätzer M := max { F 1, F 2,..., F n } BEGRÜNDUNG: Gegeben M enthalten die anderen { F i } keine Information über λ Wie ist M verteilt?

37 Q! Quiz-relevant

38 Verteilungsfunktion

39 Verteilungsfunktion H(x) := P { M < x }

40 Verteilungsfunktion H(x) := P { M < x } Dichte

41 Verteilungsfunktion H(x) := P { M < x } Dichte h(x) x = P { x < M < x + x } + o( x)

42 Verteilungsfunktion H(x) := P { M < x } Dichte h(x) x = P { x < M < x + x } + o( x) Erwartungswert

43 Verteilungsfunktion H(x) := P { M < x } Dichte h(x) x = P { x < M < x + x } + o( x) Erwartungswert EM := xh(x)dx

44 Verteilungsfunktion H(x) := P { M < x } Dichte h(x) x = P { x < M < x + x } + o( x) Erwartungswert EM := xh(x)dx Varianz

45 Verteilungsfunktion H(x) := P { M < x } Dichte h(x) x = P { x < M < x + x } + o( x) Erwartungswert EM := xh(x)dx Varianz σ 2 M := E(X EM) 2 = E(M 2 ) (EM) 2

46 Verteilungsfunktion

47 Verteilungsfunktion H(x) := P { M < x }

48 Verteilungsfunktion H(x) := P { M < x } H(x) = P { max(f 1, F 2,..., F n ) < x }

49 Verteilungsfunktion H(x) := P { M < x } H(x) = P { max(f 1, F 2,..., F n ) < x } H(x) = P { (F 1 < x), (F 2 < x),..., (F n < x) }

50 Verteilungsfunktion H(x) := P { M < x } H(x) = P { max(f 1, F 2,..., F n ) < x } H(x) = P { (F 1 < x), (F 2 < x),..., (F n < x) } H(x) = P { F 1 < x } P { F 2 < x }... P { F n < x }

51 Verteilungsfunktion H(x) := P { M < x } H(x) = P { max(f 1, F 2,..., F n ) < x } H(x) = P { (F 1 < x), (F 2 < x),..., (F n < x) } H(x) = P { F 1 < x } P { F 2 < x }... P { F n < x } H(x) = (x/λ)(x/λ)...(x/λ)

52 Verteilungsfunktion H(x) := P { M < x } H(x) = P { max(f 1, F 2,..., F n ) < x } H(x) = P { (F 1 < x), (F 2 < x),..., (F n < x) } H(x) = P { F 1 < x } P { F 2 < x }... P { F n < x } H(x) = (x/λ)(x/λ)...(x/λ) H(x) = x n /λ n

53 Ausführlicher:

54 Ausführlicher: H(x) = 0 (x < 0)

55 Ausführlicher: H(x) = 0 (x < 0) H(x) = x n /λ n (0 x < λ)

56 Ausführlicher: H(x) = 0 (x < 0) H(x) = x n /λ n (0 x < λ) H(x) = 1 (λ x)

57 Dichte

58 Dichte h(x) x := P { x < M < x + x } + o( x)

59 Dichte h(x) x := P { x < M < x + x } + o( x) h(x) = H (x)

60 Dichte h(x) x := P { x < M < x + x } + o( x) h(x) = H (x) h(x) = (x n ) /λ n

61 Dichte h(x) x := P { x < M < x + x } + o( x) h(x) = H (x) h(x) = (x n ) /λ n h(x) = nx n 1 /λ n

62 Ausführlicher:

63 Ausführlicher: h(x) = 0 (x < 0)

64 Ausführlicher: h(x) = 0 (x < 0) h(x) = nx n 1 /λ n (0 x < λ)

65 Ausführlicher: h(x) = 0 (x < 0) h(x) = nx n 1 /λ n (0 x < λ) h(x) = 0 (λ x)

66 Erwartungswert

67 Erwartungswert EM = xh(x)dx

68 Erwartungswert EM = xh(x)dx EM = λ 0 x(nxn 1 /λ n )dx

69 Erwartungswert EM = xh(x)dx EM = λ 0 x(nxn 1 /λ n )dx EM = n( λ 0 xn dx)/λ n

70 Erwartungswert EM = xh(x)dx EM = λ 0 x(nxn 1 /λ n )dx EM = n( λ 0 xn dx)/λ n EM = n(λ n+1 /(n + 1))/λ n

71 Erwartungswert EM = xh(x)dx EM = λ 0 x(nxn 1 /λ n )dx EM = n( λ 0 xn dx)/λ n EM = n(λ n+1 /(n + 1))/λ n EM = n n+1 λ

72 Erwartungswert EM = xh(x)dx EM = λ 0 x(nxn 1 /λ n )dx EM = n( λ 0 xn dx)/λ n EM = n(λ n+1 /(n + 1))/λ n EM = n n+1 λ (auch ohne Rechnung klar: Kreis)

73 Varianz

74 Varianz σ 2 M = E(M 2 ) (EM) 2

75 Varianz σ 2 M = E(M 2 ) (EM) 2 E(M 2 ) = λ 0 x2 h(x)dx

76 Varianz σ 2 M = E(M 2 ) (EM) 2 E(M 2 ) = λ 0 x2 h(x)dx E(M 2 ) = λ 0 x2 (nx n 1 /λ n )dx

77 Varianz σ 2 M = E(M 2 ) (EM) 2 E(M 2 ) = λ 0 x2 h(x)dx E(M 2 ) = λ 0 x2 (nx n 1 /λ n )dx E(M 2 ) = n( λ 0 xn+1 dx)/λ n

78 Varianz σ 2 M = E(M 2 ) (EM) 2 E(M 2 ) = λ 0 x2 h(x)dx E(M 2 ) = λ 0 x2 (nx n 1 /λ n )dx E(M 2 ) = n( λ 0 xn+1 dx)/λ n E(M 2 ) = n(λ n+2 /(n + 2))/λ n

79 Varianz σ 2 M = E(M 2 ) (EM) 2 E(M 2 ) = λ 0 x2 h(x)dx E(M 2 ) = λ 0 x2 (nx n 1 /λ n )dx E(M 2 ) = n( λ 0 xn+1 dx)/λ n E(M 2 ) = n(λ n+2 /(n + 2))/λ n E(M 2 ) = n n+2 λ2

80 Varianz

81 Varianz σ 2 M = E(M 2 ) (EM) 2

82 Varianz σ 2 M = E(M 2 ) (EM) 2 σ 2 M = ( n n+2 ( n n+1 )2 )λ 2

83 Varianz σ 2 M = E(M 2 ) (EM) 2 σ 2 M = σ 2 M = ( n n+2 ( n n+1 )2 )λ 2 n (n+1) 2 (n+2) ((n + 1)2 n(n + 2))λ 2

84 Varianz σ 2 M = E(M 2 ) (EM) 2 σ 2 M = σ 2 M = ( n n+2 ( n n+1 )2 )λ 2 n (n+1) 2 (n+2) ((n + 1)2 n(n + 2))λ 2 σ 2 M = n (n+1) 2 (n+2) λ2

85 EM = n n+1 λ

86 EM = n n+1 λ ^λ 2 := n+1 n M

87 EM = n n+1 λ ^λ 2 := n+1 n E^λ 2 = λ M

88 EM = n n+1 λ ^λ 2 := n+1 n E^λ 2 = λ Man sagt: M

89 EM = n n+1 λ ^λ 2 := n+1 n E^λ 2 = λ Man sagt: M ^λ 2 ist erwartungstreu.

90 Zwei Schätzer von λ:

91 Zwei Schätzer von λ: ^λ 1 := 2 F

92 Zwei Schätzer von λ: ^λ 1 := 2 F ^λ 2 := n+1 n M

93 Zwei Schätzer von λ: ^λ 1 := 2 F ^λ 2 := n+1 n M Beide erwartungstreu:

94 Zwei Schätzer von λ: ^λ 1 := 2 F ^λ 2 := n+1 n M Beide erwartungstreu: E^λ 1 = E^λ 2 = λ

95 Zwei Schätzer von λ: ^λ 1 := 2 F ^λ 2 := n+1 n M Beide erwartungstreu: E^λ 1 = E^λ 2 = λ Welcher Schätzer ist besser?

96 Zwei Schätzer von λ: ^λ 1 := 2 F ^λ 2 := n+1 n M Beide erwartungstreu: E^λ 1 = E^λ 2 = λ Welcher Schätzer ist besser?

97 λ F

98 ^λ 1 := 2 F F λ

99 ^λ 1 := 2 F F λ

100 ^λ 1 := 2 F F λ

101 ^λ 2 := n+1 n max F i F λ

102 ^λ 2 := n+1 n max F i F λ

103 ^λ 2 := n+1 n max F i F λ

104 Neuer Datensatz F λ

105 ^λ 1 := 2 F F λ

106 ^λ 1 := 2 F F λ

107 ^λ 1 := 2 F F λ

108 ^λ 2 := n+1 n max F i F λ

109 ^λ 2 := n+1 n max F i F λ

110 ^λ 2 := n+1 n max F i F λ

111 Neuer Datensatz F λ

112 ^λ 1 := 2 F F λ

113 ^λ 1 := 2 F F λ

114 ^λ 1 := 2 F F λ

115 ^λ 2 := n+1 n max F i F λ

116 ^λ 2 := n+1 n max F i F λ

117 ^λ 2 := n+1 n max F i F λ

118 100 Datensätze n = F λ

119 100 Datensätze n = F λ

120 ^λ 2 ist λ deutlich näher als ^λ F λ

121 Für n größer ist der Unterschied noch deutlicher F λ

122 n = F λ

123 n = F λ

124 Quantitativ:

125 Quantitativ: σ 2^λ 1 = 1 3n 1 λ 2

126 Quantitativ: σ 2^λ 1 = 1 3n 1 λ 2 σ 2^λ 2 = n 2 (n 2 +1) 2 (n 2 +2) λ2 1 n 2 λ 2 2

127 Quantitativ: σ 2^λ 1 = 1 3n 1 λ 2 σ 2^λ 2 = n 2 (n 2 +1) 2 (n 2 +2) λ2 1 n 2 λ 2 2 Damit σ 2^λ 1 = σ 2^λ 2

128 Quantitativ: σ 2^λ 1 = 1 3n 1 λ 2 σ 2^λ 2 = n 2 (n 2 +1) 2 (n 2 +2) λ2 1 n 2 λ 2 2 Damit σ 2^λ 1 = σ 2^λ 2 braucht man n 1 = (n 2+1) 2 (n 2 +2) 3n 2

129 Quantitativ: σ 2^λ 1 = 1 3n 1 λ 2 σ 2^λ 2 = n 2 (n 2 +1) 2 (n 2 +2) λ2 1 n 2 λ 2 2 Damit σ 2^λ 1 = σ 2^λ 2 braucht man n 1 = (n 2+1) 2 (n 2 +2) 3n 2 n 1 = 48 n 2 = 10

130 Quantitativ: σ 2^λ 1 = 1 3n 1 λ 2 σ 2^λ 2 = n 2 (n 2 +1) 2 (n 2 +2) λ2 1 n 2 λ 2 2 Damit σ 2^λ 1 = σ 2^λ 2 braucht man n 1 = (n 2+1) 2 (n 2 +2) 3n 2 n 1 = 48 n 2 = 10 n 1 = 243 n 2 = 25

131 Quantitativ: σ 2^λ 1 = 1 3n 1 λ 2 σ 2^λ 2 = n 2 (n 2 +1) 2 (n 2 +2) λ2 1 n 2 λ 2 2 Damit σ 2^λ 1 = σ 2^λ 2 braucht man n 1 = (n 2+1) 2 (n 2 +2) 3n 2 n 1 = 48 n 2 = 10 n 1 = 243 n 2 = 25 n 1 = 3468 n 2 = 100

132 FAZIT bisher

133 FAZIT bisher Es gibt verschiedene Schätzer für denselben Parameter.

134 FAZIT bisher Es gibt verschiedene Schätzer für denselben Parameter. Es gibt gute und schlechte.

135 FAZIT bisher Es gibt verschiedene Schätzer für denselben Parameter. Es gibt gute und schlechte. Wie findet man einen guten?

136 BEISPIEL 2 Der Getreidekapuziner Rhizopertha dominica

137 Wenn zwei Larven

138 dasselbe Korn besetzen

139 kämpfen sie, bis die Unterlegene stirbt oder flieht.

140 kämpfen sie, bis die Unterlegene stirbt oder flieht. Werden besetzten Körner vermieden?

141 Aus einem Posten befallenen Weizens

142 Aus einem Posten befallenen Weizens wurden 150 Körner seziert

143 Aus einem Posten befallenen Weizens wurden 150 Körner seziert und die Anzahl Larven pro Korn wurde festgestellt.

144 Aus einem Posten befallenen Weizens wurden 150 Körner seziert und die Anzahl Larven pro Korn wurde festgestellt. Sind die beobachteten Häufigkeiten mit einer rein zufälligen Besetzung vereinbar?

145 Anzahl Larven pro Korn in 150 Weizenkörnern Anzahl Körner k=larven pro Korn

146 Was heißt rein zufällig?

147 Was heißt rein zufällig?

148 MODELL

149 MODELL Sei K die Anzahl Larven in einem Korn.

150 MODELL Sei K die Anzahl Larven in einem Korn. Es gibt n Larven.

151 MODELL Sei K die Anzahl Larven in einem Korn. Es gibt n Larven. Jede Larve gelangt mit Wahrscheinlichkeit p in das Korn

152 MODELL Sei K die Anzahl Larven in einem Korn. Es gibt n Larven. Jede Larve gelangt mit Wahrscheinlichkeit p in das Korn unabhängig von den anderen Larven.

153 MODELL Sei K die Anzahl Larven in einem Korn. Es gibt n Larven. Jede Larve gelangt mit Wahrscheinlichkeit p in das Korn unabhängig von den anderen Larven. K = I 1 + I I n

154 MODELL Sei K die Anzahl Larven in einem Korn. Es gibt n Larven. Jede Larve gelangt mit Wahrscheinlichkeit p in das Korn unabhängig von den anderen Larven. K = I 1 + I I n K Bin(n, p)

155 Schwierigkeit

156 Schwierigkeit n, p unbekannt

157 Schwierigkeit n, p unbekannt Ausweg

158 Schwierigkeit n, p unbekannt Ausweg n 1

159 Schwierigkeit n, p unbekannt Ausweg n 1 p 1

160 Schwierigkeit n, p unbekannt Ausweg n 1 p 1 Bin(n, p) Pois(λ) λ = np

161 Angenommen, diese Daten sind eine Stichprobe aus Pois(λ), Anzahl Körner k = Larven pro Korn

162 wie schätzt man λ? Anzahl Körner k = Larven pro Korn

163 EXKURS Die Poissonverteilung

164 EXKURS Die Poissonverteilung (Wiederholung)

165 EXKURS Die Poissonverteilung (Wiederholung) Q

166 EXKURS Die Poissonverteilung (Wiederholung) Q Quiz-relevant

167 Binomialverteilung

168 Binomialverteilung B Bin(n, p)

169 Binomialverteilung B Bin(n, p) B = Anzahl Erfolge in n unabhängigen Versuchen

170 Binomialverteilung B Bin(n, p) B = Anzahl Erfolge in n unabhängigen Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p in jedem Versuch

171 Binomialverteilung B Bin(n, p) B = Anzahl Erfolge in n unabhängigen Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p in jedem Versuch

172 P{ B = k } = n k p k (1 p) n k

173 P{ B = k } = n k p k (1 p) n k EB = np

174 P{ B = k } = n k p k (1 p) n k EB = np σ 2 B = np(1 p)

175 P{ B = k } = n k p k (1 p) n k EB = np σ 2 B = np(1 p) n p 0 np λ

176 P{ B = k } = n k p k (1 p) n k EB = np σ 2 B = np(1 p) n p 0 np λ P{ B = k } λk k! e λ

177 P{ B = k } = n k p k (1 p) n k EB = np σ 2 B = np(1 p) n p 0 np λ P{ B = k } λk k! e λ EB = np λ

178 P{ B = k } = n k p k (1 p) n k EB = np σ 2 B = np(1 p) n p 0 np λ P{ B = k } λk k! e λ EB = np λ σ 2 B = np(1 p) λ

179 Poissonverteilung

180 Poissonverteilung X Pois(λ)

181 Poissonverteilung X Pois(λ) X = Anzahl Erfolge in n 1 unabhängigen Versuchen

182 Poissonverteilung X Pois(λ) X = Anzahl Erfolge in n 1 unabhängigen Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p 1 in jedem Versuch,

183 Poissonverteilung X Pois(λ) X = Anzahl Erfolge in n 1 unabhängigen Versuchen mit Erfolgswahrscheinlichkeit p 1 in jedem Versuch, wobei np = λ

184 P{ X = k } = λk k! e λ

185 P{ X = k } = λk k! e λ EX = λ

186 P{ X = k } = λk k! e λ EX = λ σ 2 X = λ

187 Die Binomialverteilung Bin(n, p) np = 2 P { B = k } n = k

188 Die Binomialverteilung Bin(n, p) np = 2 P { B = k } n = 4 n = k

189 Die Binomialverteilung Bin(n, p) np = 2 P { B = k } n = 4 n = 5 n = k

190 Die Binomialverteilung Bin(n, p) np = 2 P { B = k } n = 4 n = 5 n = 6 n = k

191 Die Binomialverteilung Bin(n, p) np = 2 P { B = k } n = 4 n = n = k

192 Die Binomialverteilung Bin(n, p) np = 2 P { B = k } n = 4 n = n = k

193 Die Binomialverteilung Bin(n, p) np = 2 P { B = k } n = 4 n = n = 89 n = k

194 Die Binomialverteilung Bin(n, p) np = 2 P { B = k } n = 4 n = n = n = k

195 Die Binomialverteilung Bin(n, p) np = 2 P { B = k } n = 4 n = n = n = k

196 Die Binomialverteilung Bin(n, p) np = 2 P { B = k } n = 4 n = n = n = k

197 Die Binomialverteilung Bin(n, p) np = 2 P { B = k } n = 4 n = n = n = k

198 Die Binomialverteilung Bin(n, p) np = 2 P { B = k } n = 4 n = n = n = k

199 Die Binomialverteilung Bin(n, p) np = 2 P { B = k } n = 4 n = n = n = k

200 Die Binomialverteilung Bin(n, p) np = 2 P { B = k } n = 4 n = n = n = k

201 Die Binomialverteilung Bin(n, p) np = 2 P { B = k } n = 4 n = n = n = k

202 Die Binomialverteilung Bin(n, p) np = 2 P { B = k } n = 4 n = n = n = k

203 Die Binomialverteilung Bin(n, p) np = 2 P { B = k } n = 4 n = n = n = k

204 Die Poissonverteilung Pois(2) P { X = k } n = 4 n = n = n = k

205 P { B = k } Die Binomialverteilung Bin(n, p) np = k

206 AUFGABE

207 AUFGABE 100 Studenten sitzen in einem Hörsaal am 5. Juni.

208 AUFGABE 100 Studenten sitzen in einem Hörsaal am 5. Juni. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau einer von ihnen an diesem Tag Geburtstag hat?

209 AUFGABE 100 Studenten sitzen in einem Hörsaal am 5. Juni. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau einer von ihnen an diesem Tag Geburtstag hat? (i) Nach dem Binomialmodell mit p = 1/365?

210 AUFGABE 100 Studenten sitzen in einem Hörsaal am 5. Juni. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau einer von ihnen an diesem Tag Geburtstag hat? (i) Nach dem Binomialmodell mit p = 1/365? (ii) Nach der Poissonannäherung dazu?

211 AUFGABE 100 Studenten sitzen in einem Hörsaal am 5. Juni. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau einer von ihnen an diesem Tag Geburtstag hat? (i) Nach dem Binomialmodell mit p = 1/365? (ii) Nach der Poissonannäherung dazu?

212 P { B = k } = (i) n p k k (1 p) n k

213 P { B = k } = (i) n p k k (1 p) n k P { B = 1 } = ( ) ( )

214 P { B = k } = (i) n p k k (1 p) n k P { B = 1 } = ( ) ( ) P { B = 1 }

215 (ii) P { X = k } = λk k! e λ

216 (ii) P { X = k } = λk k! e λ λ = np = 100/365 = 0.274

217 (ii) P { X = k } = λk k! e λ λ = np = 100/365 = P { X = 1 } = λe λ

218 (ii) P { X = k } = λk k! e λ λ = np = 100/365 = P { X = 1 } = λe λ P { X = 1 }

219 AUFGABE

220 AUFGABE Bei Café Bauer hat nur 1 Rosinenbrötchen aus 1000 keine Rosine.

221 AUFGABE Bei Café Bauer hat nur 1 Rosinenbrötchen aus 1000 keine Rosine. Wie viele Rosinen hat ein durchschnittliches Brötchen?

222 R := Anzahl in einem Brötchen

223 R := Anzahl in einem Brötchen R ist (annähernd) poissonverteilt

224 R := Anzahl in einem Brötchen R ist (annähernd) poissonverteilt (Denn im Teig sind viele Rosinen,

225 R := Anzahl in einem Brötchen R ist (annähernd) poissonverteilt (Denn im Teig sind viele Rosinen, jede mit einer kleinen Chance in mein Brötchen zu gelangen.)

226 R := Anzahl in einem Brötchen R ist (annähernd) poissonverteilt (Denn im Teig sind viele Rosinen, jede mit einer kleinen Chance in mein Brötchen zu gelangen.) P { R = 0 } = e λ = 0.001

227 R := Anzahl in einem Brötchen R ist (annähernd) poissonverteilt (Denn im Teig sind viele Rosinen, jede mit einer kleinen Chance in mein Brötchen zu gelangen.) P { R = 0 } = e λ = λ = ln(0.001)

228 R := Anzahl in einem Brötchen R ist (annähernd) poissonverteilt (Denn im Teig sind viele Rosinen, jede mit einer kleinen Chance in mein Brötchen zu gelangen.) P { R = 0 } = e λ = λ = ln(0.001) λ 6.9

229 Ende des Exkurses

230 Ende des Exkurses Zurück zum Schätzen

231 K Pois(λ)

232 K Pois(λ) Wie schätzt man λ?

233 K Pois(λ) Wie schätzt man λ? Es gibt viele Möglichkeiten.

234 EK = λ

235 EK = λ ^λ 1 := K = 1 n Ki

236 EK = λ ^λ 1 := K = 1 n Ki σ 2 K = λ

237 EK = λ ^λ 1 := K = 1 n Ki σ 2 K = λ ^λ 2 := ^σ 2 K = n 1 1 (Ki K) 2

238 EK = λ ^λ 1 := K = 1 n Ki σ 2 K = λ ^λ 2 := ^σ 2 K = n 1 1 (Ki K) 2 P{K = 0} = e λ

239 EK = λ ^λ 1 := K = 1 n Ki σ 2 K = λ ^λ 2 := ^σ 2 K = n 1 1 (Ki K) 2 P{K = 0} = e λ ^λ 3 := ln(^p{k = 0}) = ln( 1 n #{X i X i = 0})

240 EK = λ ^λ 1 := K = 1 n Ki σ 2 K = λ ^λ 2 := ^σ 2 K = n 1 1 (Ki K) 2 P{K = 0} = e λ ^λ 3 := ln(^p{k = 0}) = ln( 1 n #{X i X i = 0}) Was wählen?

241 UMWANDLUNG DER FRAGE

242 UMWANDLUNG DER FRAGE Welche Werte von λ passen zu den Daten?

243 UMWANDLUNG DER FRAGE Welche Werte von λ passen zu den Daten? Sei k der Vektor der Beobachtungen

244 UMWANDLUNG DER FRAGE Welche Werte von λ passen zu den Daten? Sei k der Vektor der Beobachtungen k := (k1,..., k n ) T

245 UMWANDLUNG DER FRAGE Welche Werte von λ passen zu den Daten? Sei k der Vektor der Beobachtungen k := (k1,..., k n ) T und sei f K ( k;λ) seine Wahrscheinlichkeit.

246 UMWANDLUNG DER FRAGE Welche Werte von λ passen zu den Daten? Sei k der Vektor der Beobachtungen k := (k1,..., k n ) T und sei f K ( k;λ) seine Wahrscheinlichkeit. Die Likelihood L(λ)

247 UMWANDLUNG DER FRAGE Welche Werte von λ passen zu den Daten? Sei k der Vektor der Beobachtungen k := (k1,..., k n ) T und sei f K ( k;λ) seine Wahrscheinlichkeit. Die Likelihood L(λ) L(λ) := f K ( k;λ)

248 UMWANDLUNG DER FRAGE Welche Werte von λ passen zu den Daten? Sei k der Vektor der Beobachtungen k := (k1,..., k n ) T und sei f K ( k;λ) seine Wahrscheinlichkeit. Die Likelihood L(λ) L(λ) := f K ( k;λ) ( k fest)

249 Beobachtete Häufigkeiten Anzahl Körner k = Larven pro Korn

250 Anzahl Körner L(λ) =? k = Larven pro Korn

251 L(λ) 0.0e e e e e L(λ) λ

252 ln(L(λ)) ln(l(λ)) λ

253 ln(L(λ)) ln(l(λ)) λ

254 Einige Werte von λ passen viel besser als andere L(λ) 0.0e e e e e λ

255 Welches λ sollten wir wählen? L(λ) 0.0e e e e e λ

256 Warum nicht das beste? L(λ) 0.0e e e e e λ

257 Warum nicht das beste? L(λ) 0.0e e e e e λ

258 Der Maximum-Likelihood-Schätzer L(λ) 0.0e e e e e λ

259 L(λ) 0.0e e e e e ^λ : L(^λ) = max! λ

260 Die Maximum-Likelihood Methode: Nimm das λ, L(λ) 0.0e e e e e λ

261 bei dem das Beobachtete die größtmögliche Wahrscheinlichkeit hat L(λ) 0.0e e e e e λ

262 Formel für ^λ

263 Formel für ^λ (nicht unbedingt notwendig)

264 Formel für ^λ (nicht unbedingt notwendig) L(λ) = f K (k 1 ; λ)...f K (k n ; λ)

265 Formel für ^λ (nicht unbedingt notwendig) L(λ) = f K (k 1 ; λ)...f K (k n ; λ) L(λ) = ( λk 1 k 1! e λ )...( λk n k n! e λ )

266 Formel für ^λ (nicht unbedingt notwendig) L(λ) = f K (k 1 ; λ)...f K (k n ; λ) L(λ) = ( λk 1 k 1! e λ )...( λk n k n! e λ ) L(λ) = λk k n k 1!...k n! e nλ

267 Formel für ^λ (nicht unbedingt notwendig) L(λ) = f K (k 1 ; λ)...f K (k n ; λ) L(λ) = ( λk 1 k 1! e λ )...( λk n k n! e λ ) L(λ) = λk k n k 1!...k n! e nλ ln L(λ) = (k k n ) ln λ nλ + Konst

268 Formel für ^λ (nicht unbedingt notwendig) L(λ) = f K (k 1 ; λ)...f K (k n ; λ) L(λ) = ( λk 1 k 1! e λ )...( λk n k n! e λ ) L(λ) = λk k n k 1!...k n! e nλ ln L(λ) = (k k n ) ln λ nλ + Konst d dλ ln L(λ) = k k n λ n

269 Formel für ^λ (nicht unbedingt notwendig) L(λ) = f K (k 1 ; λ)...f K (k n ; λ) L(λ) = ( λk 1 k 1! e λ )...( λk n k n! e λ ) L(λ) = λk k n k 1!...k n! e nλ ln L(λ) = (k k n ) ln λ nλ + Konst d dλ ln L(λ) = k k n λ n 0 = k k n λ n

270 Formel für ^λ (nicht unbedingt notwendig) L(λ) = f K (k 1 ; λ)...f K (k n ; λ) L(λ) = ( λk 1 k 1! e λ )...( λk n k n! e λ ) L(λ) = λk k n k 1!...k n! e nλ ln L(λ) = (k k n ) ln λ nλ + Konst d dλ ln L(λ) = k k n λ n 0 = k k n λ n ^λ = k

271 Beobachtete Häufigkeiten Anzahl Körner k

272 Angepasste Poissonverteilung Anzahl Körner k

273 nf K (k;^λ) Anzahl Körner k

274 nf K (k;^λ) Anzahl Körner k

275 Sehr gute Anpassung Anzahl Körner k

276 (von formalen statistischen Tests bestätigt) Anzahl Körner k

277 Fazit Anzahl Körner k

278 Offenbar wissen Larven nicht, wenn ein Korn besetzt ist Anzahl Körner k

279 Panzer-Beispiel

280 Panzer-Beispiel Uniformverteilung auf (0, λ)

281 Panzer-Beispiel Uniformverteilung auf (0, λ) f X (x;λ) = 1 λ x (0, λ)

282 Panzer-Beispiel Uniformverteilung auf (0, λ) f X (x;λ) = λ 1 x (0, λ) f X (x;λ) = 0 x / (0, λ)

283 Panzer-Beispiel Uniformverteilung auf (0, λ) f X (x;λ) = λ 1 x (0, λ) f X (x;λ) = 0 x / (0, λ) x := (x 1,...x n ) T

284 Panzer-Beispiel Uniformverteilung auf (0, λ) f X (x;λ) = 1 λ x (0, λ) f X (x;λ) = 0 x / (0, λ) x := (x 1,...x n ) T f X ( x; λ) = 1 λ n M := max{x i } (0, λ)

285 Panzer-Beispiel Uniformverteilung auf (0, λ) f X (x;λ) = 1 λ x (0, λ) f X (x;λ) = 0 x / (0, λ) x := (x 1,...x n ) T f X ( x; λ) = λ 1 M := max{x i } (0, λ) f X ( x;λ) = 0 M :=/ (0, λ)

286 Panzer-Beispiel Uniformverteilung auf (0, λ) f X (x;λ) = 1 λ x (0, λ) f X (x;λ) = 0 x / (0, λ) x := (x 1,...x n ) T f X ( x; λ) = λ 1 M := max{x i } (0, λ) f X ( x;λ) = 0 M :=/ (0, λ)

287 f X (x) x λ

288 x 1,..., x x λ

289 x 1,..., x x λ

290 L(λ) λ

291 ^λ : L(λ) = max! λ

292 ^λ = M λ

293 L(λ) (n = 10) λ

294 x 1,..., x x λ

295 x 1,..., x x λ

296 L(λ) (n = 25) λ

297 LETZTES BEISPIEL

298 LETZTES BEISPIEL Warten auf den ersten Erfolg

299 LETZTES BEISPIEL Warten auf den ersten Erfolg X 1, X 2, X 3,... unabhängig

300 LETZTES BEISPIEL Warten auf den ersten Erfolg X 1, X 2, X 3,... unabhängig mit P { X i = 1 } = p P { X i = 0 } = 1 p

301 LETZTES BEISPIEL Warten auf den ersten Erfolg X 1, X 2, X 3,... unabhängig mit P { X i = 1 } = p P { X i = 0 } = 1 p T := inf { i X i = 1 } Zeitpunkt des ersten Erfolgs

302 Man wartet n-mal auf Erfolg

303 Man wartet n-mal auf Erfolg mit Wartezeiten t 1, t 2,..., t n.

304 Man wartet n-mal auf Erfolg mit Wartezeiten t 1, t 2,..., t n. Wie schätzt man p aus den Wartezeiten?

305 Q

306 Q Quiz-relevant

307 WIEDERHOLUNG ET = 1 p

308 WIEDERHOLUNG ET = 1 p T 1 Misserfolge vor dem ersten Erfolg

309 WIEDERHOLUNG ET = 1 p T 1 Misserfolge vor dem ersten Erfolg E(T 1) = 1 p 1 = 1 p p

310 AUFGABE

311 AUFGABE Das Schwarze in der Mitte einer Zielscheibe von Radius 80 cm hat Radius 8 cm.

312 AUFGABE Das Schwarze in der Mitte einer Zielscheibe von Radius 80 cm hat Radius 8 cm. Ein Schütze trifft rein zufällige Punkte in der Zielscheibe.

313 AUFGABE Das Schwarze in der Mitte einer Zielscheibe von Radius 80 cm hat Radius 8 cm. Ein Schütze trifft rein zufällige Punkte in der Zielscheibe. Wie oft im Mittel schießt er daneben, bis er zum ersten Mal ins Schwarze trifft?

314 AUFGABE Das Schwarze in der Mitte einer Zielscheibe von Radius 80 cm hat Radius 8 cm. Ein Schütze trifft rein zufällige Punkte in der Zielscheibe. Wie oft im Mittel schießt er daneben, bis er zum ersten Mal ins Schwarze trifft? p = ( 1 10 ) 2 = 1 100

315 AUFGABE Das Schwarze in der Mitte einer Zielscheibe von Radius 80 cm hat Radius 8 cm. Ein Schütze trifft rein zufällige Punkte in der Zielscheibe. Wie oft im Mittel schießt er daneben, bis er zum ersten Mal ins Schwarze trifft? p = ( 1 10 ) 2 = E(T 1) = p 1 1 = = 99

316 Der Maximum-Likelihood-Schätzer ^p

317 Der Maximum-Likelihood-Schätzer ^p L(p)

318 Der Maximum-Likelihood-Schätzer ^p L(p) L(p) = [(1 p) t 1 1 p]...[(1 p) t n 1 p]

319 Der Maximum-Likelihood-Schätzer ^p L(p) L(p) = [(1 p) t1 1 p]...[(1 p) tn 1 p] L(p) = (1 p) ( t i n) p n

320 Der Maximum-Likelihood-Schätzer ^p L(p) L(p) = [(1 p) t1 1 p]...[(1 p) tn 1 p] L(p) = (1 p) ( t i n) p n ln L(p) = ( t i n) ln(1 p) + n ln p

321 Der Maximum-Likelihood-Schätzer ^p L(p) L(p) = [(1 p) t 1 1 p]...[(1 p) t n 1 p] L(p) = (1 p) ( t i n) p n ln L(p) = ( t i n) ln(1 p) + n ln p d dp lnl(p) = 0

322 Der Maximum-Likelihood-Schätzer ^p L(p) L(p) = [(1 p) t 1 1 p]...[(1 p) t n 1 p] L(p) = (1 p) ( t i n) p n ln L(p) = ( t i n) ln(1 p) + n ln p d dp lnl(p) = 0 ( t i n) (1 p) + n p = 0

323 Der Maximum-Likelihood-Schätzer ^p L(p) L(p) = [(1 p) t 1 1 p]...[(1 p) t n 1 p] L(p) = (1 p) ( t i n) p n ln L(p) = ( t i n) ln(1 p) + n ln p d dp lnl(p) = 0 ( t i n) (1 p) + n p = 0 p( t i n) = n(1 p)

324 Der Maximum-Likelihood-Schätzer ^p L(p) L(p) = [(1 p) t 1 1 p]...[(1 p) t n 1 p] L(p) = (1 p) ( t i n) p n ln L(p) = ( t i n) ln(1 p) + n ln p d dp lnl(p) = 0 ( t i n) (1 p) + n p = 0 p( t i n) = n(1 p) p( t i ) = n

325 Der Maximum-Likelihood-Schätzer ^p L(p) L(p) = [(1 p) t 1 1 p]...[(1 p) t n 1 p] L(p) = (1 p) ( t i n) p n ln L(p) = ( t i n) ln(1 p) + n ln p d dp lnl(p) = 0 ( t i n) (1 p) + n p = 0 p( t i n) = n(1 p) p( t i ) = n ^p = n/ t i

326 ENDE