Multivariate Lineare Modelle SS Varianzanalyse. 1. T -Statistiken. 2. ANOVA einfaktoriell. 3. ANOVA zweifaktoriell 4. MANOVA 5.

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1 Multivariate Lineare Modelle SS Varianzanalyse 1. T -Statistiken 2. ANOVA einfaktoriell 3. ANOVA zweifaktoriell 4. MANOVA 5. ANCOVA 1

2 3.1 T -Statistiken Varianzanalyse kategorielle erklärende Variablen Einfachste Situation: nur eine erklärende 0/1 Variable y metrisch, x dichotom Statistische Analyse: Zweistichproben T-Test: Beobachtungen von y zerfallen in zwei Gruppen (u 1,..., u n1 ), (v 1,..., v n2 ), entsprechende Teststatistk T = ū v mit s 2 P = ( Q 1 + Q 2 ) s P n 1 n 2 (n 1 + n 2 2) wobei Q 1 = (u i ū) 2 und Q 2 = (v j v) 2. In beiden Gruppen wurde gleiche Varianz angenommen 2

3 T -Test im Kontext des GLM Theorie aus Kapitel 1 anwendbar für y = Xβ + ε, X = 0 n1 1 n 1 0 n2 1 n2, β = µ u µ v, Beachte dass Design Matrix ohne Intercept, typisch für ANOVA LSQ: ˆβ = (X X) 1 X y = (ū, v) Q e = y y ˆβ X X ˆβ = u 2 i + vj 2 n 1ū 2 n 2 v 2 = Q 1 + Q 2 Hypothese: H 0 : µ u = µ v d.h. Cβ = 0 mit C = (1, 1) ˆβ 0 = ˆβ (X X) 1 C [C(X X) 1 C ] 1 C ˆβ = (n 1ū+n 2 v,n 1 ū+n 2 v) n 1 +n 2 und damit F = (n 1+n 2 2)(Q C 0 Q e) Q e = (ū v)2 s 2 P = T 2 Übung: Führe die fehlenden Rechenschritte durch! 3

4 Hoteling s T 2 Multivariate Verallgemeinerung der T-Verteilung: Seien z N q (0, I), W W q (I, n) unabhängig, dann heißt u = nz W 1 z Hotelling T 2 -verteilt, T 2 (q, n). Es gilt T 2 (q, n) nq n q+1 F q,n q+1 Vergleiche das Resultat für q = 1 mit der vorigen Folie Übung: Beweise, dass für beliebiges Σ gilt x N q (µ, Σ), W W q (Σ, n) n(x µ) W 1 (x µ) T 2 (q, n) Hinweis: Betrachte x = Σ 1/2 (x µ) und W = Σ 1/2 W Σ 1/2 4

5 T -Statistiken mit SAS Es gibt die Prozedur SAS PROC TTEST Einfache übersichtliche Prozedur zum Berechnen von Einstichproben- und Zweistichproben T-Test ansonten natürlich immer PROC GLM möglich Für Hotelling s T 2 gibt es im SAS leider keine eigene Prozedur p-werte für einen entsprechenden Test erhält man mit PROC GLM wie bei MANOVA (Test basiert auf Wilk s Λ) Die eigentliche Teststatistik berechnet sich dann als T 2 = (n 1)( 1 Λ 1) Ein Beispiel folgt im Kapitel MANOVA 5

6 3.2 ANOVA einfaktoriell Zunächst klassische Behandlung der Varianzanalyse y metrisch, x kategoriell mit k Stufen Beispiel: y = Benzinverbrauch (in Liter pro 100 km) x = Automarke Frage: Unterschied des Benzinverbrauchs zwischen Marken? Messe Verbrauch von mehreren Autos pro Typ Modell: y ij = µ i + ε ij µ i... Erwarteter Verbrauch von Marke i ε ij N (0, σ 2 )... Abweichung vom Mittelwert des Verbrauchs bei Auto j von Marke i 6

7 Einfaktorielles Modell: Effektdarstellung Alternatives Modell: y ij = µ + α i + ε ij µ... Gesamtmittelwert, α i... Effekt der MArke i Für jede Marke Messungen j = 1,..., n i Falls für alle Marken i = 1,..., k gilt n i = n so spricht man von balanced Design (PROC ANOVA) Ansonsten kein ausgewogenes Design (PROC GLM) Effektdarstellung: µ und α i lassen sich nicht gleichzeitig schätzen Modell ist nicht identifizierbar (not identifiable) Lösung: zusätzliche Nebenbedingungen, z.bsp. k i=1 α i = 0 Hypothesen: H 0 : α 1 = = α k = 0, H 1 : α i 0 für ein i 7

8 Quadratsummen Klassische Varianzanalyse mit Tabelle (vgl. F -Test bei Regression) SSQ df MSQ F Faktor Q a k 1 Q a /(k 1) F = Q a/(k 1) Q e /(N k) Residual Q e N k Q e /(N k) Total Q t = Q a + Q e N 1 Q a = k i=1 Q e = k Q t = k N = k i=1 j=1 n i (ȳ i. ȳ) 2, n i n i i=1 j=1 n i i=1 SSQ zwischen Gruppen (y ij ȳ i. ) 2, SSQ innerhalb der Gruppen (y ij ȳ) 2, SSQ gesamt Gesamtanzahl der Beobachtungen 8

9 Verteilungen Klassische Varianzanalyse mit Tabelle (vgl. F -Test bei Regression) SSQ df MSQ F Faktor Q a k 1 Q a /(k 1) F = Q a/(k 1) Q e /(N k) Residual Q e N k Q e /(N k) Total Q t = Q a + Q e N 1 Übung: Rechne nach, dass tatsächlich Q t = Q a + Q e Hinweis zur Notation: ȳ i. = 1 n i n i y ij j=1 Unter der Voraussetzungen ε ij N (0, σ 2 ) gilt Q a /(k 1) χ 2 k 1, Q e/(n k) χ 2 N k, beide unabhängig daher ist Teststatistik F -verteilt mit entsprechenden Freiheitsgraden Übung: Verwende Satz von Cochran um Resultat zu beweisen 9

10 ANOVA im Kontext des GLM Modell: y = Xµ + ε, y = (y 11,...,..., y 1n1,..., y k1,..., y knk ) 1 n1 0 n n1 0 n2 1 n n2 X =....,. µ = (µ 1,..., µ k ), 0 nk 0 nk... 1 nk Kodierung verwendet Dummyvariablen x 1,..., x k, d.h. x i = 1 für x = i, ansonsten x i = 0 (vgl. Kapitel T-test) Gesamte Testtheorie des GLM kann so für ANOVA verwendet werden Übung: Kodierung der Effektdarstellung als GLM 10

11 Post Hoc Tests Klassischer F -Test für Overall-Hypothese H 0 : µ 1 = = µ k = µ, H 1 : i s.d. µ i µ Falls H 1 dann Frage für welches i gilt µ i µ Führt auf ( k 2) t Tests Multiples Testproblem Verschiedene Methoden (sowohl für Tests als auch CI) Bonferroni... hier sicherlich zu konservativ Tukey... Methode der Wahl, basiert auf studentized range stud = max(z 1,..., z k ) min(z 1,..., z k ) S Scheffe... Falls zusätzliche lineare Kontraste getestet werden sollen 11

12 Datensatz Auto.dat SAS-Programm: Bsp3.sas Einfaktorielle ANOVA mit SAS Einlesen von ASCII Daten Transformation von Datensatz in Format long PROC BOXPLOT Einfaktorielle ANOVA mit PROC ANOVA und PROC GLM Post Hoc Tests Übung: Beispiel 3a (aus Kim und Timm) F -Test signifikant, aber keiner der üblichen Kontraste Diskutiere die Analysen mit PROC GLM Erkläre speziell die Contrast und Estimate statements! 12

13 3.3 ANOVA zweifaktoriell Zwei erklärende Faktoren (z. Bsp. Automarke und Fahrer) Zunächst wiederum klassisches Modell y ijl = µ + α i + β j + (αβ) ij + ε ijl, Faktor A hat k Stufen: i = 1,..., k, Faktor B hat m Stufen: j = 1,..., m, Der Einfachheit halber betrachten wir balanciertes System, jede Zelle A = i, B = j hat genau n Beobachtungen: l = 1,..., n Somit insgesamt N = k m n Beobachtungen (αβ) ij... Interaktionsterm Modellvoraussetzung: ε ijl N (0, σ 2 ) und unabhängig 13

14 Quadratsummen Klassische Varianzanalyse (ANOVA Tabelle ) SSQ df MSQ F Faktor A Q a k 1 Q a /(k 1) F a = Q a/(k 1) Q e /(N km) Faktor B Q b m 1 Q b /(m 1) F b = Q b/(m 1) WW AB Q ab w = (k 1)(m 1) Q ab /w F ab = Residual Q e km(n 1) Q e /(N km) Total Q t N 1 Q a = mn k (ȳ i.. ȳ) 2, Q b = kn m (ȳ.j. ȳ) 2 i=1 Q ab = n k Q e = k i=1 j=1 m i=1 j=1 l=1 j=1 m (ȳ ij. ȳ i.. ȳ.j. + ȳ) 2, n (y ijl ȳ ij. ) 2, Q t = k m i=1 j=1 l=1 n (y ijl ȳ) 2 Q e /(N km) Q ab /w Q e /(N km) 14

15 Verteilungen Übung: Es gilt wiederum Zerlegung der Quadratsummen Q t = Q a + Q b + Q ab + Q e Verwendung des Satzes von Cochran liefert dass die Quadratsummen unabhängig χ 2 -verteilt mit den entsprechenden Freiheitsgraden, und daher auch die Teststatistiken F -verteilt F a und F b testen Hypothesen für die beiden Hauptfaktoren H 0A : α 1 = = α k = 0, H 1A : i s.d. α i 0 H 0B : β 1 = = β m = 0, H 1B : j s.d. β j 0 F ab testet ob eine Wechselwirkung vorliegt 15

16 Wechselwirkung Keine Wechselwirkung: y ijl = µ + α i + β j + ε ijl i fest µ i (j) = µ + α i + β j Für verschiedene i dann "parallele Streckenzüge" Wechselwirkung: Einfluss der Stufe i von Faktor A wechselt je nach Stufe j vom Faktor B (vgl. Beispiel 4) Klassische Vorgangsweise: Teste zunächst auf Wechselwirkung Falls (αβ) ij = 0 für alle i, j nicht abgelehnt wird, dann vereinfachtes Modell ohne WW Ansonsten Tests für einfache Effekte (siehe unten) Klassische Quadratsummen entsprechen Type 2 SSQ im SAS 16

17 Einfache Effekte bei Wechselwirkung Vergleich von verschiedenen Stufen eines Faktors Unterscheidung zwischen Haupteffekten und einfachen Effekten Haupteffekt (Main effect): Vergleich zwischen Mittelwerten über alle anderen Faktoren, e.g. ȳ 1.. ȳ 2.. Bei vorliegender WW problematisch Einfacher Effekt (Simple effect): Vergleich zwischen Mittelwerten für fixe Levels von anderen Faktoren, e.g. ȳ 1j. ȳ 2j. Entsprechende F -Tests in SAS mit SLICE Option bei LSMEANS Statement 17

18 ANOVA im Kontext des GLM Modell: y = Xµ + ε, y = (y 111,..., y 11n,..., y 1m1,..., y 1mn,...,... y km1,..., y kmn ) Kodierung in Effektdarstellung: ( k = m = 3 ) µ = (µ 0, α 1, α 2, β 1, β 2, αβ 1,1, αβ 1,2, αβ 2,1, αβ 2,2 ) 0 1 n 1 n 0 n 1 n 0 n 1 n 0 n 0 n 0 n 1 n 1 n 0 n 0 n 1 n 0 n 0 n 1 n 0 n 1 n 1 n 0 n 1 n 1 n 1 n 0 n 1 n 0 n 1 X = 1 n 0 n 1 n 1 n 0 n 0 n 1 n 0 n 0 n 1 n 0 n 1 n 0 n 1 n 0 n 0 n 0 n 1 n 1 n 0 n 1 n 1 n 1 n 0 n 1 n 0 n 1 n, 1 n 1 n 1 n 1 n 0 n 1 n 1 n 0 n 0 n 1 n 1 n 1 n 0 n 1 n 0 n 0 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 n C A Übung: Kodierung mit Dummyvariablen (ist einfacher!) 18

19 Zweifaktorielle ANOVA mit SAS Datensatz: Bsp. 1.2 von F.H. (S. 168) SAS-Programm: Bsp4.sas Eingeben von Daten direkt in SAS (datalines) PROC BOXPLOT (gruppierte Boxplots nicht elegant Verweis auf Macros) PROC MEANS (Erstellung von Plots der Mittelwerte PROC ANOVA vs. PROC GLM Post Hoc Tests SLICE Option 19

20 Problem bei Unbalanced Design Übung: Gegeben seien folgende Daten B = 1 B = 2 A = 1 7; 9 5 A = 2 8 4; 6 Vergleiche einerseits die Mittelwerte der Zellen ȳ 1j. mit ȳ 2j. Andererseits die Randmittelwerte ȳ 1.. und ȳ 2.. Basierend auf dem Modell berechne E(ȳ 1.. ) E(ȳ 2.. ) y ijk = µ + α i + β j + ε ijk Schlussfolgerung: Klassische ANOVA testet in diesem Beispiel nicht H 0 : α 1 = α 2 sondern H0 : α 1 + β 1 /3 = α 2 + β 2 /3 20

21 Tests auf einzelne Faktoren Unbalanced Design: Es spielt eine Rolle wie H 0 formuliert wird 1. Ungewichteter Test: H 0 : alle µ i. sind gleich Verwendung: Anzahl der Beobachtungen pro Zelle zufällig 2. Gewichteter Test: H 0 : alle k j=1 n ij ni. µ ij sind gleich Verwendung: Anzahl der Beobachtungen pro Zelle systematisch PROC REG: Explizite Formulierung dieser Nullhypothesen Balanced Design: Kein Unterschied zwischen verschiedenen Formulierungen von H 0 21

22 Restricted Models Modell mit WW: Unrestricted y ijk = µ ij + ε ijk Modell ohne WW: Restricted durch Nebenbedingungen (Q ab = 0) Hypothesentest, dass keine Interaktion: H 0 : µ ij µ i j = µ ij µ i j, i i, j j Beispiel k = 3, m = 2: C = Für Restricted Model gibt C gerade die Restriktion Dummy Codierung Full Rank Model PROC REG Codierung von Restriktion erfolgt explizit Dummy Codierung Less than Full Rank PROC GLM Verschiedene Arten von SSQ (Type 1, Type 3, etc.) 22

23 Auch Sequential Sum of Squares PROC GLM: Type 1 SSQ Zerlegung der erklärten SSQ (Q a bzw. Q b ) entsprechend der Reihenfolge in der Faktoren ins Modell aufgenommen werden. Sei z. Bsp. Q t = Q a + Q b + Q e Type 1 SSQ für A: Q t = SSQ a + error (Einfaktorielles Modell) Type 1 SSQ für B: Was wird zusätzlich durch Faktor B erklärt: SSQ b = Q a + Q b SSQ a hängt von Reihenfolge der Faktoren ab Reduktionsschreibweise: Modell 1 mit p Faktoren x 1,..., x p Modell 2 nur mit den ersten s < p Faktoren Definition: R(β s+1,..., β p β 0,..., β s ) := Q r1 Q r2 Übung: Zeige, dass Q r1 Q r2 = Q e2 Q e1 23

24 Type 1 vs. Type 3 SSQ Modell mit 3 Faktoren: y = β 0 + β 1 x 1 + β 2 x 2 + β 3 x 3 + ε Reduktionsschreibweise: Faktor Type 1 Type3 x 1 R(β 1 β 0 ) R(β 1 β 0, β 2, β 3 ) x 2 R(β 2 β 0, β 1 ) R(β 2 β 0, β 1, β 3 ) x 3 R(β 3 β 0, β 1, β 2 ) R(β 3 β 0, β 1, β 2 ) Beispiel der vorvorigen Folie: Type 1 SSQ: R(A µ) für Modell y = a, b, a b Type 1 SSQ: R(B µ) für Modell y = b, a, a b Entsprechen den beiden gewichteten Tests 24

25 Type 1 vs. Type 3 SSQ Modell mit 2 Faktoren: y = β 0 + β 1 x A + β 2 x B + β 3 x AB + ε µ - Modell Schreibweise: y ijl = µ ij + ε ijl Faktor Type 1 Type3 A m n 1j n1. µ 1j = = m B j=1 k i=1 n i1 µ i1 = k m i=1 j=1 j=1 n kj nk. µ kj µ 1. = = µ k. n i1 n ij ni. µ ij,... µ.1 = = µ.m A B µ ij µ i j = µ ij µ i j µ ij µ i j = µ ij µ i j, Type 3 immer leicht interpretierbar Type 1 nur für Effekt A und A B leicht interpretierbar 25

26 Zweifaktorielle ANOVA mit SAS Zusätzlich Beispiele aus dem Buch von Kim und Timm Beispiel 4a (entspricht KT 3_3) Unterscheidung zw. unrestricted und restricted GLM Vergleich von PROC REG und PROC GLM Diskussion von SAS Type 1 error und Type 3 error Übung: Erkläre anhand des SAS Codes welche Tests mit PROC REG durchgeführt wurden, und warum diese mit den entsprechenden Tests der PROC GLM übereinstimmen. Entscheidend ist das Verständnis der Dummycodierung für die PROC REG 26

27 Nested design Zwei Faktoren, die sich in Hierarchie befinden, z. Bsp.: Schule Klasse Kaufhauskette Filiale Übung Gruppe usw. SAS: i.e. model y = a b(a) y ijk = µ + a i + b(a) ij + ε ijk Im wesentlichen funktioniert nested model genau so wie factorial model, allerdings wird faktor b nicht als main effekt geführt Oft von Interesse: Test zwischen Stufen von Faktor a 27

28 Nested Design mit SAS Beispiel 4b (entspricht KT 2_9) Beispiel für Nested Design Diskussion von daraus folgenden Kontrasten (PROC GLM) 28

29 3.4 MANOVA Multivariate Varianzanalyse, zunächst einstufig (Verallgemeinerung von Hotelling T 2 ) y... q metrische Variablen x... kategorielle Variable (Faktor) mit k Stufen Beispiel: y: Benzinverbrauch, Beschleunigung, Abgaswerte x: Automarke Frage: Unterscheiden sich Merkmale zwischen Automarken Messungen aller y-werte von mehreren (n i ) Autos pro Marke Modell: y ij = µ i + ɛ ij y ij = (y ij1,..., y ijq )... Vektor der j-ten Messung zur Stufe i µ i = (µ i1,..., µ iq )... Vektor der Mittelwerte ɛ ij = (ε ij1,..., ε ijq ) N (0, Σ) i.i.d. 29

30 MANOVA im Kontext des GLM Völlig analog zur einfaktoriellen ANOVA: y = Xµ + ε Bilde Design-Matrix wie für ANOVA, allerdings sind y und µ nun keine Vektoren sondern Matrizen laut voriger Folie sind y ij und µ i ja Vektoren der Dimension q y = (y 11,...,..., y 1n1,..., y k1,..., y knk ) X = 1 n1 0 n n1 0 n2 1 n n nk 0 nk... 1 nk, µ = (µ 1,..., µ k ), Verwende Theorie des multivariaten GLM Overall Test mit Wilk s Λ (oder Roy s θ, etc.) an Stelle von F -Test 30

31 Test auf Gleichheit der Effekte (Overall Test) H 0 : die Mittelwerte aller Messungen sind jeweils identisch H 0 : µ 1 = = µ k, H 1 : i, j, r : µ ir µ jr Streumatrizen (SM) als multivariate Verallgemeinerung von SSQ k B( ˆ=Q a )= n i (ȳ i. ȳ)(ȳ i. ȳ) Zwischen-Gruppen SM i=1 k n i W ( ˆ=Q e )= (y ij ȳ i. )(y ij ȳ i. ) Inner-Gruppen SM i=1 j=1 k n i T ( ˆ=Q t )= (ȳ ij ȳ)(y ij ȳ) Gesamt SM i=1 j=1 Wie im eindimensionalen gilt: T = B + W 31

32 Verteilung der SM Voraussetzung: ɛ ij = (ε ij1,..., ε ijq ) N (0, Σ) i.i.d. Unter H 0 sind SM Wishart-verteilt (vgl. Kapitel 1.2) W W q (Σ, N k), B W q (Σ, k 1) wobei W und B unabhängig (vgl. Freiheitsgrade von ANOVA!) Teststatistiken für Overall-Test analog zur Regression: Wilk s Λ: W / B + W Roy s θ : Größter EW von (B + W ) 1 B Lawley - Hotelling trace: etc. U = k λ i i=1 32

33 MANOVA Tabelle SM df Λ bzw. θ Zwischen B k 1 W / B + W = Q (1 + λ j ) 1 Innerhalb W N k θ = λ 1 /(1 + λ 1 ) Total T = B + W N 1 Λ und θ ergeben sich einfach als Spezialfall der allgemeinen linearen Hypothese für multivariate Regression Weitere Themen: Berechnung von allgemeinen Kontrasten wie in Kapitel 1.2, siehe auch Timm (Mult. Ana.): MANOVA im Rahmen der GLM Post Hoc Tests: nicht so standardisiert wie bei ANOVA, auch in SAS nicht implementiert (siehe aber Kim und Timm) Zusammenhang mit Diskriminanzanalyse 33

34 Beispiel MANOVA mit SAS SAS-Programm: Bsp8.sas (Bsp. 9.2 von SAS for Linear Models (Littel, Stroup, Freund) MANOVA mit SAS PROC GLM Speziell MANOVA statement, Contrast für MANOVA (speziell Hotelling s T 2 ) 34

35 3.5 ANCOVA / MANCOVA Analysis of Covariance: Mischung aus Regression und ANOVA y... metrische Variable x, z... k kategorielle und r metrische Faktoren Modell ohne Wechselwirkung: y = Xµ + Zγ + ɛ X... N p - Designmatrix der qualitativen Faktoren Bildung der Designmatrix wie bei ANOVA im GLM Z... N r - Matrix der quantitativen Faktoren (Kovariablen) Voraussetzungen: X und Z jeweils vollen Rang p bzw. r und linear unabhängig ε ij N (0, σi) Einfachster Spezialfall: k = r = 1, y ij = µ i + γz ij + ε ij 35

36 Ziele der ANCOVA - Untersuchung Regressionsanalytische Fragestellungen: 1. Interesse an Homogenität der γ i : y ij = µ i + γ i z ij + ε ij γ i = γ unabhängig von Gruppe keine WW Sollte vor jeder ANCOVA überprüft werden 2. Falls γ = 0 kann Kofaktor vernachlässigen Varianzanalytische Fragestellung: Falls γ i = γ: Gibt es Unterschiede zwischen Gruppen? Kofaktoren dienen im wesentlichen dazu, um Präzision zu erhöhen (Berücksichtigung von Faktoren, die im Versuchsdesign nicht kontrolliert werden konnten) Problem zu Beginn bereits als GLM formuliert Typisch für ANCOVA: zweistufige LS-Schätzung 36

37 Zweistufige LS-Schätzung Motivation: ỹ := y Zγ = Xµ + ε Schritt 1: Schätze ˆµ = (X X) 1 X y (klassische ANOVA) RSS = (y X ˆµ) (y X ˆµ) = y P y Schritt 2: Schätze γ: Ersetze y durch y Zγ und minimiere RSS ˆγ = (Z P Z) 1 Z P y ˆµ = (X X) 1 X (y Zˆγ ) Und die Residuenquadratsumme für das Gesamtmodell lautet Q e = (y Zˆγ ) P (y Zˆγ ) χ 2 (N p r) Vergleich mit RSS zeigt, wie weit Kofaktor Modell verbessert 37

38 Bemerkungen LSMEANS: Adjusted treatment means (aus Modell geschätzt) ˆµ i + ˆγ z = y i. ˆγ ( z i. z) Wie bei ANOVA wiederum die Möglichkeit für PostHoc Tests Speziell Methode von Scheffé MANCOVA: Übliche Vorgangsweise um GLM für multivariates y zu verallgemeinern: Streumatrizen anstelle von Quadratsummen Wilk s Λ an Stelle von F -Test etc. SAS PROC GLM wiederum mit Befehl MANOVA 38

39 Ausblick Mixed Models Bisher hatten kategorielle Variablen immer feste Effekte Im Gegensatz dazu stehen zufällige Effekte: Faktorstufe repräsentiert Auswahl aus größerer Gesamtheit y... metrische Variable x, z... jeweils kategorielle Faktoren Mixed Model: y = Xµ + Zγ + ɛ X... Designmatrix der festen Faktoren Z... Designmatrix der zufälligen Faktoren γ... Vektor der unbekannten zufälligen Effekte im Gegensatz dazu ist µ ein Vektor von festen Zahlen Wesentlich kompliziertere Theorie als GLM SAS PROC MIXED 39

40 ANCOVA mit SAS Datensatz KT_2_10.DAT SAS-Programm: Bsp7.sas Testen auf Wechselwirkung Eigentliche ANCOVA Post Hoc Tests (LSMEANS) MANCOVA mit SAS Zusätzlich Beispiel 5_12_1 aus Kim und Timm: Datensatz KT_5_12.DAT SAS-Programm: Bsp7a.sas 40