Übungen zur Vorlesung Grundlagen der Mathematik II Lösungsvorschlag

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1 MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Dr. E. Schörner SS 2015 Bltt Üungen zur Vorlesung Grundlgen der Mthemtik II Lösungsvorschlg 21. ) Ein Qudrt mit der Seitenlänge + und dmit dem Flächeninhlt (+) 2 zerfällt gemäß der Skizze durch zwei zu den Seiten prllele Strecken in zwei Qudrte mit den Seitenlängen zw. und dmit den Flächeninhlten 2 zw. 2 sowie zwei Rechtecke, die jeweils die Länge und die Breite und dmit den Flächeninhlt esitzen: 2 2 Als Flächenilnz ergit sich dmit ( + ) 2 = , wodurch die erste inomische Formel geometrisch vernschulicht ist. ) Zur Vernschulichung der zweiten inomischen Formel für > wird n ein Qudrt mit der Seitenlänge und dmit dem Flächeninhlt 2 gemäß der Skizze ein Qudrt der Seitenlänge und dmit dem Flächeninhlt 2 ngelegt, so dß die Gesmtfigur den Flächeninhlt esitzt:

2 2 2 Diese zerfällt nun gemäß der Skizze durch zwei zu den Seiten prllele Strecken in ein Qudrt mit der Seitenlänge und dmit dem Flächeninhlt ( ) 2 sowie zwei Rechtecke, die jeweils die Länge und die Breite und dmit den Flächeninhlt esitzen: ( ) 2 Als Flächenilnz ergit sich ( ) = und dmit die zweite inomische Formel ( ) 2 = Zur Vernschulichung der dritten inomischen Formel für > wird n ein Qudrt mit der Seitenlänge und dmit dem Flächeninhlt 2 gemäß der Skizze ein Rechteck mit der Länge und der Breite und dmit dem Flächeninhlt F = ( ) ngelegt, so dß die Gesmtfigur den Flächeninhlt 2 + F esitzt:

3 2 F Diese zerfällt nun gemäß der Skizze durch zwei zu den Seiten prllele Strecken in ein Qudrt mit der Seitenlänge und dmit dem Flächeninhlt 2 sowie zwei Rechtecke; dei esitzt ds eine die Länge + und die Breite und dmit den Flächeninhlt ( + )( ) und ds ndere die Länge und die Breite und dmit dem Flächeninhlt F = ( ): F 2 ( + )( ) + Als Flächenilnz ergit sich 2 + F = 2 + ( + )( ) + F, nch Eliminierung der Hilfsgröße F lso 2 = 2 + ( + )( ), und dmit die dritte inomische Formel 2 2 = ( + ) ( ). 22. Wir hen ereits gesehen, dß die Menge G ller Kongruenzildungen der Anschuungseene mit der Komposition eine Gruppe ilden.

4 ) Die Teilmenge G 1 ller eigentlichen Bewegungen ildet mit der Komposition eine Gruppe; wir zeigen dzu für (G 1, ) die definierenden Eigenschften einer Gruppe: Seien f, g G 1 zwei eigentliche Bewegungen. Wegen f, g G ist zunächst uch f g G, die Komposition f g : P P ist lso wiederum eine ijektive Selstildung, die längentreu und winkeltreu ist. Dei leit der Drehsinn der Winkel gemäß f(g(a))f(g(s))f(g(b)) = g(a)g(s)g(b) = ASB für lle A, S, B P mit A S B erhlten; dmit ist f g uch orientierungstreu, lso f g G 1. Folglich ist G 1 ezüglich geschlossen. Ds Assozitivgesetz üerträgt sich von der Gruppe (G, ) uf die Teilmenge G 1 und es gilt (f g) h = f (g h) für lle f, g, h G 1. Es ist id G 1, und für lle f G 1 gilt f id = f = id f. Dmit ist id ds neutrle Element ezüglich. Für jedes f G 1 gilt wegen f G zunächst f 1 G; die Umkehrildung f 1 : P P ist lso wiederum eine ijektive Selstildung, die längentreu und winkeltreu ist. Dei leit der Drehsinn der Winkel gemäß f 1 (A)f 1 (S)f 1 (B) = f(f 1 (A))f(f 1 (S))f(f 1 (B)) = ASB für lle A, S, B P mit A S B erhlten; dmit ist f 1 uch orientierungstreu, lso f 1 G 1. ) Die Teilmenge G 2 ller uneigentlichen Bewegungen ildet mit der Komposition keine Gruppe; wir zeigen dzu nhnd eines geeigneten Gegeneispiels, dß G 2 ezüglich nicht geschlossen ist. Sind nämlich s 1 und s 2 zwei Achsenspiegelungen (und dmit uneigentliche Bewegungen) zu den Achsen 1 und 2, so gilt zwr s 1, s 2 G 2, die Komposition f = s 2 s 1 ist er stets eine eigentliche Bewegung, lso s 2 s 1 / G 2 : sind 1 und 2 prllel, so ist f eine Prllelverschieung; schneiden sich 1 und 2 in Z, so ist f eine Drehung um Z. c) Die Teilmenge G 3 ller Drehungen ildet mit der Komposition keine Gruppe; wir zeigen dzu nhnd eines geeigneten Gegeneispiels, dß G 3 ezüglich nicht geschlossen ist. Sind nämlich d 1 und d 2 zwei Drehungen jeweils um 180 (und dmit zwei Punktspiegelungen) mit verschiedenen Drehzentren Z 1 und Z 2, so gilt zwr d 1, d 2 G 3, die Komposition f = d 2 d 1 esitzt er keinen Fixpunkt Z und ist dmit insesondere keine Drehung, lso d 2 d 1 / G 3 : ls Fixpunkt käme j nur ein Punkt uf der Verindungsgerden von Z 1 und Z 2 in Frge, diese werden er um 2 Z 1 Z 2 in Richtung von Z 1 nch Z 2 verschoen. d) Die Teilmenge G 4 ller Drehungen um ein festes Drehzentrum Z ildet mit der Komposition eine Gruppe; wir zeigen dzu für (G 4, ) die definierenden Eigenschften einer Gruppe:

5 Seien f, g G 4 zwei Drehungen um ds Drehzentrum Z mit den Drehwinkeln δ 1 und δ 2. Dnn ist die Komposition f g wieder eine Drehung um ds Drehzentrum Z mit dem Drehwinkel δ 1 + δ 2, lso f g G 4. Folglich ist G 4 ezüglich geschlossen. Ds Assozitivgesetz üerträgt sich von der Gruppe (G, ) uf die Teilmenge G 4, und es gilt (f g) h = f (g h) für lle f, g, h G 4. Die Identität knn ls Drehung um ds Drehzentrum Z mit dem Drehwinkel 0 ufgefßt werden; es ist lso id G 4, und für lle f G 4 gilt f id = f = id f. Dmit ist id ds neutrle Element ezüglich. Sei f G 4 die Drehung um ds Drehzentrum Z mit dem Drehwinkel δ; dmit ist f ijektiv, und f 1 ist die Drehung um ds Drehzentrum Z mit dem Drehwinkel δ, lso f 1 G 4, und es gilt f f 1 = id = f 1 f. 23. Wir etrchten die eiden Dreiecke ABC sowie A B C mit AB = A B und BC = B C und CA = C A. Wir zeigen, dß ds Dreieck ABC durch eine Verkettung von höchstens drei Achsenspiegelungen uf ds Dreieck A B C geildet werden knn: es sei zunächst Achsenspiegelung n der f 1 = Mittelsenkrechten von A und A, für A A, Identität, für A = A, mit f 1 (A) = A sowie A f 1 (B) = f 1 (A)f 1 (B) = AB = A B, dnn Achsenspiegelung n der f 2 = Mittelsenkrechten von f 1 (B) und B, für f 1 (B) B, Identität, für f 1 (B) = B, mit f 2 (A ) = A und f 2 (f 1 (B)) = B sowie A f 2 (f 1 (C)) = f 2 (f 1 (A))f 2 (f 1 (C)) = f 1 (A)f 1 (C) = AC = A C B f 2 (f 1 (C)) = f 2 (f 1 (B))f 2 (f 1 (C)) = f 1 (B)f 1 (C) = BC = B C, und schließlich Achsenspiegelung n der f 3 = Mittelsenkrechten von f 2 (f 1 (C)) und C, für f 2 (f 1 (C)) C, Identität, für f 2 (f 1 (C)) = C, mit f 3 (A ) = A und f 3 (B ) = B sowie f 3 (f 2 (f 1 (C))) = C. Insgesmt ist dmit die Kongruenzildung f = f 3 f 2 f 1 die Verkettung von höchstens drei Achsenspiegelungen mit f(a) = A und f(b) = B und f(c) = C.

6 24. Wir etrchten ds rechtwinklige Dreieck ABC mit dem rechten Winkel ei C und den eiden Ktheten der Länge BC = und AC = sowie dem Umkreisrdius r u und dem Inkreisrdius r i. Ferner seien A zw. B die Berührpunkt des Inkreises n die Kthete [BC] zw. n die Kthete [AC] sowie C der Berührpunkt des Inkreises n die Hypotenuse [AB]. Schließlich ezeichne M i den Inkreismittelpunkt sowie M u den Umkreismittelpunkt. Dnn ist + = ( AB + B C ) + ( BA + A C ) = (1) ( AB + r i ) + ( BA + r i ) = AB + BA + 2 r i = (2) AC + C B + 2 r i = c + 2 r i 2 r u + 2 r i = (3) Dei geen folgende Aspekte ein: = 2 (r u + r i ). (1) Ds Viereck M i A CB ist ein Qudrt mit der Seitenlänge r i. (2) M i ht von Seiten, und c des rechtwinkligen Dreiecks den gleichen Astnd, weswegen die Streckenlängen AB = AC und BA = C B jeweils üereinstimmen. (3) Der Umkreismittelpunkt M u im rechtwinkligen Dreieck ist der Mittelpunkt der Hypotenuse [AB]; für seinen Rdius gilt lso r u = AC = C B, weswegen c = 2 r u gilt.