Hydromechanik. /2012 Studienbegleitende Prüfung (Bachelor, Bau- und Umweltingenieurwesen)
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1 Bauingenieur- und Umweltingenieur tingenieurwesen Universität Kassel- D Kassel I nstit ut für Geot ec hnik und Geohydraulik Prof. Dr. rer. nat. Manfred Koch Universität Kassel Kurt-Wolters-Str Kassel kochm@uni-kassel.de fon fax WS 2011/201 /2012 Studienbegleitende Prüfung (Bachelor, Bau- und Umweltingenieurwesen) Hydromechanik 16. März 2012, 10:00 12:00 Uhr, HS-0117, Kurt-Wolters-Straße 3 Prüfungsteilnehmer Korrekturbemerkungen Name, Vorname Matrikelnummer Unterschrift Punktebilanz und Note Aufgabe Summe Max. Punkte Punkte Note
2 Aufgabe 1 In einem vertikalen Glaszylinder stehen 900mL Wasser bei 20 o C 90 cm hoch. Dann wird der Zylinder und das Wasser auf 80 o C erhitzt. Wie hoch steht dann das Wasser im Zylinder? Gegeben: thermischer (linearer) Ausdehnungskoeffizient von Glas: α=3,5 * 10-6 / o C; von Wasser: γ=0.21 * 10-3 / o C Aufgabe 2 Ein Fluid in einem Zylinder hat unter einem externen Druck von 10 6 Pa ein Volumen von 1L. Dann wird der Druck auf 2*10 6 Pa erhöht, wobei sich das Volumen auf 0.995L reduziert hat. Wie groß ist der Kompressionsmodul K des Fluids? Aufgabe 3 In einem 200L Behälter befindet sich 1kg Wasserstoff (H 2 Wasserstoff liegt als doppel-atomiges Molekül vor) bei -45 o C. Wie groß ist der Druck des Wasserstoffes in dem Behälter? Gegeben: Allgemeine Gaskonstante R= 8,31 kj/ ( o K *kmol) Aufgabe 4 Ein Ballermann Urlauber auf Mallorca genießt vor Sonnenuntergang noch die warme Lufttemperatur von 30 o C, trotz Luftfeuchtigkeit von 90%. Dies, weil sich um diese späte Tageszeit häufig ein Landwind einstellt. Nach Sonnenuntergang kommt der Wind allerdings zur Ruhe und die Temperatur senkt sich. Bei welcher Temperatur T 0 fängt der Urlauber an zu schwitzen, weil sich die Luftfeuchtigkeit in Form von Wasserperlen auf der Haut auskondensiert? Gegeben: Formel für die Sättigungsdampfdruckkurve T e s ( t) = e0 exp C + T (e 0 = hpa, T in o C) Aufgabe 5 Ein 18kg schwerer Block gleitet auf einer schiefen Ebene 15 Grad Neigung auf einem Ölfilm (SAE-10, µ=8,14*10-2 Pas) der Dicke 3mm runter. Wie groß ist seine Endgeschwindigkeit v end, wenn die Kontaktfläche des Blockes der Ebene A=0,3m 2 beträgt? Aufgabe 6 Öl einer Dichte ρ=890kg/m 3 steht in einem Öltank 2 m hoch und unter Druck, wobei die darüber liegende Luft einen Druck von 35kPa auf die Öloberfläche ausübt. Außen am Öltank ist ein durchsichtiges Steigrohr angebracht. Wie hoch steht das Öl dort (ebenfalls gemessen vom Grund des Tanks)? (Zeichnung machen!!)
3 Aufgabe 7 Ein Damm, b=20 m lang, einem Neigungswinkel von α=60 Grad, hält Wasser einer Stauhöhe von h=7 m zurück. Berechnen Sie die Kraft F, die der Damm aushalten muss, und die Lage h cp des Druckpunktes des Kraft (s. Abb.) Abbildung: Damm Maßen Aufgabe 8 Ein Schiff befindet sich auf hoher See, wobei die Dichte des Meerwassers ρ salz= 1030 kg/m 3 beträgt. Das Schiff fährt dann in den Hafen ein. Die Dichte des Hafenwassers (Süßwasser) beträgt lediglich ρ süß= 1000 kg/m 3. Nachdem das Schiff 600 Tonnen Last abgeladen hat, liegt es genauso tief im Wasser, wie auf hoher See. Welche Masse hat das Schiff ohne die Ladung? Aufgabe 9 In den kreisförmigen Tank (Durchmesser = 0,6m) fließt Wasser den gegebenen Geschwindigkeiten über das Rohr links (1) ein und über die 2 Rohre unten (2) und rechts (3) wieder aus. Ausgang (4) oben lässt die Luft entweichen /einströmen. a) Berechnen Sie die zeitliche Änderung dh/dt des Wasserspiegels im Tank 0.6m b) Wie groß ist die Geschwindigkeit der Luft (ein oder aus?) über die Öffnung (4)? Abbildung: Ein- und Auslauf des Tanks Gegeben: Geschwindigkeiten: v 1 = 7,5 m/s, v 2= 3 m/s, v 3=3,6 m/s. Durchmesser der Ein/Auslaufrohre: D 1 = 7,8 cm; D 2=5cm, D 3= 6,3 cm; D 4=5cm Aufgabe 10 Berechnen Sie die Kraft, die auf den Kolben der schemenhaft dargestellten medizinischen Spritze ausgeübt werden muss, da durch die Nadel ein Durchfluss des flüssigen Medikaments (Dichte ρ=900kg/m 3, Viskosität µ = 0.002Pas) von 0,4mL/s, fließt.
4 Hinweis: Wegen der Dicke des Spritzenzylinders im Verhältnis zu der der Nadel kann die Fließgeschwindigkeit im Zylinder praktisch vernachlässigt werden (denken Sie an das große Reservoir). Außerdem sollen nur die Reibungsverluste in der dünnen Nadel berücksichtigt werden, also keine örtlichen Verluste. Abbildung: Spritze Kolben (rechts) und Nadel (links) und Maßen Abbildung: Moody-Nikuradse Diagramm
5 Lösungen Aufgabe 1/ 1 5 Punkte In einem vertikalen Glaszylinder stehen 900mL Wasser bei 20 o C 90 cm hoch. Dann wird der Zylinder und das Wasser auf 80 o C erhitzt. Wie hoch steht dann das Wasser im Zylinder? Gegeben: thermischer (linearer) Ausdehnungskoeffizient von Glas: α=3,5 * 10-6 / o C; von Wasser: γ=0.21 * 10-3 / o C Grundfläche des Zylinders bei 20 o C: A= V 20/h = 900*10-6 m 3 / 0.9m = 0.001m 2 Radius des Zylinders bei 20 o C: r 20 = sqrt(a/pi) = m Radius des Zylinders bei 20 o C: r 80= r 20*(1+ α T)= *(1+3.5*10-6 * 60)= Fläche des Zylinders bei 80 o C: A 80 = pi*r 80 2 = pi * **2 = m 2 Volumen des Wassers bei 80 o C: V 80= V 20*(1+ γ T)= 900*10-6 *(1+0.21*10-3 * 60)= = m 3 Standhöhe bei 80 o C: h = V 80 /A 80 = / = m Aufgabe 2/ 2 3 Punkte Ein Fluid in einem Zylinder hat unter einen extern Druck von 10 6 Pa ein Volumen von 1L. Dann wird der Druck auf 2*10 6 Pa erhöht, wobei sich das Volumen auf 0.995L reduziert hat. Wie groß ist der Kompressionsmodul K des Fluids? Definition von k = 1/K (Kompressibilität) k=1/k= -1/V *( V/ p) K = - V* p / V = *10 6 /-0.005*10-3 =2*10 8 Pa Aufgabe 3/ 3 4 Punkte In einem 200L Behälter befindet sich 1kg Wasserstoff (H 2 Wasserstoff liegt als doppel-atomiges Molekül vor) bei -45 o C. Wie groß ist der Druck des Wasserstoffes in dem Behälter? Gegeben: Allgemeine Gaskonstante R= 8,31 kj/ ( o K *kmol) Aus dem allgemeinen Gasgesetz folgt : p = ρ*r i*t = (m/v)* (R/M) *T
6 R i = R/M = individuelle Gaskonstante (M=Molmasse) p= 1/0.2*(8.31/2)*(273-45) = kpa Aufgabe 4/ 4 5 Punkte Ein Ballermann Urlauber auf Mallorca genießt vor Sonnenuntergang noch die warme Lufttemperatur von 30 o C, trotz Luftfeuchtigkeit von 90%. Dies, weil sich um diese späte Tageszeit häufig ein Landwind einstellt. Nach Sonnenuntergang kommt der Wind allerdings zur Ruhe und die Temperatur senkt sich. Bei welcher Temperatur T 0 fängt der Urlauber an zu schwitzen, weil sich die Luftfeuchtigkeit in Form von Wasserperlen auf der Haut auskondensiert? Gegeben: Formel für die Sättigungsdampfdruckkurve T e s ( t) = e0 exp C + T (e 0 = hpa, T in o C) Die relative Luftfeuchtigkeit H r ist definiert als das Verhältnis des aktuellen Dampfdruckes e a zum Sättigungsdampfdruck e s bei der jeweiligen Temperatur H r = e a /e s e a (30 o C) = H r * e s(30 o C) = 0.9* e s (30 o C) = 0.9*42.337hPa = 38.1hPa Schwitzen, d.h. Kondensation tritt auf wenn der Taupunkt To erreicht ist, dann wird e a = e s Suche T 0 bei der e s = e a (30 o C) (iterative Auswertung) T 0= o C Aufgabe 5/ 5 5 Punkte Ein 18kg schwerer Block gleitet auf einer schiefen Ebene 15 Grad Neigung auf einem Ölfilm (SAE-10, µ=8,14*10-2 Pas) der Dicke 3mm runter. Wie groß ist seine Endgeschwindigkeit v end, wenn die Kontaktfläche des Blockes der Ebene A=0,3m 2 beträgt? s. entsprechende Aufgabe, Beispiel Skript Bei Endgeschwindigkeit v gilt : Gleichgewicht von Reibungskraft F R und Vortriebskraft G S F R = G S G S = G * sinα Es gilt:
7 F R = τ * A (Newtonscher Schubspannungsansatz) = *dv/dz *A = * (v-0)/dz *A v = G * sinα/a * dz / = m*g * sinα/a * dz / =18*9.81*sin(15)/0.3*3*10-3 /(8.14*10-2 ) = 5.61m/s Aufgabe 6/ 3 Punkte Öl einer Dichte ρ=890kg/m 3 steht in einem Öltank 2 m hoch und unter Druck, wobei die darüber liegende Luft einen Druck von 35kPa auf die Öloberfläche ausübt. Außen am Öltank ist ein durchsichtiges Steigrohr angebracht. Wie hoch steht das Öl dort (ebenfalls gemessen vom Grund des Tanks)? (Zeichnung machen!!) Druck im Steigrohr p S muss gleich dem Öldruck p Öl plus dem (Über-)Luftdruck p L sein p S = p Öl + p L = ρ * g * h + p L = 890*9.81*2 = Pa h s = p S /(ρ * g)= /(890*9.81) = 6m Aufgabe 7/ 6 Punkte Ein Damm, b=20 m lang, einem Neigungswinkel von α=60 Grad, hält Wasser einer Stauhöhe von h=7 m zurück. Berechnen Sie die Kraft F, die der Damm aushalten muss, und die Lage h cp des Druckpunktes des Kraft (s. Abb.) Abbildung: Damm Maßen a) Kraft F auf Damm und F= p s *A p s = ρ * g * h s (Druck im Schwerpunkt h s=7/2 m) A = b*c (b=länge des Dammes = 20m) (c = benetzte Schenkellänge = h/sin α = 7/sin(60)
8 F = ρ*g*h s*b*h/sin α = 1000*9.81*3.5*20*7/sin(pi/180*60) =5550 kn k b) Druckpunkt h* cp der Kraft bei einer rechteckigen Platte im schrägen Koordinatensystem * h* cp = h* s + e* e* = Aussertigkeit = 1/6*c (für rechteckige Platte) h* cp = h s /sin α +1/6 *h/sin α = (3.5 +1/6*7)/sin(pi/180*60) = m Und Rückrechnung auf vertikale Tiefe h cp cp = h* cp * sin α =5.389*sin(pi/180*60) = m Aufgabe 8/ 6 Punkte Ein Schiff befindet sich auf hoher See, wobei die Dichte des Meerwassers ρ salz= 1030 kg/m 3 beträgt. Das Schiff fährt dann in den Hafen ein. Die Dichte des Hafenwassers (Süßwasser) beträgt lediglich ρ süß = 1000 kg/m 3. Nachdem das Schiff 600 Tonnen Last abgeladen hat, liegt es genauso tief im Wasser, wie auf hoher See. Welche Masse hat das Schiff ohne die Ladung? Verdrängungsvolumen V v des Schiffes im Meerwasser Ladung oder im Hafenwasser ohne Ladung muss gleich sein, da Eintauchtiefe identisch ist. Gewicht des Körpers ist dann in jedem Fall gleich dem Gewicht Gv des verdrängten Wassers 1) Im Meerwasser: G Schiff + G Ladung = Gv meer (m Schiff + m Ladung )*g = ρ salz *Vv *g 2) Im Hafenwasser: G Schiff = Gv süß m Schiff *g = ρ süß *Vv *g aus1) und 2) folgt (m Schiff + m Ladung) / m Schiff = ρ salz /ρ süß (m Schiff + m Ladung) = ρ salz /ρ süß * m Schiff (m Schiff - ρ salz /ρ süß * m Schiff = -m Ladung m Schiff (1- ρ salz /ρ süß ) = -m Ladung m Schiff Schiff = -m Ladung / (1- ρ salz /ρ süß ) = -600 /(1-1030/1000) = T
9 Aufgabe 9/ 6 Punkte P In den kreisförmigen Tank (Durchmesser = 0,6m) fließt Wasser den gegebenen Geschwindigkeiten über das Rohr links (1) ein und über die 2 Rohre unten (2) und rechts (3) wieder aus. Ausgang (4) oben lässt die Luft entweichen /einströmen. a) Berechnen Sie die zeitliche Änderung dh/dt des Wasserspiegels im Tank 0.6m b) Wie groß ist die Geschwindigkeit der Luft (ein oder aus?) über die Öffnung (4)? Abbildung: Ein- und Ausläufe des Tanks Gegeben: Geschwindigkeiten: v 1 = 7,5 m/s, v 2= 3 m/s, v 3=3,6 m/s. Durchmesser der Ein/Auslaufrohre: D 1 = 7,8 cm; D 2=5cm, D 3= 6,3 cm; D 4=5cm a) Instationäre Kontinuitätsgleichung: dv/dt = A Zyl * dh/dt = Q in - Q out A Zyl = pi * (D Zyl/2) 2 Q in = v 1* A 1 = v 1* pi * (D 1/2) 2 Q out = v 2* A 2 + v 3* A 3 = v 2* pi * (D 1/2) 2 + v 3* pi * (D 3/2) 2 dh/dt = (Q in - Q out) /A Zyl = (v 1* pi * (D 1/2) 2 - (v 2* pi * (D 2/2) 2 + v 3* pi * (D 3/2) 2 ) )/ pi * (D Zyl/2) 2 = (v 1* (D 1/2) 2 - (v 2 * (D 2/2) 2 + v 3 * (D 3/2) 2 ) )/ (D Zyl/2) 2 = (7.5* (0.078/2) 2 - (3 * (0.05/2) * (0.063/2) 2 ) )/ (0.6/2) 2 = 0.066m/s a) Steigendes Volumen dv/dt im Tank drückt Luft durch Ausgang (4) und es gilt im stationären Gleichgewicht dv/dt = A Zyl * dh/dt = Q out(4) = v 4*A 4 v 4 = A Zyl * dh/dt / A 4 = pi * (D Zyl/2) 2 *dh/dt / pi * (D 4/2) 2 = (0.6/2) 2 *0.066 / (0.05/2) 2 =9.5 m/s Aufgabe 10/ 7 Punkte Berechnen Sie die Kraft, die auf den Kolben der schemenhaft dargestellten medizinischen Spritze ausgeübt werden muss, da durch die Nadel ein Durchfluss des flüssigen Medikaments (Dichte ρ=900kg/m 3, Viskosität µ = 0.002Pas) von 0,4mL/s, fließt.
10 Hinweis: Wegen der Dicke des Spritzenzylinders im Verhältnis zu der der Nadel kann die Fließgeschwindigkeit im Zylinder praktisch vernachlässigt werden (denken Sie an das große Reservoir). Außerdem sollen nur die Reibungsverluste in der dünnen Nadel berücksichtigt werden, also keine örtlichen Verluste. Abbildung: Spritze Kolben (rechts) und Nadel (links) und Maßen a) Anwendung der Bernoulli-Gleichung Verlusten zwischen A (am Kolben) und B (Spitze der Nadel) z A + p A/ρg + v² A/2g = z B + p B/ρg + v² B/2g + h V h V = h R = λ *L/d *v B²/2g (Darcy-Weisbach) λ = f(re, k), Re = Reynolds-Zahl, k = Rohrrauhigkeit (in der Nadel) b) Bestimmung von Re in der Nadel Re = v B *d1/ (µ/ρ) v B = Q/A B = Q/(pi*(d1/2)**2) = 0.4*10**-6/(pi*(0.25/2*10**-3)**2) = 8.149m/s Re = v 1 *d1/ (µ/ρ) = 8.149*0.25*10**-3 / (0.002/900) = Strömung ist laminar λ = f(re), d.h. λ hängt nicht von Rauhigkeit ab. Aus dem Moody-Nikuradse Diagramm folgt für laminare Strömung λ = 64/Re = 64/916.8 = h V = h R = λ *L/d *v B²/2g = *20*10**-3/(0.25*10**-3) *8.149**2/(2*9.81) = 18.90m c) Vereinfachung der Bernoulli-Gleichung z A = z B, p B =0 (freier Auslauf) p A/ρg + v² A/2g = v² B/2g + h V p A = (v² B/2g - v² A/2g + h V)* ρg
11 und F = p A* A A = (v² B/2g - v² A/2g + h V)*ρg * A A A A =pi*(d2/2)**2= pi*(10/2*10**-3)**2 =7.854e-05 v A= Q/A A = Q/(pi*(d2/2)**2) = 0.4*10**-6/(pi*(10/2*10**-3)**2) =0.0051m/s F = (v² B/2g - v² A/2g + h V)*ρg * A A =(8.149**2/(2*9.81) **2/(2*9.81) +18.9) *900*9.81*7.854e-05 =15.45N
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