5 Kongruenzrechnung. Definition. Zwei Zahlen heißen kongruent modulo m, wenn sie bei der Division durch m den gleichen Rest lassen.

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1 5 Kongruenzrechnung Sei m > 0 fest vorgegeben Nach wissen wir: Jede Zahl a läßt sich auf eindeutige Weise durch m mit Rest dividieren, dh: Es gibt genau ein Zahlenpaar q, r mit der Eigenschaft ( ) a = qm + r, 0 r < m Definition Zwei Zahlen heißen kongruent modulo m, wenn sie bei der Division durch m den gleichen Rest lassen Schreibe für a ist kongruent zu b modulo m kurz a b mod m Wenn klar ist, welches m gemeint ist auch: a b a b mod m bedeutet, daß a und b nicht kongruent modulo m (oder inkongruent modulo m ) sind Offenbar gilt 51 Bemerkung Kongruenz modulo m ist eine Äquivalenzrelation, dh (a) a a mod m (Reflexivität) (b) a b mod m = b a mod m (Symmetrie) (c) a b mod m und b c mod m = a c mod m (Transitivität) 5 Bemerkung Genau dann ist a b mod m, wenn m ein Teiler von a b ist Beweis Sei a qm + r, 0 r < m a b mod m = b = q m + r = a b = (q q )m = m a b m a b = a b = v m = b = a vm = (q v)m + r = a b mod m Die möglichen Divisionsreste modulo m sind die m Zahlen 0, 1,, m 1 Wir können also die ganzen Zahlen nach ihren Divisionsresten in m Klassen einteilen: Definition Die Restklasse von a modulo m besteht aus allen Zahlen, welche modulo m den gleichen Divisionsrest haben wie a Demnach gibt es 1

2 genau m verschiedene Restklassen modulo m und verschiedene Klassen haben keine Elemente gemeinsam Rest 0 haben : 0, ±m, ±m, ±3m, Rest 1 haben : 1, 1 ± m, 1 ± m, 1 ± 3m, Rest r haben : r, r ± m, r ± m, r ± 3m, (für 0 r < m) Rest m 1 haben : m 1, m 1 ± m, m 1 ± m, m 1 ± 3m, Zahlenbeispiele m = Rest 0 mod : 0, ±, ±4, haben die geraden Zahlen Rest 1 mod : 1, 1 ±, 1 ± 4, haben die ungeraden Zahlen m = 7 : Identifiziere Z mit den Tagen von Ewigkeit zu Ewigkeit, genauer von bis +, wobei 0 mit dem Tag der Geburt Christi gleichgesetzt wird n > 0 : n = n ter Tag nach Christi Geburt n = n ter Tag vor Christi Geburt Wir nehmen an: 0 war ein Sonntag (so genau weiß das niemand) 7, 14, 1, Restklasse von 0 mod 7: Sonntage 0 +7, +14, +1, { 1, 8, 15,, Restklasse von 1 mod 7: Montage 6, 13, 0, 7, Restklasse von 6 mod 7: Samstage { 6, 13, 0, 1, 8, 15, Definitionsgemäß gehören a und b zur gleichen Restklasse modulo m wenn a b mod m Man spricht daher auch von Kongruenzklassen modulo m anstelle von Restklassen modulo m Nach 5 gilt: a b mod m m a b, dh Es gibt ein q Z mit b = a + qm Damit gilt 53 Bemerkung Die Restklasse von a modulo m ist die Menge {a + mq q Z}

3 Schreibe dafür auch a + mz oder a + (m) Wir haben gesehen: (1) Es gibt genau m verschiedene Restklassen modulo m () Jede Zahl gehört zu genau einer Restklasse modulo m Die Aussagen (1) und () zusammengenommen kann man auch so ausdrücken: Die Menge aller ganzen Zahlen ist die disjunkte Vereinigung der verschiedenen Restklassen modulo m Definition Eine Menge von Zahlen a 1,, a m heißt vollständiges Repräsentantensystem (Restsystem) modulo m, wenn a 1 +(m), a +(m),, a m + (m) gerade die m verschiedenen Restklassen modulo m sind, dh wenn a i a j mod m, falls i j Beispiel 0, 1,,, m 1 ist ein vollständiges Repräsentantensystem modulo m (Diese Zahlen sind selbst Divisionsreste und voneinander verschieden) 54 Satz (a) Ist a 1,, a m ein vollständiges Restsystem modulo m, so gilt dies auch für a 1 + c,, a m + c(c Z) Insbesondere gilt nach dem Beispiel: Je m aufeinander folgende Zahlen bilden ein vollständiges Restsystem modulo m Ein solches System mit dem Betrag nach möglichst kleinen Elementen ist die Menge der ganzen Zahlen größer als m und kleiner oder gleich + m Für ungerades m sind dies die Zahlen m 1, m 1 m 1 + 1,, 1, 0, 1,, und für gerades m die Zahlen m + 1, m +,, 1, 0, 1,, m m = 7 : 3,, 1, 0, 1,, 3 m = 8 : 3,, 1, 0, 1,, 3, 4 (b) Ist a 1,, a m ein vollständiges Restsystem modulo m und ist (k, m) = 1, so ist auch a 1 k, a k,, a m k ein vollständiges Restsystem modulo m 3

4 Beweis (a) Für i j ist a i a j mod m, also m (a i a j ) = (a i + c) (a j + c) 5 = (a i + c) (a j + c) mod m (b) a i k a j k mod m = m (a i k a j k) = (a i a j )k, also m (a i a j )k und (m, k) = 1 Nach 8 h gilt daher m (a i a j ) dh a i a j mod m Nach Voraussetzung ist dann i = j Im folgenden sei m > 0 fest vorgegeben, und a b bedeute immer a b mod m Es soll gezeigt werden, daß man mit wie mit einem Gleichheitszeichen umgehen darf 55 Satz (a) a b = a ± c b ± c (b) a b = ac bc (c) a b = a n b n für alle n N (d) Ist f(x) = c 0 + c 1 x + + c n x n eine Polynomfunktion in der Variablen x, so folgt aus a b schon f(a) f(b) Beweis (a) a b = m (a b) = (a + ( ) c) (b + ( ) c) = a + ( ) c b + ( ) c (b) a b = m a b = m (a b)c = ac bc = ac bc (c) (Induktion nach n) n = 0 : a 0 = 1 1 = b 0 Induktionsannahme Sei n 1 und a n 1 b n 1 schon bewiesen Mit (b) folgt a n = a n 1 a (b) a n 1 b b n 1 b = b n (d) Sei a b Nach (b) und (c) gilt: c ν a ν c ν b ν, ν = 0,, n Induktion nach n n = 0 : f(x) = c 0 für alle x = f(a) = c 0 = f(b) Sei n 1 und c 0 + c 1 a + + c n 1 a n 1 c 0 + c 1 b + + c n 1 b n 1 schon gezeigt Nach (a) gilt dann f(a) = (c 0 + c 1 a + + c n 1 a n 1 ) + c n a n (c 0 + c 1 b + + c n 1 b n 1 ) +c n a n (c 0 + c 1 b + + c n 1 b n 1 ) + c n b n = f(b) 4

5 56 Satz Sei c > 0 und a, b beliebig (a) ac bc mod m und (c, m) = 1 = a b mod m (b) a b mod m ac bc mod cm (c) a b mod m, n m und n > 0 = a b mod n (d) a b mod m = (a, m) = (b, m) Beweis (a) m (ac bc) = (a b)c und (c, m) = 1 8 = m a b = a b mod m (b) m (a b) cm c(a b) = ac bc ac bc mod cm (c) m (a b) und n m = n (a b) = a b mod n (d) b = a + mq 8(f) = (b, m) = (a + mq, m) = (a, m) Beispiel für die Anwendung der Kongruenzrechnung Behauptung ist durch 641 teilbar und somit keine Primzahl Beweis 641 = = = mod 641 } = = (5 7 ) 4 ( 1) 4 = 1 mod = = = = mod = ( 4 ) mod 641 = Fermat glaubte noch, daß alle Zahlen der Form F n = n + 1 Primzahlen sind Dies ist auch für n = 0, 1,, 3, 4 richtig: F 0 = = 3, F 1 = + 1 = 5, F = = 17, F 3 = = 57, F 4 = = 65537, aber 641 ( 3 + 1) = F 5 Fermat hatte Unrecht Bis heute sind keine weiteren Fermatschen Primzahlen bekannt 5