Passerellen Prüfungen 2009 Mathematik

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1 Passerellen Prüfungen 2009 Mathematik 1. Analysis: Polynom und Potenzfunktionen Gegeben sind die beiden Funktionen 21 und 32. a) Bestimmen Sie die Null, Extremal und Wendepunkte der beiden Funktionen. Stellen Sie ihre Graphen im Intervall [ 2 ; 2.5] dar. b) Unter welchem Winkel schneiden sich die beiden Kurven? Gegeben ist nun zusätzlich zu die Funktion c) Zeichnen Sie den Graphen in das selbe Koordinatensystem wie bei Aufgabe a). Bestimmen Sie die Fläche zwischen den beiden Kurven. 2. Analysis: Exponential und Logarithmusfunktionen Gegeben ist die Funktionenschar 2 mit. a) Setzen Sie 1 und diskutieren Sie die Funktion (Asymptote für, Extremalpunkte). Zeigen Sie, dass keine Nullstellen hat. Zeichnen Sie den Graphen der Funktion mit allen berechneten Grössen im Intervall [ 2 ; 3]. Berechnen Sie den Flächeninhalt, den der Graph mit der x und y Achse sowie der senkrechten Geraden 2 einschliesst. b) Berechnen Sie die Koordinaten des Tiefpunktes von, abhängig vom Parameter. Für welche existiert dieser Tiefpunkt? Wie muss der Parameter gewählt werden, damit der y Wert des Tiefpunktes maximal wird? Berechnen Sie und die zugehörigen Koordinaten. 3. Vektorgeometrie Die Punkte 3/0, 0/6 und 2/0 auf den Koordinatenachsen sind gegeben. a) Bestimmen Sie die Gleichung des Kreises durch diese drei Punkte. Berechnen Sie die Koordinaten des vierten Achsenschnittpunktes des Kreises mit den Koordinatenachsen. b) Ergänzen Sie die drei Punkte zu Parallelogrammen und berechnen Sie die Koordinaten der neuen Ecken (3 Lösungen). c) Berechnen Sie den Umfang und Flächeninhalt des Dreiecks. d) Zur Geraden durch und B ist die Normale durch den Punkt C gesucht. Bestimmen Sie die Gleichung von und berechnen Sie den Fusspunkt von auf der Geraden. Wie gross ist der Schnittwinkel von mit der y Achse?

2 4. Zwei unabhängige Aufgaben a) Gegen ist die Funktion 2 sin2 1 1 im Intervall [0 ; 2]. Bestimmen Sie Null und Extremalpunkte und zeichnen Sie den Graphen der Funktion. b) Gegeben ist der Kreis 6850 und die Gerade : Berechnen Sie den Abstand des Kreismittelpunktes von der Geraden. Und die Gleichungen zu parallelen Tangenten an den Kreis. 5. Wahrscheinlichkeitsrechnung Drei Gefässe (G 1, G 2 und G 3 ) sind mit je 12 Kugeln bestückt. In G 1 liegen 3 rote, 5 gelbe und 4 blaue Kugeln. In G 2 liegen 4 rote, 2 gelbe und 6 blaue Kugeln. In G 3 liegen 5 rote, 2 gelbe und 5 blaue Kugeln. a) Aus jedem der Gefässe wird nun hintereinander jeweils eine Kugel gezogen. a1) Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben alle drei Kugeln die gleiche Farbe? a2) Wie oft muss der Vorgang jeweils eine Kugel aus jedem Gefäss zu ziehen und wieder zurücklegen mindestens wiederholt werden, damit die Wahrscheinlichkeit, mindestens einmal drei gelbe Kugeln zu ziehen, grösser als 90% wird? b) Nun wird vor jedem Zug das Gefäss zufällig ausgewählt, eine Kugel daraus gezogen und wieder in das gleiche Gefäss zurückgelegt. b1) Mit welcher Wahrscheinlichkeit zieht man beim ersten Zug eine rote und beim zweiten Zug eine blaue Kugel? b2) Man hat eine gelbe Kugel gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt diese aus G 1? Zeigen Sie, dass diese Wahrscheinlichkeit grösser ist, als dass eine zufällig gezogene blaue Kugel aus G 2 stammt.

3 Lösungen 1. Analysis: Polynom und Potenzfunktionen Gegeben sind die beiden Funktionen 21 und 32. a) Bestimmen Sie die Null, Extremal und Wendepunkte der beiden Funktionen. Stellen Sie ihre Graphen im Intervall [ 2 ; 2.5] dar Nullstellen: Extremalpunkte: , 1 Parabel nach oben offen mit doppelter Nullstelle: 1/0 320 Geschicktes Probieren mit 1, 2 1 Abspalten (Polynomdivision): 32: 1 2 Weiteres Faktorisieren: , 1 4, /4 1/0 Wendepunkte: keine /2 Graphen: b) Unter welchem Winkel schneiden sich die beiden Kurven? Schnittpunkte: Bereits bekannte (doppelte) Lösung bei /0, 3/16 Schnittwinkel: Bei : 0 Bei : arctan

4 arctan (=4.74 ) Gegeben ist nun zusätzlich zu die Funktion c) Zeichnen Sie den Graphen in das selbe Koordinatensystem wie bei Aufgabe a). Bestimmen Sie die Fläche zwischen den beiden Kurven. Graphen: Fläche: Schnittstellen: Geschicktes Probieren mit 1, 2, 5 1 Abspalten (Polynomdivision): : Weiteres geschicktes Probieren mit 1, 2, 5 2 Weiteres Abspalten (Polynomdivision): : 2 35 Diskriminante keine weiteren Schnittstellen Fläche: Lineare Substitution: Analysis: Exponential und Logarithmusfunktionen Gegeben ist die Funktionenschar 2 mit. a) Setzen Sie 1 und diskutieren Sie die Funktion (Asymptote für, Extremalpunkte). Zeigen Sie, dass keine Nullstellen hat. Zeichnen Sie den Graphen der Funktion mit allen berechneten Grössen im Intervall [ 2 ; 3]. Berechnen Sie den Flächeninhalt, den der Graph mit der x und y Achse sowie der senkrechten Geraden 2 einschliesst. Asymptote: lim 2 2 Extremalpunkte: 20 ln2 ln2 22ln2

5 Nullstellen: Graph: ln2 2 0 ln 2/2 2ln 2 Für geht (sh. Asymptote) Für geht (Exponentialfunktion stärker als lineare Funktion) Tiefster Punkte 0.693/0.614 liegt oberhalb der x Achse. Daraus folgt, dass keine Nullstellen hat. Fläche: b) Berechnen Sie die Koordinaten des Tiefpunktes von, abhängig vom Parameter. Für welche existiert dieser Tiefpunkt? Wie muss der Parameter gewählt werden, damit der y Wert des Tiefpunktes maximal wird? Berechnen Sie und die zugehörigen Koordinaten. Tiefpunkt: 20 ln2 ln 2/21 ln 2 Existenz des Tiefpunktes: Maximale Höhe des Tiefpunktes: Argument der Logarithmusfunktion muss positiv sein. Daraus folgt: 0 Höhe 212 Ableiten nach a: ln2 22ln Maximale Höhe: Vektorgeometrie Die Punkte 3/0, 0/6 und 2/0 auf den Koordinatenachsen sind gegeben.

6 a) Bestimmen Sie die Gleichung des Kreises durch diese drei Punkte. Berechnen Sie die Koordinaten des vierten Achsenschnittpunktes des Kreises mit den Koordinatenachsen. Gleichungssystem: Allgemeine Kreisgleichung: : 3 : 6 : 2 Lösungsweg: Resultat: Algebrhabarberrhabarber b) Ergänzen Sie die drei Punkte zu Parallelogrammen und berechnen Sie die Koordinaten der neuen Ecken (3 Lösungen). E 1 : E 2 : E 3 : / / /6 c) Berechnen Sie den Umfang und Flächeninhalt des Dreiecks. Umfang: Fläche: d) Zur Geraden durch und B ist die Normale durch den Punkt C gesucht. Bestimmen Sie die Gleichung von und berechnen Sie den Fusspunkt von auf der Geraden. Wie gross ist der Schnittwinkel von mit der y Achse? Normale: : Fusspunkt: Schnittwinkel: : , /2 Winkel zwischen 0 1 und 2 :

7 4. Zwei unabhängige Aufgaben a) Gegen ist die Funktion 2 sin2 1 1 im Intervall [0 ; 2]. Bestimmen Sie Null und Extremalpunkte und zeichnen Sie den Graphen der Funktion. Nullstellen: sin Innerhalb [0 ; 2]: ; 3.380; 2.333; Extremalpunkte: 4cos Innerhalb [0 ; 2]: 1.285/3; 2.856/1; 4.427/3; 5.998/1 Graph: b) Gegeben ist der Kreis 6850 und die Gerade : Berechnen Sie den Abstand des Kreismittelpunktes von der Geraden. Und die Gleichungen zu parallelen Tangenten an den Kreis. Kreisgleichung: Quadratische Ergänzung: Geradengleichung: Koordinatenform: (13/4) einsetzen: : Abstand: Kreismittelpunkt M(3/4) in einsetzen: Tangenten: Gleichung für parallele Gerade durch M: 2 0. M(3/4) einsetzen: : Kreisradius in Abstandsgleichung (HNF(m)) einsetzen: Wahrscheinlichkeitsrechnung Drei Gefässe (G 1, G 2 und G 3 ) sind mit je 12 Kugeln bestückt. In G 1 liegen 3 rote, 5 gelbe und 4 blaue Kugeln. In G 2 liegen 4 rote, 2 gelbe und 6 blaue Kugeln. In G 3 liegen 5 rote, 2 gelbe und 5 blaue Kugeln.

8 a) Aus jedem der Gefässe wird nun hintereinander jeweils eine Kugel gezogen. a1) Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben alle drei Kugeln die gleiche Farbe? a2) Wie oft muss der Vorgang jeweils eine Kugel aus jedem Gefäss zu ziehen und wieder zurücklegen mindestens wiederholt werden, damit die Wahrscheinlichkeit, mindestens einmal drei gelbe Kugeln zu ziehen, grösser als 90% wird? Wie immer: ln b) Nun wird vor jedem Zug das Gefäss zufällig ausgewählt, eine Kugel daraus gezogen und wieder in das gleiche Gefäss zurückgelegt. b1) Mit welcher Wahrscheinlichkeit zieht man beim ersten Zug eine rote und beim zweiten Zug eine blaue Kugel? b2) Man hat eine gelbe Kugel gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammt diese aus G 1? Zeigen Sie, dass diese Wahrscheinlichkeit grösser ist, als dass eine zufällig gezogene blaue Kugel aus G 2 stammt.