1 Zahlenmengen und einige mathematische Symbole

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "1 Zahlenmengen und einige mathematische Symbole"

Transkript

1 1 Zahlenmengen und einige mathematische Symbole Inhalt 1.1 Vorbemerkung Zahlenmengen Summenzeichen Produktzeichen Anwendung in Scilab Fazit Vorbemerkung In diesem Kapitel werden die Zahlenmengen und einige mathematische Symbole der Arithmetik erklärt, die im Buch Verwendung finden und manchmal nicht im Mathematikunterricht der Schule auftauchen. Folgende Symbole werden verwendet: a, b Koeffizienten oder Variablen i Bezeichnung für eine imaginäre Zahl k, m, n Variablen für ganze Zahlen x, y Variablen N Symbol für Zahlenmengen {} Klammern, die eine Menge bezeichnen Symbol für Element in der Menge Subtraktion einer Menge min, max Minimum, Maximum einer gegebenen Zahlenmenge = Ungleichheit Summenzeichen Produktzeichen i, j Subskript, Index Symbol für unendlich W. Kohn, R. Öztürk, Mathematik für Ökonomen, Springer-Lehrbuch, DOI / _1, c Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2009

2 4 1 Zahlenmengen und einige mathematische Symbole 1.2 Zahlenmengen Die Grundlage vieler mathematischer Überlegungen sind Zahlen. Sie können in unterschiedliche Bereiche eingeteilt werden. Beispielsweise gibt es Zahlen, die nur für die einfache Zählung geeignet sind. Andere entstehen aus Brüchen oder durch die Auflösung einer Gleichung. Wenn wir etwas zählen, verwenden wir die Menge der natürlichen Zahlen. Sie wird mit dem SymbolN bezeichnet: N= { 1,2,3,4,... } Häufig wird die Menge der natürlichen Zahlen um die Null erweitert. N 0 = { 0,1,2,3,4,... } Wird die Menge der natürlichen Zahlen mit den negativen Zahlen erweitert, erhält man die Menge der ganzen Zahlen Z. Z= {..., 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4,... } Das Verhältnis zweier ganzer Zahlen führt zur Menge der rationalen Zahlen. Es sind die Brüche m n 2, außer der Division mit 0. Zum Beispiel 5 = 0.4 oder 5 3 = Sie werden mit dem SymbolQ bezeichnet. { n } Q= m mit n Z und m Z {0} Die bisher genannten Zahlen sind abzählbar, obwohl alle drei Zahlenmengen N, Z und Q unendlich sind. Die Lösung der Gleichung x 2 = 2 ist nicht in den bisher beschriebenen Zahlenmengen enthalten. Die positive Wurzel von 2 besitzt unendlich viele Nachkommastellen. Es handelt sich um eine algebraische Zahl, da sie aus einem Polynom mit rationalen Koeffizienten entsteht (siehe Kapitel 8.3). Es existieren aber auch irrationale Zahlen, die sich nicht als Lösungen von Gleichungen darstellen lassen. Dies sind zum Beispiel die Kreiszahl π oder die Eulersche Zahl e. Sie heißen transzendente Zahlen. Beide Zahlenarten (algebraische und transzendente) werden zur Menge der irrationalen Zahlen zusammengefasst. Die Menge der irrationalen Zahlen ist nicht mehr abzählbar. Die Erweiterung der rationalen Zahlen um die irrationalen Zahlen führt zu der Obermenge der reellen Zahlen mit dem SymbolR. R= { x mit <x<+ } Auf dem Zahlenstrahl sind alle Punkte besetzt. Es existieren aber noch Zahlen jenseits der reellen Zahlen. Die Lösung der Gleichung x 2 = 2 führt zur Wurzel (siehe Kapitel 2.4) einer negativen Zahl: x= 2. Sie ist nicht Teilmenge der reellen Zahlen. Das Quadrat jeder reellen Zahl ist positiv. Daher können negative reelle Zahlen keine reellen Wurzeln haben. Mit der Einführung der Definition i 2 = 1 wird die Menge der reellen Zahlen zu der Menge der

3 1.3 Summenzeichen 5 komplexen Zahlen mit dem Symbol C erweitert. Die Elemente dieser Menge haben die Form c=a+bi, wobei a und b Elemente der reellen Zahlen sind. Die Zahl c ist zusammengesetzt aus einem Realteil a und einem Imaginärteil bi. C= { c=a+bi mit a,b R } Mit der obigen Herleitung haben wir die Menge der Zahlen beschrieben und beobachten folgende Beziehung unter den beschriebenen Mengen: N Z Q R C 1.3 Summenzeichen Das Summenzeichen steht als Wiederholungszeichen für die fortgesetzte Addition. a i = a 1 + a a n (1.1) In der Gleichung (1.1) bezeichnet man i als Summationsindex, der hier mit eins beginnt und jeweils um eins hochgezählt wird bis die Obergrenze n erreicht ist. Der Index i kann mit jeder ganzen Zahl beginnen und enden. Beispiel x i = x 2 + x 1 + x 0 + x 1 i= 2 Mit negativen Indizes werden in der Ökonomie oft Werte aus der Vergangenheit, mit positiven Indizes zukünftige Werte und mit dem Index Null der Wert der Gegenwart bezeichnet. Das Summenzeichen ist nützlich, um größere Summen übersichtlich darzustellen, deren Wert zu berechnen ist. Es gelten die folgenden Rechenregeln, die sich aus den Rechengesetzen ergeben: Gleiche Summationsgrenzen: Beispiel 1.2. a i + b i = (a i + b i ) 3 ( ) 3 ( ) 3 ( ) = 1a b1 a2 b2 a3 b3

4 6 1 Zahlenmengen und einige mathematische Symbole Additive Konstante: Beispiel 1.3. (a i + c)= a i + nc 10 ( ai + 1 ) 10 =(a 1 + 1)+...+(a )= a i + 10 Multiplikative Konstante: ca i = c Beispiel i 2 = 3 i 2 = 3 ( ) = 90 Summenzerlegung: a i a i = a i + i=m+1 a i für m<n Beispiel i= i = 15 i=4 Das Summenzeichen kann auch doppelt oder mehrfach hintereinander auftreten. Zwei Summenzeichen treten zum Beispiel hintereinander auf, wenn in einer Tabelle alle Werte addiert werden sollen. Die Zeilen einer Tabelle werden in der Regel mit i indiziert und die Spalten einer Tabelle mit j. Die Werte in den Tabellenfeldern werden dann mit a i j bezeichnet (siehe Tabelle 1.1). Tabelle 1.1: Zweidimensionale Tabelle mit Randsummen a 11 a 1 j a 1m mj=1 a 1 j a i1 a i j a im mj=1 a i j a n1 a n j a nm... mj=1 a n j n a i1 n a i j n a n mj=1 im a i j

5 1.3 Summenzeichen 7 Wie in der oben stehenden Tabelle ersichtlich, können mit der Doppelsumme alle Werte der Tabelle addiert werden. Dabei ist es egal, ob erst die Zeilen und dann die Spalten addiert werden oder umgekehrt. a 1 j + a 2 j + + a n j = j=1 a i1 + j=1 a i2 + + j=1 a im = j=1 a i j = j=1 j=1 j=1 Lediglich die Reihenfolge der Summation ist unterschiedlich. Nach dem ersten Kommutativgesetz führt dies zu keiner Ergebnisänderung. Beispiel 1.6. j=1 a i j a i j a i j 3 (b i j + i j)=(b )+(b )+(b ) +(b )+(b )+(b ) 3 = 18+ j=1 b i j Übung 1.1. Berechnen Sie folgende Ausdrücke für x=5,2,1,2 und y=1,2,3,4: 4 x i 4 x i y i 4 ( xi + 3 ) Übung 1.2. Berechnen Sie die folgenden Summen: 5 (n 1) 2 (n+2) n=2 5 k=1 ( 1 k 1 ) k+1

6 8 1 Zahlenmengen und einige mathematische Symbole Übung 1.3. Ist die Doppelsumme gleich der Summe j=1 x i j=1 x i j x j? 1.4 Produktzeichen Das Produktzeichen steht als Wiederholungszeichen für die fortgesetzte Multiplikation. n a i = a 1 a 2 a n Das Produktzeichen wird wie das Summenzeichen zur übersichtlicheren Darstellung von größeren Produkten verwendet. Es gelten die folgenden Rechenregeln, die sich leicht aus den elementaren Rechenoperationen ableiten lassen: Gleiche Produktgrenzen: Multiplikative Konstante: n a i b i = n n a i n n c a i = c n Anmerkung: Im Text wird das Produktzeichen soweit es eindeutig ist durch einen kleinen Freiraum ersetzt. a b= ab a i b i Übung 1.4. Berechnen Sie folgende Ausdrücke für x = 5, 2, 1, 2: 4 x i 5 i 4 2x i

7 1.5 Anwendung in Scilab 9 Übung 1.5. Schreiben Sie das Doppelprodukt aus. 2 2 j=1 x i j 1.5 Anwendung in Scilab Reelle Zahlen werden in Scilab mit einem Punkt als Dezimalzeichen eingegeben. 3.4 Eine Summe wird in Scilab mit sum() berechnet. Soll eine Summe von beliebigen Zahlen berechnet werden, so sind die Zahlen in eckigen Klammern und durch Kommas getrennt einzugeben. sum(1:6) -> 21 sum(3*(1:4)^2) -> 90 sum([3,6,1]) -> 10 Für eine Doppelsumme muss zuerst ein Zahlenfeld (siehe auch Kapitel 5) in Scilab eingegeben werden. Die Zeilen werden durch Semikolon getrennt. Die Doppelsumme über das Zahlenfeld wird durch den einfachen Summenbefehl berechnet. Soll nur die Summe über die Spalten berechnet werden, so muss nach der Angabe der Variablen ein weiteres Argument angegeben werden. In diesem Fall ist es eine 1. Für die Summe über die Zeilen ist das Argument eine 2. tab = [2,3,4;5,6,7] sum(tab) -> 27 sum(tab,1) -> sum(tab,2) 9 18 Das Produkt eines Zahlenfelds wird mit dem Befehl prod() berechnet. prod(tab) -> 5040 prod(tab,1)-> prod(tab,2)

8 10 1 Zahlenmengen und einige mathematische Symbole Für alle Funktionen steht eine Hilfe zur Verfügung. Sie wird mit help aufgerufen. Für die Summenfunktion ist es beispielsweise help sum 1.6 Fazit Die Zahlenmengen sind eine Grundlage der Mathematik. Die reellen Zahlen sind die am häufigsten verwendeten Zahlen. Ferner wird die Mathematik durch eine eigene Symbolik geprägt. Zwei davon sind das Summen- und das Produktzeichen. Sie definieren eine kompakte Schreibweise für die fortgesetzte Addition bzw. Multiplikation.

9

2 Besondere mathematische Funktionen

2 Besondere mathematische Funktionen 2 Besondere mathematische Funktionen Inhalt 2.1 Vorbemerkung......... 19 2.2 Summenzeichen... 20 2.3 Produktzeichen......... 23 2.4 Betragsfunktion... 23 2.5 Ganzzahlfunktion....... 24 2.6 PotenzenundWurzeln...

Mehr

2 ZAHLEN UND VARIABLE

2 ZAHLEN UND VARIABLE Zahlen und Variable 2 ZAHLEN UND VARIABLE 2.1 Grundlagen der Mengenlehre Unter einer Menge versteht man die Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten zu einem Ganzen. Diese Objekte bezeichnet man als

Mehr

Wirtschaftsmathematik: Mathematische Grundlagen

Wirtschaftsmathematik: Mathematische Grundlagen Wirtschaftsmathematik: Mathematische Grundlagen 1. Zahlen 2. Potenzen und Wurzeln 3. Rechenregeln und Vereinfachungen 4. Ungleichungen 5. Intervalle 6. Beträge 7. Lösen von Gleichungen 8. Logarithmen 9.

Mehr

Zahlen und elementares Rechnen

Zahlen und elementares Rechnen und elementares Rechnen Christian Serpé Universität Münster 7. September 2011 Christian Serpé (Universität Münster) und elementares Rechnen 7. September 2011 1 / 51 Gliederung 1 2 Elementares Rechnen 3

Mehr

Komplexe Zahlen. Bekannte Zahlenmengen. Natürliche Zahlen. Die Zahlenmenge ist IN = {0, 1, 2, 3,...}. Es gelten die folgenden Gesetze:

Komplexe Zahlen. Bekannte Zahlenmengen. Natürliche Zahlen. Die Zahlenmenge ist IN = {0, 1, 2, 3,...}. Es gelten die folgenden Gesetze: Mathematik/Informatik Gierhardt Komplexe Zahlen Komplexe Zahlen Bekannte Zahlenmengen Natürliche Zahlen Die Zahlenmenge ist IN = {0,,,,} Es gelten die folgenden Gesetze: Addition: a + b IN, wenn a,b IN

Mehr

01. Zahlen und Ungleichungen

01. Zahlen und Ungleichungen 01. Zahlen und Ungleichungen Die natürlichen Zahlen bilden die grundlegendste Zahlenmenge, die durch das einfache Zählen 1, 2, 3,... entsteht. N := {1, 2, 3, 4,...} (bzw. N 0 := {0, 1, 2, 3, 4,...}) Dabei

Mehr

Rationale, irrationale und reelle Zahlen. 4-E Vorkurs, Mathematik

Rationale, irrationale und reelle Zahlen. 4-E Vorkurs, Mathematik Rationale, irrationale und reelle Zahlen 4-E Vorkurs, Mathematik Rationale Zahlen Der Grund für die Einführung der rationalen Zahlen ist der, dass wir mit ihnen auch Gleichungen der Form q x = p lösen

Mehr

Zahlen 25 = = 0.08

Zahlen 25 = = 0.08 2. Zahlen Uns bisher bekannte Zahlenbereiche: N Z Q R ( C). }{{} später Schreibweisen von rationalen/reellen Zahlen als unendliche Dezimalbrüche = Dezimalentwicklungen. Beispiel (Rationale Zahlen) 1 10

Mehr

Grundlagen komplexe Zahlen. natürliche Zahlen

Grundlagen komplexe Zahlen. natürliche Zahlen Grundlagen komplexe Zahlen Die Zahlenbereichserweiterungen von den natürlichen Zahlen hin zu den reellen Zahlen waren dadurch motiviert, bestimmte Rechenoperationen uneingeschränkt ausführen zu können.

Mehr

Zahlen und elementares Rechnen (Teil 1)

Zahlen und elementares Rechnen (Teil 1) und elementares Rechnen (Teil 1) Dr. Christian Serpé Universität Münster 6. September 2010 Dr. Christian Serpé (Universität Münster) und elementares Rechnen (Teil 1) 6. September 2010 1 / 40 Gliederung

Mehr

Corinne Schenka Vorkurs Mathematik WiSe 2012/13. Die kleineren Zahlbereiche sind jeweils Teilmengen von größeren Zahlbereichen:

Corinne Schenka Vorkurs Mathematik WiSe 2012/13. Die kleineren Zahlbereiche sind jeweils Teilmengen von größeren Zahlbereichen: 2. Zahlbereiche Besonderheiten und Rechengesetze Die kleineren Zahlbereiche sind jeweils Teilmengen von größeren Zahlbereichen: 2.1. Die natürlichen Zahlen * + besitzt abzählbar unendlich viele Elemente

Mehr

2. Zahlenmenge, Aufbau des Zahlensystems 2.1 Natürliche Zahlen N Die natürlichen Zahlen bilden eine Menge: N = {1, 2, 3, 4,... }. N ist abgeschlossen

2. Zahlenmenge, Aufbau des Zahlensystems 2.1 Natürliche Zahlen N Die natürlichen Zahlen bilden eine Menge: N = {1, 2, 3, 4,... }. N ist abgeschlossen 2. Zahlenmenge, Aufbau des Zahlensystems 2.1 Natürliche Zahlen N Die natürlichen Zahlen bilden eine Menge: N = {1, 2, 3, 4,... }. N ist abgeschlossen bezüglich der Addition und Multiplikation: a, b N mit

Mehr

Summenzeichen. Gymnasium Immensee Vertiefungskurs Mathematik. Bettina Bieri

Summenzeichen. Gymnasium Immensee Vertiefungskurs Mathematik. Bettina Bieri Summenzeichen Gymnasium Immensee Vertiefungskurs Mathematik Bettina Bieri 24. Juli 2011 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen: Summenzeichen 1 1.1 Der Aufbau des Summenzeichens................ 1 1.1.1 Aufgaben.........................

Mehr

Brückenkurs Mathematik für Studierende der Chemie

Brückenkurs Mathematik für Studierende der Chemie Brückenkurs Mathematik für Studierende der Chemie PD Dr Dirk Andrae (nach Vorlagen von Dr Werner Gans vom WS 2015/2016) Institut für Chemie und Biochemie Freie Universität Berlin 20 September 2016 1 Teil:

Mehr

Da diese Zahlenmenge nicht unter Subtraktion abgeschlossen ist, erweitert man sie zur Menge der ganzen Zahlen

Da diese Zahlenmenge nicht unter Subtraktion abgeschlossen ist, erweitert man sie zur Menge der ganzen Zahlen Kapitel 2 Die reellen Zahlen Die reellen Zahlen werden zunächst und vorübergehend als Dezimalzahlen eingeführt. Die wichtigsten Eigenschaften werden aus dieser Darstellung hergeleitet, mit denen dann die

Mehr

Mathematik Quadratwurzel und reelle Zahlen

Mathematik Quadratwurzel und reelle Zahlen Mathematik Quadratwurzel und reelle Zahlen Grundwissen und Übungen a : a a Stefan Gärtner 1999 004 Gr Mathematik elementare Algebra Seite Inhalt Inhaltsverzeichnis Seite Grundwissen Definition Quadratwurzel

Mehr

MATHEMATIK FÜR NATURWISSENSCHAFTLER I WINTERSEMESTER 2016/ OKTOBER 2016

MATHEMATIK FÜR NATURWISSENSCHAFTLER I WINTERSEMESTER 2016/ OKTOBER 2016 MATHEMATIK FÜR NATURWISSENSCHAFTLER I WINTERSEMESTER 2016/17 MARK HAMILTON LMU MÜNCHEN 1.1. Grundbegriffe zu Mengen. 1. 17. OKTOBER 2016 Definition 1.1 (Mengen und Elemente). Eine Menge ist die Zusammenfassung

Mehr

Da diese Zahlenmenge nicht unter Subtraktion abgeschlossen ist, erweitert man sie zur Menge der ganzen Zahlen

Da diese Zahlenmenge nicht unter Subtraktion abgeschlossen ist, erweitert man sie zur Menge der ganzen Zahlen Kapitel 2 Die reellen Zahlen Die reellen Zahlen werden zunächst und vorübergehend als Dezimalzahlen eingeführt. Die wichtigsten Eigenschaften werden aus dieser Darstellung hergeleitet, mit denen dann die

Mehr

Reelle Zahlen, Gleichungen und Ungleichungen

Reelle Zahlen, Gleichungen und Ungleichungen 9 2. Vorlesung Reelle Zahlen, Gleichungen und Ungleichungen 4 Zahlenmengen und der Körper der reellen Zahlen 4.1 Zahlenmengen * Die Menge der natürlichen Zahlen N = {0,1,2,3,...}. * Die Menge der ganzen

Mehr

Mathematik 1 für Chemische Technologie 2. Zahlenmenge, Aufbau des Zahlensystems 2.1 Natürliche Zahlen N Die natürlichen Zahlen bilden eine Menge: N =

Mathematik 1 für Chemische Technologie 2. Zahlenmenge, Aufbau des Zahlensystems 2.1 Natürliche Zahlen N Die natürlichen Zahlen bilden eine Menge: N = 2. Zahlenmenge, Aufbau des Zahlensystems 2.1 Natürliche Zahlen N Die natürlichen Zahlen bilden eine Menge: N = {1, 2, 3, 4,... }. N ist abgeschlossen bezüglich der Addition und Multiplikation: a, b N mit

Mehr

Mathematik für Ökonomen

Mathematik für Ökonomen Springer-Lehrbuch Wolfgang Kohn Riza Öztürk Mathematik für Ökonomen Ökonomische Anwendungen der linearen Algebra und Analysis mit Scilab 123 Prof Dr Wolfgang Kohn Prof Dr Riza Öztürk Fachhochschule Bielefeld

Mehr

Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2015/16

Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2015/16 Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2015/16 21. Januar 2016 Definition 8.1 Eine Menge R zusammen mit zwei binären Operationen

Mehr

Addition, Subtraktion und Multiplikation von komplexen Zahlen z 1 = (a 1, b 1 ) und z 2 = (a 2, b 2 ):

Addition, Subtraktion und Multiplikation von komplexen Zahlen z 1 = (a 1, b 1 ) und z 2 = (a 2, b 2 ): Komplexe Zahlen Definition 1. Eine komplexe Zahl z ist ein geordnetes Paar reeller Zahlen (a, b). Wir nennen a den Realteil von z und b den Imaginärteil von z, geschrieben a = Re z, b = Im z. Komplexe

Mehr

Rudolf Brinkmann Seite 1 30.04.2008

Rudolf Brinkmann Seite 1 30.04.2008 Rudolf Brinkmann Seite 1 30.04.2008 Der Mengenbegriff und Darstellung von Mengen Eine Menge, ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung und unseres Denkens welche

Mehr

GRUNDLAGEN MATHEMATIK

GRUNDLAGEN MATHEMATIK Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik GRUNDLAGEN MATHEMATIK 6. Komplexe Zahlen Prof. Dr. Gunar Matthies Wintersemester 2015/16 G. Matthies Grundlagen

Mehr

Vorkurs Mathematik Dozent: Dipl.-Math. Karsten Runge.

Vorkurs Mathematik Dozent: Dipl.-Math. Karsten Runge. Vorkurs Mathematik 17.08.-28.08.15 Dozent: Dipl.-Math. Karsten Runge E-mail: karsten.runge@hs-bochum.de www.hs-bochum.de\imt > Mathematik-Vorkurs > Mathematik-Werkstatt Die Mathematik-Werkstatt bietet

Mehr

Wirtschafts- und Finanzmathematik

Wirtschafts- und Finanzmathematik Prof. Dr. Stefan Etschberger HSA Wirtschafts- und Finanzmathematik für Betriebswirtschaft und International Management Wintersemester 2016/17 Organisation Termine, Personen, Räume Gliederung 1 Grundlegende

Mehr

1 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen

1 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen 1 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen Das Studium linearer Gleichungssysteme und ihrer Lösungen ist eines der wichtigsten Themen der linearen Algebra. Wir werden zunächst einige grundlegende Begriffe

Mehr

Demo für

Demo für SUMMENZEICHEN Regeln und Anwendungen Gebrauchs des Summenzeichens mit Aufgaben aus vielen Bereichen für Angela Datei Nr. 4 Stand:. Oktober INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK Demo für 4 Summenzeichen

Mehr

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 8 2. Semester ARBEITSBLATT 8 DIE REELLEN ZAHLEN

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 8 2. Semester ARBEITSBLATT 8 DIE REELLEN ZAHLEN Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 8. Semester ARBEITSBLATT 8 DIE REELLEN ZAHLEN Bisher kennen wir bereits folgende Zahlenbereiche: N Natürliche Zahlen Z Ganze Zahlen Q Rationale Zahlen Bei

Mehr

Inhaltsübersicht. Definition und erste Eigenschaften komplexer Zahlen

Inhaltsübersicht. Definition und erste Eigenschaften komplexer Zahlen Inhaltsübersicht Kapitel 4: Die Macht des Imaginären: Komplexe Zahlen Definition und erste Eigenschaften komplexer Zahlen Die Polardarstellung komplexer Zahlen Polynome im Komplexen Exponentialfunktion

Mehr

Mathe Leuchtturm-Übungen-5.& UE-Klasse (3./4.)-Nr.004-Lückentext-Zahlenmengen- C by Joh Zerbs

Mathe Leuchtturm-Übungen-5.& UE-Klasse (3./4.)-Nr.004-Lückentext-Zahlenmengen- C by Joh Zerbs 1 Mathe Leuchtturm Übungsleuchtturm 5.Kl. 004 =Übungskapitel zu Symbolen und Mengen Sprache der Mathematik Erforderlicher Wissensstand (->Stoffübersicht im Detail siehe auch Wissensleuchtturm der 5.Klasse)

Mehr

Vorlesung Mathematik 1 für Ingenieure (A)

Vorlesung Mathematik 1 für Ingenieure (A) 1 Vorlesung Mathematik 1 für Ingenieure (A) Wintersemester 2016/17 Kapitel 1: Zahlen Prof. Dr. Gerald Warnecke Nach Folienvorlage von Prof. Dr. Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg http://fma2.math.uni-magdeburg.de:8001

Mehr

1 Körper. Wir definieren nun, was wir unter einem Körper verstehen, und sehen dann, dass es noch andere, ganz kleine Körper gibt:

1 Körper. Wir definieren nun, was wir unter einem Körper verstehen, und sehen dann, dass es noch andere, ganz kleine Körper gibt: 1 Körper Sie kennen bereits 2 Beispiele von Zahlkörpern: (Q, +, ) (R, +, ) die rationalen Zahlen mit ihrer Addition und Multiplikation die reellen Zahlen mit ihrer Addition und Multiplikation Vielleicht

Mehr

Zahlen und Gleichungen

Zahlen und Gleichungen Kapitel 2 Zahlen und Gleichungen 21 Reelle Zahlen Die Menge R der reellen Zahlen setzt sich zusammen aus den rationalen und den irrationalen Zahlen Die Mengen der natürlichen Zahlen N, der ganzen Zahlen

Mehr

Mathematischer Vorkurs NAT-ING1

Mathematischer Vorkurs NAT-ING1 Mathematischer Vorkurs NAT-ING1 (02.09. 20.09.2013) Dr. Robert Strehl WS 2013-2014 Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 1 / 40 Kapitel 12 Komplexe Zahlen Kapitel 12 Komplexe Zahlen Mathematischer Vorkurs

Mehr

Vollständigkeit; Überabzählbarkeit und dichte Mengen) Als typisches Beispiel für die reellen Zahlen dient die kontinuierlich ablaufende Zeit.

Vollständigkeit; Überabzählbarkeit und dichte Mengen) Als typisches Beispiel für die reellen Zahlen dient die kontinuierlich ablaufende Zeit. Kapitel 4 Reelle Zahlen 4.1 Die reellen Zahlen (Schranken von Mengen; Axiomatik; Anordnung; Vollständigkeit; Überabzählbarkeit und dichte Mengen) Als typisches Beispiel für die reellen Zahlen dient die

Mehr

Körper sind nullteilerfrei

Körper sind nullteilerfrei Mathematik I für Informatiker Komplexe Zahlen p. 1 Körper sind nullteilerfrei Für Elemente a, b eines Körpers gilt stets: Aus a b = 0 folgt a = 0 oder b = 0. Beweis: Aus a b = 0 und a 0 folgt also b =

Mehr

3 Zahlen und Arithmetik

3 Zahlen und Arithmetik In diesem Kapitel werden Zahlen und einzelne Elemente aus dem Bereich der Arithmetik rekapituliert. Insbesondere werden die reellen Zahlen eingeführt und einige Rechenregeln wie Potenzrechnung und Logarithmieren

Mehr

Einiges über komplexe Zahlen

Einiges über komplexe Zahlen Lineare Algebra und Analytische Geometrie I für LB WS 2001/2002 Dr. Bruno Riedmüller Einiges über komplexe Zahlen Es muss davon ausgegangen werden, dass der Leser mit komplexen Zahlen wenig oder nicht

Mehr

ADDIEREN UND SUBTRAHIEREN VON TERMEN POTENZSCHREIBWEISE

ADDIEREN UND SUBTRAHIEREN VON TERMEN POTENZSCHREIBWEISE ADDIEREN UND SUBTRAHIEREN VON TERMEN UND DIE POTENZSCHREIBWEISE ) VARIABLE Beispiel: Ein Rechteck habe einen Umfang von 0 cm. Gib Länge und Breite des Rechtecks in einer Formel an. Es ist natürlich leicht

Mehr

Man kann die natürlichen Zahlen in verschiedenen Klassen einteilen:

Man kann die natürlichen Zahlen in verschiedenen Klassen einteilen: A.1.1 Zahlenmengen Die Menge der natürlichen Zahlen, die mit N bezeichnet werden N = {1, 2, 3, 4, 5,... } benutzen wir im Alltag, um mehrere gleichartige Gegenstände zu zählen. Es gibt unendlich viele

Mehr

Stefan Ruzika. 24. April 2016

Stefan Ruzika. 24. April 2016 Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz 24. April 2016 Stefan Ruzika 2: Körper 24. April 2016 1 / 21 Gliederung 1 1 Schulstoff 2 Körper Definition eines Körpers

Mehr

2 Zahlen und Zahlensysteme

2 Zahlen und Zahlensysteme 2 ZAHLEN UND ZAHLENSYSTEME 10 2 Zahlen und Zahlensysteme In diesem Kapitel definieren wir zunächst einige wichtige Zahlenmengen und führen dann Strukturen ein, z. B. mittels Operationen wie Addition und

Mehr

Dieses Kapitel vermittelt:

Dieses Kapitel vermittelt: 2 Funktionen Lernziele Dieses Kapitel vermittelt: wie die Abhängigkeit quantitativer Größen mit Funktionen beschrieben wird die erforderlichen Grundkenntnisse elementarer Funktionen grundlegende Eigenschaften

Mehr

1 Potenzen und Polynome

1 Potenzen und Polynome 1 Potenzen und Polynome Für eine reelle Zahl x R und eine natürliche Zahl n N definieren wir x n := x x x... x }{{} n-mal Einschub über die bisher aufgetretenen mathematischen Symbole: Definition mittels

Mehr

Reelle Zahlen (R)

Reelle Zahlen (R) Reelle Zahlen (R) Bisher sind bekannt: Natürliche Zahlen (N): N {,,,,,6... } Ganze Zahlen (Z): Z {...,,,0,,,... } Man erkennt: Rationale Zahlen (Q):.) Zwischen den natürlichen Zahlen befinden sich große

Mehr

Vorkurs Mathematik 1

Vorkurs Mathematik 1 Vorkurs Mathematik 1 Einführung in die mathematische Notation Konstanten i komplexe Einheit i 2 + 1 = 0 e Eulersche Zahl Kreiszahl 2 Einführung in die mathematische Notation Bezeichner Primzahlen, Zähler

Mehr

2 Die Körper-Axiome. I. Axiome der Addition (A.1) Assoziativgesetz. Für alle x, y, z R gilt (x + y)+z = x +(y + z).

2 Die Körper-Axiome. I. Axiome der Addition (A.1) Assoziativgesetz. Für alle x, y, z R gilt (x + y)+z = x +(y + z). 17 Wir setzen in diesem Buch die reellen Zahlen als gegeben voraus. Um auf sicherem Boden zu stehen, werden wir in diesem und den folgenden Paragraphen einige Axiome formulieren, aus denen sich alle Eigenschaften

Mehr

2. Mathematische Grundlagen

2. Mathematische Grundlagen 2. Mathematische Grundlagen Erforderliche mathematische Hilfsmittel: Summen und Produkte Exponential- und Logarithmusfunktionen 21 2.1 Endliche Summen und Produkte Betrachte n reelle Zahlen a 1, a 2,...,

Mehr

2 RECHENGESETZE 2 auch dieses Rechengesetz gilt, wenn einmal bewiesen, natürlich vorwärts wie rückwärts, also gilt dann ebenfalls: Es folgt wieder der

2 RECHENGESETZE 2 auch dieses Rechengesetz gilt, wenn einmal bewiesen, natürlich vorwärts wie rückwärts, also gilt dann ebenfalls: Es folgt wieder der 1 DEFINITION DER POTENZIERUNG 1 Potenzgesetze 1 Definition der Potenzierung Wir definieren für eine rationale Zahl a und eine natürliche Zahl n die Potenzierung wie folgt: a n := a a a ::: a Diese Art

Mehr

10 Komplexe Zahlen. 2. Februar Komplexe Multiplikation: Für zwei Vektoren. z 1 =

10 Komplexe Zahlen. 2. Februar Komplexe Multiplikation: Für zwei Vektoren. z 1 = 2. Februar 2009 66 0 Komplexe Zahlen 0. Komplexe Multiplikation: Für zwei Vektoren [ [ a a2 z =, z 2 = in R 2 wird neben der üblichen Addition die komplexe Multiplikation [ a a z z 2 := 2 b b 2 a b 2 +

Mehr

Kapitel 3. Reelle Zahlen. Mit reellen Zahlen rechnen können wir im Prinzip schon. Wir können addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren.

Kapitel 3. Reelle Zahlen. Mit reellen Zahlen rechnen können wir im Prinzip schon. Wir können addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren. Kapitel 3 Reelle Zahlen Mit reellen Zahlen rechnen können wir im Prinzip schon. Wir können addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren. Division durch Null ist nicht erlaubt! 3.1 Ergänzungen

Mehr

Vokabelliste FB Mathematik Vokabeln 7./8. Klasse // Vokabeln 9./10. Klasse // Vokabeln Sek II. Mengenbegriffe:

Vokabelliste FB Mathematik Vokabeln 7./8. Klasse // Vokabeln 9./10. Klasse // Vokabeln Sek II. Mengenbegriffe: Vokabeln 7./8. Klasse // Vokabeln 9./10. Klasse // Vokabeln Sek II Mathematik Symbol, Definition Deutsch Erklärung Mengenbegriffe: natürlichen Zahlen natürlichen Zahlen inkl. der 0 ganzen Zahlen rationalen

Mehr

Mathematischer Vorkurs NAT-ING II

Mathematischer Vorkurs NAT-ING II Mathematischer Vorkurs NAT-ING II (02.09.2013 20.09.2013) Dr. Jörg Horst WS 2013-2014 Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 1 / 252 Kapitel 15 Komplexe Zahlen Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite

Mehr

Die Menge C der komplexen Zahlen wird im Kapitel Weitere Themen behandelt.

Die Menge C der komplexen Zahlen wird im Kapitel Weitere Themen behandelt. 1 1 Funktionen 1.1 Grundlegende Zahlenmengen Georg Cantor (1845-1918) hat den Begriff der Menge eingeführt. Man versteht darunter die Zusammenfassung einzelner Dinge, welche Elemente genannt werden, zu

Mehr

Mathematik 1 für Naturwissenschaften

Mathematik 1 für Naturwissenschaften Hans Walser Mathematik für Naturwissenschaften Modul 0 Einführung Hans Walser: Modul 0, Einführung ii Inhalt Zahlen.... Natürliche Zahlen.... Ganze Zahlen.... Rationale Zahlen.... Reelle Zahlen... Smbole....

Mehr

Vollständigkeit der reellen Zahlen

Vollständigkeit der reellen Zahlen Vollständigkeit der reellen Zahlen Vorlesung zur Didaktik der Analysis Oliver Passon Vollständigkeit von R 1 take home message I Wollte man mit Zahlen nur rechnen, könnte man mit den rationalen Zahlen

Mehr

2 Lineare Gleichungssysteme

2 Lineare Gleichungssysteme 2 Lineare Gleichungssysteme Betrachte ein beliebiges System von m linearen Gleichungen in den n Unbekannten x,,x n : a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 () a m x + a m2 x

Mehr

Matrizen. a12 a1. a11. a1n a 21. a 2 j. a 22. a 2n. A = (a i j ) (m, n) = i te Zeile. a i 1. a i 2. a i n. a i j. a m1 a m 2 a m j a m n] j te Spalte

Matrizen. a12 a1. a11. a1n a 21. a 2 j. a 22. a 2n. A = (a i j ) (m, n) = i te Zeile. a i 1. a i 2. a i n. a i j. a m1 a m 2 a m j a m n] j te Spalte Mathematik I Matrizen In diesem Kapitel werden wir lernen was Matrizen sind und wie man mit Matrizen rechnet. Matrizen ermöglichen eine kompakte Darstellungsform vieler mathematischer Strukturen. Zum Darstellung

Mehr

2 Die komplexen Zahlen als reeller Vektorraum

2 Die komplexen Zahlen als reeller Vektorraum Erik Werner Algebraizität und Transzendenz 1 Humboldt-Universität zu Berlin Institut für Mathematik Berufsbezogenes Fachseminar - Zahlentheorie Dozent: Prof. Dr. Jürg Kramer WS 14/15, 8.12.14 Referent:

Mehr

Aufgabensammlung Klasse 8

Aufgabensammlung Klasse 8 Aufgabensammlung Klasse 8 Inhaltsverzeichnis 1 Potenzen mit natürlichen Hochzahlen 3 1.1 Rechenregeln für das Rechnen mit Potenzen..................... 3 1.1.1 Addition und Subtraktion von Potenzen...................

Mehr

Unter dem Symbol n! (gelesen n Fakultät) versteht man das Produkt der natürlichen Zahlen von 1 bis n.

Unter dem Symbol n! (gelesen n Fakultät) versteht man das Produkt der natürlichen Zahlen von 1 bis n. Die Fakultät Definition: Unter dem Symbol n! (gelesen n Fakultät) versteht man das Produkt der natürlichen Zahlen von 1 bis n. n! = 1 2 3... (n 2) (n 1) n Zusätzlich wird definiert 0! = 1 Wie aus der Definition

Mehr

Zahlen und metrische Räume

Zahlen und metrische Räume Zahlen und metrische Räume Natürliche Zahlen : Die natürlichen Zahlen sind die grundlegendste Zahlenmenge, da man diese Menge für das einfache Zählen verwendet. N = {1, 2, 3, 4,...} Ganze Zahlen : Aus

Mehr

Vorkurs Mathematik. JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer. September/Oktober Lennéstraße 43, 1. OG

Vorkurs Mathematik. JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer. September/Oktober Lennéstraße 43, 1. OG Vorkurs Mathematik JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Lennéstraße 43, 1. OG pinger@uni-bonn.de September/Oktober 2017 JProf. Dr. Pia Pinger / Dr. Andreas Pondorfer Vorkurs Mathematik September/Oktober

Mehr

Komplexe Zahlen. Bernhard Ganter. Institut für Algebra TU Dresden D Dresden

Komplexe Zahlen. Bernhard Ganter. Institut für Algebra TU Dresden D Dresden Komplexe Zahlen Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de Körper sind nullteilerfrei Für Elemente a, b eines Körpers gilt stets: Aus a b = 0 folgt a

Mehr

3. Diskrete Mathematik

3. Diskrete Mathematik Diophantos von Alexandria um 250 Georg Cantor 1845-1918 Pythagoras um 570 v. Chr Pierre de Fermat 1607/8-1665 Seite 1 Inhalt der Vorlesung Teil 3: Diskrete Mathematik 3.1 Zahlentheorie: Abzählbarkeit,

Mehr

Zahlen. Bernhard Ganter. Institut für Algebra TU Dresden D Dresden

Zahlen. Bernhard Ganter. Institut für Algebra TU Dresden D Dresden Zahlen Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de Die natürlichen Zahlen Für eine beliebige Menge S definiert man den Nachfolger S + durch S + := S {S}.

Mehr

Die komplexen Zahlen

Die komplexen Zahlen Die komplexen Zahlen Wir haben gesehen, dass die Menge R der reellen Zahlen einen angeordneten Körper bildet und dass für die Menge Q der rationalen Zahlen entsprechendes gilt. In beiden Körpern sind Gleichungen

Mehr

1.2 Mengenlehre I-Einführung in die reellen Zahlen

1.2 Mengenlehre I-Einführung in die reellen Zahlen .2 Mengenlehre I-Einführung in die reellen Zahlen Inhaltsverzeichnis Checkliste 2 2 Repetition 2 3 Dezimalzahlen 3 4 Die Darstellung von Brüchen als Dezimalzahlen 3 5 irrationale Zahlen 4 6 Beispiele von

Mehr

Vektoren. Vektorrechnung

Vektoren. Vektorrechnung Vektoren Dieser Text behandelt das Thema Vektoren, sowei es die gymnasiale Oberstufe betrifft. Vektoren können mehr als das, aber das würde in diesem Überblich zu weit führen. Ein großes Defizit der meisten

Mehr

Vorkurs Mathematik. JProf. Dr. Pia Pinger. April Lennéstraße 43, 1. OG

Vorkurs Mathematik. JProf. Dr. Pia Pinger. April Lennéstraße 43, 1. OG Vorkurs Mathematik JProf. Dr. Pia Pinger Lennéstraße 43, 1. OG pinger@uni-bonn.de April 2017 JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik April 2017 1 / 74 Ein paar Tipps vorab Be gritty : Perseverance and

Mehr

Mathematik für Naturwissenschaftler I WS 2009/2010

Mathematik für Naturwissenschaftler I WS 2009/2010 Mathematik für Naturwissenschaftler I WS 2009/2010 Lektion 4 23. Oktober 2009 Kapitel 1. Mengen, Abbildungen und Funktionen (Fortsetzung) Berechnung der Umkehrfunktion 1. Man löst die vorgegebene Funktionsgleichung

Mehr

Irrationale Zahlen. Drei einfache Beweise für die Irrationalität von Zahlen

Irrationale Zahlen. Drei einfache Beweise für die Irrationalität von Zahlen Astrophysikalisches Institut Neunhof Mitteilung sd01311, Februar 2010 1 Irrationale Zahlen Drei einfache Beweise für die Irrationalität von Zahlen Übersicht Nach einer kurzen Überlegung im Abschnitt 1

Mehr

Vorkurs: Mathematik für Informatiker

Vorkurs: Mathematik für Informatiker Vorkurs: Mathematik für Informatiker Teil 3 Wintersemester 2016/17 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17 Inhaltsverzeichnis Teil 1 Teil

Mehr

A Die Menge C der komplexen Zahlen

A Die Menge C der komplexen Zahlen A Die Menge C der komplexen Zahlen (Vgl. auch Abschnitt C) A.1 Definition Wir erweitern R um eine Zahl i / R (genannt imaginäre Einheit) mit der Eigenschaft i 2 i i = 1. (653) Unter einer komplexen Zahl

Mehr

ax 2 + bx + c = 0, (4.1)

ax 2 + bx + c = 0, (4.1) Kapitel 4 Komplexe Zahlen Wenn wir uns auf die reellen Zahlen beschränken, ist die Operation des Wurzelziehens (also die Umkehrung der Potenzierung) nicht immer möglich. Zum Beispiel können wir nicht die

Mehr

1.Rationale und irrationale Zahlen. Quadratwurzel.

1.Rationale und irrationale Zahlen. Quadratwurzel. 1.Rationale und irrationale Zahlen 1.1Quadratwurzeln Die Quadratwurzel aus einer rationalen Zahl 5 = 5; denn 5 = 5 und 5 > 0 r > 0 (geschrieben r ) ist diejenige nichtnegative Zahl, deren Quadrat r ergibt.

Mehr

Vorkurs Mathematik. JProf. Dr. Pia Pinger. September/Oktober Lennéstraße 43, 1. OG

Vorkurs Mathematik. JProf. Dr. Pia Pinger. September/Oktober Lennéstraße 43, 1. OG Vorkurs Mathematik JProf. Dr. Pia Pinger Lennéstraße 43, 1. OG pinger@uni-bonn.de September/Oktober 2017 JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik September/Oktober 2017 1 / 74 Ein paar Tipps vorab Be gritty

Mehr

Komplexe Zahlen und Allgemeines zu Gruppen

Komplexe Zahlen und Allgemeines zu Gruppen Komplexe Zahlen und Allgemeines zu Gruppen Die komplexen Zahlen sind von der Form z = x + iy mit x, y R, wobei i = 1 als imaginäre Einheit bezeichnet wird. Wir nennen hierbei Re(z = x den Realteil von

Mehr

1 Algebraische Strukturen

1 Algebraische Strukturen Prof. Dr. Rolf Socher, FB Technik 1 1 Algebraische Strukturen In der Mathematik beschäftigt man sich oft mit Mengen, auf denen bestimmte Operationen definiert sind. Es kommt oft vor, dass diese Operationen

Mehr

Mathematik I Herbstsemester 2014 Kapitel 7: Komplexe Zahlen

Mathematik I Herbstsemester 2014 Kapitel 7: Komplexe Zahlen Mathematik I Herbstsemester 2014 Kapitel 7: Komplexe Zahlen www.math.ethz.ch/education/bachelor/lectures/hs2014/other/mathematik1 BIOL Prof. Dr. Erich Walter Farkas http://www.math.ethz.ch/ farkas 1/60

Mehr

1. Gruppen. 1. Gruppen 7

1. Gruppen. 1. Gruppen 7 1. Gruppen 7 1. Gruppen Wie schon in der Einleitung erläutert wollen wir uns in dieser Vorlesung mit Mengen beschäftigen, auf denen algebraische Verknüpfungen mit gewissen Eigenschaften definiert sind.

Mehr

Die Menge der reellen Zahlen vereinigt die Menge der rationalen Zahlen mit der Menge der irrationalen

Die Menge der reellen Zahlen vereinigt die Menge der rationalen Zahlen mit der Menge der irrationalen 9 Menge der natürlichen Zahlen Axiome von Peano: 1. 1 ist eine natürliche Zahl. 2. Jede Zahl a hat einen bestimmten Nachfolger a + in der Menge der natürlichen Zahlen.. Stets ist a + 1, d.h. es gibt keine

Mehr

(a) Motivation zur Definition komplexer Zahlen

(a) Motivation zur Definition komplexer Zahlen 1 Anhang B (a) Motivation zur Definition komplexer Zahlen Neue Zahlen wurden stets dann definiert, wenn die Anwendung von Rechenoperationen auf bekannte Zahlen innerhalb der Menge letzterer keine Lösung

Mehr

Mengenlehre. ALGEBRA Kapitel 1 MNProfil - Mittelstufe KZN. Ronald Balestra CH Zürich Name: Vorname:

Mengenlehre. ALGEBRA Kapitel 1 MNProfil - Mittelstufe KZN. Ronald Balestra CH Zürich  Name: Vorname: Mengenlehre ALGEBRA Kapitel 1 MNProfil - Mittelstufe KZN Ronald Balestra CH - 8046 Zürich www.ronaldbalestra.ch Name: Vorname: 21. August 2016 Inhaltsverzeichnis 1 Mengenlehre 1 1.1 Die Menge im mathematischen

Mehr

Neben der Addition tritt nun die Multiplikation als weitere Struktureigenschaft

Neben der Addition tritt nun die Multiplikation als weitere Struktureigenschaft Kapitel 3 Rationale Zahlen 31 Die rationalen Zahlen (Körper, Abzählbarkeit) Was ist mit der Gleichung z q = w in Z? Für gegebene z, w Z ist diese Gleichung in der Menge der ganzen Zahlen im Allgemeinen

Mehr

ALGEBRA UND MENGENLEHRE

ALGEBRA UND MENGENLEHRE ALGEBRA UND MENGENLEHRE EINE EINFÜHRUNG GRUNDLAGEN DER ALGEBRA 1 VARIABLE UND TERME In der Algebra werden für Grössen, mit welchen gerechnet wird, verallgemeinernd Buchstaben eingesetzt. Diese Platzhalter

Mehr

Dieses Kapitel widmet sich den komplexen Zahlen. Die in den folgenden Kapiteln dargestellten Themen können damit

Dieses Kapitel widmet sich den komplexen Zahlen. Die in den folgenden Kapiteln dargestellten Themen können damit Komplexe Zahlen Dieses Kapitel widmet sich den komplexen Zahlen. Die in den folgenden Kapiteln dargestellten Themen können damit komplex gelesen werden. Allerdings ist diese Sichtweise nicht unbedingt

Mehr

Kapitel II. Vektoren und Matrizen

Kapitel II. Vektoren und Matrizen Kapitel II. Vektoren und Matrizen Vektorräume A Körper Auf der Menge R der reellen Zahlen hat man zwei Verknüpfungen: Addition: R R R(a, b) a + b Multiplikation: R R R(a, b) a b (Der Malpunkt wird oft

Mehr

Die komplexen Zahlen werden definiert als die geordneten Paare z = (x, y) reeller Zahlen x, y R, zusammen mit den Rechenoperationen

Die komplexen Zahlen werden definiert als die geordneten Paare z = (x, y) reeller Zahlen x, y R, zusammen mit den Rechenoperationen 2 Komplexe Zahlen 2.1 Definition Die omplexen Zahlen werden definiert als die geordneten Paare z = (x, y) reeller Zahlen x, y R, zusammen mit den Rechenoperationen z 1 + z 2 (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 ) :=

Mehr

Mengen (siehe Teschl/Teschl 1.2)

Mengen (siehe Teschl/Teschl 1.2) Mengen (siehe Teschl/Teschl 1.2) Denition nach Georg Cantor (1895): Eine Menge ist eine Zusammenfassung von bestimmten und wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem

Mehr

2 Rationale und reelle Zahlen

2 Rationale und reelle Zahlen 2 reelle Es gibt Mathematik mit Grenzwert (Analysis) und Mathematik ohne Grenzwert (z.b Algebra). Grenzwerte existieren sicher nur dann, wenn der Zahlbereich vollständig ist, also keine Lücken aufweist

Mehr

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 8 1. Semester ARBEITSBLATT 8 RECHNEN MIT POTENZEN. 1) Potenzen mit negativer Basis

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 8 1. Semester ARBEITSBLATT 8 RECHNEN MIT POTENZEN. 1) Potenzen mit negativer Basis ARBEITSBLATT 8 RECHNEN MIT POTENZEN ) Potenzen mit negativer Basis Zur Erinnerung: = = 6 Der Eponent gibt also an, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert werden muss. Die Basis muss natürlich

Mehr

Definitions- und Formelübersicht Mathematik

Definitions- und Formelübersicht Mathematik Definitions- Formelübersicht Mathematik Definitions- Formelübersicht Mathematik Mengen Intervalle Eine Menge ist eine Zusammenfassung von wohlunterschiedenen Elementen zu einem Ganzen. Dabei muss entscheidbar

Mehr

3 Matrizenrechnung. 3. November

3 Matrizenrechnung. 3. November 3. November 008 4 3 Matrizenrechnung 3.1 Transponierter Vektor: Die Notation x R n bezieht sich per Definition 1 immer auf einen stehenden Vektor, x 1 x x =.. x n Der transponierte Vektor x T ist das zugehörige

Mehr

Beispiele 1. Gegeben ist das lineare System. x+4y +3z = 1 2x+5y +9z = 14 x 3y 2z = 5. Die erweiterte Matrix ist

Beispiele 1. Gegeben ist das lineare System. x+4y +3z = 1 2x+5y +9z = 14 x 3y 2z = 5. Die erweiterte Matrix ist 127 Die Schritte des Gauß-Algorithmus sind nun die Folgenden: 1. Wir bestimmen die am weitesten links stehende Spalte, die Einträge 0 enthält. 2. Ist die oberste Zahl der in Schritt 1 gefundenen Spalte

Mehr

Die komplexen Zahlen

Die komplexen Zahlen Die komplexen Zahlen Dr. Bommhardt. Das Vervielfältigen dieses Arbeitsmaterials zu nicht kommerziellen Zwecken ist gestattet. www.bommi2000.de 1 Die nicht lösbaren quadratischen Gleichungen Seite 1 2 Das

Mehr

Vorlesung. Mathematik 1. Prof. Dr. M Herty (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30

Vorlesung. Mathematik 1. Prof. Dr. M Herty (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER / 30 Vorlesung Mathematik 1 Prof. Dr. M Herty (IGPM) MATHEMATIK 1 8. SEPTEMBER 2016 1 / 30 Vorlesung Mathematik 1 Prof. Dr. M Herty Diese Vorlesung: Mengen Reelle Zahlen Elementare Funktionen Anwendungsbeispiel:

Mehr