3. Diskrete Mathematik

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "3. Diskrete Mathematik"

Transkript

1 Diophantos von Alexandria um 250 Georg Cantor Pythagoras um 570 v. Chr Pierre de Fermat 1607/ Seite 1

2 Inhalt der Vorlesung Teil 3: Diskrete Mathematik 3.1 Zahlentheorie: Abzählbarkeit, Primzahlen, Teilbarkeit. 3.2 Diophantische Gleichungen 3.3 Modulare Arithmetik, Addition und Multiplikation in Z m, Kongruenzrechungen 3.4 Verschlüsselung Zusammenfassung PVL: ½ vom 3 und 4. Übungsblatt & 5. Übungsblatt! Seite 2

3 Diskrete Mathematik: Ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit endlichen oder abzählbar unendlichen Mengen befasst. Abzählbarkeit einer Menge Definition 3.1 Die Menge M heißt abzählbar unendlich, wenn sie die gleiche Mächtigkeit hat, wie die Menge N. Also, man kann die Menge M durchnummerieren. Satz 3.1: Die Menge N ist abzählbar (Axiome von Peano). Seite 3

4 Menge der ganzen Zahlen z? 4

5 Abzählbarkeit der Menge rationalen Zahlen Q (Satz 3.2) 1, 2, ½, 1/3, 3, 4, 3/2, 2/3, ¼, 1/5, 5, 6, 5/2, 4/3, Georg Cantor, Seite 5 Bildquelle:

6 Abzählbarkeit der Menge reellen Zahlen R Satz 3.3: Die Menge R ist nicht abzählbar. Beweis (Cantor): Wenn R abzählbar ist, dann sind auch die Zahlen im Intervall (0,1) abzählbar. 0, , , , , neue Zahl konstruieren: je Ziffer auf der Diagonal um 1 erhöhen: neue Zahl: 0,15349 steht nicht in der Liste Widerspruch! Seite 6

7 Abzählbarkeit der Menge der Primzahlen Definition 3.2: Zahl p N heißt Primzahl, wenn sie nur zwei Teiler hat: 1 und p. Satz 3.4: Die Menge der Primzahlen ist unendlich abzählbar. N: p: abzählbar! Unendlich? Seite 7

8 Abzählbarkeit der Menge der Primzahlen Beweis durch Widerspruch: Endliche Liste aller Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,, n Konstruiere neue Zahl: q= n + 1 q ist entweder prim oder nicht q ist nicht prim man kann q durch eine Primzahl dividieren! q:2 Rest 1 q:3 Rest 1 q:n Rest 1 7 = :2 Rest 1 7:3 Rest 1 q durch keine Primzahl dividierbar selbst eine Primzahl Widerspruch mit der Annahme, dass die Liste alle Primzahlen enthält. es gibt unendlich viele Primzahlen Seite 8

9 Hauptsatz der Zahlentheorie (Primfaktorzerlegung) Satz 3.5: Jede natürliche Zahl n > 1 kann als Produkt von Primzahlpotenzen eindeutig (bis auf ihre Reihenfolge) dargestellt werden: n Beispiel: e1 e2 p1 p2... p e s s a) 18 = = b) 700 = = größter gemeinsamer Teiler kleinste gemeinsame Vielfache ggt(18,700) = 2 1 kgv(18,700) = = 6300 Seite 9

10 Größter gemeinsamer Teiler Definition 3.3: Sei a,b Z, a,b 0 und T = { t N: t a und t b }. Offensichtlich gilt T, da z Z: 1 z. Falls T = 1, dann heißen a und b teilerfremd, sonst für T > 1: maximale Zahl g T wird als größter gemeinsamer Teiler von a und b genannt, kurz g = ggt(a,b). Wie bekommt man T? T = T(a) T(b), wobei T(x) die Menge der Teiler der Zahl x bezeichnet. Seite 10

11 Beispiel: a) ggt(12,14) = T(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} T(14) = {1, 2, 7, 14}? 2 ggt(6,8) = 2 ggt(3,7) = 1 T = T(12) T (14) = {1, 2} g = max T = 2 b) ggt (-4,16) = 4 T(-4) = {1, 2, 4}; T(16) = {1, 2, 4, 8, 16} T = T(-4) T (16) = {1, 2, 4} g = max T = 4 Seite 11

12 Sätze 3.6 (zum ggt): Sei a,b N, dann gilt: 1) ggt(a,a) = a 2) ggt(a,1) = 1 3) ggt(a,0) = a 4) ggt(a,b) = ggt(b,a) 5) ggt(a,b) = ggt (a-b,b) (Beweise in der Mitschrift) Seite 12

13 Euklidischer Algorithmus 5) ggt(a,b) = ggt (a-b,b) ggt (539,231) = ggt ( ,231) = 5) ggt(a,b) = ggt (a-b,b) ggt (308,231) = ggt ( ,231) = ggt (77,231) = ggt (154,77) = ggt (77,77) = 4) ggt(a,b) = ggt(b,a) 5) 1) ggt(a,a) = a 3) ggt(a,0) = a ggt (77,0) = oder ggt (231,77)= 5) Seite 13

14 Euklidischer Algorithmus 539 = = = ggt (231,539) Test: 231 = ; 539 = Noch mehr Platz sparen: Tabellenform (in der Mitschrift) Übung: ggt(172,30) = 2 Seite 14

15 Diophantische Gleichungen Definition 3.4: Eine lineare diophantische Gleichung ist eine Gleichung der Form: a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x a n x n = c, mit i: a i Z, c Z. Lösung: i, x i Z (ganzzahlig!!!) Diophantos von Alexandria, um 250 Lineare diophantische Gleichung mit 2 Variablen x und y: A x + B y = C Seite 15 Bildquelle:

16 Diophantische Gleichungen, Beispiel a) x + 2 y = 2 (0,1) (-2,2) (-4,3) unendlich viele Lösungen b) 6x 9y = 2 3 (2x-3y) = 2 3 = ggt(6,9) 3 teilt 2 nicht keine Lösungen Seite 16

17 Diophantische Gleichungen, Lösbarkeit Ax + By = C Satz 3.7: Wenn der größte gemeinsame Teiler (ggt) der Koeffizienten A, B die Konstante C nicht teilt, dann hat die Gleichung Ax + By = C keine ganzzahligen Lösungen! Alternativ, als notwendige Bedingung formuliert: C = k ggt (A,B), k Z 6x 9y = 18 ggt(6,9)= 3; 3 teilt 18 lösbar Seite 17

18 Diophantische Gleichungen, Algorithmus: 1. Wähle die Variable mit dem betragsmäßig kleinsten Koeffizienten: Ax + By = C. Nennen wir diese Variable x. 2. Löse die Gleichung nach x auf. Ax = C By; x = C/A (B/A)y Gruppiere die rechte Seite nach ganzzahligen Teilen und rationalen Teile z.b.: x = y = 4 2y y Falls kein rationaler Teil existiert Schritt 3. Sonst konstruiere durch Einführung einer neuen ganzzahligen Variablen a aus dem rationalem Teil eine neue lineare Diophantische Gleichung Schritt 1. z.b.: a = y. 3. Mache alle Substitutionen rückgängig. Seite 18

19 Algorithmus, Beispiel: Löse 30x + 22y = 24 (:2) 1. Zuerst durch 2 dividieren! 15x + 11y = ggt(15,11) = 1 1 teilt 12 lösbar < 15 Löse die Gleichung nach y auf: y = (12 15x)/11 = 1+ 1/11 x 4x/11 a = 1/11-4x/11 neue Gleichung 11a = 1 4x oder 11a + 4x = < 11 Löse die Gleichung nach x auf: x = (1 11a)/4 = 1/4 1a 3a/4 Seite 19

20 Algorithmus, Beispiel: Löse 15x + 11y = 12 (Fortsetzung) b = 1/4 3a/4 neue Gleichung 4b = 1 3a oder 4b + 3a = < 4 Löse die Gleichung nach a auf: a = (1 4b)/3 = 1/3 b 1b/3 c = 1/3-1b/3 neue Gleichung 3c = 1 1b 6. 1 < 3 Löse nach b auf: oder 3c + 1b = 1 4, 3 b = 1/1 3c/1 = 1-3c Schluss Rücksubstitutionen x und y müssen durch c ausgedruckt werden!!! 5 Seite 20

21 Algorithmus, Beispiel: Löse 15x + 11y = 12 (Fortsetzung) 1. b = 1-3c Setze in die Formel für a ein: a = (1 4b)/3 = (1-4+12c)/3 = c 2. Setze a = c in die Formel für x ein: x = (1 11a)/4 = ( c)/4 = 3-11c 3. Setze x = 3-11c in die Formel für y ein: y = (12 15x)/11 = ( c)/11 = c Antwort: x = 3-11c y = c c = 0 x = 3 y = 12 c = 1 x = -8 y = -3 Seite 21

22 Übung: Bestimmen Sie die allgemeine und zwei spezielle Lösungen der diophantischen Gleichung 5x - 3y = 1. Seite 22

23 Übung: Bestimmen Sie die allgemeine und zwei spezielle Lösungen der diophantischen Gleichung 5x - 3y = ggt(5,-3) = 1 1 teilt 1 lösbar 2. 3 < 5 Löse die Gleichung nach y auf: y = (5x 1)/3 = x+ 2x/3 1/3 a = 2x/3-1/3 neue Gleichung 3a = 2x 1 oder 3a - 2x = < 3 Löse die Gleichung nach x auf: x = (3a + 1)/2 = 1a/2 + a + 1/2 Seite 23

24 b = a/2 + 1/2 neue Gleichung 2b = a + 1 oder a 2b = < 2 Löse die Gleichung nach a auf: a = 2b 1 keine Brüche mehr Rücksubstitutionen: x und y durch b ausdrucken!!! 1. Setze a in die Formel für x ein: x = (3a + 1)/2 = (3(2b 1)+1)/2 = 3b 1 2. Setze x in die Formel für y ein: y = (5x 1)/3 = (5(3b 1) 1)/3 = 5b 2 Seite 24

25 Allgemeine Lösung: x = 3b 1 y = 5b 2 Spezielle Lösungen: b = 0: x = 1, y = 2 b = -1: x = -4, y = -7. Test: 5 (-1) 3 (-2) = 1; 5 (-4) 3 (-7) = 1; Seite 25

26 Pythagoräischer Satz: x 2 + y 2 = z 2, x,y,z Z Lösung: v, w N; v w 1 x = v 2 w 2 (v 2 w 2 )+4v 2 w 2 = y = 2vw v 4-2v 2 w 2 +w 4 +4v 2 w 2 = z = v 2 + w 2 v 4 + 2v 2 w 2 +w 4 = (v 2 + w 2 ) 2 Lösungstabelle: v = 2 3 w = x = y = z = Bildquelle: Pythagoras Seite 26

27 Fermatsche Satz Der Große Fermatsche Satz (Satz 3.8): x n + y n = z n, x,y,z Z; 2 < n N Es gibt keine von 0 verschiedene ganzzahlige Lösungen!!! x,y,z 0 Zuerst bewiesen für die Zahlen 3,4 und Vielfache dieser Zahlen (1753), dann für 5 (1825) und später für 7 (1839). Pierre de Fermat 1607/ Für alle n > 2 bewiesen im Jahr 1995 durch Andrew Wiles Fields-Medaille Seite 28

28 Kongruenzrechnung Jedes n Z mit vorgegebenen m > 1 (m N) lässt sich eindeutig durch m mit Rest r dividieren: n = q m + r Definition 3.5: Sei m > 1. Zwei Zahlen a, b Z heißen kongruent modulo m, wenn m (a b). Schreibweise: a b mod m Beispiel: 5 3 mod 2, da 2 teilt (5 3) 8 4 mod 2, da 2 teilt (8 4) Seite 29

29 Satz 3.9: a b mod m, sie bei der Division durch m den gleichen Rest haben. Beispiel: m = 3 11 = mod 3 8 = m = 4 11 = = mod 4 Übung: Berechnen Sie 111 mod 23, 45 mod 4, n+1 mod n, 2n + 5 mod n (für n > 5). Seite 30

30 Definition 3.6: Die Restklasse von a modulo m besteht aus allen Zahlen, die den gleichen Rest bei Division durch m haben. Bemerkung: für die Zahl m gibt es m Restklassen [0], [1], [2],, [m 1]; die Zahl in [ ] nennt man auch der Repräsentant der Restklasse [ ]. Beispiel: Für m = 2 gibt es zwei Restklassen [0] und [1]. [0] = {, -4, -2, 0, 2, 4, 6, } [1] = {, -3, -1, 1, 3, 5, 7 } Seite 31

31 Beispiel 2: für m = 6 gibt es sechs Restklassen [0], [1], [2], [3], [4], [5]. [0] = {, -18, -12, -6, 0, 6, 12, 18, } [1] = {, -17, -11, -5, 1, 7, 13, 19, } [2] = {, -16, -10, -4, 2, 8, 14, 20, } [3] = {, -15, -9, -3, 3, 9, 15, 21, } [4] = {, -14, -8, -2, 4, 10, 16, 22, } [5] = {, -13, -7, -1, 5, 11, 17, 23, } Seite 32

32 Übung: Zählen Sie die Restklassen mod 3 auf und geben Sie alle Repräsentanten dieser Klassen an. [0] = [1] = [2] = {, -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9, } {, -8, -5, -2, 1, 4, 7, 10, } {, -7, -4, -1, 2, 5, 8, 11, } Seite 33

33 Mit Z m bezeichnet man die Menge aller Restklassen modulo m: Z m = { [0], [1], [2], [3],, [m 2], [m 1] }. Beispiel: Z 2 = { [0], [1] } Z 6 = { [0], [1], [2], [3], [4], [5] } Z 12 = { [0], [1], [2], [3], [4],, [11] } Seite 34

34 Addition und Multiplikation in Z 2 : Additionstafel: Multiplikationstafel: Seite 35

35 Addition in Z m : Um das Ergebnis der Summe zweier Zahlen in Z m zu berechnen, addiere die beiden wie üblich. Falls die Summe größer oder gleich m ist, dividiere die Summe durch m und nehme den Rest als das Ergebnis. Beispiel: = 8 2 mod 6 Seite 36

36 Addition und Multiplikation in Z 6 : Additionstafel: Seite 37

37 Multiplikation in Z m : Um das Produkt zweier Zahlen in Z m zu berechnen, multipliziere die beiden wie üblich. Falls das Produkt größer oder gleich m ist, dividiere das Produkt durch m und nehme den Rest als das Ergebnis der Multiplikation. Beispiel: 5 3 = 15 3 mod 6 Seite 38

38 Addition und Multiplikation in Z 6 : Multiplikationstafel: Seite 39

39 Übung: erstellen Sie die Additions- und Multiplikationstafel in Z 4. Additionstafel: Multiplikationstafel: Seite 40

40 Seien [a] und [b] zwei Restklassen, dann [a] + [b]:= [a+b]. Satz 3.10: (Eigenschaften der Addition) Die Addition in Z n hat folgende Eigenschaften: [a] + [b] = [b] + [a] Kommutativität [a] + ([b] + [c]) = ([a] + [b]) + [c] Es gibt ein neutrales Element [0] in Z n, Assoziativität so dass [a] + [0] = [a] Zu jede Restklasse [a] gibt es ein inverses Element [b], d.h. [a] + [b] = [0] Seite 41

41 Beispiel: Additionstafel in Z 6 : Neutrales Element: 0 Inverses bzgl. + in Z 6 : zu 0 ist 0 zu 1 ist 5 zu 2 ist 4 etc Seite 42

42 Seien [a] und [b] zwei Restklassen, dann [a] [b] := [a b]. Satz 3.11 (Eigenschaften der Multiplikation) Die Multiplikation in Z n hat folgende Eigenschaften: [a] [b] = [b] [a] Kommutativität [a] ([b] [c]) = ([a] [b]) [c] Assoziativität Es gibt ein neutrales Element ([1]) in Z n, so dass [a] [1] = [a] Bemerkung: Nicht zu jeder Restklasse [a] gibt es ein inverses Element [b], d.h. [a] [b] = [1] Seite 43

43 Beispiel: Multiplikationstafel in Z 6 : neutrales Element: 1 inverses bzgl. in Z 6 : zu 1 ist 1 zu 5 ist 5 zu 0, 2, 3, 4 gibt es ein inverses? Seite 44

44 Satz 3.12 (Existenz von inversen Element) Sei n N und sei a Z n. Dann hat a genau dann ein inverses Element bzgl. der Multiplikation in Z n, wenn a und n teilerfremd sind. Beispiel: Betrachte Z 6. ggt(1,6) = ggt(5,6) = 1 es gibt ein inverses Element. ggt(2,6) = ggt(4,6) = 2 ; ggt(3,6) = 3 es gibt kein inverses Element. Seite 45

45 Übung: Bestimme Elemente in Z 12, die kein inverses Element bzgl. der Multiplikation in Z 12 haben. Lösung: Z 12 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} Welche Elemente Z 12 in sind nicht teilerfremd zu 12? Für 0, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10 gibt es kein inverses Element. Es gibt ein inverses Element für 1, 5, 7 und 11, diese Menge wird als Z * 12 = {1,5,7,11} bezeichnet. Seite 46

46 Eulersche Phi-Funktion: Sei n N, dann ist (n) die Anzahl der Elemente a aus {1,2,3,4,, n}, die zu n teilerfremd sind, d.h. ggt(a,n) = 1. (n) heißt Eulersche - Funktion (Phi-Funktion). Beispiel: (12) = 4; {1, 5, 7, 11}; (1) = 1; {1}; (4) = 2 ; {1,3}; (6) = 2; {1,5}; Seite 47

47 Eigenschaften: (p) = p 1, wenn p eine Primzahl ist. (p k ) = p k p k-1, wenn p eine Primzahl ist. (m n) = (m) (n), wenn ggt(m,n) = 1 Beispiel: (7) = 6; (5) = 4 ; (3) = 2 ; (12) = (3) (4) = 2 2 = 4 (25) = (5 2 ) = = 20 Seite 48

48 Übung: (28) = (39) = (4) (7) = 2 6 = 12 (3) (13) = 2 12 = 24 (16) = /Mitschrift/ (100) = /Mitschrift/ (360) = ( ) = (2 3 ) (3 2 ) (5) = = ( ) ( ) (4) = = 96 Seite 50

49 Beispiel (Clock-Arithmetic) a) Wie spät ist 50 Stunden nach 4 Uhr? b) Die Schichtarbeit fängt um 5 Uhr morgens an. Wie lang sollte jede Schicht sein, wenn es nur 7 Mitarbeiter gibt und die letzte Schicht um 9 Uhr beendet sein sollte (die Schichten sind gleich lang und nicht länger als 12 Stunden)? Lösung: a) mod 24 b) 5 + 7x 9 mod 12 (Lösung später!!!) Seite 51

50 Lineare Gleichungen x + a b mod m: x + a b in Z m Stets lösbar, da die Inverse immer existiert. Lösung: 1. Addiere zu den beiden Seiten die additive Inverse, -a, von a: x + a + (-a) b + (-a) x b + (-a) mod m 2. Die Lösung ist: x b + (-a) mod m, also die Restklasse [b+(-a)] in Z m Seite 52

51 Beispiel: Löse 4 + x = 3 Z 6 1. Additive Inverse für 4 in Z 6 ist Lösung: x = mod 6, also Restklasse [5] in Z Alle mögliche Lösungen: [5] = {, -7, -1, 5, 11, 17, } Test: 4 7 = -3 3 mod 6; = 9 3 mod = 21 3 mod 6 Hinweis: man kann auch a als Inverse wählen, da a + a = 0 Seite 53

52 Beispiel (alternative Lösung): Löse: 4 + x 3 mod 6 x 3 4 = -1 5 mod 6 Lösung: x 5 mod 6 Seite 54

53 Lineare Gleichungen ax b mod m: Lösen Sie die Gleichung ax = b in Z m m (ax b) oder (ax b) = mq oder ax - mq = b Lösung: 1. Überprüfe, ob die Gleichung lösbar ist: ggt(a,m) b lösbar. 2. Multipliziere beide Seiten mit der multiplikativen Inversen, a -1, von a: a -1 ax a -1 b mod m 3. Die Lösung ist: x a -1 b mod m Seite 55

54 Beispiel: Löse 3x = 2 in Z 4 1. Lösbar? ggt(3,4)=1; 1 2 lösbar. 2. Definiere die multiplikative Inverse von 3 in Z 4 (existiert, da ggt(3,4) = 1): Inverse zu 3 ist 3 (siehe Folie 39). 3. Multipliziere beide Seiten mit 3: 3 3x 3 2 mod 4 x 6 2 mod 4 4. Die Lösung ist: [2] = {,-6,-2,2,6,10,14, } Jede Zahl aus [2] ist die Lösung der Gleichung 3x = 2 in Z 4. Seite 56

55 Lösung der Aufgabe b), Folie 49: Mitschrift Bestimme alle Lösungen von 5 + 7x = 9 in Z Addiere -5 zu den beiden Seiten. 2. 7x mod 12; Also, 7x 4 mod Multipliziere beide Seiten mit der Inversen von 7 in Z 12 : multiplikative Inverse zu 7 ist 7 (siehe Folie 45) x 7 4 mod 12; x mod 12; Also x = 4. Jede Schicht sollte 4 Stunden lang sein. Seite 57

3. Diskrete Mathematik

3. Diskrete Mathematik Diophantos von Alexandria, um 250 Georg Cantor, 1845-1918 Pythagoras um 570 v. Chr Pierre de Fermat 1607/8-1665 Seite 1 Inhalt der Vorlesung Teil 3: Diskrete Mathematik 3.1 Zahlentheorie: Abzählbarkeit,

Mehr

Kapitel III Ringe und Körper

Kapitel III Ringe und Körper Kapitel III Ringe und Körper 1. Definitionen und Beispiele Definition 117 Eine Algebra A = S,,, 0, 1 mit zwei zweistelligen Operatoren und heißt ein Ring, falls R1. S,, 0 eine abelsche Gruppe mit neutralem

Mehr

Die Menge C der komplexen Zahlen wird im Kapitel Weitere Themen behandelt.

Die Menge C der komplexen Zahlen wird im Kapitel Weitere Themen behandelt. 1 1 Funktionen 1.1 Grundlegende Zahlenmengen Georg Cantor (1845-1918) hat den Begriff der Menge eingeführt. Man versteht darunter die Zusammenfassung einzelner Dinge, welche Elemente genannt werden, zu

Mehr

1 Körper. Wir definieren nun, was wir unter einem Körper verstehen, und sehen dann, dass es noch andere, ganz kleine Körper gibt:

1 Körper. Wir definieren nun, was wir unter einem Körper verstehen, und sehen dann, dass es noch andere, ganz kleine Körper gibt: 1 Körper Sie kennen bereits 2 Beispiele von Zahlkörpern: (Q, +, ) (R, +, ) die rationalen Zahlen mit ihrer Addition und Multiplikation die reellen Zahlen mit ihrer Addition und Multiplikation Vielleicht

Mehr

Diskrete Mathematik Kongruenzen

Diskrete Mathematik Kongruenzen Diskrete Mathematik Kongruenzen 31. Mai 2006 1 Inhaltsverzeichnis 1. Einleitung 2. Prime Restklassen 3. Die Sätze von Euler und Fermat 4. Lineare Kongruenzen 5. Systeme 2 Einleitung 3 Fragestellung Wie

Mehr

Diskrete Strukturen 5.9 Permutationsgruppen 168/558 c Ernst W. Mayr

Diskrete Strukturen 5.9 Permutationsgruppen 168/558 c Ernst W. Mayr Bemerkung: Der folgende Abschnitt Boolesche Algebren ist (im WS 2010/11) nicht Teil des Prüfungsstoffs, soweit nicht Teile daraus in der Übung behandelt werden! Diskrete Strukturen 5.9 Permutationsgruppen

Mehr

Diskrete Mathematik. Sebastian Iwanowski FH Wedel. Kap. 4: Zahlentheorie

Diskrete Mathematik. Sebastian Iwanowski FH Wedel. Kap. 4: Zahlentheorie Prof. Dr. Sebastian Iwanowski DM4 Folie 1 Referenzen zum Nacharbeiten: Diskrete Mathematik Sebastian Iwanowski FH Wedel Kap. 4: Zahlentheorie Beutelspacher 5 Lang 7, Biggs 20, 22, 23 (jeweils teilweise,

Mehr

Bsp. Euklidischer Algorithmus

Bsp. Euklidischer Algorithmus Bsp. Euklidischer Algorithmus Bsp: Berechne ggt(93, 42) mittels EUKLID. 93 2 42 = 9 42 4 9 = 6 9 1 6 = 3 6 2 3 = 0 D.h. ggt(93, 42) = 3. Durch Rücksubstitution erhalten wir die Bézout-Koeffizienten x,

Mehr

Chr.Nelius: Zahlentheorie (WS 2006/07) ggt und kgv

Chr.Nelius: Zahlentheorie (WS 2006/07) ggt und kgv ChrNelius: Zahlentheorie (WS 2006/07) 8 3 ggt und kgv Wir erinnern uns hoffentlich an die folgenden Definitionen des ggt s und des kgv s zweier ganzer Zahlen (31) DEF: Eine ganze Zahl g heißt größter gemeinsamer

Mehr

Ältere Aufgaben (bis 1998)

Ältere Aufgaben (bis 1998) Ältere Aufgaben (bis 1998) Es waren in den 4 Stunden jeweils nur 2 Aufgaben zu bearbeiten, die einzelnen Aufgaben waren umfangreicher. September 1998, Aufgabe 1 Sei p eine ungerade Primzahl. a) Beweise:

Mehr

Grundlagen der Arithmetik und Zahlentheorie

Grundlagen der Arithmetik und Zahlentheorie Grundlagen der Arithmetik und Zahlentheorie 1.0 Teilbarkeit In diesem Abschnitt werden wir einerseits die ganzen Zahlen an sich studieren und dabei besonders wichtige Zahlen, die Primzahlen, entsprechend

Mehr

Lineare Algebra I 5. Tutorium Die Restklassenringe /n

Lineare Algebra I 5. Tutorium Die Restklassenringe /n Lineare Algebra I 5. Tutorium Die Restklassenringe /n Fachbereich Mathematik WS 2010/2011 Prof. Dr. Kollross 19. November 2010 Dr. Le Roux Dipl.-Math. Susanne Kürsten Aufgaben In diesem Tutrorium soll

Mehr

Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2015/16

Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2015/16 Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2015/16 21. Januar 2016 Definition 8.1 Eine Menge R zusammen mit zwei binären Operationen

Mehr

Ganzzahlige Division mit Rest

Ganzzahlige Division mit Rest Modulare Arithmetik Slide 1 Ganzzahlige Division mit Rest Für a,b Æ mit a b gibt es stets eine Zerlegung von a der Form a = q b+r mit 0 r b 1. Hierbei gilt q = a b (salopp formuliert: b passt q-mal in

Mehr

Diskrete Strukturen. Restklassenringe WS 2013/2014. Vorlesung vom 24. Jänner 2014

Diskrete Strukturen. Restklassenringe WS 2013/2014. Vorlesung vom 24. Jänner 2014 Diskrete Strukturen WS 2013/2014 Vorlesung vom 24. Jänner 2014 Thomas Vetterlein Institut für Wissensbasierte Mathematische Systeme Johannes-Kepler-Universität Linz 10.1 Die Modulo-n-Relation Definition

Mehr

Kapitel 2. Kapitel 2 Natürliche und ganze Zahlen

Kapitel 2. Kapitel 2 Natürliche und ganze Zahlen Natürliche und ganze Zahlen Inhalt 2.1 2.1 Teiler 12 12 60 60 2.2 2.2 Primzahlen 2, 2, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 11, 11, 13, 13,...... 2.3 2.3 Zahldarstellungen 17 17 = (1 (10 0 0 1) 1) 2 2 2.4 2.4 Teilbarkeitsregeln

Mehr

Vorlesung Mathematik 2 für Informatik

Vorlesung Mathematik 2 für Informatik Vorlesung Mathematik 2 für Informatik Inhalt: Modulare Arithmetik Lineare Algebra Vektoren und Matrizen Lineare Gleichungssysteme Vektorräume, lineare Abbildungen Orthogonalität Eigenwerte und Eigenvektoren

Mehr

4. ggt und kgv. Chr.Nelius: Zahlentheorie (SS 2007) 9

4. ggt und kgv. Chr.Nelius: Zahlentheorie (SS 2007) 9 Chr.Nelius: Zahlentheorie (SS 2007) 9 4. ggt und kgv (4.1) DEF: Eine ganze Zahl g heißt größter gemeinsamer Teiler (ggt) zweier ganzer Zahlen a und b, wenn gilt: GGT 0 ) g 0 GGT 1 ) g a und g b GGT 2 )

Mehr

χ a : N + {0, 1, 1} {( a χ a (n) = χ a (n ). ψ(mn) < ψ(m)ψ(n).

χ a : N + {0, 1, 1} {( a χ a (n) = χ a (n ). ψ(mn) < ψ(m)ψ(n). September 007, Zahlentheorie 1 a) Formulieren Sie das quadratische Reziprozitätsgesetz einschließlich der Definitionen der Legendre- und Jacobi-Symbole. b) Für a Z \ {0} definieren wir durch χ a (n) =

Mehr

5 Grundlagen der Zahlentheorie

5 Grundlagen der Zahlentheorie 5 Grundlagen der Zahlentheorie 1 Primfaktorzerlegung Seienm, n N + := {k N k > 0} Man schreibt n n, gesprochen m teilt n oder m ist ein Teiler von n, wenn es eine positive natürliche Zahl k gibt mit mk

Mehr

1 Der Ring der ganzen Zahlen

1 Der Ring der ganzen Zahlen 1 Der Ring der ganzen Zahlen Letztendlich wird die Addition und Multiplikation in endlichen Körpern auf die Addition und Multiplikation von ganzen Zahlen zurückgeführt. Deswegen müssen wir die an sich

Mehr

Musterlösung zur Probeklausur zur Angewandten Diskreten Mathematik

Musterlösung zur Probeklausur zur Angewandten Diskreten Mathematik UNIVERSITÄT ULM Institut für Zahlentheorie und Wahrscheinlichkeitstheorie Musterlösung zur Probeklausur zur Angewandten Diskreten Mathematik Prof. Dr. Helmut Maier, Hans- Peter Reck Gesamtpunktzahl: 100

Mehr

Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2017/18

Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2017/18 Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2017/18 9. November 2017 1/34 Beispiel 3.6 Wir können die rationalen Zahlen wie folgt konstruieren:

Mehr

WIEDERHOLUNG (BIS ZU BLATT 7)

WIEDERHOLUNG (BIS ZU BLATT 7) Universität Bielefeld SS 2016 WIEDERHOLUNG (BIS ZU BLATT 7) JULIA SAUTER Wir wiederholen, welche Aufgabentypen bis zu diesem Zeitpunkt behandelt worden sind. Auf der nächsten Seite können Sie sich selber

Mehr

Danach arithmetische Fragestellungen wie vollkommene Zahlen und Dreieckszahlen der Griechen.

Danach arithmetische Fragestellungen wie vollkommene Zahlen und Dreieckszahlen der Griechen. Was ist Zahlentheorie? Ursprünglich ist die Zahlentheorie (auch: Arithmetik) ein Teilgebiet der Mathematik, welches sich allgemein mit den Eigenschaften der ganzen Zahlen und insbesondere mit den Lösungen

Mehr

1 Zahlentheorie. 1.1 Kongruenzen

1 Zahlentheorie. 1.1 Kongruenzen 3 Zahlentheorie. Kongruenzen Der letzte Abschnitt zeigte, daß es sinnvoll ist, mit großen Zahlen möglichst einfach rechnen zu können. Oft kommt es nicht darauf, an eine Zahl im Detail zu kennen, sondern

Mehr

Lösungen der Aufgaben

Lösungen der Aufgaben Lösungen der Aufgaben Aufgabe 1.3.1 Es gibt 42 mögliche Verschlüsselungen. Aufgabe 2.3.4 Ergebnisse sind 0, 4 und 4 1 = 4. Aufgabe 2.3.6 Da in Z 9 10 = 1 ist, erhalten wir x = c 0 + + c m = c 0 + + c m.

Mehr

1.Vortrag: Rechnen mit Restklassen/modulo einer Zahl

1.Vortrag: Rechnen mit Restklassen/modulo einer Zahl Westfälische Wilhelms-Universität Münster Mathematik Sommersemester 2017 Seminar: Verschlüsselungs- und Codierungstheorie Leitung: Thomas Timmermann 1.Vortrag: Rechnen mit Restklassen/modulo einer Zahl

Mehr

WS 2009/10. Diskrete Strukturen

WS 2009/10. Diskrete Strukturen WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910

Mehr

D-MATH, D-PHYS, D-CHAB Analysis I HS 2016 Prof. Manfred Einsiedler Philipp Wirth. Lösung 3

D-MATH, D-PHYS, D-CHAB Analysis I HS 2016 Prof. Manfred Einsiedler Philipp Wirth. Lösung 3 D-MATH, D-PHYS, D-CHAB Analsis I HS 016 Prof Manfred Einsiedler Philipp Wirth Lösung 3 Diese Woche werden nur Lösungen zu den Aufgaben 4, 5 und 6 zur Verfügung gestellt 4 a Nach Folgerung (i aus den Axiomen

Mehr

Zahlenlehre 1. Die Mathematik ist die Königin der Wissenschaften und die Zahlentheorie ist die Königin der Mathematik (Carl Friedrich Gauß)

Zahlenlehre 1. Die Mathematik ist die Königin der Wissenschaften und die Zahlentheorie ist die Königin der Mathematik (Carl Friedrich Gauß) Die Mathematik ist die Königin der Wissenschaften und die Zahlentheorie ist die Königin der Mathematik (Carl Friedrich Gauß) 6. Termin, Wien 2014 Mag. a Dagmar Kerschbaumer Letzter Termin g-adische Darstellung

Mehr

Kanonische Primfaktorzerlegung

Kanonische Primfaktorzerlegung Mathematik I für Informatiker Zahlen p. 1 Kanonische Primfaktorzerlegung Jede natürliche Zahl n kann auf eindeutige Weise in der Form n = p α 1 1 pα 2 2... pα k k geschrieben werden, wobei k N 0, α i N

Mehr

Elemente der Algebra und Zahlentheorie Musterlösung, Serie 5, Wintersemester vom 21. Januar 2006

Elemente der Algebra und Zahlentheorie Musterlösung, Serie 5, Wintersemester vom 21. Januar 2006 Prof. E.-W. Zink Institut für Mathematik Humboldt-Universität zu Berlin Elemente der Algebra und Zahlentheorie Musterlösung, Serie 5, Wintersemester 2005-06 vom 21. Januar 2006 1. Sei (N, v) Peano-Menge

Mehr

Brückenkurs Mathematik

Brückenkurs Mathematik Brückenkurs Mathematik 6.10. - 17.10. Vorlesung 1 Logik,, Doris Bohnet Universität Hamburg - Department Mathematik Mo 6.10.2008 Zeitplan Tagesablauf: 9:15-11:45 Vorlesung Audimax I 13:00-14:30 Übung Übungsräume

Mehr

Primzahlen. Herbert Koch Mathematisches Institut Universität Bonn Die Primfaktorzerlegung. a = st

Primzahlen. Herbert Koch Mathematisches Institut Universität Bonn Die Primfaktorzerlegung. a = st Primzahlen Herbert Koch Mathematisches Institut Universität Bonn 12.08.2010 1 Die Primfaktorzerlegung Wir kennen die natürlichen Zahlen N = 1, 2,..., die ganzen Zahlen Z, die rationalen Zahlen (Brüche

Mehr

Kapitel 6: Das quadratische Reziprozitätsgesetz

Kapitel 6: Das quadratische Reziprozitätsgesetz Kapitel 6: Das quadratische Reziprozitätsgesetz Ziel dieses Kapitels: die Untersuchung der Lösbarkeit der Kongruenzgleichung X also die Frage, ob die ganze Zahl Z eine Quadratwurzel modulo P besitzt. Im

Mehr

3. Der größte gemeinsame Teiler

3. Der größte gemeinsame Teiler Chr.Nelius: Zahlentheorie (SoSe 2016) 18 3. Der größte gemeinsame Teiler (3.1) DEF: a und b seien beliebige ganze Zahlen. a) Eine ganze Zahl t heißt gemeinsamer Teiler von a und b, wenn gilt t a und t

Mehr

ggt mit Euklid Satz: Um ggt(k, l) mit dem Euklidischen Algorithmus zu berechnen, braucht man höchstens log Φ k < 3 2 log 2 k rekursive Aufrufe.

ggt mit Euklid Satz: Um ggt(k, l) mit dem Euklidischen Algorithmus zu berechnen, braucht man höchstens log Φ k < 3 2 log 2 k rekursive Aufrufe. ggt mit Euklid Satz: Um ggt(k, l) mit dem Euklidischen Algorithmus zu berechnen, braucht man höchstens log Φ k < 3 2 log 2 k rekursive Aufrufe. Das heißt, um den ggt von zwei 1000-Bit-Zahlen zu ermitteln,

Mehr

Kapitel 2. Ganze Zahlen. 2.1 Teilbarkeit

Kapitel 2. Ganze Zahlen. 2.1 Teilbarkeit Kapitel 2 Ganze Zahlen In diesem Kapitel setzen wir voraus, dass die Menge Z der ganzen Zahlen, ihre Ordnung und die Eigenschaften der Addition und Multiplikation ganzer Zahlen dem Leser vertraut sind.

Mehr

Kapitel 1 Die natürlichen und die ganze Zahlen

Kapitel 1 Die natürlichen und die ganze Zahlen Kapitel 1 Die natürlichen und die ganze Zahlen Inhalt 1.1 1.1 Vollständige Induktion z.b. z.b. 1+ 1+ 2 + 3 +...... + n = n(n+1)/2 1.2 1.2 Die Die Peano-Axiome Ein Ein Axiomensystem für für die die natürlichen

Mehr

Teilbarkeitslehre und Restklassenarithmetik

Teilbarkeitslehre und Restklassenarithmetik Vorlesung Teilbarkeitslehre und Restklassenarithmetik.1 Gruppentheorie WiewirinVorlesung2gesehenhaben,hatdieMengeZmitderAdditiongewisse Eigenschaften. Wir fassen nun bestimmte Eigenschaften zusammen und

Mehr

3.5 Ringe und Körper. Diese Eigenschaften kann man nun auch. 1. (R, +) ist eine kommutative Gruppe. 2. Es gilt das Assoziativgesetz bezüglich.

3.5 Ringe und Körper. Diese Eigenschaften kann man nun auch. 1. (R, +) ist eine kommutative Gruppe. 2. Es gilt das Assoziativgesetz bezüglich. 3.5 Ringe und Körper Gehen wir noch mal zu den ganzen Zahlen zurück. Wir wissen: (Z, + ist eine Gruppe, es gibt aber als Verknüpfung noch die Multiplikation, es gibt ein neutrales Element bezüglich, es

Mehr

Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra

Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra Seminar Hallo Welt für Fortgeschrittene 2008 Matthias Niessner June 20, 2008 Erlangen 1 von 29 Matthias Niessner Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra Übersicht 1

Mehr

Bitte tragen Sie zuerst in Druckschrift Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer ein.

Bitte tragen Sie zuerst in Druckschrift Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer ein. Klausur zur Vorlesung Zahlentheorie 21. Juli 2010 12 Uhr 15 14 Uhr 00 Ruhr-Universität Bochum PD. Dr. Claus Mokler Bitte tragen Sie zuerst in Druckschrift Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer ein. Name,

Mehr

Lineare Algebra I (WS 13/14)

Lineare Algebra I (WS 13/14) Lineare Algebra I (WS 13/14) Alexander Lytchak Nach einer Vorlage von Bernhard Hanke 10.01.2014 Alexander Lytchak 1 / 9 Erinnerung: Zwei ganz wichtige Gruppen Für jede Gruppe (G, ) und jedes Element g

Mehr

1 Der Ring der ganzen Zahlen

1 Der Ring der ganzen Zahlen 1 Der Ring der ganzen Zahlen Letztendlich wird die Addition und Multiplikation in endlichen Körpern auf die Addition und Multiplikation von ganzen Zahlen zurückgeführt. Deswegen müssen wir die an sich

Mehr

3. Vorlesung. Arithmetische Theorien.

3. Vorlesung. Arithmetische Theorien. 3. Vorlesung. Arithmetische Theorien. In dieser Vorlesung wollen wir uns mit dem Begriff des Rechnens befassen und zwar mit dem angewandten als auch dem formalen Rechnen. Wir wissen dass die griechischen

Mehr

Folien der 13. Vorlesungswoche

Folien der 13. Vorlesungswoche Folien der 13. Vorlesungswoche Determinantenformel für die inverse Matrix Definition. Für eine n n-matrix A heißt die zu A adjungierte Matrix. A ad = (α ik ) mit α ik = ( 1) i+k A ki Satz. Für jede n n-matrix

Mehr

Zahlentheorie für den Landeswettbewerb für Anfängerinnen und Anfänger der Österreichischen Mathematik-Olympiade

Zahlentheorie für den Landeswettbewerb für Anfängerinnen und Anfänger der Österreichischen Mathematik-Olympiade Zahlentheorie für den Landeswettbewerb für Anfängerinnen und Anfänger der Österreichischen Mathematik-Olympiade Clemens Heuberger 22. September 2014 Inhaltsverzeichnis 1 Dezimaldarstellung 1 2 Teilbarkeit

Mehr

Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra 1

Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra 1 Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra 1 Monika Huber 24.6.2015 Monika Huber Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra 1 24.6.2015 1 / 52 Übersicht Modulare Arithmetik Größter gemeinsamer Teiler Primzahlen

Mehr

Seminar zum Thema Kryptographie

Seminar zum Thema Kryptographie Seminar zum Thema Kryptographie Michael Hampton 11. Mai 2017 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 1.1 Konventionen.................................. 3 1.2 Wiederholung.................................. 3

Mehr

Der Primzahltest von Agrawal, Kayal und Saxena. Dr. Gerold Jäger

Der Primzahltest von Agrawal, Kayal und Saxena. Dr. Gerold Jäger Der Primzahltest von Agrawal, Kayal und Saxena Dr. Gerold Jäger Habilitationsvortrag Christian-Albrechts-Universität zu Kiel Institut für Informatik 19. Januar 2011 Dr. Gerold Jäger Habilitationsvortrag

Mehr

Der kleine Satz von Fermat

Der kleine Satz von Fermat Der kleine Satz von Fermat Luisa-Marie Hartmann 5. Mai 2017 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 2 Hauptteil 4 2.1 Prime Restklassengruppen............................ 4 2.2 Ordnung von Gruppenelementen........................

Mehr

Mathematisches Institut II Universität Karlsruhe Priv.-Doz. Dr. N. Grinberg

Mathematisches Institut II Universität Karlsruhe Priv.-Doz. Dr. N. Grinberg 1 Mathematisches Institut II 06.07.004 Universität Karlsruhe Priv.-Doz. Dr. N. Grinberg SS 05 Schnupperkurs: Ausgewählte Methoden zur Aufgabenlösung Vorlesung 5: Elementare Zahlentheorie: Teilbarkeit Primfaktorzerlegung

Mehr

5. Der größte gemeinsame Teiler

5. Der größte gemeinsame Teiler Chr.Nelius: Zahlentheorie (SoSe 2017) 22 5. Der größte gemeinsame Teiler (5.1) DEF: a und b seien beliebige ganze Zahlen. a) Eine ganze Zahl t heißt gemeinsamer Teiler von a und b, wenn gilt t a und t

Mehr

Seminararbeit zur Zahlentheorie. Die Gaußschen Zahlen

Seminararbeit zur Zahlentheorie. Die Gaußschen Zahlen Universität Paderborn WS 2007/2008 Warburger Str. 100 33098 Paderborn Seminararbeit zur Zahlentheorie Die Gaußschen Zahlen Tatjana Linkin, Svetlana Krez 20. November 2007 INHALTSVERZEICHNIS 1 Inhaltsverzeichnis

Mehr

Elementare Zahlentheorie

Elementare Zahlentheorie 1 Elementare Zahlentheorie Die Mathematik ist die Königin der Wissenschaften, die Zahlentheorie ist die Königin der Mathematik (C. F. Gauss) Dieses Kapitel handelt von den Eigenschaften der ganzen Zahlen

Mehr

Form der Äquivalenzklassen

Form der Äquivalenzklassen Form der Äquivalenzklassen Anmerkung: Es gilt a = a ± m = a ± 2m =... = a + km mod m für alle k Z. Wir schreiben auch {x Z x = a + mk, k Z} = a + mz. Es gibt m verschiedene Äquivalenzklassen modulo m:

Mehr

Logische Grundlagen der Mathematik, WS 2014/15

Logische Grundlagen der Mathematik, WS 2014/15 Logische Grundlagen der Mathematik, WS 2014/15 Thomas Timmermann 26. November 2014 Was kommt nach den natürlichen Zahlen? Mehr als die natürlichen Zahlen braucht man nicht, um einige der schwierigsten

Mehr

1. Übung Elemente der Zahlentheorie SS2016

1. Übung Elemente der Zahlentheorie SS2016 1. Übung Elemente der Zahlentheorie SS2016 1. Sei n IN eine natürliche Zahl. Zeigen Sie mit Hilfe vollständiger Induktion: (a) 1+2+3+...+(n 1)+n = n(n+1), 2 (b) 1+4+9+...+(n 1) 2 +n 2 = n(n+1)(2n+1), 6

Mehr

Kapitel 3: Die Sätze von Euler, Fermat und Wilson. 8 Der Satz von Euler

Kapitel 3: Die Sätze von Euler, Fermat und Wilson. 8 Der Satz von Euler Kapitel 3: Die Sätze von Euler, Fermat und Wilson In diesem Kapitel wollen wir nun die eulersche -Funktion verwenden, um einen berühmten Satz von Euler zu formulieren, aus dem wir dann mehrere interessante

Mehr

Vorlesung Diskrete Strukturen Die natürlichen Zahlen

Vorlesung Diskrete Strukturen Die natürlichen Zahlen Vorlesung Diskrete Strukturen Die natürlichen Zahlen Bernhard Ganter WS 2009/10 Alles ist Zahl? Wenn in der modernen Mathematik alles auf Mengen aufgebaut ist, woher kommen dann die Zahlen? Sind Zahlen

Mehr

Euklidische Algorithmus, Restklassenringe (Z m,, )

Euklidische Algorithmus, Restklassenringe (Z m,, ) Euklidische Algorithmus, Restklassenringe (Z m,, ) Manfred Gruber http://www.cs.hm.edu/~gruber SS 2008, KW 14 Gröÿter gemeinsamer Teiler Denition 1. [Teiler] Eine Zahl m N ist Teiler von n Z, wenn der

Mehr

Äquivalenzrelation. Tischler-Problem. Euklidischer Algorithmus. Erweiterter euklidischer Algorithmus. Lineare diophantische Gleichung

Äquivalenzrelation. Tischler-Problem. Euklidischer Algorithmus. Erweiterter euklidischer Algorithmus. Lineare diophantische Gleichung Äquivalenzrelation Tischler-Problem Euklidischer Algorithmus Erweiterter euklidischer Algorithmus Lineare diophantische Gleichung Rechnen mit Resten Restklassen Teilbarkeit in Z Beispiel einer Kongruenzgleichung

Mehr

2: Zahlentheorie / Restklassen 2.1: Modulare Arithmetik

2: Zahlentheorie / Restklassen 2.1: Modulare Arithmetik Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 57 2: Zahlentheorie / Restklassen 2.1: Modulare Arithmetik Uhr: Stunden mod 24, Minuten mod 60, Sekunden mod 60,... Rechnerarithmetik: mod 2 w, w {8, 16, 32,

Mehr

Einführung in Algebra und Zahlentheorie Lösungsvorschläge zur Klausur vom Aufgabe 1 (6 Punkte)

Einführung in Algebra und Zahlentheorie Lösungsvorschläge zur Klausur vom Aufgabe 1 (6 Punkte) Aufgabe 1 (6 Punkte) Einführung in Algebra und Zahlentheorie svorschläge zur Klausur vom 23.09.2016 a) Bestimmen Sie das multiplikativ inverse Element zu 22 in Z/61Z. b) Finden Sie ein x Z mit folgenden

Mehr

7 Der kleine Satz von Fermat

7 Der kleine Satz von Fermat 7 Der kleine Satz von Fermat Polynomkongruenz modulo p. Sei p eine Primzahl, n 0 und c 0,..., c n Z. Wir betrachten die Kongruenz ( ) c 0 + c 1 X +... + c n 1 X n 1 + c n X n 0 mod p d.h.: Wir suchen alle

Mehr

Kapitel 3 Elementare Zahletheorie

Kapitel 3 Elementare Zahletheorie Kapitel 3 Elementare Zahletheorie 89 Kapitel 3.1 Ganze Zahlen, Gruppen und Ringe 90 Die ganzen Zahlen Menge der ganzen Zahlen Z={..., 3, 2, 1,0,1,2,3,...} Es gibt zwei Operationen Addition: Z Z Z, (a,b)

Mehr

UE Zahlentheorie. Markus Fulmek

UE Zahlentheorie. Markus Fulmek UE Zahlentheorie (Modul: Elementare Algebra (EAL)) Markus Fulmek Sommersemester 2015 Aufgabe 1: Betrachte folgende Partition der Menge r9s t1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9u Ă N: r9s t1, 4, 7u 9Y t2, 5, 8u 9Y

Mehr

Interim. Kapitel Einige formale Definitionen

Interim. Kapitel Einige formale Definitionen Kapitel 1 Interim Da ich keine Infos über Titel und Nummerierungen anderer Kapitel dieser Vorlesung habe, nenne ich dies einfach mal Kapitel 1. 17.11.04 1.1 Einige formale Definitionen Wir rekapitulieren

Mehr

Rationale, irrationale und reelle Zahlen. 4-E Vorkurs, Mathematik

Rationale, irrationale und reelle Zahlen. 4-E Vorkurs, Mathematik Rationale, irrationale und reelle Zahlen 4-E Vorkurs, Mathematik Rationale Zahlen Der Grund für die Einführung der rationalen Zahlen ist der, dass wir mit ihnen auch Gleichungen der Form q x = p lösen

Mehr

Übungen zum Vorkurs Mathematik für Studienanfänger Ein leeres Produkt ist gleich 1, eine leere Summe 0. ***

Übungen zum Vorkurs Mathematik für Studienanfänger Ein leeres Produkt ist gleich 1, eine leere Summe 0. *** Universität Bonn Mathematisches Institut Dr. Michael Welter Übungen zum Vorkurs Mathematik für Studienanfänger 2010 Einige Zeichen und Konventionen: IN := {1, 2, 3, 4,...} Die Menge der natürlichen Zahlen

Mehr

. Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I. Tobias Polzer. Tobias Polzer Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I.. /

. Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I. Tobias Polzer. Tobias Polzer Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I.. / Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I Tobias Polzer Tobias Polzer Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I / Modulare Arithmetik Motivation Rechenregeln schnelle Potenzierung Gemeinsame Teiler euklidischer

Mehr

= k 0+k 0 ( ). Wir addieren (0 k) zu den Seiten der Gleichung ( ): 0 = k 0.

= k 0+k 0 ( ). Wir addieren (0 k) zu den Seiten der Gleichung ( ): 0 = k 0. Def 4 Eine Menge K mit zwei Abbildungen + : K K K und : K K K (heißen Addition und Multiplikation; wir werden a b bzw a+b statt (a,b), +(a,b) schreiben) ist ein kommutativer Ring, falls: (R1) (K, +) ist

Mehr

KAPITEL 13. Polynome. 1. Primfaktorzerlegung in den ganzen Zahlen. ,, p r

KAPITEL 13. Polynome. 1. Primfaktorzerlegung in den ganzen Zahlen. ,, p r KAPITEL 13 Polynome 1. Primfaktorzerlegung in den ganzen Zahlen DEFINITION 13.1 (Primzahl). Eine Zahl p ist genau dann eine Primzahl, wenn folgende beiden Bedingungen gelten: (1) Es gilt p > 1. (2) Für

Mehr

Musterlösung zur Probeklausur zur Angewandten Diskreten Mathematik Dr. Hartmut Lanzinger, Hans- Peter Reck

Musterlösung zur Probeklausur zur Angewandten Diskreten Mathematik Dr. Hartmut Lanzinger, Hans- Peter Reck Musterlösung zur Probeklausur zur Angewandten Diskreten Mathematik Dr. Hartmut Lanzinger, Hans- Peter Reck Gesamtpunktzahl: 114 Punkte, 100 Punkte= 100 %, keine Abgabe 1. Es seien m = 1155 und n = 1280.

Mehr

Folien der 15. Vorlesungswoche

Folien der 15. Vorlesungswoche Folien der 15. Vorlesungswoche Mathematische Analyse von RSA I (1) Wir wählen zwei große Primzahlen p und q (p q) und setzen n = p q. Wir arbeiten von nun an in Z n und berücksichtigen, dass wie später

Mehr

Der chinesische Restsatz mit Anwendung

Der chinesische Restsatz mit Anwendung Der chinesische Restsatz mit Anwendung Nike Garath n.garath@gmx.de Martrikelnummer: 423072 Seminar: Verschlüsslungs- und Codierungstheorie Dozent: Dr. Thomas Timmermann Sommersemester 2017 Inhaltsverzeichnis

Mehr

Übungen zum Vorkurs Mathematik für Studienanfänger Ein leeres Produkt ist gleich 1, eine leere Summe 0. ***

Übungen zum Vorkurs Mathematik für Studienanfänger Ein leeres Produkt ist gleich 1, eine leere Summe 0. *** Universität Bonn Mathematisches Institut Dr. Michael Welter Übungen zum Vorkurs Mathematik für Studienanfänger 2013 Einige Zeichen und Konventionen: IN := {1, 2, 3, 4,...} Die Menge der natürlichen Zahlen

Mehr

2 Teilbarkeit in Z. (a) Aus a b folgt a b und a b und a b und a b. (b) Aus a b und b c folgt a c.

2 Teilbarkeit in Z. (a) Aus a b folgt a b und a b und a b und a b. (b) Aus a b und b c folgt a c. 2 Teilbarkeit in Z Bis auf weiteres stehen kleine Buchstaben für ganze Zahlen. Teilbarkeit. Sei a 0. Eine Zahl b heißt durch a teilbar, wenn es ein q gibt mit b = qa. Wir sagen dann auch: a teilt b (ist

Mehr

Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I

Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I Ulrich Rabenstein 18.06.2013 Ulrich Rabenstein Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra I 18.06.2013 1 / 34 1 Modulare Arithmetik 2 Teiler 3 Primzahlen Ulrich Rabenstein

Mehr

Beispiel: Primelemente in den Gaußschen Zahlen

Beispiel: Primelemente in den Gaußschen Zahlen Beispiel: Primelemente in den Gaußschen Zahlen Satz Primelemente in Z[i] Für die Primelemente π Z[i] gilt bis auf Assoziiertheit 1 N(π) = p für ein p P oder 2 π = p für ein p P mit p x 2 + y 2 für (x,

Mehr

Zahlen und elementares Rechnen

Zahlen und elementares Rechnen und elementares Rechnen Christian Serpé Universität Münster 7. September 2011 Christian Serpé (Universität Münster) und elementares Rechnen 7. September 2011 1 / 51 Gliederung 1 2 Elementares Rechnen 3

Mehr

Kongruenzen und Restklassenringe. 2. Kongruenzen und Restklassenringe

Kongruenzen und Restklassenringe. 2. Kongruenzen und Restklassenringe 2. Kongruenzen und Restklassenringe Kongruenzen Definition: Wir sagen a ist kongruent zu b modulo m schreiben a b mod m, wenn m die Differenz b-a te Beispiel: Es gilt 2 19 mod 21, 10 0 mod 2. Reflexivität:

Mehr

Kapitel 2: Multiplikative Funktionen. 3 Multiplikative Funktionen. Definition 2.1 (arithmetische Funktion, (vollständig) multiplikative Funktion)

Kapitel 2: Multiplikative Funktionen. 3 Multiplikative Funktionen. Definition 2.1 (arithmetische Funktion, (vollständig) multiplikative Funktion) Kapitel 2: Multiplikative Funktionen 3 Multiplikative Funktionen Definition 2.1 (arithmetische Funktion, (vollständig) multiplikative Funktion) (a) Eine Funktion α : Z >0 C heißt arithmetisch (oder zahlentheoretisch).

Mehr

Einführung in die Zahlentheorie

Einführung in die Zahlentheorie Einführung in die Zahlentheorie von Peter Hellekalek Institut für Mathematik Universität Salzburg Hellbrunner Straße 34 A-5020 Salzburg, Austria Tel: +43-(0)662-8044-5310 Fax: +43-(0)662-8044-137 e-mail:

Mehr

$Id: ring.tex,v /05/03 15:13:26 hk Exp $

$Id: ring.tex,v /05/03 15:13:26 hk Exp $ $Id: ring.tex,v 1.13 2012/05/03 15:13:26 hk Exp $ 3 Ringe 3.1 Der Ring Z m In der letzten Sitzung hatten wir die sogenannten Ringe eingeführt, dies waren Mengen A versehen mit einer Addition + und einer

Mehr

2011W. Vorlesung im 2011W Institut für Algebra Johannes Kepler Universität Linz

2011W. Vorlesung im 2011W  Institut für Algebra Johannes Kepler Universität Linz und Was ist? Mathematik und Institut für Algebra Johannes Kepler Universität Linz Vorlesung im http://www.algebra.uni-linz.ac.at/students/win/ml und Was ist? Inhalt Was ist? und Was ist? Das ist doch logisch!

Mehr

Asymmetrische Kryptographie u

Asymmetrische Kryptographie u Asymmetrische Kryptographie u23 2015 Simon, Florob e.v. https://koeln.ccc.de Cologne 2015-10-05 1 Zahlentheorie Modulare Arithmetik Algebraische Strukturen Referenzprobleme 2 Diffie-Hellman Diffie-Hellman-Schlüsselaustausch

Mehr

Kongruenz ist Äquivalenzrelation

Kongruenz ist Äquivalenzrelation Kongruenz ist Äquivalenzrelation Lemma Kongruenz ist Äquivalenzrelation Die Kongruenz modulo n ist eine Äquivalenzrelation auf Z. D.h. für alle a, b, c Z gilt 1 Reflexivität: a a mod n 2 Symmetrie: a b

Mehr

4 Kryptologie. Übersicht

4 Kryptologie. Übersicht 4 Kryptologie Übersicht 4.1 Der erweiterte euklidische Algorithmus................................ 38 4.2 Rechnen mit Restklassen modulo p................................... 39 4.3 Der kleine Satz von

Mehr

Elementare Zahlentheorie. Diskrete Strukturen. Winter Semester 2012 #

Elementare Zahlentheorie. Diskrete Strukturen. Winter Semester 2012 # Erster Teil 1 Elementare Diskrete Strukturen Winter Semester 2012 # 342 207 Prof. Armin Biere Institut für Formale Modelle und Verifikation Johannes Kepler Universität, Linz http://fmv.jku.at/ds Literatur

Mehr

Hallo Welt für Fortgeschrittene

Hallo Welt für Fortgeschrittene Hallo Welt für Fortgeschrittene Zahlentheorie, Arithmetik und Algebra 1 Florian Habur Informatik 2 Programmiersysteme Martensstraße 3 91058 Erlangen Übersicht Modulare Arithmetik Rechenregeln Fast Exponentiation

Mehr

5 Kongruenzrechnung. Definition. Zwei Zahlen heißen kongruent modulo m, wenn sie bei der Division durch m den gleichen Rest lassen.

5 Kongruenzrechnung. Definition. Zwei Zahlen heißen kongruent modulo m, wenn sie bei der Division durch m den gleichen Rest lassen. 5 Kongruenzrechnung Sei m > 0 fest vorgegeben Nach wissen wir: Jede Zahl a läßt sich auf eindeutige Weise durch m mit Rest dividieren, dh: Es gibt genau ein Zahlenpaar q, r mit der Eigenschaft ( ) a =

Mehr

Diskrete Mathematik. Christina Kohl Georg Moser Oleksandra Panasiuk Christian Sternagel Vincent van Oostrom

Diskrete Mathematik. Christina Kohl Georg Moser Oleksandra Panasiuk Christian Sternagel Vincent van Oostrom Diskrete Mathematik Christina Kohl Georg Moser Oleksandra Panasiuk Christian Sternagel Vincent van Oostrom Institut für Informatik @ UIBK Sommersemester 2017 Zusammenfassung Zusammenfassung der letzten

Mehr

Übungen zum Vorkurs Mathematik für Studienanfänger Ein leeres Produkt ist gleich 1, eine leere Summe 0. ***

Übungen zum Vorkurs Mathematik für Studienanfänger Ein leeres Produkt ist gleich 1, eine leere Summe 0. *** M. Welter Übungen zum Vorkurs Mathematik für Studienanfänger 2004 Einige Zeichen und Konventionen: IN := {1, 2, 3, 4,...} Die Menge der natürlichen Zahlen IN 0 := IN {0}{0, 1, 2, 3, 4,...} Z := {..., 2,

Mehr

Einführung in die algebraische Zahlentheorie

Einführung in die algebraische Zahlentheorie Alexander Schmidt Einführung in die algebraische Zahlentheorie Springer-Lehrbuch Springer Berlin Heidelberg New York ISBN 978-3-540-45973-6 Kapitel 7 Der Große Fermatsche Satz Die folgende Behauptung wurde

Mehr

8. Musterlösung zu Mathematik für Informatiker II, SS 2004

8. Musterlösung zu Mathematik für Informatiker II, SS 2004 8. Musterlösung zu Mathematik für Informatiker II, SS 2004 MARTIN LOTZ &MICHAEL NÜSKEN Aufgabe 8.1 (Polynomdivision). (8 Punkte) Dividiere a mit Rest durch b für (i) a = x 7 5x 6 +3x 2 +1, b = x 2 +1in

Mehr