Facharbeit über den Beweis der Existenz der Euler schen Gerade in ebenen Dreiecken.

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1 Fhreit üer den Beweis der Eistenz der Euler shen Gerde in eenen Dreieken. Verfßt von Ing. Wlter Höhlhumer im Mi und ergänzt im Juli

2 Eistenz der Euler shen Gerde Eistenz der Euler shen Gerde Eistenz der Euler shen Gerde 1 Shwerpunkt Berehnung des Shwerpunkts Höhenshnittpunkt 4 Berehnung des Höhenshnittpunkts 4 Umkreismittelpunkt 4 Berehnung des Umkreismittelpunkts 4 Folgerung uf die Eistenz der Euler shen Gerde 5 Shlußwort 5 Kurzer Leensluf Fehler! Tetmrke niht definiert. Die Euler she Gerde verläuft in eenen Dreieken durh die Punkte: i. Shwerpunkt ii. Höhenshnittpunkt iii. Umkreismittelpunkt Wir zeigen nheinnder die Eistenz dieser Punkte und m Shluß n Hnd dieser Punkte dnn die Eistenz der Euler shen Gerde. Vorweg sei gesgt, dß ei gleihseitigen Dreieken lle Punkte in sih zusmmenfllen und die Definition der Euler shen Gerde versgt - ein gleihseitiges Dreiek esitzt keine Euler she Gerde. Hier sei ngemerkt, dß der Inkreismittelpunkt niht uf der Euler shen Gerden liegt, er ei gleihseitigen Dreieken ident mit den nderen Punkten ist. Wir legen ds Dreiek in ein Koordintensystem und legen dei ohne Beshränkung der Allgemeinheit folgendes fest: Der Punkt A liegt der Seite gegenüer, der Punkt B liegt der Seite gegenüer und der Punkt C liegt der Seite gegenüer. Der Punkt C efindet sih uf der y-ahse mit positiver y-koordinte, die Seite liegt uf der -Ahse, der Punkt A ht eine negtive -Koordinte und der Punkt B eine positive -Koordinte. Siehe dzu folgende Aildung, welhe dies zur Verdeutlihung zeigt. Anmerkungen zur folgenden Aildung: Ih he der Üersihtlihkeit hler ein Dreiek - ein stumpfwinkeliges Dreiek - gewählt, ei dem die Punkte niht zu eng eismmen liegen; dher shneiden die Höhenlinien ußerhl des Dreieks zw. uf der Verlängerung der Dreieksseiten (Höhenshnittpunkt H); eenso die Seitensymmetrlen shneiden sih ußerhl des Dreieks (Umkreismittelpunkt U). Den Inkreismittelpunkt h ih durh ein Kreuz nur ndeutungsweise eingezeihnet. von Ing. Wlter Höhlhumer Seite 1 im Mi und Juli

3 Eistenz der Euler shen Gerde Aildung Weiters verwenden wir ei den folgenden Berehnungen folgende Ortsvektoren: =, =, = ; weiters den Vektor = y, welhen wir llgemein verwenden. von Ing. Wlter Höhlhumer Seite im Mi und Juli

4 Eistenz der Euler shen Gerde Shwerpunkt Definition: Der Shwerpunkt ist ls Shnittpunkt der Shwerlinien, welhe vom Hlierungspunkt zum gegenüerliegenden Ekpunkt verlufen, definiert. Berehnung des Shwerpunkts s : + = + = + λ λ s : + = + = + µ µ s : + = + = + ν + ν Wir setzen die Gerdengleihungen in Prmeterdrstellung der ersten eiden Shwerlinien gleih und erhlten dmit ein Gleihungssystem in Vrilen. s = s + = + : λ µ : I λ µ + = + II:+ λ = + µ Aus der Gleihung II folgt dß: λ = µ, weiters folgt us Gleihung I, dß: λ = µ = ist. Aus den eiden Gleihungen folgen der Ortsvektor für den Shwerpunkt: s = ( ) Bei Betrhtung der Gerdengleihung für die dritte Shwerlinie s folgt dß, ν = des Shwerpunkt ewiesen, und dß der Shwerpunkt die Shwerlinien im Verhältnis : 1 teilt. ; somit ist die Eistenz von Ing. Wlter Höhlhumer Seite im Mi und Juli

5 Eistenz der Euler shen Gerde Höhenshnittpunkt Definition: Der Höhenshnittpunkt ist ls Shnittpunkt der Höhenlinien, welhe norml uf die Dreieksseite zw. deren Verlängerung stehen und durh den gegenüerliegenden Ekpunkt verlufen, definiert. Berehnung des Höhenshnittpunkts h : ( )[ ] = h : ( )[ ] = h : ( )[ ] = h : y = h : y = ( ) h : = Bei Betrhtung des Gleihungssystems erkennen wir, dß die Gerdengleihung der dritten Höhenlinie h sih durh eine Linerkomintion der eiden nderen usdrüken läßt; dmit ist die Eistenz des Höhenshnittpunktes ewiesen; für den Eistenzeweis der Euler shen Gerden errehnen wir noh den Ortsvektor des Höhenshnittpunktes: h Umkreismittelpunkt Definition: Der Umkreismittelpunkt ist ls Shnittpunkt der Seitensymmetrlen definiert. Berehnung des Umkreismittelpunkts s : 1 AB ( ) ( + ) sac : 1 ( ) ( + ) 1 ( ) ( + ) s : BC s : AB = 1 + ( ) ( ) = 1 + = = 1 = 1 von Ing. Wlter Höhlhumer Seite 4 im Mi und Juli

6 Eistenz der Euler shen Gerde s : + AC y = 1 + ( ) s : + BC y = 1 + ( ) Bei Betrhtung des Gleihungssystems erkennen wir, dß die Gerdengleihung der ersten Seitensymmetrle s AB sih durh eine Linerkomintion der eiden nderen usdrüken läßt; dmit ist die Eistenz des Umkreismittelpunktes ewiesen; für den Eistenzeweis der Euler shen Gerden errehnen wir noh den Ortsvektor des Umkreispunktes: u + Folgerung uf die Eistenz der Euler shen Gerde h, s, u + ; Es genügt zu zeigen dß der Differenzvektor zweier Punkte ein Vielfhes dem Differenzvektor zweier nderer Punkte ist. λ µ ( h s) = ( s u) + λ µ = λ µ Wegen der Gleihheit muß λ = µ λ = µ gelten. Dmit ist zur Eistenz zusätzlih gezeigt, dß der Astnd zwishen Höhenshnittpunkt und Shwerpunkt ds Doppelte des Astndes zwishen Shwerpunkt und Umkreismittelpunkt ist. Quod ert demonstrndum. Shlußwort Hier wurde gezeigt, dß sih die Punkte (Shwerpunkt, Höhenshnittpunkt und Umkreismittelpunkt) uf einer Gerde - der Euler shen Gerden - efinden. Aus Auslik sei nzumerken, dß sih ein weiterer Punkt - der Mittelpunkt des Feuerh shen Kreises - sih eenflls uf der Euler shen Gerden efindet. von Ing. Wlter Höhlhumer Seite 5 im Mi und Juli

7 Eistenz der Euler shen Gerde Kurzer Leensluf Georen: Mutter: Vter:. August 1974 in Wien XVIII; Ann Höhlhumer (Pensionistin), Wlter Stettner (pensionierter Postemter); Grundshule: Volksshule I in Grieskirhen von 1981 is 1985; Gymnsium: Relgymnsium Bd Ishl (Internt im. 1. Semester des 1. Jhrgnges); Relgymnsium Anton Bruknerstr. 16 in Wels von 1986 is 199 (is zum 1. Semester des 7. Jhrgnges); Berufsusildung zw. Tehnishe Lehrnstlt: Höhere Tehnishe Lehrnstlt f. EDV und Orgnistion in Leonding von 199 is 1997 (shloß die HTL erfolgreih mit Mtur ); Berufliher Werdegng: seit 1997 ls Systemprogrmmierer im Rehenzentrum eim Amt d. oö. Lndesregierung; Ih erknnte ereits während der Unterstufe im Gymnsium (. und 4. Jhrgng) mein Interesse und gleihzeitig uh meine Begung in eine mthemtishe Rihtung; mih interessierte shon dmls der Lehrstoff für die höheren Jhrgänge; orgte mir im. Jhrgng ds Mthemtikuh des 4. Jhrgngs us, sowie dnn im Lufe des 4. Jhrgngs, dnn die Büher der gesmten Oerstufe; Im 5. Jhrgng (Oerstufe) nhm ih n der Mthemtik-Olympide teil, elegte dort unter den Kursteilnehmern den. Pltz (1. Pltz wr ein Shüler us dem 7. Jhrgng und die weiteren Plätze elegten Shüler us dem 6. Jhrgng). D ih mih in der Freizeit neen der Areit sehr gerne mit mthemtishen Knoeleien und Tüfteleien sowie uh Beweisen eshäftige, elegte ih in den Jhren is 6 neen der Areit mehrere Kurse des Diplomstudiums der Mthemtik mit Neenfh Informtik mit Ashlußziel Mthemtishe Systemnlyse n der Fernuniversität/Gesmthohshule Hgen (Nordrhein-Westflen, Deutshlnd). von Ing. Wlter Höhlhumer Seite 6 im Mi und Juli

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