Am Anfang stand die Algebra

Transkript

1 Am Anfng stnd die Alger In diesem Kpitel Sich mit Vorzeichen und Klmmern nfreunden Assozitiv-, Kommuttiv- und Distriutivgesetz kennen lernen Mit Brüchen und Prozenten rechnen Potenzen, Wurzeln und Logrithmen lieen lernen Mehr ls einen Term usmultiplizieren E inml gnz von vorn. Dieses Kpitel ehndelt die Grundlgen der Alger. All diese Ausdrücke und Aufgenstellungen sind Ihnen in Ihrem Leen oder uch nur im Mthemtikunterricht sicherlich üer den Weg gelufen. Hen Sie sich noch nie so richtig mit ihnen nfreunden können? Oder ist Ihre Freundschft ein isschen eingerostet? Kein Prolem. Dieses Kpitel ietet Ihnen die wunderre Möglichkeit, sich wieder kennen zu lernen. Mit Vorzeichen rechnen In diesem Aschnitt erfhren Sie, wie mn Zhlen mit Vorzeichen ddiert, sutrhiert, multipliziert und dividiert, egl, o lle Zhlen ds gleiche Vorzeichen hen oder o sie gemischt vorkommen. Zhlen mit Vorzeichen ddieren und sutrhieren Eins plus eins ergit zwei. Diese wohleknnte Rechnung ist ds Prdeeispiel für eine Addition von zwei positiven Zhlen. Auch wenn Sie sich noch nie drüer Gednken gemcht hen, es gilt llgemein: (+) + (+) = +( + ) Die Addition zweier negtiver Zhlen funktioniert ähnlich. Sie schuldeten Cludi schon sechs Euro und mussten sich noch einml fünf Euro usleihen. Nun schulden Sie ihr elf Euro. ( ) + ( ) = ( + ) Wenn die Vorzeichen zweier Zhlen unterschiedlich sind, knn mn die Zeichen erst einml ußer Acht lssen und zunächst die Differenz der eiden Zhlen ermitteln. Ds ist die Differenz zwischen ihren Beträgen (woei der Betrg einer Zhl die Zhl ohne ihr Vorzeichen ist). Die Zhl, die weiter von 0 entfernt ist, legt ds Vorzeichen der Lösung fest.

2 Wirtschftsmthemtik für Dummies ( + ) + ( ) =+ ( ), wenn ds positive weiter von 0 entfernt ist ( + ) + ( ) = ( ), wenn ds negtive weiter von 0 entfernt ist Und zum Schluss die Rechenregeln für die Sutrktion: Verwndeln Sie die Sutrktion in eine Addition und schon hen Sie die Aufge gelöst. (+) (+) = (+) + ( ) (+) ( ) = (+) + (+) ( ) (+) = ( ) + ( ) ( ) ( ) = ( ) + (+) Zhlen mit Vorzeichen multiplizieren und dividieren Multipliktion und Division von Zhlen mit Vorzeichen sind wirklich sehr einfch vorusgesetzt, Sie können multiplizieren und dividieren. Die Regeln sind nicht nur leicht, sondern für eide Rechenrten ußerdem die gleichen. Beim Multiplizieren und Dividieren von Zhlen mit Vorzeichen gilt: Wenn eide Vorzeichen gleich sind, ist ds Ergenis positiv; wenn die eiden Vorzeichen unterschiedlich sind, ist ds Ergenis negtiv: (+) (+) = + (+) ( ) = ( ) (+) = ( ) ( ) = + (+)/(+) = +(/) (+)/( ) = (/) ( )/(+) = (/) ( )/( ) = +(/) Algerische Eigenschften eine Skizze Die Mthemtiker hen die Regeln und Eigenschften entwickelt, die Sie in der Alger nwenden, dmit jeder fleißige Student, enggierte Wissenschftler, neugierige Schüler und gelngweilte Streer, die n derselen Aufge reiten, lle diesele Lösung erhlten egl, wo sie sich efinden oder wnn sie die Aufge lösen. Ntürlich wollen Sie nicht, dss sich die Regeln täglich ändern (und wir wollen uch nicht jedes Jhr ein neues Buch schreien!). Sie ruchen Regelmäßigkeit und Sicherheit und ds gewährleisten die strengen Regeln und Eigenschften der Alger, die wir Ihnen in diesem Aschnitt vorstellen. Bewhren Sie Ordnung mit dem Kommuttivgesetz Ds Kommuttivgesetz gilt für die Opertionen der Addition und Multipliktion. Es esgt, dss Sie die Reihenfolge der Terme in einer Opertion ändern können, ohne dss sich ds Endergenis ddurch ändert: 4

3 1 Am Anfng stnd die Alger Kommuttivgesetz der Addition: + = + Kommuttivgesetz der Multipliktion: = Wenn Sie und ddieren, erhlten Sie 5. Wenn Sie und ddieren, erhlten Sie eenflls 5. Wenn Sie mit multiplizieren, erhlten Sie 6. Wenn Sie mit multiplizieren, erhlten Sie eenflls 6. Algerische Ausdrücke treten normlerweise in einer estimmten Reihenfolge uf, die prktisch ist, wenn Sie es mit Vrilen und Koeffizienten (Multipliktoren von Vrilen) zu tun hen. Zuerst kommt der Ziffernnteil, gefolgt von den Buchsten in lphetischer Reihenfolge. Aer die Elegnz des Kommuttivgesetzes ist, dss yz dssele ist wie zy. Es git keinen Grund, den Ausdruck in der zweiten, scheinr durcheinndergertenen Drstellung zu schreien, er es ist gut zu wissen, dss Sie die Reihenfolge ei Bedrf elieig ändern können. Hrmonie in der Gruppe mit dem Assozitivgesetz Wie ds Kommuttivgesetz (voriger Aschnitt) gilt uch ds Assozitivgesetz nur für die Opertionen der Addition und Multipliktion. Ds Assozitivgesetz esgt, dss Sie die Gruppierung von Opertionen verändern können, ohne dss sich ddurch ds Ergenis ändert: Assozitivgesetz der Addition: + ( + c) = ( + ) + c Assozitivgesetz der Multipliktion: ( c) = ( ) c Mit Hilfe des Assozitivgesetzes der Addition oder Multipliktion können Sie Ausdrücke vereinfchen. Wenn Sie dnn ei Bedrf uch noch ds Kommuttivgesetz nwenden, hen Sie dmit eine sehr mächtige Komintion n der Hnd. Wenn Sie ( + 14) + ( + 6) vereinfchen wollen, lssen Sie zunächst die Klmmern weg (dnk des Assozitivgesetzes). Anschließend vertuschen Sie die eiden mittleren Terme unter Anwendung des Kommuttivgesetzes der Addition. Schließlich ordnen Sie die Terme mit Hilfe von Klmmern neu n und kominieren die zusmmengehörigen Terme: ( + 14) + ( + 6) = = = ( + ) + (14 + 6) = Die Schritte sind hier äußerst detilliert eschrieen. Sie hen die Aufge whrscheinlich sofort im Kopf gelöst. Wir hen die Schritte so gezeigt, um zu verdeutlichen, wie Kommuttivgesetz und Assozitivgesetz kominiert werden. Jetzt können Sie sie uf kompleere Aufgenstellungen nwenden. 5

4 Wirtschftsmthemtik für Dummies Ds Distriutivgesetz Werte verteilen Ds Distriutivgesetz esgt, dss Sie jeden Term in einem Ausdruck innerhl einer Klmmer mit dem Koeffizienten ußerhl der Klmmer multiplizieren können, ohne den Wert des Ausdrucks zu verändern. Sie ruchen dzu eine einzige Opertion, die Multipliktion, die sich üer die Terme erstreckt, die Sie ddieren und sutrhieren: Distriutive Multipliktion üer die Addition: ( + c) = + c Distriutive Multipliktion üer die Sutrktion: ( c) = c 1 Wenn Sie ds Distriutivgesetz uf die Aufgenstellung 1 + nwenden, mchen 4 Sie sich ds Leen leichter: Sie verteilen die 1 üer die Brüche, indem Sie jeden Bruch mit 1 multiplizieren, und fssen dnn die Ergenisse zusmmen: = = = = Es ist viel einfcher, die Lösung mit Hilfe des Distriutivgesetzes zu finden, ls lle Brüche uf denselen Nenner 1 zu ringen, sie zu kominieren und dnn mit 1 zu multiplizieren. Ds Distriutivgesetz wird uch in umgekehrter Reihenfolge ngewndt, wenn Sie eine Zhl usklmmern. Dei ziehen Sie einen Fktor, der in einer Summe oder Differenz in jedem Term vorkommt, nch vorne und setzen die verleienden Teile in eine Klmmer: 6,5,4+ 6,5 4,+ 6,5,+ 6,5 = 6,5(,4+ 4,+,+ 1) = 6,5 10 = 65 Auch hier ist der Vorteil klr erkennr: Sttt vier Multipliktionen mit Dezimlzhlen durchzuführen, muss mn dnk des Ausklmmerns nur eine einzige Multipliktion vornehmen. Diese Vorgehensweise ist die Umkehrung des Distriutivgesetzes und heißt fktorisieren. 6

5 1 Am Anfng stnd die Alger Mit dem Distriutivgesetz eziehungsweise dem Fktorisieren werden Gleichungen vereinfcht mit nderen Worten, Sie ereiten sie uf die Lösung vor. Ws Sie üer Brüche wissen sollten Wenn Sie ein Anlysis-Buch uf einer elieigen Seite ufschlgen, dnn wird Ihnen mit ziemlicher Sicherheit ein Bruch egegnen. Sie können nicht flüchten. Für den Umgng mit Brüchen ruchen Sie ein pr Regeln. Ein pr schnelle Regeln Die erste Regel ist gnz einfch, er sehr wichtig, weil sie in der Welt der Anlysis immer wieder vorkommt: Der Nenner eines Bruchs drf nie 0 sein. So ist 0 5 ist 0, er 5 0 ist undefiniert. Mn erkennt gnz leicht, wrum 5 0 undefiniert ist, wenn mn etrchtet, wie die Division funktioniert: 8 = 4 Diese Berechnung esgt, dss vierml in 8 psst; mit nderen Worten: = 8. Aer wie viele Nullen räuchten Sie, um 5 zu erhlten? Dies funktioniert nicht, deshl können Sie 5 (oder irgendeine ndere Zhl) nicht durch 0 dividieren. Und noch eine schnelle Regel: Ds Reziprok einer Zhl oder eines Ausdrucks ist ihr multipliktives Inverses eine verrückte Methode zu sgen, dss irgendetws mit seinem Reziprok multipliziert gleich 1 ist. Um ds Reziprok eines Bruchs zu erhlten, kehren Sie ihn um. Ds Reziprok von 4 ist lso 4, ds Reziprok von 6 (ws mn uch ls 6 1 schreien knn) ist 1 6 und ds Reziprok von ist 1. Brüche multiplizieren Ds Addieren ist ülicherweise einfcher ls ds Multiplizieren, er ei Brüchen gilt ds Umgekehrte los geht es lso mit der Multipliktion. Die Multipliktion von Brüchen ist ein Kinderspiel Sie multiplizieren lles Oenstehende miteinnder und dnn lles Untenstehende miteinnder: 7

6 Wirtschftsmthemtik für Dummies = 0 = 10 oder c = c d d Brüche dividieren Die Division von Brüchen umfsst einen zusätzlichen Schritt: Sie kehren den zweiten Bruch um und multiplizieren dnn etw so: = = Jetzt kürzen Sie Zähler und Nenner mit 5 und erhlten: = 8 Bechten Sie, dss Sie uch vor der Multipliktion hätten kürzen können. Weil 5 einml in 5 psst und in 10 zweiml, können Sie eine 5 kürzen: 1 5 = Bechten Sie ußerdem, dss die ursprüngliche Aufgenstellung uch ls hätte drgestellt werden können Brüche ddieren Sie wissen, dss Folgendes gilt: = = Diese Brüche können Sie ddieren, weil sie einen gemeinsmen Nenner hen. Dssele funktioniert mit Vrilen: + + = c c c Bechten Sie, dss dort, wo in der oigen Gleichung eine stnd, in der unteren Gleichung ein steht; wo in der oigen Gleichung eine stnd, steht in der unteren Gleichung ein, und eenso verhält es sich für 7 und c. 8

7 1 Am Anfng stnd die Alger Vrilen verhlten sich immer wie Zhlen. Wenn Sie sich lso frgen, ws mit der Vrilen oder den Vrilen in einer Aufgenstellung zu tun ist, dnn frgen Sie sich, wie die Aufge ussähe, wenn nstelle der Vrilen Zhlen stünden. Anschließend gehen Sie mit den Vrilen in der Aufgenstellung wie mit den Zhlen um. Schuen Sie sich dzu folgendes Beispiel n: c + d Sie können diese Brüche nicht ddieren, wie im oigen Beispiel gezeigt, weil es hier keinen gemeinsmen Nenner git. Angenommen, Sie versuchen, die Aufge mit Zhlen sttt mit Vrilen zu lösen. Wissen Sie noch, wie mn + ddiert? Wir werden hier nicht jede 5 8 Zeile der Lösung kürzen. Sie werden gleich sehen, wrum.. Suchen Sie den kleinsten gemeinsmen Nenner (eigentlich funktioniert ei der Addition von Brüchen jeder gemeinsme Nenner) und wndeln Sie die Brüche entsprechend um. Der kleinste gemeinsme Nenner ist 5 ml 8 oder 40. Wndeln Sie lso die Brüche in 40stel um: = = ist dssele wie 5 8, deshl können Sie die Reihenfolge umkehren. Diese Brüche sind 40stel, wir möchten hier die 5 8 in den Nennern vorüergehend eiehlten.. Addieren Sie die Zähler und ehlten Sie den gemeinsmen Nenner unverändert ei: = (Sie sehen, dss dies gleich oder 1 40 ist.) c Jetzt können Sie wieder die ursprüngliche Aufgenstellung etrchten, +. Hier steht d sttt der ein, sttt der 5 ein, sttt der ein c und sttt der 8 ein d. Jetzt führen Sie genu dieselen Schritte us wie ei der Addition von +. Sie können sich jede der Zhlen 5 8 in der oen gezeigten Lösung ls die Zhl uf einer Münze vorstellen und die Vrile ist der Kopf uf der nderen Seite. Angenommen, Sie hen eine Münze mit einer uf der einen Seite und einem uf der nderen Seite; eine weitere Münze ht eine 8 uf der einen Seite und ein d uf der nderen Seite usw. Jetzt gehen Sie nch den Schritten us der vorigen 9

8 Wirtschftsmthemtik für Dummies Lösung vor, drehen die Münzen um, und schon hen Sie die Lösung für die ursprüngliche Aufgenstellung. Und hier die Lösung: d + c d Brüche sutrhieren Bei der Sutrktion von Brüchen gehen Sie genu wie ei der Addition vor, ußer dss Sie hier sutrhieren sttt ddieren. Mit Einsichten wie diesen knn mn wirklich gutes Geld verdienen. Prozent erechnen Ds Wort Prozent hört mn eigentlich jeden Tg, meist in einem der folgenden Zusmmenhänge: Die Regenwhrscheinlichkeit eträgt 40 Prozent. Der DAX ist um zwei Prozent gestiegen. In Ihrem Test wren 99 Prozent richtig % = = 0, Prozent knn mn mit Brüchen, die einen Nenner von 100 hen, usdrücken. Um wie viel Prozent es sich hndelt, steht dnn im Zähler: so viel von Hundert. Ds Prozentzeichen ist %. 1 16,5 16 % = = 0, % = = 0,0 100 In den folgenden Formeln geht es um Prozent und Prozentsätze. Drücken Sie Prozent immer ls Dezimlzhlen us, dmit sie leichter zu multiplizieren und zu dividieren sind. Dei verschieen Sie ds Dezimlkomm des Prozentstzes zwei Stellen nch links. Wenn kein Dezimlkomm vorkommt, stellen Sie es sich gnz rechts vor. Steuern und Rtte eurteilen Sie können sowohl die Steuern, die Sie zhlen, ls uch den Rtt, der uf eine Sche gewährt wird, mit Prozentrechnen ermitteln. Preis ohne Steuern = Kosten der Sche/(1 + Steuerstz ls Dezimlzhl) Ermäßigter Preis = ursprünglicher Preis (1 Preisermäßigung in Prozent ls Dezimlzhl) 0

9 1 Am Anfng stnd die Alger Ursprünglicher Preis = ermäßigter Preis /(1 Preisermäßigung in Prozent ls Dezimlzhl) Jeder Kunde wird mit Ermäßigungen konfrontiert. Es lohnt sich er, zuerst ds Angeot zu üerprüfen. Sehen Sie sich dzu folgende Beispiele n. Der Preis des Euro-Autos, ds Sie schon lnge kufen möchten, wurde um cht Prozent heruntergesetzt. Wie viel kostet es jetzt? Und wie viel würde es ohne die 19 Prozent Mehrwertsteuer kosten? ErmäßigterPreis = (1 0,08) = ,9=.080 Euro Preis ohne Steuern = /(1 + 0,19) 0.168,07 Euro Der Preis der Schuhe, für die Sie sich interessieren, ist zuerst um 40 Prozent und dnn noch einml um 15 Prozent hergesetzt worden. Wie viel hen sie ursprünglich gekostet, wenn Sie sie jetzt für 68 Euro kufen können? Berechnen Sie zuerst, wie viel die Schuhe vor der zweiten Hersetzung und dnn, von diesem Wert usgehend, ws sie vor der ersten Hersetzung gekostet hen. Preis nch der ersten eziehungsweise vor der zweiten Hersetzung: 68/(1 0,15) = 68 /0,85 = 80 Euro Preis vor der ersten Hersetzung eziehungsweise Originlpreis: 80/(1 0,40) = 80 /0,60 = 1, Euro Die zweimlige Rttierung von 40 Prozent und nschließend von 15 Prozent ist nicht ds Gleiche wie ein Rtt von 55 Prozent. Ein Rtt von 55 Prozent uf 1, Euro hätte 60 Euro ergeen. Potenzen mchen strk Sie sind in der Anlysis völlig hilflos, wenn Sie die Potenzregeln nicht kennen: 0 = 1 Diese Regel gilt immer, egl um welches es sich hndelt einen Bruch, eine negtive Zhl, irgendetws, ußer für 0 (0 in die Potenz 0 erhoen ist nicht definiert). Also: (Alles ußer 0) 0 = 1 1 = und Beispielsweise ist Lösung = = =. Klsse! Vergessen Sie ds nicht! Bechten Sie, dss die nicht negtiv ist. / = ( ) und ( ) = = 1

10 Wirtschftsmthemtik für Dummies Diese prktische Regel können Sie rückwärts nwenden, um eine Aufgenstellung mit Wurzel in eine einfchere Form mit Potenz umzuwndeln. = 5 und = + Hier ddieren Sie die Potenzen. (Bei plus dgegen können Sie gr nichts mchen, weil es keine ähnlichen Terme sind. Sie können nur Terme ddieren oder sutrhieren, wenn der vrile Teil jedes Terms gleich ist, zum Beispiel y z + 4y z = 7y z. Flls es Sie interessiert ds funktioniert us genu demselen Grund, wrum drei Stühle plus vier Stühle gleich sieen Stühle sind; unähnliche Terme können nicht ddiert werden oder würden Sie versuchen, fünf Stühle und zwei Autos zu ddieren?) 5 = und 6 4 = und = Hier sutrhieren Sie die Potenzen. ( ) 6 = und ( ) = Hier multiplizieren Sie die Potenzen. ( ) yz = yz und ( ) yz = yz Hier multiplizieren Sie die Potenz in jede Vrile ein. 4 = y y Und hier dssele. 4 4 und = y y Es gilt NICHT ( + y) = + y In diesem Fll dürfen Sie die Potenz nicht einmultiplizieren. Stttdessen multiplizieren Sie uf die üliche Weise us: + = + + = = + +. ( y) ( y)( y) y y y y y Ws pssiert, wenn Sie ds Gesetz fälschlicherweise uf Zhlen nwenden: ( + 5)² ist gleich 8² oder 64, und nicht ² + 5², ws gleich 9 + 5, lso 4 ist. Zu den Wurzeln der Wurzeln Wurzeln, insesondere Qudrtwurzeln, egegnen uns üerll in der Anlysis. Es ist lso undingr, dss Sie wissen, wie sie funktionieren, und dss Sie die grundlegende Beziehung zwischen Wurzeln und Potenzen verstehen. Und genu ds werden wir Ihnen jetzt zeigen. Jede Wurzel knn ineine Potenz umgewndelt werden, zum Beispiel = 1/, = 4 oder 4 =. Sie ruchen die folgenden Wurzelregeln eigentlich gr nicht Sie wndeln jede Wurzel in eine Potenz um und wenden die Potenzregeln n, um die Aufge zu 1

11 1 Am Anfng stnd die Alger lösen (ds ist im Ürigen eine sehr sinnvolle Vorgehensweise). Aer wenn Sie ein Areitstier sind, dnn sehen Sie sich die folgenden Regeln n. (Sehen Sie sie womöglich zum ersten Ml?) Wenn Sie nämlich diesen Dingen irgendwnn egegnen, dnn ist es hilfreich, die Regeln zu kennen: 0 = 0 und 1 = 1 Negtive Zhlen können Sie nicht unter einer Qudrtwurzel oder einer nderen gerdzhligen Wurzel erechnen zumindest nicht in der grundlegenden Anlysis., = = und n n = n, = = und n n = n 1 4 = und m n = nm Sie multiplizieren hier die Wurzelindizes. 4 4 =, =, 6 6 = usw. Wenn Sie eine gerdzhlige Wurzel hen, ruchen Sie die Asolutwertstriche für die Lösung, denn die Antwort ist immer positiv, egl o positiv oder negtiv ist. Hndelt es sich um eine ungerdzhlige Wurzel, ruchen Sie die Asolutwertstriche nicht. Somit gilt: 5 5 =, = usw. Es gilt NICHT + = +. Wenn Sie diesen Fehler mchen, werden Sie sofort in den Kerker geworfen. Versuchen Sie es einml mit Zhlen: ist. + = 1, ws nicht gleich + Logrithmen...wirklich keine Heerei Ein Logrithmus ist eine ndere Möglichkeit, eine eponentielle Beziehung zwischen Zhlen uszudrücken. Zum Beispiel: = 8, dnn gilt log 8 = (sprich»der Logrithmus mit der Bsis von 8 ist «) Diese eiden Gleichungen drücken genu dssele us. Sie können sich die eine dvon ls die griechische Methode vorstellen, diese mthemtische Beziehung zu eschreien, und die ndere ls die lteinische Methode, dssele zu sgen. Die Bsis eines Logrithmus knn eine elieige Zhl größer 0 sein. Wenn die Bsis gleich 10 ist, geen Sie sie konventions-

12 Wirtschftsmthemtik für Dummies gemäß nicht n. log 1000 = eispielsweise edeutet, log =. Auch die logrithmische Bsis e (e,7) wird ls ln sttt ls log e drgestellt Mthemtiker verwenden dies so oft, dss sie vermutlich eine esondere Akürzung dfür eingeführt hen. Die folgenden Eigenschften von Logrithmen sollten Ihnen geläufig sein: log 1 = 0 log c c = 1 log c () = log c + log c log c = logc logc log c = log logc log = log c c Mit dieser Eigenschft können Sie Dinge wie log 0 uf Ihrem Tschenrechner erechnen, indem Sie log0 unter Verwendung der Bsis 10 für c eingeen. log log log = = Mehr ls einen Term usmultiplizieren Im Aschnitt üer ds Distriutivgesetz hen wir Ihnen gezeigt, wie mn einen Term mit einer Reihe weiterer Terme usmultipliziert. Jetzt erfhren Sie, wie mn ein Binom mit zwei Termen und ein Polynom mit drei oder mehr Termen usmultipliziert. Ds Wort Polynom esteht us zwei Teilen: poly heißt viele, nomen heißt Nme oder Bezeichnung. Ein Polynom ist ein lgerischer Ausdruck mit zwei oder mehr Termen. Ein Polynom mit einem Term ist ein Monom, ein Polynom mit zwei Termen ist ein Binom, ein Polynom mit drei Termen ist ein Trinom. Binome usmultiplizieren Beim Ausmultiplizieren eines Binoms mit einer Anzhl von Termen muss mn eide Terme des Binoms uf jeden der weiteren Terme verteilen, lso mit ihnen multiplizieren. Anhnd folgender Schritte sehen Sie, wie ds funktioniert: 1. Teilen Sie ds erste Binom in seine zwei Terme und y uf. ( y )( + y + y ). Multiplizieren Sie jeden dieser Terme mit den nderen Termen. ( + y + y ) y ( + y + y ) 4

13 1 Am Anfng stnd die Alger. Führen Sie die Multipliktionen durch. ( ) + (y) + (y ) y ( ) y (y) y (y ) 4. Vereinfchen und kominieren Sie. Multiplizieren Sie und ddieren Sie die Eponenten. 4 + y + y y y y 4 Kominieren Sie die Terme. 4 + y y y 4 Polynome unter der Lupe Wie lutet die höchste Potenz in einem Polynom? Die höchste Potenz von + 1 ist eispielsweise, lso hndelt es sich dei um ein Binom dritten Grdes. Es hndelt sich dei um ein Binom, weil ds Polynom zwei Terme ht, und um den dritten Grd, weil die höchste vorkommende Potenz ist. Ein Polynom fünften Grdes ht die höchste Potenz 5. Der Koeffizient vor dieser höchsten Potenz heißt Leitkoeffizient. Ist der Leitkoeffizient 1, heißt ds Polynom normiert. Eine Zhl ohne Vrile heißt Asolutglied. Beispielsweise ist ein Polynom dritten Grdes mit Leitkoeffizient und Asolutglied. Die Polynome der ersten Grde hen esondere Nmen: Grd 0: konstnt Grd 1: liner Grd : qudrtisch Grd : kuisch Polynom ml Polynom Die Regel, die Sie gleich kennen lernen, trifft uf jedes Produkt mit einer elieigen Anzhl von Termen zu. Mn knn diese Methode uf vier, fünf und mehr Terme nwenden. Wenn mn ein Polynom (viele Terme) uf eine elieige Anzhl von weiteren Termen verteilt (sie usmultipliziert), muss jeder Term des ersten Fktors mit jedem Term des zweiten Fktors multipliziert werden. Nch der Multipliktion wird vereinfcht und kominiert. Ds folgende Beispiel esteht usschließlich us Vrilen, die lle unterschiedlich sind. 1. Teilen Sie die Terme des ersten Fktors uf und multiplizieren Sie jeden dieser Terme mit dem zweiten Fktor. 5

14 Wirtschftsmthemtik für Dummies ( + + c + d +...)(z + y + w ) = (z + y + w ) + (z + y + w ) + c(z + y + w ) Führen Sie die Multipliktionen durch. z + y + w z + y + w cz + cy + cw + c Kominieren Sie die Terme. Zum Beispiel wäre z + z = z. Im vorngegngenen Beispiel git es jedoch keine ähnlichen Terme prüfen Sie ds er immer nch! Besonders verteilt: Mnchml geht es schneller Ds Ausmultiplizieren von Polynomen ist nicht schwierig, er mn knn Zeit spren, wenn mn ein pr Besonderheiten des Ausmultiplizierens kennt. Dnn muss mn nicht lles mühsm multiplizieren, sondern knn nhnd von festen Regeln eine Akürzung eim Rechnen nehmen. Erkennt mn eine dieser möglichen Akürzungen nicht, ist es uch kein Weltuntergng mn ärgert sich höchstens üer sich selst. Hier ein pr hilfreiche Formeln: Die drei inomischen Formeln: ( + ) = + + ( ) = + + ( + )( ) = Die Differenz zwischen zwei Kuikzhlen: ( )( + + ) = Die Summe von zwei Kuikzhlen: ( + )( + ) = + Rechnen mit der dritten inomischen Formel Wie würden Sie rechnen? Nun, die einfchste Möglichkeit ist, Sie tippen es in Ihren Tschenrechner ein. Eine ndere Möglichkeit ist, Sie rechnen erst 10 ml 14 und ddieren dnn noch 6 ml 14. Eine dritte Möglichkeit ist die dritte inomische Formel. Schuen Sie sich folgendes Beispiel n: = (15+ 1)(15 1) = 15 1 = 5 1= 4 Und ds soll Sie weiterringen? Nun j, diese Rechnung klppt een nur in estimmten Fällen und dnn sollten Sie uch noch wissen, ws jeweils die Qudrtzhlen ergeen. Treffen eide Vorussetzungen zu, ist dies uf jeden Fll eine Möglichkeit, schwierigere Aufgen schnell im Kopf zu rechnen. Ws hlten Sie zum Beispiel von der Aufge 5 47? 6