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1 1 Zahlenmengen und einige mathematische Symbole Inhalt 1.1 Vorbemerkung Zahlenmengen Summenzeichen Produktzeichen Anwendung in Scilab Fazit Vorbemerkung In diesem Kapitel werden die Zahlenmengen und einige mathematische Symbole der Arithmetik erklärt, die im Buch Verwendung finden und manchmal nicht im Mathematikunterricht der Schule auftauchen. Folgende Symbole werden verwendet: a, b Koeffizienten oder Variablen i Bezeichnung für eine imaginäre Zahl k, m, n Variablen für ganze Zahlen x, y Variablen N Symbol für Zahlenmengen {} Klammern, die eine Menge bezeichnen Symbol für Element in der Menge Subtraktion einer Menge min, max Minimum, Maximum einer gegebenen Zahlenmenge = Ungleichheit Summenzeichen Produktzeichen i, j Subskript, Index Symbol für unendlich W. Kohn, R. Öztürk, Mathematik für Ökonomen, Springer-Lehrbuch, DOI / _1, c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2009

2 4 1 Zahlenmengen und einige mathematische Symbole 1.2 Zahlenmengen Die Grundlage vieler mathematischer Überlegungen sind Zahlen. Sie können in unterschiedliche Bereiche eingeteilt werden. Beispielsweise gibt es Zahlen, die nur für die einfache Zählung geeignet sind. Andere entstehen aus Brüchen oder durch die Auflösung einer Gleichung. Wenn wir etwas zählen, verwenden wir die Menge der natürlichen Zahlen. Sie wird mit dem SymbolN bezeichnet: N= { 1,2,3,4,... } Häufig wird die Menge der natürlichen Zahlen um die Null erweitert. N 0 = { 0,1,2,3,4,... } Wird die Menge der natürlichen Zahlen mit den negativen Zahlen erweitert, erhält man die Menge der ganzen Zahlen Z. Z= {..., 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4,... } Das Verhältnis zweier ganzer Zahlen führt zur Menge der rationalen Zahlen. Es sind die Brüche m n 2, außer der Division mit 0. Zum Beispiel 5 = 0.4 oder 5 3 = Sie werden mit dem SymbolQ bezeichnet. { n } Q= m mit n Z und m Z {0} Die bisher genannten Zahlen sind abzählbar, obwohl alle drei Zahlenmengen N, Z und Q unendlich sind. Die Lösung der Gleichung x 2 = 2 ist nicht in den bisher beschriebenen Zahlenmengen enthalten. Die positive Wurzel von 2 besitzt unendlich viele Nachkommastellen. Es handelt sich um eine algebraische Zahl, da sie aus einem Polynom mit rationalen Koeffizienten entsteht (siehe Kapitel 8.3). Es existieren aber auch irrationale Zahlen, die sich nicht als Lösungen von Gleichungen darstellen lassen. Dies sind zum Beispiel die Kreiszahl π oder die Eulersche Zahl e. Sie heißen transzendente Zahlen. Beide Zahlenarten (algebraische und transzendente) werden zur Menge der irrationalen Zahlen zusammengefasst. Die Menge der irrationalen Zahlen ist nicht mehr abzählbar. Die Erweiterung der rationalen Zahlen um die irrationalen Zahlen führt zu der Obermenge der reellen Zahlen mit dem SymbolR. R= { x mit <x<+ } Auf dem Zahlenstrahl sind alle Punkte besetzt. Es existieren aber noch Zahlen jenseits der reellen Zahlen. Die Lösung der Gleichung x 2 = 2 führt zur Wurzel (siehe Kapitel 2.4) einer negativen Zahl: x= 2. Sie ist nicht Teilmenge der reellen Zahlen. Das Quadrat jeder reellen Zahl ist positiv. Daher können negative reelle Zahlen keine reellen Wurzeln haben. Mit der Einführung der Definition i 2 = 1 wird die Menge der reellen Zahlen zu der Menge der

3 1.3 Summenzeichen 5 komplexen Zahlen mit dem Symbol C erweitert. Die Elemente dieser Menge haben die Form c=a+bi, wobei a und b Elemente der reellen Zahlen sind. Die Zahl c ist zusammengesetzt aus einem Realteil a und einem Imaginärteil bi. C= { c=a+bi mit a,b R } Mit der obigen Herleitung haben wir die Menge der Zahlen beschrieben und beobachten folgende Beziehung unter den beschriebenen Mengen: N Z Q R C 1.3 Summenzeichen Das Summenzeichen steht als Wiederholungszeichen für die fortgesetzte Addition. a i = a 1 + a a n (1.1) In der Gleichung (1.1) bezeichnet man i als Summationsindex, der hier mit eins beginnt und jeweils um eins hochgezählt wird bis die Obergrenze n erreicht ist. Der Index i kann mit jeder ganzen Zahl beginnen und enden. Beispiel x i = x 2 + x 1 + x 0 + x 1 i= 2 Mit negativen Indizes werden in der Ökonomie oft Werte aus der Vergangenheit, mit positiven Indizes zukünftige Werte und mit dem Index Null der Wert der Gegenwart bezeichnet. Das Summenzeichen ist nützlich, um größere Summen übersichtlich darzustellen, deren Wert zu berechnen ist. Es gelten die folgenden Rechenregeln, die sich aus den Rechengesetzen ergeben: Gleiche Summationsgrenzen: Beispiel 1.2. a i + b i = (a i + b i ) 3 ( ) 3 ( ) 3 ( ) = 1a b1 a2 b2 a3 b3

4 6 1 Zahlenmengen und einige mathematische Symbole Additive Konstante: Beispiel 1.3. (a i + c)= a i + nc 10 ( ai + 1 ) 10 =(a 1 + 1)+...+(a )= a i + 10 Multiplikative Konstante: ca i = c Beispiel i 2 = 3 i 2 = 3 ( ) = 90 Summenzerlegung: a i a i = a i + i=m+1 a i für m<n Beispiel i= i = 15 i=4 Das Summenzeichen kann auch doppelt oder mehrfach hintereinander auftreten. Zwei Summenzeichen treten zum Beispiel hintereinander auf, wenn in einer Tabelle alle Werte addiert werden sollen. Die Zeilen einer Tabelle werden in der Regel mit i indiziert und die Spalten einer Tabelle mit j. Die Werte in den Tabellenfeldern werden dann mit a i j bezeichnet (siehe Tabelle 1.1). Tabelle 1.1: Zweidimensionale Tabelle mit Randsummen a 11 a 1 j a 1m mj=1 a 1 j a i1 a i j a im mj=1 a i j a n1 a n j a nm... mj=1 a n j n a i1 n a i j n a n mj=1 im a i j

5 1.3 Summenzeichen 7 Wie in der oben stehenden Tabelle ersichtlich, können mit der Doppelsumme alle Werte der Tabelle addiert werden. Dabei ist es egal, ob erst die Zeilen und dann die Spalten addiert werden oder umgekehrt. a 1 j + a 2 j + + a n j = j=1 a i1 + j=1 a i2 + + j=1 a im = j=1 a i j = j=1 j=1 j=1 Lediglich die Reihenfolge der Summation ist unterschiedlich. Nach dem ersten Kommutativgesetz führt dies zu keiner Ergebnisänderung. Beispiel 1.6. j=1 a i j a i j a i j 3 (b i j + i j)=(b )+(b )+(b ) +(b )+(b )+(b ) 3 = 18+ j=1 b i j Übung 1.1. Berechnen Sie folgende Ausdrücke für x=5,2,1,2 und y=1,2,3,4: 4 x i 4 x i y i 4 ( xi + 3 ) Übung 1.2. Berechnen Sie die folgenden Summen: 5 (n 1) 2 (n+2) n=2 5 k=1 ( 1 k 1 ) k+1

6 8 1 Zahlenmengen und einige mathematische Symbole Übung 1.3. Ist die Doppelsumme gleich der Summe j=1 x i j=1 x i j x j? 1.4 Produktzeichen Das Produktzeichen steht als Wiederholungszeichen für die fortgesetzte Multiplikation. n a i = a 1 a 2 a n Das Produktzeichen wird wie das Summenzeichen zur übersichtlicheren Darstellung von größeren Produkten verwendet. Es gelten die folgenden Rechenregeln, die sich leicht aus den elementaren Rechenoperationen ableiten lassen: Gleiche Produktgrenzen: Multiplikative Konstante: n a i b i = n n a i n n c a i = c n Anmerkung: Im Text wird das Produktzeichen soweit es eindeutig ist durch einen kleinen Freiraum ersetzt. a b= ab a i b i Übung 1.4. Berechnen Sie folgende Ausdrücke für x = 5, 2, 1, 2: 4 x i 5 i 4 2x i

7 1.5 Anwendung in Scilab 9 Übung 1.5. Schreiben Sie das Doppelprodukt aus. 2 2 j=1 x i j 1.5 Anwendung in Scilab Reelle Zahlen werden in Scilab mit einem Punkt als Dezimalzeichen eingegeben. 3.4 Eine Summe wird in Scilab mit sum() berechnet. Soll eine Summe von beliebigen Zahlen berechnet werden, so sind die Zahlen in eckigen Klammern und durch Kommas getrennt einzugeben. sum(1:6) -> 21 sum(3*(1:4)^2) -> 90 sum([3,6,1]) -> 10 Für eine Doppelsumme muss zuerst ein Zahlenfeld (siehe auch Kapitel 5) in Scilab eingegeben werden. Die Zeilen werden durch Semikolon getrennt. Die Doppelsumme über das Zahlenfeld wird durch den einfachen Summenbefehl berechnet. Soll nur die Summe über die Spalten berechnet werden, so muss nach der Angabe der Variablen ein weiteres Argument angegeben werden. In diesem Fall ist es eine 1. Für die Summe über die Zeilen ist das Argument eine 2. tab = [2,3,4;5,6,7] sum(tab) -> 27 sum(tab,1) -> sum(tab,2) 9 18 Das Produkt eines Zahlenfelds wird mit dem Befehl prod() berechnet. prod(tab) -> 5040 prod(tab,1)-> prod(tab,2)

8 10 1 Zahlenmengen und einige mathematische Symbole Für alle Funktionen steht eine Hilfe zur Verfügung. Sie wird mit help aufgerufen. Für die Summenfunktion ist es beispielsweise help sum 1.6 Fazit Die Zahlenmengen sind eine Grundlage der Mathematik. Die reellen Zahlen sind die am häufigsten verwendeten Zahlen. Ferner wird die Mathematik durch eine eigene Symbolik geprägt. Zwei davon sind das Summen- und das Produktzeichen. Sie definieren eine kompakte Schreibweise für die fortgesetzte Addition bzw. Multiplikation.

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