Kongruenzen und Restklassenringe. 2. Kongruenzen und Restklassenringe

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1 2. Kongruenzen und Restklassenringe

2 Kongruenzen Definition: Wir sagen a ist kongruent zu b modulo m schreiben a b mod m, wenn m die Differenz b-a te Beispiel: Es gilt 2 19 mod 21, 10 0 mod 2. Reflexivität: jede ganze Zahl zu sich selbst kongruen modulo m. Symmetrie: aus a b mod m folgt, dass auch b a Transitivität: aus a b mod m und b c mod m fo auch a c mod m gilt.

3 Kongruenzen Folgende Aussagen sind äquivalent. 1. a b mod m. 2. a=b+km mit k Z. 3. a und b lassen bei der Division durch m denselben R Die Äquivalenzklasse von a besteht aus allen ganzen Zah sich aus a durch Addition ganzzahliger Vielfacher von m sie ist also {b : b amodm} = a + mz. Man nennt sie R von a mod m. Beispiel: 0 mod m ist die Menge aller geraden ganzen Za mod 2 ist die Menge aller ungeraden ganzen Zahlen.

4 Kongruenzen Die Menge aller Restklassen mod m wird mit Z/mZ bez hat m Elemente, weil genau die Reste 0,1,2,...,m-1 bei d durch m auftreten. Ein Vertretersystem für diese Äquivalenzrelation ist eine Menge ganzer Zahlen, die au Restklasse mod m genau ein Element enthält. Jedes solc Vertretersystem heißt volles Restsystem mod m. Kleinste nicht negative Reste mod m sind z.b. die E der Menge {0,1,...,m-1}. Kleinste positive Reste mod m heißen die Elemente {1,2,...,m}. Die absolut kleinsten Reste mod m sind {n+1,n+2,. mit n= m/2.

5 Halbgruppen Definition: Ist X eine Menge, so heißt eine Abbildun : X X X, die jedem Paar (x 1, x 2 ) von Elemen ein Element x 1 x 2 zuordnet, eine innere Verknüpfu Beispiel: Auf der Menge der reellen Zahlen kennen w die inneren Verknüpfungen Addition und Multiplika Definition: Die Summe der Restklassen a + mz und (a + mz) + (b + mz) = (a + b) + mz. Das Produkt (a + mz) (b + mz) = (a b) + mz.

6 Halbgruppen Definition: Sei eine innere Verknüpfung auf der M heißt assoziativ, wenn (a b) c = a (b c) gilt für a, b, c X. Sie heißt kommutativ, wenn a b = b a a, b X. Definition: Ein Paar (H, ), bestehend aus einer nich Menge H und einer assoziativen inneren Verknüpfun heißt eine Halbgruppe. Die Halbgruppe heißt komm abelsch, wenn die innere Verknüpfung kommutativ Kommutative Halbgruppen sind (Z, +), (Z, ), (Z/m (Z/mZ, ).

7 Halbgruppen Definition: Das neutrale Element der Halbgruppe (H Element e H, das e a = a e = a erfüllt für alle Enthält die Halbgruppe ein neutrales Element, so he Monoid. Definition: Ist e das neutrale Element der Halbgrupp und ist a H, so heißt b H Inverses von a, wenn a b = b a = e gilt. Besitzt a ein Inverses, so heißt invertierbar in der Halbgruppe. In Monoiden besitzt jedes Element höchstens ein Inv

8 Gruppen Definition: Eine Gruppe ist eine Halbgruppe, die ein Element besitzt und in der jedes Element invertierb Gruppe heißt kommutativ oder abelsch, wenn die H kommutativ ist. Theorem. Sei (G, ) eine Gruppe und a, b, c G. Aus folgt a=b und aus ac=bc folgt a=b. Definition: Die Ordnung einer Gruppe oder Halbgru Anzahl ihrer Elemente. Beispiel: Die additive Gruppe Z hat unendliche Ord additive Gruppe Z/mZ hat die Ordnung m.

9 Restklassenringe Definition: Ein Ring ist ein Tripel (R, +, ), für das ( abelsche Gruppe und (R, ) eine Halbgruppe ist, und zusätzlich die Distributivgesetze x (y + z) = (x y) und (x + y) z = (x z) + (y z) für alle gelten. Der kommutativ, wenn die Halbgruppe (R, ) kommutati Einselement des Ringes ist ein neutrales Element de Halbgruppe (R, ). (Z/mZ, +, ) ist ein kommutativer Ring mit Einselem 1 + mz, der Restklassenring modulo m heißt. Ein Nullteiler ist ein Element a, wenn a, b 0 R u oder ba=0 gilt.

10 Körper Definition: Ein Körper ist ein kommutativer Ring m Einselement, in dem jedes von Null verschiedene Ele invertierbar ist. Beispiel: Die Menge der ganzen Zahlen ist kein Körp einzigen invertierbaren ganzen Zahlen 1 und -1 sind. im Körper der rationalen Zahlen enthalten. Auch di und komplexen Zahlen bilden Körper. Der Restklass Z/mZ ist genau dann ein Körper, wenn m eine Prim

11 Division im Restklassenring Teilbarkeit in Ringen ist definiert wie Teilbarkeit in ein Ring und seien a, n R. Definition: Man sagt a teilt n wenn es b R gibt mi Die Restklasse a + mz ist genau dann in Z/mZ inve wenn die Kongruenz ax 1 mod m lösbar ist. Dies dann der Fall, wenn ggt(a,m)=1. Eine Restklasse a + mz mit ggt(a,m)=1 heißt prim Restklasse modulo m.

12 Division im Restklassenring Hinzu kommt noch der Restklassenkörper modulo e Primzahl, der in der sehr oft benutzt w Theorem: Der Restklassenring Z/mZ ist genau dann Körper, wenn m eine Primzahl ist. Beweis.: Z/mZ ist genau dann ein Körper, wenn ggt gilt für alle k mit 1 k < m. Dies ist genau dann de wenn m eine Primzahl ist.

13 Rechenzeit für die Operationen im Restklassenri Public-Key- nutzt intensiv Rechnungen Restklassenring, muss allerdings oft auf Chipkarten werden. Angenommen, die Restklassen modulo m werden du kleinsten nicht negativen Vertreter dargestellt. Dann die Addition und Subtraktion zweier Restklassen Ze m) und die Multiplikation ( und Division zweier Restk kostet Zeit O (sizem) 2). Alle Operationen brauche Speicherplatz O(size m).

14 Prime Restklassengruppen Von fundamentaler Bedeutung für die ist f Ergebnis. Theorem: Die Menge aller primen Restklassen modu eine endliche abelsche Gruppe bezüglich der Multipl Die Gruppe der primen Restklassen modulo m heißt prim Restklassengruppe modulo m und wird mit (Z/mZ)* be Ihre Ordnung bezeichnet man mit ϕ (m). Man beachte, die Anzahl der Zahlen a in {1, 2,..., m} ist, mit ggt(a,m Innsbesondere ist ϕ (1) = 1. Beispiel: (Z/12Z)* = {1 + 12Z, Z, Z, 11 die prime Restklassengruppe mod 12. Also ist ϕ (12)

15 Prime Restklassengruppen Einige Werte der Eulerschen ϕ-funktion findet man in d folgenden Tabelle. m ϕ (m) Man sieht: Falls p eine Primzahl ist, gilt ϕ (p) = p

16 Ordnung von Gruppenelementen G sei eine Gruppe, die multiplikativ geschrieben ist, mit Element 1. Definition: Sei g G. Wenn es eine natürliche Zahl g e = 1, dann heißt die kleinste solche Zahl Ordnung Andernfalls ist die Ordnung unendlich. Die Ordnung von g in G wird mit order G g bezeichn Theorem: Sei g G und e Z. Dann gilt g e = 1 gen wenn e durch die Ordnung von g in G teilbar ist. Theorem: Ist g G von endlicher Ordnung e und ist ganze Zahl, so ist order g n = e/ggt (e, n).

17 Untergruppen Definition: Eine Teilmenge U von Gruppe G heißt U von G, wenn U mit der Verknüpfung von G selbst e ist. Beispiel: Für jedes g G bildet die Menge { g k : k Untergruppe von G. Sie heißt die von g erzeugte Un und wir schreiben g für diese Untergruppe. Definition: Wenn G = g für ein g G ist, so heißt und g heißt Erzeuger von G. G ist dann die von g er Gruppe. Theorem: Ist G endlich und zyklisch, so hat G gena Erzeuger und die haben alle die Ordnung G.

18 Untergruppen Definition: Eine Abbildung f : X Y heißt injekti f(x)=f(y) immer x=y folgt. Zwei verschiedene Eleme können also nie die gleichen Funktionswerte haben. Definition: Die Abbildung heißt surjektiv, wenn es Element y Y ein Element x X gibt mit f(x)=y. Definition: Die Abbildung heißt bijektiv, wenn sie s injektiv als auch surjektiv ist. Definition: Ist H eine Untergruppe von G so heißt d natürliche Zahl G / H der Index von H in G.

19 Polynome Es sei R ein kommutativer Ring mit Einselement 1 Polynom in einer Variablen über R ist ein Ausdruck f(x)=a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, wobei x die und die Koeffizienten a 0,..., a n zu R gehören. Die M Polynome über R in der Variablen x wird mit R[x] b Sei a n 0. Dann heißt n der Grad des Polynoms. M n=deg f. Außerdem heißt a n der Leitkoeffizient oder Koeffizient von f. Sind alle Koeffizienten außer dem Koeffizienten 0, so heißt f Monom. Ist r R so heißt f(r)=a n r n a 0 der Wert von Stelle r. Ist f(r)=0 so heißt r Nullstelle von f.

20 Polynome Sei g(x)=b mx m b 0 ein anderes Polynom ü gelte n m. Indem man die fehlenden Koeffizienten setzt, kann man g(x)=b nx n b 0 schreiben. Die Summe der Polynome f und g ist (f+g)(x)= (a n... + (a 0 + b 0 ). Das Produkt der Polynome f und g ist (fg)(x)=c n+m x n+m c 0 wobei c k = k i=0 a ib k 0 k n + m ist.

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