$Id: integral.tex,v /05/15 13:14:04 hk Exp $ $Id: uneigentlich.tex,v /05/15 13:21:33 hk Exp $

Transkript

1 Mthemtik für Ingenieure II, SS 9 Freitg 15.5 $Id: integrl.te,v 1.1 9/5/15 13:14:4 hk Ep $ $Id: uneigentlich.te,v 1. 9/5/15 13:1:33 hk Ep $ Integrlrechnung.5 Sonstige Integrtionstechniken Wir kommen nun zu einer etws systemtischeren Besprechung der Trpezregel. Gegeben sei eine zu integrierende Funktion f : [, b] R, von der wir nnehmen wollen ds sie zumindest zweiml stetig differenzierbr ist. Wir unterteilen ds Intervll [, b] eine Anzhl n N gleich großer Teilintervlle ht dnn die Länge h = (b )/n. Die Unterteilungspunkte ergeben sich ls t =, t 1 = + h, t = + h, lso lgemein t i = + i b n = + i h, i =,..., n. Ds i-te Teilintervll ist dnn ds Intervll [t i 1, t i ]. Auf diesem Intervll ersetzen wir die Funktion f durch die linere Funktion l(t) durch die beiden Punkte (t i 1, f(t i 1 )) und (t i, f(t i )). Die Steigung dieser Gerden ist m = f(t i) f(t i 1 ) = f(t i) f(t i 1 ), t i t i 1 h lso ist die linere Funktion l gegeben durch l(t) = f(t i 1 ) + m (t t i 1 ). Jetzt ersetzen ds Teilintegrl t i t i 1 f() d durch ds Integrl der lineren Funktion l, lso durch die Fläche des entsprechenden Trpezes. Diese Fläche ist f(t i 1 ) h + m (t i t i 1 ) = h (f(t i 1 ) + 1 ) mh = h f(t i 1) + f(t i ), die Trpezfläche ist lso die Länge des Intervlls [t i 1, t i ] ml ds rithmetische Mittel der Funktionswerte von f in den beiden Rndpunkten. Dies ist eine Näherung n ds Teilintegrl t i t i 1 f() d, und summieren wir lle Teilstücke uf, so erhlten wir ls Näherung n ds Gesmtintegrl b S = n f(t i 1 ) + f(t i ) f() d die folgende Trpezsumme h = h ( ) f() n 1 + f( + i h) + f(b). 9-1

2 Mthemtik für Ingenieure II, SS 9 Freitg 15.5 Ist f stetig, so hndelt es sich nch dem Zwischenwertstz hier um eine Riemn Summe, d j (f(t i ) + f(t i 1 ))/ zwischen den beiden Funktionswerten m Rnd liegt, und somit gleich f(ξ i ) für ein ξ i [t i 1, t i ] ist. Die Trpezsumme ist eine Approimtion des Integrls, und der folgende, hier nicht bewiesene Stz, gibt den mimlen Fehler bei dieser Näherung n. Stz.7 (Trpezregel) Sei f : [, b] R zweiml stetig differenzierbr, und es gelte f () M für lle b. Sei n N und setze h := (b )/n. Ist dnn S die Trpezsumme so gilt S := h b ( f() n 1 + f() d S Für die Funktion f() = sin / sind f () = f () = cos sin sin cos = cos f( + i h) + f(b) M (b ) 1 sin, cos sin 4 h. ) = sin 3, cos sin. Wir htten bereits bemerkt, dss die zweite Ableitung f monoton steigend ist, und der Funktionswert m rechten Rnd ist f (π) = /π, 64. Um den Funktionswert m linken Rnd zu ermitteln, bechte sin = , lso f () = 1/3. Dmit ist f () 1/3 für lle π. In der obigen Fehlerformel hben wir lso M = 1/3, und somit wird π sin d S π 36 h. Einsetzen einiger Werte für n gibt die Tbelle n Trpezregel Mimler Fehler

3 Mthemtik für Ingenieure II, SS 9 Freitg 15.5 Dmit htten wir die vier Nchkommstellen π sin / d 1, Wir groß müssten wir n wählen um sgen wir 8 Nchkommstellen zu hben? Wegen h = π/n hben wir eine Bedingung π n = π 36 h 1 9 beziehungsweise π3 1 n ws schon nicht mehr besonders prktikbel ist. Ttsächlich knn es gut pssieren, dss bei so grossen n der Fehler viel schlimmer wird ls die Formel vorhersgt. Die Fehlerformel für die Trpezregel ist ein theoretischer Fehler, wenn wirklich m Rechner mit Fließkommzhlen gerechnet wird, kommen noch Rundungsfehler hinzu, die durch die Formel des Stz 7 nicht erfsst sind. Allzu große n sind lso nicht nur unprktisch, sie können sogr schlechtere Ergebnisse liefern ls kleinere n. Eine oftmls bessere Näherungsformel ist die sogennnte Simpson Regel. Hier wählt mn die Zhl n gerde. Für 1 i n/ schut mn sich dnn die beiden Teilstückchen [t i, t i 1 ] [t i 1, t i ] = [t i, t i ] gemeinsm n, und nähert f uf diesem Intervll durch eine Prbel g() = g( t i 1 ) für h n, die durch die drei Punkte g( h) = f(t i ), g() = f(t i 1 ) und g(h) = f(t i ) gehen soll. Die Verschiebung des Arguments dient dbei nur dzu, die folgende Rechnung etws einfcher zu mchen. Setzen wir g() = α + β + γ n, so hben wir die drei Bedingungen f(t i ) = αh βh+γ, f(t i 1 ) = γ f(t i ) = αh +βh+γ lso f(t i ) f(t i ) = βh, f(t i )+f(t i ) = (αh +γ) und somit γ = f(t i 1 ), β = f(t i ) + f(t i ), h α = 1 ( ) f(ti ) + f(t i ) γ = f(t i ) f(t i 1 ) + f(t i ). h h Für die Fläche unter unserer Prbel ergibt sich h h g() d = α β + γ h h = α 3 h3 + γh = 3 h3 f(t i ) f(t i 1 ) + f(t i ) h + f(t i 1 )h = h 3 (f(t i ) + 4f(t i 1 ) + f(t i )). 9-3

4 Mthemtik für Ingenieure II, SS 9 Freitg 15.5 Summieren wir ll diese Teilflächen uf, so ergibt sich die folgende Näherung für ds Integrl b f() d S := n/ h 3 (f(t i ) + 4f(t i 1 ) + f(t i )) = h f() + 3 n/ 1 n/ f(t i ) + 4 f(t i 1 ) + f(b), und dies ist die so gennnte Simpson Formel. Auch den Approimtionsfehler durch die Simpson Regel, knn mn wie bei der Trpez Regel, priori bschätzen. Bevor wir den entsprechenden Stz formulieren, wollen wir noch eine kleine Anmerkung hierzu mchen. Bei der Simpson Regel nähert mn die Funktion f durch Prbelstücke n, die durch jeweils drei vorgegebene Punkte der Funktion f gehen. Dies ist im Hinblick uf 1 etws überrschend, dort htten wie j ds qudrtische Tylorpolynom, etw mit dem Mittelpunkt des Teilintervlls ls Entwicklungspunkt, ls eine gute Approimtion von f ngepriesen. Dss mn jetzt uf einml einfch Prbeln durch drei Punkte legt sttt ds Tylorpolynom zu verwenden, ht nur prktische Gründe. Oftmls und gerde bei vielen Anwendungen ht mn den Integrnden f nicht durch eine Formel gegeben, sondern mn kennt nur einige seiner Werte, dies können etw Meßergebnisse sein. Um ds Tylorpolynom zu berechnen bräuchte mn die ersten beiden Ableitungen, und diese ht mn einfch nicht. Mn knn ntürlich die Ableitungen durch Differenzenquotienten nnähern, ber dies möchte mn vermeiden. Zum einen bräuchte mn recht viele Funktionswerte um gute Differenzenquotienten zu kriegen, und zum nderen neigen Differenzenquotienten dzu die Problemzonen der Fließkommrithmetik nzusteuern. In einem Differenzenquotienten muss mn die Differenz zweier nhezu gleich großer Zhlen bilden, und diese dnn durch eine sehr kleine Zhl teilen. Hier knn es schnell pssieren ds die Subtrktion lle relevnten Dezimlstellen uslöscht, lso nur noch mehr oder weniger zufällige Rundungsfehler verbleiben, die dnn bei der Division zu großen Zhlen ufgeblsen werden. Ws dbei ruskommt, knn sehr schnell völlig nutzlos sein. Ntürlich gibt es intelligentere Vorgehensweisen solche Probleme zu vermeiden, oder zumindest etws zu entschärfen, ber ds ist es meist nicht wert. Kurzum, bei numerischen Rechnungen versucht mn die Berechnung von nicht unbedingt nötigen Ableitungen, um nhezu jeden Preis zu vermeiden. Insbesondere wollen wir keine Ableitungen in der Simpson Regel, und die Tylorpolynome sind dmit us dem Rennen. Wir formulieren nun den Stz über die Simpson Regel. Stz.8 (Simpson Regel) Sei f : [, b] R vierml stetig differenzierbr und sei M R mit f (4) () M für lle b. Sei n N gerde, setze h := (b )/n und betrchte die Simpson Regel S := h f() + 3 n/ 1 n/ f( + ih) + 4 f( + (i 1)h) + f(b). 9-4

5 Mthemtik für Ingenieure II, SS 9 Freitg 15.5 Dnn gilt b f() d S M (b ) 18 h 4. Gehen wir wieder zu unserem Beispielintegrl π f (3) () = cos f (4) () = sin + 3sin + 4cos + 6 cos 3 1 sin 3 sin / d. Wir hben die Ableitungen 6 sin 4, 4 cos sin 5 und f (4) ist zwischen und π monoton fllend. Diese Ttsche wollen wir hier wieder nicht herleiten, sondern vertruen einem Blick uf den Grphen von f (4) : Wegen f (4) (π) = 4/π + 4/π 4, und f (4) () = 1/5 ist dmit f (4) () 1/5 für lle π. Dmit ist M = 1/5 und der mimle Fehler ist folglich gegeben durch π sin d S π 9 h4. Setzen wir wieder die schon bei der Trpezregel verwendeten Werte von n ein, so erhlten wir die folgende Tbelle 9-5

6 Mthemtik für Ingenieure II, SS 9 Freitg 15.5 n Simpson Regel Mimler Fehler Beispielsweise hben wir hier schon bei n = 8 die Genuigkeit die wir bei der Trpezregel erst für n = 1 erreicht htten. Für n = ergibt die Simpson Regel somit π sin und wir hben cht gesicherte Nchkommstellen π sin d d Die mit der Trpezformel mühsm gerechneten vier Nchkommstellen hben wir mit der Simpson Regel sogr schon bei nur n = 1 Teilintervllen. Ein weitere Technik besteht in der Einführung neuer Grundfunktionen. Als ein Beispiel für dieses Vorgehen wollen wir den sogennnten Integrlsinus diskutieren, dies ist die Funktion Si : R R; sin t t dt (Integrlsinus). Nch dem Huptstz der Differentil und Integrlrechnung Stz 1 ist Si () = sin / für lle R und Si() =. Für lle R hben wir mit der Substitution t = s Si( ) = sin t t sin( s) sin t dt = ds = dt = Si(), s t der Integrlsinus ist lso eine ungerde Funktion. Für π ist Si() streng monoton steigend, für π π streng monoton fllend, für π 3π dnn wieder streng monoton steigend und immer so weiter. Die Ausschläge werden dbei immer kleiner, und dher gibt es den Grenzwert lim Si() und wir hben Si() Si(π) für. Dmit folgt uch Si() Si(π) = π sin d 8 5 für lle R und der Integrlsinus ist beschränkt. Der Grph des Integrlsinus sieht wie folgt us 9-6

7 Mthemtik für Ingenieure II, SS 9 Freitg Die Einführung neuer Stmmfunktionen würde ntürlich nichts nutzen, wenn mn permnent neue derrtige Funktionen bräuchte. Gut gewählte Stmmfunktionen sollten ntürlich zu Formeln für möglichst viele ndere Funktionen führen. Rechnen wir einml zwei Beispiele cos = sin d = sin d = Si() Si() d, lso Si() d = cos + Si(). Für die Stmmfunktion des Integrlsinus benötigen wir lso keine neue Funktion. Dmit können wir uch bestimmte Integrle usrechnen, zum Beispiel π Si() d = cos + Si() π = πsi(π) 3, Der Integrlsinus tucht uf bei unbestimmten Integrlen uf, bei denen er selbst gr nicht vorkommt, zum Beispiel sin cos ln d = sin ln d = sin ln Si(). In den üblichen Mthemtikprogrmmen sind Funktionen wie der Integrlsinus uch schon eingebut, so dss Sie einfch Ihren Rechner frgen können ws zum Beispiel Si() ist. Der Integrlsinus ist nur ein Beispiel von vielen zusätzlichen Grundfunktionen, die Formelsmmlungen sind voll von derrtigen Funktionen. 9-7

8 Mthemtik für Ingenieure II, SS 9 Freitg Uneigentliche Integrle Ds Riemn Integrl wurde in nur für beschränkte Funktionen uf beschränkten Intervllen [, b] definiert. Oftmls benötigt mn ber uch Integrle unbeschränkter Funktionen und Integrle wie etws ds Beispiel e d. Derrtige Integrle werden ls uneigentliche Integrle, beziehungsweise in unserem Kontet genuer ls uneigentliche Riemn Integrle, bezeichnet. Die formle Definition erfolgt über Grenzwerte, llerdings müssen wir hierbei einige verschiedene Fälle unterscheiden. Wir beginnen mit uf einseitig unbeschränkten Intervllen definierten Funktionen. Definition 3.1: Sei R und sei f : [, ) R eine Funktion. Dnn heißt die Funktion f über [, ) uneigentlich Riemn integrierbr, wenn f für jedes über [, ] integrierbr ist, und der Grenzwert f() d := lim f(t) dt eistiert. Dieser wird dnn ls ds uneigentliche Riemn Integrl bezeichnet. Anlog wird dies für uneigentliche Integrle der Form f() d definiert. Anstelle der etws unhndlichen Bezeichnung uneigentlich Riemn Integrierbr sgt mn oft verkürzend einfch integrierbr, und sgt dnn uch einfch Integrl zu f() d. Wir wollen ein pr Beispiele diskutieren. Nehmen wir etw ds Integrl e d. Gemäß der Definition müssen wir erst einml die bestimmten Integrle e t dt bilden, und dnn den Grenzwert usrechnen. In diesem Beispiel ist dies beides leicht möglich. Für jedes > ist zunächst und wegen folgt e d = lim e t dt = e t = 1 e, 1 lim e = lim e = e t dt = lim (1 e ) = 1 lim e =