Stammgruppe trifft sich zum Museumsrundgang Experte erklärt jeweils sein Plakat

Transkript

1 Fachag Mahemaik: Kurvenscharen Ablauf: 1. Sunde Gemeinsame Einsiegsaufgabe. Sunde Sammgruppenaufgaben Sammgruppen (a bis 6 Schüler) Jedes Gruppenmiglied erhäl eine unerschiedliche Aufgabe A, B, C, D in EA zu bearbeien Bei größeren Schülergruppen sind ergänzend Aufgaben E, F, G möglich oder Aufgaben A, B, C, D eilweise doppel zu vergeben Sunde Eperenaufgabe Eperengruppen: A, B, C, D diejenigen Schüler, die dieselbe Aufgabe bearbeie haben: Vergleichen + Ausausch zur bearbeieen Aufgabe Plaka ersellen 5. Sunde Sammgruppenaufgabe Sammgruppe riff sich zum Museumsrundgang Epere erklär jeweils sein Plaka 6. Sunde Eperenaufgabe Klärung, ob fremde Themen versanden wurden Präsenaion eines fremden (vom Lehrer besimmen) Themas im Plenum Veriefung Übungsaufgaben 1 bis 3 Lieraur Themenhef: Funkionen mi Parameern, Kurvenscharen, Kle Verlag, Sugar 003

2 LÖSUNG: Einsiegsaufgabe a) Alle Graphen sind nach unen geöffnee Parabeln b) v 0 in m/s h ma in m ma in s gesam in s c) Aus der Tabelle is zu ennehmen, dass Höhen von 00 bis 500 m bei Anfangsgeschwindigkeien von ewa 90 m/s bis 100 m/s erreich werden. d) Maimum der Funkion h: h () = v 0 10 h () = 0 ma = v 0 /10 ma in h eingesez liefer: h ma = v 0 ²/0 Für die gesame Flugzei gil: gesam = ma LÖSUNG: Einsiegsaufgabe a) Alle Graphen sind nach unen geöffnee Parabeln b) v 0 in m/s h ma in m ma in s gesam in s c) Aus der Tabelle is zu ennehmen, dass Höhen von 00 bis 500 m bei Anfangsgeschwindigkeien von ewa 90 m/s bis 100 m/s erreich werden. d) Maimum der Funkion h: h () = v 0 10 h () = 0 ma = v 0 /10 ma in h eingesez liefer: h ma = v 0 ²/0 Für die gesame Flugzei gil: gesam = ma

3 Arbeisbla A: Gemeinsame Punke bei Kurvenscharen Für jede Zahl a IR is eine Funkion f a gegeben durch Ihr Graph is die Kurve C a. f a () = a³ 0,5² + ( a) + y a) In der Abbildung sind die Kurven C 1, C und C 3 gegeben. Ordnen Sie jeder Kurve den richigen Namen zu. b) Welche Vermuung bezüglich gemeinsamer Punke ergib sich aufgrund der Graphen? c) Überprüfen Sie Ihre Vermuung rechnerisch und weisen Sie nach, dass die von Ihnen ermielen Punke auf jeder Kurve C a liegen --> Tippkare

4 LÖSUNG: Arbeisbla A: Gemeinsame Punke bei Kurvenscharen a) Zuordnung ergib sich z.b. durch Besimmung des Funkionsweres der Funkionen an der Selle = 1: f 1 () = 3 0,5 +, also f 1 (1) = 0,5; f () = 3 0,5 6 +, also f (1) = -,5; f 3 () = 3 3 0,5 10 +, also f 3 (1) = -5,5; oder durch Berachung des Verhalens für : die Funkionswere für werden besimm durch die höchse Poenz, da 3 3 > 3 > 3 gil, folg die angegebene Benennung. b) Gemeinsame Punke scheinen zu sein: A(-;-) ; B (0;); C(; ) C 3 C C 1 10 h c) Seien a, b IR mi a b. Es gil: f a () = f b () a³ 0,5² + ( a) + = b³ 0,5² + ( b) + a³ + ( a) = b³ + ( b) a³ b³ + ( a) ( b) = 0 (ab) 3 + (- a + b) = 0 ((ab) + (- a + b) = 0 Somi is S1 = 0 oder (ab) + (- a + b) ) = 0, (ab) = a b (ab) = ( a b) =, also S = oder S3 = Für die Funkionswere folg f a (-) = a()³ 0,5()² + ( a)(-) + = 8a + 8a + =, also A(; ) f a (0) = a 0³ 0,5 0² + ( a)0 + =, also B (0;) f a () = a ³ 0,5² + ( a) + = = 8a + 8a + =, also C (;). Da die Punkkoordinaen unabhängig vom Scharparameer sind, liegen sie auf allen Kurven der Schar.

5 Arbeisbla B: Unerschiedliche Eigenschafen der Kurven (Fallunerscheidung) Für jede Zahl k IR is eine Funkion f k gegeben durch f k () = (² k + 3k). Der Graph von f k is die Kurve C k. Gegeben sind die Graphen der folgenden Funkionen: y y k = 3 k = k = 1 y 0 y 0 y k = 9 k = 10 k = 11 Sellen Sie eine Vermuung über die Anzahl der Erempunke bei den Kurven der Schar auf. Beweisen Sie Ihre Vermuung. Tippkare

6 LÖSUNG: Arbeisbla B: Unerschiedliche Eigenschafen der Kurve(Fallunerscheidung) Offenbar haben nich alle Kurven der Schar Erempunke. Aus den Abbildungen folg, dass es Kurven enweder zwei Erema haben (Hoch- und Tiefpunk) (k = 3 / k= / k= 10 /k= 1) oder keine (k = 1 / k=9). Es muss also einen Bereich für k geben, wo Erema ausgeschlossen sind. Besimmung der Erempunke der Schar: f k () = (² k + 3k) = 3 k + 3 k f k () = 3 k + 3 k f k () = 6 k Die möglichen Eremsellen ergeben sich als Nullsellen der ersen Ableiung. 0 = f k () = 3 k + 3 k 0 = 3 k + k (*) E1 = + k k k und E = + k k k, wobei die Diskriminae größer gleich Null sein muss. Is sie dies nich der Fall, so ha die Gleichung (*) keine Lösung. 1 1 k k 0 k k k 9 k k 9 k 0 k ( k 9) 0, da k 9 k der 9 9 Funkionserm einer nach oben geöffneen Parabel is, die die Nullsellen 0 und 9 ha, folg: 1 k k 0 genau dann wenn k 0 oder k 9 is. 9 Somi folg für die möglichen Eremsellen: Fall: k < 0 oder k > 9: E1 = + k k k und E = + k k k, Da der Graph von f k eine nach oben geöffnee Parabel is, sind beide Eremsellen. 1. Fall : k = 0 oder k = 9: E1 = E = + k, der Graph von fk berüh also an dieser Selle 3 die -Achse. Da kein Vorzeichenwechsel bei f k erfolg, lieg kein Erempunk vor. Insbesondere is an dieser Selle ein Saelpunk zu finden Fall: 0 <k <9: Da gil k k <0, also ha (*) keine Lösungen, also gib es keine 9 Eremsellen.

7 Erweierung zum Arbeisbla B: gemeinsame Punke Welche Vermuung über gemeinsame Punke der Kurven der Schar läss sich aufsellen? Beweisen Sie ihre Vermuung. LÖSUNG: Erweierung zum Arbeisbla B: Vermuung : A(0;0) und B(3; 7). gemeinsame Punke: Seien a, b IR mi a b. Es gil: f a () = f b () (² a + 3a) = (² b + 3b) (² a + 3a) (² b + 3b) = 0 (² a + 3a ² + b 3b ) = 0 ( a + 3a + b 3b ) = 0 Somi is S1 = 0 oder a + 3a + b 3b = 0, also (b a) = 3 b 3a (b a) = 3 (b a) S = 3 Es is f k (0) =0 und f k (3 ) = 3 (3 k k) = 7. Also sind die gemeinsamen Punke: A(0;0) und B(3; 7).

8 Arbeisbla C: Orskurve von Erempunken bei Kurvenscharen Zu jeder Zahl bir is eine Funkion f b gegeben durch f b () = 0,5² + b + + b b². Der Graph von f b is die Kurve K b. Gegeben sind die Graphen der einiger Funkionen: y a) Ordnen Sie den Graphen die jeweilige Funkionsvorschrif f 1, f, f 1, f 5 und f 10 zu. b) Welche Vermuung ergib sich für die Lage der Hochpunke der Kurvenscharen? c) Besimmen Sie für allgemeines b den Hochpunk der Kurve K b und beweisen Sie Ihre Vermuung. Informaion: Die Kurve auf der alle Hochpunke liegen heiß Orskurve (oder Orslinie) der Hochpunke. --> Tippkare

9 LÖSUNG Arbeisbla C: Orskurve von Erempunken bei Kurvenscharen a) 0 K K K 1-8 K K 1 b) Die Hochpunke der Schar scheinen auf einer Geraden zu liegen. c) Sei b IR. Es gil: f b () = 0,5² + b + + b b² f b () = 0,5 + b f b () = 0,5 0 für alle IR. Die möglichen Eremsellen sind die Nullsellen der ersen Ableiung: 0 = f b () = 0,5 + b E = b. Da f b (b) = 0,5 0, is E = b Eremselle, insbesondere is E Maimalselle. Für den Funkionswer an der Selle E = b folg: f b (b) = 0,5(b)² + b b + + b b² = b + b + + b b = b + Somi is der Hochpunk H (b; b +) für alle b IR. Um die Orskurve der Hochpunke zu besimmen, such man die Funkionsgleichung, die jeder -Koordinae des Hochpunkes die jeweilige y-koordinae zuordne. Hier läss sich sofor sehen, dass die Hochpunke alle auf der Funkion + liegen. Rechnerisch läss sich dies wie folg nachrechnen: Für die -Koordinae des Hochpunkes gil: = b b = 0,5 (*) Für die y-koordinae des Hochpunkes gil: y = b +. (**) Sez man (*) in (**) ein, folg: y = (0,5) + = +, also liegen alle Hochpunke auf der Geraden mi der Gleichung y = +.

10 Arbeisbla D: Der iefse Tiefpunk, der höchse Hochpunk Für jede Zahl a IR is eine Funkion f a durch f a () = a + 8 a gegeben. Ihr Graph is die Kurve C a. y 80 a) In der Abbildung sind die Kurven C 0, C 1 und C - gegeben. Ordnen Sie jeder Kurve den richigen Namen zu. b) Besimmen Sie allgemein den Tiefpunk von C a. c) Für welche Kurve der Schar is der Tiefpunk am weiesen unen, d.h. die y-koordinae am kleinsen? Besimmen Sie die Koordinaen dieses Tiefpunkes > Tippkare zu c)

11 LÖSUNG Arbeisbla D: Der iefse Tiefpunk, der höchse Hochpunk a) C 0 gehör zur Funkion f 0 () = , also f 0 (0) = 30. C 1 gehör zur Funkion f 1 () = , also f 1 (0) = 39. C - gehör zur Funkion f - () = 6 + 1, also f - (0) = C 0 C 1 0 C - b) Es gil : f a () = 6. f a () = Somi: 0 = f a () = 6 liefer als mögliche Eremsellen: = 3. Somi is die -Koordinae der Tiefpunke der Schar unabhängig von a. Da f a () = > Minimalselle vor. 0 für alle IR, lieg bei = 3 eine Für den Tiefpunk T a gil somi: T a ( 3; 1+a + 8 a) c) Die y-koordinaen der Tiefpunke erfüllen die Gleichung (a) = 1+a + 8a. 0 = (a) = a + 8 a =. Da (a) eine Gerade mi posiiver Seigung is, lieg bei a = ein Vorzeichenwechsel vom Negaiven zum Posiivem vor. Somi is a eine Eremselle, insbesondere eine Minimalselle. Für a = folg T-( 3; 5), welches somi der am iefsen liegende Tiefpunk der Kurvenschar is.

12 Arbeisbla E: Kurven einer Schar mi einer speziellen Eigenschaf Für jede Zahl a IR is eine Funkion f a durch f a () = 3 3 a ( a IR; a > 0). Ihr Graph is die Kurve C a. a) In dem Schaubild sind die Graphen C 0,6, C 1 und C 1, gegeben. Ordnen Sie die Graphen richig zu. y 3 b) Welche Kurve der Schar ha bei = 3 einen Tiefpunk? c) Welche Kurve der Schar besiz eine Wendeangene, die durch die Punk P (0;8) geh?

13 LÖSUNG: Arbeisbla E: Kurven einer Schar mi einer speziellen Eigenschaf a) Es is f 0,6 (1) = ,6 1 = 0,8; f 1 (1) = = - ; 3 f 1, (1) = , 1 = -,6. 1 C 0, C 1 b) Es is f a () = 3 3 a ; f a () = 3 6 a = 3 ( a) f a () = 6 6 a C 1, Mögliche Eremsellen sind die Nullsellen der ersen -7 Ableiung, also: 0 = f a () = 3 6 a = 3 ( a), somi sind E1 = 0 und E = a mögliche Eremsellen. Da f a (0) = a = 6a <0 für a>0, is E1 = 0 Eremalselle, insbesondere Maimalselle: H (0;0) Da f a (a) = 6 a 6 a = 6a > 0 für a>0, is E = a Eremalselle, insbesondere Minimalselle: T a ( a; - a 3 ) Für die gesuche Kurve der Schar muss gelen: a = 3, also a = 1,5. c) Die möglichen Wendesellen sind die Nullsellen der zweien Ableiung, somi gil: 0 = f a () = 6 6 a W = a. Da die zweien Ableiung einer Geraden ensprich, finde bei w ein Vorzeichenwechsel sa und somi is W = a Wendeselle. Es gil f a (a) = a 3 3 a a = - a 3, also W (a ; - a 3 ). Im Wendepunk is die Seiung: f a (a) = 3a 6 a a = 3a. Allgemein gil somi für die Wendeangene: () = -3a + c. Da W auf der Wendeangenen liegen soll, gil: -a 3 = (a) = -3a a + c c = a 3. Somi gil für die Wendeangene: () = -3a + a 3. Da die Funkion der Schar gesuch is, deren Wendeangene den Punk P(0;8) enhäl, folg: 8 = (0) = -3a 0 + a 3 = a 3. Also a =. Somi is f () = 3 6 die Funkion der Schar, deren Wendeangene () = durch P(0;8) verläuf.

14 Arbeisbla F: Orskurve von Wendepunke bei einer ganzraionalen Kurvenschar Für jede Zahl IR is eine Funkion gegeben durch f () = 3 +. a) Zeichnen Sie die Graphen in fünf verschiedenen Farben nach. Markieren Sie für die fünf Kurven die ungefähre Lage der Wendeselle. b) Berechnen Sie die Funkionsgleichung der Orskurve der Wendepunke. y > (^3 - *^) + * -> (^3-6*^) + 1* -> (^3 + 1*^) - * -> ^3 -> (^3 + *^) - * -> (^3-7.5*^) + 15*

15 LÖSUNG Arbeisbla F: Orskurve von Wendepunke bei einer ganzraionalen Kurvenschar a) Die Wendepunke scheinen auf einem Funkionsgraphen mi Tiefpunk im Ursprung und Hochpunk in der Nähe der Selle = zu liegen. b) Man besimm zunächs allgemein die Koordinaen des Wendepunkes in Abhängigkei von. Die Wendeselle ergib sich mihilfe der. Ableiung. f () = 3 + f () = 6 f () = 6 Für eine Wendeselle w muss f ( w ) = 0 gelen: 0 = 6 w - w = 1/3 (1) Die 3. Ableiung an der Selle W besäig die Wendeselle: f ( W ) = 6 0. Man berechne die y-koordinae des Wendepunkes durch Einsezen der Wendeselle in die Ausgangsgleichung: 1 f W ( w ) = = 3 + () Für die Gleichung der Orskurve muss in () der Parameer durch eine Abhängigkei von W ersez werden. Deshalb lös man zunächs (1) nach dem Parameer auf. W = 3 1 <=> = 3 W Dann ersez in () durch den neuen Zusammenhang. f W ( W ) = W W = - W W Die Orskurve der Wendepunke ha also die Gleichung f W ( W ) = - W W bzw. y() =

16 Arbeisbla G: Orskurve von Wendepunke bei einer logarihmischen Kurvenschar Für jede Zahl is eine Funkion gegeben durch f () = ln ( + ) mi >0. Der Graph von f sei K. a) Zeichnen Sie die Graphen in vier verschiedenen Farben nach. Markieren Sie für die fünf Kurven die ungefähre Lage der Wendeselle. b) Berechnen Sie die Funkionsgleichung der Orskurve der Wendepunke. y > ln(^ + ) -> ln(^ + 0.5) -> ln(^ + 1) -> ln(^ + 0.5)

17 LÖSUNG Arbeisbla G: Orskurve von Wendepunke bei einer logarihmischen Kurvenschar: a) Die Wendepunke scheinen auf y-achsensymmerischen Hyperbeln zu liegen, die für -> 0 nach - sreben. b) f () = 1 f () = ) ( ) ( ) ( f () = ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Aus f ( w ) = 0 folg - w + = 0. Dami is w = oder w = - (1) Da f ( w ) 0, liegen asächlich zwei Wendesellen vor. Einsezen von w in die Funkionsgleichung ergib die Koordinaen y w der Wendepunke. y w = f( w ) = ln() () Die Wendepunke liegen also bei ( ln()) und (- ln()). Aus (1) ergib sich unabhängig von der posiiven oder der negaiven Lösung für die Wendeselle = w. Sez man dies in die y w -Koordinaengleichung () ein, so erhäl man y w = ln ( w ). Die Wendepunke liegen also auf dem Graphen von y () = ln ( ). 5 -> ln(^ + ) -> ln(*^) -> ln(^ + 0.5) -> ln(^ + 1) -> ln(^ + 0.5) y

18 Tippkare für Arbeisbla A und Erweierung vom Arbeisbla B Bei der Suche nach gemeinsamen Punken einer Schar können zunächs zwei spezielle Scharkurven auf Schnipunke unersuch werden (z.b. f a () = f b () mi a b; a und b werden dabei jeweils als konsan angenommen ). Anschließend is nachzuprüfen, ob alle Kurven der Schar durch die gefundenen Punke gehen. Dies is dann der Fall, wenn die Punkkoordinaen unabhängig vom Scharparameer sind. Tippkare zum Arbeisbla B Berechnen Sie allgemein die möglichen Eremsellen der Kurvenschar f k. Bei der Berechnung muss sich in Abhängigkei von k eine Fallunerscheidung ergeben. In diesem Fall soßen Sie auf eine zu lösende quadraische Gleichung, die nur dann lösbar is, wenn die der Ausdruck uner der Wurzel (die Diskriminae) größer als Null is. Suchen Sie also die k, für die die Diskriminae größer gleich Null is. Tippkare für Arbeisbla C: Tipp 1: Verbinden Sie die Hochpunke. Beschreiben Sie Ihre Beobachungen. Tipp : Suchen Sie eine Funkionsvorschrif, die der -Koordinae des Hochpunkes die berechnee y-koordinae zuordne. Überprüfen Sie ihr Ergebnis im Schaubild. Tippkare für Arbeisbla D Aufgabeneil c): Die y-koordinaen der Tiefpunke erfüllen die Gleichung (a) = 1+a + 8a. Nun soll das a gesuch werden, bei dem (a) minimal wird. Nuze dafür die Kennnisse der Analysis.

19 Übungsaufgabe 1: Funkionenschar, eponeniell Nebensehend sehen Sie fünf Graphen der Funkionenschar f a () = (a ²) e a) Welcher Schar-Parameer könne zum mileren Funkionsgraphen gehören? (Mi Begründung!) b) Für welche Schar-Parameer a ha der Graph G a genau einen Punk mi Seigung Null? Ermieln Sie die Koordinaen dieses Punkes und begründen Sie, von welcher Ar dieser Punk is. Übungsaufgabe 1: Funkionenschar, eponeniell Nebensehend sehen Sie fünf Graphen der Funkionenschar f a () = (a ²) e a) Welcher Schar-Parameer könne zum mileren Funkionsgraphen gehören? (Mi Begründung!) b) Für welche Schar-Parameer a ha der Graph G a genau einen Punk mi Seigung Null? Ermieln Sie die Koordinaen dieses Punkes und begründen Sie, von welcher Ar dieser Punk is.

20 LÖSUNG Übungsaufgabe 1: Funkionenschar, eponeniell zu a) Der y-achsenabschni von f a is f a (0) = a e 0 = a. Demnach könne zum mileren Funkionsgraphen der Schar-Parameer a=0,5 gehören. zu b) Für Punke P( f()) mi Seigung Null gil f a ()=0 f a () = e + (a ²) ( 1) e = (² a) e f a () = 0 0=² a = 1 1 a Nur eine Lösung für a = 1, nämlich = 1. Ar des Punkes: f 1 () = (² +1) e f 1 () = ( ) e + (² +1) ( 1) e = ( ²+ 3) e ; f 1 (1) = ( 1+ 3) e 1 = 0 f 1 () = (+) e + (²+3) ( 1) e = (²++1) e ; f 1 (1) = 3/e 0 (Nur) G 1 ha einen einzigen Punk mi Seigung Null. Dies is ein Saelpunk S(1 -/e).

21 Übungsaufgabe : Funkionenschar, eponeniell Für jede Zahl is eine Funkion f gegeben durch f ( ) e e Ihr Graph is die Kurve C. a) Unersuchen Sie C auf Nullsellen, Erem- und Wendepunke. b) Zeichnen C Sie für < <1,5. c) C schließ mi den Geraden mi den Gleichungen y = und = u (u < 0) eine Fläche ein. Besimmen Sie die Größe dieser Fläche. Übungsaufgabe : Funkionenschar, eponeniell Für jede Zahl is eine Funkion f gegeben durch f ( ) e e Ihr Graph is die Kurve C. a) Unersuchen Sie C auf Nullsellen, Erem- und Wendepunke. b) Zeichnen C Sie für < <1,5. c) C schließ mi den Geraden mi den Gleichungen y = und = u (u < 0) eine Fläche ein. Besimmen Sie die Größe dieser Fläche. Übungsaufgabe : Funkionenschar, eponeniell Für jede Zahl is eine Funkion f gegeben durch f ( ) e e Ihr Graph is die Kurve C. a) Unersuchen Sie C auf Nullsellen, Erem- und Wendepunke. b) Zeichnen C Sie für < <1,5. c) C schließ mi den Geraden mi den Gleichungen y = und = u (u < 0) eine Fläche ein. Besimmen Sie die Größe dieser Fläche. Übungsaufgabe : Funkionenschar, eponeniell Für jede Zahl is eine Funkion f gegeben durch f ( ) e e Ihr Graph is die Kurve C. a) Unersuchen Sie C auf Nullsellen, Erem- und Wendepunke. b) Zeichnen C Sie für < <1,5. c) C schließ mi den Geraden mi den Gleichungen y = und = u (u < 0) eine Fläche ein. Besimmen Sie die Größe dieser Fläche.

22 LÖSUNG Übungsaufgabe : Funkionenschar, eponeniell Zu a) Ableiungen: f ( ) e e f ( ) e e f '''( ) 8e e Nullsellen: f ( ) 0 e e 0 z z 0 z ln() Subsiuion: z e Erempunke: Nowendige Bedingung: f ( ) 0 e e 0 e ( e ) 0 e 0, da e 0 für alle. e ln() Hinreichende Bedingung: f ( ) 0 f ( ) 0 ln( ) ln( ) f (ln( ) e e 0 für 0 Erempunk eisier für 0 Für 0 is f ( ) 0 Minimum y Koordinaen: ln( ) ln( ) f (ln( ) e e 0 T(ln() 0) Wendepunke: Nowendige Bedingung: f ( ) 0 e e e ln Hinreichende Bedingung: ''' f ( ) 0 f ( ) 0 ''' f (ln ) 0 y-koordinaen: f ln W ln

23 LÖSUNG Übungsaufgabe : Funkionenschar, eponeniell Zu b) h Zu c) Berechne zunächs Schniselle des Graphen von y = und C : ln() e e Der Flächeninhal der gesuchen Fläche ensprich dem Inegral: u u u u u u e e e e e e d e e 0,5 8 0,5 0,5 0,5 ln() ln()

24 Übungsaufgabe 3: Funkionenschar, eponeniell Zu jedem a 0 is eine Funkion f a gegeben durch fa( ) ae. Ihr Graph is die Kurve C a. a) Unersuchen Sie C a auf Erempunke. Begründen Sie, weshalb nur für posiive Were von a Erempunke eisieren. b) Für welche Scharkurve lieg der Erempunk auf der -Achse? Bei welcher Scharkurve lieg der Erempunk auf der y-achse? c) Alle Erempunke liegen auf einer Geraden. Besimmen Sie die Gleichung dieser Geraden. d) Welche Ursprungsgerade mi der Gleichung h a () = m berühr den Graphen von f a? Berechnen Sie die Berührselle sowie die Geradengleichung. Übungsaufgabe 3: Funkionenschar, eponeniell Zu jedem a 0 is eine Funkion f a gegeben durch fa( ) ae. Ihr Graph is die Kurve C a. a) Unersuchen Sie C a auf Erempunke. Begründen Sie, weshalb nur für posiive Were von a Erempunke eisieren. b) Für welche Scharkurve lieg der Erempunk auf der -Achse? Bei welcher Scharkurve lieg der Erempunk auf der y-achse? c) Alle Erempunke liegen auf einer Geraden. Besimmen Sie die Gleichung dieser Geraden. d) Welche Ursprungsgerade mi der Gleichung h a () = m berühr den Graphen von f a? Berechnen Sie die Berührselle sowie die Geradengleichung. Übungsaufgabe 3: Funkionenschar, eponeniell Zu jedem a 0 is eine Funkion f a gegeben durch fa( ) ae. Ihr Graph is die Kurve C a. a) Unersuchen Sie C a auf Erempunke. Begründen Sie, weshalb nur für posiive Were von a Erempunke eisieren. b) Für welche Scharkurve lieg der Erempunk auf der -Achse? Bei welcher Scharkurve lieg der Erempunk auf der y-achse? c) Alle Erempunke liegen auf einer Geraden. Besimmen Sie die Gleichung dieser Geraden. d) Welche Ursprungsgerade mi der Gleichung h a () = m berühr den Graphen von f a? Berechnen Sie die Berührselle sowie die Geradengleichung.

25 LÖSUNG Übungsaufgabe 3: Funkionenschar, eponeniell Zu a) Ableiungen: f ( ) 1 a e a f ( ) a e a Erempunke Nowendige Bedingung: fa ( ) 0 1 a e 0 e 1 1 ln ln(1) ln( a) a a ln(a) a 0, da Logarihmus nur für posiive Were definier Hinreichende Bedingung: f ( ) 0 a fa ( ) 0 f a (ln( a)) 1 0 Minimum y Koordinae: f a(ln( a)) ln( a) 1 T ln a ln( a) 1 Zu b) Für einen Erempunk auf der Achse gil: y E 0 Also: ln( a) 1 0 ln( ) 1 ln( a ) 1 e a 1 e a e Für 1 a lieg der Erempunk auf der Achse. e Für einen Erempunk auf der y-achse gil: E 0 ln a Also: 0 ln( ) 0 e a e a 1 Für a 1 lieg der Erempunk auf der y Achse. Zu c) Orskurve der Erempunke: ln( a) 1 1 y E Zu d) h a ( ) m is Tangene an C a. Also gil: m f ( ) 1 a e a Weier haben der Graph von h a und Ca einen gemeinsamen Punk den Berührpunk: Also: h ( ) f () a a ( 1 ae ) a e 1 Daraus folg für die Seigung m: 1 m 1 a e und für die Gleichung der Tangene: ( ) (1 ae) h a