Mathematik für Studierende der Informatik und des Ingenieurwesens. Kurzskript

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1 Mthemtik für Studierende der Informtik und des Ingenieurwesens Kurzskript Wintersemester 2007/08 und Sommersemester 2008 Dieter Wolke orientiert n dem Buch von K. Meyberg und P. Vchenuer: Höhere Mthemtik Bd.1, Springer Verlg Als Leitfden knn uch empfohlen werden: Merziger, Wirth: Repertitorium der höheren Mthemtik, Binomi Verlg.

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3 Inhltsverzeichnis 1 Mthemtische Grundbegriffe Mengen und Abbildungen Reelle Zhlen Die Ebene Der Rum Produkte Komplexe Zhlen Funktionen, Grenzwerte, Stetigkeit Grundbegriffe Polynome und rtionle Funktionen Trigonometrische Funktionen Zhlenfolgen und Grenzwerte Rechenregeln für Grenzwerte und Konvergenzkriterien Funktionengrenzwerte, Stetigkeit Differenttion Die Ableitung Anwendungen der Differenttion Umkehrfunktionen Exponentil- und Logrithmusfunktion Integrtion Ds bestimmte Integrl Integrtionsregeln Integrtion rtionler Funktionen Uneigentliche Integrle Kurven, Längen und Flächenmessung Potenzreihen Unendliche Reihen Reihen von Funktionen Potenzreihen Tylor Reihen Fourier Reihen

4 6 Linere Algebr Linere Gleichungssysteme und Mtrizen Mtrizenmultipliktion Vektorräume Elementrmtrizen Determinnten Linere Abbildungen und Eigenwerte Symmetrische Mtrizen Differenttion von Funktionen mehrer Vriblen Kurven im R n Reellwertige Funktionen mehrerer Veränderlicher Anwendungen Vektorwertige Funktionen Integrtion von Funktionen mehrer Vriblen Prmeterintegrle Integrle uf rechteckigen Bereichen Integrle uf Normlbereichen Kurven und Oberflächenintegrle Die Integrlsätze

5 Kpitel 1 Mthemtische Grundbegriffe Ein wesentliches Ziel dieses Kpitels ist es, die wichtigsten Begriffe und Bezeichnungen, die im Weiteren benötigt werden, einzuführen. Vieles ist dbei bereits us der Schule beknnt. Insbesondere soll eine Klrstellung und Vereinheitlichung der Nottion erreicht werden. 1.1 Mengen und Abbildungen Definition Eine Menge ist eine Zusmmenfssung von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschuung oder unseres Denkens zu einem Gnzen. (Georg Cntor, Begründer der Mengenlehre, c. 1875) Bezeichnungen: Objekte der Mengen heißen Elemente. A, ist Element von A, A, ist kein Element von A. Beschreibung einer Menge durch Aufzählen ihrer Elemente. Bsp. M = {1, 2, 3, 4}. Hinweis: Innerhlb der Mengenklmmern soll kein Element mehrfch uftreten. Beschreibung einer Menge X durch Angeben einer definierenden Eigenschft X := {x M; x ht die Eigenschft E}. Dbei ist M eine (umfssende) Grundmenge. Bsp. X = {x ist ntürliche Zhl; x ist durch 3 teilbr} = {3, 6, 9,... }. Die leere Menge enthält kein Element. B heißt Teilmenge von A, wenn jedes Element von B uch ein Element von A ist B A ( b B b A ). 5

6 Seite 6 KAPITEL 1. MATHEMATISCHE GRUNDBEGRIFFE B heißt echte Teilmenge von A, in Zeichen B A, wenn B A, und es ein x A gibt mit x B. Definition Eine Aussge ist ein sinnvolles sprchliches Gebilde, ds entweder whr oder flsch ist. Aussgen knn mn miteinnder verknüpfen. Der Whrheitsgehlt der verknüpften Aussgen wird durch die Whrheitstbellen gegeben. Es gibt: Negtion A, Konjunktion A B, Alterntive A B, Impliktion A B, Äquivlenz A B Existenzquntor A B A A B A B A B A B W W F W W W W W F F W F F F W W F W W F F F F F W W x A : E(x) heißt: es existiert ein x us A mit der Eigenschft E. Generlistions oder Allquntor x A : E(x) heißt: lle x us A hben die Eigenschft E (Mengenopertionen) Seien A, B M zwei Teilmengen von M. Dnn definieren wir folgende Verknüpfungen: Durchschnitt A B := {x M; (x A) (x B)}, Vereinigung A B := {x M; (x A) (x B)}, Differenz A\B := {x M; (x A) (x B)}, Komplement A := {x M; x A}. Hinweis: Während es bei A B, A B, A\B uf die Whl der Grundmenge M nicht nkommt, ist A von M bhängig. Mengen heißen disjunkt, wenn sie kein gemeinsmes Element hben. Die Produktmenge A B zweier Mengen A, B ist definiert durch A B := {(, b); ( A) (b B)}, d.h. sie ist die Menge der geordneten Pre, in denen die erste Komponente us A und die zweite us B stmmt.

7 1.1. MENGEN UND ABBILDUNGEN Seite 7 A B ist eine neue Menge. Zwei Elemente (, b), (c, d) sind gleich, in Zeichen (, b) = (c, d), genu dnn wenn ( = c) (b = d). Anlog definiert mn für mehrere Mengen A i, i = 1,..., n, A 1 A n = {( 1,..., n ); i A i, i = 1,..., n}. ( 1,..., n ) heißt geordnetes n-tupel. Flls A 1 = = A n = A schreibt mn A n sttt A } {{ A } n ml Definition Seien A, B Mengen. Eine Funktion oder Abbildung von A nch B ist eine Teilmenge f der Produktmenge A B derrt, dss zu jedem x A genu ein y B existiert mit (x, y) f. Bezeichnungen: Sttt (x, y) f schreibt mn y = f(x) oder f : A B : x f(x). y = f(x) nennt mn den Funktionswert von f n der Stelle x. A heißt Definitionsbereich von f, in Zeichen D(f) := A. B heißt der Zielbereich von f. Sei C A, dnn ist ds Bild von C unter f definiert durch f(c) := {f(x); x C}. Insbesondere heißt f(a) Wertebereich von f. Eine Funktion f : A B heißt surjektiv f(a) = B (Wertebereich ist die gesmte Menge B), injektiv (x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 )) (verschiedene Argumente hben verschiedene Bilder), bijektiv injektiv und surjektiv. Sei f : A B bijektiv, dnn ist die Umkehrbbildung f 1 definiert ls f 1 := {(f(x), x); x A}. Die identische Abbildung ist gegeben durch id : A A : x x Gleichheit von zwei Abbildungen: Seien f : A B, g : C D zwei Abbildungen. Es gilt: f = g ( (A = C) (B = D) ( x A : f(x) = g(x)) ). Die Restriktion einer Funktion f : A B uf A 0 A ist definiert durch: f A0 := {(x, f(x)); x A 0 }.

8 Seite 8 KAPITEL 1. MATHEMATISCHE GRUNDBEGRIFFE 1.2 Reelle Zhlen Bezeichnungen: N = {1, 2, 3,... } N 0 = N {0} Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } { } Q = n ; Z, n N R ntürliche Zhlen gnze Zhlen rtionle Zhlen reelle Zhlen In Q gelten die beknnten Rechenregeln für Addition und Multipliktion (Körper Axiome), die Regeln für die Ordnungsreltion (s.u.), ber nicht ds Vollständigkeitsxiom Durch eine wohlbegründete, ber komplizierte Konstruktion knn Q zum Körper R der reellen Zhlen erweitert werden. Dbei bleiben die Rechengesetze und die Anordnung erhlten. Hinzu kommt die Vollständigkeit. Definition Dezimldrstellung der reellen Zhlen. Jedes n N besitzt eine eindeutige Drstellung n = k 10 k + k 1 10 k mit k N 0 ; 0,..., k {0, 1,..., 9}; k 0. Kurz: n = k Entsprechend bei nderen Bsen, z.b. 2 sttt 10, Binärsystem ). Jedes α R besitzt eine eindeutige Drstellung α = g + b b mit b 1, b 2, {0, 1,..., 9}, g Z. Kurz: α = g + 0, b 1 b 2... der Fll b k = b k+1 = = 9 b einer Nummer k ist usgeschlossen. 0, b 1... b k (b k 1 9) wird mit 0, b 1... (b k 1 + 1) identifiziert (bzw. 0, 99 = 1 + 0, ). Zur genuen Bedeutung der unendlichen Summe b b s. Kp Genu die rtionlen Zhlen hben eine Dezimldrstellung, die b einer Stelle periodisch wird. Bsp = 0, 0833 = 0, 083, = 0, = 0,

9 1.2. REELLE ZAHLEN Seite 9 Axiom (Ordnungsxiome). Mn knn zwei beliebige reelle Zhlen der Größe nch vergleichen, d.h. es gilt immer eine der drei Möglichkeiten Mn schreibt x < y, x = y, x > y. x y für (x < y) (x = y). Die Ordnungsreltion ist verträglich mit den Opertoren + und. Es gilt x y b = + x b + y x y 0 = x y x y y x (1) (2) 0 < x y 0 < 1 y 1 x. Definition Sei S R. S heißt nch oben beschränkt, wenn es eine Zhl b R gibt, so dss x S : x b. Mn nennt b eine obere Schrnke von S. Anlog definiert mn die Begriffe nch unten beschränkt und untere Schrnke. S heißt beschränkt, flls S eine obere und eine untere Schrnke besitzt. Axiom (Vollständigkeitsxiom). Jede nch oben beschränkte, nichtleere Menge reeller Zhlen besitzt eine kleinste obere Schrnke. Die durch ds Axiom gesicherte kleinste obere Schrnke s einer Menge S ist eindeutig bestimmt und wird Supremum von S (s = sup S) gennnt. sup S knn chrkterisiert werden durch die Eigenschft s ist obere Schrnke von S ε > 0 x S : s ε < x s. Anlog bei Beschränktheit nch unten ds Infimum einer Menge. Hinweis: Auf Q gelten die Körper und Ordnungsxiome, ber nicht ds Vollständigkeitsxiom. R ist die kleinste vollständige Erweiterung von Q.

10 Seite 10 KAPITEL 1. MATHEMATISCHE GRUNDBEGRIFFE Definition Der Betrg einer reellen Zhl R ist definiert durch { flls 0, = flls < 0. Aus der Definition ergeben sich folgende Rechenregeln:, =, b = b, = b b flls b 0, (1) (2) b b b. (3) Aus (1) und (3) folgt die Dreiecksungleichung:, b R gilt: + b + b. (4) Seien, b R. Dnn wird mit b der Abstnd der zu und b gehörigen Punkte uf der Zhlengerden bezeichnet. Also gilt für, x R, ε > 0 : x ε ε x + ε (Intervlle) Seien, b R mit < b. Dnn definiert mn: [, b] := {x R; x b} bgeschlossenes Intervll, (, b) := {x R; < x < b} offenes Intervll. nlog: hlboffene Intervlle (, b], [, b) Es wird bkürzend geschrieben (, ] := {x R; x } (b, ) := {x R, x > b} usw., R = (, ). Hinweis: Die Symbole ± dürfen nicht ls Zhlen verstnden werden. Ds offene Intervll ( ε, + ε) heißt ε Umgebung von (vollständige Induktion) Aussgen oder Eigenschften können von Elementen einer Menge A bhängen, z.b. n A : E(n) (wenn A N). Flls A = {n 0, n 0 +1,... } Z, knn mn die Richtigkeit solcher Aussgen mit vollständiger Induktion beweisen, d.h.

11 1.2. REELLE ZAHLEN Seite 11 1) Induktionsbeginn: Mn zeigt, dss E(n) für n = n 0 gilt. 2) Induktionsschritt: Für beliebiges n n 0 setzt mn die Gültigkeit von E(n) vorus (Induktionsvorussetzung) und leitet drus die Gültigkeit von E(n + 1) her. Dnn gilt E(k) für lle k n 0. Bernoulli Ungleichung (Jcob B., ): h [ 1, ), n N : (1 + h) n 1 + nh (5) Auf der vollständigen Induktion beruht uch ds Verfhren der Definition durch Rekursion. Sei R \ {0}. Die Potenzen n, für n N 0 sind definiert durch: 1. 0 := 1 2. n+1 := n Sei n N 0. Dnn ist Fkultät n! definiert ls: 1. 0! := 1 2. (n + 1)! := (n + 1)n! Summen- und Produktzeichen Seien i R, m n N 0, i = m,..., n. Dnn definieren wir: n i := m + m n i=m n i := m m+1 n i=m Es besteht die Ungleichung: n i i=m n i. (6) i=m Für die endliche geometrische Reihe gilt: n i=0 q i = 1 qn+1 1 q flls q 1. (7) Definition Für gnze Zhlen n, k mit 0 k n ist der Binomilkoeffizient ( ) n k definiert durch ( ) n n! n(n 1) (n k + 1) := =. k k!(n k)! k!

12 Seite 12 KAPITEL 1. MATHEMATISCHE GRUNDBEGRIFFE Eine Permuttion ist eine bijektive Abbildung einer endlichen Menge A uf sich selbst. Lemm Zu jeder Menge mit n Elementen gibt es genu n! Permuttionen. Stz Eine Menge mit n Elementen besitzt ( n k) verschiedene k-elementige Teilmengen (0 k n). Für Binomilkoeffizienten gilt die Rekursionsformel: ( ) ( ) ( ) n + 1 n n = +, (1 k n) (8) k k 1 k und folgende Rechenregeln: ( ) ( ) n n =, k n k ( ) n = 0 ( ) n = 1, n ( ) n = n 1 ( ) n = n. 1 Mit Hilfe von (8) knn mn die Binomilkoeffizienten nur durch Addition berechnen. Mn erhält ds Psclsche Dreieck (Blise P., ): ( 1 0 ( 0) ) ( 1 ( 0 1) ) ( 2 ) ( 2 ( 0 1 2) ) ( 3 ) ( 3 ) ( ).. Stz Binomische Formel Für reelle Zhlen, b und n N 0 besteht die Gleichung n ( ) n ( + b) n = n k b k. k 1.3 Die Ebene Wir hben zwei zweidimensionle Objekte k=0 R 2 und Ebene E = Zeichenebene. Diese beiden Objekte wollen wir in Zusmmenhng bringen. Dzu knn mn ds Krtesische Koordintensystem (René Descrtes, ) benutzen, d.h. Mn gibt den Punkt 0 vor, nimmt eine Zhlengerde, die x-achse, so dss ihr Nullpunkt mit dem Punkt 0 übereinstimmt.

13 1.3. DIE EBENE Seite 13 Nun dreht mn die x-achse gegen den Uhrzeigersinn um 90 o und erhält die y-achse. Für einen beliebigen Punkt P 0 E fällt mn ds Lot uf die x- und die y-achse und erhält die x-koordinte x 0 und die y-koordinte y 0 von P 0. Mn schreibt P 0 = (x 0, y 0 ). Der Punkt 0 = (0, 0) heißt Ursprung oder Nullpunkt. Durch dieses Vorgehen hben wir eine bijektive Zuordnung von Punkten P E und Zhlenpren (x, y) R 2 erhlten. Mn knn lso Teilmengen im R 2 ls Punktmengen in E vernschulichen und Gebiete in E mit Hilfe von Gleichungen beschreiben. Sei I R und f : I R eine Funktion. Die Menge heißt Grph der Funktion f. G f := {(x, y); x I, y = f(x)} Sei C E eine Kurve in E, versehen mit einem Krtesischen Koordintensystem. Sei X = (x, y) ein Punkt uf der Kurve C. Flls mn genu für die Punkte uf C eine Abhängigkeit F (x, y) = 0 ufstellen knn, d.h. C = {(x, y); F (x, y) = 0}, dnn heißt F (x, y) = 0 die Gleichung der Kurve C und C heißt die Lösungsmenge der Gleichung F (x, y) = 0. Bsp.: x 2 + y 2 R 2 = 0, Gleichung für den Kreis vom Rdius R > 0 mit dem Ursprung ls Mittelpunkt (Winkel) Ein Winkel α ensteht durch Drehung eines Zeigers um einen Punkt der Ebene. Die Länge des zugehörigen Einheitskreisbogens sei l. Wir nennen l ds Bogenmß von α, wenn die Drehung in positiver Richtung (gegen Uhrzeigersinn) erfolgte. Flls die Drehung im Urzeigersinn erfolgte, ist l ds Bogenmß. Ein Winkel α hbe ds Grdmß (α). Ds Bogenmß l des Winkels α errechnet sich durch: l = π 180 (α) Im Weiteren werden wir immer mit dem Bogenmß rbeiten (Sinus, Cosinus) Auf dem Einheitskreis drehe mn einen Zeiger der Länge 1 um den Winkel α. Ddurch zeigt der Zeiger uf den Punkt P. Die Koordinten von P werden mit cos α und sin α bezeichnet. D der Winkel α R beliebig ist, erhlten wir die Funktionen: cos : R [ 1, 1] : α cos α Cosinusfunktion,

14 Seite 14 KAPITEL 1. MATHEMATISCHE GRUNDBEGRIFFE sin : R [ 1, 1] : α sin α Sinusfunktion. Der Zeiger hbe nun die Länge r > 0. Nch einer Drehung um den Winkel α zeigt er uf den Punkt Q = (, b). Dieser ht die Koordinten = r cos α, b = r sin α. (1) Diese Gleichungen knn mn uch schreiben ls cos α = r, sin α = b r. (2) Es liege ein Dreieck vor mit den Seiten, b, c. α sei der von b und c eingeschlossene Winkel, ebenso β von c und, γ von und b (Cosinusstz) Es gilt: (Sinusstz) Es gilt: 2 = b 2 + c 2 2bc cos α. sin α = sin β b = sin γ c Drehung des Koordintensystems: Sei (x, y) ein Krtesisches Koordintensystem. Ds Koordintensystem (x, y ) entstehe us (x, y) durch Drehung um den Ursprung um den Winkel α. Stz Ht ein Punkt X E im ursprünglichen System die Koordinten (x 0, y 0 ) und im gedrehten System die Koordinten (x 0, y 0) so gelten die Trnsformtionsformeln:. x 0 = x 0 cos α y 0 sin α, y 0 = x 0 sin α + y 0 cos α, x 0 = x 0 cos α + y 0 sin α, y 0 = x 0 sin α + y 0 cos α. (3) (4) Stz Sei d : E E : (x, y) (x, y ) eine Drehung der Ebene um den Winkel α um den Ursprung. Dnn gilt: x = x cos α y sin α, y = x sin α + y cos α.

15 1.4. DER RAUM Seite Der Rum Ähnlich wie im Abschnitt 1.3 knn mn den R 3 und den Anschuungsrum R miteinnder identifizieren. Ein Krtesisches Koordintensystem im Rum besteht us drei sich in einem Punkt 0 rechtwinklig schneidenden Zhlengerden, die ein Rechtssystem bilden. Mn nennt sie die x-,y-, z-achsen. ( Rechtssystem bedeutet: In der xy Ebene entsteht die y Achse durch Drehung der x Achse um 90 entgegen dem Uhrzeigersinn. Ebenso bei der (x, z) und der (y, z) Ebene). Die Koordintenebenen sind die durch zwei Achsen ufgespnnten Ebenen. Mn nennt sie uch die (x, y)-, (x, z)- und (y, z)-ebenen (Vektoren) Seien P, Q Punkte im Rum R. Es gibt genu eine Prllelverschiebung des Rumes, die P uf Q bbildet.diese wird mit P Q bezeichnet und heißt Vektor von P nch Q. Unter P Q wird z.b. der Punkt S uf T bgebildet, d.h. P Q = ST. Also stellen zwei gleichlnge, gleichgerichtete Pfeile denselben Vektor dr. Mn schreibt oft kürzer = P Q. Die Prllelverschiebung, die lle Punkte fest läßt, d.h. durch P P beschrieben ist, heißt 0 = P P = Nullvektor. Definition Seien = P Q und b = QR Vektoren. Die zu P Q umgekehrte Prllelverschiebung QP bezeichnen wir mit. Die Prllelverschiebung, die durch ncheinnder Ausführen von P Q und QR entsteht, bezeichen wir mit + b und nennen sie Summe der Vektoren und b. Es gelten folgende Rechenregeln: + 0 =, + ( ) = 0, + b = b +, + ( b + c) = ( + b) + c. (1) Die Differenz zweier Vektoren wird erklärt durch: b := + ( b ) (2) Definition Die Länge bzw. die Norm eines Vektors = P Q ist die Länge der Strecke P Q. Mn schreibt dfür bzw..

16 Seite 16 KAPITEL 1. MATHEMATISCHE GRUNDBEGRIFFE Für den Nullvektor 0 := P P setzen wir 0 := 0. Definition Sei α R + 0 := {x R, x 0} und ein Vektor. Dnn bezeichnet mn mit α denjenigen Vektor, der dieselbe Richtung wie ht, ber die α fche Länge. Mn nennt α ds α-fche sklre Vielfche von. Sei α < 0, dnn setzen wir α := ( α ) Für lle Vektoren, b und lle α, β R gelten folgende Rechenregeln: α (β ) = (α β) α ( + b) = α + α b (α + β) = α + β (3) α α = α + b + b (4) Ein Vektor mit Norm 1 heißt Einheitsvektor. Sei 0 ein Vektor, dnn ist ein Einheitsvektor. 0 = Definition Der Rum sei mit einem krtesischen Koordintensystem versehen. Die drei Einheitsvektoren in positiver x-, y- und z-richtung werden mit e 1, e 2 und e 3 bezeichnet. Wir nennen ( e 1, e 2, e 3 ) eine krtesische Bsis. Sei A = ( 1, 2, 3 ) ein Punkt im Rum. Der Vektor = OA heißt Ortsvektor des Punktes A. ist eindeutig zerlegbr ls Summe: = 1 e e e 3. Mn nennt i, i = 1, 2, 3, die Koordinten des Vektors und i e i, i = 1, 2, 3, die Komponenten von in Richtung e i. Für ein festes krtesisches Koordintensystem schreibt mn bkürzend: = 1 2 = ( 1, 2, 3 ) = OA = 1 e e e 3 (5) 3 flls A = ( 1, 2, 3 ).

17 1.5. PRODUKTE Seite 17 Im llgemeinen Fll = P Q mit P = (p 1, p 2, p 3 ) und Q = (q 1, q 2, q 3 ) hben wir die Koordintendrstellung = P Q = q 1 p 1 q 2 p 2. (6) q 3 p 3 Aus (5), (6) erhält mn die Koordintendrstellung für Summen und sklre Vielfche. Sei = 3 i=1 i e i, b = 3 i=1 b i e i und α R, dnn gilt: + 3 b = ( i + b i ) e i, α = i=1 3 (α i ) e i. i=1 Aus (5) und dem Stz des Pythgors ergibt sich für = 3 i=1 i e i : = (8) (7) 1.5 Produkte (Winkel zwischen Vektoren) Seien, b von 0 verschiedene Vektoren und sei P ein beliebiger Punkt in Rum, n dem mn beide Vektoren bträgt. Dnn ist der kleinere der positiv gemessenen Winkel, den die Pfeile und b im Scheitel P bilden, der Winkel zwischen und b. Mn schreibt (, b). Der so definierte Winkel ht die folgenden Eigenschften: 0 (, b) π, (, b) = ( b, ), (, t ) = 0 flls t > 0, (, t ) = π flls t < 0, (, b) = π (, b). (1) Definition Mn nennt orthogonl zu b, wenn (, b) = π 2, und schreibt b. Es besteht die folgende Konvention: Für lle Vektoren gilt 0. und b heißen prllel, wenn, b 0 und b = t mit einem t R. Definition Ds Sklrprodukt b zweier Vektoren und b ist definiert durch { b := b cos (, b) flls 0 b 0, 0 flls = 0 b = 0.

18 Seite 18 KAPITEL 1. MATHEMATISCHE GRUNDBEGRIFFE Es bestehen die Gleichungen wobei ds Kronecker Symbol δ ij definiert ist ls { 0 flls i j, δ ij := 1 flls i = j. (Leopold Kronecker, ) Sei = 3 i=1 i e i, dnn gilt: und demzufolge e i e j = δ ij i, j = 1, 2, 3, (2) i = cos (, e i ) = e i, = 3 ( e i ) e i. (3) i=1 Es gelten folgende Rechenregeln: ) b = b, b) (α ) b = (α b) = α( b), c) ( + b) c = c + b c, (4) d) b = 0 b, e) =. Aus (4) b) & c) folgt: (α 1 u α n u n ) (β 1 v β m v m ) = α 1 β 1 u 1 v α n β m u n v m n m = α i β j u i v j. i=1 j=1 Aus (5), (2) und den Koordintendrstellungen = b = 3 i=1 b i e i erhält mn: b = = 3 i b i, i= (5) 3 i=1 i e i, (6)

19 1.5. PRODUKTE Seite 19 cos (, b b) = b i cos (, e i ) = flls, b 0, (7) flls 0. (8) Stz Sei b 0 und ein beliebiger Vektor. Dnn besitzt eine orthogonle Zerlegung längs b, die gegeben ist durch wobei = n + b, (9) b b := b, b 2 n := b. Hierbei zeigt b in Richtung b und n steht senkrecht uf b. b heißt Projektion von uf b (Vektorprodukt) Seien, b zwei Vektoren. Ds Vektorprodukt b ist der Vektor mit den Eigenschften: 1) b := 0 flls = 0 oder b = 0 oder prllel zu b ist, 2) sonst ist b derjenige Vektor, ) der senkrecht uf und b steht, b) mit dem (, b, b) ein Rechtssystem bildet, c) dessen Betrg gleich dem Flächeninhlt des von, b ufgespnnten Prllelogrmms ist. Für die krtesischen Bsisvektoren gilt: Es gelten folgende Rechenregeln: e 1 e 1 = e 2 e 2 = e 3 e 3 = 0, e 1 e 2 = e 3 = ( e 2 e 1 ), e 2 e 3 = e 1 = ( e 3 e 2 ), e 3 e 1 = e 2 = ( e 1 e 3 ). = 0, b = ( b ), α ( b ) = (α ) b = (α b ) ( b + c ) = ( b ) + ( c ), (α R), (10) (11) (12) (13) ( + b) c = ( c ) + ( b c ), b 2 = 2 b 2 ( b ) 2. (14)

20 Seite 20 KAPITEL 1. MATHEMATISCHE GRUNDBEGRIFFE Aus (13) und (14) folgt: 1 2 b 1 b 2 = 2b 3 3 b 2 3 b 1 1 b 3. (15) 3 b 3 1 b 2 2 b 1 (15) impliziert: ( b c ) = ( c ) b ( b ) c. (16) Aus (16), (9) und (10) folgt, dss die zu b orthogonle Komponente gegeben ist durch: n = 1 b 2 b ( b ). (17) Definition Seien, b und c Vektoren. Ds Sptprodukt dieser Vektoren ist definiert durch: [, b, c ] := ( b c ). Stz Der von den Vektoren, b und c ufgespnnte Prllelepid (Spt) ht ds Volumen V = [, b, c ]. Seien = 3 i=1 i e i, b = 3 i=1 b i e i und c = 3 i=1 c i e i. Dnn folgt us (15) und (6) [, b, c ] = 1 (b 2 c 3 b 3 c 2 ) + 2 (b 3 c 1 b 1 c 3 ) + 3 (b 1 c 2 b 2 c 1 ) = det(, b, c ). (siehe Kpitel 6) (18) 1.6 Komplexe Zhlen Bisher hben wir Punkte z der Ebene, die mit einem krtesischen Koordintensystem versehen ist, ls Zhlenpre z = (x, y) R 2 ufgefsst. Jetzt schreiben wir den Punkt z = (x, y) ls z := x + i y (1) und nennen dies eine komplexe Zhl mit Relteil Re z := x und Imginärteil Im z := y. Die x-achse heisst reelle Achse und die y-achse imginäre Achse. Die Menge der komplexen Zhlen wird mit C := {x + i y; x, y R} (2) bezeichnet. Für zwei komplexe Zhlen z = x + iy, w = u + iv mit x, y, u, v R gilt: z = w (x = u) (y = v). (3) (Grundrechenrten in C) Seien z = x + iy, w = u + iv mit x, y, u, v R zwei komplexe Zhlen.

21 1.6. KOMPLEXE ZAHLEN Seite 21 Die Summe und die Differenz von z, w ist definiert ls: z + w := (x + u) + i (y + v), z w := (x u) + i (y v). (4) Die Zhl ix geht us x durch Drehung um π/2 hervor. Die Multipliktion verllgemeinert dies. Wir definieren: Insbesondere gilt lso: Die Potenzen z n sind rekursiv definiert durch: Sei w 0. Dnn ist die Division definiert ls: z w := (xu yv) + i (xv + yu). (5) i 2 = 1. (6) z 0 := 1, z n := zz n 1, n N. (7) z w = x + iy u + iv := xu + yv u 2 + v 2 yu xv + i u 2 + v. (8) 2 C, versehen mit der Addition und Multipliktion, erfüllt die Körperxiome. Fsst mn die reellen Zhlen x ls spezielle komplexe Zhlen x + i 0 uf, dnn erweist sich C ls Erweiterungskörper von R. Wrnung: Die Anordnung < knn nicht uf C fortgesetzt werden. In C gelten Ungleichungen nur in Bezug uf den Betrg (s.u.) Definition Sei z = x + iy. Die zu z konjugierte komplexe Zhl z ist definiert durch: z := x i y. Wir hben folgende Rechenregeln für z, w C: z + w = z + w, zw = z w, ( z w ) = z w, flls w 0, (9) z = z, Re z = 1 (z + z), (10) 2 Im z = 1 (z z). 2i

22 Seite 22 KAPITEL 1. MATHEMATISCHE GRUNDBEGRIFFE Der Betrg z von z = x + iy ist definiert ls: Es gelten die Rechenregeln: z := x 2 + y 2. (11) z = zz, zw = z w, z = z w w, flls w 0, z = z. (12) Die Dreiecksungleichung z + w z + w (13) knn durch Induktion uf n Summnden verllgemeinert werden n z j j=1 n z j. (14) Zur Drstellung komplexer Zhlen mittels Polrkoordinten s (Qudrtische Gleichungen) Die Gleichung x = 0 ht in R keine Lösung. Allerdings sind x 1,2 = ±i Lösungen in C. Allgemeiner sei j=1 x 2 + bx + c = 0, mit, b, c R, 0 eine qudrtische Gleichung. Dnn sind die Lösungen gegeben durch: x 1,2 = b 2 ± 1 b2 4c, (15) 2 wobei d := b 2 4c die Diskriminnte gennnt wird. Im Flle d < 0 setzen wir d := i d.

23 Kpitel 2 Funktionen, Grenzwerte, Stetigkeit In diesem Kpitel werden grundlegende Begriffe wie Funktionen und Grenzwerte eingeführt. Unter nderem werden Stndrdbeispiele für Funktionen, wie Polynome, Kreisfunktionen und die Exponentilfunktion, diskutiert. Der Grenzwertbegriff wird n Hnd von Zhlenfolgen und Funktionen genuer betrchtet. 2.1 Grundbegriffe In Definition (1.1.4) im Kpitel 1 wurden Funktionen für llgemeine Mengen definiert. Nun betrchten wir den Spezilfll einer reellen Funktion einer Veränderlichen Beispiele: 1. Eine linere Funktion ist gegeben durch mit dem Definitionsbereich D(f) = R. f : D R R : x f(x). (1) f(x) = x + b 2. Eine qudrtische Funktion ist definiert ls f(x) = x 2 + bx + c, wobei 0 und der Definitionsbereich D(f) = R ist. 3. Die Wurzelfunktion ist gegeben durch f(x) = x mit dem Definitionsbereich D(f) = R + 0 = {x R, x 0}. Für x > 0 ist ls x immer die positive Qudrtwurzel zu nehmen. Definition Sei D R symmetrisch zum Nullpunkt, d.h. x D x D. Eine Funktion f : D R heißt gerde (bzw. ungerde) wenn f( x) = f(x) (bzw. f( x) = f(x) ) für lle x D gilt. 23

24 Seite 24 KAPITEL 2. FUNKTIONEN, GRENZWERTE, STETIGKEIT Definition Mn nennt eine Funktion f : D R ) monoton fllend (bzw. monoton wchsend), wenn für lle x 1, x 2 D mit x 1 < x 2 die Ungleichung f(x 1 ) f(x 2 ) (bzw. f(x 1 ) f(x 2 ) ) gilt. b) strikt oder streng monoton fllend (bzw. strikt oder streng monoton wchsend), wenn für lle x 1 < x 2 D die Ungleichung f(x 1 ) > f(x 2 ) (bzw. f(x 1 ) < f(x 2 ) ) besteht (Rechnen mit Funktionen) Seien f, g : D R zwei Funktionen. Dnn definiert mn die Summe, die Differenz, ds Produkt und den Quotienten dieser Funktionen durch: (f ± g)(x) := f(x) ± g(x) (f g)(x) := f(x) g(x) ( ) f (x) := f(x), flls g(x) 0 g g(x) (2) d.h. die Opertionen werden punktweise usgeführt. Zu Funktionen f : I R, g : D R mit g(d) I knn mn die Komposition f g : D R bilden. Sie ist definiert durch: (f g)(x) := f(g(x)). (3) 2.2 Polynome und rtionle Funktionen Definition Eine Funktion f : R R heißt Polynom vom Grd n, wenn es Zhlen 0,..., n R gibt mit n 0, so dss f(x) = x + + n x n = n j x j. (1) j=0 Die j heißen Koeffizienten des Polynoms, n wird ls Leitkoeffizient bezeichnet. Ds Nullpolynom f(x) = 0 (d.h. j = 0 j) erhält keinen Grd, wird ber z.b. bei der Sprechweise ein Polynom von Grd n mit eingeschlossen. Stz Zwei Polynome sind genu dnn gleich, wenn ihre Koeffizienten prweise übereinstimmen, d.h. n j x j = j=1 n b j x j j = b j, j = 1,..., n. j=1

25 2.2. POLYNOME UND RATIONALE FUNKTIONEN Seite (Horner Schem) Sei x 0 ein spezieller Wert. Um den Funktionswert f(x 0 ) in Drstellung (1) zu berechnen, brucht mn 2n 1 Multipliktionen und n Additionen. Es gibt ndere Drstellungen ls (1), z. B. die Horner Drstellung: f(x) = (( (( n x + n 1 )x + n 2 )x )x + 0. (2) Hier beträgt der Aufwnd n Multipliktionen und n Additionen (Willim George Horner, ). Stz Sei f(x) = n j=0 c n b + n 1 bis c 0 := c 1 b + 0 gilt j x j, n 0 und b R. Für die Zhlen c n := n, c n 1 := f(b) = c 0 n f(x) = (x b) c j x j 1 + c 0, j=1 (3) d.h. ds Horner Schem enthält die Division von f(x) f(b) durch x b. Definition Als Nullstelle einer Funktion f : D R bezeichnet mn jedes x D mit f(x) = 0. Für Polynome erhält mn us (3): f(b) = 0 f(x) = (x b)h(x), d.h. f(x) enthält den Linerfktor (x b). Nun knn h(b) wiederum 0 sein. In diesem Fll gibt es ein Polynom h 1 mit h(b) = (x b)h 1 (x). Dmit gilt: f(x) = (x b) 2 h 1 (x). Definition Mn nennt b R eine k-fche Nullstelle von f und mn nennt k die Vielfchheit von b, wenn gilt: Stz f(x) = (x b) k g(x) und g(b) 0. (4) ) Sei f(x) = n j=0 jx j ein Polynom vom Grd größer gleich eins. Sind b 1,..., b r lle (verschiedenen) reellen Nullstellen von f mit der jeweiligen Vielfchheit l 1,..., l r, dnn gilt f(x) = r (x b j ) l j q(x) (5) mit einem Polynom q(x) vom Grd n r l j, ds in R keine Nullstellen ht. j=1 j=1

26 Seite 26 KAPITEL 2. FUNKTIONEN, GRENZWERTE, STETIGKEIT b) Jedes Polynom vom Grd n mit n 1 ht höchstens n Nullstellen (Komplexe Polynome) Betrchten wir komplexe Polynome: f(z) = n j z j, j C. (6) j=0 Alle Opertionen, wie Addition, Subtrktion, Multipliktion, Division, die für reelle Polynome definiert sind, werden nlog für komplexe Polynome definiert. Der Grund für die Einführung der komplexen Zhlen wr ds Polynom x 2 +1, welches in R keine Nullstelle ht. Die Gleichung x = 0 ht ber in C die Lösungen ±i. Stz (Fundmentlstz der Algebr), (Crl Friedrich Guß, , 1801). Zu jedem Polynom der Form (6), mit n 1 und n 0, gibt es eine Zhl w C mit f(w) = 0. Stz Jedes komplexe Polynom der Form (6) mit n 1, n 0 besitzt eine Fktorisierung über C der Form f(z) = n (z w 1 ) l1 (z w k ) l k (7) mit verschiedenen Nullstellen w j C der Vielfchkeit l j mit k l j = n. j=1 Jedes reelle Polynom knn ls komplexes Polynom ufgefsst werden, d R C. Lemm Sei w C eine Nullstelle eines Polynoms f mit reellen Koeffizienten. Dnn ist uch w eine Nullstelle von f. Stz Jedes reelle Poynom f(x) = Fktorisierung über R n j=0 j x j, n 1, j R, n 0, besitzt die f(x) = n (x b 1 ) l1 (x b r ) lr (x 2 + c 1 x + d 1 ) k1 (x 2 + c s x + d s ) ks, mit reellen Nullstellen b j R der Vielfchkeit l j und qudrtischen Polynomen x 2 +c j x+ d j, die keine reelle Nullstelle hben. Stz Die rtionlen Nullstellen eines Polynoms f(x) = n j x j j=0, j Z findet mn unter den Brüchen b (, b Z), in denen ein Teiler von 0 und b ein Teiler von n ist.

27 2.2. POLYNOME UND RATIONALE FUNKTIONEN Seite 27 Stz Zu (n+1) beliebigen Stützpunkten (x i, y i ), i = 0,..., n, mit x i x j für i j, gibt es genu ein Polynom p n mit Grd kleiner gleich n, so dss p n (x i ) = y i, i = 0,..., n. Newton Interpoltionsverfhren (Isc N., ) Mn suche ds Polynom p n us Stz in der Form p n (x) = α 0 + α 1 (x x 0 ) + α 2 (x x 0 )(x x 1 ) α n (x x 0 )(x x 1 ) (x x n 1 ) Die Bedingung p n (x i ) = y i, i = 0,..., n, liefert ds Gleichungssystem: y 0 = α 0 y 1 = α 0 + α 1 (x 1 x 0 ). y n = α 0 + α 1 (x n x 0 ) + + α n (x n x 0 ) (x n x n 1 ) Dieses knn schrittweise von oben nch unten mit der Methode der dividierten Differenzen gelöst werden: (8) x 0 y 0 y 0,1 x 1 y 1 y 1,2 x 2 y y n 1,n x n y n y 0,1,2 y n 2,n 1,n... y 0,1,...,n Hierbei ist y 0,1 = y 1 y 0 x 1 x 0, y 1,2 = y 2 y 1 x 2 x 1,... y 0,1,2 = y 1,2 y 0,1 x 2 x 0, y 1,2,3 = y 2,3 y 1,2 x 3 x 1,.... Mn knn nchrechnen, dss. α i = y 0,1,...,i, d.h. die gesuchten Koeffizienten stehen in der oberen Schrägzeile. Definition Der Quotient zweier Polynome heißt rtionle Funktion. f(x) = p(x) q(x) = n i=0 ix i m j=0 b jx j, n 0, b m 0,

28 Seite 28 KAPITEL 2. FUNKTIONEN, GRENZWERTE, STETIGKEIT mit Zählergrd Nennergrd lässt sich drstel- Stz Jede rtionle Funktion p(x) q(x) len ls p(x) q(x) = h(x) + r(x) q(x) mit einem Polynom h und einem Restpolynom r wobei entweder r = 0 oder Grd r < Grd q. Definition Seien p, d Polynome. Mn nennt d eine Teiler von p, wenn es ein Polynom p 0 gibt, so dss p(x) = d(x)p 0 (x). Lemm Sei p q eine rtionle Funktion und sei Grd p Grd q. Sei ferner p q = h + r q, wobei Grd r < Grd q. Es ist d genu dnn ein gemeinsmer Teiler von p und q, wenn d gemeinsmer Teiler von q und r ist. Sei f(x) = p(x) eine rtionle Funktion, wobei p und q teilerfrei sind. Dnn hben q(x) p(x) und q(x) keine gemeinsmen Nullstellen und der mximle Definitionsbereich der rtionlen Funktion f ist gegeben durch Sei b R eine l-fche Nullstelle von q(x), d.h. (9) D(f) = {x R : q(x) 0}. (10) q(x) = (x b) l q 1 (x), mit q 1 (b) 0. Dnn nennt mn b einen l-fchen Pol von f. 2.3 Trigonometrische Funktionen In Prgrph 1.3 Punkt hben wir die Sinus- und die Cosinusfunktion definiert. Aus der Definition erhält mn sofort folgende Eigenschften: 1 cos x 1, cos( x) = cos x (gerde Funktion), cos(x + 2kπ) = cos x (2π-periodisch), 1 sin x 1, sin( x) = sin x (ungerde Funktion), sin(x + 2kπ) = sin x (2π-periodisch), cos x = 0 x = ± 1π, ± 3π, ± 5π,..., sin x = 0 x = 0, ±π, ±2π,.... (1) (2) (3)

29 2.3. TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN Seite 29 Stz (Additionstheorem) Für lle x, y R gilt: cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y, sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y. (4) Der Spezilfll y = π 2, bzw. y = π 2 impliziert: sin ( ) x + π 2 = cos x, cos ( ) (5) x π 2 = sin x, verschiebt, erhält mn die Cosinus- d.h. wenn mn die Sinuskurve nch links um π 2 kurve. In Formelsmmlungen gibt es zhlreiche Identitäten, die sich m einfchsten us der Euler Formel (2.3.3) herleiten lssen. Hier einige Beispiele: cos(x y) = cos x cos y + sin x sin y, sin(x y) = sin x cos y cos x sin y, (6) Achtung: sin 2 x := (sin(x)) 2 sin x + sin y = 2 sin x+y cos x y, 2 2 cos x + cos y = 2 cos x+y cos x y, (7) 2 2 cos(2x) = cos 2 x sin 2 x = 2 cos 2 x 1, sin 2x = 2 sin x cos x, 1 + cos x = 2 cos 2 x 2, 1 cos x = 2 sin 2 x 2, (9) Definition Die Tngens- und Cotngensfunktionen sind definiert durch tn x := sin x cos x mit x (2k + 1) π, k Z, 2 cos x := cos x sin x mit x kπ, k Z. Wir erhlten sofort folgende Eigenschften: (8) tn( x) = tn x, cos( x) = cos x, (ungerde Funktion), (ungerde Funktion), (10) tn(x + π) = tn x, cos(x + π) = cos x, tn(x + y) = (π-periodisch), (π-periodisch), (11) tn x + tn y 1 tn x tn y, für erlubte x, y. (12)

30 Seite 30 KAPITEL 2. FUNKTIONEN, GRENZWERTE, STETIGKEIT Polrdrstellung komplexer Zhlen Die Menge der komplexen Zhlen ist C = {z = x + iy ; x, y R}. Mn knn jede komplexe Zhl z 0 uch ls Zeiger uffssen und deshlb ist z eindeutig bestimmt durch den Winkel ϕ und den Betrg z. Mn nennt ϕ ds Argument von z, ϕ =: rg z. Flls π < ϕ π, heißt ϕ Hupwert von rg z Wir hben zwei Möglichkeiten, eine komplexe Zhl nzugeben: z = x + iy mit x = Re z, y = Im z, oder durch Angbe des Betrges r = z und des Arguments ϕ = rg z. Aber wir wissen, dss x = r cos ϕ, y = r sin ϕ und somit erhlten wir z = r(cos ϕ + i sin ϕ). (13) Diese Form der Drstellung von z heißt Polrdrstellung. Die Exponentilfunktion e z knn für z C durch die Potenzreihe definiert werden. Es zeigt sich e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ, ϕ R. (14) e x+iy = e x (cos y + i sin y), x, y R (Eulersche Formel, Leonhrd E., ). Die Exponentilfunktion genügt uf C der Multipliktionsformel Umrechnungen e z 1+z 2 = e z1 e z 2. 1) Sei z C, mit z 0, gegeben in der Form: z = x + iy, x, y R. Dnn setzen wir r = x 2 + y 2, rccos x flls y 0, r ϕ = rccos x flls y < 0. r (s.3.3.4) Wir erhlten die Polrdrstellung z = re iϕ. 2) Sei z C in der Polrdrstellung z = re iϕ gegeben. Dnn setzen wir x = r cos ϕ, y = r sin ϕ und erhlten die Drstellung z = x + iy. Stz (Abrhm de Moivre, ). Für lle ϕ, ψ R gilt,

31 2.3. TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN Seite 31 ) e iϕ e iψ = e i(ψ+ϕ), b) (e iϕ ) n = e inϕ, n N, c) e iϕ = e iϕ = 1 e iϕ. Die Multipliktion und Division komplexer Zhlen lässt sich besonders einfch in der Polrdrstellung berechnen. Sei z = z e iϕ und w = w e iψ, dnn gilt: z w = z w e i(ϕ+ψ), z = z w w ei(ϕ ψ), flls w 0. (15) Definition Eine Funktion f : R R heißt periodisch mit einer Periode 2l, wenn f(x + 2l) = f(x) x R. Definition Als Schwingung, bezeichnet mn einen Vorgng, der durch eine periodische Funktion eines Zeitprmeters t R beschrieben wird. Eine durch s(t) = A cos(ωt + α), t R mit festem A, ω, α R drgestellte Schwingung heißt hrmonisch. A heißt Amplitude, ωt + α die Phse, α die Nullphse und ω die Kreisfrequenz. Die Periode beträgt T = 2π ω und die Frequenz ν = 1 T = ω 2π. Die Überlgerung s(t) zweier Schwingungen s 1 (t), s 2 (t) ist punktweise definiert, d.h. die Auslenkungen ddieren sich s(t) : = s 1 (t) + s 2 (t). Die Überlgerung s(t) ist im Allgemeinen nicht mehr periodisch. Die Behndlung von hrmonischen Schwingungen s(t) vereinfcht sich, wenn mn komplexe Schwingungen z(t) einführt. Sei dnn definiert mn s(t) = A cos(ωt + α), z(t) : = A cos(ωt + α) + ia sin(ωt + α) = Ae i(ωt+α) = e iωt. (16) Hierbei ist gegeben durch := Ae iα und heißt komplexe Amplitude.

32 Seite 32 KAPITEL 2. FUNKTIONEN, GRENZWERTE, STETIGKEIT Stz Besitzen zwei hrmonische Schwingungen die gleiche Kreisfrequenz, d.h. s 1 (t) = A 1 cos(ωt + α 1 ), s 2 (t) = A 2 cos(ωt + α 2 ), so ist ihre Überlgerung (Superposition) s(t) wieder eine hrmonische Schwingung, die gegeben ist durch s(t) := s 1 (t) + s 2 (t) = A cos(ωt + α) mit A = u 2 + v 2, cos α = u A, sin α = v A, wobei u := A 1 cos α 1 + A 2 cos α 2, v := A 1 sin α 1 + A 2 sin α 2. Es gilt folgende Formel: sin δ + sin 2δ + + sin nδ = sin n+1 2 δ sin n 2 δ sin δ 2 (17) Auf Grund der Drstellungen ω 1 = ω 1+ω 2 + ω 1 ω 2 und ω = ω 1+ω 2 ω 2 ω 1 läßt sich 2 2 die Überlgerung zweier komplexer Schwingungen immer ls Produkt ( 1 e iω1t + 2 e iω2t = 1 e i ω 1 ω 2 2 t + 2 e i ω 2 ω 1 t 2 ) e i ω 1+ω 2 t 2 drstellen. Mn sgt dzu modulierte Schwingung mit modulierter Amplitude. Im Allgemeinen ist eine modulierte Schwingung nicht periodisch. Ist der Quotient ω 1 ω 2 = n 1 n 2 jedoch eine rtionle Zhl, so ist die modulierte Schwingung periodisch. In diesem Fll besitzen die Schwingungen z 1 (t) = 1 e iω1t und z 2 (t) = 2 e iω2t die gemeinsme Periode T := 2πn 1 ω 1 = 2πn 2 ω 2, d.h. z 1 (t) + z 2 (t) ist periodisch, ber nicht notwendig hrmonisch. (18) 2.4 Zhlenfolgen und Grenzwerte Einer der wichtigsten Begriffe der Anlysis ist der des Grenzwerts. Wir fngen unsere Untersuchungen mit Folgen n und übertrgen die Ergebnisse dnn uf Funktionen. Definition Unter einer Folge reeller Zhlen versteht mn eine uf N 0 oder N erklärte Funktion, ds heißt jedem n N 0 ist ein n R zugeordnet. Mn schreibt Die Zhlen n heißen Glieder der Folge. ( n ) n N0 ; ( n ) n 0 ; 0, 1, 2,

33 2.4. ZAHLENFOLGEN UND GRENZWERTE Seite 33 Beispiele: 1) n = c konstnte Folge c, c, 2) n = n Folge der ntürlichen Zhlen 1, 2, 3, 3) n = 0 + nd rithmetische Folge 0, 0 + d, 0 + 2d, 4) n = 0 q n geometrische Folge 0, 0 q, 0 q 2, 5) 0 = 1, n+1 = (n + 1) n rekursiv definierte Folge Definition Eine Folge heißt beschränkt, wenn es Konstnten K 1, K 2 gibt, so dss K 1 n K 2 für lle n N 0. Im obigen Beispiel sind die Folgen in 1) und 4) für q 1 beschränkt. Die Folgen in 2), 3) für d 0, 4) für q > 1 und 5) sind unbeschränkt. Definition Mn sgt, die Folge ( n ) n 0 konvergiert gegen den Grenzwert R und schreibt lim n = oder n, n wenn es zu jeder beliebig kleinen Schrnke ε > 0 einen Index n 0 N 0 gibt, so dss gilt: n < ε n n 0, d.h. lle Glieder b einem bestimmten Index (dieser hängt im llgemeinen von ε b!) liegen in einer ε-umgebung von. Flls der Grenzwert existiert, heißt die Folge konvergent, nsonsten divergent. Flls = 0, heißt die Folge Nullfolge. Die Aussge n ist gleichbedeutend dmit, dss die Folge b n = n Nullfolge ist. Stz Für jede konvergente Folge ( n ) n 0 gilt: 1) Ist lim n = und lim n = b, so gilt = b, d.h. im Fll der Konvergenz ist der n n Grenzwert oder Limes eindeutig bestimmt. 2) Die Folge ( n ) n 0 ist beschränkt. Definition Mn sgt, eine Folge ( n ) n 0 divergiert gegen, in Zeichen lim n =, n wenn für lle K N 0 ein n 0 N existiert, so dss n definiert mn: divergiert gegen -. Für eine Folge ( n ) mit n > 0 n sind äquivlent: 1) n 0, > K für lle n n 0. Anlog

34 Seite 34 KAPITEL 2. FUNKTIONEN, GRENZWERTE, STETIGKEIT 2) 1 n. Lemm Für lle x R gilt 1) lim n x n = 0, flls x < 1, 2) lim n x n =, flls x > 1, 3) Die Folge (x n ) n 0 divergiert, flls x Geometrische Reihe Die Folge ( n ) n 0 sei gegeben durch: Für die endliche geometrische Reihe gilt: n = x n, x R. s n = 1 + x + x x n = Es können folgende Fälle uftreten: ) x < 1 lim n s n = lim b) x 1 lim n s n =, c) x 1 divergiert. Sttt lim n k=0 n x k schreibt mn x k, d.h. k=0 k=0 x k := lim N { 1 x n+1 ( 1 + xn+1 n 1 x 1 x 1 x, flls x 1, n + 1, flls x = 1. ) = 1 1 x, 1 N, flls x < 1, 1 x x k =, flls x 1, divergiert, flls x < 1. k= Hrmonische Reihe Wir betrchten die Folge ( ) 1. Die zugehörigen Prtilsummen s n n n 1 sind Es gilt: s n = n. (1) lim s n = n oder k=1 1 =. k Definition Ist ( n ) n 0 eine Folge und n 0 < n 1 < eine ufsteigende Indexfolge, dnn heißt die Folge n0, n1,... Teilfolge der Folge ( n ) n 0.

35 2.5. RECHENREGELN FÜR GRENZWERTE UND KONVERGENZKRITERIEN Seite Rechenregeln für Grenzwerte und Konvergenzkriterien Seien ( n ) n 0, (b n ) n 0 Folgen. Stz Sind ( n ) n 0, (b n ) n 0 konvergente Zhlenfolgen mit n und b n b, dnn gilt: ) lim n ( n ± b n ) = ± b, b) lim n ( n b n ) = b, c) ist 0, dnn gibt es ein n 1 N mit n 0 für lle n n 1 und für die Folgen 1 ( n ) n n1, (b n ) n n1 gilt: lim n n = 1, lim b n n n = b, d) lim n n =, e) lim n n =, flls lle n 0. Stz Lssen sich für lle n n 1 die Glieder der Folge ( n ) n 0 bschätzen durch b n n c n mit lim b n = lim c n = c, dnn gilt lim n = c. n n n Stz Seien ( n ) n 0, (b n ) n 0 konvergente Folgen mit n b n für lle n n 1. Dnn gilt: lim n lim b n. n n D Folgen spezielle Funktionen sind, wissen wir schon, ws eine monoton wchsende (bzw. monoton fllende) Folge ist, nämlich wenn für lle n 0 gilt n+1 n (bzw. n+1 n ). Stz Jede monoton wchsende oder fllende, beschränkte Folge ist konvergent. Beispiel: Wir betrchten die Folge ( n ) n 0, wobei n := n k=0 k=0 1. Diese Folge ist monoton k! wchsend und beschränkt. Also konvergiert sie und mn definiert die Eulersche Zhl e durch ( n ) 1 e := = lim 1 = 2, (1) k! n k! Die Folge ( n ) n 0 konvergiert sehr schnell. Mn knn zeigen, dss die Eulersche Zhl e uch der Grenzwert der Folge (b n ) n 1 mit b n := ( n) n ist, d.h. Die Folge (b n ) n 1 konvergiert sehr lngsm. k=0 ( e = lim n. (2) n n)

36 Seite 36 KAPITEL 2. FUNKTIONEN, GRENZWERTE, STETIGKEIT Definition Die Exponentilfunktion e : x e x ist für lle x R definiert durch e x := lim n ( 1 + x n) n = lim n k=0 Beide Grenzwerte existieren uch für x C und sind gleich. x k k!. (3) 2.6 Funktionengrenzwerte, Stetigkeit Seien I R ein Intervll, I {, } und f : I \ {} R eine Funktion. Uns interessiert ds Verhlten von f(x), wenn x sich nähert, wobei x. Definition Die Funktion f ht für x gegen den rechtsseitigen Grenzwert (bzw. linksseitigen Grenzwert) c, in Zeichen lim f(x) = c (bzw. lim f(x) = c), x + x wenn für jede Folge (x n ) n 0 us I mit x n und < x n für lle n (bzw. x n und x n < für lle n) die Folge (f(x n )) n 0 den Grenzwert c ht. f ht für x gegen den Grenzwert c, in Zeichen lim f(x) = c, wenn gilt lim f(x) = lim f(x) = c. x + x Stz Aus lim x f(x) = c, lim x g(x) = d, mit c, d R folgt: ) lim x [f(x) ± g(x)] = c ± d, b) lim x f(x) g(x) = c d, f(x) c) lim = c, flls d 0. x g(x) d x Dies gilt uch für = ± und einseitige Grenzwerte, x +, x ber nur für endliche Grenzwerte c, d. Stz Wenn g(x) f(x) h(x) für lle x in der Nähe von gilt (bzw. für lle hinreichend großen x) und wenn g(x) c, h(x) c für x (bzw. x ), dnn gilt uch lim f(x) = c (bzw. lim f(x) = c). x x Es bestehen die Grenzwert Aussgen: Asymptoten lim x 0 lim x 0 sin x x cos x 1 x = 1, (1) = 0. (2) ) Mn nennt die Gerde x = eine vertikle Asymptote der Kurve y = f(x), wenn beim Grenzübergng x + oder x die Funktionswerte f(x) gegen oder streben.

37 2.6. FUNKTIONENGRENZWERTE, STETIGKEIT Seite 37 b) Die Gerde y = c heißt horizontle Asymptote der Kurve y = f(x), wenn lim f(x) = c oder lim f(x) = c gilt. x x c) Als schräge Asymptote der Kurve y = f(x) bezeichnet mn die Gerde y = px + q, flls p 0 und f(x) (px + q) 0 für x oder x. Definition Sei I R ein Intervll und f : I R eine Funktion. Die Funktion f heißt im Punkt x 0 I stetig, wenn lim x x0 f(x) = f(x 0 ). Flls x 0 ein Rndpunkt des Intervlls ist, so ist der Grenzwert nur einseitig zu verstehen. Die Funktion f heißt uf I stetig, wenn sie in jedem Punkt x 0 I stetig ist. Stz ) Sind f und g uf einem Intervll I R stetig, so gilt ds uch für f ± g und f g. Ferner ist f stetig in llen x I mit g(x) 0. g b) Sind f : I R, g : D R stetig mit g(d) I, dnn ist uch die Komposition h : D R, h = f g uf D stetig Korollr ) Jedes Polynom p(x) = n i x i ist uf gnz R stetig. i=0 b) Seien p, q Polynome, die teilerfremd sind. Dnn ist die rtionle Funktion f(x) = p(x) q(x) stetig in llen Punkten x R mit q(x) 0. Stz Für jede uf einem bgeschlossenen beschränkten Intervll [, b] stetige Funktion gilt: ) Schrnkenstz: Es gibt eine Schrnke K mit f(x) K für lle x [, b]. (Mn sgt: f ist uf [, b] beschränkt.) b) Stz vom Mximum und Minimum: Es gibt Werte x 0, x 1 [, b], so dss f(x 0 ) f(x) f(x 1 ) für lle x [, b]. (Mn sgt: f nimmt uf [, b] sein Minimum und sein Mximum n.) c) Zwischenwertstz: Zu jeder Zhl c zwischen dem Minimum f(x 0 ) und dem Mximum f(x 1 ) gibt es wenigstens ein x [, b] mit f( x) = c. (Mn sgt: f nimmt jeden Wert zwischen seinem Minimum und Mximum n.) d) Die gleichmäßige Stetigkeit: Zu jeder beliebig kleinen Zhl ε > 0 gibt es ein δ > 0, so dss zwei Funktionswerte sich um höchstens ε unterscheiden, sobld die Argumente weniger ls δ voneinnder entfernt sind, d.h. ε > 0 δ > 0 : ( x x δ f(x) f(x ) ε ).

38 Seite 38 KAPITEL 2. FUNKTIONEN, GRENZWERTE, STETIGKEIT Korollr Ist f : [, b] R stetig und hben f() und f(b) verschiedene Vorzeichen, dnn gibt es wenigstens eine Nullstelle x (, b) von f, d.h. f( x) = 0. Bisektion Sei f : [, b] R eine Funktion so, dss f(b) f() < 0. Dnn existiert nch Korollr eine Nullstelle in [, b]. Diese knn mn durch sukzessives Hlbieren des Intervlls beliebig genu bestimmen. Im Flle f ( ) +b 2 f(b) < 0 liegt die Nullstelle im Intervll [ +b +b, b], sonst in [, ]. Dieses Verfhren knn beliebig oft wiederholt werden. 2 2 Dbei stößt mn entweder nch endlich vielen Schritten uf die Nullstelle, oder der Fehler wird in jedem Schritt mindestens hlbiert.

39 Kpitel 3 Differenttion Die Differentilrechnung ist eines der wichtigsten Hilfsmittel in der Mthemtik selbst und in der mthemtischen Behndlung von Problemen us Wissenschft und Technik. Insbesondere wird sie in diesem Kpitel zur Kurvendiskussion und zur Extremwertbestimmung benutzt. 3.1 Die Ableitung Definition Die Funktion f sei uf dem Intervll I R definiert und es sei x 0 I. Mn sgt, f ist in x 0 differenzierbr, wenn der Grenzwert lim h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h (1) existiert und endlich ist. Dieser Grenzwert wird mit f (x 0 ) bezeichnet. Mn nennt f(x) := f(x 0+h) f(x 0 ) den Differenzenquotienten. Mn knn (1.2) uch x h f(x) f(x durch lim 0 ) x x0 x x 0 ersetzen. ndere Bezeichnungen: d f(x 0), d f dx dx Flls f in jedem Punkt x 0 I differenzierbr ist, sgt mn dss f uf I differenzierbr ist. Die so definierte Funktion f : I R : x f (x) heißt Ableitung von f. 39

40 Seite 40 KAPITEL 3. DIFFERENTATION Beispiele: f(x) f (x) c 0 x + b x n nx n 1 für n N x 1 2 für x > 0 x (2) Geometrische Interprettion Sei y = f(x) eine gegebene Funktion. Dnn ist tn ϕ = y x der Anstieg der Seknte durch die Punkte (x 0, f(x 0 )), (x, f(x)). f(x) f(x 0) ϕ x y x 0 y Der Grenzwert lim ist der Anstieg der Tngente n y = f(x) im Punkt (x x 0 x 0, f(x 0 )), d.h. die Tngente des Grphen y = f(x) im Punkt (x 0, f(x 0 )) genügt der Formel x y = f (x 0 ) (x x 0 ) + f(x 0 ). (3) Anlytische Interprettion Sei y = f(x) eine gegebene Funktion und (x 0, f(x 0 )) ein Punkt. Wir suchen die beste linere Approximtion von f in der Nähe von x 0, d.h. eine linere Funktion g(x), so dss lim x x 0 f(x) g(x) x x 0 = 0, (*) d.h. der Fehler f(x) g(x) strebt schneller gegen Null ls x x 0. Die Funktion g ist liner und somit gegeben durch g(x) = m(x x 0 ) + f(x 0 ). Aus (*) erhlten wir m = f (x 0 ), d.h. die Tngente (3) ist die beste linere Approximtion von f(x) nhe (x 0, f(x 0 )). Stz Jede in x 0 I differenzierbre Funktion f : I R ist in x 0 uch stetig. Stetigkeit von f ist nicht hinreichend für Differenzierbrkeit! Stz Sind Funktionen f, g : I R im Punkt x I differenzierbr, so sind die in ),..., d) links stehenden Funktionen differenzierbr und mn berechnet die Ableitungen gemäß ) (f(x) + g(x)) = f (x) + g (x), b) (f(x) g(x)) = f (x)g(x) + f(x)g (x),

41 3.1. DIE ABLEITUNG Seite 41 c) d) ( ) f(x) g(x) = f (x)g(x) f(x) g (x), flls g(x) 0. g 2 (x) ( 1 g(x) ) = g (x), flls g(x) 0. g 2 (x) Für Polynome p(x) = n i=0 i x i gilt: p (x) = n i i x i 1. (4) i=1 Wir hben folgenden Spezilfll von Stz d) ( ) 1 = n n N, x 0. (5) x n x n+1 Stz Die Sinus- und die Cosinusfunktionen sind uf R differenzierbr und es bestehen die Ableitungsregeln ) (sin x) = cos x, b) (cos x) = sin x, c) (tn x) = 1 cos 2 x, x (2k + 1) π 2, k Z, d) (cot x) = 1, x kπ, k Z. sin 2 x Stz (Kettenregel) Die Komposition x f(g(x)) zweier differenzierbrer Funktionen ist differenzierbr und es gilt ( f(g(x) ) = f ( g(x) ) g (x). (6) Höhere Ableitungen Die Ableitung der Ableitung von f bezeichnen wir, flls sie existiert, mit f oder d2 dx 2 f(x). Allgemein definieren wir f (0) (x) := f(x) f (1) (x) := f (x) f (n) (x) := d dx f (n 1) (x) = dn dx n f(x). Hierbei heißt f (n) (x) die n-te Ableitung von f und f heißt n-ml differenzierbr, wenn die n-te Ableitung existiert. Mit Hilfe der Eulerschen Formel Kpitel 2 (14) und Stz knn mn zeigen, dss d dt eiwt = iw e iwt, t R. (7)

42 Seite 42 KAPITEL 3. DIFFERENTATION 3.2 Anwendungen der Differenttion Mxim und Minim Mn sgt, eine uf D R erklärte Funktion f ht in D ein globles Mximum, wenn f(x) f() für lle x D gilt. Die Zhl b D heißt lokles Mximum von f, wenn es eine ε-umgebung (b ε, b + ε) von b gibt, so dss f(x) f(b) für lle x D (b ε, b+ε). Anlog definiert mn globles Minimum, lokles Minimum. Jedes Minimum und jedes Mximum heißt Extremum. Stz Ist f in einem offenen Intervll I differenzierbr, so gilt: x 0 I ist lokles Extremum f (x 0 ) = 0. Aus Stz 2.2 und den Bemerkungen folgt, dss 1) Rndpunkte von D, 2) Punkte, in denen f nicht differenzierbr ist, und 3) sttionäre Punkte, d.h. Punkte, in denen f (x) = 0 ist, (1) Kndidten für Extrem sind. Stz (Mittelwertstz) Ist die Funktion f uf [, b] stetig und uf (, b) differenzierbr, dnn gibt es einen Punkt x 0 (, b) mit f (x 0 ) = f(b) f(). b Stz Für eine uf dem Intervll I R differenzierbre Funktion f gilt: ) f (x) > 0 uf I f ist uf I strikt monoton wchsend, b) f (x) < 0 uf I f ist uf I strikt monoton fllend, c) f (x) 0 uf I f ist uf I monoton wchsend, d) f (x) 0 uf I f ist uf I monoton fllend, e) f (x) = 0 uf I f ist konstnt uf I. Stz Eine uf (, b) differenzierbre Funktion f ht im sttionären Punkt x 0 (, b) ein lokles Mximum (bzw. lokles Minimum), wenn es ein ε > 0 gibt, so dss die Ableitung f (x) im Intervll (x 0 ε, x 0 ) positiv und im Intervll (x 0, x 0 + ε) negtiv ist (bzw. in (x 0 ε, x 0 ) negtiv und in (x 0, x 0 + ε) positiv). Stz Ist f uf (, b) zweiml stetig differenzierbr und x 0 (, b) ein sttionärer Punkt, dnn gilt: ) f (x 0 ) < 0 f ht in x 0 ein lokles Mximum, b) f (x 0 ) > 0 f ht in x 0 ein lokles Minimum.