Begründen und Beweisen als Aufgabe

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1 Begründen und Beweisen als Aufgabe Seminar zum sbfdp Mathematik Prof. Dr. Anselm Lambert Wintersemester 2010/2011 Referentin: Aline Brost

2 Gliederung 1. Arten des Begründens 2. Das Problem der Beweisbedürftigkeit 3. Wortlose Beweise

3 1. Arten des Begründens Berufung auf eine Autorität Bestätigung der Richtigkeit durch einen glaubwürdigen Zeugen Text, Fachbuch Beispiel: Geschichte: entsprechende Quellen (Briefe,Texte ) FS: Vorgabe ( deskriptiv) von grammatischen Regeln wie Zeitenbildung (Grammatikbuch, Lehrwerke )

4 1. Arten des Begründens Deduktives Schließen Aussagen, die von einer Person als richtig angesehen werden und deren Richtigkeit hinreichend für die Richtigkeit der zu beweisenden Aussage ist Beispiele: A B Mathematik: Differenzierbarkeit Stetigkeit Französisch: Handlungskette passé composé

5 1. Arten des Begründens Reduktives Schließen Folgerungen aus einer Aussage, die von jemandem als richtig angesehen werden, deren Richtigkeit aber nicht hinreichend für die Richtigkeit der zu beweisenden Aussage ist A Beispiele: Schwerkraft B1 B2 B3 Straße ist nass, also hat es geregnet.

6 1. Arten des Begründens Induktives Schließen Das Schließen von der Verifizierung einer Aussage an einzelnen Elementen einer Menge auf die Gültigkeit dieser Aussage für alle Elemente dieser Menge. B1 B2 B3 A Beispiele: Physik: eine Steckdose beliefert uns mit Strom, wenn sie nicht defekt ist alle Steckdosen Bemerkung: Vollständige Induktion ist nicht induktiv, sondern deduktiv! Wieso?

7 1. Arten des Begründens Analogieschlüsse, Wahrscheinlichkeiten Aussagen, die von jemandem als richtig angesehen werden, deren Richtigkeit aber in einem nicht deduktiven Zusammenhang mit der Richtigkeit der zu beweisenden Aussage stehen Beispiele: Schlussfolgerungen vom 2-dimensionalen Raum in den 3- dimensionalen Raum: 1) Formel für Kreisumfang ist die Ableitung der Formel für die Kreisfläche Zusammenhang von Oberfläche und Volumen einer Kugel 2) ABER: Formel von Quadratumfang und Flächeninhalt kein Zusammenhang mit der Formel für Würfeloberfläche und Volumen

8 2. Das Problem der Beweisbedürftigkeit Typische Äußerung: Muß das bewiesen werden? Das ist doch klar! Langfristiges Ziel: Schüler sollen im Unterricht die Unterschiedlichkeit der Argumentationsbasen erkennen und die des Lehrers auch verstehen.

9 2. Das Problem der Beweisbedürftigkeit Was ist eine Argumentationsbasis? Ein Menge von Aussagen, die als richtig angesehen werden zusammen mit den Schlussweisen, die als zulässig anerkannt werden. Eine Begründung auf Grund einer vorgegebenen Argumentationsbasis soll als ein Beweis bezüglich dieser Argumentationsbasis bezeichnet werden.

10 2. Das Problem der Beweisbedürftigkeit Übungen, die dieses langfristige Ziel fördern: Bewusstmachen von Argumentationsbasen Arbeiten mit vorgegebenen Argumentationsbasen Bewusster Übergang von einer Argumentationsbasis zu einer anderen für das gleiche Stoffgebiet Veränderung der Argumentationsbasis (Weglassen nicht mehr zulässiger Argumente, Hinzufügen neuer Argumente, Veränderung alter Argumente )

11 2. Das Problem der Beweisbedürftigkeit Beispiel: Argumentationsbasen In jedem gleichschenkligen Trapez sind die Diagonalen gleich lang. enaktiv / ikonisch: zeichnen lassen Länge nachmessen symbolisch: Geradenspiegelung ist längentreu

12 2. Das Problem der Beweisbedürftigkeit Unterschiedliche Argumentationsbasen finden: Bruchzahl-Addition Der Umfang eines Trapez ist größer als die Summe der beiden Diagonalenlängen. Binomische Formeln Bezug auf enaktiv ikonisch symbolisch!

13 2. Das Problem der Beweisbedürftigkeit Argumentationsbasen: Bruchzahl-Addition enaktiv: Ausschneiden einer Kreisfläche, Zusammenlegen von ½ und ¼ der Fläche (u.a.) ikonisch: Zeichnung von ½ Kuchen und ¼ Kuchen ergibt zusammen ¾ Kuchen. Aufteilen in Viertel (Übergang zum Symbolischen) symbolisch: Auf den gleichen Nenner bringen und dann den Zähler addieren Regeln

14 2. Das Problem der Beweisbedürftigkeit Argumentationsbasen: Der Umfang eines Trapez ist größer als die Summe der beiden Diagonalenlängen. enaktiv: mit Gummiband nachstecken lassen

15 2. Das Problem der Beweisbedürftigkeit ikonisch: konkrete Zeichnung mit Messung symbolisch:

16 2. Das Problem der Beweisbedürftigkeit Argumentationsbasen: Binomische Formeln enaktiv: Quadrate und Rechtecke ausschneiden und zusammenlegen lassen ikonisch: Zeichnung anfertigen und beschriften symbolisch: in die Sprache der Algebra übergehen (Produkte sind Rechtecke: a*b )

17 2. Das Problem der Beweisbedürftigkeit Weitere Funktionen des Beweisens: Demonstrativ = Beweise als Mittel zur Darstellung, Ordnung und Sicherung mathematischen Wissens Mittel des rationalen Argumentierens und Überzeugens Explorativ = Beweise als Mittel zum Erkennen und Erforschen von Zusammenhängen Mittel zur Entwicklung von Begriffen

18 3. Wortlose Beweise Zerlegungsbeweis: Satz des Pythagoras Binomische Formeln und Produkte sind Rechtecke Die Summe der n ersten ungeraden Zahlen ergibt eine Quadratzahl.

19 3. Wortlose Beweise Zerlegungsbeweis: Satz des Pythagoras Zerlegung zusammensetzen Begründen mit Hilfe von Kongruenz- und Winkelsätzen

20 3. Wortlose Beweise Binomische Formeln: Produkte = Rechtecke (a+b)² = a² + 2ab + b² (a-b)² = a² - 2ab + b² Flächeninhalt Rechteck: Darstellung als Produkt a*b = Rechteck a² und b² sind Quadrate, alsorechtecke a*b verdoppelt / zweimal Rechteck(e)

21 3. Wortlose Beweise Die Summe der n ersten ungeraden Zahlen ergibt eine Quadratzahl. Auf die Interpretation kommt es an: Verrücken der blauen Ecke und Hinzufügen zweier neuer Blättchen (Zahlen; Abstand der ungeraden Zahlen zueinander)

22 Quod erat demonstrandum. Vielen Dank für die Aufmerksamkeit!