Lösung Test 1 (Nachprüfung)
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- Alexa Irma Beyer
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1 MLAE Mathematik: Lineare Algebra für Ingenieure Frühlingssemester 6 Dr. Christoph Kirsch ZHAW Winterthur Lösung Test (Nachprüfung Aufgabe : a Gemäss den Algorithmen im Kap.. der Vorlesung bringen wir die Matrix (A I R (4+ auf ihre reduzierte Zeilenstufenform: (A I = ( = (à E wobei wir die Nummer auf dem Zusatzblatt verwendet haben. Jetzt geben wir Basen der vier fundamentalen durch die Matrix A induzierten linearen Unterräume von R bzw. R 4 an: ZR(A: Die Nichtnullzeilen von à bilden eine Basis von ZR(A R4. Wir schreiben sie als Spaltenvektoren:. ( SR(A: Die ersten Spalten von à enthalten Leitkoeffizienten also bilden die ersten drei Spalten von A eine Basis von SR(A R : 4. ( 4 NR(A: Es gilt r := rang(ã =. Wir fügen zu à n r = 4 = Nullzeile hinzu und schreiben an diejenigen Stellen der Hauptdiagonale bei denen noch keine steht: à = 7 8 Daher bildet die Menge eine Basis von NR(A R (4 (
2 Aufgabe : LNR(A: Die Zeilen von E die hinter den Nullzeilen von à stehen bilden eine Basis von LNR(A. Hier hat à keine Nullzeilen also bildet die leere Menge eine Basis von LNR(A R. b Wie in a bringen wir jetzt die Matrix (B I R (+ auf ihre reduzierte Zeilenstufenform: (B I = (6 = ( B E wobei wir die Nummer 7 auf dem Zusatzblatt verwendet haben. ZR(B: Die Nichtnullzeilen von B bilden eine Basis von ZR(B R. Also ist die Menge (7 4 6 eine Basis von ZR(A. SR(B: Die ersten beiden Spalten von B enthalten Leitkoeffizienten also bilden die ersten beiden Spalten von B eine Basis von SR(B R :. (8 NR(B: Es gilt r := rang( B =. Wir schreiben an diejenige Stelle der Hauptdiagonale von B wo noch keine steht und wir erhalten die Basis 4 6 ( von NR(B R. LNR(B: Die Zeilen von E hinter den Nullzeilen von B bilden eine Basis von LNR(B R. Hier gibt es eine solche Zeile die wir als Spaltenvektor schreiben. Die Menge ( ist also eine Basis von LNR(B. a Es gilt A = L(A; b R mit ( 4 A := R b := 4 ( R. (
3 Wir bestimmen die Lösungsmenge dieses linearen Gleichungssystems wie in MLAE Kap..6: ( ( 4 4 ( wobei wir die Nummer auf dem Zusatzblatt verwendet haben. Jetzt fügen wir eine Nullzeile unten an und schreiben auf die Hauptdiagonale: ( Wir erhalten also A = Die Menge + λ. ( λ R R. (4 ( bildet also eine Basis des dem affinen Unterraum A zugeordneten linearen Unterraums U A. b Aus (4 erhalten wir auch gleich einen Stützvektor von A: A. (6 c In a hatten wir eine Basis von U A mit einem Element gefunden also gilt dim R (U A =. Damit ist A eine (affine Gerade im R gemäss Def. der Vorlesung. A U A Stuetzvektor aus b. z x - y
4 Aufgabe : a Wir schreiben die Vektoren des Erzeugendensystems von U in die Matrix U := R4 ( 4 dann gilt U = SR(U. Wir bestimmen eine Basis dieses Spaltenraums indem wir die Matrix U auf ihre reduzierte Zeilenstufenform bringen: =: Ũ (8 4 wobei wir die Nummer 4 auf dem Zusatzblatt verwendet haben. Die erste und die dritte Spalte von Ũ enthalten Leitkoeffizienten also ist die Menge {u u } := ( eine Basis von SR(U = U R 4. b Wir schreiben W := NR(W mit der Matrix W := 6 4 R 4. ( Wir bestimmen eine Basis dieses Nullraums mit dem Algorithmus aus Kap... der Vorlesung. Dazu bringen wir die Matrix W auf ihre reduzierte Zeilenstufenform: =: W 7 ( 7 wobei wir die Nummer auf dem Zusatzblatt verwendet haben. Wir erhalten die Basis {w} R 4 w := ( ( von W. Es gilt also W = span({w} = {λ w λ R}. Wir zeigen zuerst dass w U gilt indem wir das folgende lineare Gleichungssystem lösen: ( ( 7 λ u u = w λ (
5 Aufgabe 4 : wobei wir die Nummer auf dem Zusatzblatt verwendet haben. Es gilt also w = 7 u + 7 u U. (4 Weil U als linearer Unterraum gemäss Satz der Vorlesung ein Vektorraum ist gilt dann auch λ w U λ R und damit W = {λ w λ R} U. Wir wählen die Basis {( ( B := ( ( ( ( ( des R und wir erhalten die zugehörige Koordinatenabbildung a ( a Φ B : R R 6 a a a a a a a a. (6 a a Damit gilt Ũ := {Φ B (U U U} = u u = u u 4 R 6 u u 6 a b a c b c u = u u = u u 4 = u 6 u u = u + u 4 = R 6 a b = b + c = = NR a Als Nullraum einer Matrix ist Ũ R6 ein linearer Unterraum von R 6 und damit ist U R ein linearer Unterraum von R (ohne Beweis. b Wir bestimmen eine Basis dieses Nullraums mit dem Algorithmus aus Kap... der Vorlesung. Dazu bringen wir die Matrix auf ihre reduzierte Zeilenstufenform (Nummer 6 auf dem Zusatzblatt:. (8 (7. }
6 { ( } Wir erhalten die Basis Ũ von Ũ und damit durch Anwenden der Umkehrabbildung Φ B die Basis {( } U von U. ( Jede Matrix in U lässt sich schreiben als ( ( a b a a = a a c b c a a a = a ( ( für jedes a R denn die Einträge einer solchen Matrix erfüllen b = a und c = b = a. 6
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