Mathematik für Informatiker 1 Wintersemester 2013/14 Übungsblatt 7

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1 Prof. Dr. Bernhard Steffen Dipl.Inf. Malte Isberner Dr. Oliver Rüthing Dipl.Inf. Melanie Schmidt Dr. Hubert Wagner Übungen zur Vorlesung Mathematik für Informatiker Wintersemester 203/4 Übungsblatt 7 Die Lösungshinweise dienen primär der internen Kommunikation der Lösungen zu den Übungsaufgaben. Sie sind geeignet, das Vorgehen zur Lösung zu illustrieren und die zur Lösung erforderlichen Ideen und Denkanstöße zu vermitteln. Bitte beachten Sie jedoch, dass es sich hierbei nicht um Musterlösungen handelt in dem Sinne, dass sie eine mustergültige Verschriftlichung des jeweiligen Lösungsweges darstellen. Insbesondere sind aus Platzgründen einige der Lösungswege nur abgekürzt dargestellt. Daraus leitet sich jedoch nicht ab, dass ein entsprechendes Vorgehen in der Klausur automatisch zur vollen Punktzahl führt! Aufgabe 7. Komplementäre Elemente und Unterverband (Präsenzaufgabe). Gegeben sei der durch das folgende Hasse-Diagramm festgelegte Verband: d e a b c a) Ist dieser Verband distributiv? Begründen Sie Ihre Antwort. Dieser Verband ist nicht distributiv: 0 Es ist d (a c) = d = d und d a d c) = a 0 = a, so dass Distributivität nicht gegeben ist. b) Bestimmen Sie alle Elemente des Verbandes, zu denen ein komplementäres Element existiert. Bilden diese Elemente einen Unterverband von V? Hierbei ist ein Unterverband S von V eine Teilmenge S V, für die die folgende Abschlusseigenschaft gilt: für alle x, y S. x y S und x y S.

2 Begründen Sie Ihre Antwort. In dem Verband sind die folgenden Elemente komplementär: 0, a e, a c und d c. Die Menge S = df b = d e / S. c) Zeigen Sie: {0,, a, c, d, e} bildet aber keinen Unterverband, da für d, e S In einem distributiven Verband bildet die Menge der Elemente, zu denen es ein komplementäres Element gibt, einen Unterverband. Sei S die Menge der Elemente von V, die ein komplementäres Element besitzen. Wir müssen zeigen: sind a und b zwei beliebige Elemente von S, dann gilt a b S. Es seien also a, b S. Die komplementären Elemente ā und b sind dann ebenfalls Elemente von S. Es gilt und (a b) (ā b) = (a b ā) (a b b) = 0 0 = 0 (a b) (ā b) = (a ā b) (b ā b) = =, so dass a b das komplementäre Element ā b besitzt und folglich Element von S ist. Aufgabe 7.2 Distributiver Verband (7 Punkte) Zeigen Sie:. In einem beliebigen Verband (V,, ), der nicht distributiv sein muss, gilt für alle x, y, z V : x (y z) (x y) (x z) x (y z) (x y) (x z) Wir beweisen nur die erste Aussage. Die zweite Aussage wird entsprechend gezeigt. Es gilt x x y und x x z, also x (x y) (x z). Ferner gilt y x y und z x z. Damit muss eine obere Schranke von y und z auch obere Schranke von (x y) (x z) sein. Insbesondere ist also y z (x y) (x z). Damit ist also (x y) (x z) eine untere Schranke von x und von y z. Da x (y z) die größte untere Schranke von x und y z ist, folgt somit x (y z) (x y) (x z). 2. Sei (V,, ) ein distributiver Verband. Seien ferner x, y, z V. Gilt x y = x z und x y = x z, dann folgt y = z. 2

3 Es gelte x y = x z und x y = x z. Wir zeigen die Behauptung unter Verwendung von Absorption, Kommutativität, Distributivität und den aufgeführten Annahmen. y = y (y x) = y (z x) = (y z) (y x) = (z y) (z x) = z (y x) = z (z x) = z. 3. Folgern Sie: In einem distributiven Verband kann es zu einem Element x V höchstens komplementäres Element x geben. Sei a ein Element des Verbandes. Es gelte für die Elemente y und z: a y = a z = 0 und a y = a z =. Nach der vorangegangenen Teilaufgabe folgt dann y = z, so dass ein Komplement, sofern es existiert, eindeutig ist. Aufgabe 7.3 Verbandshomomorphismen (3 Punkte) Betrachten Sie den durch das folgende Hasse-Diagramm festgelegten Verband (V, ) { 5 falls v = 4 Sei weiter h : V V gegeben durch h(v) = df v sonst.. Ist h ein -Homomorphismus? Nein, da h(2 3) = h(4) = 5 4 = 2 3 = h(2) h(3). 2. Ist h ein -Homomorphismus? Ja. Eine einfache Überprüfung der möglichen Fälle zeigt, dass h ein -Homomorphismus ist. 3

4 3. Ist h ein Ordnungshomomorphismus? Ja, da jeder -Homomorphismus auch ein Ordnungshomomorphismus ist. Aufgabe 7.4 Boolescher Verband (Präsenzaufgabe) Sei (B,, ) ein Boolescher Verband. Seien ferner a, b Elemente in B mit a b. Zeigen Sie: ist ebenfalls ein Boolescher Verband. ({x B a x b},, ) Es sei A = {x B a x b}. Wir zeigen zunächst, dass für alle x, y A gilt: x y A und x y A. Wir betrachten nur den Fall x y. Der andere Fall verläuft analog. Für x, y A gilt wegen a x b und a y b : a x y b und a x y b. Insbesondere erhalten wir x y A und x y A. Da für (B,, ) die Axiome eines distributiven Verbandes erfüllt sind, sind sie somit auch für (A,, ) erfüllt. Um zu zeigen, dass (A,, ) ein Boolescher Verband ist, müssen wir also nur noch nachweisen, dass es zwei verschiedene Elemente 0 A und A in A gibt, so dass es zu jedem x A ein x A gibt, so dass x x = 0 A und x x = A. Wir setzen 0 A = df a und A = df b. Sei x A. Nach Voraussetzung ist B ein Boolescher Verband. Daher existiert in B ein x mit x x = 0 B und x x = B. Setze x = df (x b) a. Dann gilt a x und x b. Es folgt: x x = x (( x b ) a ) = x ( x b ) x a = ( x x ) b a = 0 B b a = 0 B a = a = 0 A und x x = x (( x b ) a ) = ( x ( x b )) a = (( x x ) (x b) ) a = ( B b) a = b a = b = A Wir demonstrieren die Vorgehensweise noch an einem Beispiel. Gegeben sei der Boolesche Verband (B,, ) mit B = {, 2, 3, 5, 6, 0, 5, 30}, wobei für 2 natürliche Zahlen n und m n m der größte gemeinsame Teiler und n m das kleinste gemeinsame Vielfache von n und m ist. Es ist dann 0 B = und B = 30. Grafisch kann dieser Boolesche Verband folgendermaßen dargestellt werden: 4

5 Es sei A = {3, 6, 5, 30}. Die Komplemente der Elemente von A sind jeweils in der gleichen Farbe wie das entsprechende Element in A gezeichnet. Bilden wir nun den Booleschen Verband (A,, ), so ist 0 A = 3 und A = 30. Weiter ist z.b. das Komplement von 30 in dem Booleschen Verband (A,, ) das Element (30 30) 3 = ( 30) 3 = 3 = 3, wobei 30 das Komplement von 30 (= B ) in dem Booleschen Verband (B,, ) ist. Entsprechend ist das Komplement von 6 in dem Booleschen Verband (A,, ) das Element (6 30) 3 = (5 30) 3 = 5 3 = 5. Die grafische Repräsentation des Booleschen Verbandes (A,, ) sieht dann folgendermaßen aus, wobei komplementäre Elemente wiederum in der gleichen Farbe eingezeichnet sind: