Anwesenheitsübung zur Vorlesung Algebra und Zahlentheorie

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1 Anwesenheitsübung zur Vorlesung Algebra und Zahlentheorie WS 2014/2015 A Muñoz, A Schmitt Aufgabe 1 (7+8 Punkte) a) Bestimmen Sie die Primfaktorzerlegungen der Zahlen und und geben Sie damit den größten gemeinsamen Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache dieser beiden Zahlen an b) Bestimmen Sie mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus Zahlen x,y Zmit x y 12600= ggt(15015,12600) Lösung a) Es gilt 15015= Hierfür 2 Punkte (Die Primfaktoren 3, 5 und 11 findet man schnell mit den in der Vorlesung angegebenen Teilbarkeitstests Man muss dann nur noch 91=7 13 faktorisieren) Weiter 12600= Hierfür Daraus erhält man ggt(15015,12600)= 3 5 7=105 Hierfür 2 Punkte Schließlich folgt kgv(15015,12600)= = = Hierfür 2 Punkte b) Eine Probe zeigt i a i q i x i y i = =105 Jeder Rechenfehler 1 Punkt Abzug

2 Aufgabe 2 (5+3+2 Punkte) a) Wir betrachten die folgenden Permutationen σ 1,σ 2 S 16 : ( ) σ 1 = und σ 2 = ( Schreiben Sie σ 1 und σ 2 als Produkte paarweise disjunkter Zykel Geben Sie den Zykeltyp von σ 1 und σ 2 an b) Berechnen Sie die Vorzeichen Sign(σ 1 ) und Sign(σ 2 ) c) Sind σ 1 und σ 2 zueinander konjugiert? (Begründen Sie Ihre Antwort) Lösung a) Es gilt und σ 1 =( ) (4 13) ( ) (12 14) σ 2 =( ) ( ) ( ) Je Folglich ist der Zykeltyp von σ 1 bzw σ 2 das Tupel(2,2,5,7) bzw(4,5,7) Zum Nachweis verwendet man das Verfahren, das in der Vorlesung und im Skript vorgestellt wurde Für σ 1 sieht das folgendermaßen aus: Zunächst wird die Bahn der 1 unter den Iterationen von σ 1 verfolgt Das ergibt den 7-Zykel ( ) Die entsprechenden Spalten können wir streichen: ( Als nächstes wird die 4 beobachtet Man findet die Transposition(4 13) Streichen der entsprechenden Spalten liefert ( ) Jetzt schaut man sich die 5 an Dies führt auf den 5-Zykel ( ) Die entsprechenden Spalten werden wieder gestrichen: ( ) Es bleibt die Transposition(12 14) übrig Wenn die Rechenmethode deutlich wird, gibt es zwei Punkte ) )

3 b) Das Vorzeichen eines Zykels der Länge k ist( 1) k 1 Die Vorzeichenfunktion Sign: S 16 {±1} ist ein Homomorphismus Demnach gilt Sign(σ 1 )=( 1) ( 1) ( 1) 4 ( 1) 6 = 1 und Sign(σ 2 )=( 1) 3 ( 1) 4 ( 1) 6 = 1 c) Zwei Permutationen sind genau dann konjugiert, wenn sie denselben Zykeltyp haben Nach a) haben σ 1 und σ 2 verschiedene Zykeltypen und sind deshalb nicht konjugiert

4 Aufgabe 3 (3+7 Punkte) a) Es sei G eine Gruppe Definieren Sie den Begriff eines Normalteilers von G b) Beweisen Sie, dass H := { } A GL 2 (R) Det(A)=1 Det(A)= 1 ein Normalteiler von GL 2 (R) ist und dass GL 2 (R)/H abelsch ist Lösung a) (Skript, Definition II93) Ein Normalteiler von G ist eine Untergruppe H von G, so dass g G: g H g 1 = H b) Die Aufgabe lässt sich am leichtesten mit dem ersten Isomorphiesatz lösen: Wir betrachten ϕ : GL 2 (R) R A Det(A) 2 2 Punkte Die Abbildung ϕ ist ein Gruppenhomomorphismus: A,B GL 2 (R) : ϕ(a B)=Det(A B) 2 = ( Det(A) Det(B) ) 2 = Det(A)2 Det(B) 2 = ϕ(a) ϕ(b) Es gilt Deshalb ist H ein Normalteiler Nach dem ersten Isomorphiesatz gilt Ker(ϕ)= { A GL 2 (R) Det(A) 2 = 1 } = H GL 2 (R)/H = Im(ϕ) (R, ) Da R abelsch ist, ist auch Im(ϕ) und damit GL 2 (R)/H abelsch (Genauer gilt Im(ϕ)= R >0 )

5 Aufgabe 4 (9+6 Punkte) a) Es seien n 2 eine natürliche Zahl und n= p r 1 1 p r s s ihre Primfaktorzerlegung Zu einer endlichen abelschen Gruppe G existieren eindeutig bestimmte natürliche Zahlen t 1 und m 1,,m t, so dass 2 m 1, m i m i+1, i=1,,t 1, G = Z m1 Z mt Bestimmen Sie den maximal möglichen Wert t M, den t für eine endliche abelsche Gruppe der fixierten Ordnung n annehmen kann, und geben Sie eine abelsche Gruppe G M der Ordnung n an, für die t = t M gilt b) Listen Sie alle Isomorphieklassen endlicher abelscher Gruppen der Ordnung 32=2 5 auf Lösung a) Es gilt n=m 1 m t Sei p ein Primteiler von m 1 Wegen p m 1 m 2 m t folgt 3 Punkte Damit ist die maximal mögliche Anzahl p t n t M := max{r 1,,r s } 3 Punkte Seien i {1,,s}, so dass t M = r i, und p := p i Wir können schreiben Dann realisiert n= p tm m G M := Z p Z p }{{} (t M 1) Faktoren Z p m den maximal möglichen Wert für t 3 Punkte b) Die Isomorphieklassen abelscher Gruppen der Ordnung 32 stehen nach dem Hauptsatz in Bijektion zu den Tupeln(k 1,,k t ) natürlicher Zahlen mit 1 k 1 k 2 k t,

6 k 1 + +k t = 5 Dabei entspricht solch ein Tupel(k 1,,k t ) der abelschen Gruppe Die möglichen Tupel sind Z 2 k 1 Z 2 kt (1,1,1,1,1), (1,1,1,2), (1,1,3), (1,2,2), (1,4), (2,3), (5) Dazu gehören die Gruppen Z 2 Z 2 Z 2 Z 2 Z 2, Z 2 Z 2 Z 2 Z 4, Z 2 Z 2 Z 8 Z 2 Z 4 Z 4, Z 2 Z 16, Z 4 Z 8, Z 32 Falls die Liste nicht vollständig ist, gibt es für jede Gruppe 0,75 Punkte Es wird aufgerundet