INGENIEURMATHEMATIK. 10. Gewöhnliche Differentialgleichungen. Sommersemester Prof. Dr. Gunar Matthies

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1 Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik INGENIEURMATHEMATIK 10. Gewöhnliche Differentialgleichungen Prof. Dr. Gunar Matthies Sommersemester 2016

2 G. Matthies Ingenieurmathematik 2/152 Differentialgleichungen bisher: Gleichungen für Zahlen Finde eine Zahl x R mit ax 2 + bx + c = 0 algebraische Gleichung jetzt: Gleichungen für Funktionen und deren Ableitung(en) Finde eine Funktion y : R m R n mit der Eigenschaft... Differentialgleichung

3 G. Matthies Ingenieurmathematik 3/152 Beispiel: Radioaktiver Zerfall Depot mit radioaktiver Substanz Gesamtmenge zum aktuellen Zeitpunkt t 0 bekannt Radioaktive Substanzen zerfallen: Die Gesamtmenge nimmt ab. Wie groß ist die Menge zu einem beliebigen Zeitpunkt t > t 0? Gesucht: Funktion m : R R +, so dass m(t) die Menge an radioaktiver Substanz zum Zeitpunkt t angibt.

4 G. Matthies Ingenieurmathematik 4/152 Differentialgleichung: Radioaktiver Zerfall Modellannahme: sei h > 0 eine Zeitspanne von der Substanz zerfällt im Zeitintervall [t, t + h] ein fester Bruchteil, der proportional zur Zeitspanne h ist somit m(t + h) m(t) αh m(t), wobei α R eine positive Konstante ist Differentialgleichung Umstellen und Division durch h m(t + h) m(t) h Grenzübergang h 0 m (t) = αm(t) = αm(t)

5 G. Matthies Ingenieurmathematik 5/152 Beispiel: Federpendel an einer Spiralfeder aufgehängtes Massestück schwingt auf und ab seitliche Schwingung wird ignoriert Position und Geschwindigkeit zum aktuellen Zeitpunkt t 0 bekannt Wie sind Position und Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t > t 0? Gesucht: Funktion x : R R derart, dass x(t) die vertikale Auslenkung des Massestücks zum Zeitpunkt t angibt. Geschwindigkeit v(t) = x (t).

6 G. Matthies Ingenieurmathematik 6/152 Differentialgleichung: Federpendel I Modellannahme: masselose Feder wirkenden Kräfte Gewichtskraft: proportional zur Masse m F G = mg Federkraft: proportional zur Auslenkung F F = kx Trägheitskraft: hängt von Masse m und Beschleunigung x ab F T = 1 mx 2 Luftreibung: proportional zur Geschwindigkeit x F R = rx

7 G. Matthies Ingenieurmathematik 7/152 Differentialgleichung: Federpendel II Kräftegleichgewicht Alle anliegenden Kräfte summieren sich zu 0: F G + F F + F T + F R = 0 Differentialgleichung Finde x : R R, so dass mg kx(t) mx (t) + rx (t) = 0 für alle t R.

8 G. Matthies Ingenieurmathematik 8/152 Differentialgleichungen Definition Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung zur Bestimmung einer Funktion von einer oder mehreren Variablen, wobei in der Gleichung auch Ableitungen der zu bestimmenden Funktion auftreten. Definition Falls die gesuchte Funktion der Differentialgleichung nur von einer Variablen abhängt, so wird die Gleichung als gewöhnliche Differentialgleichung bezeichnet. Ist die gesuchte Funktion eine Funktion mehrerer Variablen, so sprechen wir von einer partiellen Differentialgleichung.

9 G. Matthies Ingenieurmathematik 9/152 Beispiele gewöhnliche Differentialgleichung: Gesucht ist x : R R mit x (t) = αx(t), wobei α R eine gegebene Konstante ist. partielle Differentialgleichung (Poisson-Gleichung) Gesucht ist u : R 3 R mit 2 u x u y u = f (x, y, z), z2 wobei f : R 3 R eine gegebene Funktion ist.

10 G. Matthies Ingenieurmathematik 10/152 Implizite Differentialgleichungen Definition Seien n N, D R n+2 und F : D R. Eine skalare implizite Differentialgleichung n-ter Ordnung hat die Gestalt F ( x, y(x), y (x),..., y (n) (x) ) = 0. Wenn die Funktion y : I R auf dem Intervall I n-mal stetig differenzierbar ist und F ( x, y(x), y (x),..., y (n) (x) ) = 0 für alle x I gilt, dann heißt y Lösung der impliziten Differentialgleichung auf dem Intervall I. Beispiel Die Funktion y : (0, 1) R mit y(x) = x 2 ist Lösung der impliziten Differentialgleichung dritter Ordnung x 4 y (x) + y (x) 2 y (x) 3 y(x) + 6x 5 = 0.

11 G. Matthies Ingenieurmathematik 11/152 Explizite Differentialgleichungen Definition Seien n N, D R n+1 und F : D R. Eine skalare explizite Differentialgleichung n-ter Ordnung hat die Gestalt y (n) (x) = F ( x, y(x), y (x),..., y (n 1) (x) ) Wenn die Funktion y : I R auf dem Intervall I n-mal stetig differenzierbar ist und y (n) (x) = F ( x, y(x), y (x),..., y (n 1) (x) ) für alle x I gilt, dann heißt y Lösung der expliziten Differentialgleichung auf dem Intervall I. Beispiel Die Funktion y : (0, 1) R mit y(x) = x + 1 ist Lösung der expliziten Differentialgleichung y (x) = y(x) y (x) x.

12 G. Matthies Ingenieurmathematik 12/152 Lösungskurve Definition Wenn y : I R Lösung einer (impliziten oder expliziten) Differentialgleichung ist, dann wird der Graph G := { (x, y(x)) : x I } von y als Lösungskurve der Differentialgleichung bezeichnet y I = [0, 1] y(x) = x x

13 G. Matthies Ingenieurmathematik 13/152 Eindeutigkeit Lösungen von Differentialgleichungen sind nicht eindeutig: Für jede Konstante c R ist die Funktion y(x) = ce αx eine Lösung der Differentialgleichung y (x) = αy(x). Nutze Zusatzinformationen wie Wert der gesuchten Funktion y an der Stelle x 0, um eindeutige Lösung zu erhalten.

14 Beispiel Finde eine Funktion y : [t 0, ) R mit y (t) = αy(t) für alle t > t 0 y(t 0 ) = y 0 für beliebiges c R löst die Differentialgleichung y(t) = ce αt Bestimme c mit Hilfe der Anfangsbedingung y(t 0 ) = y 0 y 0 = y(t 0 ) = ce αt 0 = c = y 0 e αt 0 eindeutige Lösung des Anfangswertproblems: y(t) = y 0 e αt 0 e αt = y 0 e α(t t 0) G. Matthies Ingenieurmathematik 14/152

15 G. Matthies Ingenieurmathematik 15/152 Anfangswertprobleme Definition Eine gewöhnliche (implizite oder explizite) Differentialgleichung n-ter Ordnung zusammen mit den Anfangsbedingungen y(x 0 ) = y 0, y (x 0 ) = y 1,..., y (n 1) (x 0 ) = y n 1 nennen wir Anfangswertproblem (AWP) oder Anfangswertaufgabe (AWA). Beispiel Anfangswertproblem für eine implizite Differentialgleichung dritter Ordnung y (x) + y(x) x = 0, y(1) = 1, y (1) = 2, y (1) = 1

16 G. Matthies Ingenieurmathematik 16/152 Explizite Differentialgleichungssysteme erster Ordnung Definition Seien n N, D R n+1 und f : D R n. Ein (explizites) System von gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung ist durch y (t) = f ( t, y(t) ) gegeben, wobei y(t) = ( y 1 (t),..., y n (t) ) T ist. Wenn y : I R n auf dem Intervall I einmal stetig differenzierbar ist und y (t) = f ( t, y 1 (t),..., y n (t) ) für alle t I gilt, dann heißt y Lösung des expliziten Differentialgleichungssystems erster Ordnung auf dem Intervall I. Beispiel System erster Ordnung ( ) mit ( zwei Komponenten ) y y (t) = 1 (t) y1 (t)y y 2 (t) = 2 (t) y 1 (t) 2 = f ( t, y(t) ) cos(t)

17 G. Matthies Ingenieurmathematik 17/152 Anfangswertprobleme für Systeme Definition Ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung zusammen mit den Anfangsbedingungen y 1 (t 0 ) = y 0 1,..., y n (t 0 ) = y 0 n oder kurz y(t 0 ) = y 0 R n heißt Anfangswertproblem oder Anfangswertaufgabe für das System gewöhnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung. Beispiel Anfangswertproblem für ein System erster Ordnung mit drei Komponenten: y 1 (t) y 2 (t) 3 y 3 (t) 2 y 1 (2) 3 y 2 (t) = y 1 (t) 2 cos(t), y(2) = y 2 (2) = 4 y 3 (t) y 1 (t)y 2 (t) y 3 (2) 5

18 G. Matthies Ingenieurmathematik 18/152 Umwandlung in ein System Satz Jede explizite gewöhnliche Differentialgleichung n-ter Ordnung ist in ein äquivalentes System von Differentialgleichung erster Ordnung überführbar. Gleiches gilt für die zugehörigen Anfangswertprobleme. Führe die Funktionen y 1 (x) = y(x), y 2 (x) = y (x),..., y n(x) = y (n 1) (x) ein. Dann gilt y 1 (x) y 2 (x). y n 1 (x) y n(x) = y 2 (x) y 3 (x). y n (x) f ( x, y 1 (x),..., y n (x) ).

19 G. Matthies Ingenieurmathematik 19/152 Autonomie Definition Eine Differentialgleichung oder ein System von Differentialgleichungen heißt autonom, wenn die unabhängige Variable nicht explizit auftritt. Satz Jedes System gewöhnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung lässt sich äquivalent in ein autonomes System von gewöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung überführen. neue Funktion nutzen z 1 (x) y 1 (x) z(x) =. z n (x) =. y n (x) z n+1 (x) x

20 G. Matthies Ingenieurmathematik 20/152 Richtungsfeld Geometrische Interpretation von y (t) = f ( t, y(t) ) f ( t, y(t) ) : Steigung der Funktion y(t) im Punkt ( t, y(t) ) Visualisierung: Richtungsfeld f (t, y) = ty 2 Lösungen von y (t) = f ( t, y(t) ) passen in Richtungsfeld

21 G. Matthies Ingenieurmathematik 21/152 Lösung von Anfangswertproblemen Definition Gegeben sei das Anfangswertproblem u (t) = f ( t, u(t) ), u(t 0 ) = u 0 mit f : D R n und D R n+1. Weiterhin seien I ein abgeschlossenes Intervall positiver Länge mit t 0 I und (t 0, u 0 ) D. Eine Funktion u : I R n heißt Lösung des Anfangswertproblems, wenn die Bedingungen 1. graph(u) := {( t, u(t) ) : t I } D, 2. u (t) = f ( t, u(t) ) für alle t I, 3. u(t 0 ) = u 0, erfüllt sind.

22 G. Matthies Ingenieurmathematik 22/152 Lokale Lösbarkeit Anhand des Richtungsfeldes kann man sich klar machen, dass Lösungen nicht für alle t existieren müssen. Alle Lösungskurven im Richtungsfeld f (t, y) = 1 t enden bei t = 0.

23 G. Matthies Ingenieurmathematik 23/152 Satz von Peano Satz Gegeben sei das Anfangswertproblem u (t) = f ( t, u(t) ), u(t 0 ) = u 0. Die Funktion f sei auf dem (n + 1)-dimensionalen Zylinder Z := { (t, x) R R n : t t 0 < α, x u 0 < β } stetig. Dann existiert mindestens eine Lösung u des Anfangswertproblems auf dem Intervall [t 0 T, t 0 + T ], wobei T > 0 die Bedingung ( T < min α, β ), M := sup f (x, t) M (t,x) Z erfüllt.

24 G. Matthies Ingenieurmathematik 24/152 Fortsetzungssatz Satz Sei die Funktion f auf dem abgeschlossenen Zylinder D R R n stetig. Weiterhin sei (t 0, u 0 ) D. Die lokale Lösung u auf dem Intervall [t 0 T, t 0 + T ] lässt sich solange nach links und rechts auf ein maximales Existenzintervall I max = (t 0 T, t 0 +T ) stetig differenzierbar fortsetzen, wie der Graph von u nicht an den Rand von D stößt. Folgerung Eine Lösung kann nicht im Inneren von D f enden.

25 G. Matthies Ingenieurmathematik 25/152 Beschränkte Lösung f (t, y) = sin(t) cos(y)

26 G. Matthies Ingenieurmathematik 26/152 Unbeschränkte Lösung f (t, y) = y

27 G. Matthies Ingenieurmathematik 27/152 Rand des Definitionsbereichs f (t, y) = 1 y

28 G. Matthies Ingenieurmathematik 28/152 Zur Eindeutigkeit der Lösung von Anfangswertproblemen I autonomes Anfangswertproblem y (x) = y(x), y(0) = 0 Lösung 1: u(x) = 0 für alle x R Lösung 2: 0, x < 0, v(x) = x 2 4, x 0, Lösung 3: (x a)2, x < a, 4 w(x) = 0, a x b, (x b) 2, x > b, 4 mit a < 0 < b beliebig

29 G. Matthies Ingenieurmathematik 29/152 Zur Eindeutigkeit der Lösung von Anfangswertproblemen II Anfangswertprobleme mit mehreren Lösungen sind unerwünscht. Welche der Lösungen ist die physikalisch richtige? Woran erkennt man, dass ein Anfangswertproblem nur eine einzige Lösung hat? Stetigkeit von f ist zu wenig. Stetige Differenzierbarkeit von f ist zu viel. Kompromiss?

30 G. Matthies Ingenieurmathematik 30/152 Lipschitz-Stetigkeit I Definition Sei D R n. Die Funktion h : D R n heißt Lipschitz-stetig, falls es eine Konstante L 0 derart gibt, dass für alle x, y D gilt. h(x) h(y) L x y Vorstellung: Alle Sekanten haben beschränkte Steigung Sekante sin x

31 G. Matthies Ingenieurmathematik 31/152 Lipschitz-Stetigkeit II Beispiel Die Funktion h : R R mit h(x) = x 2 ist nicht Lipschitz-stetig: y x Wähle y = 0 und x.

32 G. Matthies Ingenieurmathematik 32/152 Lokale Lipschitz-Stetigkeit I Definition Sei D R n. Die Funktion h : D R n heißt lokal Lipschitzstetig, wenn für jedes x D eine Umgebung existiert, in der h Lipschitz-stetig ist. Vorstellung: Alle Sekanten haben beschränkte Steigung, falls x und y nicht zu weit auseinander liegen. Bemerkung Stetig differenzierbare Funktionen sind stets lokal Lipschitz-stetig. Die Umkehrung gilt nicht.

33 G. Matthies Ingenieurmathematik 33/152 Lokale Lipschitz-Stetigkeit II Beispiel Die Funktion h : R R mit h(x) = 3 x ist nicht lokal Lipschitzstetig: Es gilt h (x) = 1 3x 2 3 und somit h (x) für x 0

34 G. Matthies Ingenieurmathematik 34/152 Eindeutigkeit von Lösungen I Definition Seien I R ein offenes Intervall und U R n eine offene Menge. Die Funktion f : I U R n erfüllt eine lokale Lipschitz- Bedingung bezüglich des zweiten Arguments, wenn es zu jedem y 0 U eine offene Menge V U mit y 0 V derart git, dass f (x, y) f (x, z) L y z für alle x I und alle y, z V gilt. Satz (Picard-Lindelöf) Sei die rechte Seite f des Anfangswertproblems y (t) = f ( t, y(t) ), y(t 0 ) = y 0 stetig und bezüglich des zweiten Arguments lokal Lipschitz-stetig. Dann hat das Anfangswertproblem eine eindeutige Lösung.

35 G. Matthies Ingenieurmathematik 35/152 Eindeutigkeit von Lösungen II Satz Sei die rechte Seite f des Anfangswertproblems y = f (t, y), y(t 0 ) = y 0 stetig und bezüglich y stetig differenzierbar. Dann hat das Anfangswertproblem eine eindeutige Lösung.

36 G. Matthies Ingenieurmathematik 36/152 Lösen von Differentialgleichungen Lösen von Differentialgleichungen verwandt mit Bestimmung von Integralen: für bestimmte Klassen von Differentialgleichungen gibt es Lösungsverfahren allgemeine Lösungstechniken gibt es nicht Approximation der Lösung durch numerische Verfahren

37 G. Matthies Ingenieurmathematik 37/152 Differentialgleichung mit trennbaren Variablen Definition Eine Differentialgleichung der Form y (x) = g(x) h ( y(x) ) heißt Differentialgleichung mit trennbaren Variablen. Beispiel Die Differentialgleichung y = sin(x) cos(y) ist eine Differentialgleichung mit trennbaren Variablen: g(x) = sin(x) und h(y) = 1 cos(y).

38 G. Matthies Ingenieurmathematik 38/152 Trennung der Variablen I Differentialgleichung mit trennbaren Variablen y (x) = g(x) h ( y(x) ) Wenn g(x) und h(y) stetig sind und h keine Nullstellen hat, dann sichert der Satz von Peano die Existenz einer Lösung. Schritt 1: Multipliziere mit h(y): h ( y(x) ) y (x) = g(x) Schritt 2: Integriere auf beiden Seiten: h ( y(x) ) y (x) dx = g(x) dx Substitutionsregel: η := y(x) h(η) dη = g(x) dx

39 G. Matthies Ingenieurmathematik 39/152 Trennung der Variablen II Substitutionsregel: η := y(x) h(η) dη = g(x) dx Seien G und H Stammfunktionen von g bzw. h. Rücksubstitution: H(η) = G(x) + C H ( y(x) ) = G(x) + C bei Anfangswertproblemen: C durch Anfangsbedingung fixieren Schritt 3: Löse, falls möglich, nach y(x) auf Formal: y(x) = H 1 (G(x) + C)

40 G. Matthies Ingenieurmathematik 40/152 Lineare Substitution Gegeben: Differentialgleichung y = f (ax + by + c) mit Konstanten a, b, c R Lösungsweg Substitution u(x) = ax + by(x) + c Differenzieren u (x) = a + bf ( u(x) ) Trennung der Veränderlichen möglich Konstante durch Anfangsbedingung fixieren

41 Ähnlichkeitsdifferentialgleichung Definition Sei ϕ stetig. Dann wird ( ) y(x) y (x) = ϕ x als Ähnlichkeitsdifferentialgleichung bezeichnet. Lösungsweg definiere v(x) := y(x) x Produktregel auf y(x) = v(x)x anwenden: y (x) = v (x)x + v(x) für v ergibt sich die Differentialgleichung v (x) = ϕ( v(x) ) v(x), x die sich mittels Trennung der Veränderlichen lösen lässt Anfangsbedingung zur Fixierung der Konstante nutzen G. Matthies Ingenieurmathematik 41/152

42 G. Matthies Ingenieurmathematik 42/152 Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung Definition Eine Differentialgleichung der Form a(x)y (x) + b(x)y(x) = f (x) wird lineare Differentialgleichung erster Ordnung genannt. Wenn f 0 ist, dann sprechen wir von einer homogenen Differentialgleichung. Andernfalls nennen wir die Differentialgleichung inhomogen. Bemerkung Der Begriff linear bezieht sich auf die Linearität der Gleichung in y und y. Die Funktionen a, b und f dürfen nicht-linear von x abhängen.

43 G. Matthies Ingenieurmathematik 43/152 Beispiele Die Gleichung x 2 y (x) + y(x) ln(x) = x ist eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung, obwohl die Koeffizienten nicht-linear sind. a(x) = x 2, b(x) = ln(x), f (x) = x Die Gleichung y (x) = 3 y(x) ist keine lineare Differentialgleichung, da der Ausdruck y(x) keine lineare Funktion von y ist.

44 G. Matthies Ingenieurmathematik 44/152 Lösbarkeit von linearen Differentialgleichungen Allgemeine Form: Annahmen: a, b, f sind stetig a(x) 0 für alle x Äquivalente Form: a(x)y (x) + b(x)y(x) = f (x) y (x) = f (x) a(x) b(x) a(x) y(x) rechte Seite stetig und Lipschitz-stetig bezüglich y Satz von Picard-Lindelöf eindeutig lösbar

45 G. Matthies Ingenieurmathematik 45/152 Linearität Sind y 1 und y 2 Lösungen der homogenen Differentialgleichung, dann ist auch die Linearkombination αy 1 + βy 2 mit α, β R eine Lösung der homogenen Differentialgleichung. Folgerung Seien y 0 eine nichttriviale Lösung der homogenen Differentialgleichung (ay 0 + by 0 = 0, y 0 0) und y p eine spezielle (partikuläre) Lösung der inhomogenen Differentialgleichung (ay p + by p = f ). Dann ist die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung durch y = αy 0 + y p, α R gegeben.

46 G. Matthies Ingenieurmathematik 46/152 Lösungsverfahren I Bestimme eine nichttriviale Lösung y 0 der zugehörigen homogenen Differentialgleichung ay 0 + by 0 = 0, was mittels Trennung der Veränderlichen auf führt y 0 (x) = exp ( b(x) a(x) dx alle Lösungen der homogenen Differentialgleichung y h (x) = αy 0 (x), α R )

47 Lösungsverfahren II Bestimmung einer partikulären Lösung des inhomogenen Differentialgleichung durch Variation der Konstanten Ansatz y p (x) = C(x)y 0 (x), y p(x) = C (x)y 0 (x) + C(x)y 0(x) in inhomogene Differentialgleichung einsetzen: f (x) = a (C y 0 + Cy 0) + bcy 0 = C (ay 0 + by 0 ) + C ay 0 = C ay 0 Integration liefert und somit C(x) = y p (x) = y 0 (x) f (x) a(x)y 0 (x) dx f (x) a(x)y 0 (x) dx G. Matthies Ingenieurmathematik 47/152

48 G. Matthies Ingenieurmathematik 48/152 Lösungsverfahren III allgemeine Lösung: y(x) = y h (x) + y p (x) = ( α + C(x) ) y 0 (x) mit α R Probe!!

49 G. Matthies Ingenieurmathematik 49/152 Gleichungen vom Typ F (x, y, y ) = 0 Gegeben: Differentialgleichung der Form Eigenschaften F (x, y, y ) = 0 Differentialgleichung zweiter Ordnung Funktion y selbst kommt nicht vor Lösungsweg: mit v := y entsteht F (x, v, v ) = 0 als eine Differentialgleichung erster Ordnung! bestimme allgemeine Lösung v (mit Integrationskonstante C) allgemeine Lösung y ergibt nach Integration von v (weitere Integrationskonstante C 1 ) Integrationskonstanten durch Anfangsbedingungen fixieren

50 Gleichungen vom Typ F (y, y, y ) = 0 Unabhängige Variable x tritt nicht explizit auf: F (y, y, y ) = 0 Lösungsweg: betrachte y als Funktion von y: y (x) := v ( y(x) ) Kettenregel y = d dv dy v(y) = dx dy dx = v (y)y = v (y)v(y) es entsteht Differentialgleichung erster Ordnung für v(y) F (y, v, v v) = 0 nach Bestimmung von v ist dann die Differentialgleichung y (x) = v ( y(x) ) zu lösen Konstanten in v und y durch Anfangsbedingungen fixieren G. Matthies Ingenieurmathematik 50/152

51 G. Matthies Ingenieurmathematik 51/152 Exakte Differentialgleichung Definition Eine Differentialgleichung der Form P ( x, y(x) ) + Q ( x, y(x) ) y (x) = 0 heißt exakte Differentialgleichung, wenn es eine Funktion F mit gibt. F F (x, y) = P(x, y), x (x, y) = Q(x, y) y Dies ist immer dann der Fall, wenn P Q (x, y) = (x, y) y x erfüllt ist (Integrabilitätsbedingung).

52 G. Matthies Ingenieurmathematik 52/152 Lösung von exakten Differentialgleichungen Lösungen ergeben sich durch Auflösen von F ( x, y(x) ) = C nach y(x), wobei C eine beliebige reelle Konstante ist. Begründung: Differenzieren liefert 0 = d dx C = d dx F ( x, y(x) ) = F ( ) F ( ) x, y(x) + x, y(x) y (x) x y = P ( x, y(x) ) + Q ( x, y(x) ) y (x)

53 Integrierender Faktor Definition Wenn für die Differentialgleichung P ( x, y(x) ) + Q ( x, y(x) ) y (x) = 0 eine Funktion µ derart existiert, dass µ ( x, y(x) ) P ( x, y(x) ) + µ ( x, y(x) ) Q ( x, y(x) ) y (x) = 0 eine exakte Differentialgleichung ist, dann wird µ als integrierender Faktor oder Eulerscher Multiplikator bezeichnet. Ansätze µ = µ(x) µ = µ(y) µ = µ(x + y) µ = µ(xy) probieren G. Matthies Ingenieurmathematik 53/152

54 G. Matthies Ingenieurmathematik 54/152 Bernoulli-Differentialgleichung Definition Eine Differentialgleichung der Form a(x)y (x) + b(x)y(x) = f (x) ( y(x) ) k, k 0, 1, mit gegebenen stetigen Funktionen a, b, f und einer reellen Konstanten k R heißt Bernoulli-Differentialgleichung. Spezialfälle k = 0: rechte Seite wird zu f (x) inhomogene lineare Differentialgleichung a(x)y (x) + b(x)y(x) = f (x) k = 1: rechte Seite wird zu f (x)y(x) homogene lineare Differentialgleichung a(x)y (x) + ( b(x) f (x) ) y(x) = 0

55 Lösung der Bernoulli-Differentialgleichung sei k 0 und k 1 Substitution führt zu z(x) = ( y(x) ) 1 k bzw. y(x) = z(x) ( y(x) ) k z (x) = (1 k) ( y(x) ) k y (x) bzw. y (x) = 1 ( ) kz y(x) (x) 1 k Einsetzen in Bernoulli-Differentialgleichung und Kürzen liefert a(x) 1 k z (x) + b(x)z(x) = f (x), inhomogene lineare Differentialgleichung erster Ordnung für z, danach dann y ermitteln G. Matthies Ingenieurmathematik 55/152

56 G. Matthies Ingenieurmathematik 56/152 Ricatti-Differentialgleichung Definition Seien a, b und f stetige Funktionen. Dann wird eine Differentialgleichung der Form y (x) = a(x)y(x) + b(x)y 2 (x) + f (x) Ricatti-Differentialgleichung genannt. Bemerkung Im Fall f 0 ergibt sich eine Bernoulli-Gleichung mit k = 2. Für Ricatti-Differentialgleichungen mit f 0 ist kein allgemeines Lösungsverfahren bekannt.

57 Lösung von Ricatti-Differentialgleichungen Sei y p eine Lösung der Ricatti-Differentialgleichung. Ansatz: v(x) := 1 y(x) y p (x) Einsetzen und Zusammenfassen: Umstellen: 0 = y + a(x)y + b(x)y 2 + f bzw. y(x) = y p (x) + 1 v(x) = v v 2 + a(x) + 2b(x) y p v v + b(x) v 2. v + ( a(x) + 2b(x)y p (x) ) v + b(x) = 0, (lineare Differentialgleichung erster Ordnung) G. Matthies Ingenieurmathematik 57/152

58 G. Matthies Ingenieurmathematik 58/152 Lineare Differentialgleichungssysteme Definition Seien I R ein nichtleeres Intervall, a ij : I R, i, j = 1,..., n, und b i : I R, i = 1,..., n, stetig. Dann ist n y i (x) = a ij (x)y j (x) + b i (x), i = 1,..., n, j=1 ein lineares Differentialgleichungssystem erster Ordnung. Definition Sind alle b i, i = 1,..., n, auf I identisch 0, dann heißt das lineare Differentialgleichungssystem homogen, sonst wird es inhomogen genannt.

59 G. Matthies Ingenieurmathematik 59/152 Darstellung und Lösbarkeit Ein lineares Differentialgleichungssystem erster Ordnung lässt sich in der Form y (x) = A(x)y(x) + b(x) mit den stetigen Funktionen A : I R n n, b : I R n und y : I R n gemäß a 11 (x)... a 1n (x) b 1 (x) y 1 (x) A(x)=....., b(x)=., y(x)=. a n1 (x)... a nn (x) b n (x) y n (x) schreiben. Satz Jedes Anfangswertproblem eines linearen Differentialgleichungssystems erster Ordnung mit dem Anfangswert y(x 0 ) = y 0 R n, x 0 I, ist auf dem Intervall I eindeutig lösbar.

60 G. Matthies Ingenieurmathematik 60/152 Superpositionsprinzip Satz Seien y : I R n und z : I R n. Dann gelten für lineare Differentialgleichungssysteme erster Ordnung die Aussagen: 1. Sind y und z zwei Lösungen des homogenen Differentialgleichungssystems, dann ist auch die Linearkombination αy + βz mit α, β R eine Lösung des homogenen Differentialgleichungssystems. 2. Ist y eine Lösung des homogenen Differentialgleichungssystems und z eine Lösung des inhomogenen Differentialgleichungssystems, so ist αy + z mit α R auch eine Lösung des inhomogenen Differentialgleichungssystems. 3. Sind y und z zwei Lösungen des inhomogenen Differentialgleichungssystems, so ist y z eine Lösung des homogenen Differentialgleichungssystems.

61 G. Matthies Ingenieurmathematik 61/152 Struktur der Lösungsmenge Bemerkung Sind y 1,..., y k mit y i : I R n, i = 1,..., k, Lösungen des homogenen Differentialgleichungssystems, so ist jede Linearkombination y = α 1 y α k y k, α 1,..., α k R, auch eine Lösung des homogenen Differentialgleichungssystems. Satz Die Gesamtheit der Lösungen des inhomogenen Differentialgleichungssystems ergibt sich als Summe einer speziellen Lösung des inhomogenen Differentialgleichungssystems und der Gesamtheit der Lösungen des homogenen Differentialgleichungssystems.

62 G. Matthies Ingenieurmathematik 62/152 Linear unabhängige Lösungen I Definition Die Lösungen y 1,..., y k mit y i : I R n, i = 1,..., k, des homogenen Differentialgleichungssystems heißen linear unabhängig, wenn aus k α i y i (x) = 0 i=1 für alle x I folgt, dass α i = 0, i = 1,..., k, gilt. Sind die Lösungen in diesem Sinn nicht linear unabhängig, dann nennen wir die Lösungen linear abhängig.

63 G. Matthies Ingenieurmathematik 63/152 Linear unabhängige Lösungen II Lemma Seien y 1,..., y k mit y i : I R n, i = 1,..., k, Lösungen des homogenen Differentialgleichungssystems. Gibt es ein x I und α 1,..., α n R mit k α i y i (x ) = 0, dann gilt für alle x I. Folgerung i=1 k α i y i (x) = 0 i=1 Die Funktionen y 1,..., y k sind genau dann linear (un)abhängig, wenn die Vektoren y 1 (x ),..., y k (x ) R n linear (un)anhängig sind.

64 G. Matthies Ingenieurmathematik 64/152 Fundamentalsystem Definition Wir bezeichnen n linear unabhängige Lösungen des homogenen Differentialgleichungssystems als Fundamentalsystem von Lösungen (der homogenen Gleichung des Differentialgleichungssystems). Satz Es gibt stets ein Fundamentalsystem von Lösungen des homogenen Differentialgleichungssystems. Jede Lösung des homogenen Differentialgleichungssystems kann als Linearkombination der Funktionen des Fundamentalsystems mit konstanten Koeffizienten dargestellt werden.

65 G. Matthies Ingenieurmathematik 65/152 Wronski-Matrix und Wronski-Determinante Definition Seien y 1,..., y n mit y i : I R n, i = 1,..., n, Lösungen des homogenen Differentialgleichungssystems. Dann definieren wir durch Y (x) := ( y 1 (x) y n (x) ) y 1,1 (x) y n,1 (x) =..... y 1,n (x) y n,n (x) die Wronski-Matrix Y : I R n n und durch W (x) = det Y (x) die Wronski-Determinante W : I R.

66 G. Matthies Ingenieurmathematik 66/152 Wronski-Determinante und lineare Unabhängigkeit Satz Wenn n Lösungen y 1,..., y n mit y i : I R n, i = 1,..., n, vorliegen, dann tritt genau einer der beiden Fälle auf 1. det Y (x) 0 für alle x I und y 1,..., y n sind linear unabhängig; 2. det Y (x) = 0 für alle x I und y 1,..., y n sind linear abhängig.

67 G. Matthies Ingenieurmathematik 67/152 Allgemeine Lösung des homogenen Problems Wronski-Matrix des Fundamentalsystems y 1,..., y n Y (x) = ( y 1 (x) y n (x) ) mit y i : I R n, i = 1,..., n dann gilt: Y (x) = ( y 1 (x) y n(x) ) = ( A(x)y 1 (x) A(x)y n (x) ) = A(x)Y (x). allgemeine Lösung des homogenen Problems: n y h (x) = c i y i (x) = Y (x) c, i=1 c R n

68 G. Matthies Ingenieurmathematik 68/152 Variation der Konstanten Ansatz: z(x) = Differenzieren: c n 1 (x) c i (x)y i (x) = Y (x). = Y (x)c(x) c n (x) i=1 z (x) = Y (x)c(x) + Y (x)c (x) = A(x)Y (x)c(x) + Y (x)c (x). Einsetzen in inhomogenes Problem z (x) = A(x)z(x) + b(x) und Umstellen: Y (x)c (x) = b(x) Integration: c(x) = Y (x) 1 b(x) dx

69 G. Matthies Ingenieurmathematik 69/152 Allgemeine Lösung des inhomogenen Problems partikuläre Lösung des inhomogenen Systems: y p (x) = Y (x) Y (x) 1 b(x) dx allgemeine Lösung des inhomogenen Systems n y(x) = c i y i (x) + y p (x) i=1 = Y (x) ( c + ) Y (x) 1 b(x) dx

70 G. Matthies Ingenieurmathematik 70/152 Lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten Definition Ein System der Form y 1(x) = a 11 y 1 (x) + a 12 y 2 (x) + + a 1n y n (x) + g 1 (x), y 2(x) = a 21 y 1 (x) + a 22 y 2 (x) + + a 2n y n (x) + g 2 (x),. y n(x) = a n1 y 1 (x) + a n2 y 2 (x) + + a nn y n (x) + g n (x) mit reellen Konstanten a ij, i, j = 1,..., n, und stetigen Funktionen g i, i = 1,..., n, heißt lineares Differentialgleichungssystem erster Ordnung mit n Gleichungen und konstanten Koeffizienten. Wir nennen das Differentialgleichungssystem homogen, wenn g i 0 für alle i = 1,..., n gilt, sonst heißt das Differentialgleichungssystem inhomogen.

71 Matrix-Vektor-Schreibweise Bemerkung Mit den Bezeichnungen A = (a ij ) R n n, y(x) = ( y 1 (x)... y n (x) ) T, g(x) = ( g 1 (x)... g n (x) ) T lässt sich das System kurz als y (x) = Ay(x) + g(x) schreiben. Bemerkung Ist ein Fundamentalsystem von Lösungen des homogenen System bekannt, kann mittels Variation der Konstanten eine spezielle Lösung des inhomogenen Systems bestimmt werden. G. Matthies Ingenieurmathematik 71/152

72 G. Matthies Ingenieurmathematik 72/152 Zugang zu Lösungen des homogenen Problems homogenes System: y (x) = Ay(x) Ansatz: y(x) = u(x)v mit Eigenvektor v von A zum Eigenwert λ Eingesetzt: u (x)v = y (x) = Ay(x) = u(x)av = u(x)λv, somit: y(x) = e λx v löst das homogene Differentialgleichungssystem

73 G. Matthies Ingenieurmathematik 73/152 Fundamentalsystem Satz Hat die Matrix A n verschiedene Eigenwerte λ 1,..., λ n mit zugehörigen Eigenvektoren v 1,..., v n, dann bilden die Lösungen e λ 1x v 1,..., e λnx v n ein Fundamentalsystem von Lösungen des homogenen Systems und jede Lösung des homogenen System lässt sich in der Form mit c 1,..., c n R schreiben. c 1 e λ 1x v c n e λnx v n

74 G. Matthies Ingenieurmathematik 74/152 Diagonalisierbare Matrizen Satz Die Matrix A habe r verschiedene Eigenwerte λ 1,..., λ r mit den algebraischen Vielfachheiten σ 1,..., σ r. Gibt es zu den Eigenwerten λ i jeweils σ i linear unabhängige Eigenvektoren v i,1,..., v i,σi, dann bilden die Funktionen e λ 1x v 1,1,..., e λ 1x v 1,σ1,..., e λr x v r,1,..., e λr x v r,σr, ein Fundamentalsystem des homogenen Systems. Bemerkung Hier stimmen algebraische Vielfachheit und geometrische Vielfachheit überein, d. h., die Matrix A ist diagonalisierbar. Dies tritt zum Beispiel dann auf, wenn die Matrix A symmetrisch ist.

75 G. Matthies Ingenieurmathematik 75/152 Hauptvektoren Definition Seien A eine n n-matrix und k N. Dann heißt ein Vektor v 0 Hauptvektor von A, wenn (A λe) k v = 0 erfüllt ist. Wir nennen v Hauptvektor k-ter Stufe, wenn (A λe) k v = 0 und (A λe) k 1 v 0 gilt, wobei wir (A λe) 0 = E vereinbaren. Bemerkung Im Sinne obiger Definition sind Eigenvektoren genau die Hauptvektoren erster Stufe.

76 G. Matthies Ingenieurmathematik 76/152 Hauptvektoren und Fundamentalsysteme Satz Die Matrix A habe r verschiedene Eigenwerte λ 1,..., λ r mit den algebraischen Vielfachheiten σ 1,..., σ r. Zu λ i seinen v i,1,..., v i,σi linear unabhängige Hauptvektoren von A mit Dann bilden die Funktionen e λ 1x σ 1 1 j=0 σ r 1 e λr x j=0 (A λ i E) σ i v i,j = 0, j = 1,..., σ i. x j σ j! (A λ 1 1 1E) j v 1,1,..., e λ 1x x j j! (A λ r E) j v r,1,..., e λr x. j=0 σ r 1 j=0 ein Fundamentalsystem des homogenen Systems. x j j! (A λ 1E) j v 1,σ1 x j j! (A λ r E) j v r,σr

77 G. Matthies Ingenieurmathematik 77/152 Berechnung von Hauptvektoren Satz Sei λ Eigenwert der n n-matrix A. Dann lassen sich die Hauptvektoren v 1,..., v q gemäß bestimmen. (A λe)v 1 = 0, (Eigenvektor) (A λe)v 2 = v 1, (Hauptvektor 2. Stufe). (A λe)v q = v q 1, (Hauptvektor q-ter Stufe) Bemerkung Die Berechnung der Hauptvektoren bricht spätestens dann ab, wenn q der algebraischen Vielfachheit entspricht.

78 G. Matthies Ingenieurmathematik 78/152 Lösungsdarstellung Satz Wenn für den Eigenwert λ mit algebraischer Vielfachheit σ die Hauptvektoren v 1,..., v σ der Stufen 1,..., σ existieren, dann lassen sich die zugehörigen Funktionen des Fundamentalsystems als schreiben. k 1 e λx j=0 x j j! v k j, k = 1,..., σ, Bemerkung Es gibt Matrizen A mit Eigenwert λ der Vielfachheit σ und zugehörigem Eigenvektor v derart, dass kein Hauptvektor der Stufe σ existiert. Dieser Fall soll hier aber nicht betrachtet werden.

79 G. Matthies Ingenieurmathematik 79/152 Lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung Definition Eine Differentialgleichungen der Form a n (x)y (n) (x) + + a 1 (x)y (x) + a 0 (x)y(x) = g(x) mit stetigen Funktionen a 0,..., a n, a n (x) 0, und g wird lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung genannt. Beispiel lineare Differentialgleichung dritter Ordnung x 2 y (x) cos(x)y (x) + ln(x + 1)y(x) = e sin(x)

80 G. Matthies Ingenieurmathematik 80/152 Superposition Das Superpositionsprinzip gilt für lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung: 1. Jede Linearkombination von zwei Lösungen der homogenen Differentialgleichung ist auch Lösung der homogenen Differentialgleichung. 2. Die Differenz von zwei Lösungen der inhomogenen Differentialgleichung löst die homogene Differentialgleichung. 3. Die Summe aus einer Lösung der inhomogenen Differentialgleichung und einem Vielfachen einer Lösung der homogenen Differentialgleichung ist selbst Lösung der inhomogene Differentialgleichung.

81 G. Matthies Ingenieurmathematik 81/152 Umwandlung in System Setze y 1 (x) = y(x), y 2 (x) = y (x),..., y n (x) = y (n 1) (x), äquivalentes System y y 1 y 2. = y y n a 0 a 1 a 2... a. + n 1 y a n a n a n a n n Damit sind alle Ergebnisse von Systemen übertragbar g a n

82 G. Matthies Ingenieurmathematik 82/152 Linear unabhängige Lösungen Definition Die Lösungen y 1,..., y k mit y i : I R, i = 1,..., k, der linearen Differentialgleichung n-ter Ordnung heißen linear unabhängig, wenn aus k α i y i (x) = 0 i=1 für alle x I folgt, dass α i = 0, i = 1,..., k, gilt. Definition Wir sagen, n linear unabhängige Lösungen der homogenen linearen Differentialgleichung n-ter Ordnung bilden ein Fundamentalsystem.

83 G. Matthies Ingenieurmathematik 83/152 Wronski-Determinante Definition Seien y 1,..., y n mit y i : I R, i = 1,..., n, Lösungen der homogenen linearen Differentialgleichung n-ter Ordnung. Dann heißt y 1 y 2... y n y 1 y 2... y n W (x) = det y (n 1) 1 y (n 1) 2... y n (n 1) die Wronski-Determinante zu den Lösungen y 1,..., y n. Satz Die n Funktionen y 1,..., y n sind genau dann linear unabhängig, wenn die zugehörige Wronski-Determinante W (x) für mindestens ein x I von 0 verschieden ist.

84 G. Matthies Ingenieurmathematik 84/152 Reduktionsprinzip Satz (Reduktionsprinzip) Sei u(x) 0 eine nicht-verschwindende Lösung der homogenen linearen Differentialgleichung y (n) (x) + a n 1 (x)y (n 1) (x) + + a 0 (x)y(x) = 0. Dann führt der Produktansatz y(x) = u(x) v(x) auf die homogene lineare Differentialgleichung (n 1)-ter Ordnung w (n 1) (x) + b n 2 (x)w (n 2) (x) + + b 0 (x)w(x) = 0, für w := v mit geeigneten Funktionen b 0,..., b n 2. Ist w 1,..., w n 1 ein Fundamentalsystem dieser Gleichung, dann bilden die n Funktionen u, u v1,..., u v n 1 eine Fundamentalsystem der Ausgangsdifferentialgleichung, wobei v 1,..., v n 1 die Stammfunktionen von w 1,..., w n 1 sind.

85 G. Matthies Ingenieurmathematik 85/152 Lineare Dgl. n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten Gegeben: Konstanten a 0,..., a n R mit a n 0, Funktion f Gesucht: Lösung der Differentialgleichung a n y (n) (x) + a n 1 y (n 1) (x) + + a 1 y (x) + a 0 y(x) = f (x) Lösungsansatz für homogene Differentialgleichung mit einer Konstanten λ R Bestimmung der Ableitungen y(x) = e λx y (x) = λe λx, y (x) = λ 2 e λx,..., y (k) (x) = λ k e λx Einsetzen liefert 0 = a n λ n e λx + a n 1 λ n 1 e λx + + a 1 λe λx + a 0 e λx = ( a n λ n + a n 1 λ n a 1 λ + a 0 ) e λx

86 G. Matthies Ingenieurmathematik 86/152 Charakteristisches Polynom charakteristisches Polynom p(λ) = a n λ n + a n 1 λ n a 1 λ + a 0 Fundamentalsatz der Algebra: Es gibt genau n (nicht notwendig verschiedene) Nullstellen λ 1,..., λ n C des Polynoms p. Basislösungen in Abhängigkeit der Aufteilung der Nullstellen 1. λ R ist k-fache Nullstelle von p e λx, xe λx,..., x k 1 e λx 2. λ = α ± βi ist Paar konjugierter k-facher Nullstellen von p e αx sin(βx), xe αx sin(βx),..., x k 1 e αx sin(βx), e αx cos(βx), xe αx cos(βx),..., x k 1 e αx cos(βx),

87 G. Matthies Ingenieurmathematik 87/152 Bestimmung einer partikulären Lösung I spezielle Inhomogenität f : Ansätze für partikuläre Lösung λ sei jeweils keine Nullstelle des charakteristischen Polynoms p: 1. f (x) = p k (x), λ = 0 y p (x) = A k x k + A k 1 x k A 1 x + A 0 2. f (x) = e αx p k (x), λ = α y p (x) = e αx( A k x k + A k 1 x k A 1 x + A 0 ) p k ist Polynom vom Grad k. Auch wenn in p k nur einige Potenzen von x auftreten, ist immer das vollständige Polynom im Ansatz zu verwenden.

88 G. Matthies Ingenieurmathematik 88/152 Bestimmung einer partikulären Lösung II 3. f (x) = p k (x) cos(βx) + q l (x) sin(βx), λ = ±βi y p (x) = P M (x) cos(βx) + Q M (x) sin(βx) 4. f (x) = e αx( p k (x) cos(βx) + q l (x) sin(βx) ), λ = α ± βi y p (x) = e αx( P M (x) cos(βx) + Q M (x) sin(βx) ) Dabei sind p k und q l Polynome vom Grad k bzw. l und P M und Q M Polynome vom Grad M = max(k, l). Auch wenn in der rechten Seite nur einige Potenzen von x auftreten, ist immer das vollständige Polynom mit dem maximal vorkommenden Grad im Ansatz zu verwenden.

89 G. Matthies Ingenieurmathematik 89/152 Lösungsverfahren I Wenn die Inhomogenität auf der rechten Seite der Differentialgleichung Lösung der homogen Differentialgleichung ist, dann spricht man vom Resonanzfall. Ist das λ, das zur Inhomogenität gehört, eine m-fache Nullstelle des charakteristischen Polynoms p, dann ist der übliche Ansatz mit x m zu multiplizieren. Der jeweils gewählte Ansatz wird in die inhomogene Differentialgleichung eingesetzt. Ein Koeffizienten-Vergleich erlaubt die Bestimmung der Koeffizienten des Ansatzes. Ist die rechte Seite der Differentialgleichunng einen Summe von Termen der obigen Formen, dann wird für jeden einzelnen Term eine partikuläre Lösung bestimmt. Deren Summe ist dann die partikuläre Lösung für die gesamte rechte Seite.

90 G. Matthies Ingenieurmathematik 90/152 Lösungsverfahren II 1. allgemeine Lösung y h der zugehörigen homogenen Differentialgleichung bestimmen 2. eine partikuläre Lösung y p der inhomogenen Differentialgleichung ermitteln 3. allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung y(x) = y h (x) + y p (x) 4. bei Anfangswertprobleme nun die Konstanten in der allgemeinen Lösungen mittels der Anfangsbedingungen bestimmen

91 G. Matthies Ingenieurmathematik 91/152 Eulersche Differentialgleichung Gegeben: Konstanten a 0,..., a n R mit a n 0, Funktion f Gesucht: Lösung der Differentialgleichung a n x n y (n) (x) + a n 1 x n 1 y (n 1) (x) + + a 1 xy (x) + a 0 y(x) = f (x) Substitution: t = ln(x) bzw. x = e t, neue Funktion z(t) = y(e t ) Schritte: 1. Ansatz für z insgesamt n-mal nach t ableiten 2. nach x k y (k) (x) umgestellt in Differentialgleichung einsetzen 3. lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten für z(t) entsteht 4. Differentialgleichung lösen 5. Rücksubstitutuion von z und t auf y und x

92 G. Matthies Ingenieurmathematik 92/152 Bezeichnungen Seien I := [a, b] R ein nichtleeres Intervall und L[u] := a 2 (x)u (x) + a 1 (x)u (x) + a 0 (x)u(x), R 1 [u] := α 1 u(a) + α 2 u (a), (α 1, α 2 ) (0, 0) R 2 [u] := β 1 u(b) + β 2 u (b), (β 1, β 2 ) (0, 0), Beispiel Seien I = [0, 1], v(x) = x 2 und L[u] = sin(x)u (x) e x u (x) + ln(x)u(x), R 1 [u] = 2u(0) u (0), R 2 [u] = u(1) + 3u (1). Dann sind L[v] = 2 sin(x) 2xe x + x 2 ln(x), R 1 [v] = 0, R 2 [v] = 5.

93 G. Matthies Ingenieurmathematik 93/152 Lineare Randwertprobleme zweiter Ordnung Definition Die Aufgabenstellung Finde eine zweimal stetig differenzierbare skalare Funktion u : [a, b] R mit für alle x [a, b] und L[u](x) = f (x) R 1 [u] = ϱ 1, R 2 [u] = ϱ 2 heißt lineares Randwertproblem zweiter Ordnung. Gilt f (x) = 0 für alle x [a, b], sprechen wir von einem homogenen Problem. Im Fall ϱ 1 = ϱ 2 = 0 liegen homogene Randbedingungen vor.

94 G. Matthies Ingenieurmathematik 94/152 Lösbarkeit I Bemerkung Im Gegensatz zu linearen Anfangswertprobleme können Randwertprobleme auch nicht lösbar sein oder unendlich viele Lösungen besitzen: Das Randwertproblem u (x) = 0, u (0) = 0, u (1) = 1 auf dem Intervall [0, 1] hat keine Lösung. Das Randwertproblem u (x) = 0, u (0) = 0, u (1) = 0 auf dem Intervall [0, 1] hat unendlich viele Lösungen, nämlich alle konstanten Funktionen u(x) = c R.

95 G. Matthies Ingenieurmathematik 95/152 Lösbarkeit II Satz Sei (u 1, u 2 ) ein Fundamentalsystem von Lösungen des homogenen Problems L[u] = 0. Dann ist das Randwertproblem genau dann eindeutig lösbar, wenn ( ) R1 [u 1 ] R 1 [u 2 ] det 0 R 2 [u 1 ] R 2 [u 2 ] gilt. Satz Das lineare Randwertproblem hat genau dann eine eindeutige Lösung, wenn das zugehörige vollhomogene Randwertproblem L[u] = 0, R 1 [u] = 0, R 2 [u] = 0 nur die triviale Lösung u 0 besitzt.

96 G. Matthies Ingenieurmathematik 96/152 Transformation auf homogene Randbedingungen Satz Ist v auf I = [a, b] zweimal stetig differenzierbar mit R 1 [v] = ϱ 1, R 2 [v] = ϱ 2, und löst w das homogene Randwertproblem L[w] = f L[v], R 1 [w] = 0, R 2 [w] = 0, dann ist u := v + w die Lösung des linearne Randwertproblems L[u] = f, R 1 [u] = ϱ 1, R 2 [u] = ϱ 2. Bemerkung Da sich eine Funktion, die die Randbedingungen erfüllt, oft einfach finden lässt, werden wir uns nun auf homogene Randbedingungen konzentrieren.

97 G. Matthies Ingenieurmathematik 97/152 Sturm-Liouville-Gleichung Definition Die Aufgabenstellung Finde eine zweimal stetig differenzierbare skalare Funktion u : [a, b] R mit ( p(x)u (x) ) + q(x)u(x) = f (x) für alle x [a, b] und heißt Sturm-Liouville-Gleichung. R 1 [u] = R 2 [u] = 0 Bemerkung Nach Multiplikation mit einer geeignet gewählten Funktion lässt sich jedes lineare Randwertproblem zweiter Ordnung mit homogenen Randbedingungen als Sturm-Liouville-Gleichung schreiben.

98 G. Matthies Ingenieurmathematik 98/152 Transformation des Fundamentalsystems Satz Sei (u 1, u 2 ) ein Fundamentalsystem von Lösungen des homogenen Problems L[u] = 0, wobei ( ) R1 [u 1 ] R 1 [u 2 ] det 0 R 2 [u 1 ] R 2 [u 2 ] erfüllt sei. Dann ist auch (v 1, v 2 ) mit v 1 := R 1 [u 2 ]u 1 R 1 [u 1 ]u 2, v 2 := R 2 [u 2 ]u 1 R 2 [u 1 ]u 2 ein Fundamentalsystem von Lösungen des homogenen Problems L[u] = 0. Weiterhin sind die Bedingungen erfüllt. R 1 [v 1 ] = R 2 [v 2 ] = 0

99 G. Matthies Ingenieurmathematik 99/152 Wronksi-Determinante Definition Sei (v 1, v 2 ) ein Fundamentalsystem mit R 1 [v 1 ] = R 2 [v 2 ] = 0. Dann heißt ( ) v1 (x) v W (x) := det 2 (x) v 1 (x) v 2 (x) = v 1 (x)v 2(x) v 1(x)v 2 (x) Wronski-Determinante. Satz Für die Wronski-Determinante W und die Funktion p aus der Sturm-Liouville-Gleichung gilt p(x)w (x) = p(a)w (a) für alle x [a, b], d. h., das Produkt Wp ist auf [a, b] konstant.

100 G. Matthies Ingenieurmathematik 100/152 Greensche Funktion Definition Sei (v 1, v 2 ) ein Fundamentalsystem mit R 1 [v 1 ] = R 2 [v 2 ] = 0. Dann definieren wir mittels v 1 (x)v 2 (t) p(a)w (a), a x t b, G(x, t) := v 1 (t)v 2 (x) p(a)w (a), a t x b, die Greensche Funktion G : [a, b] [a, b] R. Bemerkung Die Greensche Funktion ist stetig und auf jedem Teilgebiet zweimal stetig differenzierbar.

101 G. Matthies Ingenieurmathematik 101/152 Eigenschaften der Greenschen Funktion Satz Die partielle Ableitung G x der Greenschen Funktion hat einen Sprung entlang der Geraden x = t. Dort gilt Die Sprungrelation G x (x + 0, x) = v 1(x)v 2 (x) p(a)w (a), a x < b, G x (x 0, x) = v 1 (x)v 2(x) p(a)w (a), a < x b. G x (x + 0, x) G x (x 0, x) = v 1(x)v 2 (x) v 1 (x)v 2(x) p(a)w (a) = W (x) p(a)w (a) = 1 p(x) ist für a < x < b erfüllt.

102 G. Matthies Ingenieurmathematik 102/152 Lösungsformel Satz Sei (v 1, v 2 ) ein Fundamentalsystem mit R 1 [v 1 ] = R 2 [v 2 ] = 0. Dann lässt sich die Lösung der Sturm-Liouville-Gleichung in der Form b u(x) = G(x, t)f (t) dt angeben, wobei G die Greensche Funktion darstellt. a

103 G. Matthies Ingenieurmathematik 103/152 Taylor-Entwicklung von Lösungen Anfangswertproblem Differentialgleichung liefert y (x) = f ( x, y(x) ), y(x 0 ) = y 0 y (x 0 ) = f ( x 0, y(x 0 ) ) = f (x 0, y 0 ) Ableiten der Differentialgleichung ergibt y (x) = f ( ) f ( ) x, y(x) + x, y(x) y (x) x y und somit also y (x 0 ) = f x (x 0, y 0 ) + f y (x 0, y 0 )y (x 0 ) y(x) y 0 + y (x 0 )(x x 0 ) + y (x 0 ) (x x 0 ) 2, 2 weitere Terme durch weiteres Ableiten der Differentialgleichung

104 G. Matthies Ingenieurmathematik 104/152 Beispiel: y (x) = y(x) 2, y(1) = 1 y(x)= 1 2 x y p 1 (x)=x 2 p 3 (x)=x +(x 1) 2 +(x 1) 3 1 y(1) = p 6 (x)=x +(x 1) 2 +(x 1) 3 +(x 1) 4 +(x 1) 5 +(x 1) 6 x

105 G. Matthies Ingenieurmathematik 105/152 Potenzreihenansatz I Lösung einer Differentialgleichung lässt sich auch als Potenzreihe darstellen Anfangswertproblem für lineare Differentialgleichung 2. Ordnung y (x) + f (x)y (x) + g(x)y(x) = h(x), y(0) = y 0, y (0) = y 1. Koeffizientenfunktionen f, g und h in U = K(0, r) in konvergente Potenzreihen entwickelbar: f (x) = f k x k, g(x) = g k x k, h(x) = h k x k k=0 k=0 k=0 Lösungsansatz y(x) = a k x k. k=0

106 G. Matthies Ingenieurmathematik 106/152 Potenzreihenansatz II Formales Differenzieren y (x) = ka k x k 1 = (k + 1)a k+1 x k, y (x) = k=1 k(k 1)a k x k 2 = k=0 k=2 k=0 (k + 2)(k + 1)a k+2 x k. Cauchy-Produkte ausrechnen und Zusammenfassen ( k ) (k + 2)(k + 1)a k+2 x k + (l + 1)f k l a l+1 k=0 + k=0 l=0 ( k ) g k l a l x k = k=0 l=0 k=0 x k h k x k

107 G. Matthies Ingenieurmathematik 107/152 Potenzreihenansatz III Koeffizientenvergleich liefert Rekursionsformel für k = 0, 1,... ( ) 1 k k a k+2 = h k (l + 1)f k l a l+1 g k l a l (k + 2)(k + 1) l=0 l=0 allgemein: a 0 und a 1 unabhängig und beliebig wählbar bei Anfangswertproblemen ergibt sich y(0) = y 0, y (0) = y 1 a 0 = y 0, a 1 = y 1.

108 G. Matthies Ingenieurmathematik 108/152 Grenzen der bisherigen Ergebnisse Lösungstechniken für gewöhnliche Differentialgleichungen Lösung in geschlossener Form möglich viele verschiedene Verfahren und Tricks finden (häufig) alle Lösungen einer Gleichung ABER: für viele wichtige Gleichungen keine Techniken bekannt Modifikation der Problemstellung Suche (die) eine Lösung eines Anfangswertproblems Approximation der Lösung soll/muss reichen!

109 G. Matthies Ingenieurmathematik 109/152 Prototyp eines Anfangswertproblems Beschränkung auf skalare Gleichungen erster Ordnung y (x) = f (x, y(x)), y(x 0 ) = y 0 Gleichungen höherer Ordnung auf Systeme erster Ordnung transformieren Verfahren entsprechend auf Systeme von Gleichungen erster Ordnung anwenden

110 G. Matthies Ingenieurmathematik 110/152 Numerisches Lösen von Anfangswertproblemen Gegeben: Anfangswertproblem Finde y : [x 0, T ] R mit y (x) = f ( x, y(x) ), y(x 0 ) = y 0 Idee: Unterteile [x 0, T ] mittels Stützstellen x k := x 0 + kh, k = 0, 1, 2,..., in Teilintervalle der Länge h > 0 Gesucht: Approximation y k, k = 1, 2,..., mit y k y(x k ).

111 G. Matthies Ingenieurmathematik 111/152 Illustration y y 0 x 0 x 1 x 2 x n = T x Stützstellen: x k := x 0 + kh, h > 0, k = 0, 1, 2,... Gesucht: Approximation y k mit y k y(x k )

112 G. Matthies Ingenieurmathematik 112/152 Idee des expliziten Euler-Verfahrens Leonhard Euler, 1768 Gegeben: Stützstellen x k = x 0 + hk, k = 0, 1, 2,..., Startwert y 0 R Gesucht: Näherungen y k R für y(x k ), k = 0, 1, 2,... Idee zur Bestimmung der Näherung y 1 y(x 1 ) 1. Startwert y 0 bekannt, 2. Steigung von y in x 0 durch y (x 0 ) = f (x 0, y(x 0 )) = f (x 0, y 0 ) gegeben, 3. Ersetze Graph von y in der Nähe von (x 0, y 0 ) durch Gerade mit Steigung f (x 0, y 0 ), 4. Wahl: y 1 Wert dieser Gerade in x 1 y 1 := y 0 + hf (x 0, y 0 ).

113 G. Matthies Ingenieurmathematik 113/152 Explizites Euler-Verfahren Gegeben: Stützstellen x k = x 0 + hk, k = 0, 1, 2,..., Startwert y 0 R Gesucht: Näherungen y k R für y(x k ), k = 0, 1, 2,... Explizites Euler-Verfahren: y k+1 = y k + hf (x k, y k ), k = 0, 1, 2,... Bemerkung Die Punkte (x k, y k ), k 1, liegen nicht auf dem Graphen der tatsächliche Lösung y. Trotzdem liefert das Richtungsfeld für alle (x k, y k ) eine Steigung f (x k, y k ).

114 G. Matthies Ingenieurmathematik 114/152 Illustration des expliziten Euler-Verfahrens y y 0 x 0 x 2 x 4 x Lösung des Anfangswertproblems Approximation durch das explizite Euler-Verfahren

115 G. Matthies Ingenieurmathematik 115/152 Integrationsmethode Integriere Differentialgleichung über [x k, x k+1 ] y(x k+1 ) y(x k ) = xk+1 x k y (x) dx = xk+1 x k f ( x, y(x) ) dx Approximation des Integral liefert numerische Verfahren linksseitige Rechteckformel b a ϕ(x) dx = (b a)ϕ(a) y k+1 = y k + hf (x k, y k ) rechtsseitige Rechteckformel b a ϕ(x) dx = (b a)ϕ(b) y k+1 = y k + hf (x k+1, y k+1 ) Trapezformel b a y k+1 = y k + h 2 ( ϕ(a) + ϕ(b) ) b a ϕ(x) dx = 2 ( f (xk, y k ) + f (x k+1, y k+1 ) )

116 G. Matthies Ingenieurmathematik 116/152 Implizites Euler-Verfahren Gegeben: Stützstellen x k = x 0 + hk, k = 0, 1, 2,..., Startwert y 0 R Gesucht: Näherungen y k R für y(x k ), k = 0, 1, 2,... Implizites Euler-Verfahren: y k+1 = y k + hf (x k+1, y k+1 ), k = 0, 1, 2,... Bemerkung Zur Bestimmung von y k+1 muss beim impliziten Euler-Verfahren ein (nichtlineares) Gleichungssystem gelöst werden.

117 Illustration des impliziten Euler-Verfahrens y y 0 x 0 x 2 x 4 x Lösung des Anfangswertproblems Approximation durch das implizite Euler-Verfahren Approximation durch das explizite Euler-Verfahren G. Matthies Ingenieurmathematik 117/152

118 G. Matthies Ingenieurmathematik 118/152 Trapez-Verfahren Gegeben: Stützstellen x k = x 0 + hk, k = 0, 1, 2,..., Startwert y 0 R Gesucht: Näherungen y k R für y(x k ), k = 0, 1, 2,... Trapez-Verfahren y k+1 = y k + h 2 ( f (xk, y k ) + f (x k+1, y k+1 ) ), k = 0, 1, 2,... Bemerkung Zur Bestimmung von y k+1 muss beim Trapez-Verfahren ein (nichtlineares) Gleichungssystem gelöst werden.

119 Illustration des Trapez-Verfahrens y y 0 x 0 x 2 x 4 x Lösung des Anfangswertproblems Approximation durch das implizite Euler-Verfahren Approximation durch das explizite Euler-Verfahren Approximation durch das Trapez-Verfahren G. Matthies Ingenieurmathematik 119/152

120 G. Matthies Ingenieurmathematik 120/152 Einschritt-Verfahren Definition Ein numerisches Verfahren der Form y k+1 = y k + hφ(x k, y k, y k+1, h) heißt Einschritt-Verfahren. Hängt die Verfahrensfunktion Φ nicht von y k+1 ab, heißt das Verfahren explizit, sonst implizit. Explizites Euler-Verfahren: Φ(x k, y k, y k+1, h) = f (x k, y k ) Implizites Euler-Verfahren: Φ(x k, y k, y k+1, h) = f (x k + h, y k+1 ) Trapez-Verfahren: Φ(x k, y k, y k+1, h) = 1 ( f (xk, y k ) + f (x k + h, y k+1 ) ) 2

121 G. Matthies Ingenieurmathematik 121/152 Güte der Approximation Einschritt-Verfahren y k+1 = y k + hφ(x k, y k, y k+1, h) Fragen: Wie groß ist der Fehler durch die numerische Approximation? Wie verhält sich der Fehler als Funktion von h? Geht er gegen 0, wenn h 0? Wenn ja, wie schnell?

122 G. Matthies Ingenieurmathematik 122/152 Lokaler Diskretisierungsfehler Definition Unter dem lokalen Diskretisierungsfehler versteht man die Größe d k+1 := y(x k+1 ) ( y(x k ) + hφ(x k, y k, y k+1, h) ), also den Fehler, der durch Ausführung eines Schrittes des Verfahrens entsteht. y y(x) d k+1 x k x k+1 x

123 G. Matthies Ingenieurmathematik 123/152 Globaler Diskretisierungsfehler Definition Unter dem globalen Diskretisierungsfehler versteht man die Größe g k := y(x k ) y k, also den Fehler zwischen der tatsächlichen Lösung und der numerischen Approximation. y y(x) g k x 0 x 1 x k x