Grundlagen der Ingenieurmathematik im Bachelorstudium. Olga und Konrad Wälder

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3 Berichte aus der Mathematik Olga und Konrad Wälder Grundlagen der Ingenieurmathematik im Bachelorstudium Shaker Verlag Aachen 2012

4 Bibliografische Information der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. Copyright Shaker Verlag 2012 Alle Rechte, auch das des auszugsweisen Nachdruckes, der auszugsweisen oder vollständigen Wiedergabe, der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen und der Übersetzung, vorbehalten. Printed in Germany. ISBN ISSN Shaker Verlag GmbH Postfach Aachen Telefon: / Telefax: / Internet:

5 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen Mengen und mathematische Aussagen: ein kurzer Überblick Zahlen Zahlenbereiche Komplexe Zahlen Gleichungen und Ungleichungen Analysis Folgen und Reihen Definitionen und Begriffe Grenzwerte von Folgen und Reihen Funktionen von einer Veränderlichen Darstellungsformen von Funktionen Eigenschaften von Funktionen Die Umkehrfunktion Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen einer Veränderlichen Der Grenzwert von f(x) für x x Der Grenzwert von f(x) für x ± Stetigkeit einer Funktion Differentialrechnung von Funktionen einer Veränderlichen Differenzierbarkeit einer Funktion Extrema und Wendepunkte von Funktionen Die Kurvendiskussion Näherungsweise Bestimmung von Funktionsänderungen Die Regel von L Hospital Approximation von Funktionen Einige wichtige Funktionen Integralrechnung von Funktionen einer Veränderlichen Lineare Algebra Vektoren und Matrizen Operationen mit Matrizen Lineare Gleichungssysteme Lösen von linearen Gleichungssystemen Determinanten

6 Inhaltsverzeichnis 4 Reihen und Reihenentwicklung von Funktionen Unendliche Reihen Zahlenreihen Potenzreihen Taylor-Reihen: Potenzreihenentwicklung von Funktionen Integration durch Reihenentwicklung Die Grenzwertregel von L Hospital Differentialrechnung mit Funktionen mehrerer Variablen Funktionen von mehreren Variablen Definition und Beschreibung Grenzwerte und Stetigkeit Partielle Differentiation Das totale Differential Partielle Elastizitäten Extremwertaufgaben Extrema ohne Nebenbedingungen Extrema unter Nebenbedingungen Integrationsrechnung mit Funktionen mehrerer Variablen Mehrfachintegrale Doppelintegrale Dreifachintegrale Eine wichtige Anwendung der Integration: Fourier-Transformationen Differentialgleichungen Gewöhnliche Differentialgleichungen 1. Ordnung Gewöhnliche Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten Homogene lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung Inhomogene lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung Übungsaufgaben zur Selbstkontrolle 167 4

7 Abbildungsverzeichnis 1.1 Gauß sche Zahlenebene Unstetigkeitsstellen: (a) Definitionslücke, (b) Sprungstelle, (c) Polstelle Darstellung (a) Integral, (b) Untersumme, (c) Obersumme Flächeninhalt bei a) positiven, b) negativen und c) gemischten Funktionen Funktion von zwei Variablen Die Anwendung der MKQ im Beispiel Volumenbestimmung mit Funktionen von zwei Variablen Ein Flächenelement in Polarkoordinaten Die Funktion f(t) =3 sin(t)+0, 5 cos(t) Die Rechteckkurve aus Beispiel Die Funktion f 1 aus Beispiel Die Funktion f 2 aus Beispiel Die Funktion f 3 aus Beispiel Richtungsfeld mit Isoklinen aus Beispiel Einige Lösungen (gestrichelte Ellipsen) der DGL aus Beispiel Zur Lösung der Aufgabe 20 c) Der Integrationsbereich (markiert) aus Aufgabe 106, a) Der Integrationsbereich (markiert) aus Aufgabe 106, b)

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9 Abbildungsverzeichnis Vorwort Für Studierende ingenieur- und wirtschaftswissenschaftlicher Bachelorstudiengänge an Hochschulen sind grundlegende Kenntnisse der Höheren Mathematik unerlässlich. Ohne das Erlernen der wichtigsten mathematischen Werkzeuge ist ein weitergehendes Fachsstudium unter Nutzung der entsprechenden Literatur kaum möglich. Diese Werkzeuge beziehen sich beispielsweise auf Funktionen von einer und mehreren Variablen. Mit dem vorliegenden Buch soll somit eine Einführung in die wichtigsten Themen von Mathematikgrundkursen gegeben werden: Analysis insbesondere Differential- und Integrationsrechnung sowie Lineare Algebra. Unsere Erfahrung zeigt, dass Studienanfänger zwar durchaus Grundkenntnisse der Linearen Algebra und der Analysis im Hinblick auf Funktionen einer Variablen besitzen. Allerdings treten große Schwierigkeiten bei der praktischen Anwendung verschiedener mathematischer Verfahren auf. Die Zielsetzung des vorliegenden Buches Grundlagen der Ingenieurmathematik im Bachelorstudium ist es, Studierenden dabei behilflich zu sein, die notwendigen Werkzeuge schrittweise zu erlernen. Die in der mathematischen Literatur üblichen Definitionen und Sätzen werden daher durch viele Bemerkungen und Hinweise zur Anwendung der eingeführten Begriffe und Methoden ergänzt. Ein besonderer Fokus wird darauf gelegt, Verbindungen zwischen auf den ersten Blick verschiedenen Werkzeugen und Methoden klar darzustellen. Dies soll den Leser nicht nur für ein spezielles mathematisches Thema motivieren, sondern auch helfen, eine gewisse mathematische Intuition zu entwickeln. Im Rahmen ihrer Lehrtätigkeit haben die Autoren zahlreiche ausgearbeitete Beispiele und Aufgaben zusammengestellt, die im Bachelorstudium sowohl für Haus- als auch Prüfungsaufgaben Verwendung finden können. Die meisten Beispiele, die in diesem Buch detailliert berechnet werden, schließen an die vorgestellte Theorie unmittelbar an. Im letzen Kapitel werden ergänzende Aufgaben zu allen Themenbereichen präsentiert. Ihre Bearbeitung unterstützt den Lernprozess und kann auch einen Beitrag zur Prüfungsvorbereitung leisten. Lösungen sind in kurzer Form mit den entsprechenden Lösungsschritten dargestellt. Ausführliche Lösungswege können stets den entsprechenden theoretischen Abschnitten mit den Beispielaufgaben entnommen werden. Bei jedem mathematischen Lehrbuch stellt sich die Aufgabe, einen Kompromiss zwischen dem theoretischen Niveau und der Lesbarkeit zu finden. Das vorliegende Buch komprimiert theoretische Inhalte weitgehend auf die notwendigen Grundlagen wie sie an Hochschulen vermittelt werden und ist so mathematikfernen Studierenden ein kompaktes Hilfsmittel. Mathematisch interessierte Leser finden aber durchaus neue und unbekannte Aspekte. Das vorliegende Buch möge einen Beitrag zur weiteren Vertiefung dieses Interesses leisten. Das Grundgerüst dieses Buches orientiert sich an unseren Lehrveranstaltungen Ingenieurmathematik I und II an der Hochschule Lausitz, wo die beiden Autoren als Hochschullehrer tätig sind. Den Teilnehmern unserer Lehrveranstaltungen sei für zahlreiche Hinweise gedankt. i

10 Abbildungsverzeichnis Einige Bezeichnungen und Symbole Symbole: - Unendlichkeit (keine reelle Zahl, der Grenzwert der Reihe von reellen Zahlen) n! =n (n 1) (n 2) Fakultät, z.b. 5! = = 120 lim - Grenzwert (Limes) x x 0 - x geht gegen x 0 (bei der Grenzwertberechnung) A \{M} -diemengem wird aus der Menge A ausgeschnitten (A ohne M) D(f) - Definitionsbereich einer Funktion f(x) (die Menge aller zugelassenen Werte x auf der x-achse) W (f) - Wertebereich einer Funktion f(x) (die Menge aller erhaltenen Werte y = f(x) auf der y-achse) x -Betragvonx, d.h. der Abstand vom Ursprung (x = 0) bis zur Zahl x auf der reellen Achse R (immer nicht negativ!) Mengen: N - die Menge der natürlichen Zahlen Z - die Menge der ganzen Zahlen Q - die Menge der rationalen Zahlen R - die Menge der reellen Zahlen C - die Menge der komplexen Zahlen Geschlossene und offene Intervalle: [a, b] - ein geschlossenes Intervall, d.h. die Grenzen gehören dazu a, b [a, b] (a, b) oder auch ]a, b[ - ein offenes Intervall, d.h. die Grenzen gehören nicht dazu a, b / (a, b) [a, b) - ein halboffenes (halbgeschlossenes) Intervall, d.h. die Grenze a gehört dazu a [a, b), aber die Grenze b wird ausgenommen b/ [a, b) Die folgenden Schreibweisen sind äquivalent (Synonyme): x [a, b] a x b x (a, b) a<x<b x (,b] x b x R \{(b, )} x (,b) x<b x R \{[b, )} x [a, ) x a x R \{(,a)} x (a, ) x>a x R \{(,a]} x a x R \{a} x (,a) (a, ) ii

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