7. Kongruenzrechnung Definition: Proposition: Korollar: Beispiel: b ( a kongruent b modulo n ) auf Z, definiert durch:

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1 7. Kongruenzrechnung Definition: Für n N sei die Relation: n a n b ( a kongruent b modulo n ) auf Z, definiert durch: a n b : n ( a b) a b ( mod n) Dies ist eine Äquivalenzrelation auf Z. Die Menge der Äquivalenzklassen wird mit Z/nZ, Z/( n) oder Z/n bezeichnet, die Klasse von a Z mit ā. Ist n > 1, so ist Z/n mit den Verknüfungen ā + b ā b ( a + b) ( a b) ein Ring. 7.. Proosition: Sei a Z mit Klasse ā Z/n ( n > 1 ). Es gilt: ā ist invertierbar im Ring Z/n ( a, n) = 1 ā x = 1 a x 1 ( mod n) y Z: a x + n y 1 ( a, n) = 1 ( a, n) = 1 x, y Z: a x + n y = 1 in Z / n ā x = Korollar: Für n N, n > 1 gilt: n P Z/n ist Körer Beisiel: n = = 1 7 P Inversen: 1

2 x x Definition: Für n N sei ϕ( n) definiert durch ϕ( n) = 1, n = 1 #( ( Z/n) ), n > 1 #( ( Z/n) ) = # i N i < n, ( i, n) 1 ϕ: N N heißt Euler sche ϕ-funktion. Bemerkung: i. Ist G zyklische Grue mit n Elementen, so besitzt G genau ϕ( n) viele Erzeuger. ii. ϕ( ) = 1 ( = #( ( Z/ Z) ) = #( ( Z/ Z) \ 0 ) ), falls P Satz ( Euler-Fermat) : Für a Z, 1 < n N mit ( a, n) 1 gilt: a ϕ( n) 1 ( mod n) Insbesondere: Ist n = P, so ist a 1 1 ( mod ). In einer endlichen Grue G der Ordung k gilt: x k = 1 x G. Wende dies an für ā ( Z/n). Dann ā ϕ( n) = 1 in ( Z/n), d. h. a ϕ( n) 1 ( mod n) Beisiele: i. = 1 7, a = 5, = ( mod 1 7) ii. n = 1, ϕ( 1 ) = # 1, 5, 7, 1 1 = 4, a = 7, ( mod 1 ) Satz: Seien m, n N, m, n > 1, A = a, B = b ein Reräsentantensystem für Z/n, Z/m.

3 Dann gelten: i. Die Elemente a m + b n ( a A, b B) sind alle verschieden und bilden ein Reräsentantensystem für Z/m n. ii. a m + b n ist invertierbar ( mod m n) a invertierbar mod n b invertierbar mod m ( a, n) = 1 ( b, m) = 1 i. a m + b n a m + b n ( mod m n) a m a m ( mod n). Aus ( m, n) = 1 folgt die Existenz von m Z mit m m 1 ( mod n). Dann ist m a m m a m ( mod n) a a ( mod n) a = a. m m 1 a, a A n Entsrechend schließen wir b = b. Da es genau m n Paare ( a, b) mit a A, b B gibt, ist a m + b n a A, b B ein Reräsentantensystem für Z/m n. ii. ( a m + b n, m n) = ( a m + b n, m) = 1 ( a m + b n, n) = 1 ( b n, m) = 1 ( a m, n) = ( m, n) 1 ( b, m) = 1 ( a, n) = Definition: Eine Abbildung α: N C heißt schwach multilikativ, falls gilt: α( m n) = α( m) α( n), falls ( m, n) = 1 α( 1 ) = Korollar: ϕ ist schwach multilikativ. Seien nämlich m, n N, teilerfremd. Es ist ϕ( m n) = #( ( Z/m n) ) = # ( ( ( Z/m) ) ( ( Z/n) ) ) = ϕ( m) ϕ( n) Korollar: Sei n = e i i die Primfaktorzerlegung von n. Dann ist ϕ( n) = e ϕ( i i ) = e ( i 1 ) i 1 i o. B. d. A. : n = e Es ist ϕ( e ) = #( ( Z/ e ) ) = # i N 0 0 i < e, ( i, ) = 1 = 3

4 e # 0,,,, e = e e 1 = ( 1 ) e Beisiele: n = 1 80 = 3 5, ϕ( 1 80) = ϕ( 4) ϕ( 9) ϕ( 5) = 6 4 = 48. Für a = 7 gilt also: 7 ϕ( ) = ( mod 1 80). Wie berechnet man 7 48 ( mod 1 80)? Algorithmus ( zur effektiven Berechnung von Potenzen) : Sei a R und k N. Sei k = k 0 + k 1 + k + k k, k i 0, 1, k t = 1, t = 1 [ log k]. Dann ist: + k t t die Binärentwicklung von a k = ( ( ( a k t ) + k t 1 ) + k t ) ) + k 0 Dann haben wir t = [ log k] viele Oerationen vom Ty Multilikation oder Quadratur Satz ( Chinesischer Restsatz) : Es seien m 1,, m r r viele aarweise teilerfremde natürliche Zahlen > 1 und a 1,, a r Z beliebig. Dann existiert x Z mit ( ) x a i ( mod m i ) i 1,,, r, und je zwei Lösungen x, x dieser Kongruenzen erfüllen x x ( mod m) ; m m i. Existenz: Setze n i m m i. Dann ist ( m i, n i ) = 1. Deshalb n i mit n i n 1 ( mod m i ). Setze x a 1 n 1 n a r n r n r. Für i j ist m i n j, also x a i n i n i ( mod m i ) a i ( mod m i ). Eindeutigkeit: x, x Lösungen von ( ) i : m i ( x x ) m ( x x ), d. h. x x ( mod m) Satz: Voraussetzungen wie in : m 1,., m r N, aarweise teilerfremd, alle > 1. m Dann ist die kanonische Abbildung m i. 1. G auß-klammer: [ x] = floor( x) = x = max k k Z, k x Z/m Z/m 1 Z/m r 4

5 ein Ringisomorhismus. Wohldefiniertheit der Abbildung und Homomorhie sind klar. Surjektivität ist die Existenzaussage in Injektivität ist die Eindeutigkeitsaussage in Beisiele: i. m 1 =, m = 3; a 1 = 1, a =. Lösung ist x = 5, d. h. x 5 ( mod 6) ii. m 1 = 3, m = 1 1 ; a 1 = 5, a = 7 m = m 1 m = = 88, n 1 = 1 1, n = 8 n 1 = Inverse von 1 1 ( 3 ( mod 8) ), d. h. n 1 = 3 n = Inverse von 8 ( mod 1 1 ), d. h. n = 7 x = = ( mod 88) Problem: Gegeben seien a Z, 1 < n N. Gibt es Primzahlen mit a ( mod n)? Gibt es eventuell unendlich viele solcher P? o. B. d. A. ( a, n) = 1 # P 1, 3 ( mod 4), x x ( 4) 3( 4) # x P Satz ( Dirichlet 1 830) : Sind a und n teilerfremd, so existieren unendlich viele P mit a ( mod n). Genauer: # P a ( mod n), x lim = 1 unabhängig von a. x # P x ϕ( n) Satz: Es gibt unendlich viel P mit 3 ( mod 4). 5

6 Es sei S P endlich mit: S 3 ( mod 4). Setze N( S) Es gibt mindestens einen Primteiler von N( S) mit q 3 ( mod 4), und q S. S Bemerkung: Der Beweis zeigt: n > existieren unendlich viele P mit 1 ( mod n) Proosition: Ist G zyklische Grue der Ordnung n, so besitzt G genau ϕ( n) erzeugende Elemente. o. B. d. A. G = ( Z/n, + ), n > 1. Dann gilt für x Z: x = Z/n ȳ Z/n: a Z mit a x = ā x = ȳ x ist Einheit im Ring Z/n. Da ϕ( n) = ( ( Z/n) ) ist, folgt die Behautung Proosition: Für n N gilt: ϕ( d) = n d N d n Setze für d n: S( d) Dann ist #S( d) = ϕ( n ) und n = # 1,,, d i 1 i n, ( i, n) = d = j d 1 j n d, ( j, n d ) = 1. n = #S( d) = d n d nϕ( n ) = d d n d ϕ( d ). d n Satz: Es sei K ein Körer, H K eine endliche Untergrue von ( K, ). Dann ist H zyklisch. i. Sei n = #( H). Für jedes a H sei e( a) die Ordnung von a, d. h. e( a) = min i N a i = 1. Jedes e( a) ist ein Teiler von n. ii. Für jeden Teiler d von n sei A( d) a H e( a) = d, f( d) #A( d). Wegen H = d) ist n = d na( f( d). d n Wir zeigen: ( ) d n ist f( d) ϕ( d). Gilt ( ), so muss wegen f( d) = n = d) d n d nϕ( sogar die Gleichheit gelten. Für d = n ist also f( n) = ϕ( n) > 0, also a H mit e( a) = n,. beachte hier ( Z /n, + ) ist eine abelsche G rue 6

7 d. h. H = a, a, a 3,, a n = 1 = a. iii. Sei also d n. Ist f( d) = 0, so gilt ( ) für d. Sei also f( d) 0 und a H mit e( a) = d, d. h. a d = 1, a i 1 i < d. Die Elemente x = a, a,, a d sind alle verschieden und genügen a d = 1, sind also Nullstellen des Polynoms X d 1 K[ X]. Also sind diese a i genau die Nullstellen von X d 1, und es gilt: A( d) a, a,, a d iv. Für ein i mit 1 i d sei g ( i, d) und i = i g, d = d g, ( i, d ) = 1. Ist g > 1, so ist ( a i ) d = ( a i g ) d = a i d = ( a d ) i = 1. Also hat a i eine Ordnung e( a i ) d < d. Dies zeigt A( d) a i 1 i d, ( i, d) = 1 f( d) ϕ( d). 7.. Korollar/ Definition: Es sei P. Die Grue ( Z/ ) ist zyklisch und besitzt also ϕ( ) = 1 Erzeuger ā. Ein a Z, für das ā = ( Z/ ) ist, heißt eine Primitivwurzel modulo. Sind a, b Z mit ā 0 b, und ist ā Primitivwurzel modulo, so heißt der wohlbestimmte Exonent i mit ā i = b und 1 i 1 der diskrete Logarithmus von b zur Basis ā ( bei festgehaltenem ), geschrieben: log ā ( b ). Es gilt: log ā ( b c ) log ā ( b ) + log ā ( c ) ( mod 1 ). Beisiel: = 1 3, a = ist Primitivwurzel ( mod 1 3) i i log ( i) = 56 4 ( mod 1 3) log ( 7 8) = log ( 7) + log ( 8) = = 1 4 ( mod 1 ) log ( x) = x = 4 Bemerkung: Die Verwendung des diskreten Logarithmus zur Primzahl erlaubt, die Seicherung der Multilikationstafel von F ( mit Einträgen) durch die Logarithmustafel ( Einträge) zu ersetzen Korollar ( Kriterien von Euler) : Sei < P und a Z mit ( a, ) = 1. Es gilt x Z mit x a ( mod ) a 1 1 ( mod ). x a a 1 x 1 1 7

8 1 a 1. Sei y eine Primitivwurzel mod und y i a 1 a 1 1 ) i ( 1 ) und i = j gerade. Also a ( y j ) Definition: Sei < P, a Z, Setze: ( ) a y i ( 1 ), also ist ( + 1, a 0 ( mod ) und a ist quadratischer Rest mod ( d. h. x Z: x a ( mod ) ) 1, a ist quadratischer Nichtrest mod ( d. h. x Z: x a ( mod ) ) 0, a das quadratische S ymbol modulo Korollar: < P i. Ist a Primitivwurzel mod, ( n, ) = 1, n a i ( 0 i < 1 ), so ist ( ) n + 1, i gerade = 1, i ungerade. ii. Sind m, n Z beliebig, so ist ( m n ) = ( )( ) m n. iii. Es gibt genau 1 quadratische Reste und genau 1 quadratische Nichtreste modulo. iv. ( ) n n 1 ( mod ) i. klar ii. klar iii. klar ( ) iv. o. B. d. A. ( n, ) = 1. Dann ist n 1 ( ) 1, bzw. n 1 = 1, also ist n 1 = ± 1 in Z/, d. h. n 1 ± 1 ( mod ). Dann folgt die Behautung aus ( 7. 3) Satz: Es sei < P. Es gilt: ( 1 ) = ( mod 4) 3 ( mod 4) 8

9 Sei a Primitivwurzel mod. Dann ist a 1 1. ( Ist 1 ( mod 4), so ist a 1 4 ) 1, also ( 1 ) = + 1. Ist 3( mod 4), so ist 1 a 1 mit ungeradem Exonent ( ii). 1, also ( 1 ) = 1 nach Satz: Es gibt unendlich viele P mit 1 ( mod 4). Sei S P endlich mit: S 1 ( mod 4). Setze N( S) N( S) gehört nicht zu S und erfüllt 1 ( mod q). ) S Also = + 1, deshalb q 1 ( mod 4). ( 1 q 1 + S. Ein Primteiler q von 9