Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra 1

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1 Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra 1 Monika Huber Monika Huber Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra / 52

2 Übersicht Modulare Arithmetik Größter gemeinsamer Teiler Primzahlen Grundlagen Primfaktorzerlegung Primzahltests Diophantische Gleichungen Monika Huber Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra / 52

4 Anwendung Problem: GCPC Für den CGPC haben sich 16 Personen einzeln angemeldet. Kann man diese Personen in 3-er-Gruppen aufteilen, ohne dass jemand übrig bleibt? Anwendung - Kalenderrechnung - letzte Ziffer z.b. für Prüfziffer der ISBN - RSA-Verschlüsselung (vgl. ZAA2) - Monika Huber Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra / 52

5 Kongruenz Definition a heißt kongruent zu b modulo m : a b mod m : m (a-b) k Z : a = k m + b Gilt dies nicht, so heißt a inkongruent zu b modulo m Monika Huber Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra / 52

6 Rechenregeln Für ganze Zahlen a, b, m Z gilt: (a+b) mod m = (a mod m + b mod m) mod m (a-b) mod m = (a mod m - b mod m) mod m (a b) mod m = ((a mod m) (b mod m)) mod m a b mod m = (a mod m) b mod m a d b d mod (m d) = a b mod m Monika Huber Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra / 52

7 Rechenregel: Division Das multiplikativ Inverse b modulo m besitzt ein multiplikativ Inverses, falls eine Zahl b 1 Z mit b b 1 1 (mod m) existiert. Division = Multiplikation mit dem Inversen: a b mod m = a b 1 mod m a b mod m nur berechenbar, wenn das Inverse zu b mod m existiert Monika Huber Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra / 52

8 Schnelle Exponentiation Für eine Zahl oder Matrix a lässt sich a b durch folgende rekursive Formel deutlich schneller berechnen: Schnelle Exponentiation { b a b a 2 a b 2, wenn b%2 = 0 = a b 1 a sonst Monika Huber Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra / 52

9 Schnelle Exponentiation Berechnung von a b mod m: long mod_exp ( long a, long b, long m){ if(b == 0) return 1; long res = mod_exp (a, b/2, m); res = ( res * res )%m; if(b%2 == 1) return ( res *a)%m; else return res ; } Monika Huber Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra / 52

10 Schnelle Exponentiation Berechnung von a b mod m: long mod_exp ( long a, long b, long m){ if(b == 0) return 1; long res = mod_exp (a, b/2, m); res = ( res * res )%m; if(b%2 == 1) return ( res *a)%m; else return res ; } Laufzeit: O(log b) Monika Huber Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra / 52

11 In der Programmierung %-Operation a%m berechnet den Rest der Division a m Ist a negativ, so ist auch der Wert a%m negativ Monika Huber Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra / 52

12 In der Programmierung %-Operation a%m berechnet den Rest der Division a m Ist a negativ, so ist auch der Wert a%m negativ Lösung: ((a%m)+m)%m) Monika Huber Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra / 52

14 Anwendung Problem: Ferienfreizeit Bei einer Ferienfreizeit sollen 49 Kinder und 14 Leiter auf Gruppen gleicher Zusammensetzung aufgeteilt werden. Was ist die größtmögliche Gruppenanzahl? Anwendung - Rechnen mit Brüchen - Bestimmen des multiplikativ Inversen - Chinesischer Restsatz (vgl. ZAA2) -... Monika Huber Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra / 52

15 Teilbarkeit von ganzen Zahlen Def: Teiler d teilt n bzw. d ist Teiler von n, wenn ein b existiert, so dass n = b d. Schreibweise: d n Lemma von Euklid Teilt eine Primzahl p ein Produkt ganzer Zahlen, so teilt sie mindestens einen der beiden Faktoren: p ab p a oder p b. Monika Huber Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra / 52

16 Größter gemeinsamer Teiler Definition a, b Z (a 0 b 0) besitzen einen größten gemeinsamen Teiler ggt(a,b) N, für den gilt: - ggt(a,b) a und ggt(a,b) b - wenn d a und d b d ggt(a,b) Festgelegt: ggt(0,0) = 0 ggt(a,b,c) = ggt(ggt(a,b), c) Gilt ggt(a,b) = 1, nennen wir a und b teilerfremd. Monika Huber Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra / 52

17 Euklidischer Algorithmus Idee - Wenn b a, dann ggt(a,b) = b - Wenn a = b t+r für t,r N, dann gilt: ggt(a,b) = ggt(b,r) = ggt(b, a mod b) Monika Huber Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra / 52

18 Euklidischer Algorithmus Idee - Wenn b a, dann ggt(a,b) = b - Wenn a = b t+r für t,r N, dann gilt: ggt(a,b) = ggt(b,r) = ggt(b, a mod b) long euklid ( long a, long b){ if (b == 0) return a; else return euklid (b, a % b); } Monika Huber Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra / 52

19 Euklidischer Algorithmus Idee - Wenn b a, dann ggt(a,b) = b - Wenn a = b t+r für t,r N, dann gilt: ggt(a,b) = ggt(b,r) = ggt(b, a mod b) long euklid ( long a, long b){ if (b == 0) return a; else return euklid (b, a % b); } Laufzeit: O(log max(a,b)) Monika Huber Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra / 52

20 Erweiterung Lemma von Bézout Der größte gemeinsame Teiler zweier ganzer Zahlen lässt sich als Linearkombination mit ganzzahligen Koeffizienten darstellen: ggt(a, b) = a x + b y mit x,y Z Monika Huber Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra / 52

21 Erweiterung Lemma von Bézout Der größte gemeinsame Teiler zweier ganzer Zahlen lässt sich als Linearkombination mit ganzzahligen Koeffizienten darstellen: ggt(a, b) = a x + b y mit x,y Z Diese Koeffizienten lassen sich mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus bestimmen: Idee rekursiv bestimmbar durch b x + (a b a/b ) y = ggt (a, b) Basisfall: a = ggt (a, 0) Monika Huber Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra / 52

22 Erweiterter Euklid long euklid_erweitert ( long a, long b, long *x, long *y){ long x1, y1; /* vorherige Koeffizienten */ long g; /* Wert von ggt (a,b)*/ if(b == 0){ *x = 1; *y = 0; return a; } g = euklid_erweitert (b, a % b, &x1, &y1 ); *x=y1; *y=( x1 - floor (a/b) * y1 ); return g; } Monika Huber Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra / 52

23 Erweiterter Euklid long euklid_erweitert ( long a, long b, long *x, long *y){ long x1, y1; /* vorherige Koeffizienten */ long g; /* Wert von ggt (a,b)*/ if(b == 0){ *x = 1; *y = 0; return a; } g = euklid_erweitert (b, a % b, &x1, &y1 ); *x=y1; *y=( x1 - floor (a/b) * y1 ); return g; } Laufzeit: O(log max(a,b)) Monika Huber Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra / 52

24 Erweiterter Euklid Linearkombination nach Bézout: ggt(a, b) = ax+by Das multiplikativ Inverse Für teilerfremde a,b Z ist x das multiplikativ Inverse zu a mod b und y das multiplikativ Inverse zu b mod a. z.b. ggt(5,3) = 1 = mod mod 3 Monika Huber Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra / 52

25 Kleinstes gemeinsames Vielfaches Definition Das kleinste gemeinsame Vielfache kgv(a,b) zweier ganzer Zahlen a,b Z ist das Minimum aller m N, für die a m und b m. Monika Huber Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra / 52

26 Kleinstes gemeinsames Vielfaches Definition Das kleinste gemeinsame Vielfache kgv(a,b) zweier ganzer Zahlen a,b Z ist das Minimum aller m N, für die a m und b m. Satz a b = ggt(a,b) kgv(a,b) z.b. a = 6, b = 15 ggt(6, 15) = 3, kgv(6, 15) = = 90 = 3 30 Monika Huber Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra / 52

28 Primzahlen Definition Eine natürliche Zahl n>1 heißt Primzahl/prim, wenn sie nur durch sich selbst und 1 teilbar ist (in N). Sonst nennt man n zusammengesetzt. Monika Huber Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra / 52

29 Primzahlen Definition Eine natürliche Zahl n>1 heißt Primzahl/prim, wenn sie nur durch sich selbst und 1 teilbar ist (in N). Sonst nennt man n zusammengesetzt. Achtung Die natürlichen Zahlen 0 und 1 sind weder Primzahlen noch zusammengesetzt. Es gibt genau eine gerade Primzahl, nämlich die 2. Monika Huber Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra / 52

30 Verteilung von Primzahlen Satz von Euklid Es gibt unendlich viele Primzahlen. Beweisidee: Widerspruchsbeweis Primzahlsatz Für π(x), die Anzahl der Primzahlen p x, gilt: π(x) x log(x) Monika Huber Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra / 52

32 Anwendung Problem: Aus welchen Faktoren besteht die zusammengesetzte Zahl 42? Anwendung - Bestimmen des ggt - Rechnen mit Brüchen - eulersche Phi-Funktion (vgl. ZAA2) -... Monika Huber Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra / 52

33 Primfaktorzerlegung Fundamentalsatz der Arithmetik Jede natürliche Zahl n besitzt eine eindeutige Primfaktorzerlegung, d.h. es gibt eindeutig bestimmte Exponenten v p (n) N 0, so dass folgende Produktdarstellung besteht: n = p pv p(n) Monika Huber Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra / 52

34 Bestimmung der Zerlegung prime_ factorization ( long n){ long c = n; /* remaining product to factor */ while ((c%2) == 0){ print (2); c = c /2; } long i =3; /* counter */ while (i <= ( sqrt (c )+1)){ if ((c%i )==0){ print (i); c = c/i; } else { i = i +2; } if(c > 1) print (c); } Monika Huber Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra / 52

35 Bestimmung der Zerlegung prime_ factorization ( long n){ long c = n; /* remaining product to factor */ while ((c%2) == 0){ print (2); c = c /2; } long i =3; /* counter */ while (i <= ( sqrt (c )+1)){ if ((c%i )==0){ print (i); c = c/i; } else { i = i +2; } if(c > 1) print (c); } Laufzeit: O( n) Monika Huber Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra / 52

36 Pollard-Rho-Methode Ziel Zu einer zusammengesetzten Zahl n sucht man einen Teiler p. Hierfür erzeugt man mit einer beliebigen Funktion eine Folge von Zahlen modulo n. Die Menge der Funktionswerte ist beschränkt auf {1, 2,, n-1}, sodass spätestens nach n Iterationen ein Zyklus auftreten wird. Monika Huber Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra / 52

37 Bestimmung mit 2 Folgen Idee Wenn x i mod p x j mod p, dann ist x i x j ein Vielfaches von p und es gilt: ggt ( x i x j, n) p ist ein Teiler von n Zur besseren Vergleichbarkeit verwendet man 2 Folgen (x 0, x 1, x 2, x 3, x 4,...) und (y 0, y 1, y 2, y 3,...) = (x 0, x 2, x 4, x 6,...) und berechnet jeweils den ggt ( x i y i, n) für i>0. Monika Huber Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra / 52

38 Beispiel Aufgabe: Suche Teiler von n = 42 und verwende f (x) = (x 2 + 1) mod n x 0 = y 0 = 1 1 Monika Huber Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra / 52

39 Beispiel Aufgabe: Suche Teiler von n = 42 und verwende f (x) = (x 2 + 1) mod n x 0 = y 0 = x 1 = 2, y 1 = 5 ggt ( 2 5, 42) = 3 Monika Huber Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra / 52

40 Beispiel Aufgabe: Suche Teiler von n = 42 und verwende f (x) = (x 2 + 1) mod n x 0 = y 0 = x 1 = 2, y 1 = 5 ggt ( 2 5, 42) = 3 x 2 = 5, y 2 = 5 ggt ( 5 5, 42) = 42 Monika Huber Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra / 52

41 Beispiel Aufgabe: Suche Teiler von n = 42 und verwende f (x) = (x 2 + 1) mod n x 0 = y 0 = x 1 = 2, y 1 = 5 ggt ( 2 5, 42) = 3 x 2 = 5, y 2 = 5 ggt ( 5 5, 42) = 42 x 3 = 26, y 3 = 5 ggt ( 26 5, 42) = 21 Monika Huber Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra / 52

42 Hase-Igel-Algorithmus Ziel Auffinden von Zyklen in einer verketteten Liste Idee Man durchläuft die Liste gleichzeitig mit 2 Zeigern mit unterschiedlicher Schrittweite (Igel: 1, Hase: 2). Wenn die beiden Zeiger irgendwann auf dasselbe Element zeigen, enthält die Liste einen Zyklus. Monika Huber Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra / 52

43 Hase-Igel-Algorithmus Ziel Auffinden von Zyklen in einer verketteten Liste Idee Man durchläuft die Liste gleichzeitig mit 2 Zeigern mit unterschiedlicher Schrittweite (Igel: 1, Hase: 2). Wenn die beiden Zeiger irgendwann auf dasselbe Element zeigen, enthält die Liste einen Zyklus. Laufzeit (m Elemente vor Zyklus, Zykluslänge n): best case: m Schritte worst case: m + n Schritte Monika Huber Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra / 52

44 Algorithmus long pollard_rho ( long n, long f( long x )){ long x = random (0, n -1); long y = x; long p = 1; while (p == 1){ x = f(x); y = f(f(y )); if(x==y) return -1; /* Zyklus entdeckt */ p = ggt ( x - y, n); } return p; } Monika Huber Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra / 52

45 Pollard-Rho-Methode Termination: Man endet entweder wenn man einen Teiler gefunden hat oder wenn beide Folgen den gleichen Wert annehmen (Zyklus erkannt) Erwartete Laufzeit bis Teiler p gefunden wurde: O( p) Monika Huber Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra / 52

46 Pollard-Rho-Methode Termination: Man endet entweder wenn man einen Teiler gefunden hat oder wenn beide Folgen den gleichen Wert annehmen (Zyklus erkannt) Erwartete Laufzeit bis Teiler p gefunden wurde: O( p) Achtung Der Algorithmus findet nicht immer einen Teiler. andere Funktion versuchen Monika Huber Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra / 52

48 Anwendung Problem: Ist 561 eine Primzahl? Anwendung - in der Kryptographie (z.b. RSA) - neuen Rekord aufstellen: größte bekannte Primzahl aktuell: (2013, Quelle: Spiegel.de) -... Monika Huber Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra / 52

49 Primzahltest boolean isprime ( long n){ if(n ==2) return true ; if(n < 2 n%2 == 0) return false ; for ( int i =3; i <= sqrt (n )+1; i=i +2){ if(n % i == 0) return false ; } return true ; } Monika Huber Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra / 52

50 Primzahltest boolean isprime ( long n){ if(n ==2) return true ; if(n < 2 n%2 == 0) return false ; for ( int i =3; i <= sqrt (n )+1; i=i +2){ if(n % i == 0) return false ; } return true ; } Laufzeit: O( n) Monika Huber Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra / 52

51 Sieb des Eratosthenes Ziel Finde aller Primzahlen bis zu gegebener Obergrenze n Idee Liste aller natürlichen Zahlen von 2 bis n anlegen sukzessive die echten Vielfachen der kleinsten Primzahlen streichen Primzahlen bis p n ermitteln, alle weiteren vorhandenen Zahlen n sind auch prim Monika Huber Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra / 52

52 Sieb des Eratosthenes Beispielhafte Suche nach Primzahlen Ermittelte Primzahlen: Monika Huber Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra / 52

58 Fermat scher Primzahltest Kleiner Fermat scher Satz Wenn p eine Primzahl ist, gilt: a p a mod p. Ist a kein Vielfaches von p (p a) gilt a p 1 1 mod p. boolean pseudoprime ( long a, long n){ if( mod_exp (a, n -1, n)!= 1) return false ; /* zusammengesetzt */ else return true ; /* hoffentlich prim */ } Monika Huber Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra / 52

59 Fermat scher Primzahltest Fermat sche Pseudoprimzahl zur Basis a Eine zusammengesetzte Zahl m, für die es ein a mit a 1 mod m und a m 1 1 mod m gibt Carmichael-Zahl Eine zusammengesetzte Zahl m, für die a m 1 1 mod m sogar für alle zu m teilerfremden a 2 gilt z.b. 561, 1105, 1729 Monika Huber Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra / 52

60 Miller-(Selfridge-)Rabin-Test Satz Wenn n > 2 eine Primzahl ist, gibt es s,d N mit n 1 = 2 s d, sodass s 1, d ungerade und minimal. Dann gilt: a d 1 mod n oder a 2r d 1 mod n für ein 0 r s 1 Idee des Tests: - Folge a d, a 2d, a 4d,, a 2sd auf obigen Satz prüfen - mehrfaches Durchführen des Fermat-Tests Monika Huber Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra / 52

61 Miller-(Selfridge-)Rabin-Test boolean witness ( long a, long n){ long d = n -1, s = 0; while (d %2 == 0){ s = s +1; d = d /2; } long xlast = mod_exp (a,d,n), xnew ; for ( long i =1; i<s; i ++){ } xnew = ( xlast * xlast ) %n; if( xnew == 1 && xlast!= 1 && xlast!= n -1) return true ; /* zusammengesetzt */ } if( xnew!= 1) return true ; /* zusammengesetzt */ return false ; /* hoffentlich prim */ Monika Huber Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra / 52

62 Miller-(Selfridge-)Rabin-Test boolean miller_rabin_prime (n, s){ if(n ==2) return true ; for ( int i =0; i<s; i ++){ a = random (1,n -1); if( witness (a,n )== true ) return false ; /* zusammengesetzt */ } return true ; /* ziemlich sicher prim */ } Monika Huber Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra / 52

63 Miller-(Selfridge-)Rabin-Test boolean miller_rabin_prime (n, s){ if(n ==2) return true ; for ( int i =0; i<s; i ++){ a = random (1,n -1); if( witness (a,n )== true ) return false ; /* zusammengesetzt */ } return true ; /* ziemlich sicher prim */ } Fehlerwahrscheinlichkeit Nach s Schritten ist die Wahrscheinlichkeit, eine zusammengesetzte Zahl für prim zu halten, kleiner als 1 4 s Monika Huber Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra / 52

64 Übersicht Modulare Arithmetik Größter gemeinsamer Teiler Primzahlen Primzahltests Diophantische Gleichungen Monika Huber Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra / 52

65 Anwendung Problem: Einkaufen An einem Marktstand gibt es Erdbeeren für 2 und Kirschen für 3. Wie viele Packungen Erdbeeren und Kirschen kann man für 13 kaufen? Anwendung Probleme, die nur ganzzahlige Ergebnisse zulassen: - Modulare Arithmetik - Stückzahlverteilung in der Produktion -... Monika Huber Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra / 52

66 Diophantische Gleichungen Definition Polynomielle Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten, die in den ganzen Zahlen gelöst werden sollen. Lösbarkeit Es gibt keinen Algorithmus, der entscheidet, ob eine beliebige gegebene diophantische Gleichung in den ganzen Zahlen lösbar ist! Monika Huber Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra / 52

67 Lineare diophantische Gleichungen Definition Gleichung der Form a 1 x 1 + a 2 x a n x n + c = 0 mit ganzzahligen Koeffizienten a i, bei der man sich nur für ganzzahlige Lösungen interessiert. Linear bedeutet also, dass die Variablen x i nicht in Potenzen auftreten, sondern maximal mit Grad 1. Monika Huber Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra / 52

68 Bei 2 Unbekannten Satz von Bézout Die lineare Gleichung ax + by = c mit ganzen Zahlen a,b,c ist genau dann ganzzahlig lösbar, wenn der ggt(a,b) ein Teiler von c ist. In diesem Fall erhält man die spezielle ganzzahlige c Lösung (x 0, y 0 ) = ggt (a,b) (x s, y s ) durch ax s + by s = ggt (a, b). Die Menge der ganzzahligen Lösungen ist gegeben durch: (x, y) = (x 0 + b ggt (a,b) m, y 0 a ggt (a,b) m) für m Z. Monika Huber Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra / 52

69 Bei mehr als 2 Unbekannten Lösbarkeit Eine lineare diophantische Gleichung a 1 x 1 + a 2 x a n x n = c ist genau dann lösbar, wenn ggt (a 1, a 2,..., a n ) c. Idee Durch sukzessives Substitution auf lineare diophantische Gleichungen mit zwei Unbekannten zurückführen Beispiel: 8x + 6y - 4z = 2 Monika Huber Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra / 52

70 Großer Fermat scher Satz Fermats letzter Satz Jede Lösung der Gleichung x n + y n = z n mit ganzzahligem n 3 in ganzen Zahlen x,y,z ist trivial, d.h. es gilt xyz=0. Alternativ: Für x,y,z > 0 hat x n + y n = z n mit n > 3 keine Lösung. Monika Huber Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra / 52

71 Fragen? Fragen??? Monika Huber Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra / 52

72 Fragen? Fragen??? Danke für eure Aufmerksamkeit! Monika Huber Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra / 52

73 Quellen Elementare Zahlentheorie Nicola Oswald & Jörn Steuding (2015) Programming Challenges Steven S. Skiena & Miguel A. Revilla (2003) Introduction to Algorithmus (3 rd edition) Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, Clifford Stein (2009) Monika Huber Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra / 52

74 Quellen Lineare diophantische Gleichungen Facharbeit von Jan Stellet, Gleichungen.pdf Folien alter Hallo-Welt Vorträge zum Thema ZAA1 (v.a & 2014) Monika Huber Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra / 52