Eulersche Gerade und Feuerbachscher Kreis

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Eulersche Gerade und Feuerbachscher Kreis"

Transkript

1 ulersche Gerde und Feuerbchscher Kreis ns-gert Gräbe, Leipzig 6. Jnur 1999 Tripel von Gerden, wie etw die öhen, Seitenhlbierenden oder die Winkelhlbierenden eines reiecks, fsst mn unter dem Oberbegriff der cktrnsverslen zusmmen. Neben den gennnten gibt es noch eine Reihe nderer cktrnsverslen, die ebenflls oft bemerkenswerte igenschften besitzen. eknntlich schneiden sich die drei öhen, Seitenhlbierenden, Winkelhlbierenden und Mittelsenkrechten (letztere gehören llerdings nicht zu den cktrnsverslen) jeweils in einem Punkt. rei solche Gerden, die durch einen gemeinsmen Punkt gehen, bezeichnet mn ls konkurrent. Für die Winkelhlbierenden und Mittelsenkrechten ist dies leicht einzusehen, indem mn ihre igenschften ls geometrischer estimmungsort hernzieht. Sie sind beknntlich die Menge ller Punkte, die von zwei gegebenen Gerden (Winkelhlbierende) bzw. zwei gegebenen Punkten (Mittelsenkrechte) gleichweit entfernt sind. us diesen eweisen folgt zugleich die hrkterisierung des jeweiligen Schnittpunkts ls Mittelpunkt des Inbzw. Umkreises. uch für die Seitenhlbierenden ist ein eweis der Konkurrenz nicht besonders schwierig, wenn mn den Strhlenstz und seine Umkehrungen zu hndhben weiß. er Schnittpunkt ist der Schwerpunkt, ws sich besonders einfch us einer vektorgeometrischen Interprettion ergibt, uf die wir hier ber nicht weiter eingehen wollen. ufgbe 1 Überlege ir die etils der jeweiligen eweise. 1 s öhenfußpunktdreieck Schwieriger ist es schon zu beweisen, dss sich die drei öhen eines reiecks in einem Punkt schneiden. This mteril belongs to the Public omin KoSemNet dt bse. It cn be freely used, distributed nd modified, if properly ttributed. etils re regulted by the retive ommons ttribution License, see For the KoSemNet project see 1

2 in direkter eweis könnte etw wie folgt geführt werden: ie öhen us und us mögen sich im Punkt schneiden. ie beiden öhenfußpunkte und F liegen dnn uf zwei Thleskreisen, einem über dem Rdius und einem zweiten über dem Rdius. Zeige, dss die jeweils durch bzw. b mrkierten Peripheriewinkel in nebenstehender Figur gleichgroß sind und leite drus b, dss die dritte öhe des reiecks ist. F ufgbe 2 Überlege ir die etils dieses eweises. ild 1 Neben diesem direkten eweis gibt es noch zwei weitere eweise, die igenschften der öhen nutzen. uf den drei öhen des reiecks sei in den ckpunkten jeweils die Senkrechte errichtet (ild 2). iese drei Gerden bilden ihrerseits ein reieck. F b b ufgbe 3 Zeige (ohne die Konkurrenz der öhen zu verwenden), dss die öhen im lten reieck die Mittelsenkrechten im neuen reieck und somit konkurrent sind. b ild 2 in ähnlich interessntes reieck, ds sogennnte öhenfußpunktdreieck, erhält mn, wenn mn die öhenfußpunkte, und F miteinnder verbindet. 2

3 ufgbe 4 Zeige, dss die öhen die Winkelhlbierenden im öhenfußpunktdreieck (und dmit konkurrent) sind. F Zeige dzu, dss die in nebenstehender Figur mit mrkierten Winkel lle gleichgroß sind. (inweis: etrchte die Thleskreise über und.) O ieses öhenfußpunktdreieck ht eine Reihe weiterer bemerkenswerter igenschften: 1. ie reiecke F, F und sind einnder ähnlich. 2. ie Lote us uf F, us uf F und us uf sind konkurrent. (Sie schneiden sich im Umkreismittelpunkt O des reiecks.) 3. ezeichnen wir mit α, β, γ die Größen der Innenwinkel im reieck, so gilt O = β γ, O = α γ, O = α β. ufgbe 5 eweise diese eziehungen. 2 s Mittendreieck und die ulersche Gerde in weiteres interessntes reieck, ds in enger eziehung zum reieck steht, erhält mn, wenn mn die drei Seitenmitten,, miteinnder verbindet. ieses sogennnte Mittendreieck ist dem ursprünglichen reieck nicht nur ähnlich, sondern knn us diesem sogr durch eine Streckung um den Fktor 1 2 gewonnen werden, wie mn sofort erkennt, wenn mn die einnder entsprechenden ckpunkte verbindet. In der Tt, diese Verbindungsgerden sind die Seitenhlbierenden, die durch einen gemeinsmen Punkt gehen und von diesem im Verhältnis 2 : 1 geteilt werden, worus die ehuptung nch der Umkehrung des Strhlenstzes folgt. S s Mittendreieck Zwei Figuren heißen in Ähnlichkeitslge, wenn mn zwischen den Punkten der beiden Figuren eine solche Zuordnung treffen knn, dss einnder entsprechende Strecken prllel sind. ie beiden reiecke und befinden sich lso in Ähnlichkeitslge. Interessnterweise folgt us der Prllelität homologer Strecken bereits die xistenz eines Streckungszentrums wie in unserem Fll (ds mn überdies durch Verbinden einnder entsprechender Punkte finden knn). 3

4 Stz 1 (Stz von esrgue) efinden sich die reiecks und RST in Ähnlichkeitslge, d.h. gilt RS, RT und ST, so gehen die drei Gerden R, S und T durch einen gemeinsmen Punkt (und werden von diesem im selben Verhältnis geteilt). ufgbe 6 Leite diesen Stz us dem Strhlenstz her. (inweis: ie Gerden R und S mögen sich in O schneiden. Zeige, dss dnn O durch T geht.) o <- oehenschnittpunkt N = O o =O Schwerpunkt S -> o Umkreismittelpunkt O -> o ie ulersche Gerde Wenden wir uns nch diesem kleinen inschub wieder unserem Mittendreieck zu. Um einzusehen, dss sich und in Ähnlichkeitslge befinden, benötigen wir die oben gennnte igenschft der Seitenhlbierenden nicht. Um etw die Prllelität von und zu zeigen, reicht eine einfche rgumenttion in der Strhlenstzfigur mit Zentrum usw. ierus und us dem Stz von esrgue folgt nun, dss sich die Seitenhlbierenden in einem Punkt S schneiden und von diesem im Verhältnis 2 : 1 geteilt werden. Wir erhlten einen neuen eweis für die Konkurrenz der Seitenhlbierenden eines reiecks. ber uch die Verbindungsstrecke nderer Pre homologer Punkte geht durch dieses Streckungszentrum und wird von ihm im selben Verhältnis geteilt. etrchten wir die Verbindungsstrecke der öhenschnittpunkte und der beiden reiecke. die öhen im Mittendreieck gerde die Mittelsenkrechten im usgngsdreieck sind, fällt mit dem Umkreismittelpunkt O des reiecks zusmmen. Wir erhlten folgenden Stz 2 ie Verbindungsstrecke O von Umkreismittelpunkt O und öhenschnittpunkt des reiecks geht durch dessen Schwerpunkt S und wird von diesem im Verhältnis 2 : 1 geteilt. ie drei Punkte, S und O liegen lso uf einer gemeinsmen Gerden, die mn ls die ulersche Gerde bezeichnet. en Umkreismittelpunkt O des Mittendreiecks finden wir uf dieselbe Weise: die Verbindungsstrecke OO ebenflls durch ds gemeinsme Streckungszentrum S verlufen muss und von diesem im Verhältnis 2 : 1 geteilt wird, liegt O ebenflls uf der ulerschen Gerden und fällt mit dem Mittelpunkt N der Strecke O zusmmen. ie etils erschließen sich leicht us nebenstehender Figur. 4

5 3 er Feuerbchsche Kreis s Mittendreieck entstnd us durch Streckung mit dem Zentrum S. Strecken wir es um den Fktor 1 2 mit dem Zentrum, so gehen die ckpunkte,, in die Mitten der oberen öhenbschnitte U, V, W über. iese Punkte sind bemerkenswert, weil sich dort die Zentren der Thleskreise befinden, die sich z.. für die Lösung der ufgbe 2 ls nützlich erwiesen. Offensichtlich befinden sich ds reieck UV W und ds Mittendreieck in Ähnlichkeitslge mit dem Fktor 1 2 : 1 2 = 1, d.h. beide reiecke gehen durch eine Punktspiegelung n ihrem gemeinsmen Streckungszentrum, dessen Lge wir sogleich bestimmen wollen, ineinnder über. wir den Streckungsfktor schon kennen, finden wir ds Zentrum ls Mittelpunkt jeder Strecke, die Originl- und ildpunkt miteinnder verbinden. Offensichtlich ist der öhenschnittpunkt im reieck UV W. wir schon wissen, dss O der öhenschnittpunkt im reieck ist, erhlten wir lso ls Streckungszentrum in diesem Fll den uns bereits wohlbeknnten Punkt N. UV W entsteht lso durch rehung von um N um einen Winkel von 180. Wir erinnern uns, dss N zugleich der Umkreismittelpunkt von ist. er Umkreis dieses reiecks ist dmit zugleich Umkreis des reiecks UV W. in Kreis, der durch 6 derrt bemerkenswerte Punkte in einem reieck verläuft, verdient einen eigenen Nmen. Mn nennt diesen Kreis den Feuerbchschen Kreis. uf nebenstehender Figur erkennen wir, dss er (in dieser Figur) drei weitere bemerkenswerte Punkte pssiert, die öhenfußpunkte. s ist kein Zufll: U ein urchmesser des Feuerbchkreises ist, muss nch dem Thlesstz der öhenfußpunkt uf dessen Peripherie liegen. Ähnliches gilt für die beiden nderen öhenfußpunkte und F. 5

6 U N O V W er Feuerbchsche Kreis Stz 3 er Feuerbchkreis ist der gemeinsme Umkreis des Mittendreiecks und des öhenfußpunktdreiecks. r verläuft weiterhin durch die drei Mittelpunkte der oberen öhenbschnitte. ss der Feuerbchkreis der gemeinsme Umkreis des Mittendreiecks und des öhenfußpunktdreiecks ist, wusste schon uler (1765), weshlb mn diesen Kreis oft uch den ulerschen Kreis nennt. Whrscheinlich wr diese igenschft ber bereits vorher beknnt. inen vollständigen eweis ller ussgen obigen Stzes findet mn erstmls bei Poncelet (1821). Feuerbch fnd eine weitere wirklich bemerkenswerte igenschft dieses Kreises, weshlb mn heute seinen Nmen mit diesem Kreis verbindet: er Feuerbchkreis berührt den Inkreis und die drei nkreise des reiecks. in eweis knn n dieser Stelle nicht geführt werden, weil dzu weitere (elementrgeometrische) ilfsmittel erforderlich sind. der Feuerbchkreis des reiecks ber zugleich der Feuerbchkreis der reiecke, und ist (wrum?), berührt er uch deren In- und nkreise, lso insgesmt 16 spezielle Kreise. in wirklich bemerkenswertes geometrisches Objekt! ttribution Section grebe ( ): ontributed to KoSemNet 6

Von Winkelfunktionen zur Dreiecksgeometrie

Von Winkelfunktionen zur Dreiecksgeometrie Von Winkelfunktionen zur Dreiecksgeometrie Jens Wirth, Freiberg wirth@mth.tu-freiberg.de 1 Definition y Es sei P ein Punkt uf dem Einheitskreis, 10P = φ. Dnn besitzt 1 P P die Koordinten (cos(φ), sin(φ)).

Mehr

6. Landeswettbewerb Mathematik Bayern 2. Runde 2003/04 Aufgaben und Lösungsbeispiele

6. Landeswettbewerb Mathematik Bayern 2. Runde 2003/04 Aufgaben und Lösungsbeispiele 6. Lndeswettbewerb Mthemtik yern. Runde 00/04 ufgben und Lösungsbeispiele ufgbe 1 ie Seite [] eines reiecks wird über hinus bis zum Punkt so verlängert, dss = n gilt (n N n>1). ie Gerde durch und den Mittelpunkt

Mehr

Eine interessante Eigenschaft unseres Schreibpapiers

Eine interessante Eigenschaft unseres Schreibpapiers www.mthegmi.de September 2011 Eine interessnte Eigenschft unseres Schreibppiers ichel Schmitz Zusmmenfssung ällt mn von einer Ecke eines I 4 lttes ds Lot uf die igonle durch die benchbrten Eckpunkte, so

Mehr

Einige elementargeometrische Sätze über Dreiecke

Einige elementargeometrische Sätze über Dreiecke Seite I Einige elementrgeometrische Sätze üer Dreiecke Durch drei nicht uf einer Gerden gelegene (d.h. nicht-kollinere) Punkte A, B, C in der euklidischen Eene ein Dreieck ABC mit Seiten,, c und (Innen-)Winkeln,,

Mehr

Parallelprojektion einer Ebene in eine andere Ebene: Motivation für die Abbildungsvorschrift von Achsenaffinitäten.

Parallelprojektion einer Ebene in eine andere Ebene: Motivation für die Abbildungsvorschrift von Achsenaffinitäten. rllelprojektion durch Sonne 1 rllelprojektion durch Sonne 2 Kpitel 4: ffine bbildungen rllelprojektion einer Ebene in eine ndere Ebene: Motivtion für die bbildungsvorschrift von chsenffinitäten. E 1 Figuren

Mehr

Die Dreiecke ADM A und BCM C sind kongruent aufgrund

Die Dreiecke ADM A und BCM C sind kongruent aufgrund Westfälische Wilhelms-Universität Münster Mthemtisches Institut pl. Prof. Dr. Lutz Hille Dr. Krin Hlupczok Üungen zur Vorlesung Elementre Geometrie Sommersemester 010 Musterlösung zu ltt 4 vom 3. Mi 010

Mehr

Aufgaben zur Vertiefung der Geometrie. WS 2005/06 5./6. Dezember 2005 Blatt 3

Aufgaben zur Vertiefung der Geometrie. WS 2005/06 5./6. Dezember 2005 Blatt 3 ufgben zur Vertiefung der Geometrie WS 2005/06 5./6. ezember 2005 ltt 3 1. Umkugel und Innenkugel eines Tetreders Leiten Sie die Formel für ds Volumen, die Oberfläche, den Rdius der umbeschriebenen und

Mehr

Tutorium zur Vorlesung Grundlagen der Mathematik II Bearbeitungsvorschlag

Tutorium zur Vorlesung Grundlagen der Mathematik II Bearbeitungsvorschlag MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Dr. E. Schörner SS 017 Bltt 8 0.06.017 Tutorium zur Vorlesung Grundlgen der Mthemtik II Berbeitungsvorschlg 9. Zu betrchten ist ein gleichseitiges Dreieck

Mehr

2 Trigonometrische Formeln

2 Trigonometrische Formeln Mthemtische Probleme, SS 013 Donnerstg.5 $Id: trig.tex,v 1.3 013/05/03 10:50:31 hk Exp hk $ Trigonometrische Formeln.1 Die Additionstheoreme In der letzten Sitzung htten wir geometrische Herleitungen der

Mehr

2 Trigonometrische Formeln

2 Trigonometrische Formeln $Id: trig.tex,v 1.8 015/05/04 10:16:36 hk Exp $ Trigonometrische Formeln.1 Die Additionstheoreme In der letzten Sitzung htten wir begonnen die Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen zu besprechen.

Mehr

Bewegungsgeometrie. Hans-Gert Gräbe, Leipzig. 23. Januar 2000

Bewegungsgeometrie. Hans-Gert Gräbe, Leipzig. 23. Januar 2000 ewegungsgeometrie Hans-Gert Gräbe, Leipzig 23. Januar 2000 Geometrische rgumentationen verwenden an vielen Stellen Kongruenzaussagen, die gewöhnlich mit verschiedenen Kongruenzsätzen begründet werden.

Mehr

Brückenkurs Lineare Gleichungssysteme und Vektoren

Brückenkurs Lineare Gleichungssysteme und Vektoren Brückenkurs Linere Gleichungssysteme und Vektoren Dr Alessndro Cobbe 30 September 06 Linere Gleichungssyteme Ws ist eine linere Gleichung? Es ist eine lgebrische Gleichung, in der lle Vriblen nur mit dem

Mehr

Grundwissen Jahrgangsstufe 7

Grundwissen Jahrgangsstufe 7 GM 7.1 chsensymmetrie Grundwissen Jhrgngsstufe 7 Definition Zwei unkte liegen symmetrisch bezüglich einer chse, wenn ihre Verbindungsstrecke von der chse senkrecht hlbiert wird. M und liegen symmetrisch

Mehr

Übungen zur Vorlesung Grundlagen der Mathematik II Lösungsvorschlag

Übungen zur Vorlesung Grundlagen der Mathematik II Lösungsvorschlag MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Dr. E. Schörner SS 2015 Bltt 6 26.05.2015 Üungen zur Vorlesung Grundlgen der Mthemtik II Lösungsvorschlg 21. ) Ein Qudrt mit der Seitenlänge + und dmit dem

Mehr

BINOMISCHE FORMELN FRANZ LEMMERMEYER

BINOMISCHE FORMELN FRANZ LEMMERMEYER BINOMISCHE FORMELN FRANZ LEMMERMEYER Ds Distributivgesetz. Die binomischen Formeln sind im wesentlichen Vrinten des Distributivgesetzes. Dieses kennen wir schon; es besgt, dss () (b + = b + c und ( + b)c

Mehr

Heinz Klaus Strick: Mathematik ist schön, Springer-Verlag, ISBN:

Heinz Klaus Strick: Mathematik ist schön, Springer-Verlag, ISBN: Heinz Klus Strick: Mthemtik ist schön, Springer-Verlg, ISBN: 978--66-79-9 Hinweise zu den nregungen zum Nchdenken und für eigene Untersuchungen zu 8.: zu 8.: Wenn die Dreiteilung des weißen Rechtecks durch

Mehr

Grundwissen 7. Jahrgangsstufe 1. Symmetrie Wissen Können Beispiele a) Achsenspiegelung : Symmetrieachse Mittelsenkrechte Winkelhalbierende

Grundwissen 7. Jahrgangsstufe 1. Symmetrie Wissen Können Beispiele a) Achsenspiegelung : Symmetrieachse Mittelsenkrechte Winkelhalbierende Grundwissen 7. Jhrgngsstufe 1. Symmetrie ) chsenspiegelung : Symmetriechse Mittelsenkrechte Winkelhlbierende Konstruktion Spiegelpunkt, Spiegelchse Mittelsenkrechte: Winkelhlbierende: Lot: Eigenschften

Mehr

10 1 Grundlagen der Schulgeometrie. 1.3 Das Dreieck

10 1 Grundlagen der Schulgeometrie. 1.3 Das Dreieck 10 1 Grundlgen der Shulgeometrie 13 Ds Dreiek In diesem shnitt findet lles in der ffinen Stndrdeene 2 = R 2 sttt Drei Punkte, und, die niht uf einer Gerden liegen, ilden ein Dreiek Die Punkte,, nennt mn

Mehr

56. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Olympiadeklasse 8 Lösungen

56. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Olympiadeklasse 8 Lösungen 56. Mthemtik-Olympide. Stufe (Regionlrunde) Olympideklsse 8 Lösungen c 016 Aufgbenusschuss des Mthemtik-Olympiden e.v. www.mthemtik-olympiden.de. Alle Rechte vorbehlten. 56081 Lösung 10 Punkte Nehmen wir

Mehr

Repetitionsaufgaben Exponential-und Logarithmusfunktion

Repetitionsaufgaben Exponential-und Logarithmusfunktion Repetitionsufgben Eponentil-und Logrithmusfunktion Inhltsverzeichnis A) Vorbemerkungen B) Lernziele C) Eponentilfunktionen mit Beispielen 2 D) Aufgben Ep.fkt. mit Musterlösungen 6 E) Logrithmusfunktionen

Mehr

II. Geometrie. 4. Antike: Die Euklidische Mathematik. 1. Der Satz von Pythagoras.

II. Geometrie. 4. Antike: Die Euklidische Mathematik. 1. Der Satz von Pythagoras. II. Geometrie. 4. ntike: ie Euklidische Mthemtik. In höchster Ehre stnd bei (den Griechen) weiterhin die Geometrie und folglich gb es uch nichts ngeseheneres ls die Mthemtiker. Wir dgegen hben uns um diese

Mehr

10: Lineare Abbildungen

10: Lineare Abbildungen Chr.Nelius: Linere Alger SS 2008 1 10: Linere Aildungen 10.1 BEISPIEL: Die Vektorräume V 2 und Ê 2 hen diegleiche Struktur. Es git eine ijektive Aildung f : V 2 Ê 2, die durch die Vorschrift definiert

Mehr

Zwei Kreise im gleichseitigen Dreieck

Zwei Kreise im gleichseitigen Dreieck -. ein Aufgbe us der pnischen Tempelgeometrie 3. August 006 Gegeben sei ds gleichseitige Dreieck ABC mit der Seitenlänge. Auf der öhenlinie h c = CD befinden sich die Mittelpunkte der Kreise k 1 und k.

Mehr

26. Mathematik Olympiade 2. Stufe (Kreisolympiade) Klasse 7 Saison 1986/1987 Aufgaben und Lösungen

26. Mathematik Olympiade 2. Stufe (Kreisolympiade) Klasse 7 Saison 1986/1987 Aufgaben und Lösungen 26. Mthemtik Olympide 2. Stufe (Kreisolympide) Klsse 7 Sison 986/987 Aufgben und Lösungen OJM 26. Mthemtik-Olympide 2. Stufe (Kreisolympide) Klsse 7 Aufgben Hinweis: Der Lösungsweg mit Begründungen und

Mehr

- 1 - VB Inhaltsverzeichnis

- 1 - VB Inhaltsverzeichnis - - VB Inhltsverzeichnis Inhltsverzeichnis... Die Inverse einer Mtrix.... Definition der Einheitsmtrix.... Bedingung für die inverse Mtrix.... Berechnung der Inversen Mtrix..... Ds Verfhren nch Guß mit

Mehr

Die Satzgruppe des Pythagoras

Die Satzgruppe des Pythagoras 7 Die Stzgruppe des Pythgors In Klssenstufe 7 hen wir uns ei den Inhlten zur Geometrie insesondere mit Dreieken und ihren Eigenshften eshäftigt. In diesem Kpitel wirst du erkennen, dss es ei rehtwinkligen

Mehr

11. DER HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG

11. DER HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG 91 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken us Einführung in die mthemtische Behndlung der Nturwissenschften I von Hns Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie ds Buch uch kufen und

Mehr

Dreiecke als Bausteine

Dreiecke als Bausteine e ls usteine Jedes Viereck lässt sich in zwei e zerlegen. Wirklich jedes? Konstruktion eines s bei drei beknnten Seiten bmessen einer Strecke mit dem Geodreieck. Zirkelschlg um einen Punkt mit der zweiten

Mehr

Präsenz-Aufgaben = i. (a) i 15 = i 14 i = (i 2 ) 7 i = ( 1) 7 i = i i 15 = 0 + ( 1)i, i (i i) = i 1 = i i 15 = 0 + 1i,

Präsenz-Aufgaben = i. (a) i 15 = i 14 i = (i 2 ) 7 i = ( 1) 7 i = i i 15 = 0 + ( 1)i, i (i i) = i 1 = i i 15 = 0 + 1i, Präsenz-Aufgben 1. 1. Schreiben Sie z in der Form z α + βi mit α,β R. Aus der Vorlesung ist beknnt: i i i 1, i 1 1 i i i i i 1 i. () i 15 i 1 i (i ) 7 i ( 1) 7 i i i 15 + ( 1)i, (b) i 15 1 i 15 () 1 i

Mehr

BRÜCKENKURS MATHEMATIK

BRÜCKENKURS MATHEMATIK Brückenkurs Linere Gleichungssysteme - Prof. r. M. Ludwig BRÜCKENKURS MATHEMATIK LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME Schwerpunkte: Modellbildung Lösungsmethoden Geometrische Interprettion Prof. r. hbil. M. Ludwig

Mehr

Grundwissen Mathematik 8. Klasse. Eigenschaften Besonderheiten - Beispiele

Grundwissen Mathematik 8. Klasse. Eigenschaften Besonderheiten - Beispiele Themen Direkte Proportionlität Eigenschften Besonderheiten - Beispiele Zwei Größen und y heißen direkt proportionl, wenn gilt: Zum k-fchen Wert von gehört der k-fche Wert von y; Der Quotient q = y ht für

Mehr

Das Skalarprodukt und seine Anwendungen

Das Skalarprodukt und seine Anwendungen Das Skalarprodukt und seine Anwendungen Axel Schüler, Mathematisches Institut, Univ. Leipzig mailto:schueler@mathematik.uni-leipzig.de Schmalzgrube, März 999 Das Skalarprodukt Das Skalarprodukt von Vektoren

Mehr

Satz 6.5 (Mittelwertsatz der Integralrechnung) Sei f : [a, b] R stetig. Dann gibt es ein ξ [a, b], so dass. b a. f dx = (b a)f(ξ) f dx (b a)m.

Satz 6.5 (Mittelwertsatz der Integralrechnung) Sei f : [a, b] R stetig. Dann gibt es ein ξ [a, b], so dass. b a. f dx = (b a)f(ξ) f dx (b a)m. Stz 6.5 (Mittelwertstz der Integrlrechnung) Sei f : [, b] R stetig. Dnn gibt es ein ξ [, b], so dss 9:08.06.2015 gilt. f dx = (b )f(ξ) Lemm 6.6 Sei f : [, b] R stetig und m f(x) M für lle x [, b]. Dnn

Mehr

π 2 r 2 r 2 sin 2 (t)r cos(t) dt π 2 cos2 (t) cos(t) dt = r 2 π dt = cos(x) sin(x) u v = cos(x) sin(x) + = cos(x) sin(x) + x

π 2 r 2 r 2 sin 2 (t)r cos(t) dt π 2 cos2 (t) cos(t) dt = r 2 π dt = cos(x) sin(x) u v = cos(x) sin(x) + = cos(x) sin(x) + x Wir substituieren x x(t) r sin(t), t [ π, π ]. Dnn ist x (t) r cos(t), lso r x dx π π r π r r sin (t)r cos(t) dt π cos (t) cos(t) dt r π π cos (t) dt Wir integrieren cos mittels prtieller Integrtion: Sei

Mehr

1.2 Der goldene Schnitt

1.2 Der goldene Schnitt Goldener Schnitt Psclsches Dreieck 8. Der goldene Schnitt Beim Begriff Goldener Schnitt denken viele Menschen n Kunst oder künstlerische Gestltung. Ds künstlerische Problem ist, wie ein Bild wohlproportioniert

Mehr

1.7 Inneres Produkt (Skalarprodukt)

1.7 Inneres Produkt (Skalarprodukt) Inneres Produkt (Sklrprodukt) 17 1.7 Inneres Produkt (Sklrprodukt) Montg, 27. Okt. 2003 7.1 Wir erinnern zunächst n die Winkelfunktionen sin und cos, deren Wirkung wir m Einheitskreis vernschulichen: ϕ

Mehr

Vorkurs Mathematik DIFFERENTIATION

Vorkurs Mathematik DIFFERENTIATION Vorkurs Mthemtik 6 DIFFERENTIATION Beispiel (Ableitung von sin( )). Es seien f() = sin g() = h() =f(g()) = sin. (f () =cos) (g () =) Also ist die Ableitung von h: h () =f (g())g () =cos = cos. Mn nennt

Mehr

f : G R ϕ n 1 (x 1,...,x n 1 ) Das ist zwar die allgemeine Form, aber es ist nützlich sie sich für den R 2 und R 3 explizit anzuschauen.

f : G R ϕ n 1 (x 1,...,x n 1 ) Das ist zwar die allgemeine Form, aber es ist nützlich sie sich für den R 2 und R 3 explizit anzuschauen. Trnsformtionsstz von Sebstin üller Integrtion über Normlgebiete Allgemein knn mn im R n ein Normlgebiet wie folgt definieren: G : { R n 1 b, ϕ 1 ( 1 ) ψ 1 ( 1 ), ϕ ( 1, ) 3 ψ ( 1, ),... ϕ n 1 ( 1,...,

Mehr

Brüche gleichnamig machen

Brüche gleichnamig machen Brüche gleichnmig mchen L Ds Erweitern von Brüchen (siehe L ) ist lediglich ein Instrument, ds vorwiegend eingesetzt wird, um Brüche mit unterschiedlichem Divisor gleichnmig zu mchen. Brüche gleichnmig

Mehr

Resultat: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Resultat: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 17 Der Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Lernziele: Konzept: Stmmfunktion Resultt: Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Methoden: prtielle Integrtion, Substitutionsregel Kompetenzen:

Mehr

Analytischen Geometrie in vektorieller Darstellung

Analytischen Geometrie in vektorieller Darstellung Anltische Geometrie Anltischen Geometrie in vektorieller Drstellung Anltische Geometrie Gerden Punkt-Richtungs-Form () Mit Hilfe von Vektoren lssen sich geometrische Ojekte wie Gerden und Eenen eschreien

Mehr

Mathematische Probleme, SS 2015 Montag $Id: dreieck.tex,v /04/27 13:26:30 hk Exp $

Mathematische Probleme, SS 2015 Montag $Id: dreieck.tex,v /04/27 13:26:30 hk Exp $ $Id: dreieck.tex,v 1.17 2015/04/27 13:26:30 hk Exp $ 1 Dreiecke 1.5 Einige spezielle Punkte im Dreieck m Ende der letzten Sitzung hatten wir eingesehen das die drei Mittelsenkrechten eines Dreiecks = sich

Mehr

Differenzial- und Integralrechnung III

Differenzial- und Integralrechnung III Differenzil- und Integrlrechnung III Riner Huser April 2012 1 Einleitung 1.1 Polynome und Potenzfunktionen Die Polynome oder Polynomfunktionen lssen sich durch die endliche Anzhl von n+1 Prmetern i R in

Mehr

Ungleichungen. Jan Pöschko. 28. Mai Einführung

Ungleichungen. Jan Pöschko. 28. Mai Einführung Ungleichungen Jn Pöschko 8. Mi 009 Inhltsverzeichnis Einführung. Ws sind Ungleichungen?................................. Äquivlenzumformungen..................................3 Rechnen mit Ungleichungen...............................

Mehr

1 Metrische Räume. Sei X eine nichtleere Menge. Definition 1.1. Eine Abbildung: d : X X R heißt Metrik auf X, falls für alle x, y, z X gilt

1 Metrische Räume. Sei X eine nichtleere Menge. Definition 1.1. Eine Abbildung: d : X X R heißt Metrik auf X, falls für alle x, y, z X gilt Metrische Räume Sei X eine nichtleere Menge. Definition.. Eine Abbildung: d : X X R heißt Metrik uf X, flls für lle x, y, z X gilt (i) d(x, y) 0, (ii) d(x, y) = d(y, x), (iii) d(x, y) d(x, z) + d(z, y)

Mehr

Proseminar über Multimediale Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Proseminar über Multimediale Lineare Algebra und Analytische Geometrie Studiengng Diplom-Berufspädgogik Unterrichtsfch Mthemtik Proseminr über Multimedile Linere Algebr und Anlytische Geometrie Ausrbeitung einer Sttsexmensufgbe us der Lineren Algebr Aufgbe 5 usgerbeitet von:

Mehr

5 Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln

5 Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln 5 Ellipsen, Prbeln und Hperbeln Ellipsen: Seien b > reelle Zhlen und E = E,b := { + b = } Eine Qudrik Q R heißt Ellipse, wenn es reelle Zhlen b > gibt, so dss q E,b. Die Kurven E,b heißen Ellipsen in metrischer

Mehr

Formale Systeme, Automaten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Übung 6 M. Brockschmidt, F. Emmes, C. Fuhs, C. Otto, T. Ströder

Formale Systeme, Automaten, Prozesse SS 2010 Musterlösung - Übung 6 M. Brockschmidt, F. Emmes, C. Fuhs, C. Otto, T. Ströder Prof Dr J Giesl Formle ysteme, utomten, Prozesse 2010 M rockschmidt, F Emmes, C Fuhs, C Otto, T tröder Hinweise: Die Husufgben sollen in Gruppen von je 2 tudierenden us dem gleichen Tutorium berbeitet

Mehr

Multiplikative Inverse

Multiplikative Inverse Multipliktive Inverse Ein Streifzug durch ds Bruchrechnen in Restklssen von Yimin Ge, Jänner 2006 Viele Leute hben Probleme dbei, Brüche und Restklssen unter einen Hut zu bringen. Dieser kurze Aufstz soll

Mehr

Umwandlung von endlichen Automaten in reguläre Ausdrücke

Umwandlung von endlichen Automaten in reguläre Ausdrücke Umwndlung von endlichen Automten in reguläre Ausdrücke Wir werden sehen, wie mn us einem endlichen Automten M einen regulären Ausdruck γ konstruieren knn, der genu die von M kzeptierte Sprche erzeugt.

Mehr

Es soll der Betrag eines Vektors berechnet werden, wenn dieser in Komponenten oder Koordinatenschreibweise gegeben ist. a 3. x 2

Es soll der Betrag eines Vektors berechnet werden, wenn dieser in Komponenten oder Koordinatenschreibweise gegeben ist. a 3. x 2 R. Brinkmnn http://brinkmnn-du.de Seite 8.. Vektoren im krtesischen Koordintensystem Betrg eines Vektors Es soll der Betrg eines Vektors berechnet werden, wenn dieser in Komponenten oder Koordintenschreibweise

Mehr

Kapitel 4: Dreieckslehre. 4.1 Bedeutung der Dreiecke

Kapitel 4: Dreieckslehre. 4.1 Bedeutung der Dreiecke Kapitel 4: Dreieckslehre 4.1 edeutung der Dreiecke Durch Triangulation lassen sich Vielecke in Dreiecke zerlegen ( n Eck in n- Dreiecke) eweis von Sätzen mittels Sätzen über Dreiecke (z.. Winkelsumme,

Mehr

G2.3 Produkte von Vektoren

G2.3 Produkte von Vektoren G Grundlgen der Vektorrechnung G. Produkte von Vektoren Ds Sklrprodukt Beispiel: Ein Schienenfhrzeug soll von einem Triler ein Stück s gezogen werden, der neen den Schienen fährt (vgl. Skizze). Wir wollen

Mehr

Landeswettbewerb Mathematik Baden-Württemberg. Runde 2

Landeswettbewerb Mathematik Baden-Württemberg. Runde 2 Lneswettbewerb themtik en-württemberg 001 Rune ufgbe 1 In einem Viereck sin ie Seiten, un gleich lng. ie Seite ht ie gleiche Länge wie ie igonle. iese igonle hlbiert en Winkel. Wie groß können ie Innenwinkel

Mehr

Aufgaben zur Kreisgeometrie

Aufgaben zur Kreisgeometrie Dr. Krlhorst Meer Aufgben zur Kreisgeometrie 1. Frgen Die folgenden Aufgben sind entsprechend MEYER [1] geordnet und beziehen sich uf dieses Mnuskript. 1. Aufgben findet mn in jedem Buch über komplee Zhlen,

Mehr

3 Uneigentliche Integrale

3 Uneigentliche Integrale Mthemtik für Ingenieure II, SS 29 Dienstg 9.5 $Id: uneigentlich.te,v.5 29/5/9 6:23:8 hk Ep $ $Id: prmeter.te,v.2 29/5/9 6:8:3 hk Ep $ 3 Uneigentliche Integrle Mn knn die eben nchgerechnete Aussge e d =,

Mehr

Übungsteil: 1. Algebra

Übungsteil: 1. Algebra lgebr Übungsteil: lgebr Gleichungssysteme: estimmen Sie die Lösungsmenge folgender Gleichungssysteme: ) y + 7 = 5x x + y = 7 c) y = x 9 6x 0 = y b) y = 5x y = x d) x + 5y = 05 0,5y = x,5 e) 0(x + y) =

Mehr

( ) ( ) 4. Der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung. Hauptsatz (1. Form) I. Newton ( ), G.F. Leibniz ( )

( ) ( ) 4. Der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung. Hauptsatz (1. Form) I. Newton ( ), G.F. Leibniz ( ) 4. Der Huptstz der Infinitesimlrechnung Huptstz (. orm) I. Newton (64-77), G.. Leiniz (646-76) ür jede im Intervll [,] stetige unktion f sei ( ) = f ( t) dt sogennnte Integrlfunktion dnn gilt: Die Integrlfunktion

Mehr

Kapitel IV Euklidische Vektorräume. γ b

Kapitel IV Euklidische Vektorräume. γ b Kpitel IV Euklidische Vektorräume 1 Elementrgeometrie in der Eene Sei E die Zeicheneene In der Schule lernt mn: (11) Stz des Pythgors: Sei E ein Dreieck mit den Seiten, und c, und sei γ der c gegenüerliegende

Mehr

Vektoren. Definition. Der Betrag eines Vektors. Spezielle Vektoren

Vektoren. Definition. Der Betrag eines Vektors. Spezielle Vektoren Vektoren In nderen Bereichen der Nturwissenschften treten Größen uf, die nicht nur durch eine Zhlenngbe drgestellt werden können, wie Krft, die Geschwindigkeit. Zur vollständigen Beschreibung z.b. der

Mehr

2.6. Prüfungsaufgaben zu Kongruenzabbildungen

2.6. Prüfungsaufgaben zu Kongruenzabbildungen 2.6. Prüfungsufgben zu Kongruenzbbildungen Aufgbe 1: Kongruenzsätze Konstruiere die Dreiecke us den gegebenen Größen und ergänze die fehlenden Größen: Teil b c α β γ A ) 5 cm 7 cm 9 cm b) 5 cm 7 cm 30

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 2013 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Aufgabe 1

Abiturprüfung Mathematik 2013 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien Analysis, Aufgabe 1 www.mthe-ufgben.com Abiturprüfung Mthemtik 013 (Bden-Württemberg) Berufliche Gymnsien Anlysis, Aufgbe 1 1.1 Die Funktion f ist gegeben durch π f( x) = + sin x ; x. Ds Schubild von f ist K. 1.1.1 (8 Punkte)

Mehr

Algebra - Lineare Abbildungen

Algebra - Lineare Abbildungen Algebr - Linere Abbildungen oger Burkhrdt (roger.burkhrdt@fhnw.ch) 8 Hochschule für Technik . Der Vektorrum Hochschule für Technik Hochschule für Technik 4 Vektorrum Definition: Ein Vektorrum über einen

Mehr

Geometrie - Lösungen C E. Bestimmungsaufgaben Aufgabe 1) Geg.: (a) DE AC; (c) FDB = 145 ; Ges.: = ECG; = DEB. (Bezeichnungen siehe Figur)

Geometrie - Lösungen C E. Bestimmungsaufgaben Aufgabe 1) Geg.: (a) DE AC; (c) FDB = 145 ; Ges.: = ECG; = DEB. (Bezeichnungen siehe Figur) Geometrie - Lösungen estimmungsufgben ufgbe 1) Geg.: () ; (b) ; () F = 145 ; Ges.: = G; =. (ezeihnungen siehe Figur) F G Lösung: () (1) = 180-145 = 35 ; [Nebenwinkelstz für F]. (),(1) () = = 35 ; [Stufenwinkelstz].

Mehr

Lineare Abbildung des Einheitskreises

Lineare Abbildung des Einheitskreises Linere Abbildung des Einheitskreises Peter Stender 27.06.2017 Peter Stender Linere Abbildung des Einheitskreises 27.06.2017 1 / 14 Mtrix und Dynmik m Kreis Fälle, bei denen B nicht uf der berechneten Prbel

Mehr

Kapitel 5: Dreieckslehre. 5.1 Bedeutung der Dreiecke

Kapitel 5: Dreieckslehre. 5.1 Bedeutung der Dreiecke edeutung+winkelsumme 1 Kapitel 5: Dreieckslehre 5.1 edeutung der Dreiecke Durch Triangulation lassen sich Vielecke in Dreiecke zerlegen ( n Eck in n- Dreiecke) eweis von Sätzen mittels Sätzen über Dreiecke

Mehr

7.9A. Nullstellensuche nach Newton

7.9A. Nullstellensuche nach Newton 7.9A. Nullstellensuche nch Newton Wir hben früher bemerkt, dß zur Auffindung von Nullstellen einer gegebenen Funktion oft nur Näherungsverfhren helfen. Eine lte, ber wirkungsvolle Methode ist ds Newton-Verfhren

Mehr

Quadratische Funktionen

Quadratische Funktionen Qudrtische Funktionen Die Scheitelpunktform ist eine spezielle Drstellungsform von qudrtischen Funktionen, nhnd der viele geometrische Eigenschften des Funktionsgrphen bgelesen werden können. Abbildung

Mehr

Strahl Eine gerade Linie, die auf einer Seite von einem Punkt begrenzt wird, (Anfangspunkt) heißt Strahl.

Strahl Eine gerade Linie, die auf einer Seite von einem Punkt begrenzt wird, (Anfangspunkt) heißt Strahl. 1. 1. 2. Strecke B B Gerde Eine gerde, von zwei Punkten begrenzte Linie heißt Strecke. Eine gerde Linie, die nicht begrenzt ist, heißt Gerde. D.h. eine Gerde ht keine Endpunkte! 2. 3. 3. g Strhl Eine gerde

Mehr

Mathematik Bruchrechnung Grundwissen und Übungen

Mathematik Bruchrechnung Grundwissen und Übungen Mthemtik Bruchrechnung Grundwissen und Übungen von Stefn Gärtner (Gr) Stefn Gärtner -00 Gr Mthemtik Bruchrechnung Seite Inhlt Inhltsverzeichnis Seite Grundwissen Ws ist ein Bruch? Rtionle Zhlen Q Erweitern

Mehr

Wir wählen einen Punkt O des zwei- bzw. dreidimensionalen euklidischen Raums als Ursprung oder Nullpunkt. b 3 c. b 2

Wir wählen einen Punkt O des zwei- bzw. dreidimensionalen euklidischen Raums als Ursprung oder Nullpunkt. b 3 c. b 2 IV. Teilung und Teilverhältnis im Punktrum ================================================================ 4.1 Der Punktrum Wir wählen einen Punkt O des zwei- zw. dreidimensionlen euklidischen Rums ls

Mehr

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 14 MULTIPLIKATION EINES VEKTORS MIT EINEM SKALAR

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt Semester ARBEITSBLATT 14 MULTIPLIKATION EINES VEKTORS MIT EINEM SKALAR Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng Areitsltt. Semester ARBEITSBLATT MULTIPLIKATION EINES VEKTORS MIT EINEM SKALAR Zunächst einml müssen wir den Begriff Sklr klären. Definition: Unter einem Sklr ersteht mn eine

Mehr

Übungen zur Vorlesung Differential und Integralrechnung I Lösungsvorschlag

Übungen zur Vorlesung Differential und Integralrechnung I Lösungsvorschlag MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Dr. E. Schörner WS 015/16 Bltt 4 09.11.015 Übungen zur Vorlesung Differentil und Integrlrechnung I Lösungsvorschlg 13. Zu betrchten ist die durch 0 = 1 und

Mehr

8 Längenberechnungen Winkelberechnungen - Skalarprodukt

8 Längenberechnungen Winkelberechnungen - Skalarprodukt 8 Längenberechnungen Winkelberechnungen - Sklrprodukt 8 Längenberechnungen Winkelberechnungen - Sklrprodukt Wir wissen, wie mn zwei Vektoren und b ddiert b b. Mn knn zwei Vektoren ber uch miteinnder multiplizieren!

Mehr

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 3 5. Semester ARBEITSBLATT 3 PARAMETERDARSTELLUNG EINER GERADEN

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 3 5. Semester ARBEITSBLATT 3 PARAMETERDARSTELLUNG EINER GERADEN Mthemtik: Mg. Schmid Wolfgng Areitsltt 3 5. Semester ARBEITSBLATT 3 PARAMETERDARSTELLUNG EINER GERADEN Wir wollen eine Gerde drstellen, welche durch die Punkte A(/) und B(5/) verläuft. Die Idee ist folgende:

Mehr

Tag der Mathematik 2011

Tag der Mathematik 2011 Zentrum für Mthemtik Tg der Mthemtik 0 Gruppenwettbewerb Einzelwettbewerb Mthemtische Hürden Lösungen Allgemeine Hinweise: Als Hilfsmittel dürfen nur Schreibzeug, Geodreieck und Zirkel benutzt werden.

Mehr

Geodäten. Mathias Michaelis. 28. Januar 2004

Geodäten. Mathias Michaelis. 28. Januar 2004 Geodäten Mthis Michelis 28. Jnur 2004 1 Vektorfelder Definition 1.1 Sei S 3 eine reguläre Fläche. Ein Vektorfeld uf S ist eine Abbildung v : S 3 so, dss v(p) T n S für lle p S. Ein Vektorfeld ordnet lso

Mehr

10. Riemannsche Geometrie I: Riemannsche Metrik. Variable Bilinearformen.

10. Riemannsche Geometrie I: Riemannsche Metrik. Variable Bilinearformen. 10. Riemnnsche Geometrie I: Riemnnsche Metrik Wir können in der hyperbolischen Geometrie noch nicht wirklich messen. Hierfür bruchen wir ein Riemnnsches Längen- und Winkelmß, d.h. eine Riemnnsche Geometrie.

Mehr

Grundlagen zu Datenstrukturen und Algorithmen Schmitt, Schömer SS 2001

Grundlagen zu Datenstrukturen und Algorithmen Schmitt, Schömer SS 2001 Grundlgen zu Dtenstrukturen und Algorithmen Schmitt, Schömer SS 001 http://www.mpi-sb.mpg.de/~sschmitt/info5-ss01 U N S A R I V E R S A V I E I T A S N I S S Lösungsvorschläge für ds 4. Übungsbltt Letzte

Mehr

Grundwissen Mathematik 8

Grundwissen Mathematik 8 Grundwissen Mthemtik 8 Proportionle Zuordnung Gehört bei einer Zuordnung zweier Größen zu einem Vielfchen der einen Größe ds gleiche Vielfche der nderen Größe, so heißt sie proportionle Zuordnung. Die

Mehr

3 Hyperbolische Geometrie

3 Hyperbolische Geometrie Ausgewählte Kpitel der Geometrie 3 Hperbolische Geometrie [... ] Im Folgenden betrchten wir nun spezielle gebrochen-linere Abbildungen, nämlich solche, für die (mit den Bezeichnungen ϕ,b,c,d wie oben die

Mehr

Mathematik: Mag Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 5 5. Semester ARBEITSBLATT 5 VEKTORRECHNUNG IM RAUM

Mathematik: Mag Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 5 5. Semester ARBEITSBLATT 5 VEKTORRECHNUNG IM RAUM Mthemtik: Mg Schmid Wolfgng Arbeitsbltt 5 5. Semester ARBEITSBLATT 5 VEKTORRECHNUNG IM RAUM Bisher hben wir die Lge von Punkten und Gerden lediglich in der Ebene betrchtet. Nun wollen wir die Lge dieser

Mehr

Uneigentliche Riemann-Integrale

Uneigentliche Riemann-Integrale Uneigentliche iemnn-integrle Zweck dieses Abschnitts ist es, die Vorussetzungen zu lockern, die wir n die Funktion f : [, b] bei der Einführung des iemnn-integrls gestellt hben. Diese Vorussetzungen wren:

Mehr

Doppel- und Dreifachintegrale

Doppel- und Dreifachintegrale KAPITEL 6 Doppel- und Dreifchintegrle 6. Doppelintegrle................................... 74 6.. Flächeninhlt ebener ereiche.......................... 74 6..2 Definition und Eigenschften des Doppelintegrls..............

Mehr

ARBEITSBLATT 5L-8 FLÄCHE ZWISCHEN FUNKTION UND X-ACHSE

ARBEITSBLATT 5L-8 FLÄCHE ZWISCHEN FUNKTION UND X-ACHSE Mthemtik: Mg. Schmid WolfgngLehrerInnentem RBEITSBLTT 5L-8 FLÄCHE ZWISCHEN FUNKTION UND X-CHSE Wie wir die Fläche zwischen einer Funktion und der -chse erechnen, hen wir rechentechnische ereits geklärt.

Mehr

Der Feuerbach Kreis oder Neun Punkte Kreis 1. Der Feuerbach Kreis oder Neun Punkte Kreis

Der Feuerbach Kreis oder Neun Punkte Kreis 1. Der Feuerbach Kreis oder Neun Punkte Kreis er euerbach Kreis oder eun unkte Kreis 1 Geometrie er euerbach Kreis oder eun unkte Kreis utor: eter ndree Inhaltsverzeichnis 6 er euerbach Kreis oder eun unkte Kreis 1 6.1 Vorbemerkungen und Satz über

Mehr

Grundwissen am Ende der Jahrgangsstufe 9. Wahlpflichtfächergruppe II / III

Grundwissen am Ende der Jahrgangsstufe 9. Wahlpflichtfächergruppe II / III Grundwissen m Ende der Jhrgngsstufe 9 Whlpflichtfächergruppe II / III Funktionsbegriff Gerdengleichungen ufstellen und zu gegebenen Gleichungen die Grphen der Gerden zeichnen Ssteme linerer Gleichungen

Mehr

Ortslinien. 1. Vorbemerkungen

Ortslinien. 1. Vorbemerkungen Humboldt-Universität zu Berlin 9.6.09 Institut für Mthemtik VL/SE Ausgewählte Kpitel der Didktik der Mthemtik Dozent: Dr. I. Lehmnn Referentin: L. Clrke Ortslinien. Vorbemerkungen Die Menge ll derjenigen

Mehr

4 Hyperbel. 4.1 Die Hyperbel als Kegelschnitt

4 Hyperbel. 4.1 Die Hyperbel als Kegelschnitt 1 4 Hperel 4.1 Die Hperel ls Kegelschnitt Wird ein Kreiskegel mit dem hlen Öffnungswinkel α von einer Eene σ geschnitten, die mit der Kegelchse einen Wink β < α einschliesst, so entsteht ls Schnittkurve

Mehr

Hans Walser. Geometrische Spiele. 1 Vier gleiche rechtwinklige Dreiecke. 1.1 Allgemeiner Fall

Hans Walser. Geometrische Spiele. 1 Vier gleiche rechtwinklige Dreiecke. 1.1 Allgemeiner Fall Hns Wlser Geometrische Spiele 1 Vier gleiche rechtwinklige Dreiecke 1.1 Allgemeiner Fll Wir strten mit einem elieigen rechtwinkligen Dreieck in der ülichen Beschriftung. A c B Strtdreieck C Nun versuchen

Mehr

Präfixcodes und der Huffman Algorithmus

Präfixcodes und der Huffman Algorithmus Präfixcodes und der Huffmn Algorithmus Präfixcodes und Codebäume Im Folgenden werden wir Codes untersuchen, die in der Regel keine Blockcodes sind. In diesem Fll können Codewörter verschiedene Länge hben

Mehr

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang & Lehrer/innenTeam ARBEITSBLATT 2-6 GEOMETRISCHE KÖRPER 1) DAS PRISMA

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang & Lehrer/innenTeam ARBEITSBLATT 2-6 GEOMETRISCHE KÖRPER 1) DAS PRISMA . Semester ARBEITSBLATT -6 GEOMETRISCHE KÖRPER 1) DAS PRISMA Definition: Prismen hben deckungsgleiche (kongruente), prllele und eckige Grund- und Deckflächen. Die Seitenknten sind lle gleich lng und zueinnder

Mehr

Konstruktionen am Dreieck

Konstruktionen am Dreieck Winkelhalbierende Die Winkelhalbierende halbiert den jeweiligen Innenwinkel des Dreiecks. Sie agieren als Symmetrieachse. Dadurch ist jeder Punkt der Winkelhalbierenden gleich weit von den beiden Schenkeln

Mehr

Mathematische Probleme, SS 2013 Montag $Id: dreieck.tex,v /04/22 20:37:01 hk Exp hk $

Mathematische Probleme, SS 2013 Montag $Id: dreieck.tex,v /04/22 20:37:01 hk Exp hk $ $Id: dreieck.tex,v 1.7 013/04/ 0:37:01 hk Exp hk $ 1 Dreiecke 1.5 Einige spezielle Punkte im Dreieck In der letzten Sitzung hatten wir den sogenannten Inkreis eines Dreiecks eingeführt, dies ist der Kreis

Mehr

3.3 Extrema I: Winkel Ebene/Gerade

3.3 Extrema I: Winkel Ebene/Gerade 3 3 ANALYSIS 3.3 Extrem I: Winkel Eene/Gerde In diesem Aschnitt gehen wir von einer Gerde g und einer g nicht enthltenden Eene ε us und wollen unter llen möglichen spitzen Schnittwinkeln zwischen g und

Mehr

Grundlagen der Integralrechnung

Grundlagen der Integralrechnung Grundlgen der Integrlrechnung W. Kippels 0. April 2014 Inhltsverzeichnis 1 Ds unbestimmte Integrl 2 2 Ds bestimmte Integrl 4 Beispielufgben 7.1 Beispielufgbe 1............................... 7.2 Beispielufgbe

Mehr

2.6 Unendliche Reihen

2.6 Unendliche Reihen 2.6 Unendliche Reihen In normierten Räumen steht ds wichtige Werkzeug der Bildung von unendlichen Reihen zur Verfügung. Mn denke in diesem Zusmmenhng drn, dss mn in der Anlysis Potenz- und Fourierreihen

Mehr

nennt man eine Zerlegung (Partition, Unterteilung) des Intervalls [a, b]. Die Feinheit der Zerlegung ist dabei

nennt man eine Zerlegung (Partition, Unterteilung) des Intervalls [a, b]. Die Feinheit der Zerlegung ist dabei Kpitel 8: Integrtion Erläuterung uf Folie 8.1 Ds bestimmte Integrl Sei f : [, b] R eine beschränkte Funktion uf einem (zunächst) kompkten Intervll [, b]. Definition: 1) Eine Menge der Form Z = { = x 0

Mehr

Automaten und formale Sprachen Notizen zu den Folien

Automaten und formale Sprachen Notizen zu den Folien 3 Endliche Automten Automten und formle Sprchen Notizen zu den Folien Üerführungsfunktion eines NFA (Folien 107 und 108) Wie sieht die Üerführungsfunktion us? δ : Z Σ P(Z) Ds heißt, jedem Pr us Zustnd

Mehr

Datenstrukturen & Algorithmen Lösungen zu Blatt 2 FS 16

Datenstrukturen & Algorithmen Lösungen zu Blatt 2 FS 16 Eidgenössische Technische Hochschule Zürich Ecole polytechnique fédérle de Zurich Politecnico federle di Zurigo Federl Institute of Technology t Zurich Institut für Theoretische Informtik 9. März 2016

Mehr