Vorlesung Diskrete Strukturen Eulersche und Hamiltonsche Graphen

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Vorlesung Diskrete Strukturen Eulersche und Hamiltonsche Graphen"

Transkript

1 Vorlesung Diskrete Strukturen Eulersche und Hamiltonsche Graphen Bernhard Ganter WS 2013/14 1 Eulersche Graphen Kantenzug Ein Kantenzug in einem Graphen (V, E) ist eine Folge (a 0, a 1,..., a n ) von Knoten mit der Eigenschaft, dass für alle i {0, 1,..., n 1} die aufeinanderfolgenden Knoten {a i, a i+1 } eine Kante bilden. Ein Kantenzug (a 0,..., a n ) heißt offen, falls a 0 a n ist und anderenfalls geschlossen. (Im Unterschied zum Weg müssen die Knoten in einem Kantenzug nicht paarweise verschieden sein.) Ein Kantenzug, in dem jede Kante des Graphen genau einmal auftritt und der alle Knoten durchläuft, wird eine Eulersche Linie genannt. Das Haus vom Nikolaus 1

2 Eulersche Linien Welche Figuren lassen sich in einem Zug zeichnen, d.h. ohne den Stift abzusetzen? Diese Frage kann in die Sprache der Graphendiagramme übersetzt werden und lautet dann: Welche Graphen besitzen eine Eulersche Linie? Diese Frage wurde als das Königsberger Brückenproblem bekannt und 1736 von Leonhard Euler beantwortet. Eulers Ergebnis Satz 1 (Euler 1736). Ein endlicher Graph besitzt genau dann eine geschlossene Eulersche Linie, wenn er zusammenhängend ist und jeder seiner Knoten geraden Grad hat. Ein endlicher Graph besitzt genau dann eine offene Eulersche Linie, wenn er zusammenhängend ist und genau zwei Knoten ungeraden Grades hat. Zu diesem Satz geben wir einen Beweis und einen Algorithmus an. 2

3 Beweisvorbereitung (1) Notation: Ist Z := (a 0, a 1,..., a n ) ein Kantenzug, dann soll V (Z) die Menge der in Z auftretenden Knoten und E(Z) die Menge der in Z auftretenden Kanten bezeichnen. Der folgende Hilfssatz ist offensichtlich: Hilfssatz 1. Ist Z := (a 0, a 1,..., a n ) ein Kantenzug, in dem keine Kante zweimal vorkommt, dann ist jeder der Knoten a 1, a 2,..., a n 1 in gerade vielen Kanten aus E(Z) enthalten. Die Knoten a 0 und a n kommen beide in ungerade vielen Kanten des Kantenzuges vor, wenn a 0 a n ist, und in gerade vielen, wenn der Kantenzug geschlossen ist. Beweisvorbereitung (2) Hilfssatz 2. Haben alle Knoten eines (endlichen) Graphen geraden Grad, dann ist jeder maximale Kantenzug, der keine Kante zweimal enthält, geschlossen. Beweis. Jeder offene Kantenzug Z := (a 0, a 1,..., a n ), der keine Kante zweimal enthält, enthält ungerade viele Kanten durch a n. Das können nicht alle Kanten sein, die a n enthalten, denn a n hat geraden Grad. Also kann der Kantenzug nicht maximal sein. Beweisteil 1 Zu beweisen ist: Ein Graph, der eine geschlossene Eulersche Linie besitzt, ist zusammenhängend und alle seine Knoten haben geraden Knotengrad. Beweis: Weil vorausgesetzt wurde, dass eine Eulersche Linie alle Knoten durchläuft, muss ein solcher Graph zusammenhängend sein. Ein beliebiger Knoten v V des Graphen kommt nach dem ersten Hilfssatz in gerade vielen Kanten des Kantenzuges vor. Da der Kantenzug alle Kanten des Graphen enthält, ist also der Knotengrad von v gerade. Beweisteil 2 Zu beweisen ist: Ein zusammenhängender endlicher Graph, in dem alle Knoten geraden Grad haben, besitzt eine geschlossene Eulersche Linie. Beweis: Wähle einen beliebigen Knoten a 0 des Graphen (der Fall des 3

4 leeren Graphen ist trivial). Betrachte einen Kantenzug (a 0, a 1,..., a n ). Nach dem Hilfssatz Wir dürfen E annehmen. Nach der Vorüberlegung enthält (V, E) dann einen Kreis und damit einen nichtleeren geschlossenen Kantenzug, der jede Kante höchstens einmal durchläuft. Sei Z ein solcher Kantenzug maximaler Kantenanzahl. Wenn Z alle Kanten des Graphen enthält, sind wir fertig. Beweisteil 2, Fortsetzung Wenn der maximale Kantenzug Z nicht alle Kanten enthält, dann gibt es eine Kante, die nicht zu Z gehört. Weil (V, E) zusammenhängend ist, muss es sogar eine solche Kante geben, die mit dem Kantenzug einen Knoten gemeinsam hat, sagen wir u. Der Graph (V, E \ E(Z)), also der Graph, der entsteht, wenn man den Kantenzug Z in (V, E) löscht, hat ebenfalls nur Knoten von geradem Grad. Deshalb gibt es einen geschlossenen Kantenzug durch u in (V, E \E(Z)), der jede Kante höchstens einmal enthält. Dieser Kantenzug kann beim Durchlaufen des Knotens u in Z eingeschoben werden, im Widerspruch zur Maximalität von Z. Beweisteil 3: Offene Eulersche Linien Ist (V, E) ein endlicher zusammenhängender Graph mit genau zwei Knoten u, v von ungeradem Grad, und ist w / V, dann ist (V {w}, E {{u, w}, {w, v}}) ein endlicher zusammenhängender Graph, in dem alle Knoten geraden Grad haben. Nach dem, was wir bereits bewiesen haben, muss dieser Graph eine geschlossene Eulersche Linie besitzen. Streicht man darin den Knoten w und die beiden Kanten durch w, so erhält man eine offene Eulersche Linie in (V, E). Umgekehrt sind die genannten Bedingungen (endlich, zusammenhängend, genau zwei Knoten von ungeradem Grad) offenbar notwendig für die Existenz einer offenen Eulerschen Linie. Quod erat demonstrandum. Existenz und Konstruktion 4

5 Wir haben (u.a.) einen Existenzbeweis geführt, der nachweist, dass unter den genannten Bedingungen eine Eulersche Linie existiert. Ein solcher Beweis ist nicht notwendig konstruktiv, d.h., er gibt keinen Algorithmus an, eine Eulersche Linie tatsächlich zu konstruieren. Wie findet man eine Eulersche Linie? Einfach losmarschieren führt nicht sicher zum Ziel, wie nebenstehendes Beispiel zeigt. Alle Voraussetzungen sind erfüllt: Der Graph ist zusammenhängend, endlich und alle Knoten haben geraden Grad. Ein Algorithmus zur Konstruktion einer Eulerschen Linie Der folgende Algorithmus konstruiert zu jedem endlichen zusammenhängenden Graphen (V, E), in dem alle Knotengrade gerade sind, eine geschlossene Eulersche Linie. Unter einer Brücke in einem Graphen versteht man eine Kante, deren Wegnahme die Anzahl der Zusammenhangskomponenten erhöht. 1. Starte in einem beliebigen Knoten a 0, setze i := 0 und Z 0 := (a 0 ). 2. Ist Z i := (a 0,..., a i ) bereits konstruiert, verfahre wie folgt: Wenn Z i alle Kanten des Graphen durchläuft, stopp. Ansonsten wähle eine Kante {a i, w} / E(Z i ). Wenn es möglich ist, wähle diese Kante so, dass sie keine Brücke im Graphen (V, E \ E(Z i )) ist. Setze i i + 1, a i := w und Z i := (a 0,..., a i ). 3. Iteriere (2). Funktioniert das? Es ist gar nicht klar, dass der angegebene Algorithmus zum gewünschten Ergebnis führt. Ja, es ist nicht einmal klar, dass er überhaupt durchführbar ist. Betrachten wir z.b. Schritt (2). Dort heißt es: 5

6 Wenn Z i alle Kanten des Graphen durchläuft, stopp. Ansonsten wähle eine Kante {a i, w} / E(Z i )... Aber wieso muss es eine solche Kante überhaupt geben? Offenbar ist es erforderlich, einen sorgfältigen Korrektheitsbeweis für diesen Algorithmus anzugeben. Korrektheitsbeweis (1) Zu beweisen ist, dass der Algorithmus durchführbar ist und zu einer Eulerschen Linie führt. Offensichtlich ist, dass für alle i die konstruierte Folge Z i ein Kantenzug ist, in dem wegen {a i, w} / E(Z i ) keine Kante zweimal vorkommt. Da der Algorithmus erst stoppt, wenn Z i alle Kanten von (V, E) durchläuft, muss das Ergebnis eine (geschlossene) Eulersche Linie sein. Zu beweisen ist also nur, dass der Algorithmus durchführbar ist, also dass immer dann, wenn der konstruierte Kantenzug Z i = (a 0,..., a i ) nicht alle Kanten durchläuft, noch eine Kante {a i, w} / E(Z i ) existiert. Korrektheitsbeweis (2) Nehmen wir also an, der Kantenzug Z i = (a 0,..., a i ) sei nach den Regeln des Algorithmus konstruiert, es sei E(Z i ) E, aber es gäbe keine Kante {a i, w} / E(Z i ). Weil a i geraden Knotengrad hat, muss es auch gerade viele Kanten in E(Z i ) geben, die a i enthalten. Das erzwingt a i = a 0. a 0 ist deshalb ein Knoten, der in keiner Kante aus E \ E(Z i ) vorkommt. Es kann nicht sein, dass alle a j, 0 j i, diese Eigenschaft haben. Sonst wäre nämlich {a 0,..., a i } eine nicht triviale Zusammenhangskomponente des Graphen (V, E). Es muss also eine Kante {a j, b} E \ E(Z i ) geben. 6

7 Verschnaufpause Weil die Sache so langsam unübersichtlich wird, veranschaulichen wir das bisher Erreichte. Der Algorithmus hat einen geschlossenen Kantenzug (a 0, a 1,..., a i ) konstruiert, der nicht alle Kanten enthält. Es gibt eine Kante {a j, b}, die nicht zum Kantenzug gehört, und wir dürfen annehmen, dass der Index j dabei größtmöglich gewählt wurde und ungleich i ist. Was nun gezeigt wird ist, dass beim Schritt von j auf j + 1 ein Fehler gemacht wurde: Die Kante {a j, a j+1 } hätte nicht gewählt werden dürfen, weil sie eine Brücke ist, die Kante {a j, b} aber nicht! a 1 a 2 a 0 = a i a j+1 a j b Korrektheitsbeweis (3) Im Schritt j des Algorithmus ist der kantenzug Z j := (a 0,..., a j ) konstruiert und es wird der Graph (V, E \ E(Z j ) betrachtet, die blauen Kanten fehlen also. Weil j der höchste Index ist, für den es eine Kante {a j, b} gibt, die nicht zum Kantenzug gehört, ist {a j, a j+1 } eine Brücke. Die Kante {a j, b} ist deshalb keine Brücke, weil in dieser Zusammenhangskomponente des Graphen (V, E \ E(Z j )) alle Knoten geraden Grad haben. Ein mit {a j, b} beginneder Kantenzug kann fortgesetzt werden, bis er a j wieder erreicht. Es muss deshalb eine zweite Kante {a j, c} in der gleichen Komponente geben. a 1 a 2 a 0 = a i a j+1 a j b Korrektheitsbeweis (Schluss) Wir haben beweisen: Der Algorithmus liefert einen geschlossenen Kantenzug, in dem jede Kante höchstens einmal vorkommt. Wenn dieser Kantenzug nicht alle Kanten enthält, muss bei der Durchführung ein Fehler gemacht worden sein. Bei korrekter Durchführung liefert der Algorithmus also eine geschlossene Eulersche Linie. 7

8 In dem bereits zitierten Buch von Krumke und Noltemeier findet man auch eine Untersuchung der Komplexität. Das Bestimmen einer Eulerschen Linie in einem Eulerschen Graphen mit n Konten und m Kanten ist in O(m + n) Schritten möglich. Nachbemerkungen Der Algorithmus liefert für endliche zusammenhängende Graphen, in denen alle Knotengrade gerade sind, einen Kantenzug, der jede Kante genau einmal durchläuft. Diese Aufgabe stellt sich in vielen Zusammenhängen auch dann, wenn die Voraussetzung nicht erfüllt ist (Postbote, Müllabfuhr, Google Street View). Dazu gibt es zahlreiche Untersuchungen. Man kann den Algorithmus problemlos auf Multigraphen (bei denen es zwischen zwei Knoten mehr als eine Kante geben darf) erweitern. Damit löst man solche Probleme sogar mit zusätzlichen Bedingungen (Kostenfunktion). 2 Hamiltonsche Graphen Eine scheinbar ganz ähnliches Problem Als Eulersche Linie in einem zusammenhängenden Graphen bezeichnet hatten wir einen Kantenzug bezeichnet, der jeden Kante genau einmal durchläuft. Einen geschlossenen Kantenzug, der alle Knoten genau einmal durchläuft, nennt man einen hamiltonschen Kreis, einen offenen Kantenzug, der alle Knoten genau einmal durchläuft, einen offenen hamiltonschen Weg. Einen Graphen, der einen Hamiltonschen Kreis enthält, nennt man hamiltonsch. Das TSP Verallgemeinert man auf Graphen mit (positiv) gewichteten Kanten, so stellt sich das Problem des Handlungsreisenden (engl.: Travelling Salesman Problem, TSP). 8

9 Gesucht ist dabei ein gewichtsminimaler hamiltonscher Kreis. Quelle: Thore Husfeldt (Wikipedia) Griechenland Die nebenstehende Graphik zeigt eine kürzeste Tour durch 9882 Ortschaften in Griechenland. Das Bild stammt aus der Bibliothek von The Traveling Salesman Problem is one of the most intensively studied problems in computational mathematics. xkcd 9

10 Satz 2 (Stirling Formel). n! = ( n ) ( n 2πn 1 + O e ( )) 1. n Wie kann man erkennen, ob ein Graph hamiltonsch ist? Es gibt viele hinreichende Bedingungen. Offenbar ist der vollständige Graph mit n Knoten hamiltonsch für jedes n 3. Satz 3 (Bondy und Chvátal). Es sein (V, E) ein Graph mit n 3 Knoten. u und v seien zwei nicht adjazente Knoten mit deg(u) + deg(v) n. Dann gilt: Der Graph (V, E {{u, v}}), der aus (V, E) entsteht, indem man die Kante {u, v} hinzunimmt, ist genau dann hamiltonsch, wenn (V, E) hamiltonsch ist. Beweis der nicht trivialen Richtung Falls es in (V, E {{u, v}}) einen hamiltonschen Kreis gibt, der die Kante {u, v} nicht enthält, dann enthält auch (V, E) diesen Kreis. Wir nehmen an, dass jeder hamiltonsche Kreis in (V, E {{u, v}}) die Kante {u, v} benutzt. (a 0, a 1,..., a n 1, a 0 ) sei ein solcher Kreis und o.b.d.a. sei a 0 = u und a n 1 = v. Wir betrachten die Mengen A := {1 i n 3 {v, a i } E} B := {1 i n 3 {u, a i+1 } E}. 10

11 Dann gilt A deg(v) 1 und B deg(u) 1. Da A, B {1,..., n 3} und A + B deg(v) + deg(u) 2 n 2 gilt, muss es ein i A B geben, also mit {v, a i } E und {u, v i } E. (u = a 0, a i,... a i 1, v, a n 1..., a i, u) ist dann hamiltonscher Kreis. Als Korollar: Ein Satz von Dirac Satz 4 (Dirac). Sei (V, E) ein Graph mit n 3 Knoten, von denen jeder Knotengrad n 2 hat. Dann ist (V, E) hamiltonsch. Das folgt sofort aus dem folgenden allgemeineren Satz: Satz 5. Sei (V, E) ein Graph mit n 3 Knoten, in dem für je zwei nicht adjazente Knoten u und v gilt, dass deg(v) + deg(v) n ist. Dann ist (V, E) hamiltonsch. Dieser wiederum folgt mühelos aus dem Satz von Bondy und Chvátal. Charakterisierung Die genannten Bedingungen sind hinreichend, aber nicht notwendig. Eine leicht überprüfbare Bedingung, die notwendig und hinreichend dafür ist, dass ein Graph hamiltonsch ist, ist nicht bekannt. Es gibt auch keinen bekannten Algorithmus, der schnell überprüfen kann, ob ein eingegebener Graph hamiltonsch ist oder nicht. Satz 6. Das Entscheidungsproblem, ob ein beliebiger vorgelegter Graph hamiltonsch ist, ist N P-vollständig. 11

Vorlesung Diskrete Strukturen Eulersche und Hamiltonsche Graphen

Vorlesung Diskrete Strukturen Eulersche und Hamiltonsche Graphen Vorlesung Diskrete Strukturen Eulersche und Hamiltonsche Graphen Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de WS 2009/10 1 Bernhard Ganter, TU Dresden Modul

Mehr

Graphentheorie. Eulersche Graphen. Eulersche Graphen. Eulersche Graphen. Rainer Schrader. 14. November Gliederung.

Graphentheorie. Eulersche Graphen. Eulersche Graphen. Eulersche Graphen. Rainer Schrader. 14. November Gliederung. Graphentheorie Rainer Schrader Zentrum für Angewandte Informatik Köln 14. November 2007 1 / 22 2 / 22 Gliederung eulersche und semi-eulersche Graphen Charakterisierung eulerscher Graphen Berechnung eines

Mehr

Eulerweg, Eulerkreis. Das Königsberger Brückenproblem. Definition 3.1. Ein Weg, der jede Kante von G genau einmal

Eulerweg, Eulerkreis. Das Königsberger Brückenproblem. Definition 3.1. Ein Weg, der jede Kante von G genau einmal 3. Kreis- und Wegeprobleme Kapitelübersicht 3. Kreis- und Wegeprobleme Eulerweg, Eulerkreis Charakterisierung von eulerschen Graphen Bestimmung von eulerschen Wegen und Kreisen Hamiltonsche Graphen Definition

Mehr

4. Kreis- und Wegeprobleme

4. Kreis- und Wegeprobleme 4. Kreis- und Wegeprobleme Kapitelübersicht 4. Kreis- und Wegeprobleme Charakterisierung von eulerschen Graphen Bestimmung von eulerschen Wegen und Kreisen Hamiltonsche Graphen Abstände in Graphen Berechnung

Mehr

Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume?

Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume? Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume? Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de WS 2013/14 Isomorphie Zwei Graphen (V 1, E 1 ) und (V

Mehr

Diskrete Strukturen. Hausaufgabe 1 (5 Punkte) Hausaufgabe 2 (5 Punkte) Wintersemester 2007/08 Lösungsblatt Januar 2008

Diskrete Strukturen. Hausaufgabe 1 (5 Punkte) Hausaufgabe 2 (5 Punkte) Wintersemester 2007/08 Lösungsblatt Januar 2008 Technische Universität München Fakultät für Informatik Lehrstuhl für Informatik 15 Computergraphik & Visualisierung Prof. Dr. Rüdiger Westermann Dr. Werner Meixner Wintersemester 2007/08 Lösungsblatt 9

Mehr

Bemerkung: Der vollständige Graph K n hat n(n 1)

Bemerkung: Der vollständige Graph K n hat n(n 1) Bemerkung: Der vollständige Graph K n hat n(n 1) 2 Kanten. Bew: Abzählen! Definition 111. Graphen mit n paarweise zyklisch verbundenen Kanten heißen Kreise (vom Grad n) und werden mit C n bezeichnet. Beispiel

Mehr

Diskrete Mathematik. Hamiltonsche Graphen Teil I. Karina Arndt

Diskrete Mathematik. Hamiltonsche Graphen Teil I. Karina Arndt Diskrete Mathematik Hamiltonsche Graphen Teil I Karina Arndt 21.06.2006 Übersicht Einleitung Hamiltonsch und eulersch Hamiltonsche Kreise Hamiltonsche Graphen neu zeichnen Kreise und Wege Reguläre Graphen

Mehr

3 Klassifikation wichtiger Optimierungsprobleme

3 Klassifikation wichtiger Optimierungsprobleme 3 Klassifikation wichtiger Optimierungsprobleme 3.1 Das MIN- -TSP Wir kehren nochmal zurück zum Handlungsreisendenproblem für Inputs (w {i,j} ) 1 i

Mehr

Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume?

Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume? Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume? Bernhard Ganter WS 2009/10 Isomorphie Zwei Graphen (V 1, E 1 ) und (V 2, E 2 ) heißen isomorph, wenn es eine bijektive, Kanten erhaltende und Kanten

Mehr

Nachbarschaft, Grad, regulär, Inzidenz

Nachbarschaft, Grad, regulär, Inzidenz Nachbarschaft, Grad, regulär, Inzidenz Definition Eigenschaften von Graphen Sei G = (V, E) ein ungerichteter Graph. 1 Die Nachbarschaftschaft Γ(u) eines Knoten u V ist Γ(u) := {v V {u, v} E}. 2 Der Grad

Mehr

Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume?

Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume? Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume? Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de WS 2009/10 1 Bernhard Ganter, TU Dresden Modul Einführung

Mehr

Westfählische Wilhelms-Universität. Eulersche Graphen. Autor: Jan-Hendrik Hoffeld

Westfählische Wilhelms-Universität. Eulersche Graphen. Autor: Jan-Hendrik Hoffeld Westfählische Wilhelms-Universität Eulersche Graphen Autor: 21. Mai 2015 Inhaltsverzeichnis 1 Das Königsberger Brückenproblem 1 2 Eulertouren und Eulersche Graphen 2 3 Auffinden eines eulerschen Zyklus

Mehr

1. Einleitung wichtige Begriffe

1. Einleitung wichtige Begriffe 1. Einleitung wichtige Begriffe Da sich meine besondere Lernleistung mit dem graziösen Färben (bzw. Nummerieren) von Graphen (speziell von Bäumen), einem Teilgebiet der Graphentheorie, beschäftigt, und

Mehr

Hamiltonsche Graphen

Hamiltonsche Graphen Hamiltonsche Graphen Definition 3.2. Es sei G = (V, E) ein Graph. Ein Weg, der jeden Knoten von G genau einmal enthält, heißt hamiltonscher Weg. Ein Kreis, der jeden Knoten von G genau einmal enthält,

Mehr

Das Briefträgerproblem

Das Briefträgerproblem Das Briefträgerproblem Paul Tabatabai 30. Dezember 2011 Inhaltsverzeichnis 1 Problemstellung und Modellierung 2 1.1 Problem................................ 2 1.2 Modellierung.............................

Mehr

Kapitel 3. Kapitel 3 Graphentheorie

Kapitel 3. Kapitel 3 Graphentheorie Graphentheorie Inhalt 3.1 3.1 Grundlagen 3.2 3.2 Das Das Königsberger Brückenproblem 3.3 3.3 Bäume 3.4. 3.4. Planare Graphen 3.5 3.5 Färbungen Seite 2 3.1 Grundlagen Definition. Ein Ein Graph besteht aus

Mehr

WESTFÄLISCHE WILHELMS-UNIVERSITÄT MÜNSTER. Über 7 Brücken... wissen leben WWU Münster. Dietmar Lammers Hochschultag 201

WESTFÄLISCHE WILHELMS-UNIVERSITÄT MÜNSTER. Über 7 Brücken... wissen leben WWU Münster. Dietmar Lammers Hochschultag 201 MÜNSTER Über 7 Brücken... Dietmar Lammers Hochschultag 201 MÜNSTER Über 7 Brücken... 2/29 > Dauerwerbeveranstaltung für ein Studium der Informatik- aber mit mathematischem Inhalt! Hier: Ein Auszug aus

Mehr

Diskrete Mathematik 1

Diskrete Mathematik 1 Ruhr-Universität Bochum Lehrstuhl für Kryptologie und IT-Sicherheit Prof. Dr. Alexander May M. Ritzenhofen, M. Mansour Al Sawadi, A. Meurer Lösungsblatt zur Vorlesung Diskrete Mathematik 1 WS 2008/09 Blatt

Mehr

WS 2009/10. Diskrete Strukturen

WS 2009/10. Diskrete Strukturen WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910

Mehr

Graphentheorie Graphentheorie. Grundlagen Bäume Eigenschaften von Graphen Graphen-Algorithmen Matchings und Netzwerke

Graphentheorie Graphentheorie. Grundlagen Bäume Eigenschaften von Graphen Graphen-Algorithmen Matchings und Netzwerke Graphen Graphentheorie Graphentheorie Grundlagen Bäume Eigenschaften von Graphen Graphen-Algorithmen Matchings und Netzwerke 2 Was ist ein Graph? Ein Graph ist in der Graphentheorie eine abstrakte Struktur,

Mehr

9. Übung Algorithmen I

9. Übung Algorithmen I Timo Bingmann, Christian Schulz INSTITUT FÜR THEORETISCHE INFORMATIK, PROF. SANDERS 1 KIT Timo Universität Bingmann, des LandesChristian Baden-Württemberg Schulz und nationales Forschungszentrum in der

Mehr

Graphen. Graphen und ihre Darstellungen

Graphen. Graphen und ihre Darstellungen Graphen Graphen und ihre Darstellungen Ein Graph beschreibt Beziehungen zwischen den Elementen einer Menge von Objekten. Die Objekte werden als Knoten des Graphen bezeichnet; besteht zwischen zwei Knoten

Mehr

Bäume und Wälder. Definition 1

Bäume und Wälder. Definition 1 Bäume und Wälder Definition 1 Ein Baum ist ein zusammenhängender, kreisfreier Graph. Ein Wald ist ein Graph, dessen Zusammenhangskomponenten Bäume sind. Ein Knoten v eines Baums mit Grad deg(v) = 1 heißt

Mehr

Satz 324 Sei M wie oben. Dann gibt es für ein geeignetes k Konstanten c i > 0 und Permutationsmatrizen P i, i = 1,...

Satz 324 Sei M wie oben. Dann gibt es für ein geeignetes k Konstanten c i > 0 und Permutationsmatrizen P i, i = 1,... Satz 324 Sei M wie oben. Dann gibt es für ein geeignetes k Konstanten c i > 0 und Permutationsmatrizen P i, i = 1,..., k, so dass gilt M = k c i P i i=1 k c i = r. i=1 Diskrete Strukturen 7.1 Matchings

Mehr

Zentralübung zur Vorlesung Diskrete Strukturen (Prof. Esparza)

Zentralübung zur Vorlesung Diskrete Strukturen (Prof. Esparza) WS 2013/14 Zentralübung zur Vorlesung Diskrete Strukturen (Prof. Esparza) Dr. Werner Meixner Fakultät für Informatik TU München http://www14.in.tum.de/lehre/2013ws/ds/uebung/ 22. Januar 2014 ZÜ DS ZÜ XIII

Mehr

Graphentheorie. Formale Grundlagen (WIN) 2008S, F. Binder. Vorlesung im 2008S

Graphentheorie. Formale Grundlagen (WIN) 2008S, F. Binder. Vorlesung im 2008S Minimale Graphentheorie Formale Grundlagen (WIN) Franz Binder Institut für Algebra Johannes Kepler Universität Linz Vorlesung im 2008S http://www.algebra.uni-linz.ac.at/students/win/fg Minimale Inhalt

Mehr

1. Einführung. Grundbegriffe und Bezeichnungen. Beispiele. gerichtete Graphen. 1. Einführung Kapitelübersicht

1. Einführung. Grundbegriffe und Bezeichnungen. Beispiele. gerichtete Graphen. 1. Einführung Kapitelübersicht 1. Einführung Kapitelübersicht 1. Einführung Grundbegriffe und Bezeichnungen Beispiele Bäume gerichtete Graphen Graphentheorie HS Bonn-Rhein-Sieg, WS 2014/15 15 Das Königsberger Brückenproblem Beispiel

Mehr

Zentralübung zur Vorlesung Diskrete Strukturen (Prof. Mayr)

Zentralübung zur Vorlesung Diskrete Strukturen (Prof. Mayr) WS 2011/12 Zentralübung zur Vorlesung Diskrete Strukturen (Prof. Mayr) Dr. Werner Meixner Fakultät für Informatik TU München http://www14.in.tum.de/lehre/2011ws/ds/uebung/ 25. Januar 2012 ZÜ DS ZÜ XIII

Mehr

Wiederholung aus Diskreter Mathematik I: I: Graphentheorie

Wiederholung aus Diskreter Mathematik I: I: Graphentheorie Wiederholung aus Diskreter Mathematik I: I: Graphentheorie Inhalt: W.1 Grundlagen W.2 Das Königsberger Brückenproblem W.3 Bäume W.4 Planare Graphen W.5 Färbungen W.1 Grundlagen Ein Ein Graph besteht aus

Mehr

Graph Paar (V,E) V: nichtleere Menge von Knoten (vertex) E: Menge von Kanten (edges): Relation (Verbindung) zwischen den Knoten

Graph Paar (V,E) V: nichtleere Menge von Knoten (vertex) E: Menge von Kanten (edges): Relation (Verbindung) zwischen den Knoten Graphentheorie Graph Paar (V,E) V: nichtleere Menge von Knoten (vertex) E: Menge von Kanten (edges): Relation (Verbindung) zwischen den Knoten gerichteter Graph (DiGraph (directed graph) E: Teilmenge E

Mehr

6. Planare Graphen und Färbungen

6. Planare Graphen und Färbungen 6. Planare Graphen und Färbungen Lernziele: Den Begriff der Planarität verstehen und erläutern können, wichtige Eigenschaften von planaren Graphen kennen und praktisch einsetzen können, die Anzahl von

Mehr

Für die Anzahl der Kanten in einem vollständigen Graphen (und damit für die maximale Anzahl von Kanten in einem einfachen Graphen) gilt:

Für die Anzahl der Kanten in einem vollständigen Graphen (und damit für die maximale Anzahl von Kanten in einem einfachen Graphen) gilt: Der K 4 lässt sich auch kreuzungsfrei zeichnen: Für die Anzahl der Kanten in einem vollständigen Graphen (und damit für die maximale Anzahl von Kanten in einem einfachen Graphen) gilt: ( ) n n (n 1) E

Mehr

Lösungen zu Kapitel 5

Lösungen zu Kapitel 5 Lösungen zu Kapitel 5 Lösung zu Aufgabe : (a) Es gibt derartige Graphen: (b) Offensichtlich besitzen 0 der Graphen einen solchen Teilgraphen. Lösung zu Aufgabe : Es sei G = (V, E) zusammenhängend und V

Mehr

9. Algorithmus der Woche Die Eulertour Wie Leonhard Euler das Haus vom Nikolaus zeichnet

9. Algorithmus der Woche Die Eulertour Wie Leonhard Euler das Haus vom Nikolaus zeichnet 9. Algorithmus der Woche Die Eulertour Wie Leonhard Euler das Haus vom Nikolaus zeichnet Autoren Michael Behrisch, Humboldt-Universität zu Berlin Amin Coja-Oghlan, Humboldt-Universität zu Berlin, Humboldt-Universität

Mehr

Zentralübung zur Vorlesung Diskrete Strukturen

Zentralübung zur Vorlesung Diskrete Strukturen WS 2010/11 Zentralübung zur Vorlesung Diskrete Strukturen Dr. Werner Meixner Fakultät für Informatik TU München http://www14.in.tum.de/lehre/2010ws/ds/uebung/ 2. Februar 2011 ZÜ DS ZÜ XIII 1. Übungsbetrieb:

Mehr

Euler und Hamiltonkreise

Euler und Hamiltonkreise Euler und Hamiltonkreise 1. Königsberger Brücken 2. Eulerwege und Kreise Definition, Algorithmus mit Tiefensuche 3. Hamiltonwege und Kreise Definition 4. Problem des Handlungsreisenden Enumeration und

Mehr

Graphen. Bernhard Ganter. Institut für Algebra TU Dresden D Dresden

Graphen. Bernhard Ganter. Institut für Algebra TU Dresden D Dresden Graphen Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de Ein Turnierplan mit fünf Runden c d b e a c d b e a c d b e a c d b b c a a d e e Das Diagramm beschreibt

Mehr

Ein Turnierplan mit fünf Runden

Ein Turnierplan mit fünf Runden Mathematik I für Informatiker Graphen p. 1 Ein Turnierplan mit fünf Runden c b a c b a c b a c b a c b a d e d e d e d e d e Mathematik I für Informatiker Graphen p. 2 Definition: Graph Ein (schlichter)

Mehr

MafI I: Logik & Diskrete Mathematik (F. Hoffmann)

MafI I: Logik & Diskrete Mathematik (F. Hoffmann) Lösungen zum 14. und letzten Aufgabenblatt zur Vorlesung MafI I: Logik & Diskrete Mathematik (F. Hoffmann) 1. Ungerichtete Graphen (a) Beschreiben Sie einen Algorithmus, der algorithmisch feststellt, ob

Mehr

\ E) eines Graphen G = (V, E) besitzt die gleiche Knotenmenge V und hat als Kantenmenge alle Kanten des vollständigen Graphen ohne die Kantenmenge E.

\ E) eines Graphen G = (V, E) besitzt die gleiche Knotenmenge V und hat als Kantenmenge alle Kanten des vollständigen Graphen ohne die Kantenmenge E. Das Komplement Ḡ = (V, ( V ) \ E) eines Graphen G = (V, E) besitzt die gleiche Knotenmenge V und hat als Kantenmenge alle Kanten des vollständigen Graphen ohne die Kantenmenge E. Ein Graph H = (V, E )

Mehr

Vorlesung Diskrete Strukturen Die natürlichen Zahlen

Vorlesung Diskrete Strukturen Die natürlichen Zahlen Vorlesung Diskrete Strukturen Die natürlichen Zahlen Bernhard Ganter WS 2009/10 Alles ist Zahl? Wenn in der modernen Mathematik alles auf Mengen aufgebaut ist, woher kommen dann die Zahlen? Sind Zahlen

Mehr

9: Gewichtete Graphen

9: Gewichtete Graphen Chr.Nelius: Graphentheorie (WS 06/7) 9 9: Gewichtete Graphen Beispiel: Eine Straßenkarte mit Entfernungsangaben zwischen den Orten ist ein Beispiel für einen gewichteten Graphen. (9.) DEF: Ein Graph G

Mehr

Diskrete Strukturen Kapitel 4: Graphentheorie (Grundlagen)

Diskrete Strukturen Kapitel 4: Graphentheorie (Grundlagen) WS 2015/16 Diskrete Strukturen Kapitel 4: Graphentheorie (Grundlagen) Hans-Joachim Bungartz Lehrstuhl für wissenschaftliches Rechnen Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www5.in.tum.de/wiki/index.php/diskrete_strukturen_-_winter_15

Mehr

Graphentheorie Mathe-Club Klasse 5/6

Graphentheorie Mathe-Club Klasse 5/6 Graphentheorie Mathe-Club Klasse 5/6 Thomas Krakow Rostock, den 26. April 2006 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 2 Grundbegriffe und einfache Sätze über Graphen 5 2.1 Der Knotengrad.................................

Mehr

Kapitel 3: Die Sätze von Euler, Fermat und Wilson. 8 Der Satz von Euler

Kapitel 3: Die Sätze von Euler, Fermat und Wilson. 8 Der Satz von Euler Kapitel 3: Die Sätze von Euler, Fermat und Wilson In diesem Kapitel wollen wir nun die eulersche -Funktion verwenden, um einen berühmten Satz von Euler zu formulieren, aus dem wir dann mehrere interessante

Mehr

Graphen für Einsteiger

Graphen für Einsteiger Manfred Nitzsche Graphen für Einsteiger Rund um das Haus vom Nikolaus vieweg 1 Erste Graphen 1 Das Haus vom Nikolaus 1 Was ist ein Graph? 2 Auch das ist bei Graphen möglich! 3 Der Grad einer Ecke 4 Verschiedene

Mehr

3 Vom Zählen zur Induktion

3 Vom Zählen zur Induktion 7 3 Vom Zählen zur Induktion 3.1 Natürliche Zahlen und Induktions-Prinzip Seit unserer Kindheit kennen wir die Zahlen 1,, 3, 4, usw. Diese Zahlen gebrauchen wir zum Zählen, und sie sind uns so vertraut,

Mehr

Die Klasse NP und die polynomielle Reduktion

Die Klasse NP und die polynomielle Reduktion Die Klasse NP und die polynomielle Reduktion Prof. Dr. Berthold Vöcking Lehrstuhl Informatik 1 Algorithmen und Komplexität RWTH Aachen Dezember 2011 Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit

Mehr

Studientag zur Algorithmischen Mathematik

Studientag zur Algorithmischen Mathematik Studientag zur Algorithmischen Mathematik Eulertouren, 2-Zusammenhang, Bäume und Baumisomorphismen Winfried Hochstättler Diskrete Mathematik und Optimierung FernUniversität in Hagen 22. Mai 2011 Outline

Mehr

Graphen für Einsteiger

Graphen für Einsteiger Manfred Nitzsche Graphen für Einsteiger Rund um das Haus vom Nikolaus 2., korrigierte Auflage vieweg 1 Erste Graphen 1 Das Haus vom Nikolaus 1 Was ist ein Graph? 2 Auch das ist bei Graphen möglich! 3 Der

Mehr

Algorithmische Methoden für schwere Optimierungsprobleme

Algorithmische Methoden für schwere Optimierungsprobleme Algorithmische Methoden für schwere Optimierungsprobleme Prof. Dr. Henning Meyerhenke Institut für Theoretische Informatik 1 KIT Henning Universität desmeyerhenke, Landes Baden-Württemberg Institutund

Mehr

Proseminar Online Algorithmen, Prof. Dr. Rolf Klein

Proseminar Online Algorithmen, Prof. Dr. Rolf Klein Proseminar Online Algorithmen, Prof. Dr. Rolf Klein Vortrag von Michael Daumen am 13.12.2000 Thema : Minimum Spanning Tree und 2-Approximation der TSP-Tour Inhalt des Vortrags : 1. genaue Vorstellung des

Mehr

Bernd Döring. Wege, Plätten, Färben. Vom Problem zur Theorie der Graphen

Bernd Döring. Wege, Plätten, Färben. Vom Problem zur Theorie der Graphen Bernd Döring Wege, Plätten, Färben Vom Problem zur Theorie der Graphen Bernd Döring, 2002-2005 Bernd Döring Johannes-Althusius-Gymnasium Früchteburger Weg 28 26721 Emden - 2 - Inhaltsverzeichnis 0. Einleitung

Mehr

André Krischke Helge Röpcke. Graphen und Netzwerktheorie Grundlagen Methoden Anwendungen

André Krischke Helge Röpcke. Graphen und Netzwerktheorie Grundlagen Methoden Anwendungen André Krischke Helge Röpcke Graphen und Netzwerktheorie Grundlagen Methoden Anwendungen 8 Grundbegriffe der Graphentheorie für die Kante, die die beiden Knoten und verbindet. Der linke Graph in Bild. kann

Mehr

Probleme aus NP und die polynomielle Reduktion

Probleme aus NP und die polynomielle Reduktion Probleme aus NP und die polynomielle Reduktion Prof. Dr. Berthold Vöcking Lehrstuhl Informatik 1 Algorithmen und Komplexität RWTH Aachen 15. Dezember 2009 Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit

Mehr

Vorlesungen vom 5.Januar 2005

Vorlesungen vom 5.Januar 2005 Vorlesungen vom 5.Januar 2005 5 Planare Graphen 5.1 Beispiel: Gas, Wasser, Elektrik Drei eingeschworene Feinde, die im Wald leben, planen Trassen zu den Versorgungswerken für die drei Grundgüter Gas, Wasser

Mehr

durch Einfügen von Knoten konstruiert werden kann.

durch Einfügen von Knoten konstruiert werden kann. Satz von Kuratowski Definition Unterteilung eines Graphen Sei G = (V, E) und e = {u, v} E. 1 Das Einfügen eines neuen Knoten w in die Kante e führt zum Graphen G = (V {w}, E \ e {{u, w}, {w, v}}). 2 Der

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen 2-1. Seminar -

Algorithmen und Datenstrukturen 2-1. Seminar - Algorithmen und Datenstrukturen 2-1. Seminar - Dominic Rose Bioinformatics Group, University of Leipzig Sommersemster 2010 Outline 1. Übungsserie: 3 Aufgaben, insgesamt 30 28 Punkte A1 Spannbäume (10 8

Mehr

Tutoraufgabe 1 (Suchen in Graphen):

Tutoraufgabe 1 (Suchen in Graphen): Prof. aa Dr. E. Ábrahám Datenstrukturen und Algorithmen SS14 F. Corzilius, S. Schupp, T. Ströder Tutoraufgabe 1 (Suchen in Graphen): a) Geben Sie die Reihenfolge an, in der die Knoten besucht werden, wenn

Mehr

Diskrete Strukturen Endterm

Diskrete Strukturen Endterm Technische Universität München Winter 201/16 Prof. H. J. Bungartz / Dr. M. Luttenberger, J. Bräckle, C. Uphoff Lösung HA-Lösung LÖSUNG Diskrete Strukturen Endterm Beachten Sie: Soweit nicht anders angegeben,

Mehr

Programmiertechnik II

Programmiertechnik II Graph-Algorithmen Anwendungsgebiete "Verbundene Dinge" oft Teilproblem/Abstraktion einer Aufgabenstellung Karten: Wie ist der kürzeste Weg von Sanssouci nach Kunnersdorf? Hypertext: Welche Seiten sind

Mehr

11 Dezimalbruchdarstellung reeller Zahlen; Mächtigkeitsvergleich von Mengen

11 Dezimalbruchdarstellung reeller Zahlen; Mächtigkeitsvergleich von Mengen 11 Dezimalbruchdarstellung reeller Zahlen; Mächtigkeitsvergleich von Mengen 11.1 g-adische Entwicklung von Zahlen aus [0, 1[ 11.2 g-adische Entwicklung reeller Zahlen 11.3 g-adische Entwicklung nicht-negativer

Mehr

4 Färbungen Begriffe Komplexität Greedy-Algorithmus Knotenreihenfolgen Das 4-Farben-Problem...

4 Färbungen Begriffe Komplexität Greedy-Algorithmus Knotenreihenfolgen Das 4-Farben-Problem... Inhaltsverzeichnis 4 Färbungen 41 4.1 Begriffe....................... 41 4.2 Komplexität..................... 42 4.3 Greedy-Algorithmus................ 42 4.4 Knotenreihenfolgen................. 43 4.5

Mehr

= n (n 1) 2 dies beruht auf der Auswahl einer zweielementigen Teilmenge aus V = n. Als Folge ergibt sich, dass ein einfacher Graph maximal ( n E = 2

= n (n 1) 2 dies beruht auf der Auswahl einer zweielementigen Teilmenge aus V = n. Als Folge ergibt sich, dass ein einfacher Graph maximal ( n E = 2 1 Graphen Definition: Ein Graph G = (V,E) setzt sich aus einer Knotenmenge V und einer (Multi)Menge E V V, die als Kantenmenge bezeichnet wird, zusammen. Falls E symmetrisch ist, d.h.( u,v V)[(u,v) E (v,u)

Mehr

Anwendungen von Graphen

Anwendungen von Graphen Anwendungen von Graphen Strassen- und Verkehrsnetze Computernetzwerke elektrische Schaltpläne Entity-Relationship Diagramme Beweisbäume endliche Automaten Syntaxbäume für Programmiersprachen Entscheidungsbäume

Mehr

Programmiertechnik II

Programmiertechnik II Graph-Algorithmen Anwendungsgebiete "Verbundene Dinge" oft Teilproblem/Abstraktion einer Aufgabenstellung Karten: Wie ist der kürzeste Weg von Sanssouci nach Kunnersdorf? Hypertext: Welche Seiten sind

Mehr

Vollständiger Graph. Definition 1.5. Sei G =(V,E) ein Graph. Gilt {v, w} E für alle v, w V,v w, dann heißt G vollständig (complete).

Vollständiger Graph. Definition 1.5. Sei G =(V,E) ein Graph. Gilt {v, w} E für alle v, w V,v w, dann heißt G vollständig (complete). Vollständiger Graph Definition 1.5. Sei G =(V,E) ein Graph. Gilt {v, w} E für alle v, w V,v w, dann heißt G vollständig (complete). Mit K n wird der vollständige Graph mit n Knoten bezeichnet. Bemerkung

Mehr

1. Einige Begriffe aus der Graphentheorie

1. Einige Begriffe aus der Graphentheorie . Einige Begriffe aus der Graphentheorie Notation. Sei M eine Menge, n N 0. Dann bezeichnet P n (M) die Menge aller n- elementigen Teilmengen von M, und P(M) die Menge aller Teilmengen von M, d.h. die

Mehr

Freie Bäume und Wälder

Freie Bäume und Wälder (Martin Dietzfelbinger, Stand 4.6.2011) Freie Bäume und Wälder In dieser Notiz geht es um eine besondere Sorte von (ungerichteten) Graphen, nämlich Bäume. Im Gegensatz zu gerichteten Bäumen nennt man diese

Mehr

2. Repräsentationen von Graphen in Computern

2. Repräsentationen von Graphen in Computern 2. Repräsentationen von Graphen in Computern Kapitelinhalt 2. Repräsentationen von Graphen in Computern Matrizen- und Listendarstellung von Graphen Berechnung der Anzahl der verschiedenen Kantenzüge zwischen

Mehr

Formale Grundlagen. bis , Lösungen. 1. Beweisen Sie, daß die Summe aller Grade der Knoten stets gerade ist.

Formale Grundlagen. bis , Lösungen. 1. Beweisen Sie, daß die Summe aller Grade der Knoten stets gerade ist. Formale Grundlagen 4. Übungsaufgaben bis 2011-06-03, Lösungen 1. Beweisen Sie, daß die Summe aller Grade der Knoten stets gerade ist. 2. Finden Sie einen Eulerschen Weg im Briefumschlag, d.h. in: { ((1,

Mehr

Diskrete Strukturen Kapitel 4: Graphentheorie (Bäume)

Diskrete Strukturen Kapitel 4: Graphentheorie (Bäume) WS 2016/17 Diskrete Strukturen Kapitel 4: Graphentheorie (Bäume) Hans-Joachim Bungartz Lehrstuhl für wissenschaftliches Rechnen Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www5.in.tum.de/wiki/index.php/diskrete_strukturen_-_winter_16

Mehr

7 Der kleine Satz von Fermat

7 Der kleine Satz von Fermat 7 Der kleine Satz von Fermat Polynomkongruenz modulo p. Sei p eine Primzahl, n 0 und c 0,..., c n Z. Wir betrachten die Kongruenz ( ) c 0 + c 1 X +... + c n 1 X n 1 + c n X n 0 mod p d.h.: Wir suchen alle

Mehr

Wie findet man den optimalen Weg zum Ziel? Klassische Probleme der Kombinatorischen Optimierung

Wie findet man den optimalen Weg zum Ziel? Klassische Probleme der Kombinatorischen Optimierung Wie findet man den optimalen Weg zum Ziel? Klassische Probleme der Kombinatorischen Optimierung Teilnehmer/innen: Markus Dahinten, Graf Münster Gymnasium Bayreuth Robert Fay, Herder Gymnasium Berlin Falko

Mehr

Grundbegriffe der Informatik

Grundbegriffe der Informatik Grundbegriffe der Informatik Kapitel 15: Graphen Thomas Worsch KIT, Institut für Theoretische Informatik Wintersemester 2015/2016 GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik

Mehr

Hausarbeit aus. Graphentheorie Formale Grundlagen Professor Franz Binder. zum Thema. Herbert Huber k Seite 1 von 21

Hausarbeit aus. Graphentheorie Formale Grundlagen Professor Franz Binder. zum Thema. Herbert Huber k Seite 1 von 21 Hausarbeit aus 368.712 Formale Grundlagen Professor Franz Binder zum Thema Graphentheorie Herbert Huber k0455780 Seite 1 von 21 Inhaltsverzeichnis Graphen Grundlagen und Begriffsdefinitionen...3 Graphenstrukturen...6

Mehr

Algorithmische Graphentheorie

Algorithmische Graphentheorie Algorithmische Graphentheorie Vorlesung 4: Suchstrategien Babeş-Bolyai Universität, Department für Informatik, Cluj-Napoca csacarea@cs.ubbcluj.ro 14. April 2017 HALBORDNUNG TOPOLOGISCHE ORDNUNG TOPOLOGISCHES

Mehr

Einführung (1/3) Vorlesungen zur Komplexitätstheorie: Reduktion und Vollständigkeit (1) Vorlesungen zur Komplexitätstheorie.

Einführung (1/3) Vorlesungen zur Komplexitätstheorie: Reduktion und Vollständigkeit (1) Vorlesungen zur Komplexitätstheorie. Einführung (1/3) 3 Wir verfolgen nun das Ziel, Komplexitätsklassen mit Hilfe von charakteristischen Problemen zu beschreiben und zu strukturieren Vorlesungen zur Komplexitätstheorie: Reduktion und Vollständigkeit

Mehr

Algorithmen und Datenstrukturen Tutorium Übungsaufgaben

Algorithmen und Datenstrukturen Tutorium Übungsaufgaben Algorithmen und Datenstrukturen Tutorium Übungsaufgaben AlgoDat - Übungsaufgaben 1 1 Landau-Notation Aufgabe Lösung 2 Rekurrenzen Aufgabe 3 Algorithmenentwurf und -analyse Aufgabe AlgoDat - Übungsaufgaben

Mehr

Weitere NP-vollständige Probleme

Weitere NP-vollständige Probleme Weitere NP-vollständige Probleme Wir betrachten nun folgende Reduktionskette und weisen dadurch nach, daß alle diese Probleme NP-hart sind (sie sind auch in NP und damit NP-vollständig). SAT p 3-SAT p

Mehr

Drei Vorlesungen über Bäume

Drei Vorlesungen über Bäume Bäume. Einleitung Drei Vorlesungen über Bäume Jens Vygen Nehmen wir einmal an, für einen neuen Zug wollen wir ein komplett neues Schienennetz bauen, das einige Städte miteinander verbindet. Oder ein neues

Mehr

Theoretische Grundlagen der Informatik

Theoretische Grundlagen der Informatik Theoretische Grundlagen der Informatik Vorlesung am 5. Dezember 2017 INSTITUT FÜR THEORETISCHE 0 05.12.2017 Dorothea Wagner - Theoretische Grundlagen der Informatik INSTITUT FÜR THEORETISCHE KIT Die Forschungsuniversität

Mehr

WS 2008/09. Diskrete Strukturen

WS 2008/09. Diskrete Strukturen WS 2008/09 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0809

Mehr

WS 2009/10. Diskrete Strukturen

WS 2009/10. Diskrete Strukturen WS 2009/10 Diskrete Strukturen Prof. Dr. J. Esparza Lehrstuhl für Grundlagen der Softwarezuverlässigkeit und theoretische Informatik Fakultät für Informatik Technische Universität München http://www7.in.tum.de/um/courses/ds/ws0910

Mehr

2.3 Basis und Dimension

2.3 Basis und Dimension Lineare Algebra I WS 205/6 c Rudolf Scharlau 65 2.3 Basis und Dimension In diesem zentralen Abschnitt werden einige für die gesamte Lineare Algebra fundamentale Grundbegriffe eingeführt: Lineare Abhängigkeit

Mehr

Achilles und die Schildkröte Sommersemester 2008

Achilles und die Schildkröte Sommersemester 2008 Achilles und die Schildkröte Sommersemester 2008 Färbbarkeit planarer Graphen Alexander Damarowsky 20.05.2008 V6, 15.05.2008 Problemstellung /Ziel des Vortrags: Wie viele Farben werden benötigt, um jeden

Mehr

Praktische Grenzen der Berechenbarkeit

Praktische Grenzen der Berechenbarkeit Arno Schwarz Praktische Grenzen der Berechenbarkeit Während es im ersten Abschnitt um prinzipiell unlösbare Probleme ging, wenden wir uns nun Aufgaben zu, deren Lösbarkeit praktische Grenzen gesetzt sind.

Mehr

Fünf-Farben-Satz. Seminar aus reiner Mathematik, WS 13/14. Schweighofer Lukas, November Seite 1

Fünf-Farben-Satz. Seminar aus reiner Mathematik, WS 13/14. Schweighofer Lukas, November Seite 1 Der Fünf- Farben-Satz Seminar aus reiner Mathematik, WS 13/14 Schweighofer Lukas, November 2013 Seite 1 Inhaltsverzeichnis Vorwort...3 Graphentheoretische Grundlagen...4 Satz 2 (Eulerscher Polyedersatz)...7

Mehr

Graphen und Algorithmen

Graphen und Algorithmen Graphen und Algorithmen Vorlesung #8: Färbungsprobleme Dr. Armin Fügenschuh Technische Universität Darmstadt WS 2007/2008 Übersicht Knotenfärbung (vs. Kanten- & Kartenfärbung) Satz von Brooks Algorithmen

Mehr

Elementargeometrie. Prof. Dr. Andreas Meister SS digital von: Frank Lieberknecht

Elementargeometrie. Prof. Dr. Andreas Meister SS digital von: Frank Lieberknecht Prof. Dr. Andreas Meister SS 2004 digital von: Frank Lieberknecht Geplanter Vorlesungsverlauf...1 Graphentheorie...1 Beispiel 1.1: (Königsberger Brückenproblem)... 1 Beispiel 1.2: (GEW - Problem)... 2

Mehr

Technische Universität München Zentrum Mathematik Propädeutikum Diskrete Mathematik. Weihnachtsblatt

Technische Universität München Zentrum Mathematik Propädeutikum Diskrete Mathematik. Weihnachtsblatt Technische Universität München Zentrum Mathematik Propädeutikum Diskrete Mathematik Prof. Dr. A. Taraz, Dipl-Math. A. Würfl, Dipl-Math. S. König Weihnachtsblatt Aufgabe W.1 Untersuchen Sie nachstehenden

Mehr

Breitensuche BFS (Breadth First Search)

Breitensuche BFS (Breadth First Search) Breitensuche BFS (Breadth First Search) Algorithmus BREITENSUCHE EINGABE: G = (V, E) als Adjazenzliste, Startknoten s V 1 Für alle v V 1 If (v = s) then d[v] 0 else d[v] ; 2 pred[v] nil; 2 Q new Queue;

Mehr

3. Musterlösung. Problem 1: Boruvka MST

3. Musterlösung. Problem 1: Boruvka MST Universität Karlsruhe Algorithmentechnik Fakultät für Informatik WS 06/07 ITI Wagner. Musterlösung Problem : Boruvka MST pt (a) Beweis durch Widerspruch. Sei T MST von G, e die lokal minimale Kante eines

Mehr

Lösungen zur Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität

Lösungen zur Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität Lehrstuhl für Informatik 1 WS 009/10 Prof. Dr. Berthold Vöcking 0.0.010 Alexander Skopalik Thomas Kesselheim Lösungen zur Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität. Zulassungsklausur Aufgabe 1: (a) Worin

Mehr

Weitere Ergebnisse. Beispiel Sei G = (E, K) mit E = { 1,, 5 } und K = { 12, 13, 14, 23, 24, 34, 35, 45 }. Das Haus vom Nikolaus

Weitere Ergebnisse. Beispiel Sei G = (E, K) mit E = { 1,, 5 } und K = { 12, 13, 14, 23, 24, 34, 35, 45 }. Das Haus vom Nikolaus 4. Euler-Züge und Hamilton-Kreise 161 Weitere Ergebnisse Die Analyse des Problems Durchlaufe alle Kanten ist mit den obigen Ergebnissen keineswegs abgeschlossen. Eine Frage ist zum Beispiel: Was gilt,

Mehr

KAPITEL 3 MATCHINGS IN BIPARTITEN GRAPHEN

KAPITEL 3 MATCHINGS IN BIPARTITEN GRAPHEN KAPITEL 3 MATCHINGS IN BIPARTITEN GRAPHEN F. VALLENTIN, A. GUNDERT 1. Definitionen Notation 1.1. Ähnlich wie im vorangegangenen Kapitel zunächst etwas Notation. Wir beschäftigen uns jetzt mit ungerichteten

Mehr

6. Übung zur Linearen Optimierung SS08

6. Übung zur Linearen Optimierung SS08 6 Übung zur Linearen Optimierung SS08 1 Sei G = (V, E) ein schlichter ungerichteter Graph mit n Ecken und m Kanten Für eine Ecke v V heißt die Zahl der Kanten (u, v) E Grad der Ecke (a) Ist die Anzahl

Mehr

Literatur. Dominating Set (DS) Dominating Sets in Sensornetzen. Problem Minimum Dominating Set (MDS)

Literatur. Dominating Set (DS) Dominating Sets in Sensornetzen. Problem Minimum Dominating Set (MDS) Dominating Set 59 Literatur Dominating Set Grundlagen 60 Dominating Set (DS) M. V. Marathe, H. Breu, H.B. Hunt III, S. S. Ravi, and D. J. Rosenkrantz: Simple Heuristics for Unit Disk Graphs. Networks 25,

Mehr

11: Die Euler sche Polyederformel für planare Graphen

11: Die Euler sche Polyederformel für planare Graphen Chr.Nelius: Graphentheorie (WS 2016/17) 38 11: Die Euler sche Polyederformel für planare Graphen (11.1) BEM: a) Ein Polyeder (auch Vielflach oder Vielflächner) ist ein geometrischer Körper, der nur von

Mehr