3. Diskrete Mathematik

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1 Diophantos von Alexandria um 250 Georg Cantor Pythagoras um 570 v. Chr Pierre de Fermat 1607/ Seite 1

2 Inhalt der Vorlesung Teil 3: Diskrete Mathematik 3.1 Zahlentheorie: Abzählbarkeit, Primzahlen, Teilbarkeit. 3.2 Diophantische Gleichungen 3.3 Modulare Arithmetik, Addition und Multiplikation in Z m, Kongruenzrechungen 3.4 Verschlüsselung Zusammenfassung PVL: ½ vom 3 und 4. Übungsblatt & 5. Übungsblatt! Seite 2

3 Diskrete Mathematik: Ein Teilgebiet der Mathematik, das sich mit endlichen oder abzählbar unendlichen Mengen befasst. Abzählbarkeit einer Menge Definition 3.1 Die Menge M heißt abzählbar unendlich, wenn sie die gleiche Mächtigkeit hat, wie die Menge N. Also, man kann die Menge M durchnummerieren. Satz 3.1: Die Menge N ist abzählbar (Axiome von Peano). Seite 3

4 Menge der ganzen Zahlen z? 4

5 Abzählbarkeit der Menge rationalen Zahlen Q (Satz 3.2) 1, 2, ½, 1/3, 3, 4, 3/2, 2/3, ¼, 1/5, 5, 6, 5/2, 4/3, Georg Cantor, Seite 5 Bildquelle:

6 Abzählbarkeit der Menge reellen Zahlen R Satz 3.3: Die Menge R ist nicht abzählbar. Beweis (Cantor): Wenn R abzählbar ist, dann sind auch die Zahlen im Intervall (0,1) abzählbar. 0, , , , , neue Zahl konstruieren: je Ziffer auf der Diagonal um 1 erhöhen: neue Zahl: 0,15349 steht nicht in der Liste Widerspruch! Seite 6

7 Abzählbarkeit der Menge der Primzahlen Definition 3.2: Zahl p N heißt Primzahl, wenn sie nur zwei Teiler hat: 1 und p. Satz 3.4: Die Menge der Primzahlen ist unendlich abzählbar. N: p: abzählbar! Unendlich? Seite 7

8 Abzählbarkeit der Menge der Primzahlen Beweis durch Widerspruch: Endliche Liste aller Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,, n Konstruiere neue Zahl: q= n + 1 q ist entweder prim oder nicht q ist nicht prim man kann q durch eine Primzahl dividieren! q:2 Rest 1 q:3 Rest 1 q:n Rest 1 7 = :2 Rest 1 7:3 Rest 1 q durch keine Primzahl dividierbar selbst eine Primzahl Widerspruch mit der Annahme, dass die Liste alle Primzahlen enthält. es gibt unendlich viele Primzahlen Seite 8

9 Hauptsatz der Zahlentheorie (Primfaktorzerlegung) Satz 3.5: Jede natürliche Zahl n > 1 kann als Produkt von Primzahlpotenzen eindeutig (bis auf ihre Reihenfolge) dargestellt werden: n Beispiel: e1 e2 p1 p2... p e s s a) 18 = = b) 700 = = größter gemeinsamer Teiler kleinste gemeinsame Vielfache ggt(18,700) = 2 1 kgv(18,700) = = 6300 Seite 9

10 Größter gemeinsamer Teiler Definition 3.3: Sei a,b Z, a,b 0 und T = { t N: t a und t b }. Offensichtlich gilt T, da z Z: 1 z. Falls T = 1, dann heißen a und b teilerfremd, sonst für T > 1: maximale Zahl g T wird als größter gemeinsamer Teiler von a und b genannt, kurz g = ggt(a,b). Wie bekommt man T? T = T(a) T(b), wobei T(x) die Menge der Teiler der Zahl x bezeichnet. Seite 10

11 Beispiel: a) ggt(12,14) = T(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12} T(14) = {1, 2, 7, 14}? 2 ggt(6,8) = 2 ggt(3,7) = 1 T = T(12) T (14) = {1, 2} g = max T = 2 b) ggt (-4,16) = 4 T(-4) = {1, 2, 4}; T(16) = {1, 2, 4, 8, 16} T = T(-4) T (16) = {1, 2, 4} g = max T = 4 Seite 11

12 Sätze 3.6 (zum ggt): Sei a,b N, dann gilt: 1) ggt(a,a) = a 2) ggt(a,1) = 1 3) ggt(a,0) = a 4) ggt(a,b) = ggt(b,a) 5) ggt(a,b) = ggt (a-b,b) (Beweise in der Mitschrift) Seite 12

13 Euklidischer Algorithmus 5) ggt(a,b) = ggt (a-b,b) ggt (539,231) = ggt ( ,231) = 5) ggt(a,b) = ggt (a-b,b) ggt (308,231) = ggt ( ,231) = ggt (77,231) = ggt (154,77) = ggt (77,77) = 4) ggt(a,b) = ggt(b,a) 5) 1) ggt(a,a) = a 3) ggt(a,0) = a ggt (77,0) = oder ggt (231,77)= 5) Seite 13

14 Euklidischer Algorithmus 539 = = = ggt (231,539) Test: 231 = ; 539 = Noch mehr Platz sparen: Tabellenform (in der Mitschrift) Übung: ggt(172,30) = 2 Seite 14

15 Diophantische Gleichungen Definition 3.4: Eine lineare diophantische Gleichung ist eine Gleichung der Form: a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x a n x n = c, mit i: a i Z, c Z. Lösung: i, x i Z (ganzzahlig!!!) Diophantos von Alexandria, um 250 Lineare diophantische Gleichung mit 2 Variablen x und y: A x + B y = C Seite 15 Bildquelle:

16 Diophantische Gleichungen, Beispiel a) x + 2 y = 2 (0,1) (-2,2) (-4,3) unendlich viele Lösungen b) 6x 9y = 2 3 (2x-3y) = 2 3 = ggt(6,9) 3 teilt 2 nicht keine Lösungen Seite 16

17 Diophantische Gleichungen, Lösbarkeit Ax + By = C Satz 3.7: Wenn der größte gemeinsame Teiler (ggt) der Koeffizienten A, B die Konstante C nicht teilt, dann hat die Gleichung Ax + By = C keine ganzzahligen Lösungen! Alternativ, als notwendige Bedingung formuliert: C = k ggt (A,B), k Z 6x 9y = 18 ggt(6,9)= 3; 3 teilt 18 lösbar Seite 17

18 Diophantische Gleichungen, Algorithmus: 1. Wähle die Variable mit dem betragsmäßig kleinsten Koeffizienten: Ax + By = C. Nennen wir diese Variable x. 2. Löse die Gleichung nach x auf. Ax = C By; x = C/A (B/A)y Gruppiere die rechte Seite nach ganzzahligen Teilen und rationalen Teile z.b.: x = y = 4 2y y Falls kein rationaler Teil existiert Schritt 3. Sonst konstruiere durch Einführung einer neuen ganzzahligen Variablen a aus dem rationalem Teil eine neue lineare Diophantische Gleichung Schritt 1. z.b.: a = y. 3. Mache alle Substitutionen rückgängig. Seite 18

19 Algorithmus, Beispiel: Löse 30x + 22y = 24 (:2) 1. Zuerst durch 2 dividieren! 15x + 11y = ggt(15,11) = 1 1 teilt 12 lösbar < 15 Löse die Gleichung nach y auf: y = (12 15x)/11 = 1+ 1/11 x 4x/11 a = 1/11-4x/11 neue Gleichung 11a = 1 4x oder 11a + 4x = < 11 Löse die Gleichung nach x auf: x = (1 11a)/4 = 1/4 1a 3a/4 Seite 19

20 Algorithmus, Beispiel: Löse 15x + 11y = 12 (Fortsetzung) b = 1/4 3a/4 neue Gleichung 4b = 1 3a oder 4b + 3a = < 4 Löse die Gleichung nach a auf: a = (1 4b)/3 = 1/3 b 1b/3 c = 1/3-1b/3 neue Gleichung 3c = 1 1b 6. 1 < 3 Löse nach b auf: oder 3c + 1b = 1 4, 3 b = 1/1 3c/1 = 1-3c Schluss Rücksubstitutionen x und y müssen durch c ausgedruckt werden!!! 5 Seite 20

21 Algorithmus, Beispiel: Löse 15x + 11y = 12 (Fortsetzung) 1. b = 1-3c Setze in die Formel für a ein: a = (1 4b)/3 = (1-4+12c)/3 = c 2. Setze a = c in die Formel für x ein: x = (1 11a)/4 = ( c)/4 = 3-11c 3. Setze x = 3-11c in die Formel für y ein: y = (12 15x)/11 = ( c)/11 = c Antwort: x = 3-11c y = c c = 0 x = 3 y = 12 c = 1 x = -8 y = -3 Seite 21

22 Übung: Bestimmen Sie die allgemeine und zwei spezielle Lösungen der diophantischen Gleichung 5x - 3y = 1. Seite 22

23 Übung: Bestimmen Sie die allgemeine und zwei spezielle Lösungen der diophantischen Gleichung 5x - 3y = ggt(5,-3) = 1 1 teilt 1 lösbar 2. 3 < 5 Löse die Gleichung nach y auf: y = (5x 1)/3 = x+ 2x/3 1/3 a = 2x/3-1/3 neue Gleichung 3a = 2x 1 oder 3a - 2x = < 3 Löse die Gleichung nach x auf: x = (3a + 1)/2 = 1a/2 + a + 1/2 Seite 23

24 b = a/2 + 1/2 neue Gleichung 2b = a + 1 oder a 2b = < 2 Löse die Gleichung nach a auf: a = 2b 1 keine Brüche mehr Rücksubstitutionen: x und y durch b ausdrucken!!! 1. Setze a in die Formel für x ein: x = (3a + 1)/2 = (3(2b 1)+1)/2 = 3b 1 2. Setze x in die Formel für y ein: y = (5x 1)/3 = (5(3b 1) 1)/3 = 5b 2 Seite 24

25 Allgemeine Lösung: x = 3b 1 y = 5b 2 Spezielle Lösungen: b = 0: x = 1, y = 2 b = -1: x = -4, y = -7. Test: 5 (-1) 3 (-2) = 1; 5 (-4) 3 (-7) = 1; Seite 25

26 Pythagoräischer Satz: x 2 + y 2 = z 2, x,y,z Z Lösung: v, w N; v w 1 x = v 2 w 2 (v 2 w 2 )+4v 2 w 2 = y = 2vw v 4-2v 2 w 2 +w 4 +4v 2 w 2 = z = v 2 + w 2 v 4 + 2v 2 w 2 +w 4 = (v 2 + w 2 ) 2 Lösungstabelle: v = 2 3 w = x = y = z = Bildquelle: Pythagoras Seite 26

27 Fermatsche Satz Der Große Fermatsche Satz (Satz 3.8): x n + y n = z n, x,y,z Z; 2 < n N Es gibt keine von 0 verschiedene ganzzahlige Lösungen!!! x,y,z 0 Zuerst bewiesen für die Zahlen 3,4 und Vielfache dieser Zahlen (1753), dann für 5 (1825) und später für 7 (1839). Pierre de Fermat 1607/ Für alle n > 2 bewiesen im Jahr 1995 durch Andrew Wiles Fields-Medaille Seite 28

28 Kongruenzrechnung Jedes n Z mit vorgegebenen m > 1 (m N) lässt sich eindeutig durch m mit Rest r dividieren: n = q m + r Definition 3.5: Sei m > 1. Zwei Zahlen a, b Z heißen kongruent modulo m, wenn m (a b). Schreibweise: a b mod m Beispiel: 5 3 mod 2, da 2 teilt (5 3) 8 4 mod 2, da 2 teilt (8 4) Seite 29

29 Satz 3.9: a b mod m, sie bei der Division durch m den gleichen Rest haben. Beispiel: m = 3 11 = mod 3 8 = m = 4 11 = = mod 4 Übung: Berechnen Sie 111 mod 23, 45 mod 4, n+1 mod n, 2n + 5 mod n (für n > 5). Seite 30

30 Definition 3.6: Die Restklasse von a modulo m besteht aus allen Zahlen, die den gleichen Rest bei Division durch m haben. Bemerkung: für die Zahl m gibt es m Restklassen [0], [1], [2],, [m 1]; die Zahl in [ ] nennt man auch der Repräsentant der Restklasse [ ]. Beispiel: Für m = 2 gibt es zwei Restklassen [0] und [1]. [0] = {, -4, -2, 0, 2, 4, 6, } [1] = {, -3, -1, 1, 3, 5, 7 } Seite 31

31 Beispiel 2: für m = 6 gibt es sechs Restklassen [0], [1], [2], [3], [4], [5]. [0] = {, -18, -12, -6, 0, 6, 12, 18, } [1] = {, -17, -11, -5, 1, 7, 13, 19, } [2] = {, -16, -10, -4, 2, 8, 14, 20, } [3] = {, -15, -9, -3, 3, 9, 15, 21, } [4] = {, -14, -8, -2, 4, 10, 16, 22, } [5] = {, -13, -7, -1, 5, 11, 17, 23, } Seite 32

32 Übung: Zählen Sie die Restklassen mod 3 auf und geben Sie alle Repräsentanten dieser Klassen an. [0] = [1] = [2] = {, -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9, } {, -8, -5, -2, 1, 4, 7, 10, } {, -7, -4, -1, 2, 5, 8, 11, } Seite 33

33 Mit Z m bezeichnet man die Menge aller Restklassen modulo m: Z m = { [0], [1], [2], [3],, [m 2], [m 1] }. Beispiel: Z 2 = { [0], [1] } Z 6 = { [0], [1], [2], [3], [4], [5] } Z 12 = { [0], [1], [2], [3], [4],, [11] } Seite 34

34 Addition und Multiplikation in Z 2 : Additionstafel: Multiplikationstafel: Seite 35

35 Addition in Z m : Um das Ergebnis der Summe zweier Zahlen in Z m zu berechnen, addiere die beiden wie üblich. Falls die Summe größer oder gleich m ist, dividiere die Summe durch m und nehme den Rest als das Ergebnis. Beispiel: = 8 2 mod 6 Seite 36

36 Addition und Multiplikation in Z 6 : Additionstafel: Seite 37

37 Multiplikation in Z m : Um das Produkt zweier Zahlen in Z m zu berechnen, multipliziere die beiden wie üblich. Falls das Produkt größer oder gleich m ist, dividiere das Produkt durch m und nehme den Rest als das Ergebnis der Multiplikation. Beispiel: 5 3 = 15 3 mod 6 Seite 38

38 Addition und Multiplikation in Z 6 : Multiplikationstafel: Seite 39

39 Übung: erstellen Sie die Additions- und Multiplikationstafel in Z 4. Additionstafel: Multiplikationstafel: Seite 40

40 Seien [a] und [b] zwei Restklassen, dann [a] + [b]:= [a+b]. Satz 3.10: (Eigenschaften der Addition) Die Addition in Z n hat folgende Eigenschaften: [a] + [b] = [b] + [a] Kommutativität [a] + ([b] + [c]) = ([a] + [b]) + [c] Es gibt ein neutrales Element [0] in Z n, Assoziativität so dass [a] + [0] = [a] Zu jede Restklasse [a] gibt es ein inverses Element [b], d.h. [a] + [b] = [0] Seite 41

41 Beispiel: Additionstafel in Z 6 : Neutrales Element: 0 Inverses bzgl. + in Z 6 : zu 0 ist 0 zu 1 ist 5 zu 2 ist 4 etc Seite 42

42 Seien [a] und [b] zwei Restklassen, dann [a] [b] := [a b]. Satz 3.11 (Eigenschaften der Multiplikation) Die Multiplikation in Z n hat folgende Eigenschaften: [a] [b] = [b] [a] Kommutativität [a] ([b] [c]) = ([a] [b]) [c] Assoziativität Es gibt ein neutrales Element ([1]) in Z n, so dass [a] [1] = [a] Bemerkung: Nicht zu jeder Restklasse [a] gibt es ein inverses Element [b], d.h. [a] [b] = [1] Seite 43

43 Beispiel: Multiplikationstafel in Z 6 : neutrales Element: 1 inverses bzgl. in Z 6 : zu 1 ist 1 zu 5 ist 5 zu 0, 2, 3, 4 gibt es ein inverses? Seite 44

44 Satz 3.12 (Existenz von inversen Element) Sei n N und sei a Z n. Dann hat a genau dann ein inverses Element bzgl. der Multiplikation in Z n, wenn a und n teilerfremd sind. Beispiel: Betrachte Z 6. ggt(1,6) = ggt(5,6) = 1 es gibt ein inverses Element. ggt(2,6) = ggt(4,6) = 2 ; ggt(3,6) = 3 es gibt kein inverses Element. Seite 45

45 Übung: Bestimme Elemente in Z 12, die kein inverses Element bzgl. der Multiplikation in Z 12 haben. Lösung: Z 12 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} Welche Elemente Z 12 in sind nicht teilerfremd zu 12? Für 0, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10 gibt es kein inverses Element. Es gibt ein inverses Element für 1, 5, 7 und 11, diese Menge wird als Z * 12 = {1,5,7,11} bezeichnet. Seite 46

46 Eulersche Phi-Funktion: Sei n N, dann ist (n) die Anzahl der Elemente a aus {1,2,3,4,, n}, die zu n teilerfremd sind, d.h. ggt(a,n) = 1. (n) heißt Eulersche - Funktion (Phi-Funktion). Beispiel: (12) = 4; {1, 5, 7, 11}; (1) = 1; {1}; (4) = 2 ; {1,3}; (6) = 2; {1,5}; Seite 47

47 Eigenschaften: (p) = p 1, wenn p eine Primzahl ist. (p k ) = p k p k-1, wenn p eine Primzahl ist. (m n) = (m) (n), wenn ggt(m,n) = 1 Beispiel: (7) = 6; (5) = 4 ; (3) = 2 ; (12) = (3) (4) = 2 2 = 4 (25) = (5 2 ) = = 20 Seite 48

48 Übung: (28) = (39) = (4) (7) = 2 6 = 12 (3) (13) = 2 12 = 24 (16) = /Mitschrift/ (100) = /Mitschrift/ (360) = ( ) = (2 3 ) (3 2 ) (5) = = ( ) ( ) (4) = = 96 Seite 50

49 Beispiel (Clock-Arithmetic) a) Wie spät ist 50 Stunden nach 4 Uhr? b) Die Schichtarbeit fängt um 5 Uhr morgens an. Wie lang sollte jede Schicht sein, wenn es nur 7 Mitarbeiter gibt und die letzte Schicht um 9 Uhr beendet sein sollte (die Schichten sind gleich lang und nicht länger als 12 Stunden)? Lösung: a) mod 24 b) 5 + 7x 9 mod 12 (Lösung später!!!) Seite 51

50 Lineare Gleichungen x + a b mod m: x + a b in Z m Stets lösbar, da die Inverse immer existiert. Lösung: 1. Addiere zu den beiden Seiten die additive Inverse, -a, von a: x + a + (-a) b + (-a) x b + (-a) mod m 2. Die Lösung ist: x b + (-a) mod m, also die Restklasse [b+(-a)] in Z m Seite 52

51 Beispiel: Löse 4 + x = 3 Z 6 1. Additive Inverse für 4 in Z 6 ist Lösung: x = mod 6, also Restklasse [5] in Z Alle mögliche Lösungen: [5] = {, -7, -1, 5, 11, 17, } Test: 4 7 = -3 3 mod 6; = 9 3 mod = 21 3 mod 6 Hinweis: man kann auch a als Inverse wählen, da a + a = 0 Seite 53

52 Beispiel (alternative Lösung): Löse: 4 + x 3 mod 6 x 3 4 = -1 5 mod 6 Lösung: x 5 mod 6 Seite 54

53 Lineare Gleichungen ax b mod m: Lösen Sie die Gleichung ax = b in Z m m (ax b) oder (ax b) = mq oder ax - mq = b Lösung: 1. Überprüfe, ob die Gleichung lösbar ist: ggt(a,m) b lösbar. 2. Multipliziere beide Seiten mit der multiplikativen Inversen, a -1, von a: a -1 ax a -1 b mod m 3. Die Lösung ist: x a -1 b mod m Seite 55

54 Beispiel: Löse 3x = 2 in Z 4 1. Lösbar? ggt(3,4)=1; 1 2 lösbar. 2. Definiere die multiplikative Inverse von 3 in Z 4 (existiert, da ggt(3,4) = 1): Inverse zu 3 ist 3 (siehe Folie 39). 3. Multipliziere beide Seiten mit 3: 3 3x 3 2 mod 4 x 6 2 mod 4 4. Die Lösung ist: [2] = {,-6,-2,2,6,10,14, } Jede Zahl aus [2] ist die Lösung der Gleichung 3x = 2 in Z 4. Seite 56

55 Lösung der Aufgabe b), Folie 49: Mitschrift Bestimme alle Lösungen von 5 + 7x = 9 in Z Addiere -5 zu den beiden Seiten. 2. 7x mod 12; Also, 7x 4 mod Multipliziere beide Seiten mit der Inversen von 7 in Z 12 : multiplikative Inverse zu 7 ist 7 (siehe Folie 45) x 7 4 mod 12; x mod 12; Also x = 4. Jede Schicht sollte 4 Stunden lang sein. Seite 57