Hydrodynamik in der Astrophysik: Grundlagen, numerische Verfahren und Anwendungen. Vorlesung an der TU München Wintersemester 2012/13

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1 Hydrodynamik in der Astrophysik: Grundlagen, numerische Verfahren und Anwendungen Vorlesung an der TU München Wintersemester 2012/13 PD Dr. Ewald Müller Max-Planck-Institut für Astrophysik Karl-Schwarzschild-Straße Garching 13. Februar 2013

2 Inhaltsverzeichnis 1 Die hydrodynamischen Gleichungen Die Boltzmann-Gleichung Bedingungen für eine hydrodynamische Beschreibung Herleitung der hydrodynamischen Gleichungen Maxwell Boltzmann Gleichung Hydrodynamische Gleichungen Relativistische Hydrodynamik Speziell relativistische Hydrodynamik Allgemein relativistische Hydrodynamik Magnetohydrodynamik Eigenschaften und analytische Lösungen Systeme Quasilinearer Partieller Differentialgleichungen Charakteristiken Die lineare Advektionsgleichung Lineare, homogene PDE 1. Ordnung in 1 Dimension Nicht viskose Burger Gleichung Homogenes hyperbolisches System quasilinearer PDE s 1. Ordnung in 1 Dimension Charakteristische Form der hydrodynamischen Gleichungen Einfache Wellen Verdünnungs und Verdichtungswellen: Schwache Lösungen und Diskontinuitäten Stoßwellen in einem idealen Gas Das Riemann Problem Diskretisierungsverfahren Grundlegende Begriffe und Definitionen Explizite und implizite Verfahren Methode der Operatoren Zerlegung Konservative Verfahren Stabilität, Konsistenz und Diskretisierungsfehler Diffusionsgleichung

3 INHALTSVERZEICHNIS Advektionsgleichung Allgemeine Tatsachen Exakte Riemannlöser: Verfahren von Godunov Approximative Riemannlöser: Verfahren von Roe Anwendungen aus der Astrophysik Strömungsinstabilitäten in Supernovahüllen Rayleigh Taylor Instabilität Kelvin Helmholtz Instabilität Instabilitäten in Supernovahüllen Turbulentes Brennen in thermonuklearen Supernovae Relativistische Jets und Gammablitze Beobachtungen Simulationen

4 Literatur zu Kapitel 1: A.M. Anile, Relativistic Fluids and Magnetofluids, Cambridge University Press, 1989 A.R. Choudhuri, The Physics of Fluids and Plasmas, Cambridge University Press, Cambridge, 1998 G. Ecker, Theory of Fully Ionized Plasmas, Academic Press, New York, 1972 L.D. Landau & E.M. Lifschitz, Band VI, Hydrodynamik, Kap. I III, VIII-X, XVI- XV, Akademie-Verlag, Berlin, 1991 L.D. Landau & E.M. Lifschitz, Band VIII, Elektrodynamik der Kontinua, Kap. VIII, Akademie-Verlag, Berlin, 1990 S.N. Shore, An Introduction to Astrophysical Hydrodynamics, Academic Press, San Diego, 1992 F.H. Shu, The Physics of Astrophysics Vol II: Gas Dynamics, University Science, Mill Valley, 1992 zu Kapitel 2: A.J. Chorin & J.E. Marsden, A Mathematical Introduction to Fluid Mechanics, Springer, New York, 1979 R. Courant & K.O. Friedrichs, Supersonic Flow and Shock Waves, Springer, Berlin, 1976 H.. Goedbloed & S. Poedts, Principles of Magnetohydrodynamics Cambridge University Press, Cambridge, 2004 E.F. Toro, Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics - A Practical Introduction, Springer, Berlin, 1997 R.J. LeVeque, Numerical Methods for Conservation Laws, Birkhäuser, Basel, 1992 R.J. LeVeque, Nonlinear Conservation Laws and Finite Volume Methods, in Computational methods for astrophysical fluid flow, LeVeque, R.J., Mihalas, D., Dorfi, E.A. & Muelller, E., Springer, Berlin,

5 INHALTSVERZEICHNIS 4 zu Kapitel 3: D.A. Anderson, J.C. Tannehill & R.H. Pletcher, Computational Fluid Mechanics and Heat Transfer, McGraw-Hill, New York, 1984 J.Antonio Font, Numerical Hydrodynamics in General Relativity, Living Reviews in Relativity, lrr C.B. Laney, Computational Gasdynamics, Cambridge University Press, Cambridge, 1998 J.M. Martí and E. Müller, Numerical Hydrodynamics in Special Relativity, Living Reviews in Relativity, lrr E. Oran & J.P. Boris, Numerical Simulation of Reactive Flow, Elsevier, New York, 1987 D. Potter, Computational Physics, Wiley, New York, 1977 zu Kapitel 4: S. Chandrasekhar, Hydrodynamic and Hydromagnetic Stability, Dover, 1961 W. Hillebrandt and J.C. Niemeyer Type IA Supernova Explosion Models, Annual Review of Astronomy and Astrophysics, Vol. 38, p (2000) E. Müller, Simulation of Astrophysical Fluid Flow, in Computational methods for astrophysical fluid flow, LeVeque, R.J., Mihalas, D., Dorfi, E.A. & Mülller, E., Springer, Berlin, 1998 Interessante und nützliche WWW-Adressen: CFD Online: Astro-Sim: CCSE:

6 Kapitel 1 Die hydrodynamischen Gleichungen 1.1 Die Boltzmann-Gleichung Gegeben sei ein klassisch mechanisches System von N Teilchen ohne innere Freiheitsgrade (d.h. Teilchen ohne innere Struktur). Die Bewegung der Teilchen ist durch die Hamiltonschen Gleichungen q i t = H p i, p i t = H q i i = 1,..., N (1.1) bei gegebenen Anfangsbedingungen festgelegt (kanonisches, auch Hamiltonsches oder konservatives System). Hierbei sind: q i = (q 1, q 2, q 3 ) die verallgemeinerten Koordinaten und p i = (p 1, p 2, p 3 ) die verallgemeinerten Impulse der Teilchen und H = H( q 1,..., q N, p 1,..., p N, t) die Hamilton Funktion des Systems Für große Teilchenzahlen N ist es nicht möglich, die Bewegungsgleichungen aller Teilchen zu lösen (Rechenaufwand zu groß; Unkenntnis der genauen Anfangsbedingungen). statistische Beschreibung von Systemen mit großer Teilchenzahl erforderlich Gibbs Gesamtheit oder Ensemble: Vielzahl von gleichartigen physikalischen Systemen (gleiche Hamilton Funktion H), die unter denselben makroskopischen (nicht in H enthalten ) Bedingungen als nebeneinander etabliert gedacht werden können. 5

7 KAPITEL 1. DIE HYDRODYNAMISCHEN GLEICHUNGEN 6 Unter gewissen Umständen (Energieerhaltung) kann man ein einzelnes physikalisches System im zeitlichen Hintereinander als äquivalentes Ensemble betrachten (Ergodenhypothese) Beschreibungsgrundlage für die statistische Beschreibung einer Gibbs Gesamtheit ist der Γ-Phasenraum. Dies ist ein 6N dimensionaler Raum (allgemein ein 2fN dimensionaler Raum, wobei f die Anzahl der Freiheitsgrade der Teilchen ist), der von den Vektoren q 1,..., q N und p 1,..., p N aufgespannt wird. Ein Punkt in diesem Phasenraum beschreibt den Zustand aller N Teilchen zu einem gegebenen Zeitpunkt. Die zeitliche Entwicklung des Systems ist durch eine (eindeutige) Phasenbahn (Trajektorie) im Γ Raum gegeben. Die bisherigen Betrachtungen sind auf ein klassisch mechanisches System aus sehr vielen (gleichartigen oder nicht gleichartigen) wechselwirkenden Teilchen zugeschnitten. Liegt zwischen den Teilchen keine Wechselwirkung vor, so reicht die Betrachtung des einem Einzelteilchen zugeordneten 6 (allgemein 2f) dimensionalen Phasenraums aus, der von den Vektoren q und p aufgespannt wird. Dieser Phasenraum wird als µ Phasenraum bezeichnet. Wegen der Unabhängigkeit der Teilchen: bei N Teilchen, N Phasenraumpunkte in demselben µ Raum (in der Quantenmechanik: Phasenraumpunkt Phasenraumzelle) Grundaufgabe der statistischen Beschreibung: Bestimmung der Verteilung der Phasenraumpunkte, die den physikalischen Systemen der betrachteten Gibbs-Gesamtheit zugeordnet sind. Definition: N-Teilchen oder Liouville-Verteilungsfunktion F ( q 1,..., q N, p 1,..., p N, t) ist Wahrscheinlichkeitsdichte im Γ Raum mit F ( q 1,..., q N, p 1,..., p N, t) dω = 1 wobei dω d q 1,..., d q N, d p 1,..., d p N das Volumenelement des Phasenraumes ist. Die Größe F dω ist demnach die Wahrscheinlichkeit zur Zeit t das physikalische System im Volumenelement dω anzutreffen, d.h. Teilchen (1) im Ortsintervall [ q 1, q 1 + d q 1 ] und im Impulsintervall [ p 1, p 1 + d p 1 ], Teilchen (2) im Ortsintervall [ q 2, q 2 + d q 2 ] und im Impulsintervall [ p 2, p 2 + d p 2 ], u.s.w.

8 KAPITEL 1. DIE HYDRODYNAMISCHEN GLEICHUNGEN 7 für wechselwirkungsfreie Teilchen (d.h. Eigenvolumen = 0) ist der Γ Phasenraum gleich dem Produkt aus den unabhängigen µ Phasenräumen. Ordnet man dem (i)-ten Teilchen die Verteilungsfunktion f i ( q i, p i, t) mit der Eins Normierung f i ( q i, p i, t)d q i d p i = 1 zu, so gilt die Produktdarstellung der Gesamtverteilungsfunktion F ( q 1,..., q N, p 1,..., p N, t) = N f i ( q i, p i, t) (1.2) i=1 Im Spezialfall gleichartiger, wechselwirkungsfreier Teilchen stimmen die Verteilungsfunktionen f i ( q i, p i, t) überein F ( q 1,..., q N, p 1,..., p N, t) = N f i ( q i, p i, t) = [f( q, p, t)] N i=1 Zur Herleitung von Differentialgleichungen (d.h. Entwicklungsgleichungen) für die Verteilungsfunktionen verwendet man für kanonische Systeme den Liouville schen Satz d (dω) = 0 (1.3) dt d.h. das Phasenraumvolumen dω eines kanonischen Systems bleibt bei der zeitlichen Entwicklung des Systems ( ˆ= Bewegung im Phasenraum) erhalten. Es gilt d dt F dω = 0 da F dω = 1 Daraus folgt d (F dω) = 0 dt d.h. dω df dt = 0 und damit die Liouville Gleichung für die Verteilungsfunktion einer Gibbsschen Gesamtheit im Γ Phasenraum. df dt F 3N ( F t + dq i q i dt + F ) dp i = 0 (1.4) p i dt i=1

9 KAPITEL 1. DIE HYDRODYNAMISCHEN GLEICHUNGEN 8 Betrachtet man ein physikalisches System dieser Gesamtheit, das aus gleichartigen wechselwirkungsfreien Teilchen besteht, dann wird dieses System selbst zu einer statistischen Gesamtheit im µ Phasenraum Für die Einteilchen Verteilungsfunktion gilt dann die Vlasov Gleichung: f t + 3 i=1 ( f dq i q i dt + f ) dp i = 0 (1.5) p i dt Wenn die Teilchendichte zunimmt werden Stöße zwischen den Teilchen wichtig, da sich das Eigenvolumen der Teilchen bemerkbar macht. Liouville Gleichung muss anstelle der Vlasov Gleichung verwendet werden. a) Falls Wechselwirkung kurzreichweitig und Dichte nicht allzu hoch (nur Zweierstöße + molekulare Unordnung, d.h. die durch einen Stoß erzeugte lokale Ordnung wird vor nächstem Stoß wieder völlig verwischt). In diesem Fall ist das System als verdünntes, neutrales Gas beschreibbar und die Dynamik des Systems ist durch die Boltzmann Gleichung gegeben. b) Falls Wechselwirkung langreichweitig (Coulomb, Gravitation): Es finden viele Kleinwinkelstreuprozesse statt. Die Beschreibung des Systems ist durch die Fokker Planck Gleichung gegeben. c) Falls Wechselwirkung langreichweitig und falls kollektive Abschirmprozesse wirksam sind (wie in einem Plasma): Das System ist durch die Lenard Balescu Gleichung beschreibbar Alle diese Stoßgleichungen (im µ Phasenraum) lassen sich aus der Liouville Gleichung z.b. unter Verwendung der BBGKY Hierarchie (Born, Bogoljubov, Green, Kirkwood, Yvon) streng ableiten (siehe Abb. 1.1 und z.b. Ecker 1972). Die BBGKY Hierarchie basiert auf der sukzessiven Integration der Liouville Gleichung über die Koordinaten der N Teilchen-Verteilungsfunktionen. Daraus resultieren gekoppelte Integro Differentialgleichungen mit einer zunehmenden Ordnung von Teilchenkorrelationen. Integriert man die N-Teilchenfunktion über die Orts- und Impulskoordinaten von N 1 Teilchen, so erhält man die nur von den Koordinaten und Impulsen eines Teilchens abhängige Liouville sche Einteilchen-Verteilungsfunktion F (1) ( q 1, p 1, t) F ( q 1,..., q N, p 1,..., p N, t) d q 2... d q N d p 2... d p N, die die Wahrscheinlichkeit angibt, an der Stelle ( q 1, p 1 ) ein Teilchen anzutreffen.

10 KAPITEL 1. DIE HYDRODYNAMISCHEN GLEICHUNGEN 9 Liouville Gleichung Green Funktions methode Aufstiegsmethode von Dupree BBGKY Abstiegsmethode Vernachlässigung von Stö ßen Lenard Balescu Gleichung Fokker Planck Gleichung BBGKY Gleichung Vlasov Gleichung Boltzmann Gleichung Vernachlässigung der Stö ße ( adaptiert aus F. Cap ) Momentenmethode Hydrodynamik Gleichungen Abbildung 1.1: Übersicht zur Herleitung der hydrodynamischen Gleichungen Wenn Teilchen i und j durch ein Wechselwirkungspotential Ψ i,j (q i, q j ) aufeinander Kräfte ausüben 1, dann ist in der Liouville Gleichung (1.4) die auf das Teilchen i wirkende Beschleunigung 1 d p i m i dt d u i dt durch Ψ i q i j i Ψ i,j q i zu ersetzen, wobei u i die Geschwindigkeit des Teilchens i ist. Damit lautet die Liouville Gleichung (1.4): F t + N i=1 { u i F q i Ψ i q i } F = 0. (1.6) u i Setzt man ohne Beschränkung der Allgemeinheit i = 1 und integriert (1.6) über die verallgemeinerten Koordinaten und Impulse der anderen N 1 Teilchen, so folgt F (1) F (1) Ψ1 F + u 1 = d q 2... d q N d p 2... d p N. (1.7) t q 1 q 1 u 1 1 In diesem Fall sind die Kräfte zwischen den Teilchen konservativ, d.h. die Beschleunigung, die auf ein Teilchen wirkt, hängt nur von den Koordinaten, aber nicht von den Impulsen der Teilchen ab.

11 KAPITEL 1. DIE HYDRODYNAMISCHEN GLEICHUNGEN 10 Dabei wurde verwendet, dass die Integration der Terme mit F/ q i für i = 2,..., N Null ergibt, da ( F/ q i ) d q i = 0 falls die N-Teilchenfunktion F für q i ausreichend schnell gegen Null strebt. Dies gilt analog auch für die Terme mit F/ u i. Nimmt man nun noch zur Vereinfachung an, dass F eine symmetrische Funktion der unabhängigen Variablen d q 1... d q N d p 1... d p N ist (ohne diese Vereinfachung ist die Ableitung langwieriger), dann lässt sich die rechte Seite von (1.7) unter Beachtung von Ψ 1 = j 2 Ψ 1,j in der Form (N 1) Ψ1,2 q 1 F u 1 d q 2... d q N d p 2... d p N schreiben. Definiert man gemäß F (2) ( q 1, q 2, p 1, p 2, t) F ( q 1,..., q N, p 1,..., p N, t) d q 3... d q N d p 3... d p N die Zweiteilchen-Verteilungsfunktion F (2), so folgt aus (1.7) F (1) t F (1) Ψ1,2 F (2) + u 1 = (N 1) d q 2 d p 2. (1.8) q 1 q 1 u 1 Um die Zweiteilchen-Verteilungsfunktion F (2) zu berechnen, muss man die (N 2)-fach integrierte Liouville Gleichung lösen, wobei die unbekannte Dreiteilchen- Verteilungsfunktion F (3) auftritt, die aus der (N 3)-fach integrierten Liouville Gleichung folgt, die die Wechselwirkung zwischen drei Teilchen (Dreierstöße) beinhaltet. Das sich so ergebende hierarchische Gleichungssystem ist geschlossen nicht lösbar und man muss mit Näherungsverfahren ein Abbrechen der BBGKY Hierarchie erzwingen (z.b. Annahme über F (3) als Funktion von F (2) ). Beschränkt man sich bei geringer Dichte auf Zweierstöße, betrachtet nur geschwindigkeitsunabhängige Wechselwirkungkräfte kurzer Reichweite (die nur vom Abstand zwischen den Teilchen abhängen), nimmt weiterhin an, dass molekulares Chaos herrscht und dass die Wirkung von äußeren Kräften während des Stoßvorgangs vernachlässigt

12 KAPITEL 1. DIE HYDRODYNAMISCHEN GLEICHUNGEN 11 werden kann, fordert schließlich noch, dass F (1) während des Stoß konstant ist, so erhält man die Boltzmanngleichung für die Einteilchen-Verteilungsfunktion f f t + u grad qf grad q Φ grad u f = [ ] f t c (1.9) wobei ( ) grad q,,, grad q 1 q 2 q u 3 ( u 1, u 2, und Φ ein äußeres Potential ist, das eine glatte (d.h. auf makroskopischen Skalen varierende) Beschleunigung d u/dt bewirkt. Der irreversible Stoßterm [ f/ t] c beschreibt die zeitliche Änderung der Einteilchenverteilungsfunktion aufgrund von Teilchenstößen (d.h. die Teilchen-Wechselwirkung) auf statistische Weise. Er repräsentiert irreversible Prozesse (z.b. Viskosität, Diffusion). Es existieren zwei weitere Methoden zur Herleitung von Stoßgleichungen. a) Die Methode von Klimontovitsch und Dupree geht von der Einteilchenverteilungsfunktion und der Einteilchen Bewegungsgleichung und führt zur Fokker Planck Gleichung (und auch zur Boltzmann Gleichung). b) Die Methode von Lenard und Balescu basiert auf Greens Funktionen und kann zur Herleitung der Lenard Balescu Gleichung (und auch der Fokker Planck Gleichung) verwendet werden. Bemerkung: Die Lösungen der Lenard Balescu Gleichung streben der Gleichgewichtsverteilung F/ t = 0 (Maxwell Verteilung) zu, falls auch Φ = 0. Hierbei ist zu beachten, dass im Gleichgewicht Stöße auftreten, aber das Stoßintegral verschwindet! u 3 )

13 KAPITEL 1. DIE HYDRODYNAMISCHEN GLEICHUNGEN Bedingungen für eine hydrodynamische Beschreibung Ein System von N freien Teilchen läßt sich als ein Kontinuum beschreiben, wenn a) das mikroskopische Verhalten einzelner Teilchen vernachlässigbar ist λ l (1.10) Hier ist λ die mittlere freie Weglänge der Teilchen und l die charakteristische makroskopische lineare Dimension des Systems, oder die Skala, über die die Verteilungsfunktion signifikant variiert. Das Konzept des Flüssigkeitselements ist sinnvoll, falls λ l f l (1.11) In diesem Fall ist die Anzahl der Teilchen im Flüssigkeitelement groß, d.h. mittlere Größen sind sinnvoll definierbar, z.b. die Dichte ρ und die Geschwindigkeit eines Flüssigkeitselements v. Die Geschwindigkeit eines Teilchens u = v + w (1.12) setzt sich aus einer statistischen Komponente w und der mittleren Geschwindigkeit v zusammen. Da λ l, besitzen die Teilchen eine kleine zufällige Geschwindigkeitskomponente ( random walk ) zusätzlich zur mittleren Strömungsgeschwindigkeit, d.h. das Flüssigkeitselement bleibt während der Entwicklung erhalten (bis auf einen geringen Teilchenaustausch an seinem Rand, der sich als Diffusionsprozeß beschreiben läßt) b) Die Wechselwirkung zwischen den Teilchen muss sättigen, d.h. die Wechselwirkung muss kurzreichweitig sein, da sonst kollektive Effekte berücksichtigt werden müssen. Formal heißt dies ( ) E lim = const (1.13) N N wobei E/N die Energie pro Teilchen ist.

14 KAPITEL 1. DIE HYDRODYNAMISCHEN GLEICHUNGEN 13 Energiedichte und Druck (auf die Wände des Flüssigkeitselements) sind dann wie folgt definerbar: e E V = n ( E N ) (1.14) p n e n e (1.15) wobei n N/V und V das Volumen des Flüssigkeitelements ist. Beispiel für nicht-sättigende Kräfte: Gravitation, Coulomb ( 1 r ) { E N 2 N Bosonen N 4/3 Fermionen Gravitation muss als äußere makroskopische Kraft in Hydrodynamik beschrieben werden.

15 KAPITEL 1. DIE HYDRODYNAMISCHEN GLEICHUNGEN Herleitung der hydrodynamischen Gleichungen Hauptproblem bei der Herleitung makroskopischer Gleichungen ist der Stoßterm in den kinetischen Gleichungen Mehrere Verfahren existieren (z.b. Methode von Grad und von Chapman und Enskog), um makroskopische Transportgleichungen für mittlere Größen aus der Boltzmanngleichung abzuleiten. Basis: Makroskopische Größen, die als Geschwindigkeits- bzw. Impulsmomente der Verteilungsfunktion definiert sind Maxwell Boltzmann Gleichung Verfahren: Multiplikation der Boltzmann Gleichung mit Größen Θ (τ) m u τ τ = 0, 1, 2,... (1.16) und Integration über den Impuls- bzw. Geschwindigkeitsraum. Speziell von Interesse sind dabei die 3 niedrigsten Momente, die eine direkte physikalische Bedeutung besitzen. Sie sind die Dichte, der Impuls und die kinetische Energie der statistischen Geschwindigkeitskomponente w = u v (innere Energie) des Gases am Ort q zur Zeit t Allgemein ist das r-te Moment definiert als Θ (r) 1 n ρ = m f( q, p, t)d p (1.17) ρv = m u f( q, p, t)d p (1.18) m ρε = 2 w 2 f( q, p, t)d p (1.19) Θ (r) fd p, (1.20) woraus sich gemäß (1.9) die r-te Momentengleichung ergibt [ ] f Θ (r) t + ugrad qf grad q Φ grad u f d p = [ ] f Θ (r) d p (1.21) t c

16 KAPITEL 1. DIE HYDRODYNAMISCHEN GLEICHUNGEN 15 Die mittlere Teilchenanzahldichte n ist gemäß n fd p (1.22) definiert, wobei nθ = nθfd p n = Θfd p = n Θ (1.23) gilt. Da Θ (r) nicht explizit von q und t abhängt, folgt aus Gleichung (1.21) t Θ (r) fd p + u grad q (Θ (r) f) d p Θ (r) grad q Φ grad u f d p [ ] f = Θ (r) d p (1.24) t c 1. Term von (1.24): t Θ (r) fd p = t ( n Θ (r) ) = t nθ (r) 2. Term von (1.24): ugrad q (Θ (r) f) d p = div q (Θ (r) f u) d p Θ (r) f div q u d p = div q nθ (r) u nθ (r) div q u wobei die Identität divψ A = AgradΨ + Ψ div A (1.25) verwendet wurde. 3. Term von (1.24): Θ (r) grad q Φ grad u f d p = Θ (r) u gradu f d p = Θ (r) p gradp f d p

17 KAPITEL 1. DIE HYDRODYNAMISCHEN GLEICHUNGEN 16 wegen u = grad q Φ. Mit Hilfe der Identität (1.25) folgt dann Θ (r) grad q Φ grad u f d p = div p (Θ (r) pf) d p fdiv p (Θ (r) p) d p } {{ } 0 Das erste Integral auf der rechten Seite ist identisch gleich Null. Dies kann man mit Hilfe des Gauss schen Satz zeigen unter der sinnvollen Annahme, dass f für u schneller gegen Null strebt als jede Potenz von u (z.b. Boltzmannverteilung). Nochmalige Anwendung der Identität (1.25) liefert Θ (r) grad q Φ grad u f d p = fθ (r) div p p d p f p grad p Θ (r) d p Die Divergenz im Integranden des ersten Integrals auf der rechten Seite läßt sich mit Hilfe der Hamiltonschen Gleichungen (1.1) umschreiben. Wegen ṗ 1 = H/ q 1 und q 1 = + H/ p 1 gilt ṗ 1 = 2 H = q 1 p 1 p 1 q 1 q 1 und damit ṗ 1 p 1 + q 1 q 1 = 0 bzw. div p p = divq q (1.26) Demnach läßt sich der 3-te Term von (1.24) unter Verwendung von q = u in der Form Θ (r) grad q Φ grad u f d p = nθ (r) div q u f p grad p Θ (r) d p bzw. Θ (r) grad q Φ grad u f d p = nθ (r) div q u + fgrad q Φ grad u Θ (r) d p schreiben. Zusammenfassung aller Terme ergibt die Maxwell Boltzmann Transportgleichung (MBT Gleichung) für das Moment Θ (r) nθ (r) + div q nθ (r) u + grad t q Φ ngrad u Θ (r) = [ ] f Θ (r) d p t c (1.27)

18 KAPITEL 1. DIE HYDRODYNAMISCHEN GLEICHUNGEN 17 Die rechte Seite dieser Transportgleichung ist gleich null, falls Θ (r) (oder eine Linearkombination von Θ (r) s) eine Erhaltungsgröße bei Stößen ist Für elastische Kollisionen infolge kurzreichweitiger Kräfte gibt es im nicht relativistischen Grenzfall genau 5 unabhängige Erhaltungsgrößen: Masse: m Impuls: m u kinetische Energie: 1 2 m u 2 Die Maxwell Boltzmann Transportgleichungen stellen ein hierarchisches System von Gleichungen dar, da das r-te Moment wegen des Terms div q nθ (r) u vom (r+1) ten Moment abhängt und weil der Stoßterm nicht auf eine Funktion des r-ten Moments reduzierbar ist. Daher ist eine unabhängige Schließbedingung erforderlich Hydrodynamische Gleichungen Zur Herleitung der hydrodynamischen Gleichungen verwendet man die MBT Gleichungen für die 3 niedrigsten Momente und eine Zustandsgleichung für das 3-te Moment als Schließbedingung. Nulltes Moment r = 0: Θ (0) = m (1.28) nm + div nm u = 0, (1.29) t da die Masse der Teilchen während der Teilchenkollision erhalten ist (nicht relativistische Beschreibung und keine Reaktionen). Mit nm = ρ = mfd p ergibt sich dann die Kontinuitätsgleichung ρ t + div (ρ v) = 0 (1.30) Erstes Moment r = 1: Θ (1) = m u (1.31) Aus der Maxwell Boltzmann Transportgleichung (1.27) folgt dann (ρ v) + div [ρ u u ] + ρgradφ = 0 (1.32) t

19 KAPITEL 1. DIE HYDRODYNAMISCHEN GLEICHUNGEN 18 Hierbei ist u u die symmetrische Dyade u i u k. Der Stoßterm (d.h. die rechte Seite) ist gleich null, da der Impuls in Teilchenkollisionen erhalten ist. Für die Dyade u u gilt u u = v v + v w + w v + w w Da v eine gemittelte Größe ist und da w = 0 gilt, folgt u u = v v + w w (1.33) und damit die Navier Stokes Gleichung (Bewegungsgleichung der Hydrodynamik) (ρ v) + div [ρ( v v)] + divπ = ρgradφ (1.34) t Der Drucktensor Π ρ ( w w) wird üblicherweise in der Form Π = p I π (1.35) geschrieben, wobei I der Einheitstensor ist, p 1 3 ρ w 2 (1.36) der isotrope Gasdruck (Spur der symmetrischen Dyade) und 1 π ρ 3 w 2 I w w (1.37) der Viskositätstensor. Für reibungsfreie Gase gilt die Euler Gleichung: (ρ v) + div [ρ( v v)] + gradp = ρgradφ (1.38) t oder auch v t + ( vgrad) v + 1 gradp = gradφ (1.39) ρ

20 KAPITEL 1. DIE HYDRODYNAMISCHEN GLEICHUNGEN 19 Zweites Moment r = 2: Mit Θ (2) = 1 2 m u 2 (1.40) folgt nθ (2) = [ ρ ] w + v 2 = [ ρ t t 2 t 2 v 2 + ρ >] 2 < w 2 (zeitliche Änderung der totalen, d.h. kinetischen plus thermischen Energiedichte) und div nθ (2) u = i x i [ ρ 2 ] u 2 j u i Die Summe in der eckigen Klammer läßt sich umformen zu j u 2 j u i = (w 2 j + 2w j v j + vj 2 ) (w i + v i ) j j = wj 2 w i + 2w j w i v j + vj 2 w i +wj 2 v i + 2w j v j v i +vj 2 v }{{} } {{ } i j =0 =0 = w 2 w i + 2 w i w j v j + w 2 v i + v 2 v i j und daraus folgt dann div nθ (2) u = i x i { [ ρ v 2 v i + v i w j v j w i w j + w i w 2 ]} Mit Hilfe der spezifischen inneren Energie [erg/g] ε 1 2 w 2 (1.41) und des Energieflußes durch Wärmeleitung (Transport von Wärme ρ 2 w 2 durch thermische Bewegung) h ρ w 1 2 w 2, (1.42)

21 KAPITEL 1. DIE HYDRODYNAMISCHEN GLEICHUNGEN 20 läßt sich die Energiegleichung in der Form t (ρe) + div [(ρe + p) v] + div h div(π v) = ρ vgradφ (1.43) schreiben, wobei die spezifische Gesamtenergiedichte E [erg/g] durch E 1 2 v 2 + ε (1.44) gegeben ist. Im Spezialfall einer adiabatische Strömung ohne Gravitation (d.h. Entropie ist konstant) gilt für die spezifische Gesamtenergiedichte die Gleichung (ρe) + div [(ρe + p) v] = 0 (1.45) t und für die spezifische Entropie S (pro Masseneinheit) die Gleichung ρs t + div(ρs v) = 0. (1.46) Einen phänomenologischer Ansatz für die Wärmeleitung erhält man durch Taylor Entwicklung bis zur 1. Ordnung in T h = κ gradt, (1.47) wobei κ der Wärmeleitungskoeffizient [erg/k/sec/cm 2 ] ist. Die allgemeinste Form des Viskositätstensors lautet (siehe z.b., Landau und Lifshitz): ( vi π ik = η + v k 2 ) x k x i 3 δ ik div v ζδ ik div v, (1.48) wobei η und ζ die Viskositätskoeffizienten sind. Man beachte, dass der erste Term spurfrei ist. Die Zustandsgleichung (Schließbedingung) verknüpft den Druck p (3.Moment) mit der Dichte ρ und der spezifischen inneren Energie ε bzw. der Temperatur T der Flüssigkeit oder des Gases. Im Falle eines idealen, einatomigen Boltzmanngases lautet die Zustandsgleichung p = nk B T = RρT (1.49) wobei n die Teilchenanzahldichte [cm 3 ], k B = [erg/k] die Boltzmannkonstante und R = [erg/k mol] die allgemeine Gaskonstante sind.

22 KAPITEL 1. DIE HYDRODYNAMISCHEN GLEICHUNGEN Relativistische Hydrodynamik In der Newtonschen Theorie der Gravitation wird ein absoluter euklidischer Raum postuliert, in dem sich die Massen bewegen, die sich gegenseitig durch die von ihnen ausgeübten Gravitationskräfte beeinflussen. In der Einsteinschen Allgemeinen Relativitätstheorie bewirken die in einer Raumzeit vorhandenen Massen (Energien) eine Krümmung der Raumzeit (d.h. eine Veränderung der Raumzeitgeometrie) und die Raumzeitkrümmung (Gravitation) bestimmt ihrerseits die Bewegung der Massen. Mathematisch lässt sich dieses physikalische Konzept im Rahmen einer Theorie einer Pseudo Riemannschen Geometrie einer kontinuierlichen vierdimensionalen Raumzeit formulieren. Die Raumzeit wird durch eine Mannigfaltigkeit M mit einer symmetrischen Metrik g µν (Tensorfeld 2. Stufe mit µ, ν = 0, 1, 2, 3) beschrieben, die durch sechs unabhängige Metrikfunktionen definiert ist (4 Koordinaten Freiheitsgrade). Die nicht linearen (es gilt kein Superpositionsprinzip für Gravitationsfelder) Einsteinschen Feldgleichungen verknüpfen die Krümmung der Raumzeit spezifiziert durch den Einstein Tensor G µν (quasilinearer Differentialoperator von 2. Ordnung in der Metrik g µν, d.h. linear in den 2. Ableitungen) mit dem Energie Impuls Tensor T µν der Massenenergieverteilung der Raumzeit G µν = 8πG c 2 T µν, (1.50) wobei G die Newtonsche Gravitationskonstante und c die Lichtgeschwindigkeit sind. Annahme: Ideale Flüssigkeit charakterisiert durch 4 Geschwindigkeit (dimensionslos) u µ = dxµ c dτ, (1.51) wobei dx µ und dτ das Koordinaten- bzw. das Eigenzeitintervall sind, sowie durch den Energie Impuls Tensor T µν = (e + p)u µ u ν + pg µν. (1.52) Hierbei ist e = ρc 2 + ρε die Gesamtenergiedichte [erg/cm 3 ], p der Druck und ρ die Eigenruhemassendichte bzw. die Baryonenanzahldichte (alle Größen gemessen im lokalen Bezugssystem der Flüssigkeit)

23 KAPITEL 1. DIE HYDRODYNAMISCHEN GLEICHUNGEN 22 Mit Hilfe der Relation e + p = ρ(c 2 + ε) + p = ρh, wobei h c 2 + ε + p/ρ die spezifische Enthalpie [erg/g] ist, läßt sich der Energie Impuls Tensor auch in der Form T µν = ρhu µ u ν + pg µν (1.53) schreiben. Mit Hilfe der Bianchi Identität ν G µν = 0 folgen aus den Einsteinschen Feldgleichungen zwei Erhaltungssätze in kovarianter (koordinatenfreier) Form, die die Bewegung der Flüssigkeit mit dem Teilchenstrom J µ ρu µ beschreiben: Teilchenzahlerhaltung µ J µ = 0 (1.54) Energie Impuls Erhaltung µ T µν = 0 (1.55) Die kovariante Ableitung µ ist wie folgt definiert: µ A ν A ν, µ + Γ ν σµa σ wobei A ν, µ µ A ν Aν x µ die gewöhnliche Ableitung bedeutet und Γ ν σµ 1 2 gνλ ( σ g λµ + µ g λσ λ g σµ ) (1.56) der metrische Zusammenhang (kein Tensor, da er sich linear inhomogen transformiert), bzw. die Christoffelsymbole zweiter Art der Metrik der Raumzeit Mannigfaltigkeit sind.

24 KAPITEL 1. DIE HYDRODYNAMISCHEN GLEICHUNGEN 23 Wichtig: Um die kovarianten Gleichungen für die Teilchenzahl-Erhaltung 1.54) und die Erhaltung des Energie-Impulses (1.55) numerisch intergrieren zu können, muss man ein geeignetes Koordinatensystem wählen. Da das Newtonsche Konzept eines absoluten Raums und einer absoluten Zeit in der Allgemeinen Relativitätstheorie nicht existiert, muss man bei der Interpretation der geometrischen Bedeutung der Koordinaten sehr vorsichtig sein Speziell relativistische Hydrodynamik Die Raumzeit Metrik der speziellen Relativitätstheorie ist die ( flache ) Minkowski Metrik g µν η µν diag( 1, 1, 1, 1) und Γ ν σµ = 0. In dieser Metrik geht die kovariante Ableitung µ in die gewöhnliche Ableitung µ über. Die Gleichungen für die Teilchenzahlerhaltung bzw. für die Energie Impuls Erhaltung lauten dann µ (ρu µ ) = 0 µ T µν = 0. (1.57) Mit Hilfe des Lorentzfaktors W [1 v 2 /c 2 ] 1/2, (1.58) wobei v d x/dt die 3 Geschwindigkeit ist, läßt sich die 4 Geschwindigkeit in der Form u µ = W (1, v/c) schreiben. Definition relativistischer Erhaltungsgrößen im Laborsystem: Ruhemassendichte [g/cm 3 ] D ρu 0 = ρw (1.59) Impulsdichte S i T 0i /c = h c 2 W 2 ρv i, i = 1, 2, 3 (1.60)

25 KAPITEL 1. DIE HYDRODYNAMISCHEN GLEICHUNGEN 24 und Energiedichte [erg/cm 3 ] τ T 00 ρu 0 c 2 = ρhw 2 p ρw c 2 (1.61) Damit lauten die relativistischen hydrodynamischen Gleichungen in Erhaltungsform wie folgt: D t S i t τ t + div(d v) = 0 + div(s i v) + ( p) i = 0 + c 2 div( S D v) = 0 (1.62) Im Newtonschen Grenzfall v 0 und h 1 gilt: D ρ S ρ v τ 1 2 ρ v2 + ρε = ρe (ρ v) t (ρe) t ρ t + div(ρ v) = 0 + div(ρ v v) + gradp = 0 + div [(ρe + p) v] = 0 (1.63) Allgemein relativistische Hydrodynamik In der numerischen Relativitätstheorie wird zur Lösung der Einsteinschen Feldgleichungen üblicherweise ein 1962 von Arnowitt, Deser & Misner 2 vorgeschlagener Formalismus verwendet. Es basiert auf der sogenannten {3 + 1} Foliation der Raumzeit durch Lichnerovicz 3 und ist allgemein als der ADM {3+1} Formalismus bekannt. Der ADM {3 + 1} Formalismus basiert auf einer Foliation der vierdimensionalen Raumzeit Mannigfaltigkeit M in eine Abfolge dreidimensionaler, sich nicht schneidender raumartiger Hyperflächen Σˆt, wobei ˆt ein skalarer Zeitparameter ist. Diese Foliation der Raumzeit hat eine anschauliche geometrische Interpretation (Abb. 1.2): 2 Arnowitt, R., Deser, S. & Misner, C.W., The dynamics of general relativity, in Witten, L., ed., Gravitation: An introduction to current research, , (Wiley, New York, U.S.A., 1962). 3 Lichnerovicz, A., L integration des équations de la gravitation relativiste et le problème des n corps, J. Math. Pures Appl., 23, 37 63, (1944).

26 KAPITEL 1. DIE HYDRODYNAMISCHEN GLEICHUNGEN 25 t^ numerical grid ^ 2 t boundaries ^1 ^0 t t initial data x 2 x 1 hypersurfaces Abbildung 1.2: Foliation der Raumzeit Mannigfaltigkeit M in Hyperflächen Σˆt im ADM {3 + 1} Formalismus. Jeder zeitlicher Schnitt Σˆt ist eine raumartige Hyperfläche, die den gesamten dreidimensionalen Raum umfasst. Damit ist ein Cauchy Problem definierbar, d.h. falls Anfangsdaten auf einer Hyperfläche Σˆt 0 und Randbedingungen für alle anderen Hyperflächen Σˆt>ˆt 0 spezifiziert sind, ist die zeitliche Entwicklung der Anfangsdaten vollkommen bestimmt. Die allgemeinste Metrik, die eine entsprechend foliierte Raumzeit beschreibt, kann man auf folgende Weise herleiten: Zuerst führt man Koordinaten (x µ ) = (t, x i ) ein, die die gesamte Raumzeit Mannigfaltigkeit M überdecken. Das Linienelement ds 2, d.h. das Intervall zwischen zwei Ereignissen ˆx µ und x µ, die auf den zeitlich infinitesimal voneinander entfernten Schnitten Σˆt und Σˆt+dˆt der Raumzeit stattfinden, ist durch den auf die Riemannsche Geometrie verallgemeinerten Satz des Pythagoras gegeben (Achtung: In den folgenden Gleichungen werden geometrische Einheiten mit c = G = 1 verwendet): ds 2 = d.h. ( ) 2 Eigenzeitabstand + der Hyperflächen ( ) 2 Eigenabstand innerhalb, (1.64) der Hyperfläche ds 2 = (dˆt ) 2 + i (dˆx i ) 2. (1.65) Im ADM {3 + 1} Formalismus ist der Abstand zweier zeitlich infinitesimal benachbarter Schnitte im allgemeinen eine Funktion der Position x i auf Σˆt. Damit folgt dˆt = αdt, (1.66)

27 KAPITEL 1. DIE HYDRODYNAMISCHEN GLEICHUNGEN 26 wobei α die sogenannte Zeitablauffunktion oder lapse function ist. Projeziert man die Position des Punktes x i auf die Hyperfläche Σˆt+dˆt unter Verwendung des Normalenvektors der Hyperfläche Σˆt, so wird sich diese im allgemeinen infinitesimal um einen Betrag β i dt verschieben, d.h. dˆx i = dx i + β i dt, (1.67) wobei β i der sogenannte Verschiebungsvektor oder shift vector ist. Daher ist die Weltlinie eines Beobachters mit festen Raumkoordinaten im allgemeinen nicht orthogonal zu den räumlichen Hyperflächen. Die vier Koordinatenfunktionen α und β i bestimmen demnach die Beziehung zwischen den Koordinaten zweier infinitesimal benachbarter Zeitschnitte. Für das ADM Linienelement ergibt sich daraus die Form ds 2 = g µν dx µ dx ν = α 2 dt 2 + γ ij (dx i + β i dt)(dx j + β j dt), (1.68) wobei γ ij der intrinsische dreidimensionale Krümmungstensor der Hyperfläche Σˆt ist. Für die vierdimensionale Raumzeit Metrik g µν gilt: g µν = α 2 + β i β i β 1 β 2 β 3 β 1 β 2 β 3 γ ij. (1.69) Ist u µ die 4 Geschwindigkeit der Flüssigkeit bzw. des Gases, dann ist die entsprechende 3 Geschwindigkeit für einen ruhenden Eulerschen (d.h. raumfesten) Beobachter in der raumartigen Hyperfläche Σˆt der ADM Foliation durch v i = ui αu + βi 0 α (1.70) gegeben. Der Lorentzfaktor ist gemäß W αu 0 = (1 v 2 ) 1/2 mit v 2 = γ ij v i v j definiert. Führt man, wie 1997 von Banyuls 4 et al. vorgeschlagen, die folgenden hydrodynamischen Erhaltungsgrößen (siehe Gl ) D = ρw, Ruhemassendichte, (1.71) S i = ρhw 2 v i, Impulsdichte, (1.72) τ = ρhw 2 p ρw, Gesamtenergiedichte (1.73) 4 Banyuls, F., Font, J.A., Ibáñez, J.M a, Martí, J.M a & Miralles, J.A., Numerical {3 + 1} general relativistic hydrodynamics: A local characteristic approach, Astrophys. J., 476, , (1997).

28 KAPITEL 1. DIE HYDRODYNAMISCHEN GLEICHUNGEN 27 ein, so lauten die zugehörigen hydrodynamischen Erhaltungsgleichungen [ 1 γf 0 + gf i ] = Q, (1.74) g x 0 x i wobei der Zustandsvektor (Vektor der Erhaltungsgrößen), der Flussvektor und der Quellenvektor durch F 0 = (D, S j, τ) T (1.75) ( ) ( ) ) ) T F i = D (v i βi, S j v i βi + δ i α α jp, τ (v i βi + pv i, (1.76) α ( ( ) ( )) T Q = 0, T µν gνj x Γ λ µ0 ln α µνg µ λj, α T x T µν Γ 0 µ µν (1.77) gegeben sind. Hierbei gilt g = α γ mit den Determinanten der 4 Metrik g = det(g µν ) und der 3 Metrik γ = det(γ ij ). Weiterhin sind Γ λ µν die vierdimensionalen Christoffelsymbole (Gl. 1.56) und δ i j das Kroneckersymbol. In expliziter Form und mit ˆv i = v i β i /α lauten die allgemein relativistischen hydrodynamischen Gleichungen: ( 1 γρw + ) gρw ˆv i = 0, g t x i ) ( 1 γ(ρhw 2 p ρw ) g t ( 1 γρhw 2 v j + g(ρhw 2 v jˆv i +pδj) i g t x i + g((ρhw 2 p ρw )ˆv i +pv i ) x i ), ( = T µν gνj x Γ µνg λ µ λj ) ( µ0 ln α = α T x T µν Γ 0 µ µν ).

29 KAPITEL 1. DIE HYDRODYNAMISCHEN GLEICHUNGEN Magnetohydrodynamik Befindet sich ein leitendes flüssiges (oder gasförmiges) Medium in einem Magnetfeld, so werden in ihm bei seinen hydrodynamischen Bewegungen in ihm elektrische Felder induziert, und es entstehen elektrische Ströme. Im Magnetfeld wirken auf Ströme aber Kräfte. Gleichzeitig verändern diese Ströme das Magnetfeld. Es bestehen also komplizierte Wechselwirkungen zwischen den magnetischen und den hydrodynamischen Erscheinungen, die auf der Grundlage des kombinierten Systems der Feldgleichungen und der Bewegungsgleichungen der Flüssigkeit untersucht werden müssen. Das Verhalten elektromagnetischer Felder wird durch vier gekoppelte partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung beschrieben. Diese berühmten Maxwellschen Gleichungen lauten für ein einkomponentiges, elektrisch neutrales Medium (ρ Q = 0 mit ε 0 = 1, µ 0 = 1): div E = 0 div B = 0 rot E + 1 c B t = 0 rot B = 4π c J + 1 c E t (1.78) Wegen ihrer Lorentz-Invarianz gelten die Maxwellschen Gleichungen in dieser Form auch in einem Koordinatensystem, das sich mit der Geschwindigkeit v bewegt. Bezeichnet man etwa mit E das elektrische Feld im Ruhsystem des Mediums und mit E das elektrische Feld in einem System relativ zu dem sich das Medium mit der Geschwindigkeit v bewegt, so hat (1.78) in beiden Systemen die gleiche Form. Die in der Induktionsgleichung auftretende elektrische Stromdichte J folgt aus dem Ohmschen Gesetz gemäß ( J = σ E + v ) c B, (1.79) wobei σ die (isotrope) elektrische Leitfähigkeit des Mediums ist, denn im Ruhsystem des Mediums gilt nach Ohm J = σ E, und für nicht-relativistische Geschwindigkeiten ( v c) die Transformationsbeziehungen E = E + v/c B sowie J = J, falls ρ Q = 0. Ist σ sehr groß (d.h. effektiv unendlich) strömt die Flüssigkeit bzw. das Gas unter dem Einfluss der elektromagnetischen Felder gemäß der Bedingung (ideale Magnetohydrodynamik) E + 1 c v B = 0. (1.80)

30 KAPITEL 1. DIE HYDRODYNAMISCHEN GLEICHUNGEN 29 Die beiden grundlegenden Näherungen der nicht relativistischen Magnetohydrodynamik (MHD) sind: (i) Alle Geschwindigkeiten sind klein im Vergleich zur Lichtgeschwindigkeit v c (quasistationäre Näherung) (ii) die Ladungsdichte und das elektrische Feld im Ruhesystem der Flüssigkeit sind Null (Einflüssigkeitsmodell). Das Medium ist daher elektrisch neutral. Mit diesen Annahmen kann man zeigen, dass das elektrische Feld im Laborsystem verglichen mit dem magnetischen Feld klein von erster Ordnung in v/c ist E ( v = O c B ), und dass der Verschiebungsstrom verglichen mit dem Ladungsstrom klein von zweiter Ordnung ist 1 c E t ( ) v 2 = O c J. 2 Das bedeutet insgesamt: Die Gleichungen der Magnetohydrodynamik folgen aus den Maxwellschen Gleichungen (Gl. 1.78), wenn alle Größen vernachlässigt werden, die klein von zweiter Ordnung in v/c sind [Landau & Lifschitz, 1985]. Mit den obigen Annahmen ergibt sich mit Gl. (1.79) und der Vektoridentität rot(rot B) = grad(div B) 2 B die folgende Näherung für die Induktionsgleichung B t = rot( v B) + ν m 2 B. (1.81) Der zweite Term auf der rechten Seite beschreibt die resistive Felddiffusion mit dem Diffusionskoeffizienten ν m = c2 4πσ. (1.82) Für eine ruhende Flüssigkeit verschwindet in Gleichung (1.81) der erste Term auf der rechten Seite und die Induktionsgleichung geht in eine Diffusionsgleichung über, die besagt, dass ein vorhandenes Anfangsmagnetfeld innerhalb einer Zeitskala τ 4πσL/c 2 zerfällt, wobei L eine charakteristische Längenskala ist. Für den geschmolzenen Kern der Erde ist τ 10 4 Jahre und für das typischen Sonnenmagnetfeld gilt τ Jahre.

31 KAPITEL 1. DIE HYDRODYNAMISCHEN GLEICHUNGEN 30 Für Zeiten klein im Vergleich zur Diffusionszeit τ oder, in anderen Worten, wenn die elektrische Leitfähigkeit σ so groß ist, dass man den 2. Term in der Induktionsgleichung vernachlässigen kann, besagt Gl. (1.81), dass das Magnetfeld eingefroren ist, d.h. die Kraftlinien werden mit der Flüssigkeit advektiert (siehe z.b. Landau & Lifschitz, Bd.8). Außerdem gilt dann Gl Falls die Strömung von Wirbeln durchsetzt bzw. turbulent ist, werden die Feldlinien schnell aufgewickelt und Gebiete mit hoher magnetischer Energiedichte entstehen. In diesen Gebieten wechselt das Feld innerhalb sehr kleiner Volumina die Richtung. Physikalisch führt dies zum Kurzschluss ( reconnection ) der Feldlinien und zur Auslöschung des Feldes, wobei Magnetfeldenergie in thermische Energie umgesetzt wird. Diese turbulente Felddiffusion bewirkt, dass Wirbelzentren sehr schnell feldfrei und je nach Feldstärke mehr oder weniger stark aufgeheizt werden. Gleichung (1.81) kann in die Form einer Kontinuitätsgleichung für die Flussdichte B umgeschrieben werden (von Bedeutung für numerische Simulationen) B i t = k [F ik G ik ], (1.83) mit den anti symmetrischen 5 Transport- und Diffusionsflusstensoren F ik = B i v k B k v i, (1.84) G ik = ν m ( k B i i B k ). (1.85) Die Quellfreiheit des magnetischen Feldes div B = 0 wird durch die Gleichungen (1.81) bzw. (1.83) zu einer reinen Anfangsbedingung reduziert, da für einen beliebiges Vektorfeld div(rot A) = 0 bzw. für einen beliebigen antisymmetrischen Tensor i k A ik = 0 gilt, und somit ein ursprünglich quellfreies Feld diese Eigenschaft beibehält. Die restlichen elektromagnetischen Größen sind in der MHD keine unabhängigen Variablen, sondern Funktionen des Magnetfeldes: J = c 4π rot B (1.86) E = 1 ( B v + νm rotb) c. (1.87) 5 Für anti symmetrische Tensoren gilt: T ik = T ki und T ii = 0.

32 KAPITEL 1. DIE HYDRODYNAMISCHEN GLEICHUNGEN 31 Durch das Auftreten elektromagnetischer Größen müssen sowohl die Energie- (1.43) als auch die Impuls Gleichungen (1.34) abgeändert werden. Zu Energie- und Impulsdichte sind die jeweiligen Feldanteile zu addieren. Die zugehörigen Flüsse müssen um den Poyntingfluss bzw. den Maxwellschen Spannungstensor erweitert werden. Die Energiedichte des Feldes [erg/cm 3 ], die zu (1.44) hinzu addiert werden muss, ergibt sich wegen O(E 2 ) = O(v 2 /c 2 B 2 ) 0 zu ρe mag = B2 8π (1.88) und der magnetische Energiefluss zu q mag = 1 B 4π ( v B ) ν m B 4π rotb, (1.89) bzw. zu qmag k = 1 ) (B i v i B k B2 4π 2 vk + ν m 4π ) (B i i B k k B2. (1.90) 2 Weiterhin läßt sich zeigen, dass der Feldimpuls klein von zweiter Ordnung im Vergleich zum mechanischen Impuls ist und daher vernachlässigt werden darf. Im Maxwellschen Spannungstensor T ik werden die elektrischen Terme vernachlässigt: T ik Π ik mag = 1 ) (B i B k B2 4π 2 δik. (1.91) Dieser magnetische Drucktensor muss zum Drucktensor Π ik (1.35) in der Navier Stokes Gleichung (1.34) hinzu addiert werden. Den isotropen Anteil des magnetischen Drucktensors (2. Term in 1.91) kann man auch mit dem isotropen Gasdruck (1.36) zu einem isotropen Gesamtdruck p tot p + p mag mit p mag B 2 /8π zusammenfassen. In der gewöhnlichen Hydrodynamik wird die Reynolds Zahl verwendet, um die relative Stärke der Viskositäts- und Trägheitsterme in den Bewegungsgleichungen zu charakterisieren Re ul ν, (1.92) wobei l und u = l/τ für die gegebene Bewegung charakteristische Längen- und Geschwindigkeitsskalen sind und ν η/ρ die kinematische Zähigkeit der Flüssigkeit bzw. des Gases ist (η ist die entsprechende dynamische Zähigkeit; siehe Gl. 1.48).

33 KAPITEL 1. DIE HYDRODYNAMISCHEN GLEICHUNGEN 32 Neben dieser Zahl kann man in der MHD eine magnetische Reynolds Zahl Re m ul ν m (1.93) einführen (mit ν m aus Gl. 1.82), die die relative Stärke des Leitfähigkeitsterms charakterisiert. Dessen Vernachlässigung ist im allgemeinen für Re m 1 gerechtfertigt. Durch Entwicklung der Eulerschen Gleichungen nach kleinen Störungen und nach anschließender Linearisierung erhält man Wellengleichungen für die Dichte ρ, den Druck p und das Geschwindigkeitspotential Ψ, für das gilt v = gradψ. Die Phasengeschwindigkeit der so definierten Schallwellen ist ( p ) c 0 =, (1.94) ρ S wobei die Ableitung bei konstanter Entropie zu bilden ist. Wie auf Grund der verschwindenden Scherkräfte für ideale Flüssigkeiten zu erwarten ist, sind Schallwellen longitudinale Wellen, d.h. der Wellenvektor ist parallel zur Geschwindigkeit k v. Auf analoge Weise ist es möglich, die MHD Gleichungen zu linearisieren. Die Projektion der (vektoriellen) Dispersionsrelation senkrecht zur Ebene, die durch den Wellenvektor k und das ungestörte Feld B aufgespannt ist, liefert die sogenannten Alfvén Wellen. Deren Phasengeschwindigkeit ist c A = B 4πρ, (1.95) wobei B die Projektion von B auf k bezeichnet B = ( kb) k / k 2. Die Projektion der Dispersionsrelation in die kb-ebene und ihre weitere Zerlegung parallel und senkrecht zu k liefert die schnellen und langsamen sonischen Wellen. Deren Phasengeschwindigkeiten sind [ c 2 S,L = 1 ( ) ] B 2 B 2 2 1/2 2 4πρ + c2 0 ± 4πρ + c2 0 B2 c2 0 πρ. (1.96) Alfvén-Wellen sind grundsätzlich transversale Wellen, während die sonischen Wellen im allgemeinen Fall beliebiger Winkel zwischen k und B sowohl transversale als auch longitudinale Anteile besitzen. Für die Phasengeschwindigkeiten lassen sich jedoch einige Beziehungen ableiten, die allgemein gelten c L < c A < c S und c L < c O < c S. (1.97) Im Grenzfall kleiner Felder verschwinden c L und c A, und c S geht in die gewöhnliche Schallgeschwindigkeit c 0 über.

34 Kapitel 2 Eigenschaften und analytische Lösungen 2.1 Systeme Quasilinearer Partieller Differentialgleichungen Die hydrodynamischen Gleichungen stellen ein System quasilinearer partieller Differentialgleichungen (kurz PDE) erster Ordnung dar. Die wichtigsten mathematischen Begriffe für solche Systeme sind im folgenden kurz zusammengefasst. Man betrachte ein System partieller Differentialgleichungen 1. Ordnung in einer Dimension der Form m u i t + a ij (x, t, u 1,..., u m ) u j x + b i(x, t, u 1,..., u m ) = 0 (2.1) j=1 mit i = 1,..., m. Dies ist ein System von m Gleichungen mit m Unbekannten u i, die von der Ortskoordinate x und einer zeitartigen Variable t abhängen. Hierbei sind die u i die abhängigen Variablen und x, t die unabhängigen Variablen; dies wird durch die Bezeichnungsweise u i = u i (x, t) ausgedrückt. Das System (2.1) läßt sich in Matrixform wie folgt schreiben U t + AU x + B = 0 (2.2) mit U = u 1 u 2. u m, B = b 1 b 2. b m a 11 a 1m a 21 a 2m, A =... a m1 a mm, (2.3) wobei U t und U x die partiellen Ableitungen von U(x, t) nach t bzw. x bezeichnen. 33

35 KAPITEL 2. EIGENSCHAFTEN UND ANALYTISCHE LÖSUNGEN 34 Sind die Matrixelemente a ij der Matrix A und die Komponenten b j des Vektors B konstant, dann ist (2.2) ein lineares System mit konstanten Koeffizienten. Falls a ij = a ij (x, t) und b j = b j (x, t) liegt ein lineares System mit variablen Koeffizienten vor. Das System ist auch dann noch linear, wenn B linear von U abhängt. Es heißt quasi-linear, falls die Koeffizientenmatrix A eine Funktion des Vectors U ist, d.h. wenn A=A(U) gilt. Man beachte, dass quasilineare Systeme im allgemeinen Systeme von nichtlinearen Gleichungen sind. Das System (2.2) heißt homogen, falls B=0 ist. Für ein System von PDEs der Form (2.2) muss man Wertebereiche für die unabhängigen Variablen x und t vorgeben. Gewöhnlich wählt man für x ein Teilintervall der reellen Zahlenachse, d.h. x l < x < x r ; dieses Teilintervall nennt man die räumliche Domäne der PDEs, oder einfach die Domäne. An den Intervallgrenzen x l, x r muss man zusätzlich Randbedingungen vorgeben. Dies ist nicht nötig, wenn die Domäne die gesamte reelle Achse ( < x < ) umfasst. Als Wertebereich für die unabhängige Variable t nimmt man im allgemeinen t 0 < t < an, wobei man noch Anfangsbedingungen zum Zeitpunkt t 0 spezifizieren muss. Oft wird t 0 = 0 gewählt. Definition 1: Erhaltungsätze sind Systeme von quasilinearen PDEs 1. Ordnung, die man in der Form U t + F(U) x = 0, (2.4) schreiben kann, wobei U = u 1 u 2. u m, F(U) = f 1 f 2. f m. (2.5) U ist ein Vektor von Erhaltungsgrößen und F(U) heißt Flussvektor. Jede seiner Komponenten f i ist eine Funktion der Komponenten u i von U. Definition 2: Die Jacobi Matrix des Flussvektors F(U) ist die Matrix F U = f 1 / u 1 f 1 / u m f 2 / u 1 f 2 / u m..., (2.6) f m / u 1 f m / u m

36 KAPITEL 2. EIGENSCHAFTEN UND ANALYTISCHE LÖSUNGEN 35 d.h. die Elemente der Matrix F/ U sind die partiellen Ableitungen der Komponenten f i des Vektors F bezüglich der Komponenten u j des Vektors der Erhaltungsgrößen U. Die Erhaltungssätze (2.4) (2.5) lassen sich auch in quasilinearer Form (2.2) schreiben. Mit B 0 und mit Hilfe der Kettenregel folgt für den zweiten Term in (2.4) F(U) x = F U U x (2.7) und damit für (2.4) U t + F(U) U U x = 0, (2.8) was ein Spezialfall von (2.2) ist. Definition 3: Eigenwerte λ i der Matrix A sind Lösungen des charakteristischen Polynoms A λi = det(a λi) = 0, (2.9) wo I die Einheitsmatrix ist. Die Eigenwerte der Koeffizientenmatrix A eines Systems der Form (2.2) nennt man auch die Eigenwerte des Systems. Physikalisch repräsentieren die Eigenwerte Geschwindigkeiten der Informationsausbreitung (positiv gemessen in positive x Richtung). Definition 4: Ein rechter Eigenvektor einer Matrix A bezüglich eines Eigenwerts λ i von A ist ein Vektor r (i) = (r (i) 1, r (i) 2,..., r m (i) ) T, der der Beziehung A r (i) = λ i r (i) genügt. Analog ist ein linker Eigenvektor der Matrix A bezüglich eines Eigenwerts λ i von A ein Vektor l (i) = (l (i) 1, l (i) 2,..., l m (i) ), für den l (i) A = λ i l (i) gilt. Definition 5: Ein System (2.2) heißt hyperbolisch im Punkt (x,t), falls die Matrix A m reelle Eigenwerte λ 1,..., λ m und einen dazu gehörigen Satz von m linear unabhängigen rechten Eigenvektoren r (1),..., r (m) besitzt. Das System ist strikt hyperbolisch, falls alle Eigenwerte λ i verschieden sind. System (2.2) heißt elliptisch in einem Punkt (x, t), falls keiner der Eigenwerte λ i von A reell ist.

37 KAPITEL 2. EIGENSCHAFTEN UND ANALYTISCHE LÖSUNGEN 36 f(x) t > 0 t t = 0 x at = x 0 x 0 x Abbildung 2.1: 2.2 Charakteristiken Zur Erläuterung des Begriffs der Charakteristik untersuchen wir verschiedene einfache Beispiele von linearen, nicht linearen und quasilinearen PDEs 1. Ordnung in 1 Raumdimension Die lineare Advektionsgleichung u t + au x = 0, u(x, 0) = f(x), a = const. (2.10) Die Lösung der linearen Advektionsgleichung lautet u(x, t) = f(x at). Dies ist eine Welle der Form f, die sich mit konstanter Geschwindigkeit a nach rechts (a > 0) bzw. nach links (a < 0) ausbreitet (siehe Abb. 2.1). Die Lösung u(x, t) ist konstant längs der Geraden x at = constant. Diese Geraden heißen Wellenfronten oder Charakteristiken. u(x, t) ist das Signal oder die Welleninformation und a ist die Signalgeschwindigkeit. Information propagiert entlang den Charakteristiken, d.h. entlang Kurven in der x-t Ebene, die der gewöhnlichen Differentialgleichung ẋ(t) = a mit x(0) = x 0 genügen (siehe Abb. 2.2). Falls Anfangsdaten auf einer Kurve C gegeben sind, die transversal zu allen Charakteristiken ist (d.h. nirgends tangential), so ist die Lösung u(x 0, t 0 ) im Punkte (x 0, t 0 )

38 KAPITEL 2. EIGENSCHAFTEN UND ANALYTISCHE LÖSUNGEN 37 t x at = const. C (x 0, t 0 ) P x Abbildung 2.2: gegeben durch den Anfangswert auf C wo die Charakteristik durch (x 0, t 0 ) die Kurve C schneidet. Wichtig: Falls C nicht überall transversal zu den Charakteristiken ist, hat die Differentialgleichung im allgemeinen keine Lösung Lineare, homogene PDE 1. Ordnung in 1 Dimension u t + a(x, t)u x = 0, (2.11) Charakteristiken sind jetzt Kurven (siehe Abb. 2.3) und sind in Parameterdarstellung t = t(q), x = x(q) gegeben durch dt dq = 1, dx dq = a(x, t), (2.12) da dann d dq u(x(q), t(q)) = u dx x dq + u dt t dq = 0 gilt.

39 KAPITEL 2. EIGENSCHAFTEN UND ANALYTISCHE LÖSUNGEN 38 t Charakteristiken (x 0, t 0 ) P C x Abbildung 2.3: Falls a(x, t) stetig ist, existieren Charakteristiken (zumindest lokal), die sich nicht schneiden (folgt aus Eindeutigkeit- und Existenzsatz gewöhnlicher Differentialgleichungen) Nicht viskose Burger Gleichung bzw. u t + uu x = 0 (2.13) u t (u2 ) x = 0 (2.14) Die Charakteristiken dieser quasilinearen PDE sind durch dt dq = 1, dx dq = u, du dq = 0 gegeben und hängen von der Lösung U ab. u ist konstant auf Charakteristiken, d.h. es gilt dt dx = 1 und = const. Die Charakteristiken sind also Geraden, die von verschiedenen Punkten ausgehen. Anders als im dq dq linearen Fall können sich die Charakteristiken daher im nicht linearen Fall schneiden (siehe Abb. (2.4).

40 KAPITEL 2. EIGENSCHAFTEN UND ANALYTISCHE LÖSUNGEN 39 t (x 0, t 0 ) Charakteristiken (x 1, 0) (x 2, 0) x Abbildung 2.4: Im linearen Fall hat man 2 gewöhnliche Differentialgleichungen dt dq = 1, dx dq = a(x, t), d.h. falls a stetig ist, ist die Lösung durch (x 0, t 0 ) eindeutig. Im nicht linearen Fall hat man dagegen 3 gewöhnliche Differentialgleichungen dt dq = 1, dx dq = u, du dq = 0 Die Lösung durch (x 0, t 0, u 0 ) ist eindeutig bestimmt, aber Charakteristiken sind Kurven in der (x, t) Ebene, die man durch Projektion der eindeutigen dreidimensionalen Lösung in die Ebene erhält. Daher sind Schnittpunkte möglich. Falls Schnittpunkte auftreten versagt die Lösungsmethode, da die Signale auf sich schneidenden Charakteristiken im allgemeinen verschieden sind. Dieser Konflikt läßt sich nur durch eine Unstetigkeit (einen Sprung) in der Lösung beheben, die man Stoßwelle oder kurz Stoß nennt (siehe weiter unten). Wichtig: Stoßwellen können immer auftreten, wenn Charakteristiken konvergieren, selbst wenn die Anfangsdaten und die Randbedingungen vollständig glatt und stetig sind.

41 KAPITEL 2. EIGENSCHAFTEN UND ANALYTISCHE LÖSUNGEN Homogenes hyperbolisches System quasilinearer PDE s 1. Ordnung in 1 Dimension U t + A(x, t, U)U x = 0 (2.15) Für die Änderung von U längs der Kurve (x(q), t(q)) gilt du dq = U dt t dq + U dx x dq = [ A(x, t, U) dt dq + dx ] U x (2.16) dq Definition: 1 Charakteristik ist eine Kurve mit folgender Eigenschaft: Falls Anfangsdaten auf der Kurve gegeben sind, ermöglicht es die Differentialgleichung nicht, die Lösung an irgendeinem Punkt zu bestimmen, der nicht auf der Kurve liegt. Falls die Charakteristik nicht parallel zu x-achse ist, kann man bei Kenntnis von U, die Ableitung U x nicht bestimmen. Dies ist der Fall, wenn die Matrix A(x, t, U) dt dq + dx dq I (2.17) (I ist die Einheitsmatrix) singulär ist, d.h. wenn die Bedingungen dx dq = λ i(x, t, U) und dt dq = 1 (2.18) erfüllt sind. Die Größen λ i, i = 1... n sind die Eigenwerte der Matrix A. Für ein System von n Gleichungen gibt es n verschiedene Wellenfamilien, d.h. durch jeden Punkt (x, t) der x t Ebene gehen n Charakteristiken. Dies ist in Abb. 2.5 für n = 3 illustriert. Ein beliebiger Punkt (x 0, t 0 ) in der x t Ebene wird offensichtlich nur von Punkten zu früheren Zeiten (t < t 0 ) beeinflusst und kann selbst nur Punkte zu späteren Zeiten (t > t 0 ) beeinflussen. Da sich aber der Einfluss nur mit endlicher Geschwindigkeit ausbreitet, wird der Punkt (x 0, t 0 ) nicht von allen früheren Punkten beeinflusst und kann auch nicht alle späteren Punkte beeinflussen. Stattdessen wird der Punkt (x 0, t 0 ) nur von Punkten in seinem Abhängigkeitsgebiet beeinflusst und wirkt seinerseits nur auf Punkte in seinem Einflussgebiet. Diese Gebiete sind durch die, durch den Punkt gehenden, Charakteristiken mit der größten und kleinsten Geschwindigkeit begrenzt (Abb. 2.5). 1 Allgemeine Definition einer Charakteristik, falls U konst. auf Charakteristik.

42 KAPITEL 2. EIGENSCHAFTEN UND ANALYTISCHE LÖSUNGEN 41 t C C 1 2 Einflu ßgebiet C 3 Abhängigkeitsgebiet x Abbildung 2.5: Wie man an der Abb. 2.5 sieht, sind Schnittpunkte von Charakteristiken verschiedener Wellenfamilien unproblematisch. Nur wenn sich Charakteristiken einer Wellenfamilie schneiden, treten Stoßwellen auf. Falls C eine Kurve ist, die transversal zu allen Charakteristiken ist, dann ist die Matrix (2.17) invertierbar und es gilt (q parametrisiert Kurve C) [ U x = A(x, t, U) dt dq + dx ] 1 du dq dq (2.19) U t = AU x (2.20) d.h. die Lösung ist in einer gewissen Umgebung von C (wegen möglicher Schnittpunkte der Charakteristiken) eindeutig bestimmt. Lösung ist in durch Charakteristiken getrennten Gebieten entkoppelt (Kausalität). Falls Lösung eindeutig sein soll, sind Unstetigkeiten in U nur auf Charakteristiken möglich. U ist im allgemeinen nicht konstant auf Charakteristiken. Es ist aber möglich, Funktionen f i mit i = 1... n zu finden, die konstant auf der zu λ i gehörenden Cha-

43 KAPITEL 2. EIGENSCHAFTEN UND ANALYTISCHE LÖSUNGEN 42 rakteristik sind: df i dq = f i du U dq n j=1 Mit (2.16) folgt daraus f i u j u j dq. df i dq = f i U ( A + λ)u x, d.h. f i ist konstant entlang der Charakteristik C λ i, falls f i / U Eigenvektor von A T ist. Solche Größen heißen Riemannsche Invarianten. Falls man n Invarianten gefunden hat, kann man diese invertieren und U als Funktion der f i ausdrücken. Damit besteht die Möglichkeit, die Charakteristik C λ i als explizite Funktion der Anfangsdaten anzugeben und die Lösung zu erhalten.

44 KAPITEL 2. EIGENSCHAFTEN UND ANALYTISCHE LÖSUNGEN Charakteristische Form der hydrodynamischen Gleichungen Die idealen, eindimensionalen hydrodynamischen Gleichungen ohne äußere Kräfte lauten in Erhaltungsform ρ t + (ρu) x = 0 (ρu) t + (ρu 2 + p) x = 0 (ρe) t + [(ρe + p)u] x = 0 (2.21) oder in vektorieller Notation U t + F(U) x = 0, wobei U = ρ ρu ρe (2.22) (2.23) der Vektor der Erhaltungsgrößen und F(U) = ρu ρu 2 + p (ρe + p)u. (2.24) der Flussvektor ist (siehe Definition 2.5). Für Strömungen ohne Diskontinuitäten gilt U t + F U U x = U t + AU x = 0. (2.25) Hierbei ist A = F/ U die Jacobi Matrix des Flussvektors (siehe Definition 2.6). Das System (2.21) ist ein Spezialfall eines strikt hyperbolischen Systems quasilinearer PDEs 1. Ordnung in 1 Dimension (siehe Gleichung 2.1). Im Falle einer idealen Gaszustandsgleichung p = (γ 1)ρε, (2.26) wo γ c p /c V das Verhältnis der spezifischen Wärmen bei konstantem Druck bzw. Volumen ist, gilt A = F U = γ 3 2 u2 (3 γ)u γ 1 γue + (γ 1)u 3 γe 3 2 (γ 1)u2 γu (2.27)

45 KAPITEL 2. EIGENSCHAFTEN UND ANALYTISCHE LÖSUNGEN 44 Die Eigenwerte und die Charakteristiken der hydrodynamischen Gleichungen lauten: λ + = u + c λ 0 = u λ = u c (2.28) bzw. C + dx : = u + c dt C 0 dx : = u (2.29) dt C dx : = u c dt wobei c die Schallgeschwindigkeit c 2 p ρ ist. s Für eine isentrope Strömung, d.h. für eine Strömung mit s = const. lauten die Riemannschen Invarianten (ρ ist eine beliebige Konstante) Γ ± = u ± ρ ρ dρ c(ρ ) ρ. (2.30) Für nicht isentrope Stromungen gilt ds dq = s dt t dq + s dx x dq = s t + us x = 0, d.h. die Entropie ist konstant auf C 0 und damit eine Riemannsche Invariante. dρ jetzt kein totales Differential mehr ist, kann diese Größe nicht unabhängig von s integriert werden. Daher gibt es im allgemeinen Fall keine 3 Riemannschen Invarianten. Da c(ρ) ρ

46 KAPITEL 2. EIGENSCHAFTEN UND ANALYTISCHE LÖSUNGEN 45 Es ist manchmal vorteilhaft, die hydrodynamischen Gleichungen (2.25) mit Hilfe der sogenannten primitiven Variablen auszudrücken, die sich direkt messen lassen. Definiert man den Vektor der primitiven Variablen gemäß W = ρ u p so lauten die hydrodynamischen Gleichungen in primitiver Form (2.31) W t + CW x = 0, (2.32) wobei u ρ 0 C = 1 0 u ρ. (2.33) 0 ρc 2 u Man beachte, dass man (2.32) nicht in der Form W/ t + f(w)/ x = 0 schreiben kann und dass die Matrix C keine Jacobi Matrix irgendeiner Flussfunktion f(w) ist. Gemäß Kapitel (2.1) lassen sich die hydrodynamischen Gleichungen in quasilinearer Formulierung (2.25) auch in der charakteristischen Form Q 1 U t + Q 1 AU x = 0. (2.34) schreiben, wobei Q 1 AQ = Λ gilt. 2 Λ ist eine Diagonalmatrix, deren Elemente die Eigenwerte von A sind Λ = u u + c u c. (2.35) 2 Die Matrizen A und Λ sind demnach ähnliche Matrizen, d.h. sie besitzen die gleichen Eigenwerte aber nicht notwendingerweise die gleichen Eigenvektoren, und es gilt Q 1 A = ΛQ 1, bzw. AQ = QΛ.

47 KAPITEL 2. EIGENSCHAFTEN UND ANALYTISCHE LÖSUNGEN 46 Q ist eine Matrix, deren Spalten r (i) die rechten Eigenvektoren von A sind Q = 1 u u ρ 2c ( ρ ρ 2c ρ 2c (u + c) ρ 2c ) ( (u c) 2c u 2 + c2 + cu ρ 2 γ 1 2c u c2 γ 1 cu ) (2.36) und Q 1 ist eine Matrix, deren Zeilen l (i) die linken Eigenvektoren von A sind Q 1 = γ 1 ρc ( ρ u2 + c2 c 2 γ 1 ) ρ c u u 2 2 cu γ 1 u + c u2 2 cu γ 1 u + c γ 1 ρ c 1 γ 1 1 Definiert man charakteristische Variablen gemäß. (2.37) dv Q 1 du, (2.38) dann folgt aus (2.34) eine weitere charakteristische Form der hydrodynamischen Gleichungen V t + Q 1 AQ V x = 0, (2.39) oder V t + ΛV x = 0 (2.40) Mit V = (v 0, v +, v ) gilt dann v 0 t + u v 0 x = 0 (2.41) v + t + (u + c) v + x = 0 (2.42) v t + (u c) v x = 0. (2.43)

48 KAPITEL 2. EIGENSCHAFTEN UND ANALYTISCHE LÖSUNGEN Einfache Wellen Wir definieren zunächst einige Begriffe, die wir für die folgenden Überlegungen benötigen. Ein hydrodynamischer Zustand eines Gases ist das Tripel (ρ, u, s). Ein konstanter Zustand ist Bereich in x t Ebene, wo ρ, u und s konstant sind. Ein isentroper Bereich, in dem die Riemann Invariante Γ + bzw. Γ konstant ist, heißt Γ + einfache Welle bzw. Γ einfache Welle. Für einen konstanten Zustand gilt: (i) c = const. und Γ ± existieren (ii) Charakteristiken sind Geraden, da u = const. und c = const. (iii) Charakteristiken einer Sorte sind parallel zueinander Für eine Γ + einfache Welle (und analog für eine Γ einfache Welle) gilt: (i) Γ + = const. (ii) Γ = const. auf C (da Riemann Invariante) (iii) u = const. und c = const. auf C, d.h. die C Charakteristiken sind Geraden (Umkehrschluss gilt auch) Es gilt folgender Satz: An einen konstanten Zustand grenzt entweder eine Unstetigkeit oder eine einfache Welle an. Die Grenzen sind Geraden. Sie sind entweder C +, C 0 oder C Charakteristiken. Ist die Strömung glatt, so grenzt an einen konstanten Zustand eine einfache Welle an und die Grenze ist eine C ± Charakteristik Folgerung: Glatte Strömungen bestehen nur aus konstanten Zuständen und einfachen Wellen Verdünnungs und Verdichtungswellen: Wir betrachten ein (ausreichend langes) Rohr, in dem sich zum Zeitpunkt t = 0 ein Gas im konstanten Zustand u = 0 und ρ = ρ 0 befindet. Das Rohr ist nach links hin mit einen Stempel abgeschlossen, der sich für t > 0 mit konstanter Geschwindigkeit v s > 0 (und u < c) nach links (x(t > 0) < 0) bewegt (siehe Abb. 2.6). Infolge der Stempelbewegung, beginnt auch das Gas sich zu bewegen. Das zugehörige Raumzeitdiagramm ist in Abb. 2.7 dargestellt. Es gilt nun die Behauptung, dass die Dichte am Stempel konstant ist. Um dies zu beweisen, benutzt man die Charakteristiken und die oben definierten Eigenschaften einfacher Wellen.

49 KAPITEL 2. EIGENSCHAFTEN UND ANALYTISCHE LÖSUNGEN 48 Stempel Rohr v s < 0 t = 0: Gas mit u = 0, ρ = ρ 0 x = 0 x Abbildung 2.6: B konstanter Zustand: (III) Stempeltrajektorie: x = v s t C t Γ einfache Welle (II) C + konstanter Zustand: (I) u = 0, ρ = ρ 0 x Abbildung 2.7:

50 KAPITEL 2. EIGENSCHAFTEN UND ANALYTISCHE LÖSUNGEN 49 C Charakteristiken sind Geraden im Gebiet (I), da es ein konstanter Zustand ist, und sie verlassen das Gebiet (I), da u = 0 und ihr Anstieg 1/( c) beträgt. Das Gebiet zwischen Stempel und (I) ist eine Γ einfache Welle (teilweise auch ein konstanter Zustand). Für einen beliebigen Punkt B auf der Stempeltrajektorie gilt Γ B = Γ 0 und daher v s bzw. ρ(b) ρ c(ρ ) ρ dρ = Γ 0 (2.44) ρ(b) ρ c(ρ ) ρ dρ = v s Γ 0 = const d.h. ρ(b) ist konstant entlang der Stempeltrajektorie, da c und ρ beide größer Null sind. Für alle Punkte B gilt Γ + B = v s + ( v s Γ 0 ) = const., d.h. unabhängig von der gewählten C + Charakteristik. Daher muss ein konstanter Zustand (III) an den Stempel angrenzen und seine andere Grenze muss eine gerade C + Charakteristik sein, die vom Ursprung ausgeht. Damit muss das Gebiet zwischen (I) und (III) eine Γ einfache Welle sein, da die C Charakteristiken aus dem konstanten Zustand (I) kommen. Weiterhin folgt, dass alle C + Charakteristiken im Gebiet (II) Geraden durch den Ursprung sind. Dies nennt man eine zentrierte Verdünnungswelle. Allgemein gilt: Eine einfache Welle, deren gerade Charakteristiken sich in einem Punkt schneiden heißt zentrierte Verdünnungswelle.

51 KAPITEL 2. EIGENSCHAFTEN UND ANALYTISCHE LÖSUNGEN 50 Mit ρ(b) ρ 0 c(ρ ) ρ dρ = = ρ(b) c(ρ ) dρ ρ ρ ρ(b) ρ0 ρ c(ρ ) ρ dρ (2.45) ρ c(ρ ) ρ dρ + Γ 0 (2.46) (2.47) und (2.44) folgt ρ(b) ρ 0 c(ρ ) ρ dρ = v s < 0 (2.48) Da c > 0 und ρ > 0, folgt ρ B < ρ 0, d.h. es handelt sich um eine Verdünnungswelle. Achtung: Falls c/ ρ < 0 gilt (d.h. falls 2 p/ ρ 2 < 0, wie z.b. für Kernmaterie oder Wasser) sind auch Verdichtungswellen möglich.

52 KAPITEL 2. EIGENSCHAFTEN UND ANALYTISCHE LÖSUNGEN Schwache Lösungen und Diskontinuitäten Für die bisherigen Überlegungen in diesem Kapitel wurden immer stetig differenzierbare Lösungen, d.h. sogenannte starke Lösungen vorausgesetzt. Schreibt man die hydrodynamischen Gleichungen in integraler Form, so sind auch Lösungen möglich, die auf einer Menge vom Maße Null unstetig sind. Diese Lösungen nennt man schwache Lösungen. Die eindimensionalen hydrodynamischen Gleichungen in vektorieller Schreibweise (2.22) U t + F(U) x = 0 (2.49) lassen sich mit Hilfe der Definitionen G (F(U), U) und Div(F 1, F 2 ) (F 1 ) x + (F 2 ) t in der kompakten Form DivG = 0 (2.50) schreiben. Falls Φ eine beliebige glatte Funktion ist, gilt Φ DivG dxdt = 0. Partielle Integration ergibt unter der Annahme, dass G im Unendlichen hinreichend schnell gegen Null geht (kompakte Funktion!) gradφ G dxdt = 0. (2.51) Für glatte Lösungen U ist (2.50) äquivalent zu (2.51). Die letztere Form läßt aber auch unstetige Lösungen zu. Eine solche Lösung U, die für eine beliebige glatte Funktion Φ, die Gleichung (2.51) erfüllt, heißt schwache Lösung der Gleichung (2.51). Wir betrachten ein Gebiet Ω, das durch eine Unstetigkeitsfläche Σ in zwei Teilgebiete Ω 1 und Ω 2 unterteilt sei (Abb. 2.8). Weiterhin sei Φ eine glatte Funktion, die außerhalb von Ω identisch Null ist. Dann folgt gradφ G dxdt = 0 Ω

53 KAPITEL 2. EIGENSCHAFTEN UND ANALYTISCHE LÖSUNGEN 52 x D x = x(t) Ω 2 n 1 D 1 Σ Ω 1 Abbildung 2.8: t und damit gradφ G dxdt + gradφ G dxdt = 0. Ω 1 Ω 2 Mit Hilfe der Vektoridentität (1.25) gilt dann Div(ΦG) dxdt Ω 1 Φ DivG dxdt + Ω 1 Div(ΦG) dxdt Ω 2 Φ DivG dxdt = 0. Ω 2 Da DivG = 0 gilt (falls U stetig ist!) folgt unter Verwendung des Gauss schen Satzes Φ G 1 n dσ Φ G 2 n dσ = 0 Σ und damit Φ (G 1 G 2 ) n dσ = 0, Σ Σ wobei n der Normaleneinheitsvektor der Unstetigkeitsfläche Σ ist, der von Ω 1 nach Ω 2 weist (Abb. 2.8). Die Größe dσ ist ein differentielles Flächenelement von Σ und G i ist der Grenzwert von G, wenn man sich Σ vom Gebiet Ω i aus nähert.

54 KAPITEL 2. EIGENSCHAFTEN UND ANALYTISCHE LÖSUNGEN 53 Da Φ ein beliebige glatte Funktion ist, gilt auf der Unstetigkeitsfläche Σ [G n] G 1 n G 2 n = 0 (2.52) Parametrisiert man die Unstetigkeitsfläche Σ durch x = x(t) (Abb. 2.8), dann ist die Geschwindigkeit von Σ gegeben durch D = dx dt und der Normalen Einheitsvektor durch n = 1 D2 + 1 e D x D2 + 1 e t, wobei e x und e t die Einheitsvektoren in x- und t Richtung sind. Da G = (F, U), folgt aus (2.52) D[U] + [F(U)] = 0 oder komponentenweise D[ρ] = [ρu] D[ρu] = [ρu 2 + p]. (2.53) D[ρE] = [(ρe + p)u] Dies sind die Rankine Hugoniot Bedingungen. In einem Koordinatensystem, das sich mit der Unstetigkeitsfläche mitbewegt, d.h. in dem D = 0 gilt, lauten die Rankine Hugoniot Bedingungen ρ 1 u 1 = ρ 2 u 2 ρ 1 u p 1 = ρ 2 u p 2 (2.54) u 1 (ρ 1 E 1 + p 1 ) = u 2 (ρ 2 E 2 + p 2 ) Die dritte Rankine Hugoniot Bedingung läßt sich unter Verwendung der Definition der spezifischen Gesamtenergiedichte E = u 2 /2 + ε (siehe Gl. (1.44)) und der ersten Rankine Hugoniot Bedingung auch in der Form u ε 1 + p 1 ρ 1 = u ε 2 + p 2 ρ 2 (2.55)

55 KAPITEL 2. EIGENSCHAFTEN UND ANALYTISCHE LÖSUNGEN 54 bzw. 1 2 (u 1 u 2 )(u 1 + u 2 ) + ε 1 ε 2 + p 1 ρ 1 p 2 ρ 2 = 0 (2.56) schreiben. Der Massenfluss durch die Unstetigkeitsfläche oder Diskontinuität ist durch M = ρ 1 u 1 = ρ 2 u 2 gegeben. Da ρ > 0, ist im Ruhesystem von Σ ein verschwindender Massenfluss M = 0 gleichbedeutend mit u 1 = u 2 = 0. Unstetigkeiten mit dieser Eigenschaft heißen Kontaktunstetigkeiten. Eine Kontaktunstetigkeit ist ein Spezialfall einer tangentialen Unstetigkeit, an der im Falle einer mehrdimensionalen Strömung die beiden tangentialen Geschwindigkeitskomponenten und alle thermodynamischen Größen außer dem Druck p unstetig sein können. Falls M 0 gilt, heißen die Lösungen Stoß oder Stoßwellen. Für diese Lösungen folgt aus der zweiten Rankine Hugoniot Bedingung für den Massenfluss M = p 1 p 2 u 1 u 2 (2.57) oder mit dem spezifischen Volumen τ 1/ρ und u i = Mτ i, i = 1, 2 (2.58) die Beziehung M 2 = p 1 p 2 τ 1 τ 2 (2.59) Man beachte, dass (2.57) und (2.59) rein mechanische Beziehungen sind, die unabhängig von der Zustandsgleichung gelten, die Gleichung (2.59) zwei Lösungstypen besitzt, nämlich einmal Lösungen mit p 2 > p 1 und τ 1 > τ 2 (Stoß), sowie Lösungen mit p 2 < p 1 und τ 1 < τ 2. die Gerade p p 1 = M 2 (τ τ 1 ) alle Möglichkeiten repräsentiert, den Zustand (p 1, τ 1 ) mit einem Stoß zu verbinden (Abb. 2.9). Diese Gerade mit dem Anstieg M 2 heißt Rayleigh Linie und wird üblicherweise mit R(p, τ) bezeichnet.

56 KAPITEL 2. EIGENSCHAFTEN UND ANALYTISCHE LÖSUNGEN 55 p Hugoniot Funktion H 1 (p,τ) p 2 (p 2, τ 2 ) Rayleigh Linie R 1 (p,τ) ( Anstieg: M 2 ) p 1 (p 1, τ 1 ) τ 2 τ 1 Abbildung 2.9: τ=1/ρ Mit Hilfe von (2.57) und (2.58) folgt aus der dritten Rankine-Hugoniot Bedingung (2.56) die Beziehung p 1 p 2 2M (Mτ 1 + Mτ 2 ) + ε 1 ε 2 + p 1 τ 1 p 2 τ 2 = 0 (2.60) und daraus die Hugoniot Gleichung oder Stoßadiabate p 1 + p 2 (τ 1 τ 2 ) + ε 1 ε 2 = 0, (2.61) 2 die eine rein thermodynamische Beziehung darstellt. Da ε = ε(p, τ) führt man die Hugoniot Funktion zum Zentrum (p 1, τ 1 ) ein H 1 (p, τ) ε(p, τ) ε(p 1, τ 1 ) + p + p 1 (τ τ 1 ) 2 und kann damit die Hugoniot Gleichung(2.61) in der Form H 1 (p 2, τ 2 ) = 0 (2.62)

57 KAPITEL 2. EIGENSCHAFTEN UND ANALYTISCHE LÖSUNGEN 56 schreiben. Die Kurve H 1 (p, τ) repräsentiert alle Möglichkeiten, den Zustand (p 1, τ 1 ) mit einem Stoß zu verbinden. Im Falle einer idealen Gaszustandsgleichung (2.26) ist H 1 (p, τ) eine Hyperbel (Abb. 2.9). Für einen schwachen Stoß gilt (siehe Landau & Lifschitz, Bd. 6) s 2 s 1 = 1 ( ) 2 τ (p 12T 1 p 2 2 p 1 ) 3 (2.63) 1 s d.h. die Entropieänderung in einer Stoßwelle geringer Intensität ist von dritter Ordnung klein im Vergleich zur Druckänderung. Für fast alle bekannten Zustandsgleichungen (Ausnahme: Phasenübergänge) nimmt die adiabatische Kompressibilität ( τ/ p) s mit zunehmendem Druck ab, d.h. ( ) 2 τ > 0. p 2 s und daher folgt mit p 2 > p 1 aus (2.63) s 2 > s 1, d.h. die Entropie wächst in Stößen an. Ursache hierfür ist die Dissipation von kinetischer Energie in Wärme (selbst in einer idealen Flüssigkeit!). Schwache Stöße, d.h. Stöße für die p/p 1 und ρ/ρ 1, breiten sich mit einer Geschwindigkeit D c 1 aus (siehe z.b. Landau & Lifschitz, Bd. 6). Eine notwendige Bedingung für das Auftreten von Stoßwellen ist u 1 > c 1 (d.h. Überschallströmung vor dem Stoß) und u 2 < c 2 (d.h. Unterschallströmung hinter dem Stoß), wobei die Geschwindigkeiten im Bezugssystem des Stoßes gemessen sind. Es gilt folgendes allgemeines Theorem (siehe z.b. Courant & Friedrichs): Seien (p 1, τ 1, s 1 ) und (p 2, τ 2, s 2 ) zwei Zustände und die Zustandsgleichung erfülle die Bedingungen p τ < 0, 2 p τ 2 < 0, p s > 0, dann und nur dann ist die Entropiebedingung ds/dt 0 erfüllt, wenn der Stoß kompressiv ist, d.h. wenn ρ 2 > ρ 1 und p 2 > p 1 gilt. Die Geschwindigkeiten an beiden Seiten des Stoßes müssen dann die Bedingungen u 2 1 > c 2 1 und u 2 2 < c 2 2 erfüllen. Nachdem wir nun Kontaktunstetigkeiten, Stoßwellen und ihre Eigenschaften kennengelernt haben, können wir eine Erweiterung des Satzes über konstante Zustände aus dem vorigen Unterkapitel formulieren. Satz: An einen konstanten Zustand grenzt entweder eine Stoßwelle, eine Kontaktunstetigkeit oder eine einfache Welle an. Der Übergang zu einfachen Wellen findet an C ± Charakteristiken, der zu einer Kontaktunstetigkeit dagegen an C 0 Charakteristiken statt.

58 KAPITEL 2. EIGENSCHAFTEN UND ANALYTISCHE LÖSUNGEN Stoßwellen in einem idealen Gas Im Falle einer idealen Gaszustandsgleichung (2.26) lauten die Rankine Hugoniot Bedingungen unter Verwendung der Machzahl M a u/c im Bezugsystem des Stoßes ρ 2 ρ 1 = (γ + 1)M 2 a 1 (γ 1)M 2 a p 2 (2.64) = 2γM a 2 1 p 1 γ + 1 γ 1 γ + 1 (2.65) T 2 = [2γM a 2 1 (γ 1)][(γ 1)Ma ] T 1 (γ + 1) 2 Ma 2 1 (2.66) Im Grenzfall eines sehr starken Stoßes, d.h. im Grenzfall M a1 gilt ρ 2 = γ + 1 ρ 1 γ 1 = sowie für γ = 1 7 für γ = 4/3 4 für γ = 5/3, (2.67) p 2 p 1 ( M 2 a 1 ) und T 2 T 1 ( M 2 a 1 )

59 KAPITEL 2. EIGENSCHAFTEN UND ANALYTISCHE LÖSUNGEN Das Riemann Problem Ein Riemann Problem ist ein Cauchy Anfangswertproblem mit stückweise konstanten Anfangsbedingungen U t + F(U) x = 0 mit U(x, 0) = w l, x < 0 und U(x, 0) = w r, x > 0. (2.68) Physikalische Motivation: Gas gefüllter Behälter sei durch Membran in zwei Bereiche getrennt, die den Druck p l und die Dichte ρ l, bzw. p r und ρ r besitzen. Das Gas ist in beiden Bereichen zunächst in Ruhe. Zur Zeit t = t 0 reißt die Membran. Wichtig: Anfangsunstetigkeiten in ρ, u und p sind beliebig wählbar, d.h. es müssen keinerlei Beziehungen zwischen ihnen erfüllt sein. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann man daher u r = 0 und p r < p l annehmen. Der Zerfall der Anfangsunstetigkeit A kann in drei verschiedene Kombinationen von Unstetigkeiten (Stoß S und tangentiale Unstetigkeit T ) erfolgen, die sich voneinander entfernen: a) A S T S (2.69) d.h. zwei Stoßwellen, die sich in entgegengesetzter Richtung ausbreiten und die durch eine tangentiale Unstetigkeit getrennt sind. Eine solche Situation entsteht beim Zusammenstoß zweier Gasmassen mit großer Geschwindigkeit. b) A V T S (2.70) d.h. eine Stoßwelle und eine Verdünnungswelle, die sich in entgegengesetzter Richtung ausbreiten und die durch eine tangentiale Unstetigkeit gretrennt sind. Eine solche Situation entsteht, wenn zwei gegeneinander unbewegte Gasmassen (u l = u r ), die unterschiedliche Drücke besitzten, sich anfänglich berühren (Stoßrohr). c) A V T V (2.71) d.h. zwei Verdünnungswellen, die sich in entgegengesetzter Richtung ausbreiten und die durch eine tangentiale Unstetigkeit getrennt sind. Der Druck im Gebiet zwischen den beiden Verdünnungswellen kann auf Null abfallen, d.h. eine Vakuumzone kann entstehen. Die Lösung des Riemann Problems hängt nur von den Anfangszuständen w l und w r sowie von dem Verhältnis ζ = x/t ab, d.h. es gilt U = U( x t ; w l, w r ). Letzteres gilt, da die hydrodynamischen Gleichungen forminvariant unter der Transformation x x = Lx t t = Lt ; L > 0

60 KAPITEL 2. EIGENSCHAFTEN UND ANALYTISCHE LÖSUNGEN 59 sind. Die Lösung besteht aus konstanten Zuständen, die durch zentrierte Wellen (d.h. durch zentrierte Verdünnungswellen oder Stöße) und/oder tangentiale Unstetigkeiten getrennt sind. Als Beispiel betrachten wir nun im Detail ein Stoßrohr (siehe Abb. (2.10)) bzw. den Fall (2.70), und leiten die Lösung des entsprechenden Riemannproblems her. Zur Lösung des Anfangswertproblems muss man 8 unbekannte Größen in den Gebieten (3) und (4) bestimmen (siehe Abb. 2.10): ρ 3, p 3, u 3, ε 3 und ρ 4, p 4, u 4, ε 4. Die konstanten Zustände links (1) und rechts(5) von der Diskontinuität sind durch die Anfangsbedingungen gegeben. Gebiet (2) ist eine Verdünnungswelle, die durch die Zustände (1) und (3) eindeutig bestimmt ist. Die Unbekannten ε 3 und ε 4 sind mit Hilfe der Zustandsgleichung eliminierbar. Da der Massenfluss durch die Kontaktunstetigkeit gleich null ist und da der Druck an der Kontaktunstetigkeit stetig ist, folgt u 3 = u 4 u c und p 3 = p 4 p c. Damit verbleiben noch 4 Unbekannte: ρ 3, ρ 4, u c und p c, d.h. zur Lösung des Riemannproblems sind noch 4 weitere Bedingungen erforderlich. Zwei der gesuchten vier Bedingungen ergeben sich aus den (allgemeinen) Rankine Hugoniot Bedingungen (2.53) am Stoß, der sich mit der Geschwindigkeit D ausbreitet. m ρ 5 (D u 5 ) = ρ 4 (D u c ) m(u c u 5 ) = p c p 5 (2.72) m(e c E 5 ) = p c u c p 5 u 5 Da das Gas vor dem Stoß in Ruhe ist, d.h. da u 5 = 0 gilt, folgt für die erste Rankine Hugoniot Bedingung m = ρ 5 D = ρ 4 (D u c ) und damit für die zweite Rankine Hugoniot Bedingung mu c = ρ 4 (D u c )u c = p c p 5. Die letzte Gleichung läßt sich durch Elimination von D aus der ersten Rankine Hugoniot Bedingung D = ρ 4u c ρ 4 ρ 5

61 KAPITEL 2. EIGENSCHAFTEN UND ANALYTISCHE LÖSUNGEN 60 Riemann Problem: P 1 ρ 1 P5 ρ 5 u 1 =0 x D u 5 =0 x head tail of rarefaction contact discontinuity shock x t x Abbildung 2.10:

62 KAPITEL 2. EIGENSCHAFTEN UND ANALYTISCHE LÖSUNGEN 61 in der Form ( ) ρ4 u c ρ 4 u c u c = p c p 5 ρ 4 ρ 5 schreiben. Ein kleine Umformung ergibt schließlich die gesuchte erste Bedingung ( 1 (p 5 p c ) 1 ) = u 2 c (2.73) ρ 5 ρ 4 Die dritte Rankine Hugoniot Bedingung (2.72) kann wegen E = u 2 /2+ε in der Form m(ε 4 + u2 c 2 ε 5) = p c u c, bzw. nach Elimination von m und einfacher Umformung in der Form ε 4 ε 5 = p c + p 5 u 2 c p c p 5 2 geschrieben werden. Mit Hilfe von (2.73) und unter der Annahme einer idealen Gaszustandsgleichung (2.26) eliminiert man jetzt u c bzw. ε i und erhält ( 1 pc p ) 5 = p c + p 5 (ρ 4 ρ 5 ). γ 1 ρ 4 ρ 5 2ρ 4 ρ 5 Weitere einfache Umformungen führen schließlich zu der gesuchten zweiten Bedingung p c p 5 p c + p 5 = γ ρ 4 ρ 5 ρ 4 + ρ 5 (2.74) Die dritte Bedingung folgt aus der Tatsache, dass die Entropie in der Verdünnungswelle, die eine Γ + einfache Welle ist, konstant ist. Da für die Entropie eines idealen Gases s ln(p/ρ γ ) gilt, kann die dritte Bedingung in der Form p 1 p c = ( ) γ ρ1 ρ 3 (2.75) geschrieben werden.

63 KAPITEL 2. EIGENSCHAFTEN UND ANALYTISCHE LÖSUNGEN 62 Die vierte Bedingung ergibt sich aus der Tatsache, dass in einer Γ + einfachen Welle die Riemann sche Invariante cdρ Γ + = u + ρ konstant ist. Daraus folgt u c + c3 dρ = u 1 + ρ 3 c1 ρ 1 dρ. Mit der Schallgeschwindigkeit c = γp/ρ gilt c ρ dρ = 2 γp γ 1 ρ und damit lautet die vierte Bedingung u c + 2 γpc = 2 γp1 (2.76) γ 1 ρ 3 γ 1 ρ 1 Kombiniert man die vier Bedingungen (2.73), (2.74), (2.75) und (2.76)), so lässt sich eine nicht lineare, algebraische Gleichung für das Druckverhältnis P p c /p 5 (bzw. für den Druck p c, da p 5 durch die Anfangsbedingungen vorgegeben ist) ableiten. [ ρ 1 1 (1 P ) 2 ρ 5 λ γ(1 + P ) 1 + P = 2γ 1 (γ 1) 2 ( P λ ) γ 1 ] 2 2γ (2.77) wobei λ (p 1 /p 5 ) das Druckverhältnis zwischen den beiden konstanten Anfangszuständen ist. Die restlichen unbekannten Größen ergeben sich aus der Lösung p c durch Einsetzen: ρ 4 aus (2.74), u c nach Berechnung von ρ 4 aus (2.73) und ρ 3 aus (2.75). In der folgenden Tabelle ist die Lösung von (2.77) für einige Fälle angegeben. λ γ = 4/3 γ = 5/

64 Kapitel 3 Diskretisierungsverfahren 3.1 Grundlegende Begriffe und Definitionen Die partiellen Differentialgleichungen der Hydrodynamik bzw. der Magnetohydrodynamik beschreiben Strömungen in einem Raum Zeit Kontinuum. Die numerische Integration der Gleichungen erfordert eine Diskretisierung des Raum Zeit Kontinuums und eine entsprechende Diskretisierung der Gleichungen. Bei Gitterverfahren (andere Diskretisierungsverfahren werden hier nicht betrachtet) wird das zu simulierende Raumgebiet mit einem Rechengitter bestehend aus einer endlichen Anzahl von Zellen überdeckt (siehe Abb. (3.1). = Satz von algebraischen Gleichungen für diskrete hydrodynamische Variable = unvermeidbare Diskretisierungsfehler Finite Differenzenverfahren: Gitterpunkten (Zellenmitten, Zellenecken, Zellenrändern) werden diskrete Variablenwerte 1 zugeordnet, z.b. (siehe Abb. (3.1): g n+1 k g(x k, t n+1 ). Man diskretisiert die hydrodynamischen Gleichungen in differentieller Form, wobei Ableitungen durch Differenzenbildung zwischen den diskreten Variablenwerten benachbarter Zonen approximiert werden. Finite Volumenverfahren: Zellvolumina werden zellgemittelte Variablen zugeordnet: g n i,j g(x i, y j, t n ) 1 x i y j yj+1/2 xi+1/2 y j 1/2 x i 1/2 g(x, y, t n )dxdy Man diskretisiert die hydrodynamischen Gleichungen in integraler Erhaltungsform. 1 Nomenklatur: Unterer bzw. oberer Index bezeichnet diskrete Raumkoordinate bzw. Zeitkoordinate. 63

65 KAPITEL 3. DISKRETISIERUNGSVERFAHREN 64 t n+1 t n g n k g n+1 k+1/2 g n+1/2 k+1/2 t n+1/2 t n 1 x k+1/2 x k 1 x k x k+1 Abbildung 3.1: Ableitungen: Die Taylor Entwicklung einer Funktion f um einen Punkt x 0 lautet bis zur zweiten Ordnung: f(x 0 + x) = f(x 0 ) + Daraus folgt f n k+1 = f n k + ( ) f x + 1 x x 0 2 ( ) f x k+1/2 + 1 x x k 2 ( ) 2 f x 2 ( ) 2 f x 2 Auflösen dieser Gleichung nach ( f/ x) k ergibt: ( ) f = f k+1 n f k n 1 x k x k+1/2 2 ( ) 2 f x 2 k x 0 ( x) 2 + O [ ( x) 3]. x k ( x k+1/2 ) 2 + O [ ( x) 3]. x k+1/2 + O [ ( x) 2] (3.1) Vorwärts- bzw. Rückwärtsdifferenzenapproximation der 1. Ortsableitung; Diskretierungsfehler O [ x], d.h. von 1. Ordnung. ( ) n f f k+1 n f k n (3.2) x k x k+1/2 ( ) n f f k n f k 1 n (3.3) x k x k 1/2

66 KAPITEL 3. DISKRETISIERUNGSVERFAHREN 65 t n+1 t n t n 1 x k 1 x k x k+1 Funktionswerte Ableitungen Abbildung 3.2: Zentrierte Differenzenapproximation der 1. Ortsableitung; Diskretierungsfehler O [( x) 2 ], d.h. von 2. Ordnung für äquidistante Gitter. ( ) n f f k+1 n f k 1 n mit x k x k+1/2 + x k 1/2 x k 2 x k 2 (3.4) 2. Ortsableitung: Taylor Entwicklung von f n k+1 und f n k 1 um den Punkt x k bis zur 4. Ordnung. Auflösen nach 2 f/ x 2 ergibt eine Approximation O [( x) 2 ]: ( 2 f x 2 ) n k f n k+1 + f n k 1 2f n k ( x k ) 2 (3.5) Versetzte (staggered) Gitter: Funktionswerte und Ableitungen werden versetzt zueinander auf dem Rechengitter definiert (siehe Abb. (3.2)); z.b. ( ) n f f k+1 n f k n (3.6) x k+1/2 x k+1/2 Vorteil: Approximation ist auch für nicht äquidistante Gitter von O [( x) 2 ].

67 KAPITEL 3. DISKRETISIERUNGSVERFAHREN Explizite und implizite Verfahren U(r, t) sei der Zustandsvektor eines (dynamischen) Systems im Raumgebiet R = R(r) mit U = U 0 zur Zeit t = 0. Ferner sei U für alle Zeiten t > 0 auf der Oberfläche S des Raumgebiets R gegeben. Dann ist die zeitliche Entwicklung des Zustandsvektor U des Systems in R für alle Zeiten t > 0 bestimmt durch U t = LU (3.7) Dies ist ein Anfangswertproblem mit Randbedingungen. L ist ein nichtlinearer Operator. Falls die Entwicklung des System durch gewöhnliche Differentialgleichungen beschrieben wird, ist L algebraischer Natur. Falls dagegen die Entwicklung des System durch partielle Differentialgleichungen bestimmt wird, ist L ein räumlicher Differentialoperator. Vernachlässigt man Terme zweiter Ordnung und höherer, ergibt sich die folgende allgemeine (für zwei Zeitniveaus!) diskretisierte Gleichung: U n+1 = U n + LU n (1 ɛ) t + LU n+1 ɛ t (3.8) wobei t t n+1 t n und ɛ ein Interpolationsparamter mit 0 ɛ 1 ist. Falls ɛ = 1/2, ist die zeitliche Integration O [( t) 2 ] genau. Falls ɛ 1/2, ist die zeitliche Integration O [ t] genau. Falls ɛ = 0, ist U n+1 explizit durch U n gegeben, d.h. man erhält eine explizite Zeitdiskretisierung. Falls ɛ 0, liegt eine implizite Zeitdiskretisierung vor. Werden die hydrodynamischen Gleichungen zeitlich explizit diskretisiert, so muss aus Stabilitätsgründen die Zeitschrittgröße der Courant Friedrichs Lewy oder CFL Bedingung genügen. Im Falle einer eindimensionalen Strömung (mit der Geschwindigkeit u und der Schallgeschwindigkeit c) lautet diese t t CF L Min i { xi u i + c i } (3.9) wobei das Minimum über alle Stützstellen i zu bilden ist. Für eine dreidimensionale Strömung mit den Geschwindigkeitskomponenten (u, v, w) lautet die CFL Bedingung (in kartesischen Koordinaten (x, y, z)): ( 1 u i t t CF L Min ijk + v j + w ) 2 ( ) 2 ( ) 2 k c ijk + + x i y j z k x i y j z k wobei das Minimum über alle Stützstellen i, j, k zu bilden ist.

68 KAPITEL 3. DISKRETISIERUNGSVERFAHREN 67 Implizite Verfahren erlauben im allgemeinen die Verwendung von größeren Zeitschritten. Allerdings ist in diesem Fall jedoch die Lösung eines nichtlinearen, algebraischen Gleichungssystems in jedem Zeitschritt notwendig, um den Zustandsvektor für den nächsten Zeitschritt zu berechnen. Dies geschieht üblicherweise mit Hilfe einer (im mehrdimensionalen) Newton Iteration, wobei in jeder Iteration ein lineares Gleichungssystem zu lösen ist. Typischerweise sind 3 bis 5 Iterationen pro Zeitschritt notwendig. Die Anzahl der notwendigen Rechenoperationen skaliert gemäß (NV NX NY NZ) 3, wobei N V die Anzahl der unabhängigen Variablen bzw. Gleichungen des zu lösenden nichtlinearen, algebraischen Gleichungssystems ist. N X, N Y und N Z sind die Anzahl der Stützstellen in x-, y- und z Richtung. Eine signifikante Reduktion der Anzahl der Operationen läßt sich durch Ausnutzung der Matrixblockstruktur des Gleichungssytems erreichen. Weitere Probleme die bei impliziten Verfahren auftreten: - Tabellen und numerische Ableitungen können die Konvergenz der Iteration verschlechtern, oder gar verhindern. - Die Suche nach Programmfehlern ist erheblich erschwert. - Unter Umständen sind adaptive Rechengitter erforderlich, da sonst ein zu kleiner Zeitschritt für die Konvergenz erforderlich ist. 3.3 Methode der Operatoren Zerlegung Man betrachte ein nicht lineares System von partiellen Differentialgleichungen für einen Zustandsvektor U t U( r, t) = G( U, r, t), (3.10) wobei G ein Vektor Operator sei, der keine Zeitableitungen von U enthält. Man zerlegt nun den Operator G in N Teiloperatoren G i, so dass t U( r, t) = G 1 + G 2 + G G N (3.11) gilt. Die zeitliche Integration der Differentialgleichung (3.10) wird nun in mehreren Teilschritten durchgeführt, wobei in jedem Schritt nur einer der Operatoren G i den Zustandsvektor U modifiziert. Eine Zerlegung könnte z.b. so aussehen, dass G 1 die Advektion, G 2 die Druck- und Gravitationskräfte, G 3 die Wärmeleitung und G 4 das Kernbrennen beschreiben.

69 KAPITEL 3. DISKRETISIERUNGSVERFAHREN 68 Vorteil 1: Teilschritte können unabhängig voneinander bearbeitet werden und verschiedene Lösungsmethoden können für die einzelnen Teilschritte verwendet werden. Vorteil 2: Ein modularer Programmaufbau ist möglich. Qualitatives Kriterium für die Operatoren-Zerlegung: Der Zustandsvektor sollte sich während eines Teil Zeitschritts nicht allzu sehr ändern. Warnung: Operatoren Zerlegung ist oft weder streng mathematisch begründbar, noch gibt es eine Garantie dafür, dass die so erhaltene Zerlegung zur richtigen Lösung führt. Zerlegung wird oft nur aufgrund von Empirie, Erfahrung und physikalischer Intuition vorgenommen. Daumenregel: Keine sich gegenseitig kompensierende Terme trennen, wie z.b. Druck- und Potential-Gradienten oder Emissions- und Absorptions-Prozesse. Eine der wichtigsten Anwendungen der Methode der Operatoren Zerlegung ist die Behandlung mehrdimensionaler Probleme. dimension splitting (Godunov 1959) directional splitting (G. Strang, 1968 SIAM J Num Anal 5, 506) d.h. Lösung von 2D und 3D Strömungsproblemen durch mehrere sogenannte Durchläufe (sweeps), z.b. im 2D Fall (x,y) 1. Durchlauf nur Ableitungen nach x berücksichtigen 2. Durchlauf nur Ableitungen nach y berücksichtigen Falls einzelne Durchläufe von der Ordnung O [( t) 2 ] genau sind, dann ist der Gesamtalgorithmus ebenfalls von der Ordnung O [( t) 2 ] genau, falls auf ein (x, y)- ein (y, x)-zeitschritt folgt, d.h. falls die Durchlaufrichtungen von Zeitschritt zu Zeitschritt alternieren. directional splitting ermöglicht den Aufbau mehrdimensionaler Hydrodynamikprogramme, die im Kern eine 1D Programmstruktur besitzen, und führt zu einer erheblichen Effizienzsteigerung bei impliziten Algorithmen; z.b. 2D Problem mit NX NY Stützstellen voll implizit: (NX NY ) 3 Operationen gesplittet: NX NY 3 + NX 3 NY Operationen (u.u. aber mehrere Iterationen notwendig) Falls NX = NY = 100 müssen nur anstatt Operationen ausgeführt werden (Rechenzeit um einen Faktor 5000 geringer).

70 KAPITEL 3. DISKRETISIERUNGSVERFAHREN Konservative Verfahren Hydrodynamische Gleichungen drücken die Erhaltung von Masse, Impuls und Energie aus. Die entsprechenden Differentialgleichungen können in verschiedenen analytisch äquivalenten Formen geschrieben werden, die aber numerisch betrachtet nicht äquivalent sind. Die Kontinuitätsgleichung läßt sich in der Form ρ t + div(ρ v) = 0 (3.12) oder in der Form ρ t + vgradρ + ρdiv v = 0 (3.13) schreiben. Gleichung (3.12) ist besser für die Diskretisierung geeignet, da sie die Massenerhaltung direkt ausdrückt. Allgemein gilt: Die diskretisierten Gleichungen erhalten nicht notwendigerweise Masse, Impuls und Energie! (Beachte: Eine Impulskomponente ist physikalisch nur dann erhalten, wenn die entsprechende Ortskoordinate geradlinig ist.) Notwendigkeit für konservative Differenzenverfahren Zur Konstruktion solcher Verfahren integriert man die hydrodynamischen Gleichungen über eine endliches (raumfestes) Volumen V mit der Oberfläche V. Aus der Kontinuitätsgleichung folgt dann ρdv + divρ v dv = 0, t V V und weiter mit dem Gauss schen Satz ρdv + ρ v df t = 0, (3.14) V V wobei d f der Einheitsnormalenvektor (nach außen zeigend!) der Oberfläche V ist. Analoge Ausdrücke erhält man aus der Impuls- und Energiegleichung: ρ vdv + ρ v( v df) t = ( ρgradφ gradp) dv (3.15) V V V ρedv + (ρe + p) v df t = ρ v gradφ dv (3.16) V V V

71 KAPITEL 3. DISKRETISIERUNGSVERFAHREN 70 Die integrale Form hat den zusätzlichen Vorteil, dass damit auch Diskontinuitäten (z.b. Stoßwellen) in der Strömung behandelbar sind. Ein Differenzenverfahren ist konservativ, falls für die Dichte ξ einer Erhaltungsgröße (z.b. Masse) die Relation N [ ] n+1 N [ ] n [ ] n ξdv = ξdv + t j ξ df (3.17) V c(i) V c(i) V t i=1 i=1 gilt, wobei V t das Volumen des Rechengebiets ist, das in N Zellen mit Volumina V c (i) (d.h. V t = N i V c (i)) unterteilt ist, und das eine Oberfläche V t besitzt. Die Stromdichte j ξ ist gemäß j ξ = ξ v definiert. Anders ausgedrückt: Die Summe der Volumenintegrale darf sich nicht ändern, falls kein Fluss über den Rand des Rechengebiets hinaus und hinein vorhanden ist. Diese Bedingung erscheint trivial, aber sie ist nicht immer erfüllt. Betrachten wir dazu (in kartesischen Koordinaten) die eindimensionale Kontinuitätsgleichung in nicht konservativer Form (Gl. 3.13) für ein inkompressibles Gas (div v = 0) und approximieren wir den Gradientenoperator durch eine zentrierte Differenz. Mit δ 0.5 t/ x folgt dann für die Zonen i 2 bis i + 2 ρ n+1 i 2 ρ n i 2 = δ ( u n i 2 ρ n i 1 u n i 2 ρ n i 3 ) ρ n+1 i 1 ρ n i 1 = δ ( u n i 1 ρ n i u n i 1 ρ n i 2 ) ρ n+1 i ρ n i = δ ( u n i ρ n i+1 u n i ρ n i 1 ) ρ n+1 i+1 ρ n i+1 = δ ( u n i+1 ρ n i+2 u n i+1 ρ n i ) ρ n+1 i+2 ρ n i+2 = δ ( u n i+2 ρ n i+3 u n i+2 ρ n i+1 ) Summiert man diese Differenzengleichungen über alle Stützstellen i = 1,..., N, so heben sich offensichtlich keine Terme auf der rechten Seite weg, d.h. das Verfahren ist nicht konservativ. Geht man dagegen von der Kontinuitätsgleichung in Erhaltungsform (Gl. 3.12) aus und approximiert den Divergenzoperator durch eine zentrierte Differenz, so folgt ρ n+1 i 2 ρ n i 2 = δ ( u n i 1 ρ n i 1 u n i 3 ρ n i 3 ) ρ n+1 i 1 ρ n i 1 = δ ( u n i ρ n i u n i 2 ρ n i 2 ) ρ n+1 i ρ n i = δ ( u n i+1 ρ n i+1 u n i 1 ρ n i 1 ) ρ n+1 i+1 ρ n i+1 = δ ( u n i+2 ρ n i+2 u n i ρ n i ) ρ n+1 i+2 ρ n i+2 = δ ( u n i+3 ρ n i+3 u n i+1 ρ n i+1 ) Jetzt fallen bei der Aufsummation alle Terme auf der rechten Seite (bis auf jeweils zwei Terme am Rand des Rechengebiets) weg, d.h. das Verfahren ist konservativ.

72 KAPITEL 3. DISKRETISIERUNGSVERFAHREN Stabilität, Konsistenz und Diskretisierungsfehler Die Stabilität eines numerischen Verfahrens ist durch sein Fehlerfortpflanzungsverhalten bestimmt. Bei der Untersuchung der zeitlichen Entwicklung einer kleinen Störung sind folgende Fälle möglich: unbeschränktes Anwachsen Verfahren instabil der Störung Störung nimmt ab, falls Zeitschritt Verfahren beschränkt stabil gewissen Bedingungen genügt Störung nimmt ab für Verfahren unbeschränkt stabil beliebige Zeitschritte Es existieren verschiedene Verfahren zur Untersuchung der Stabilität eines Differenzenschemas, z.b. die von Neumann sche Stabilitätsanalyse (Modenanalyse für lineare Anfangsprobleme). Für nicht lineare Probleme läßt sich nur die Stabilität der linearisierten Gleichungen bestimmen, d.h. man kann nur notwendige Stabilitätskriterien für nicht lineare Probleme ableiten. Ein Differenzenverfahren muss nicht nur genau sein, sondern es muss auch konsistent zur Differentialgleichung sein, d.h. es muss lim {Differentialgleichung Differenzengleichung} = 0 (3.18) x, t 0 gelten Diffusionsgleichung Als Beispiel zur Veranschaulichung der Konzepte Stabilität, Konsistenz und Diskretisierungsfehler betrachten wir im folgenden die eindimensionale Diffusionsgleichung f t = α 2 f x 2 (3.19) mit dem konstanten Diffusionskoeffizienten α. Wir nehmen o.b.d.a. weiterhin an, dass t und x konstant sind. Diskretisierung nach Richardson: O[( t) 2, ( x) 2 ] f n+1 k f n 1 k 2 t = α f n k+1 + f n k 1 2f n k ( x) 2 (3.20)

73 KAPITEL 3. DISKRETISIERUNGSVERFAHREN 72 Daraus folgt: f n+1 k = f n 1 k + d(f n k+1 + f n k 1 2f n k ) mit d 2α t ( x) 2 > 0. (3.21) - ɛ sei Fehler der numerischen Lösung, d.h. f num = f + ɛ, wobei f die exakte Lösung sei. Da sowohl f als auch f num der Differenzengleichung genügen müssen, folgt ɛ n+1 k = ɛ n 1 k + d (ɛ n k+1 + ɛ n k 1 2ɛ n k). (3.22) d.h. exakte Lösung (3.21) und Fehler ɛ (3.22) haben dasselbe Zeitverhalten! - Als Ansatz für die Fehlerverteilung auf dem Rechengitter wählen wir eine Fourierreihe, deren Fundamentalmode (m = 1) eine Wellenlänge λ = 2π/k gleich der zweifachen Gitterlänge L hat, d.h. es gilt ɛ(x, t) = M b m (t) e ikm x (3.23) m=0 mit den Wellenzahlen k m = mπ, m = 0, 1,..., M und M x = L. L - Da die Differenzengleichung (3.20) linear ist, gilt das Superpositionsprinzip für Fehler, d.h. für die Stabilitätsanalyse genügt die Betrachtung eines Terms der Fourierreihe ɛ m (x, t) = b m (t) e ikm x. Einsetzen in die Differenzengleichung (3.22) liefert b n+1 m = b n 1 m + b n m 2d (cos φ m 1) mit dem Phasenwinkel φ m k m x. - Die weitere Diskussion gestaltet sich leichter, wenn man eine äquivalente Matrixformulierung verwendet: ( ) ( ) ( ) b n+1 m 2d(cos φm 1) 1 b n = m (3.24) b n 1 0 m b n 1 m wobei die Matrix auf der rechten Seite Fehlerfortpflanzungsmatrix heißt und üblicherweise mit G m bezeichnet wird. Nach der Diagonalisierung dieser Gleichung erhält man: b n+1 m = λ l b n m oder b n m = λ l b n 1 m, (3.25) wobei λ l die Eigenwerte der Fehlerfortpflanzungsmatrix G m sind.

74 KAPITEL 3. DISKRETISIERUNGSVERFAHREN 73 - Das Differenzschema ist stabil, falls l : λ l 1 (3.26) gilt. Die Eigenwerte für die Richardson Diskretisierung ergeben sich aus dem charakteristischen Polynom zu λ 2 2d(cos φ m 1)λ 1 = 0 λ ± = d(cos φ m 1) ± d 2 (cos φ m 1) 2 + 1, (3.27) d.h. das Richardson Schema ist instabil (da für cos φ m 1 der Betrag des Eigenwerts λ = D D mit D d(cos φ m 1) < 0 größer 1 ist). Diskretisierung nach DuFort Frankel: (3 Zeitniveaus) f n+1 k f n 1 k 2 t = α f k+1 n + f k 1 n n+1 (fk + f n 1 k ), (3.28) ( x) 2 d.h. fk n n+1 in (3.20) wurde durch den zentrierten Zeitmittelwert (fk Für die Fehlerfortpflanzungsmatrix findet man G m = ( 2d cos φm 1+d d 1+d ). Damit ergeben sich die folgenden Eigenwerte + f n 1 k )/2 ersetzt. λ ± = d cos φ m 1 + d ± (d cos φm 1 + d ) d 1 + d. Mit Hilfe der Dreiecks Abschätzung a ± b a + b folgt λ ± d cos φ m 1 + d + d 2 cos 2 φ m + 1 d (1 + d) d, λ ± d 1 + d + d 2 (1 + d) + 1 d d, λ ± d 1 + d + d d 2 (1 + d) 2

75 KAPITEL 3. DISKRETISIERUNGSVERFAHREN 74 λ ± d 1 + d d = 1, d.h. beide Eigenwerte sind betragsmäßig kleiner gleich Eins für alle positiven d und für beliebige Phasenwinkel φ m. Daher ist das DuFort Frankel Differenzenschema unbeschränkt stabil. - Der Diskretisierungsfehler des DuFort Frankel Schemas ist von der Ordnung O[( t) 2, ( x) 2, ( t/ x) 2 ], d.h. damit das Schema konsistent ist, muss ( t/ x) 2 gegen Null gehen, wenn ( t) 2 und ( x) 2 gegen Null streben. Ist dies nicht der Fall und strebt ( t/ x) 2 stattdessen gegen einen konstanten Wert γ, ist das DuFort Frankel Schema konsistent mit der hyperbolischen Differentialgleichung f t = f α 2 x αγ 2 f 2 t + 2 O[ 3 ]. Um dies zu sehen, entwickelt man die DuFort Frankel Differenzengleichung (3.28) in eine Taylorreihe um n und k. - Der Gewinn an Stabilität wurde daher auf Kosten der Konsistenz erzielt! Man muss daher aus Genauigkeitsgründen den Zeitschritt t so wählen, dass αγ = α( t/ x) 2 ausreichend klein ist, d.h. trotz unbeschränkter Stabilität des Verfahrens ist eine Zeitschrittbeschränkung erforderlich. Diskretisierung nach Crank Nicholson: - Basiert auf zeitgemittelter Ableitung anstelle zeitgemittelter Funktion f n+1 k fk n t = α δ2 xf n+1 k + δxf 2 k n (3.29) 2( x) 2 wobei δxf 2 k n f k 1 n 2f k n + f k+1 n der zentrale Differenzenoperator (siehe 3.5) ist. - Differenzenverfahren ist unbeschränkt stabil und konsistent und von O[( t) 2, ( x) 2 ] - Die Differenzengleichung lautet mit β α t/( x) 2 : 1 n+1 n+1 βfk 1 + (1 + β)fk 1 n+1 βfk = 1 2 βf k 1 n + (1 β)fk n βf k+1 n (3.30) - Implizites Verfahren, da Werte zur Zeit t n+1 gekoppelt sind tridiagonales Gleichungssystem für f n+1 k (k = 1,..., N) durch zweifache Rekursion effizient lösbar; erfordert nur 5N 4 Operationen, d.h. der Rechaufwand wächst linear mit der Anzahl der Stützstellen (siehe, z.b. Potter 1973)

76 KAPITEL 3. DISKRETISIERUNGSVERFAHREN Möglichkeit die Diffusionsgleichung zu diskretisieren Man drückt die Zeitableitung mit Hilfe der Vorwärtsdifferenzenapproximation (3.2) aus f n+1 k fk n t = α f n k+1 2f n k + f n k 1 ( x) 2 (3.31) Damit folgt: f n+1 k = βf n k 1 + (1 2β)f n k + βf n k+1. - Aus der von Neumann sche Stabilitätsanalyse ergibt sich G = 1 2β(1 cosφ), und damit als Bedingung für die Stabilität des Schemas: β 0.5 bzw. t 1 ( x) 2 2 α. Das Schema ist also bedingt stabil mit t τ diff ( x)/2, d.h. der Zeitschritt muss kleiner sein als die Hälfte der Diffusionszeit durch eine Gitterzone - Sehr restriktive Bedingung an den Zeitschritt x x/2 = t t/4 = CPU 8 CPU = In fast allen Anwendungen wird das Crank Nicholsen Schema verwendet, um Diffusionsprobleme numerisch zu lösen Advektionsgleichung Die Advektionsgleichung ist die Kontinuitätsgleichung (2.21) für eine vorgegebene konstante Geschwindigkeit v 0 (o.b.d.a.: v 0 > 0): ρ t + v ρ 0 x = 0 (3.32) Ersetzt man die räumliche Ableitung durch die Rückwärtsapproximation (3.3), erhält man die Differenzengleichung ρ n+1 k+1/2 = ρn k+1/2 β(ρ n k+1/2 ρ n k 1/2), (3.33) wobei β v 0 t/ x die Anzahl der Zonen ist, die die Flüssigkeit pro Zeitschritt durchströmt.

77 KAPITEL 3. DISKRETISIERUNGSVERFAHREN 76 Die Stabilitätsanalyse ergibt: G = (1 β) + β cos φ iβ sin φ, d.h. das explizite Schema ist bedingt stabil, falls die CFL Bedingung β 1 oder t x v 0 (3.34) erfüllt ist, oder anders ausgedrückt, keine Information darf sich schneller als eine Gitterzone pro Zeitschritt ausbreiten!. Diese Bedingung folgt auch direkt aus den Charakteristikengleichungen (2.29), da diese für die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Information dx/dt v 0 + c fordern, und damit t x/( v 0 +c) implizieren, was im Falle von c = 0 (keine Schallwellen) identisch mit der Bedingung (3.34) ist. Schreibt man (3.33) in der alternativen Form ρ n+1 k+1/2 = (1 β)ρn k+1/2 + βρ n k 1/2, (3.35) so sieht man, dass sich für β = 1 die exakte Lösung ρ n+1 k+1/2 = ρn k 1/2 ergibt. Allerdings ist die obige Differenzengleichung für β 1 sehr diffusiv. Dies zeigt sich, wenn man die Differenzengleichung um (k + 1/2) und n in eine Tayloreihe entwickelt. Daraus folgt ρ t + v ρ 0 x = v 0 x 2 ρ 2 x t 2 ρ 2 2 t + O [ ( x) 2], 2 d.h. die Differenzengleichung ist konsistent mit der ursprünglichen Differentialgleichung, aber stark ( x) diffusiv Allgemeine Tatsachen Differenzengleichungen enthalten Terme, die nicht in der Differentialgleichung enthalten sind. Die Konsequenzen, die daraus resultieren, lassen sich durch Taylorentwicklungen und Stabilitätsanalyse untersuchen. falls der führende Fehlerterm vom Typ 2 / x 2 ist, spricht man von numerischer Diffusion (siehe Abb. 3.3). falls der führende Fehlerterm vom Typ 3 / x 3 ist, spricht man von numerischer Dispersion (siehe Abb. 3.4). ACHTUNG: Im Allgemeinen sind beide Fehler am Werk!

78 KAPITEL 3. DISKRETISIERUNGSVERFAHREN 77 analytische Lösung numerische Lösung Abbildung 3.3: analytische Lösung numerische Lösung Abbildung 3.4:

79 KAPITEL 3. DISKRETISIERUNGSVERFAHREN Exakte Riemannlöser: Verfahren von Godunov In diesem Kapitel werden Differenzenverfahren zur Integration der hydrodynamischen Gleichungen erläutert, bei denen zur Berechnung der Flüsse (durch die Zellränder) an jedem Zonenrand ein lokales Riemannproblem exakt gelöst werden muss. Diese Vorgehensweise wurde von Godunov (1959) vorgeschlagen. Sein inzwischen als Godunov Verfahren bezeichnetes Differenzenverfahren, ist aber räumlich nur von erster Ordnung genau. Riemannlöser Verfahren höherer Ordnung wurden später von van Leer (1979), Collela & Woodward (1985) und Marquina (1994) entwickelt. Bevor wir das Verfahren von Godunov genauer diskutieren, sollen einige seiner Eigenschaften genannt werden. Es ist ein upwind bzw. upstream Verfahren. Solche Verfahren verwenden einseitige Differenzenapproximationen, wobei die Richtung nicht global festgelegt ist, sondern von der lokalen Strömung abhängt. Für ein inkompressibles Gas lautet die einfachste upwind Diskretisierung der 1D Kontinuitätsgleichung in nicht-konservativer Form (Gl. 3.13): ρ n+1 i ρ n i = t x un i { ρi ρ i 1 ; u i > 0 ρ i+1 ρ i ; u i < 0. (3.36) Diese Form der Diskretisierung, die man als Donor Cell Diskretisierung bezeichnet, garantiert, dass das Abhängigkeitsgebiet der hyperbolischen Kontinuitätsgleichung korrekt berücksichtigt wird und insbesondere keine Störung in eine Überschallströmung hineinpropagieren kann (was unphysikalisch wäre). Das Verfahren ist konservativ und monoton. Letzteres bedeutet, dass eine Anfangsverteilung so advektiert wird, dass keine neuen, numerisch bedingten Extrema auftreten. Das Verfahren ist stark diffusiv. Dieser Nachteil ist bei modernen Godunov- Verfahren höherer Ordnung behoben. Es handelt sich um ein shock-capturing Verfahren, d.h. Diskontinuitäten in der Strömung müssen nicht mit speziellen Techniken behandelt werden, sondern werden durch das Differenzenverfahren automatisch und ohne gitterabhängige Parameter (wie z.b. bei Verfahren die eine künstliche Viskosität verwenden) korrekt beschrieben. Wir betrachten ein allgemeines Anfangswertproblem für ein nicht-lineares System hyperbolischer partieller Differentialgleichungen (PDE) in einer Raumdimension: PDEs: U t + F(U) x = 0 Anfangswerte U(x, 0) = U 0 (x) Randwerte: U(0, t) = U l (t), U(L, t) = U r (t)

80 KAPITEL 3. DISKRETISIERUNGSVERFAHREN 79 Hierbei sind U(x, t) ein Vektor von Erhaltungsgrößen, F(U) der Flussvektor, U (0) (x) die Anfangsdaten zur Zeit t = 0 und [0, L] das Raumgebiet. U l (t) und U r (t) sind die zeitabhängigen linken und rechten Randbedingungen. Da auch nicht stetige Lösungen auftreten können, muss man die integrale Form der Erhaltungsgleichungen x2 x 1 U(x, t 2 )dx = x2 x 1 U(x, t 1 )dx + t2 t 1 F [U(x 1, t)] dt t2 t 1 F [U(x 2, t)] dt (3.37) verwenden. Hierbei ist [x 1, x 2 ] [t 1, t 2 ] ein beliebiges Kontrollvolumen im betrachteten Raumzeitgebiet. Man diskretisiert das Raumgebiet [0, L] in M Zellen I i = [x i 1/2, x i+1/2 ], die von äquidistanter Größe x = x i+1/2 x i 1/2 = L/M, i = 1,..., M sein sollen. Für eine gegebene Zelle I i sind die Koordinaten des Zellzentrums x i und der beiden Zellränder x i 1/2, x i+1/2 durch x i 1/2 = (i 1) x, x i = (i 1 2 ) x, x i+1/2 = i x (3.38) gegeben. Die Diskretisierung des Zeitintervalls [0, T ] erfolgt durch variable Zeitschritte t, deren Größe sich aus der CFL-Bedingung oder aus der gewünschten Genauigkeit bestimmt. Das Verfahren von Godunov besteht aus vier Teilschritten: (1) Zu einem Zeitpunkt t = t n seien die Anfangsdaten Ũ(x, tn ) gegeben. Um deren Entwicklung bis zu dem Zeitpunkt t n+1 = t n + t zu bestimmen, werden zunächst Zonenmittelwerte U n i 1 xi+1/2 Ũ(x, t n )dx (3.39) x x i 1/2 berechnet. Mit Hilfe der Zonenmittelwerte definiert man eine stückweise konstante Verteilung U(x, t n ) gemäß U(x, t n ) = U n i x I i = [x i 1/2, x i+1/2 ], i = 1,..., M, die die Anfangsdaten Ũ(x, tn ) bis auf erste Ordnung genau approximiert. Die zu integrierenden Daten setzen sich nun aus einer Menge {U n i } konstanter Zustände zusammen, die in Form von Erhaltungsgrößen gegeben sind. Für die Lösung des Riemannproblms ist es aber i.a. notwendig, die Erhaltungsgrößen durch die primitiven Variablen ρ, u und p auszudrücken (siehe 2.31).

81 KAPITEL 3. DISKRETISIERUNGSVERFAHREN 80 rarefaction shock contact discontinuity t n+1 V n i 1 V n i V n i+1 V n i+2 x i 1 x i 1_ 2 x i x i+ 1_ 2 x i+1 x i+ 3_ 2 x i+2 t n V n x x i 1 x i x i+1 x i+2 Abbildung 3.5: Illustration des Godunov Verfahren (2) Man sucht nun als nächstes die Lösung des ursprünglichen Anfangs- Randwertproblems für die modifizierten Anfangsdaten U n i. Dazu muss an jedem Zonenrand x i+1/2 die Lösung eines lokalen Riemannproblems RP (U n i, U n i+1) berechnet werden (siehe Abb. 3.5), die nur von den Zonenmittelwerten U n i (links) und U n i+1 (rechts) abhängt. Außerdem ist die Lösung selbstähnlich und hängt von der Koordinatenkombination (x/t) ab. Wir werden die Lösung im folgenden mit U i+1/2 (x/t) bezeichnen, wobei (x, t) lokale Koordinaten sind, die gemäß x = x x i+1/2, t = t t n x [x i, x i+1 ], t [t n, t n+1 ] (3.40) x [ x, x 2 2 ], t [0, t] durch die globalen Koordinaten (x, t) gegeben sind. Offensichtlich gilt x = 0 falls x = x i+1/2 und t = 0 falls t = t n.

82 KAPITEL 3. DISKRETISIERUNGSVERFAHREN 81 (3) Falls t hinreichend klein ist, d.h. falls keine Wechselwirkung zwischen benachbarten Riemannproblemen stattfindet, ist die globale Lösung Ũ(x, t) im Gebiet x [0, L] t [t n, t n+1 ] durch Ũ(x, t) = U i+1/2 (x/t), x [x i, x i+1 ] (3.41) gegeben. (4) Die Lösung zur Zeit t n+1 = t n + t erhält man, in dem man einen neuen Satz von Zellmittelwerten U n+1 i definiert. Dazu gibt es zwei Möglichkeiten. In der ersten Varianten des Godunov Verfahrens definiert man die neuen Zellmittelwerte mit Hilfe der Integrale U n+1 i = 1 x xi +1/2 x i 1/2 Ũ(x, t n+1 )dx (3.42) für jede Zone I i. Diese Mittelung ist allerdings nur sinvoll durchführbar, wenn innerhalb der Zone I i keine Wellen im Zeitraum t miteinander wechselwirken. Daraus ergibt sich die folgende (CFL) Bedingung an die Größe des Zeitschritts: t 1 2 x S n max, (3.43) wobei S n max die maximale Wellengeschwindigkeit im Rechengebiet zur Zeit t n ist. Infolge der Zeitschrittbedingung (3.43) beeinflussen nur zwei Riemannlösungen die Zone I i, nämlich die nach rechts popagierenden Wellen von U i 1/2 (x/t) und die nach links propagierenden Wellen von U i+1/2 (x/t). Daher folgt aus (3.42) unter Verwendung von (3.41) U n+1 i = x ( x ) U i 1/2 dx ( x ) U i+1/2 dx. (3.44) x 0 t x 1 2 x t Diese erste Variante des Godunov Verfahrens hat zwei Nachteile: (i) eine etwas restriktivere CFL Bedingung und (ii) die Berechnung der Integrale in (3.44) ist unter Umständen aufwändig Die zweite Variante des Godunov Verfahrens ist numerisch attraktiver und kann in der konservativen Formulierung U n+1 i = U n i + t ) (F xi 1/2 F i+1/2 x (3.45)

83 KAPITEL 3. DISKRETISIERUNGSVERFAHREN 82 geschrieben werden, wobei der numerische Fluss am Zellenrand durch F i+1/2 = F [ U i+1/2 (0) ] (3.46) gegeben ist, falls der Zeitschritt die Bedingung t x S n max (3.47) erfüllt. Beweis: Der Integrand Ũ(x, tn+1 ) in (3.42) ist eine exakte Lösung der Erhaltungsgleichungen (siehe 3.41). Daher kann man die integrale Form der Erhaltungsgleichung (3.37) mit dem Kontrollvolumen [x i 1/2, x i+1/2 ] [t n, t n+1 ] anwenden. Es folgt xi +1/2 mit x i 1/2 Ũ(x, t n+1 )dx = + xi +1/2 x i 1/2 t 0 Ũ(x, t n )dx ] F [Ũ(xi 1/2, t) dt t 0 ] F [Ũ(xi+1/2, t) dt (3.48) Ũ(x i 1/2, t) =U i 1/2 (0) = const (3.49) Ũ(x i+1/2, t) =U i+1/2 (0) = const (3.50) für t x/s n max, wobei U i 1/2 (0) die Lösung von RP (U n i 1, U n i ) und U i+1/2 (0) die Lösung von RP (U n i, U n i+1) entlang x/t = 0 ist. Division durch x ergibt 1 x xi +1/2 x i 1/2 Ũ(x, t n+1 )dx = 1 x xi +1/2 x i 1/2 Ũ(x, t n )dx und mit (3.42) folgt daraus die Behauptung (3.45). + t [ F(Ui 1/2 (0)) F(U i+1/2 (0)) ] (3.51) x Diese zweite Variante des Godunov Verfahrens bedingt eine weniger restriktive CFL Bedingung, die auch gilt, wenn Wellen innerhalb von t in der Zelle I i miteinander wechselwirken, vorausgesetzt dass daraus keine Wellenbeschleunigung resultiert (Linearitätsannahme).

84 KAPITEL 3. DISKRETISIERUNGSVERFAHREN 83 Bei der Berechnung des Zeitschritts gemäß der notwendigen Bedingung (3.47) geht man wie folgt vor: üblich: S n max = Max i { u n i + a n i }, wobei u n i die Strömungsgeschwindigkeit und a n i die Schallgeschwindigkeit sind. Diese Form kann zur Unterschätzung von Smax n führen, z.b. bei einem stationären Anfangszustand (u n i = 0), da dann nur a n i in Smax n eingeht und daher u.u. ein zu großer Anfangszeitschritt gewählt wird. { verlässlich: Smax n = Max i S L i+1/2, SR i+1/2 }, wobei Si+1/2 L und SR i+1/2 die bekannten Wellengeschwindigkeiten der nichtlinearen Wellen (Stöße, Verdünnungwellen) des Riemannproblems sind. Üblicherweise verwendet man einen zusätzlichen Sicherheitsfaktor gemäß t = C CFL x S n max (3.52) mit 0 < C CFL 1, wobei in der Praxis Werte von C CF L = üblich sind. 3.7 Approximative Riemannlöser: Verfahren von Roe Exakte Riemannlöser erfordern die Kenntnis der vollen spektralen Dekomposition (Eigenwerte, recht und linke Eigenvektoren) des zu lösenden hyperbolischen Differentialgleichungssystems. Ist diese analytische Information nicht vorhanden oder ist die Lösung des exakten Riemann Problems zu aufwändig (z.b. im Falle von relativistischen Strömungen, wo anstelle einer algebraischen Gleichung eine gewöhnliche Differentialgleichung zu lösen ist), kann man approximative Riemannlöser verwenden. Der von P. Roe vorgeschlagene Lösungsweg basiert auf der lokalen Linearisierung des Problems. Dazu betrachten wir nochmals das Anfangswertproblem (3.6) für den Zustandsvektor U. Mit Hilfe der Jacobi-Matrix A F/ U des Flussvektors F(U) schreiben wir die Differentialgleichung in quasilinearer Form (siehe Kap. 2.1 und 2.3) U t + A(U)U x = 0. (3.53) Ersetzt man die Jacobi-Matrix A(U) durch die konstante Jacobi-Matrix Ã(U L, U R ), so erhält man ein lineares System mit konstanten Koeffizienten: U t + ÃU x = 0, (3.54) d.h. man hat das ursprüngliche Riemann-Problem (3.53) durch ein lineares Problem (3.54) ersetzt, das dann exakt gelöst wird.

85 KAPITEL 3. DISKRETISIERUNGSVERFAHREN 84 Die Matrix à muss folgende Eigenschaften besitzen: (a) à hat reelle Eigenwerte und einen kompletten Satz von linear unabhängigen rechten Eigenvektoren (Hyperbolizität) (b) à ist konsistent zur ursprünglichen Jacobi Matrix, d.h. Ã(U, U) = A(U) (c) Es gelten die Erhaltungsätze F(U R ) F(U L ) = Ã(U R U L ) Die Wellenstärken α i = α i (U L, U R ) ergeben sich aus der Projektion der Zustandsdifferenz U = U R U L auf die rechten Eigenvektoren U = m i=1 α i R(i) (3.55) und die numerischen Flüsse gemäß F 1+1/2 (Roe) = 1 2 (F L + F R ) 1 2 m α i λ i R (i). (3.56) i=1 Demnach benötigt man für den approximativen Roe Löser: Eine Matrix à mit den Eigenschaften (a) - (c), Wellenstärken α i, die Eigenwerte λ i der Matrix Ã, die rechten Eigenvektoren R (i) der Matrix Ã, aber nicht explizit die Jacobi Matrix Ã(U L, U R ). Um einen Eindruck von der Qualität exakter und approximativer Riemannlöser zu bekommen, betrachten wir vier Stoßrohr-Probleme (siehe Tabelle 3.1 und Abbildungen 3.6 bis 3.9, sowie die MPEG Filme auf der Web Seite), die bis auf Problem 4 dem Buch von Toro (Kap. 6.4) entnommen sind. Tabelle 3.1: Anfangsdaten für Stoßrohr-Testprobleme Test ρ L u L p L ρ R u R p R

86 KAPITEL 3. DISKRETISIERUNGSVERFAHREN 85 Abbildung 3.6: Die Lösung des Testproblems 1 besteht aus einer nach rechts propagierenden Stoßwelle gefolgt von einer ebenfalls nach rechts propagierenden Kontaktunstetigkeit, sowie einer nach links laufenden sonischen Verdünnungswelle. (V T S )

87 KAPITEL 3. DISKRETISIERUNGSVERFAHREN 86 Abbildung 3.7: Die Lösung des Testproblems 2 besteht aus zwei symmetrischen Verdünnungswellen, die in entgegengesetzte Richtung propagieren und annähernd ein Vakuumgebiet erzeugen, sowie aus einer stationären Kontaktunstetigkeit (V T V ).

88 KAPITEL 3. DISKRETISIERUNGSVERFAHREN 87 Abbildung 3.8: Die Lösung des Testproblems 3 besteht aus einem nach rechts propagierenden starken Stoß und einer in dieselbe Richtung propagierenden Kontaktunstetigkeit, sowie aus einer nach links laufenden Verdünnungswelle (V T S )

89 KAPITEL 3. DISKRETISIERUNGSVERFAHREN 88 Abbildung 3.9: Die Lösung des Testproblems 4 besteht drei starken Diskontinuitäten (Stoß, Kontaktunstetigkeit, Stoß), die alle nach rechts propagieren (S T S )

90 Kapitel 4 Anwendungen aus der Astrophysik 4.1 Strömungsinstabilitäten in Supernovahüllen Rayleigh Taylor Instabilität Eine Rayleigh Taylor Instabilität tritt dann auf, wenn auf zwei aneinander grenzende, unterschiedlich dichte Flüssigkeiten (oder auch auf eine Flüssigkeit mit Dichtegradient) eine Kraft wirkt (z.b. Schwerkraft oder eine Beschleunigung), die von der dichteren Flüssigkeit in Richtung auf die spezifisch leichtere Flüssigkeit weist (siehe Chandrasekhar (1961), Seite 428ff). In der Astrophysik findet man Rayleigh Taylor Instabilitäten in einer Vielzahl von Situationen, unter anderem in Supernovaexplosionen infolge der Propagation der Stoßwelle durch die Sternhülle. Abbildung 4.1: Als einfachsten Fall betrachten wir zwei ruhende, homogene, inkompressible Flüssigkeiten der Dichten ρ 1 und ρ 2, die durch eine ebene Grenzfläche (z = 0) voneinander getrennt sind, und die eine Beschleunigung g erfahren, die in negative z Richtung weist (Abb

91 KAPITEL 4. ANWENDUNGEN AUS DER ASTROPHYSIK 90 Abbildung 4.2: Computersimulation einer Rayleigh Taylor Instabilität. Zwei homogene Flüssigkeiten konstanter Dichte ρ 1 (hellbraun) und ρ 2 = 2ρ 1 (dunkelbraun) sind anfänglich durch eine horizontale Grenzfläche (weisse Linie) voneinander getrennt und erfahren beide eine konstante Beschleunigung g, die senkrecht nach unten gerichtet ist. Diese Anordnung der Flüssigkeiten ist Rayleigh-Taylor instabil. Stört man die Anordnung durch ein vertikal konstantes und horizontal sinusförmiges Geschwindigkeitsfeld von kleiner Amplitude, dann ergibt eine hydrodynamische Simulation die gezeigte Entwicklung. Die dichte Flüssigkeit (dunkelbraun) dringt in das Gebiet der weniger dichten Flüssigkeit (hellbraun) ein und umgekehrt. Die pilzförmigen Köpfe an den Enden der eindringenden Finger, sowie die wirbelförmigen Strukturen an ihren Rändern werden durch Kelvin Helmholtz Instabilitäten verursacht. Diese treten immer auf, wenn eine Scherströmung vorliegt, und bewirken ein Aufrollen der Scherschicht.

92 KAPITEL 4. ANWENDUNGEN AUS DER ASTROPHYSIK 91 Abbildung 4.3: und 4.2). Wir nehmen nun an, dass die Grenzfläche leicht gestört wird und betrachten die zeitliche Entwicklung der Störung mit Hilfe einer linearen Stabilitätsanalyse nach Fouriermoden. Dazu suchen wir Lösungen der Form ξ exp(ik x x + ik y y + nt), (4.1) wobei k x, k y und n Konstanten sind. Setzt man diesen Störungsansatz in die hydrodynamischen Gleichungen ein und vernachlässigt alle Terme, die nichtlinear in der Störung sind, erhält man die folgende Dispersionsrelation: { } τ 2 RT = ρ2 ρ 1 n2 = gk. (4.2) ρ 2 + ρ 1 Hierbei ist τ RT n 1 die Anwachszeitskala und k = (k 2 x + k 2 y) 1/2 der Absolutwert des Wellenvektors der Störung. Demnach ist die Anordnung der Flüssigkeiten stabil, falls ρ 2 < ρ 1, d.h. wenn sich die leichtere Flüssigkeit oberhalb der schwereren Flüssigkeit befindet, da dann n 2 < 0 ist. Im Falle ρ 2 > ρ 1 ist die Anordnung der Flüssigkeiten instabil. Gemäß der Dispersionsrelation wachsen kurzwellige Störungen am schnellsten (exponentiell) an. Die Rayleigh Taylor Instabilität kann man in Fallturmexperimenten untersuchen (Abb.4.3). Man verwendet dazu einen Behälter mit zwei übereinander geschichteten Flüssigkeiten unterschiedlicher Dichte in einem Schwerefeld. Die leichtere Flüssigkeit ρ 2 befindet sich dabei oberhalb der schwereren Flüssigkeit ρ 1 > ρ 2, d.h. die Anordnung ist Rayleigh Taylor stabil. Nun beschleunigt man den Behälter nach unten, und zwar mit einer Kraft F b, die größer als die Schwerkraft F g ist. Die Flüssigkeiten spüren infolge der Beschleunigung eine nach oben gerichtete Trägheitskraft F b. Die Nettokraft auf die Anordnung ist F b + F g 0. Sie ist wegen F b > F g nach oben gerichtet und macht die Schichtung instabil.

93 KAPITEL 4. ANWENDUNGEN AUS DER ASTROPHYSIK 92 Abbildung 4.4: Kelvin Helmholtz Instabilität Eine Kelvin Helmholtz Instabilität tritt dann auf, wenn zwischen zwei aneinander grenzenden Flüssigkeiten (oder auch innerhalb einer Flüssigkeit) ein Scherströmung (d.h. ein Geschwindigkeitsgradient senkrecht zur Richtung der Strömung) vorhanden ist (siehe Chandrasekhar (1961), Seite 481ff). In der Astrophysik findet man Kelvin Helmholtz Instabilitäten in einer Vielzahl von Situationen, unter anderem in Jets. Sie treten auch immer als Folge von Rayleigh Taylor Instabilitäten auf, wenn sich die auf- und absteigenden Blasen oder Finger relativ zur Umgebung bewegen (Abb. 4.2). Als einfachsten Fall betrachten wir zwei homogene, inkompressible Flüssigkeiten der Dichten ρ 1 und ρ 2 < ρ 1, die durch eine ebene Grenzfläche (z = 0) voneinander getrennt sind, und die sich parallel zu der Grenzfläche in x Richtung mit konstanten Geschwindigkeiten u 1 und u 2 bewegen ( v = u e x. Die beiden Flüssigkeiten erfahren außerdem eine Beschleunigung g, die in negative z Richtung weist (siehe Chandrasekhar, 1961, Seite 481ff; Abb. 4.4). Wir nehmen nun an, dass die Grenzfläche leicht gestört wird und betrachten die zeitliche Entwicklung der Störung mit Hilfe einer linearen Stabilitätsanalyse nach Fouriermoden ganz analog wie im Fall der Rayleigh Taylor Instabilität. Setzt man den Störungsansatz (4.1) in die hydrodynamischen Gleichungen ein und vernachlässigt alle Terme, die nichtlinear in der Störung sind, erhält man die folgende Dispersionsrelation: τ 1 KH = n = ik x(α 1 u 1 + α 2 u 2 ) ± [ gk(α 2 α 1 ) + k 2 xα 1 α 2 (u 1 u 2 ) 2] 1/2, (4.3) wobei α 1 = ρ 1 ρ 1 + ρ 2, α 2 = ρ 2 ρ 1 + ρ 2 (α 2 < α 1 ) und τ die Anwachszeitskala und k = (k 2 x + k 2 y) 1/2 der Absolutwert des Wellenvektors der Störung. Im Falle k x = 0 gilt: n = ± gk(α 2 α 1 )

94 KAPITEL 4. ANWENDUNGEN AUS DER ASTROPHYSIK 93 oder n 2 = gk ρ 2 ρ 1 ρ 1 + ρ 2 d.h. das Auftreten von Instabilitäten (RT) transversal zur Strömungsrichtung bleibt unbeeinflusst von der Scherströmung. Im Falle k x 0 ist die Strömung instabil, falls gk(α 2 α 1 ) + k 2 xα 1 α 2 (u 1 u 2 ) 2 > 0, bzw. falls g(α 2 α 1 ) k > α 1 α 2 (u 1 u 2 ) 2 cos 2 θ wobei θ der Winkel zwischen dem Wellenvektor der Störung k und der x Richtung (d.h. der Strömungsrichtung) ist. Falls weiterhin k y = 0 (oder allgemein, falls k v) und damit θ = 0, folgt k > k min g(α 1 α 2 ) α 1 α 2 (u 1 u 2 ) Instabilitäten in Supernovahüllen Einige Fakten zu Supernovae allgemein: Supernovae (= Sternexplosionen) gehören zu den energiereichsten Phänomenen im Universum. Sie entfesseln so viel Energie, wie die Sonne in zehn Milliarden Jahren erzeugt. Dabei erreichen sie für mehrere Wochen die Helligkeit einer ganzen Galaxie (L max erg/s). Der weitaus größere Teil der Energie, rund erg, wird aber nicht als elektromagnetische Strahlung abgegeben, sondern steckt in der kinetischen Energie des stellaren Gases, das mit bis zu 0.1 c in den interstellaren Raum geschleudert wird. Radioaktive Elemente, die bei der Explosion entstehen, heizen durch ihren Zerfall die expandierende Gaswolke und lassen ihre Helligkeit über viele Jahre exponentiell abklingen. Wenn ein massereicher Stern als Supernova explodiert, sind selbst diese Energiemengen winzig im Vergleich zu der Energie, die in Form von Neutrinos abgestrahlt wird: Einige erg oder das Äquivalent von 0.1 M werden freigesetzt, wenn der stellare Kern zu einem Neutronenstern oder Schwarzen Loch kollabiert.

95 KAPITEL 4. ANWENDUNGEN AUS DER ASTROPHYSIK 94 Die Suche nach Supernovae wird heute systematisch durch automatische Teleskope betrieben. Jedes Jahr gelingt es so, weit über 100 Ereignisse in fernen Galaxien aufzuspüren. In unserer Milchstraße ereignen sich Supernovae recht selten, nach Schätzungen nur wenige pro Jahrhundert. Rund 200 diffuse oder sphärische Gasnebel zeugen jedoch von vergangener Aktivität. Der wahrscheinlich bekannteste ist der Krebsnebel, der Überrest einer Supernova, die im Jahr 1054 als Gaststern von chinesischen, japanischen, koreanischen und arabischen Astronomen beobachtet wurde. Die letzte mit freiem Auge sichtbare Supernova in unserer Galaxie war die Keplersche im Jahr Ein noch jüngerer Supernovaüberrest ist Cassiopeia A (Abb.4.5), der mit einer Sternexplosion um das Jahr 1680 in Verbindung gebracht wird. Seit ihrer Entstehung vor etwa 12 Milliarden Jahren haben viele 100 Millionen Supernovae das Gas der Milchstraße unter anderem mit Fe, Si, O, C und Ca angereichert und damit die Entstehung von Planeten und des Lebens auf der Erde erst ermöglicht. Die durch den interstellaren Raum pflügenden Explosionswellen haben das Gas verdichtet und die Geburt neuer Sterne eingeleitet. Supernovae spielen deshalb eine zentrale Rolle im kosmischen Kreislauf der Materie und beim Werden und Vergehen von Sternen. Supernovae sind auch die wichtigste Quelle der hochenergetischen kosmischen Strahlung, von der die Erde getroffen wird, und beeinflussen mit ihrer riesigen Energiefreisetzung die Entwicklung der Galaxien. Durch ihre enorme Helligkeit können sie selbst am Rand des sichtbaren Universums beobachtet werden. Jüngste Beobachtungen belegen einen Zusammenhang zwischen den kosmischen Gammablitzen und gewissen Supernovaexplosionen (Typ Ic). Astrophysiker haben daher ein starkes Interesse zu klären, welche Sterne als Supernovae explodieren, welche Vorgänge zur Explosion führen und welche Prozesse die beobachtbaren Eigenschaften der Explosion bestimmen. Empirisch unterscheidet man traditionell Supernovae vom Typ I und II. Bei ersteren fehlen Balmerlinien des Wasserstoffs im Spektrum, während bei letzteren stark dopplerverbreiterte Emissions- und Absorptionslinien von Wasserstoff gemessen werden, die auf hohe Expansionsgeschwindigkeiten der Sternmaterie hindeuten. Desweiteren unterteilt man Supernovae vom Typ I in die Untertypen Ia, Ib und Ic abhängig vom Auftreten oder Fehlen von Spektrallinien von Silizium bzw. von Helium während des Helligkeitsmaximums (Abb. 4.6). Theoretisch sind nur zwei mögliche Energiequellen für eine Supernovaexplosion bekannt: Thermonukleare Energie und Gravitationsbindungsenergie (Abb. 4.6). Supernovae vom Typ Ia zeigen im Spektrum Si-Linien, aber keine H-Linien, und die Form ihrer Lichtkurve und ihre maximale Helligkeit ist erstaunlich ähnlich. Sie eignen sich daher als extrem helle Standardkerzen zur Vermessung von kosmischen Entfernungen. Man erklärt sie als thermonukleare Explosionen

96 KAPITEL 4. ANWENDUNGEN AUS DER ASTROPHYSIK 95 Abbildung 4.5:

97 KAPITEL 4. ANWENDUNGEN AUS DER ASTROPHYSIK 96 thermonukleare Explosion keine H Balmerlinien Siliziumlinien SN I a H Balmerlinien / Gravitations kollaps keine Siliziumlinien He kein He SN I b SN Ic SN II Abbildung 4.6: Klassifikationsschema von Supernovae mit empirischer und theoretischer Unterteilung. Abbildung 4.7:

98 KAPITEL 4. ANWENDUNGEN AUS DER ASTROPHYSIK 97 von Weißen Zwergen, die aus Helium oder Kohlenstoff und Sauerstoff bestehen. Der Weiße Zwerg wird bei der Explosion vollständig zerstört und es bleibt nur ein diffuser Gasnebel als Überrest (siehe auch Kpa. 4.2). Typ II, Typ Ib und Typ Ic Supernovae sind das Endprodukt massereicher Sterne (M > 10 M ) und beziehen ihre Explosionsenergie aus der gravitativen Bindungsenergie des kollabierenden stellaren Eisenkerns. Solche Sterne durchlaufen die komplette Abfolge möglicher nuklearer Brennphasen, in deren Verlauf im Zentrum immer schwerere chemische Elemente bis hin zu Eisen aufgebaut werden. Am Ende ihrer Entwicklung besitzen diese Sterne eine Zwiebelschalenstruktur, bei der ein stellarer Eisenkern von Schichten umgeben ist, die vorwiegend aus Silizium, Sauerstoff, Kohlenstoff, Helium und Wasserstoff bestehen (Abb.4.7). Wenn die Masse des stellaren Eisenkerns schießlich zu groß wird, kommt es zum Gravitationskollaps, wodurch die Explosion des Sterns ausgelöst wird. Besitzt der Stern zum Zeitpunkt der Explosion noch seine Wasserstoffhülle, erscheinen in den Supernovaspektren Balmerlinien (Typ II). Hat er dagegen seine Hülle in vorangegangenen Entwicklungsphasen durch Sternwind abgeblasen, fehlen diese Linien (Typ Ib). Wurde über Sternwinde oder durch Gasaustausch mit einem Begleitstern auch die Heliumschale abgestreift, sind Heliumlinien in den Spektren ebenfalls nicht vorhanden (Typ Ic). Im Zentrum des expandierenden Explosionsnebels bleibt im Gegensatz zu Typ Ia Supernovae eine kompakter Überrest zurück, in der Regel ein Neutronenstern. Wenn jedoch der explodierende Stern eine anfängliche Masse von mehr als dem 25-fachen der Sonnenmasse hatte, entsteht wahrscheinlich ein Schwarzes Loch. Rayleigh Taylor Instabilitäten in Gravitationskollapssupernovae: Supernova 1987A: Es war ein historischer Glücksfall für die Astronomen, als am 23. Februar 1987 eine Supernova in der Großen Magellanschen Wolke, einer Satellitengalaxie der Milchstraße, in nur Lichtjahren Entfernung explodierte. Mit den Methoden der modernen astronomischen Beobachtung war es möglich, eine beispiellose Fülle von Daten in allen Wellenlängenbereichen des elektromagnetischen Spektrums über die gesamte Entwicklung der Explosion bis heute zu sammeln. Hinweise auf Mischvorgänge in der Supernova 1987A: Röntgen- und Gammastrahlung aus radioaktiven Zerfällen wurde schon nach drei Monaten und nicht wie vorher vermutet erst nach Jahren beobachtet (Abb.4.8). Dies lässt sich nur verstehen, wenn die Zwiebelschalenstruktur des Vorläufersterns durch nichtradiale Instabilitäten zerstört wird und großskalige Mischprozesse radioaktive Nuklide aus Regionen nahe dem Neutronenstern, wo sie synthetisert werden, bis in die Wasserstoffhülle transportieren, wo die beim radioaktiven Zerfall entstehende Röntgen- und Gammastrahlung aus dem Stern entweichen kann (Abb.4.9). Wären nämlich die radioaktive Nuklide nicht nach außen gemischt worden, so hätte die Röntgen- und Gammastrahlung erst

99 KAPITEL 4. ANWENDUNGEN AUS DER ASTROPHYSIK Supernova 1987A Log Leuchtkraft [erg/s] Ginga: kein Signal Ginga: Entdeckung SMM bolometrische Lichtkurve LM CIT GRAD Mischgebiet 40% ] des 20% Stern 10% radius Tage seit der Explosion Abbildung 4.8: nach Jahren entweichen können, wenn die Sternhülle infolge der durch die Explosion bewirkten Expansion genügend verdünnt worden wäre. Andere Beobachtungsergebnisse lassen sich nur verstehen, wenn umgekehrt Helium und Wasserstoff tief ins Innere des explodierenden Sterns verfrachtet werden. Die hydrodynamischen Instabilitäten, die das Mischen bewirken, führen auch zu starken Inhomogenitäten in der Explosionswolke. Dopplereffekte in den Spektren zeigen, daß Nickelklumpen mit bis zu mehreren tausend Kilometern pro Sekunde expandieren. Diese Geschwindigkeiten sind typisch für die Wasserstoffhülle des Sterns und damit viel höher als in sphärisch symmetrischen Modellen für Nickel vorhergesagt. Hinweise auf Mischvorgänge in anderen Supernovae: Die anisotrope und geklumpte Verteilung der chemischen Elemente in der Explosionswolke scheint ein generisches Phänomen, für das es mittlerweile Evidenzen aus Lichtkurven und Spektren einer ganzen Reihe von Supernovae gibt. Auch Röntgenaufnahmen der diffusen, gasförmigen Überreste von Supernovae zeigen derartige Inhomogenitäten. Besonders

100 KAPITEL 4. ANWENDUNGEN AUS DER ASTROPHYSIK 99 Abbildung 4.9:

101 KAPITEL 4. ANWENDUNGEN AUS DER ASTROPHYSIK 100 Abbildung 4.10: eindrucksvoll sind die schnell fliegenden, dichten Fragmente auf Aufnahmen des Vela Überrests durch den Röntgensatelliten ROSAT, die den durch das zirkumstellare Medium jagenden Supernovastoß bereits überholt haben und durch ihre überschallschnelle Bewegung Machkegel ausformen (Abb.4.10). Die Rekonstruktion ihrer Bewegungsrichtungen deutet auf einen gemeinsamen Ursprungsort nahe dem Zentrum des Supernovaüberrests, so daß ihre Entstehung bereits zu Beginn der Sternexplosion vermutet wird. Aufnahmen des Cassiopeia A Überrests durch das CHANDRA Röntgenobservatorium der NASA offenbaren räumlich getrennte Filamente, die dominante Anteile von Eisen, Kalzium, Silizium oder Schwefel enthalten (Abb.4.5). Die eisenreichen Strukturen scheinen am äußeren Rand des Überrests zu liegen, was bedeuten könnte, daß das Material, das in der Explosion am weitesten innen entstand, später mit den höchsten Geschwindigkeiten expandierte. Ein solches Ergebnis steht im Widerspruch zu sphärisch symmetrischen Modellen, die das genaue Gegenteil erwarten lassen. Stoßpropagation: Wenn der Supernovastoß durch den Stern nach außen rast, beschleunigt er in Schichten mit einem Dichtegradienten steiler als r 3 und wird abgebremst, wenn er Zonen mit flacherer Dichteschichtung durchläuft. Dadurch kommt es nach dem Stoßdurchgang zum Aufbau von lokalen Dichtemaxima in der Nähe der Grenzen zwischen Sternschichten unterschiedlicher chemischer Komposition, wo der

102 KAPITEL 4. ANWENDUNGEN AUS DER ASTROPHYSIK 101 Abbildung 4.11:

103 KAPITEL 4. ANWENDUNGEN AUS DER ASTROPHYSIK 102 Dichtegradient flacher ist (Abb.4.11). Stabilitätsanalysen zeigen (siehe weiter unten), dass dort hohe Anwachsraten für Rayleigh Taylor Instabilitäten zu erwarten sind. Da die Energie der Stoßwelle in einer Gravitationskollapssupernova (Typ II, Ib, Ic) viel größer ist als die gravitative Bindungsenergie der ausgeschleuderten Hüllenmaterie, ist die Gravitation für die Ausbreitung der Stoßwelle dynamisch irrelevant. Ausserdem bestehen die Sternhüllen aus kompressiblem Gas, d.h. es sind Dichteund Druckgradienten vorhanden. Die obigen Überlegungen zur Rayleigh Taylor Instabilität (Kap ) sind daher nicht direkt auf Supernovae anwendbar. Trotzdem können auch in Supernovahüllen Rayleigh Taylor Instabilitäten auftreten. In diesem Fall wird die Rolle der Schwerebeschleunigung g vom negativen Druckgradienten übernommen g = 1 ρ p r, und das (lokale) Instabilitätskriterium lautet: Supernovahüllen (i.a. kompressible Gase) sind Rayleigh Taylor instabil, wenn die (lokale) Druckskalenhöhe P ln p/ r und die (lokale) Dichteskalenhöhe R ln ρ/ r die Bedingung R P < 1 γ (4.4) erfüllen, wobei γ der (lokale) Adiabatenindex des Gases ist. Diese Bedingung ist immer erfüllt, wenn Druck- und Dichtegradient ein unterschiedliches Vorzeichen besitzen. Für die Anwachsrate der Instabilität gilt σ RT = c s P2 γpr, γ wobei c s die (lokale) Schallgeschwindigkeit ist. Damit Rayleigh Taylor Instabilitäten auch Konsequenzen für eine Supernovaexplosion haben, muss ihre Anwachszeitskala τ RT σ 1 RT offensichtlich kürzer als die hydrodynamische Zeitskala τ hyd r sh /v sh sein. Hierbei sind r sh und v sh der Radius und die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Stoßwelle. Simulationen: Mehrdimensionale hydrodynamische Simulationen bestätigen, daß sich am Si/O-, (C+O)/He- und He/H-Übergang innerhalb weniger Minuten die charakteristischen Rayleigh Taylor Pilzstrukturen entwickeln und in die aneinander grenzenden Schichten einzudringen beginnen (Abb.4.12). Nachdem die Stoßfront durch die Sternschichten mit vorwiegend Sauerstoff, Kohlenstoff und Helium nach außen gerast ist, beginnen Rayleigh Taylor Instabilitäten die Kompositionsgrenzen zu zerfransen. Die radioaktiven Produkte der explosiven Nukleosynthese, ebenso wie

104 KAPITEL 4. ANWENDUNGEN AUS DER ASTROPHYSIK 103 Abbildung 4.12:

105 KAPITEL 4. ANWENDUNGEN AUS DER ASTROPHYSIK 104 Silizium und Sauerstoff des Vorläufersterns, werden über eine weiten Bereich von Radien und Geschwindigkeiten verteilt. Helium und Wasserstoff werden tief ins Innere des explodierenden Sterns gemischt. Nickel findet sich schließlich hoch konzentriert in schnell fliegenden Klumpen und Knoten entlang ausgedehnter Filamente aus verdichtetem Gas, die auch mit Sauerstoff, Kohlenstoff und Silizium angereichert sind. Die schnellsten dieser Nickelklumpen bewegen sich mit Geschwindigkeiten von mehreren tausend Kilometern pro Sekunde schneller als das umgebende Helium. Allerdings gelang es mit diesen Simulationen nicht, das beobachtete Ausmaß des radialen Mischens und die gemessenen hohen Nickelgeschwindigkeiten zu reproduzieren. Um die Beobachtungsdaten zu erklären, ist sehr wahrscheinlich bereits ein nicht radialer Explosionsbeginn erforderlich, d.h. bereits bei der Entstehung der Stoßwelle müssen merkliche Abweichungen von der Radialsymmetrie auftreten. Laser-Experimente: Seit wenigen Jahren ist es auch möglich, die Rayleigh Taylor Instabilitäten in Supernovahüllen im Labor durch den Einsatz extrem leistungsstarker Laser zu untersuchen (Abb.4.13).

106 KAPITEL 4. ANWENDUNGEN AUS DER ASTROPHYSIK 105 Abbildung 4.13:

107 KAPITEL 4. ANWENDUNGEN AUS DER ASTROPHYSIK Turbulentes Brennen in thermonuklearen Supernovae Thermonukleare Supernovae: Nach der heute allgemein akzeptierten Vorstellung ist eine Supernova vom Typ Ia die thermonukleare Explosion eines vorwiegend aus Kohlenstoff und Sauerstoff bestehenden Weißen Zwerges, der sich in einem engen Doppelsternsystem befindet und eine Masse nahe an der Chandrasekharmasse besitzt (d.h. deutlich oberhalb der typischen Weißen Zwergmasse von 0.6 M ). Der Weiße Zwerg akkretiert Masse von dem Begleitstern und heizt sich dabei langsam auf. Schließlich kommt es im Zentrum des Weißen Zwergs zur Zündung des thermonuklearen Brennstoffs durch die Schwerionenreaktionen 12 C + 12 C (siehe z.b. Hillebrandt & Niemeyer, Ann. Rev. Astron. Astrophys. 38 (2000), 191). Die Ausbreitung des Brennens kann prinzipiell durch zwei verschiedene Typen von Brennfronten erfolgen, die beide sowohl im Labor (als chemische Brennfornten) als auch in der Astrophysik (als thermonukleare Brennfronten) auftreten können: Detonation: Der Brennstoff wird durch starke Kompression zur Zündung gebracht. Dies geschieht z.b. durch eine Stoßwelle, wobei die freigesetzte Energie die Stoßwelle wiederum antreibt. Deflagration: Der Brennstoff zündet infolge von Wärmeleitung oder Wärmediffusion, wobei der Wärmestrom von der heißen Brennstoffasche herrührt. Für das Verständnis der Ausbreitung von Brennfronten spielen mehrere Zeitskalen eine wichtige Rolle: Die Zündzeitskala gibt an in welcher Zeit sich die Temperatur des Brennstoffs um einen Faktor e erhöht (e-folding time): τ T = T dt/dt C V T dɛ nuc /dt. (4.5) Hierbei ist dɛ nuc /dt die Energiefreisetzungsrate durch (Kern-) Reaktionen. Da thermonukleare Reaktionen zwischen geladenen Teilchen sehr empfindlich von der Höhe der zu durchtunnelnden Coulomb-Barriere abhängen, nimmt die Zündzeitskala sehr stark mit zunehmender Temperatur ab. Die Brennzeitskala gibt an in welcher Zeit sich die Menge des Brennstoffs um einen Faktor e reduziert: τ i = X i dx i /dt = Y i dy i /dt. (4.6) Hierbei sind X i und Y i = X i /A i der Massenanteil bzw. der Molanteil der Atomsorte i mit dem Atomgewicht A i.

108 KAPITEL 4. ANWENDUNGEN AUS DER ASTROPHYSIK 107 Die Schalllaufzeit gibt an in welcher Zeit in einem Gebiet der Größe δr ein Druckausgleich stattfindet: τ hyd = δr c s. (4.7) Thermonukleare Detonationen findet man in der Astrophysik nur in entarteter Materie. In diesem Fall bewirkt die Temperaturerhöhung (infolge der Kernreaktionen) keine merkliche Druckerhöhung und damit keine Ausdehnung und Kühlung der Brennregion. Stattdessen steigt die Temperatur solange an, bis die Entartung aufgehoben wird. Dann aber ist die Energieerzeugung bereits so hoch, dass hydrodynamische Bewegungen zu langsam sind (τ T < τ hyd ), um eine Explosion zu verhindern. Ist die resultierende Stoßwelle stark genug, um weiteren Brennstoff durch Stoßkompression über seine Zündtemperatur hinaus zu erhitzen, entsteht eine Detonationswelle, die aus einem Stoß und aus einer sich unmittelbar daran anschließenden Reaktionszone besteht, wo der Brennstoff verbrennt (τ i > τ T ). Betrachtet man (in nullter Näherung) thermonukleare Brennfronten als Diskontinuitäten in einer Strömung, so lassen sich ganz analog zum rein hydrodynamischen Fall (siehe Kap. 2.5) Sprungbedingungen aus den Erhaltungssätzen für Masse, Impuls und Energie ableiten, die die hydrodynamischen Größen erfüllen müssen (siehe z.b. Courant & Friedrichs, 1948). Während die Sprungbedingungen (2.53), die aus der Massen- und Impulserhaltung folgen, unverändert auch für Brennfronten gelten, lautet die Bedingung für die Energieerhaltung 1 2 (u 1 v D ) 2 + E 1 + p 1 τ 1 = 1 2 (u 2 v D ) 2 + E 2 + p 2 τ 2, (4.8) wobei v D die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Brennfront ist. E ε + B ist die Summe aus innerer Energie (pro Masse) und der durch die thermonuklearen (oder chemischen) Reaktionen freigesetzten Bindungsenergie (B < 0) pro Masse. Analog zu Stoßwellen (siehe 2.5) definiert man eine Hugoniot Funktion für das verbrannte Material H 2 (τ, p) E 2 (τ, p) E 2 (τ 1, p 1 ) + (τ τ 1 ) p + p 1. (4.9) 2 Damit läßt sich die verallgemeinerte Hugoniot Gleichung (4.8 nach Elimination der Geschwindigkeiten; siehe 2.61 bzw für die entsprechenden hydrodynamischen Beziehungen) in der Form H 2 (τ, p) = E 1 (τ 1, p 1 ) E 2 (τ 1, p 1 ) (4.10) schreiben (siehe z.b. Courant & Friedrichs 1948). Man beachte, dass für exotherme Reaktionen H 2 > 0 gilt und dass E 1 und E 2 unterschiedliche Funktionen sind.

109 KAPITEL 4. ANWENDUNGEN AUS DER ASTROPHYSIK 108 Abbildung 4.14: Hugoniot-Kurve für Detonationen und Deflagrationen (Beachte: V τ 1/ρ) Nehmen wir an, das spezifische Volumen τ 1 und der Druck p 1 des unverbrannten Gases seien gegeben, aber nicht die Geschwindigkeit v D der Brennfront. Dann sind Druck und spezifisches Volumen des verbrannten Gases durch die Hugoniot Gleichung (4.10) für alle Reaktionen, die den drei Erhaltungssätzen genügen, verknüpft. Allerdings gibt es wegen p 2 p 1 τ 2 τ 1 < 0, (4.11) was aus (2.59) folgt, nicht für alle Werte von p und V, die (4.10) erfüllen, auch einen entsprechenden Reaktionsprozess, der mit den drei Erhaltungssätzen kompatibel ist. Die Hugoniot Kurve, d.h. der Graph aller Punkte in der (p, τ) Ebene, die (4.10) und (4.11) erfüllen, ist in Abb dargestellt. Sie besitzt zwei getrennte Zweige, die Detonations- (p 2 > p 1 und V 2 < V 1 ) und Deflagrations Zweig (p 2 < p 1 und V 2 > V 1 ) heißen. Die Existenz der beiden Zweige zeigt, dass die Erhaltungssätze mit zwei verschiedenen Arten von Prozessen verträglich sind. Analog zum rein hydrodynamischen Fall bestimmt der Schnittpunkt von Rayleigh Gerade (2.59) und Hugoniot-Kurve (4.10) den Zustand direkt hinter der Detonation (Deflagration). Allerdings muss man dazu erst eine Detonationsbzw. Deflagrations Geschwindigkeit vorgeben, denn anders als bei Stößen, ist die Geschwindigkeit der Diskontinuität nicht durch die Sprungbedingungen

110 KAPITEL 4. ANWENDUNGEN AUS DER ASTROPHYSIK 109 festgelegt. Abhängig von der Detonations- bzw. Deflagrations Geschwindigkeit schneidet die Rayleigh Gerade die Hugoniot Kurve in 0, 1 oder 2 Punkten (Abb. 4.14). Existiert kein Schnittpunkt, gibt es keine Detonation (Deflagration) für die vorgebene Detonations- bzw. Deflagrations Geschwindigkeit. Im Falle von zwei Schnittpunkten existieren zwei Lösungen, die starken und schwachen Detonationen (Deflagrationen). Starke Detonationen (schwache Deflagrationen) propagieren mit einer Geschwindigkeit (relativ zur Strömungsgeschwindigkeit direkt hinter der Front), die kleiner ist als die Schallgeschwindigkeit direkt hinter der Detonation (Deflagration). Daher können Störungen, die in der Strömung hinter der Front entstehen, die subsonisch propagierende Front erreichen. Die Lösung ist daher instabil. Schwache Detonationen (starke Deflagrationen) propagieren supersonisch relativ zur Strömung unmittelbar hinter der Front. Starke Deflagrationen treten in der Natur nicht auf und schwache Detonationen werden allgemein als unphysikalisch angesehen außer unter ganz bestimmten Bedingungen (siehe z.b. Courant & Friedrichs 1948). Detonationen, die in der Natur auftreten, entsprechen fast immer dem Fall, wo Rayleigh Gerade und Hugoniot Kurve genau einen Schnittpunkt besitzen. Für diese Chapman Jouguet Detonation bzw. Deflagration ist die Ausbreitungsgeschwindigkeit gleich der Summe aus Strömungsgeschwindigkeit und Schallgeschwindgkeit (direkt hinter der Front). Die bisherigen einfachen Überlegungen zur Detonationsphysik basieren auf der impliziten Annahme, dass die Reaktionsraten unendlich schnell sind, d.h. dass die Front keine Dicke besitzt (Diskontinuität). Eine etwas genauere Beschreibung von Detonationsfronten gibt das Zeldovich-von Neumann-Doering (ZND) Modell, in dem man annimmt, dass eine Detonation aus einem unendlich dünnen Stoß besteht, an den sich eine Reaktionszone endlicher Dicke anschließt. Wir betrachten nun zwei Raumpunkte in einem Weißen Zwerg mit einem endlichen Temperaturgradienten. Da die Brennzeitskala am Raumpunkt mit der höheren Temperatur kürzer ist, wird der Brennstoff an diesem Punkt zuerst verbrennen, d.h. das Brennen beginnt nicht überall simultan. Die unterschiedlichen Brennzeitskalen bewirken, dass sich die Grenze zwischen verbranntem und unverbranntem Material bewegt. Ist die entsprechende Geschwindigkeit größer als die lokale Schallgeschwindigkeit, verläuft das Brennen an verschiedenen Raumpunkten voneinander unbeeinflusst. Die Phasengeschwindigkeit dieses sogenannten Spontanbrennens ist durch D sp = ( ) 1 dτi dr (4.12)

111 KAPITEL 4. ANWENDUNGEN AUS DER ASTROPHYSIK 110 gegeben. In C-O Weißen Zwergen hängt die Phasengeschwindigkeit extrem empfindlich von der Zündtemperatur ab (D sp T α (dt/dr) 1 mit α 21 für die 12 C + 12 C Rate und 0.6 < T/10 9 K < 1.2). Im Falle einer isothermen Temperaturverteilung wird sie unendlich groß. Ist der anfängliche Temperaturgradient in einem Gebiet des Weißen Zwergs klein genug, wird die Phasengeschwindigkeit supersonisch, d.h. das entsprechende Gebiet verbrennt komplett innerhalb einer Schalllaufzeit. Eine supersonische Expansion des verbrannten Gebiets ist die Folge. Dies kann dann möglicherweise zur Detonation eines großen Teils des Weißen Zwergs führen. Deflagrationen propagieren üblicherweise mit stark subsonischen Geschwindigkeiten. Obwohl für dünne Deflagration dieselben Sprungbedingungen wie für Detonationen gelten, hängt die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Deflagrationen endlicher Dicke von der Effizienz des Wärmetransports ab. Ein weiterer wichtiger Unterschied zu Detonationen ist, dass in einer Deflagration sowohl der Druck als auch die Dichte direkt hinter der Front geringer sind als vor der Front und dass (relativ zur Front) die Strömungsgeschwindigkeit zunimmt. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Deflagrationen kann nur grob geschätzt werden (siehe z.b. Landau & Lifschitz, Bd. VI). Im einfachsten Fall einer laminaren Front, die sich durch Strahlungsdiffusion oder Wärmeleitung ausbreitet, läßt sich die Dicke der Deflagration abschätzen, in dem man die Diffusionszeitskala τ diff gleich der Brennzeitskala τ i setzt. Damit folgt für die Dicke der Front, d.h. die Diffusionslänge δ λ c τ i, (4.13) wobei λ die mittlere freie Weglänge der Photonen oder Elektronen ist. Für die Geschwindigkeit der Deflagration gilt dann näherungsweise v D δ τ i λ c/τ i. (4.14) Für die 12 C + 12 C Reaktion findet man v D 30 km/s für ρ = g cm 3. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit läßt sich auch numerisch bestimmen: Für ρ = g cm 3 erhält man v D 50 km/s und für ρ = g cm 3 ergibt sich v D 16 km/s. Die Dicke der Brennfront beträgt in beiden Fällen 10 3 cm. Turbulentes thermonukleares Brennen: (siehe z.b. Hillebrandt & Niemeyer, Ann. Rev. Astron. Astrophys. 38 (2000), 191). In einer thermonuklearen Supernovaexplosion ist das Brennen wegen der starken Temperaturabhängigkeit der 12 C + 12 C Rate auf eine mikroskopisch dünne Schicht beschränkt, die sich entweder in Form einer konduktiven, subsonischen Deflagration (Flamme) oder einer stoßgetriebenen, supersonischen Detonation ausbreitet (siehe oben).

112 KAPITEL 4. ANWENDUNGEN AUS DER ASTROPHYSIK 111 Beide Moden sind, wie eine lineare Stabilitätsanalyse zeigt, hydrodynamisch instabil. Im nichtlinearen Bereich werden die Flammen entweder durch Ausbildung zellularer Strukturen stabilisiert, oder sie werden turbulent. In beiden Fällen erhöht sich die Brennrate (d.h. der Verbrauch an Brennstoff) infolge einer Vergrößerung der Fläche der Brennfront. In Simulationen thermonuklearer Supernovaexplosionen lassen sich weder Flamme noch Detonation auflösen, da sich die kleinste (Frontdicke) und die größte (Radius des Weißen Zwergs) relevante Längenskala um etwa einen Faktor unterscheiden. Daher sind Modelle zur ihrer Beschreibung erforderlich. Mikroskopisch gesehen breitet sich das Brennen (im Falle einer Deflagration) in Form einer Flamme aus, die verbogen und gestreckt durch die Turbulenz mit der laminaren Diffusionsgeschwindigkeit (4.14) in Richtung der lokalen Flammennormalen propagiert. Die makroskopische Strömung, die wegen ihrer extrem geringen Viskosität (Re 1) stark turbulent ist, wechselwirkt mit der Flamme auf allen Skalen bis hinunter zur Kolmogorov Skala, 1 wo Reibungseffekte wichtig werden. Die turbulente Energiekaskade wird durch Rayleigh Taylor Instabilitäten (infolge des Auftriebs heißer Asche ) und durch Kelvin Helmholtz Instabilitäten (infolge von Scherströmungen) gespeist. Das Brennen ist daher über das ganze turbulente Gebiet verteilt ( flame brush ). Die relevante minimale Längenskala l gibs heißt Gibson Skala. Sie ist durch den von der Turbulenz bedingten kleinsten Krümmungsradius der Flamme gegeben. flamelet Regime: Gilt δ l gibs sind kleine Segmente der Flamme von der großskaligen Turbulenz unbeeinflußt und verhalten sich wie ungestörte laminare Flammen (Abb. 4.15). distributed Regime: Gilt δ l gibs wird die Ausbreitung der Front durch die Geschwindigkeit der turbulente Elemete bestimmt, d.h. die effektive Ausbreitungsgeschwindigkeit des Brennes ist unabhängig von der laminaren Brenngeschwindigkeit (Abb. 4.16). In den zentralen Bereichen eines explodierenden Weißen Zwergs (d.h. bei hohen Dichten) findet das thermonukleare Brennen im flamelet Regime statt (Abb und 4.18). Mit zunehmendem Radius, d.h. mit abnehmender Dichte wird die durch den Weißen Zwerg propagierende Flamme dicker und langsamer, sodass die Turbulenz die Flam- 1 Das berühmteste Skalierungsgesetz der Turbulenztheorie ist das Kolmogorov sche Gesetz über die Geschwindigkeitsfluktuationen einer turbulenten Kaskade. Demnach skaliert im Falle von isotroper, stationärer Turbulenz die mittlere Geschwindigkeit v eines Turbulenzelements der linearen Dimension l gemäß v l 1/3 (A.N. Kolmogorov, 1941 Dokl. Akad. Nauk. SSSR, 30, 299).

113 KAPITEL 4. ANWENDUNGEN AUS DER ASTROPHYSIK 112 Abbildung 4.15: Thermonukleare Verbrennung im flamelet Regime. Die du nne gelbe Linie markiert die verwinkelte und unzusammenha ngende laminare Flamme, die Brennstoff (rot) und Asche (blau) trennt. Die kleinsten Turbulenzelemente sind gro ßer als die Dicke der Flamme, sodass die Verbrennung in einem ausgedehnten Bereich hinter der Flamme stattfindet. Abbildung 4.16: Thermonukleare Verbrennung im distributed Regime. Die kleinsten Turbulenzelemente sind kleiner als die Dicke der Flamme, sodass die Turbulenzelemente in die Flamme (gelb, gru n und hellblau) eindringen, die nicht mehr wohl definiert ist. Die Verbrennung findet innerhalb der Turbulenzelemente statt und turbulenter Energietransport ist effektiver als der durch Wa rmeleitung oder Strahlungsdiffusion.