FB IV Mathematik Universität Trier. Präsentation von Nadja Wecker

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "FB IV Mathematik Universität Trier. Präsentation von Nadja Wecker"

Transkript

1 FB IV Mathematik Universität Trier Präsentation von Nadja Wecker

2 1) Einführung Beispiele 2) Mathematische Darstellung 3) Numerischer Fluss für Diffusionsgleichung 4) Konvergenz 5) CFL-Bedingung 6) Zusammenfassung -2-

3 Finite-Volumen-Methode (FVM): numerisches Verfahren zur Approximation von Lösungen von Erhaltungsgleichungen partielle Gleichungen, denen Erhaltungssatz zugrunde liegt Entwicklung im Laufe der 1950er Jahre für die Raumfahrt Besonderer Beitrag: russischer Mathematiker Godunov -3-

4 Anwendungen von FVM numerische Strömungsmechanik FV-Diskretisierung einer KFZ Umströmung Berechnung viskoser Schiffsumströmungen mit freier Oberfläche (FVM liefert eine exakte Beschreibung des 3D- Strömungsfeldes) Simulation der Rauchgasausbreitung an einem RoRo-Schiff -4-

5 Meteorologie Prognose des zeitlichen Verlaufs der prognostischen Größen (Windgeschwindigkeit, Druck, Temperatur) -5-

6 Grundidee: ein räumliches Gebiet wird in Intervalle zerlegt Diese Intervalle heißen Gitterzellen oder finite Volumina i-te Zelle: C i = (x i-1/2, x i+1/2 ) In jeder Zelle gilt der Erhaltungssatz Partielle Differentialgleichungen werden mittels Gauß schem Integralsatz umformuliert -6-

7 Die Zellmittelwerte approximiert: werden durch folgendes Integral (1) wobei q: R R R m t: Zeitvariable x: Ortsvariable x=x i+1/2 - x i-1/2 Abb.1: Darstellung der Gitterzellen x-t-dim. -7-

8 Man betrachte die Gleichung Diskretisierung der Zeit in Intervalle und Integration obiger Gleichung über ein solches Intervall liefern: (2) -8-

9 Mit Umformen und Dividieren durch x ergibt sich: (3) Integrale auf der rechten Seite sind im Allgemeinen nicht exakt zu bestimmen Aufgabe der FVM: numerische Approximation der Flussintegrale zu liefern -9-

10 Gleichung (3) in Zellmittelwerten ausgedrückt: (4) wobei (5) Abb.2: Veranschaulichung der FVM -10-

11 Annahme: hängt lediglich von und wobei F ist eine numerische Flussfunktion (6) (7) Jede einzelne FVM hängt von der Wahl der numerischen Flussfunktion F ab. Im Allgemeinen: Three-point stencil, d.h. abhängig von und -11-

12 Besondere Eigenschaft von FVM: Konservativität Definition 2.1 Ein numerisches Verfahren zur Lösung der Erhaltungsgleichung q t +f(q) x =0 heißt konservativ, wenn es die Form hat. Die Funktion F wird als Flussfunktion bezeichnet. -12-

13 Konservativität: die Flussfunktion ist nur vom Anfangs- und Endpunkt abhängig. denn für die Summe von (4) über gilt: (die Flüsse über die inneren Zellgrenzen heben sich weg) (8) -13-

14 Erhaltungsgesetz: Diffusionsgleichung: Für gegebene (9) wobei -14-

15 Setze (9) in (7) ein: (10) Spezialfall: β konstant hier zu erkennen: zentrale Approximation von q xx. -15-

16 Wann ist eine numerische Flussfunktion geeignet für die numerischen Berechnungen? Essentielle Forderung an ein Verfahren: Konvergenz Bedingungen für die Konvergenz: Konsistenz (die Methode muss die DGL lokal gut approximieren) Stabilität (der Rundungsfehler wirkt sich nicht zu stark auf die Berechnung aus) -16-

17 Definition 4.1 Eine Flussfunktion F mit den Argumenten u 1,,u j heißt konsistent, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind: 1) F(u,u,,u) = f(u) 2) F ist Lipschitz-stetig in allen Komponenten -17-

18 Für num. Flussfunktion soll gelten: 1) Seien q(x,t)= q und (11) 2) Lipschitz-Stetigkeit, d.h. eine Konstante L so, dass (12) -18-

19 Betrachte (7) und die Advektionsgleichung Zwei Fälle zu unterscheiden: -19-

20 Für ein t klein genug hängt die Flussfunktion zwischen den Zellen C i-1 und C i nur von ab. Ist der Zeitschritt zu groß, hängt die Flussfunktion zusätzlich noch von ab. -20-

21 Methode bei b) nicht stabil Ergebnis der CFL-Bedingung CFL: Courant, Friedrichs und Lewy Notwendige Bedingung für jedes numerische Verfahren CFL-Bedingung Ein numerisches Verfahren ist konvergent, falls der numerische Abhängigkeitsbereich den tatsächlichen Abhängigkeitsbereich der PDE einschließt; t, x 0 Wichtig: notwendig für Stabilität, aber nicht hinreichend!!! -21-

22 Abhängigkeitsbereich D (X,T) für PDE durch Charakteristiken festgelegt Num. Abhängigkeitsbereich für PDE durch Schrittweiten festgelegt Charakteristiken (X,T) x Abhängigkeitsbereich Illustration anhand der finiten-differenz- Methoden t -22-

23 3-Punkte-Schema Q i ist abhängig von Q i-1, Q i und Q i+1, die numerische Lösung im Punkt (X,T)=(X,t 2 ) kann von Werten im Intervall beeinflusst werden: X 2 x a x X + 2 x a a) X -23-

24 Verfeinertes Gitter mit Faktor 2 ( x b = x a /2) die numerische Lösung im Punkt (X,T)= (X,t 2 ) abhängig von Werten im Intervall: X 4 x b x X + 4 x b b) X -24-

25 Weitere Verfeinerung: r t/ x nach CFL: X T/r x X + T/r für einen Punkt (X,T) der Abhängigkeitsbereich der tats. Lösung [X T/r, X + T/r] Bsp.: Advektionsgleichung q t +ūq x =0 D (X,T)={X ūt}, da q(x,t)=q(x ūt) X T/r X-ūT X + T/r 1 ūr Courant-Zahl (13) -25-

26 Gilt (13) nicht Änderung von q in X ūt ändert tats. Lösung in (X,T), aber nicht num. Lösung in diesem Punkt Zurück zu FVM: Courant-Zahl gibt an, um wie viele Zellen sich die Information pro Zeitschritt fortbewegt -26-

27 System von hyperbolischen Gleichungen Bsp.: Wellengleichung D (X,T)={X λ p T: p=1,,m} λ 1,, λ m : Ausbreitungsgeschwindigkeiten (14) Für 3-Punkte-Methode: c 1 Abschätzung hängt von der Maschenweite ab z.b. Ist von 5 Zellenmittelwerten abhängig, so c 2-27-

28 Hyperbolische PDE: Explizite Verfahren c 1 Gitterzerlegung in t/ x Verbesserung der Lösung Parabolische PDE: Bsp.: Diffusionsgleichung Explizite Verfahren D (X,T)=(-, ) Ausbreitungsgeschwindigkeit infinit mit CFL: numerischer Abhängigkeitsbereich (-, ). Dann der Fall, wenn t 0 schneller als x 0 z.b. bei t = ( x 2 ) Für CFL-Bed. besser implizite Methoden -28-

29 FVM: numerisches Verfahren zur Lösung von Erhaltungsgleichungen Diskretisierung des Raumes in Zellen In jeder Zelle gilt der Erhaltungssatz Statt q werden die Zellmittelwerte von q approximiert In jedem Zeitschritt wird mithilfe des Flusses die Änderung der Größe bestimmt konservativ -29-

30 Konvergenz = Konsistenz + Stabilität CFL stellt einen Zusammenhang zwischen der Größe der Maschenweite in einem Rechengitter x, der im benutzten Gleichungssystem auftretenden größten Geschwindigkeit u und dem maximal möglichen Zeitschritt t her. Notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung für Stabilität Informationen dürfen sich in einem Zeitschritt nicht mehr als eine Zelle weit ausbreiten c wird als Courant-Zahl bezeichnet -30-

31 RANDALL J. LEVEQUE: Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems WikiBook Theorie und Numerik von Erhaltungsgleichungen ( ) -31-

32 -32-

Charakteristikenmethode im Beispiel

Charakteristikenmethode im Beispiel Charakteristikenmethode im Wir betrachten die PDE in drei Variablen xu x + yu y + (x + y )u z = 0. Das charakteristische System lautet dann ẋ = x ẏ = y ż = x + y und besitzt die allgemeine Lösung x(t)

Mehr

Kevin Caldwell. 18.April 2012

Kevin Caldwell. 18.April 2012 im Rahmen des Proseminars Numerische Lineare Algebra von Prof.Dr.Sven Beuchler 18.April 2012 Gliederung 1 2 3 Mathematische Beschreibung von naturwissenschaftlich-technischen Problemstellungen führt häufig

Mehr

Hydrodynamik in der Astrophysik: Grundlagen, numerische Verfahren und Anwendungen. Vorlesung an der TU München Wintersemester 2012/13

Hydrodynamik in der Astrophysik: Grundlagen, numerische Verfahren und Anwendungen. Vorlesung an der TU München Wintersemester 2012/13 Hydrodynamik in der Astrophysik: Grundlagen, numerische Verfahren und Anwendungen Vorlesung an der TU München Wintersemester 2012/13 PD Dr. Ewald Müller Max-Planck-Institut für Astrophysik Karl-Schwarzschild-Straße

Mehr

Finite Differenzen und Elemente

Finite Differenzen und Elemente Dietrich Marsal Finite Differenzen und Elemente Numerische Lösung von Variationsproblemen und partiellen Differentialgleichungen Mit 64 Abbildungen Springer-Verlag Berlin Heidelberg NewYork London Paris

Mehr

Einführung. Vita Rutka. Universität Konstanz Fachbereich Mathematik & Statistik AG Numerik SS 2009

Einführung. Vita Rutka. Universität Konstanz Fachbereich Mathematik & Statistik AG Numerik SS 2009 Einführung Vita Rutka Universität Konstanz Fachbereich Mathematik & Statistik AG Numerik SS 2009 Was ist FEM? Die Finite-Elemente-Methode (FEM) ist ein numerisches Verfahren zur näherungsweisen Lösung,

Mehr

Simulation von räumlich verteilten kontinuierlichen Modellen

Simulation von räumlich verteilten kontinuierlichen Modellen Vorlesungsreihe Simulation betrieblicher Prozesse Simulation von räumlich verteilten kontinuierlichen Modellen Prof. Dr.-Ing. Thomas Wiedemann email: wiedem@informatik.htw-dresden.de HOCHSCHULE FÜR TECHNIK

Mehr

Definition 3.1: Ein Differentialgleichungssystem 1. Ordnung

Definition 3.1: Ein Differentialgleichungssystem 1. Ordnung Kapitel 3 Dynamische Systeme Definition 31: Ein Differentialgleichungssystem 1 Ordnung = f(t, y) ; y R N ; f : R R N R N heißt namisches System auf dem Phasenraum R N Der Parameter t wird die Zeit genannt

Mehr

Kapitel 15: Differentialgleichungen

Kapitel 15: Differentialgleichungen FernUNI Hagen WS 00/03 Kapitel 15: Differentialgleichungen Differentialgleichungen = Gleichungen die Beziehungen zwischen einer Funktion und mindestens einer ihrer Ableitungen herstellen. Kommen bei vielen

Mehr

Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen

Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen Kapitel 2 Nichtlineare Optimierung ohne Nebenbedingungen In diesem Abschnitt sollen im wesentlichen Verfahren zur Bestimmung des Minimums von nichtglatten Funktionen in einer Variablen im Detail vorgestellt

Mehr

8.2 Thermodynamische Gleichgewichte, insbesondere Gleichgewichte in Mehrkomponentensystemen Mechanisches und thermisches Gleichgewicht

8.2 Thermodynamische Gleichgewichte, insbesondere Gleichgewichte in Mehrkomponentensystemen Mechanisches und thermisches Gleichgewicht 8.2 Thermodynamische Gleichgewichte, insbesondere Gleichgewichte in Mehrkomponentensystemen Mechanisches und thermisches Gleichgewicht 8.2-1 Stoffliches Gleichgewicht Beispiel Stickstoff Sauerstoff: Desweiteren

Mehr

Interesse an numerischer Simulation für Vorgänge in Wärme- bzw. Kältespeichern

Interesse an numerischer Simulation für Vorgänge in Wärme- bzw. Kältespeichern Interesse an numerischer Simulation für Vorgänge in Wärme- bzw. Kältespeichern Thorsten Urbaneck, Bernd Platzer, Rolf Lohse Fakultät für Maschinenbau Professur Technische Thermodynamik 1 Quelle: Solvis

Mehr

2 Kapitel 1. Einleitung

2 Kapitel 1. Einleitung 1 1 Einleitung Zahlreiche Phänomene in den Natur- und Ingenieurswissenschaften werden durch Systeme partieller Differentialgleichungen und insbesondere hyperbolischer Erhaltungsgleichungen modelliert,

Mehr

Lineare Hyperbolische Gleichungen

Lineare Hyperbolische Gleichungen Kapitel 4 Lineare Hyperbolische Gleichungen 4.1 Lineare, skalare Advektion Die skalare Advektions- oder auch Transportgleichung lautet in einer räumlichen Dimension u t + a u x = 0 (4.1) wobei die Gleichung

Mehr

Computational Physics Praktikum: Numerische Hydrodynamik

Computational Physics Praktikum: Numerische Hydrodynamik Computational Physics Praktikum: Numerische Hydrodynamik Wilhelm Kley Institut für Astronomie & Astrophysik & Kepler Center for Astro and Particle Physics Tübingen Wintersemester 2015 Hydrodynamik: Hydrodynamische

Mehr

Hamilton-Formalismus

Hamilton-Formalismus KAPITEL IV Hamilton-Formalismus Einleitung! IV.1 Hamilton sche Bewegungsgleichungen IV.1.1 Kanonisch konjugierter Impuls Sei ein mechanisches System mit s Freiheitsgraden. Im Rahmen des in Kap. II eingeführten

Mehr

Die Burgers Gleichung

Die Burgers Gleichung Die Burgers Gleichung Vortrag im Rahmen der Vorlesung Spektralmethoden Elena Frenkel Samuel Voit Balthasar Meyer 29. Mai 2008 1 Einfürung Ein kurzer Überblick Physikalische Motivation 2 Cole-Hopf Transformation

Mehr

Visuelle Darstellungen

Visuelle Darstellungen 1 Visuelle Darstellungen Vom CFD-Modell zur Streamline-Dartstellung Ein Vortrag im Rahmen des Seminars Hydrodynamik des Blutes TU Dortmund Fakultät Physik 2 Inhalt Was sind Visuelle Darstellungen? Erstellung

Mehr

4 Runge-Kutta-Verfahren

4 Runge-Kutta-Verfahren Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen 43 4 Runge-Kutta-Verfahren 4. Konstruktion Ausgangspunkt wie immer (Substitution: s = t + τh, 0 τ ) y(t + h) = y(t) + [y(t + h) y(t)] = y(t) + = y(t) + h 0

Mehr

Modulabschlussklausur Analysis II

Modulabschlussklausur Analysis II Modulabschlussklausur Analysis II. Juli 015 Bearbeitungszeit: 150 min Aufgabe 1 [5/10 Punkte] Es sei a R und f a : R 3 R mit f a (x, y, z) = x cos(y) + z 3 sin(y) + a 3 + (z + ay a y) cos(x) a) Bestimmen

Mehr

Zusammenfassung der 8. Vorlesung

Zusammenfassung der 8. Vorlesung Zusammenfassung der 8. Vorlesung Beschreibung und und Analyse dynamischer Systeme im im Zustandsraum Steuerbarkeit eines dynamischen Systems Unterscheidung: Zustandssteuerbarkeit, Zustandserreichbarkeit

Mehr

Satz v. Gauß: Volumenintegral der Divergenz = Flussintegral über Fläche. suggestive Notation. "Ausfluss pro Volumenelement"

Satz v. Gauß: Volumenintegral der Divergenz = Flussintegral über Fläche. suggestive Notation. Ausfluss pro Volumenelement Zusammenfassung: Satz v. Gauß Satz v. Gauß: Volumenintegral der Divergenz = Flussintegral über Fläche Volumen Rand des Volumens = Oberfläche Symbolisch: suggestive Notation Geometrische Definition der

Mehr

8.2 Thermodynamische Gleichgewichte, insbesondere Gleichgewichte in Mehrkomponentensystemen Mechanisches und thermisches Gleichgewicht

8.2 Thermodynamische Gleichgewichte, insbesondere Gleichgewichte in Mehrkomponentensystemen Mechanisches und thermisches Gleichgewicht 8.2 Thermodynamische Gleichgewichte, insbesondere Gleichgewichte in Mehrkomponentensystemen Mechanisches und thermisches Gleichgewicht 8.2-1 Stoffliches Gleichgewicht Beispiel Stickstoff Sauerstoff: Desweiteren

Mehr

Entladen und Aufladen eines Kondensators über einen ohmschen Widerstand

Entladen und Aufladen eines Kondensators über einen ohmschen Widerstand Entladen und Aufladen eines Kondensators über einen ohmschen Widerstand Vorüberlegung In einem seriellen Stromkreis addieren sich die Teilspannungen zur Gesamtspannung Bei einer Gesamtspannung U ges, der

Mehr

Rekursionen. Georg Anegg 25. November 2009. Methoden und Techniken an Beispielen erklärt

Rekursionen. Georg Anegg 25. November 2009. Methoden und Techniken an Beispielen erklärt Methoden und Techniken an Beispielen erklärt Georg Anegg 5. November 009 Beispiel. Die Folge {a n } sei wie folgt definiert (a, d, q R, q ): a 0 a, a n+ a n q + d (n 0) Man bestimme eine explizite Darstellung

Mehr

Kopplung von CFD und Populationsbilanz zur Simulation der Tropfengrößenverteilung in gerührten Systemen

Kopplung von CFD und Populationsbilanz zur Simulation der Tropfengrößenverteilung in gerührten Systemen Kopplung von CFD und Populationsbilanz zur Simulation der Tropfengrößenverteilung in gerührten Systemen A.Walle 1,J. Heiland 2,M. Schäfer 1,V.Mehrmann 2 1 TUDarmstadt, Fachgebietfür Numerische Berechnungsverfahren

Mehr

Finite Elemente in Materialwissenschaften

Finite Elemente in Materialwissenschaften Finite Elemente in Materialwissenschaften Dieter Süss Institut für Festkörperphysik (8. Stock gelb) Vienna University of Technology dieter.suess@tuwien.ac.at http:/// http:///suess/papers Outline Geschichte

Mehr

1 Arbeit und Energie. ~ F d~r: (1) W 1!2 = ~ F ~s = Beispiel für die Berechnung eines Wegintegrals:

1 Arbeit und Energie. ~ F d~r: (1) W 1!2 = ~ F ~s = Beispiel für die Berechnung eines Wegintegrals: 1 Arbeit und Energie Von Arbeit sprechen wir, wenn eine Kraft ~ F auf einen Körper entlang eines Weges ~s einwirkt und dadurch der "Energieinhalt" des Körpers verändert wird. Die Arbeit ist de niert als

Mehr

4 Netzgenerierung. strukturierter Code. unstrukturierter Code

4 Netzgenerierung. strukturierter Code. unstrukturierter Code 38 4 Netzgenerierung Die Grundlage für jede numerische Strömungsberechnung ist die geometrische Diskretisierung des Problemgebietes. Das Rechennetz beeinflußt neben der Turbulenzmodellierung und der Genauigkeit

Mehr

Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen

Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen Vorkurs Mathematik Übungen zu Differentialgleichungen Als bekannt setzen wir die folgenden Umformungen voraus: e ln(f(x)) = f(x) e f(x)+c = e f(x) e c e ln(f(x)) +c = f(x) e c = f(x) c f ( g(x) ) g (x)

Mehr

Teil II. Nichtlineare Optimierung

Teil II. Nichtlineare Optimierung Teil II Nichtlineare Optimierung 60 Kapitel 1 Einleitung In diesem Abschnitt wird die Optimierung von Funktionen min {f(x)} x Ω betrachtet, wobei Ω R n eine abgeschlossene Menge und f : Ω R eine gegebene

Mehr

Computational Fluid Dynamics - CFD Overview

Computational Fluid Dynamics - CFD Overview Computational Fluid Dynamics - CFD Overview Claus-Dieter Munz Universität Stuttgart, Institut für Aerodynamik und Gasdynamik Pfaffenwaldring 21, 70550 Stuttgart Tel. +49-711/685-63401 (Sekr.) Fax +49-711/685-63438

Mehr

Mit den angegebenen Parametern ergeben sich folgend Kurven (analytische und numerische Lösung)

Mit den angegebenen Parametern ergeben sich folgend Kurven (analytische und numerische Lösung) Lösungen zur Übung 0/1: 'Evolutionsgleichung' Aufgabe 0/1: Der Code zur Berechnung der analytischen Lösung der Evolutionsgleichung findet sich im file evolution.f90, derjenige zur Berechnung der numerischen

Mehr

Protokoll 1. 1. Frage (Aufgabentyp 1 Allgemeine Frage):

Protokoll 1. 1. Frage (Aufgabentyp 1 Allgemeine Frage): Protokoll 1 a) Beschreiben Sie den allgemeinen Ablauf einer Simulationsaufgabe! b) Wie implementieren Sie eine Einlass- Randbedingung (Ohne Turbulenz!) in OpenFOAM? Geben Sie eine typische Wahl für U und

Mehr

2.4 Adaptive Verfahren mit Schrittweitensteuerung

2.4 Adaptive Verfahren mit Schrittweitensteuerung 0 0 0 Euler und RK4 fuer f(t,y) = t 0. Euler RK4 /N 0 0 f(t,y) =. t 0., graduiertes Gitter RK4 /N 4 Fehler bei T = 0 3 0 4 0 5 Fehler bei T = 0 5 0 0 0 6 0 7 0 0 0 0 2 0 3 0 4 0 5 Anzahl Schritte N 0 5

Mehr

Lattice Boltzmann Simulation bewegter Partikel

Lattice Boltzmann Simulation bewegter Partikel Lattice Boltzmann Simulation bewegter Partikel, Nils Thürey, Hans-Joachim Schmid, Christian Feichtinger Lehrstuhl für Systemsimulation Universität Erlangen/Nürnberg Lehrstuhl für Partikeltechnologie Universität

Mehr

Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse Vorlesung 14, 08.02.2012 Henning Meyerhenke

Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse Vorlesung 14, 08.02.2012 Henning Meyerhenke Algorithmische Methoden zur Netzwerkanalyse Vorlesung 14, 08.02.2012 Henning Meyerhenke 1 KIT Henning Universität desmeyerhenke: Landes Baden-Württemberg und nationales Algorithmische Forschungszentrum

Mehr

Simulation elektrischer Schaltungen

Simulation elektrischer Schaltungen Simulation elektrischer Schaltungen mittels Modizierter Knotenanalyse Teilnehmer: Artur Stephan Andreas Dietrich Thomas Schoppe Maximilian Gruber Jacob Zschuppe Sven Wittig Gruppenleiter: René Lamour Heinrich-Hertz-Oberschule,

Mehr

2 3 x3 17. x k dx = x k x k+1 k +1. Mit jeder weiteren partiellen Integration reduziert sich der Grad des Faktors x n, induktiv erhalten wir also

2 3 x3 17. x k dx = x k x k+1 k +1. Mit jeder weiteren partiellen Integration reduziert sich der Grad des Faktors x n, induktiv erhalten wir also Universität Konstanz Fachbereich Mathematik und Statistik Repetitorium Analysis 0 Dr DK Huynh Blatt 8 Aufgabe 6 Bestimmen Sie (a) (x + x 7x+)dx (c) (f) x n exp(x)dx (n N fest) sin (x)dx (g) (b) (d) ln(x)dx

Mehr

Übungen zu Meteorologische Modellierung Teil 'Grundlagen der Numerik'

Übungen zu Meteorologische Modellierung Teil 'Grundlagen der Numerik' Übungen zu Meteorologische Modellierung Teil 'Grundlagen der Numerik' 1. Diskretisierung in der Zeit: Die Evolutionsgleichung Kurzzusammenfassung Zur Erprobung der Verfahren zur zeitlichen Diskretisierung

Mehr

Thema aus dem Bereich Algebra Gleichungen III

Thema aus dem Bereich Algebra Gleichungen III Thema aus dem Bereich Algebra - 2.3 Gleichungen III Inhaltsverzeichnis 1 Quadrierte Gleichungen mit einer Unbekannten 2 2 Wurzelgleichungen 3 2.1 Definition einer Wurzelgleichung................................

Mehr

1.3 Ein paar Standardaufgaben

1.3 Ein paar Standardaufgaben 1.3 Ein paar Standardaufgaben 15 1.3 Ein paar Standardaufgaben Einerseits betrachten wir eine formale und weitgehend abgeschlossene mathematische Theorie. Sie bildet einen Rahmen, in dem man angewandte

Mehr

Visualisierung II 2. Daten in Umwelt- und Technikwissenschaften

Visualisierung II 2. Daten in Umwelt- und Technikwissenschaften Visualisierung II 2. Daten in Umwelt- und Technikwissenschaften Vorlesung: Mi, 9:15 10:45, INF 368 532 Prof. Dr. Heike Jänicke http://www.iwr.uni-heidelberg.de/groups/covis/ Inhaltsverzeichnis 1. Daten

Mehr

Gewöhnliche Dierentialgleichungen

Gewöhnliche Dierentialgleichungen Gewöhnliche Dierentialgleichungen sind Gleichungen, die eine Funktion mit ihren Ableitungen verknüpfen. Denition Eine explizite Dierentialgleichung (DGL) nter Ordnung für die reelle Funktion t x(t) hat

Mehr

1 Einleitung 1 1.1 Motivation... 1 1.2 Zielsetzung... 4 1.3 Aufbau und Gliederung der Arbeit... 5

1 Einleitung 1 1.1 Motivation... 1 1.2 Zielsetzung... 4 1.3 Aufbau und Gliederung der Arbeit... 5 1 Einleitung 1 1.1 Motivation.................................... 1 1.2 Zielsetzung................................... 4 1.3 Aufbau und Gliederung der Arbeit...................... 5 2 Hygromechanische

Mehr

Lösung zu den Testaufgaben zur Mathematik für Chemiker II (Analysis)

Lösung zu den Testaufgaben zur Mathematik für Chemiker II (Analysis) Universität D U I S B U R G E S S E N Campus Essen, Mathematik PD Dr. L. Strüngmann Informationen zur Veranstaltung unter: http://www.uni-due.de/algebra-logic/struengmann.shtml SS 7 Lösung zu den Testaufgaben

Mehr

Numerisches Programmieren, Übungen

Numerisches Programmieren, Übungen Technische Universität München SoSe 0 Institut für Informatik Prof Dr Thomas Huckle Dipl-Math Jürgen Bräckle Nikola Tchipev, MSc Numerisches Programmieren, Übungen Musterlösung Übungsblatt: Zahlendarstellung,

Mehr

Semidiskretisierung der PDA-Systeme

Semidiskretisierung der PDA-Systeme Kapitel 4 Semidisretisierung der PDA-Systeme Eine Möglicheit zur numerischen Behandlung von Anfangsrandwertproblemen partieller Differentialgleichungen ist die Linienmethode method of lines, MOL, vgl.

Mehr

Austausch- bzw. Übergangsprozesse und Gleichgewichtsverteilungen

Austausch- bzw. Übergangsprozesse und Gleichgewichtsverteilungen Austausch- bzw. Übergangsrozesse und Gleichgewichtsverteilungen Wir betrachten ein System mit verschiedenen Zuständen, zwischen denen ein Austausch stattfinden kann. Etwa soziale Schichten in einer Gesellschaft:

Mehr

Analysis. mit dem Computer-Algebra-System des TI-92. Anhang 2: Gedanken zum Lehrplan. Beat Eicke und Edmund Holzherr 11.

Analysis. mit dem Computer-Algebra-System des TI-92. Anhang 2: Gedanken zum Lehrplan. Beat Eicke und Edmund Holzherr 11. ETH EIDGENÖSSISCHE TECHNISCHE HOCHSCHULE ZÜRICH Analysis mit dem Computer-Algebra-System des TI-92 Anhang 2: Gedanken zum Lehrplan Beat Eicke und Edmund Holzherr 11. November 1997 Eidgenössische Technische

Mehr

Kapitel 7. Funktionentheorie. 7.1 Holomorphe und harmonische Funktionen. 1. Definitionen

Kapitel 7. Funktionentheorie. 7.1 Holomorphe und harmonische Funktionen. 1. Definitionen Kapitel 7 Funktionentheorie In diesem Kapitel geht es meistens um Funktionen, die auf einem Gebiet G C definiert sind und komplexe Werte annehmen. Nach Lust, Laune und Bedarf wird C mit R identifiziert,

Mehr

Randwertbedingungen und Ghost Cells

Randwertbedingungen und Ghost Cells Randwertbedingungen und Ghost Cells Olaf Kern Universität Trier 16.Dezember 2010 Olaf Kern (Universität Trier) Seminar Numerik 1/23 16.Dezember 2010 1 / 23 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung 2 Periodische

Mehr

Eine Einführung zum numerischen Programmieren mit Excel

Eine Einführung zum numerischen Programmieren mit Excel Eine Einführung zum numerischen Programmieren mit Excel Bastian Gross Universität Trier 30. April 2012 Bastian Gross (Universität Trier) Excel/OpenOffice Kurs 2012 1/36 30. April 2012 1 / 36 Inhaltsverzeichnis

Mehr

J. Dankert Mathematik

J. Dankert Mathematik Aufgabe 10.1 Man zeige, daß die erste Ableitung der Funktion y = a x 2 + b x + c für einen beliebigen Punkt x i durch die zentrale Differenzenformel exakt wiedergegeben wird. Aufgabe 10.2 Man stelle für

Mehr

Black Jack - Kartenzählen

Black Jack - Kartenzählen Black Jack - Kartenzählen Michael Gabler 24.01.2012 Literatur: N. Richard Werthamer: Risk and Reward - The Science of Casino Blackjack, Springer Black Jack - Kartenzählen 1 Wie zähle ich Karten? Historisches

Mehr

Optimierung für Nichtmathematiker

Optimierung für Nichtmathematiker Optimierung für Nichtmathematiker Typische Prüfungsfragen Die folgenden Fragen dienen lediglich der Orientierung und müssen nicht den tatsächlichen Prüfungsfragen entsprechen. Auch Erkenntnisse aus den

Mehr

Vergleich von Computational Fluid Dynamics-Programmen in der Anwendung auf Brandszenarien in Gebäuden. Frederik Rabe, Anja Hofmann, Ulrich Krause

Vergleich von Computational Fluid Dynamics-Programmen in der Anwendung auf Brandszenarien in Gebäuden. Frederik Rabe, Anja Hofmann, Ulrich Krause Vergleich von Computational Fluid Dynamics-Programmen in der Anwendung auf Brandszenarien in Gebäuden Frederik Rabe, Anja Hofmann, Ulrich Krause Gliederung Einleitung Grundlagen Grundlagen CFD NIST FDS

Mehr

Allgemeines Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen. Der erste Index bezeichnet die Nummer der Zeile, der zweite die der Spalte.

Allgemeines Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen. Der erste Index bezeichnet die Nummer der Zeile, der zweite die der Spalte. Lineare Gleichungssysteme. Einleitung Lineare Gleichungssysteme sind in der Theorie und in den Anwendungen ein wichtiges Thema. Theoretisch werden sie in der Linearen Algebra untersucht. Die Numerische

Mehr

Nichtlebenversicherungsmathematik Aus welchen Teilen besteht eine Prämie Zufallsrisiko, Parameterrisiko, Risikokapital Risikomasse (VaR, ES) Definition von Kohärenz Zusammengesetze Poisson: S(i) CP, was

Mehr

Flächenberechnung mittels Untersummen und Obersummen

Flächenberechnung mittels Untersummen und Obersummen Flächenberechnung mittels Untersummen und Obersummen Ac Einstieg: Fläche unter einer Normalparabel mit f(x) = x 2 Wir approximieren durch Rechtecksflächen, wobei zunächst senkrecht zur x-achse 10 Streifen

Mehr

In ein quadratisches Blech werden Löcher gestanzt. Insgesamt sind es 85 Löcher. Wie viele Löcher sind in der untersten Reihe?

In ein quadratisches Blech werden Löcher gestanzt. Insgesamt sind es 85 Löcher. Wie viele Löcher sind in der untersten Reihe? Aufgabe 1: Das Stanzblech: Löcher In ein quadratisches Blech werden Löcher gestanzt. Insgesamt sind es 85 Löcher. Wie viele Löcher sind in der untersten Reihe? Bei dieser Aufgabe kann rückwärts gearbeitet

Mehr

Optimale Steuerung. Sequentielle Quadratische Programmierung. Kevin Sieg. 14. Juli 2010. Fachbereich für Mathematik und Statistik Universität Konstanz

Optimale Steuerung. Sequentielle Quadratische Programmierung. Kevin Sieg. 14. Juli 2010. Fachbereich für Mathematik und Statistik Universität Konstanz Optimale Steuerung Kevin Sieg Fachbereich für Mathematik und Statistik Universität Konstanz 14. Juli 2010 1 / 29 Aufgabenstellung 1 Aufgabenstellung Aufgabenstellung 2 Die zusammengesetzte Trapezregel

Mehr

Seite 1 von 2. Teil Theorie Praxis S Punkte 80+25 120+73 200+98 erreicht

Seite 1 von 2. Teil Theorie Praxis S Punkte 80+25 120+73 200+98 erreicht Seite 1 von 2 Ostfalia Hochschule Fakultät Elektrotechnik Wolfenbüttel Prof. Dr.-Ing. T. Harriehausen Bearbeitungszeit: Theoretischer Teil: 60 Minuten Praktischer Teil: 60 Minuten Klausur FEM für elektromagnetische

Mehr

A Vortex Particle Method for Smoke, Fire, and Explosions

A Vortex Particle Method for Smoke, Fire, and Explosions Hauptseminar WS 05/06 Graphische Datenverarbeitung A Vortex Particle Method for Smoke, Fire, and Explosions ( Ein Wirbel-Partikel Ansatz für Rauch, Feuer und Explosionen ) Martin Petrasch Inhalt 1. Überblick

Mehr

Adaptive Finite Elemente Simulationen Software-Entwicklung Anwendung Analyse

Adaptive Finite Elemente Simulationen Software-Entwicklung Anwendung Analyse Software-Entwicklung Anwendung Analyse Institut für Mathematik Universität Augsburg 1. TopMath-Workshop Iffeldorf 6. 9. Januar 2005 Inhalt Einführung in adaptive Finite Elemente Methoden Adaptive Diskretisierungen

Mehr

Wenn der Druck aus der reibungsfreien Außenströmung aufgeprägt wird, dann gilt wegen der Bernoulli-Gleichung

Wenn der Druck aus der reibungsfreien Außenströmung aufgeprägt wird, dann gilt wegen der Bernoulli-Gleichung Wenn der Druck aus der reibungsfreien Außenströmung aufgeprägt wird, dann gilt wegen der Bernoulli-Gleichung ρ p ( x) + Uδ ( x) = const Damit kann die Druckänderung in Strömungsrichtung auch durch die

Mehr

6.3 Exakte Differentialgleichungen

6.3 Exakte Differentialgleichungen 6.3. EXAKTE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 23 6.3 Exakte Differentialgleichungen Andere Bezeichnungen: Pfaffsche Dgl., Dgl. für Kurvenscharen, Nullinien Pfaffscher Formen. 1. Definitionen Pfaffsche Dgl, Dgl.

Mehr

Numerische Integration

Numerische Integration Numerische Integration Die einfachste Anwendung des Integrals ist wohl die Beantwortung der Frage nach der Fläche zwischen dem Graphen einer Funktion und der Achse über einem gegebenen Intervall ('Quadraturaufgabe').

Mehr

Numerische Simulation in der Luft- und Raumfahrttechnik

Numerische Simulation in der Luft- und Raumfahrttechnik Numerisce Simulation in der Luft- und Raumfarttecnik Dr. Felix Jägle, Prof. Dr. Claus-Dieter Munz (IAG) Universität Stuttgart Pfaffenwaldring, 70569 Stuttgart Email: felix.jaegle@iag.uni-stuttgart.de Inalt

Mehr

Dr. Jürgen Roth. Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik. Elemente der Algebra. Dr. Jürgen Roth 3.1

Dr. Jürgen Roth. Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik. Elemente der Algebra. Dr. Jürgen Roth 3.1 .1 Dr. Jürgen Roth Fachbereich 6: Abteilung Didaktik der Mathematik Elemente der Algebra . Inhaltsverzeichnis Elemente der Algebra & Argumentationsgrundlagen, Gleichungen und Gleichungssysteme Quadratische

Mehr

1. Daten in Umwelt- und Technikwissenschaften

1. Daten in Umwelt- und Technikwissenschaften Visualisierung in Natur- und Technikwissenschaften 1. Daten in Umwelt- und Technikwissenschaften Vorlesung: Mi, 11:15 12:45 + Fr, 9:15 10:45, INF 368 532 Prof. Dr. Heike Leitte Inhaltsverzeichnis 1. Daten

Mehr

Wie man sieht ist der Luftwiderstand -abgesehen von der Fahrgeschwindigkeit- nur von Werten abhängig, die sich während der Messung nicht ändern.

Wie man sieht ist der Luftwiderstand -abgesehen von der Fahrgeschwindigkeit- nur von Werten abhängig, die sich während der Messung nicht ändern. Wie hoch ist der - und Luftwiderstand eines Autos? Original s. http://www.arstechnica.de/index.html (Diese Seite bietet außer dieser Aufgabe mehr Interessantes zur Kfz-Technik) Kann man den Luftwiderstand

Mehr

Schnelle Lösung großer Gleichungssysteme

Schnelle Lösung großer Gleichungssysteme Schnelle Lösung großer Gleichungssysteme Anton Schüller 1 Ulrich Trottenberg 1,2 Roman Wienands 2 1 Fraunhofer-Institut Algorithmen und Wissenschaftliches Rechnen SCAI 2 Mathematisches Institut der Universität

Mehr

Numerik und Simulation in der Geoökologie

Numerik und Simulation in der Geoökologie 1/43 Reapitulation Instationärer Transport Bac to reality Numeri und Simulation in der Geoöologie Sylvia Moenices VL 8 WS 2007/2008 2/43 Reapitulation Instationärer Transport Bac to reality Parcours Reapitulation

Mehr

DIPLOMARBEIT. Numerische Simulation von chemischen Reaktionen in Flüssigkeiten. Angefertigt am Institut für Numerische Simulation

DIPLOMARBEIT. Numerische Simulation von chemischen Reaktionen in Flüssigkeiten. Angefertigt am Institut für Numerische Simulation DIPLOMARBEIT Numerische Simulation von chemischen Reaktionen in Flüssigkeiten Angefertigt am Institut für Numerische Simulation Vorgelegt der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät der Rheinischen

Mehr

Konvergenz im quadratischen Mittel - Hilberträume

Konvergenz im quadratischen Mittel - Hilberträume CONTENTS CONTENTS Konvergenz im quadratischen Mittel - Hilberträume Contents 1 Ziel 2 1.1 Satz........................................ 2 2 Endlich dimensionale Vektorräume 2 2.1 Defintion: Eigenschaften

Mehr

Nichtlineare Gleichungen

Nichtlineare Gleichungen Nichtlineare Gleichungen Ein wichtiges Problem in der Praxis ist die Bestimmung einer Lösung ξ der Gleichung f(x) =, () d.h. das Aufsuchen einer Nullstelle ξ einer (nicht notwendig linearen) Funktion f.

Mehr

Lineare Algebra und Lösung linearer zeitinvarianter Differentialgleichungssysteme

Lineare Algebra und Lösung linearer zeitinvarianter Differentialgleichungssysteme Übung Lineare Algebra und Lösung linearer zeitinvarianter Differentialgleichungssysteme Diese Übung beschäftigt sich mit Grundbegriffen der linearen Algebra. Im Speziellen werden lineare Abbildungen, sowie

Mehr

13. Abzählen von Null- und Polstellen

13. Abzählen von Null- und Polstellen 13. Abzählen von Null- und Polstellen 77 13. Abzählen von Null- und Polstellen Als weitere Anwendung des Residuensatzes wollen wir nun sehen, wie man ot au einache Art berechnen kann, wie viele Null- bzw.

Mehr

Fragenkatalog CFDe Abschlussgespräch, SoSe 2013

Fragenkatalog CFDe Abschlussgespräch, SoSe 2013 Fragenkatalog CFDe Abschlussgespräch, SoSe 2013 1. In welche vier Bereiche unterteilt sich das Preprocessing? Nenne die dazugehörigen Ordner in OpenFOAM! - Geometrie und Netzerstellung (mit blockmesh oder

Mehr

Divergenz und Rotation von Vektorfeldern

Divergenz und Rotation von Vektorfeldern Divergenz und Rotation von Vektorfeldern Mit Hilfe des Nabla-Operators können nun zwei weitere wichtige elementare Operationen definiert werden, welche formal der Bildung des Skalarproduktes bzw. des äußeren

Mehr

Numerische Verfahren und Grundlagen der Analysis

Numerische Verfahren und Grundlagen der Analysis Numerische Verfahren und Grundlagen der Analysis Rasa Steuding Hochschule RheinMain Wiesbaden Wintersemester 2011/12 R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 2011/12 1 / 16 4. Groß-O R. Steuding (HS-RM)

Mehr

11.3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen

11.3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen .3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen Definition.) komplexe Folgen: z n = x n + j. y n mit zwei reellen Folgen x n und y n.) Konvergenz: Eine komplexe Folge z n = x n + j. y n heißt

Mehr

Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler

Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Wintersemester 3/4 (.3.4). (a) Für z = + i und z = 3 4i berechne man z z und z z. Die Ergebnisse sind in kartesischer Form anzugeben.

Mehr

Überbestimmte lineare Gleichungssysteme

Überbestimmte lineare Gleichungssysteme Überbestimmte lineare Gleichungssysteme Fakultät Grundlagen September 2009 Fakultät Grundlagen Überbestimmte lineare Gleichungssysteme Übersicht 1 2 Fakultät Grundlagen Überbestimmte lineare Gleichungssysteme

Mehr

CFD-Programmier-Seminar

CFD-Programmier-Seminar CFD-Programmier-Seminar Projekt 1: Riemannlöser Aufgabenstellung In diesem Projekt soll Erfahrung mit dem Herzstück eines Finite-Volumen Codes, dem Riemannlöser, gewonnen werden. Ein fertiges CFD-Codegerüst

Mehr

Mathematik für Informatiker II. Beispiellösungen zur Probeklausur. Aufgabe 1. Aufgabe 2 (5+5 Punkte) Christoph Eisinger Sommersemester 2011

Mathematik für Informatiker II. Beispiellösungen zur Probeklausur. Aufgabe 1. Aufgabe 2 (5+5 Punkte) Christoph Eisinger Sommersemester 2011 Mathematik für Informatiker II Christoph Eisinger Sommersemester 211 Beispiellösungen zur Probeklausur Aufgabe 1 Gegeben sind die Polynome f, g, h K[x]. Zu zeigen: Es gibt genau dann Polynome h 1 und h

Mehr

klar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s

klar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s Nachtrag zur allgemeinen Vektorraum-Theorie. 1.5.15. Direkte Summen. Sei V ein Vektorraum, seien U 1,..., U t Unterräume, wir schreiben V = U 1 U 2 U t = t i=1 U i falls die folgenden beiden Bedingungen

Mehr

2.1 Gleichungen 2.Grades mit einer Unbekannten (Thema aus dem Bereich Algebra)

2.1 Gleichungen 2.Grades mit einer Unbekannten (Thema aus dem Bereich Algebra) 2.1 Gleichungen 2.Grades mit einer Unbekannten (Thema aus dem Bereich Algebra) Inhaltsverzeichnis 1 Definition der Gleichung 2.Grades mit einer Unbekannten 2 2 1.Spezialfall: Die Gleichung lässt sich faktorisieren

Mehr

5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform

5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform Mathematik für Physiker II, SS Mittwoch 8.6 $Id: jordan.tex,v.6 /6/7 8:5:3 hk Exp hk $ 5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform 5.4 Die Jordansche Normalform Wir hatten bereits erwähnt, dass eine n n

Mehr

Discontinuous Galerkin Verfahren in der CFD

Discontinuous Galerkin Verfahren in der CFD Discontinuous Galerkin Verfahren in der CFD Dr. Manuel Keßler Universität Stuttgart Status Quo - Aerodynamik Verfahren Finite Volumen Codes 2. Ordnung im Raum Zeitintegration 1.-4. Ordnung (Runge-Kutta

Mehr

Bewertung von europäischen und amerikanischen Optionen

Bewertung von europäischen und amerikanischen Optionen Bewertung von europäischen und amerikanischen en 1. Vortrag - Einführung Technische Universität Berlin Institut für Mathematik 8. November 2007 Inhaltsverzeichnis 1 Definitionen amerikanische / europäische

Mehr

Angewandte Umweltsystemanalyse: Finite-Elemente-Methode (FEM)

Angewandte Umweltsystemanalyse: Finite-Elemente-Methode (FEM) Angewandte Umweltsystemanalyse: Finite-Elemente-Methode (FEM) Prof. Dr.-Ing. habil. Olaf Kolditz 1 Helmholtz Centre for Environmental Research UFZ, Leipzig 2 Technische Universität Dresden TUD, Dresden

Mehr

DIFFERENTIALGLEICHUNGEN

DIFFERENTIALGLEICHUNGEN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN GRUNDBEGRIFFE Differentialgleichung Eine Gleichung, in der Ableitungen einer unbekannten Funktion y = y(x) bis zur n-ten Ordnung auftreten, heisst gewöhnliche Differentialgleichung

Mehr

Schnelle und flexible Stoffwertberechnung mit Spline Interpolation für die Modellierung und Optimierung fortschrittlicher Energieumwandlungsprozesse

Schnelle und flexible Stoffwertberechnung mit Spline Interpolation für die Modellierung und Optimierung fortschrittlicher Energieumwandlungsprozesse Hochschule Zittau/Görlitz, Fakultät Maschinenwesen, Fachgebiet Technische Thermodynamik M. Kunick, H. J. Kretzschmar, U. Gampe Schnelle und flexible Stoffwertberechnung mit Spline Interpolation für die

Mehr

16 Vektorfelder und 1-Formen

16 Vektorfelder und 1-Formen 45 16 Vektorfelder und 1-Formen 16.1 Vektorfelder Ein Vektorfeld v auf D R n ist eine Abbildung v : D R n, x v(x). Beispiele. Elektrisches und Magnetisches Feld E(x), B(x), Geschwindigkeitsfeld einer Strömung

Mehr

Ingenieurmathematik für Maschinenbau, Blatt 1

Ingenieurmathematik für Maschinenbau, Blatt 1 Ingenieurmathematik für Maschinenbau, Blatt 1 Probeklausur Ingenieurmathematik für Maschinenbau Studiengang Prüfungsfach Prüfer Prüfungstermin Prüfungsdauer Prüfungsunterlagen Hilfsmittel Maschinenbau

Mehr

Ü b u n g s b l a t t 11

Ü b u n g s b l a t t 11 Mathe für Physiker I Wintersemester 0/04 Walter Oevel 8. 1. 004 Ü b u n g s b l a t t 11 Abgabe von Aufgaben am 15.1.004 in der Übung. Aufgabe 91*: (Differentialgleichungen, Separation. 10 Bonuspunkte

Mehr

Kapitel 1. Einführung. 1.1 Vorbemerkungen

Kapitel 1. Einführung. 1.1 Vorbemerkungen 1 Kapitel 1 Einführung 1.1 Vorbemerkungen In Fluiddynamik, Energie- und Verfahrenstechnik spielen Transport- und Austauschprozesse eine grosse Rolle. Sie erscheinen in einer unüberschaubaren Vielfalt:

Mehr

Extrema von Funktionen in zwei Variablen

Extrema von Funktionen in zwei Variablen Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt Extrema von Funktionen in zwei Variablen Literatur: Gauglhofer, M. und Müller, H.: Mathematik für Ökonomen,

Mehr

4.3 Bevölkerungsprozessstatistik: Raten und Tafeln

4.3 Bevölkerungsprozessstatistik: Raten und Tafeln Dynamik der Bevölkerungsstruktur ergibt sich aus Zugängen (Geburt, Zuwanderung) Abgängen (Tod, Abwanderung) Bewegungen zwischen Sektoren (ledig verheiratet, erwerbstätig nicht erwerbstätig, verschiedene

Mehr