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1 Übungen Ingenieurmathematik 1. Übungsblatt: Komplexe Zahlen Aufgabe 1 Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil der folgenden komplexen Zahlen: a) z =(3+i)+(5 7i), b) z =(3 i)(5 7i), c) z =( 3+i)( 3+ 3 i), d) z =( i), e) z = 4, f) z = 7+i, g) z = (3 + i)(5 7i), h) z = 5 10i, 3+4i 5i i) z = 8 6i, j) z = 1 3+4i. Aufgabe Stellen Sie folgende komplexe Zahlen z in der Form x + iy, mit x, y R, dar und skizzieren sie diese jeweils: a) 1 5 4i, b) 1 i 1+i, c) 1 (1 i). 1

2 Aufgabe 3 Berechnen Sie die Polarkoordinaten der folgenden komplexen Zahlen und stellen Sie diese komplexen Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene dar: a) 4 i, b) 3 i, c) 5+4i, d) 3i, e) 3, f) 1 8 i, g) 3+4i, h) i(3 + i), i) 3 i i, 1 j) 3+4i, k) 1 1+i, l) 1+i 1 i, m) 1 i 1+i, n) (1 + i)4. Aufgabe 4 Stellen Sie die komplexen Zahlen z mit folgenden Eigenschaften in der Form z = x + iy, mit x, y R, dar: a) z =, arg(z) =π, b) z =, arg(z) = π 4, c) z =4, arg(z) = π 3. Aufgabe 5 Skizzieren Sie folgende Punktmengen: a) {z C 0 <Re(z) < }, b) {z C Im(z) =Re(z)}, c) {z C z < }, d) {z C arg(z) = π}, 3 e) {z C π 3 < arg(z) <π}, f) {z C π 3 < arg(z) <π, z =1}, g) {z C =1}, h) {z C z z 4}. z z

3 Aufgabe 6 Berechnen Sie folgende Potenzen: a) i 007, b) ( i) 1000, c) ( 1+ 3i) 1, d) ( 1 5 (1 i))5, e) ( 1 1 i) 1000, f) ( 1 3 i) 1. Aufgabe 7 Bestimmen Sie alle Lösungen von z 4 =8 (1 + i) in C und skizzieren Sie diese in der Gaußschen Zahlenebene. Aufgabe 8 Bestimmen Sie Realteil und Imaginärteil der folgenden komplexen Zahlen z und skizzieren Sie z in der Gaußschen Zahlenebene: a) i, b) 4 1+i, c) 5 3, 4 d) 3+ 7 i, e) 5 16(1 + 3 i), f) 8 1, 4 g) 3+ 7 i, h) 5 16( 1 3 i). Aufgabe 9 Bestimmen Sie das Polynom fünften Grades mit reellen Koeffizienten, p(z) =a 5 z 5 + a 4 z 4 + a 3 z 3 + a z + a 1 z + a 0, welches eine doppelte Nullstellen bei z =, einfache Nullstellen bei z =und z =3+i besitzt und der Bedingung p(3) = 3 genügt. Aufgabe 10 Berechnen Sie die Werte des Polynoms q(x) = x 3 +5x +8x 1 an den Stellen x = 1 und x =1mit Hilfe des Horner-Schemas und schreiben Sie das Polynom als Produkt von Linearfaktoren. 3

4 Aufgabe 11 Stellen Sie die Summe folgender harmonischer Schwingungen u i (t) in der Form u(t) =A sin(ωt + ϕ) dar. a) Gegeben sei u 1 (t) = sin(πt),u = sin(πt + 5π 6 ). b) Gegeben sei u 1 (t) = sin t, u (t) = cos t. Aufgabe 1 Sei f : C\{0} C, z z 1. Bestimmen Sie die Bilder f(m) der folgenden Punktmengen: a) M = {z =(1+i)t t R}, b) M = {z = i (1 + i)t t R}, c) M = {z C z (1 + i) =1}. 4

5 Aufgabe 13 Sei f : C\{0} C, z z 1. und L sei eine Kreislinie in C mit Mittelpunkt c C und Radius R>0. Zeigen Sie: a) Ist c =0, so ist f(l) die Kreislinie um 0 mit Radius R 1. b) Ist c = 0und R = c, so ist f(l). die Kreislinie um c R mit Radius c R c R. c) Ist c = 0und R = c, so ist f(l\{0}) eine Gerade durch (c) 1. Aufgabe 14 Bestimmen Sie folgende Punktmengen und skizzieren Sie diese: a) {z C z i = z + i }, b) {z C z + i }. 5

6 Übungen Ingenieurmathematik. Übungsblatt: Folgen und Reihen Aufgabe 1 Untersuchen Sie die Folgen (x n ) n N auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den jeweiligen Grenzwert: a) x n = 5n +3n 4 n 3 +1, b) x n = 1+( 1)n c) x n = n((1 + 1 n ) 1), d) x n = n3 +3 n +1 n5 +3n n 3 + n +1, e) x n = ( 1)n+1 n n ( 1) n+1 + n, f) x n = (1 1 ), mit n. k Aufgabe Bestimmen Sie mit Hilfe der Grenzwertregeln die folgenden Grenzwerte a) lim n ( d) lim n ( 4n + 5n 1 )(3 + 3 n n Hinweis zu e): Es gilt lim (1 + 1 n n )n = e. k= ), b) lim n 5n (5+3n n 1), e) lim n ( n )n., ), c) lim n n( n +1 n), Aufgabe 3 Sei q R mit q < 1. Ferner sei r R. Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge (n r q n ) n N. 1

7 Aufgabe 4 Sei a {x R x>0}. Berechnen Sie folgende Grenzwerte a) lim n n n, b) lim n n n. Aufgabe 5 Zeigen Sie, dass die Folge (x n ) n N mit x n = 1 n + 1 n n gegen einen Grenzwert im Intervall [ 1, 1] konvergiert. Aufgabe 6 Geben Sie Beispiele für Nullfolgen (a n ) n N und (b n ) n N an, so dass a n a) lim = c, wobei c R, n b n b) lim ( a n ) n N beschränkt, aber nicht konvergent ist. n b n Aufgabe 7 Sei d>1. Bestimmen Sie den Grenzwert der rekursiv definierte Folge a 0 =0,a n+1 = 1 d (a n +1)fürn 0. Aufgaben 8 Es sei (a n ) n 0 die Folge der Fibonacci-Zahlen. Es gilt daher a 0 =1,a 1 =1 und a n = a n 1 + a n für n. Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass a n n für alle n 0.

8 Aufgabe 9 Berechnen Sie folgende Summen a) ( 1 8 )n 1, b) 4( 5 )n 1, c) ( 3 10 )n 1. Aufgabe 10 Sei a {x R x>0} und k N. Stellen Sie fest, ob die folgenden Reihen konvergieren, falls a) x n =( 1) n n n +1, b) x n = n +4 n 3, c) x n = 10n 1 (n 1)!, d) x n = 1 n, e) x n n = n 1, f) x n n = 1, n 1 g) x n = nk n, wobei a>1, h) x n =( 1) n a n n +1, i) x n =( 1) n (1 n a), 1 j) x n = 10 n +1, k) x n+1 n n =( 1) n, l) x n =( 1) n 1 1 n 1, m) x n =( 1) n+1 1 n, n) x n = n( + sin n) n4 +1. x n Aufgabe 11 Welche der folgenden Aussagen ist richtig, welche falsch? a) Wenn (a n ) n N eine monoton fallende Nullfolge ist, dann ist die Reihe a n konvergent. b) Wenn (a n ) n N keine Nullfolge ist, dann ist die Reihe a n divergent. c) Wenn die Folge der Partialsummen ( n a k ) n N beschränkt ist, dann ist sie auch konvergent. k=1 d) Wenn die Folge der Partialsummen ( n a k ) n N unbeschränkt ist, dann ist sie auch divergent. k=1 e) Wenn lim a n+1 =1ist, dann ist die Reihe n a n 3 a n konvergent.

9 f) Wenn die Reihe a n absolut konvergiert, dann konvergiert auch ( 1) n a n absolut. Aufgabe 1 Bestimmen Sie den Konvergenzbereich und Konvergenzradius der Potenzreihen a) f n (x) =nx n, b) f n (x) =( 1) n xn n, c) f n (x) = xn n, d) f n(x) = n n +1 xn, d) f n (x) =( 1) n 1 x (n 1). f n (x) mit Aufgabe 13 Bestimmen Sie die Taylor-Reihe für a) die Funktion f : R R, x exp( x ), mit Entwicklungspunkt x 0 =, b) f : R R, x x 3 6x +3, mit Entwicklungspunkt x 0 =, c) die Funktion f : R R, x cosh x, mit Entwicklungspunkt x 0 =0, d) die Funktion f : R R, x ln x, mit Entwicklungspunkt x 0 =. 4

10 Aufgabe 14 Bestimmen Sie das Taylor-Polynom neunter Ordnung für f : R R, x 1 1 x 3, zum Entwicklungspunkt x 0 =0und vergleichen Sie den damit erhaltenen Näherungswert für f(x =0, ) mit dem exakten Wert. 5

11 Übungen Ingenieurmathematik 3. Übungsblatt: Differentialrechnung im R, Teil I Aufgabe 1 Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich D R der Funktionen f : D R, (x, y) f(x, y) mit a) f(x, y) = y x, b) f(x, y) = (x 1)(9 y ), c) f(x, y) = d) f(x, y) = x + y 1, e) f(x, y) = x y. x + y x y, und skizzieren Sie jeweils die Punktmenge D. Aufgabe Beschreiben Sie die Höhenlinien folgender Funktionen f : R R, (x, y) f(x, y) jeweils als Kurven, die sich als Kegelschnitte definieren lassen. Es sei a) f(x, y) =x + y +1, b) f(x, y) =x y, c) f(x, y) =xy, d) f(x, y) =x x +1+y. Aufgabe 3 Berechnen Sie die partiellen Ableitungen erster Ordnung folgender Funktionen mit f : D R, (x, y) f(x, y) a) f(x, y) =x + xy y +x, b) f(x, y) =(3x 4y) 4, c) f(x, y) =arctan x y, d) f(x, y) = x + y x + y, e) f(x, y) = exp(xy). 1

12 Aufgabe 4 Bestimmen Sie die Parameterdarstellung der Tangentialebene folgender Funktionen f : R R, (x, y) f(x, y) jeweils im angegebenen Punkt P (x, y). Es sei a) f(x, y) =x + xy y +x, P (1, 1), b) f(x, y) =(x + y ) exp( x), P (0, 1), c) f(x, y) = sin(x + y), P (π, π) d) f(x, y) = sin x sin y, P (π, 0). Aufgabe 5 Die Vermessung eines Dreiecks ergab für die Grundseite c und die beiden anliegenden Winkel folgende Werte c =(10± 0, 1) m, α= π 4 ± 0, 005 und β = π 4 ± 0, 00. Berechnen Sie den maximalen absoluten und relativen Fehler für die Dreiecksfläche A mittels A = c sin α sin β sin(α + β).

13 Übungen Ingenieurmathematik 4. Übungsblatt: zur Wiederholung Aufgabe 1 Berechnen Sie die folgenden Potenzen: a) (1 i) 5, b) (1 + i) 8, c) (1 + 3 i) 4, b) ( 1 5 (1 + i)) 5. Aufgabe Bestimmen Sie alle Lösungen der folgenden Gleichungen in C und skizzieren Sie diese in der Gaußsche Zahlenebene: a) z 4 = 1, b) z 3 = 1 3 i, c) z 4 +z = 4, b) z 5 =3i. Aufgabe 3 Skizzieren Sie die Menge {z C 1 Imz 1, z =3und π arg z π} in der Gaußschen Zahlenebene. Aufgabe 4 Bestimmen Sie folgende Punktmenge und skizzieren Sie diese: {z C z 3 z +3 =}. 1

14 Aufgabe 5 Gegeben sei u 1 (t) = sin t, u (t) = sin(t + π 3 ),u 3(t) = sin(t + 4π 3 ). a) Stellen Sie die Summen z 1 (t) =u 1 (t)+u (t) und z (t) =u 1 (t)+u (t)+u 3 (t) für t =0im Zeigerdiagramm dar. b) Stellen Sie z 1 (t) und z (t) in der Form z = A exp(i(t + ϕ)), mit A R, dar. Aufgabe 6 Sei f : C\{0} C, z z 1. Bestimmen Sie die Bilder f(m) der folgenden Punktmengen: a) M = {z =(1 i)t t R}, b) M = {z = i +(1+i)t t R}, c) M = {z C z +1+i =1}. Aufgabe 7 Stellen Sie fest, ob die folgenden Reihen x n konvergieren, falls a) x n = 1 n, b) x n = n +1 n 3, c) x n = n +1 n 3 +1, d) x n =( 1) n 1 1 n, e) x n =( 1) n 1 1 3n 1.

15 Aufgabe 8 Bestimmen Sie den Konvergenzbereich und Konvergenzradius der Potenzreihe n+1 xn f n (x) =( 1) n. Aufgabe 9 Bestimmen Sie die Taylor-Reihe für die Funktion f : R R, x cos(x), mit Entwicklungspunkt x 0 = π. Aufgabe 10 Das Taylor-Polynom dritter Ordnung einer Funktion f zum Entwicklungspunkt x 0 = 1 sei T 3 (x) =3+4(x +1) (x +1) 3. Bestimmen Sie f( 1), f ( 1), f ( 1) und f ( 1). Aufgabe 11 Geben Sie die Tangentialebene der Funktion f : R R, (x, y) exp(x y) im Punkt P (, 1 ) in der Parameterdarstellung an. 3

16 Aufgabe 1 Eine Ebene E R ist durch die Gleichung gegeben. z(x, y) =x +y 5 a) Wie müssen die Parameter α, β, γ R von f(x, y) =αx + βy + γ gewählt werden, damit E die Tangentialebene des Graphen von f im Punkte P (1, 3) ist? b) Bestimmen Sie die Höhenlinien und skizzieren Sie diese für f, mit den Parametern α, β, γ Aufgabe 13 aus Aufgabenteil a), zum Niveau 9. Die Vermessung eines Dreiecks ergab für die Seiten x und y die Werte x =(150± 0, ) m, y =(00± 0, ) m und für den eingeschlossenen Winkel α =60 ± 1. Berechnen Sie den maximalen absoluten und relativen Fehler für die Dreiecksfläche A mittels A = 1 xy sin α. 4

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