Übungsaufgaben zur Analysis

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1 Serie Übungsaufgaben zur Analysis. Multiplizieren Sie folgende Klammern aus: ( + 3y)( + 4a + 4b) (a b )( + 3y 4) (3 + )(7 + y) + (a + b)(3 + ). Multiplizieren Sie folgende Klammern aus: 6a( 3a + 5b c) ( 6y)( y) ( y)( + y)(a b) 3. Berechnen Sie durch Ausmultiplizieren! (a + b) 3 = (a + b)(a + b)(a + b) (a b) 3 = (a b)(a b)(a b) 4. Berechnen Sie! 3y 4a 3b a + b c + d : a b c d y y 5. Berechnen Sie! D) E) : Berechnen Sie in Form eines Bruchs! + y 3 + z a a + b y a b y a b + y 7. Bestimmen Sie alle reellen Zahlen, für die folgenden Ungleichungen gelten. Beachten Sie, dass auftretende Nenner auch negativ sein können und die auftretenden Ausdrücke eventuell nicht definiert sind. 3 + < 4 9 a b > K 3 + > D) + 4

2 8. Bestimmen Sie alle reellen Zahlen, für die folgenden Ungleichungen gelten. 3 + < Bestimmen Sie das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 4; ; 6; 39 mit Hilfe der Zerlegung in Primzahlen. Serie. Fassen Sie folgende Ausdrücke zu einem Bruch zusammen. Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke u a u + a u 3 a 4 0 a 6 b b 8 r r + r n r n+ r. n a 4 a a ( y 4 ) 3 ( y 4 ) 3 ( q ) +q 3. Der Bruch y 3 z 5 u v soll so umgeformt werden, dass keine negativen Potenzen auftreten! 4. Der Doppelbruch a b 4 : b 4 a 3 c a c soll so umgeformt werden, dass gar kein Bruch mehr auftritt. 5. Berechnen Sie folgende Binomialkoeffizienten ( ) 8 4 ( ) 0 3 ( ) 49 6 = Anzahl der möglichen Tipps beim Lotto 6. Berechnen Sie mit Hilfe des Binomischen Lehrsatzes ( y) 5 (u 3v) 4 7. (Zinsrechnung) Beträgt der Zinssatz p%, so ist das Anfangskapital K 0 nach einem Jahr auf K = q K 0 angewachsen, wobei q = + p 00 gesetzt wurde. Auf welchen Betrag wachsen 6000 Euro bei einem Zinssatz von p% = 5% in 0 Jahren? Euro bei einem Zinssatz von p% = 7, 3% in 5 Jahren? 8000 Euro bei einem Zinssatz von p% = 4 3 % in 7 Jahren?

3 8. Auf welchen Betrag würde Cent bei einem Zinssatz von % in 000 Jahren anwachsen? 9. In wieviel Jahren verdoppelt sich eine zu einem Zinssatz von 5% angelegtes Kapital? 0. Ein Stiftungskapital von Euro soll 0 Jahre zu einem Zinssatz von 6, 5% angelegt werden. Danach sollen die Zinsen zur Förderung von Studenten verwendet werden. Wie hoch ist der jährlich zur Verfügung stehende Förderbetrag, wenn der Zinssatz unveränderlich 6, 5% beträgt.. Berechnen Sie folgende Logarithmen durch Rückführung auf den dekadischen oder den natürlichen Logarithmus, indem Sie direkt die Definition des Logarithmus verwenden. Serie 3 log 3 7 log 0,5 5. Begründen Sie, ob durch folgende Vorschriften f (), R reelle Funktionen definiert werden! wenn 3 f () = 0 wenn sonst wenn 3 f () = 0 wenn sonst. Bestimmen Sie den Definitionsbereich und den Wertebereich der Funktionen, die durch folgende Ausdrücke gegeben sind. f () = 4 f () = 3 4 f () = 4 4 D) f () = + 3 { E) f () = wenn wenn =. 3. Gegeben sei die Funktion f () = 4 +. Entscheiden Sie, ob folgende Punkte (, y) auf dem Graphen der Funktion f liegen! (0, 0); (0, ), (, 3); (, 0) 4. Es bezeichne I (a,b] die Indikatorfunktion des Intervalls (a, b], d.h. { für a < b I (a,b] () =. 0 sonst Die Indikatorfunktionen für die anderen Intervalle [a, b), [a, b], (a, b) sind ähnlich definiert. Sei f () = I (, ] () I (,0] () + I (0,0] (). Berechnen Sie f ( 5); f ( 0, 5); f () und f (0). Skizzieren Sie den Verlauf der Funktion f! Ist diese Funktion nach oben beschränkt, nach unten beschränkt und beschränkt? Untersuchen Sie, in welchen Bereichen diese Funktion monoton wachsend bzw. monoton fallend ist!. 3

4 5. Es sei u() = ; v() = e und w() = sin. Untersuchen Sie, welche Verkettungen von je zwei Funktionen bzw. von drei Funktionen möglich ist! Geben Sie die zugehörigen Definitionsbereiche der so entstandenen Funktionen an! 6. Weisen Sie nach, dass die Verkettung der gebrochen linearen Funktionen f = a + b und f = a + b c + d c + d wieder eine gebrochen lineare Funktion ist. Bestimmen Sie diese neue Funktion! 7. Bestimmen Sie die Definitionsbereiche der Funktionen f (), die durch folgende Ausdrücke gegeben sind. f () = f () = f () = + D) f () = 6 E) f () = Untersuchen Sie, in welchen Intervallen die folgenden Funktionen monoton wachsend bzw. monoton fallend sind. Geben Sie zusätzlich den Definitionsbereich an. Begründen Sie Ihre Aussagen durch Untersuchung der zugehörigen Ungleichungen! Skizzieren Sie den Verlauf dieser Funktionen! f () = + 4 f () = 5 7 f () = D) f () = 5 + E) f () = [] sei die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich ist. Es sei f () = g( []) die periodische Fortsetzung der im Intervall [0, ] definierten Funktion g. Welche Bedingungen muss g erfüllen, damit f in jedem Punkt stetig ist? 0. Wie müssen die Zahlen a und b gewählt werden, damit die Funktion stetig ist? f () = ai [0,] () + bi (,4] () + I (4, (). Bestimmen Sie die eventuell vorliegenden Unstetigkeitstellen der folgenden Funktionen! f () = I [,7] () f () = ( ) I [,7] () f () = ( ) I [,7] () + 5I (7, ) () D) f () = I [0,7) () + 49I (7, ) () { E) f () = für für = { 4 F ) f () = für 5 für = 4

5 . Bestimmen Sie die Definitionsgebiete und die Monotonieintervalle der folgenden Funktionen und bestimmen Sie dort die Umkehrfunktionen! f () = f () = f () = 4e 35 D) f () = log 4 ( 3) E) f () = 3 3. Das Anfangskapital K 0 wird angelegt und stetig verzinst mit einem Zinssatz von 8%. Nach wieviel Jahren hat sich das Kapital verzehnfacht? 4. Unter der Halbwertszeit eines radioaktiven Materials versteht man die Zeit, bis zu der die Hälfte des Materials zerfallen ist. Ist M 0 die Anfangsmenge, dann ist M t = M 0 e at die zum Zeitpunkt t vorhandene Menge. Hierbei ist a > 0 eine vom Material abhängige positive Konstante. Die Halbwertszeit sei 500 Jahre. Bestimmen Sie die Konstante a! Zu welchen Zeitpunkten sind noch 5% bzw. % des radioaktiven Materials vorhanden? 5. Lösen Sie folgende Gleichungen nach auf! 6. Lösen Sie folgende Gleichungen nach auf! Serie = = = 3 5, 04 (, 04 ) = 6 3 = = 4 + D) + ln = ln( ). Weisen Sie folgende Aussage nach. Ist f in 0 differenzierbar, so ist f auch stetig in 0.. Berechnen Sie die Ableitung von f () = 3 direkt mit Hilfe der Definition! 3. a > 0, a sei eine Konstante. Wie lauten die Ableitungen folgender Funktionen? 4. Man bestimme für y = (f ()) a y = (f (g())) a y = a g() D) y = a f (g()) { a + 9 für < 3 f () = a für 3, die Zahl a so, dass f an der Stelle 0 = 3 differenzierbar ist. 5

6 5. Man bestimme die Ableitung folgender Funktionen: f () = F ) f () = cos( 3 ) f () = e G) f () = f () = H) f () = e cos( ) D) f () = ln + 4 I) f () = cos (a) + cos(a) E) f () = 3 ln e 6. Stellen Sie die Gleichung für die Tangente im Punkt 0 = für folgende Funktionen auf. 7. Man beweise die Ungleichung f () = e f () = f () = sin. e + durch Betrachtung der Ableitungen von g() = e. 8. Man bestimme die lokalen Etrema folgender Funktionen. f () = + 6 f () = f () = 4e 9. Wie muss ein zylindrische Konservendose mit Liter (000cm 3 ) beschaffen sein, damit sie eine minimale Oberfläche hat? Hinweis: Ist der Radius und ist h die Höhe des Zylinders, so gilt für das Volumen V = π h und für die Oberfläche O() = π + πh 0. Mit einem Zaun der Länge L soll ein rechteckiges Grundstück eingezäunt werden. Wie sind die Seitenlängen a und b zu wählen, damit der Flächeninhalt maimal wird? Serie 5. Entscheiden Sie in welchen Intervallen die folgenden Funktionen konve oder konkav sind. f () = f () = e f () = e D) f () = sin E) f () = 0, 5. Bestimmen Sie die Wendepunkte folgender Funktionen. f () = 0, f () = 4e f () =

7 3. Man untersuche die Funktion f () = e a auf lokale Etrema! Skizzieren Sie den Verlauf dieser Funktion. Machen Sie hierbei eine Fallunterscheidung für a. 4. Führen Sie für die Funktion f () = ( )e die Kurvendiskussion mit den Punkten. Definitionsbereich,..., 9. Graphische Darstellung durch. 5. Berechnen Sie die Stammfunktionen folgender Funktionen: f () = f () = e 5 f () = e Berechnen Sie folgende bestimmte Integrale: 4 4 ( )d 3 d 7. Man berechne die Gesamtfläche zwischen der Kurve f () = 3 der Achse und den Grenzen a = und b =. 7