2 Folgen und Reihen. 2.1 Konvergente Folgen. Beispiele

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1 49 Folgen und Reihen Häufig werden Größen, die sich nicht durch einen in endlich vielen Schritten berechenbaren Ausdruck angeben lassen, durch Näherungen oder Approximationen ersetzt. Dabei muss z.b. in Abhängigkeit der Stellenzahl eines Rechners mit unterschiedlich vielen Schritten gerechnet werden; man ist dann mit einer Näherung zufrieden, wenn die vom Rechner angezeigten Stellen mit denen der exakten Größe übereinstimmen. Grundlage für die Untersuchung solcher Fragen ist der Begriff des Grenzwertes einer Zahlenfolge.. Konvergente Folgen. Beispiele Obwohl wir uns im Folgenden fast ausschließlich mit reellen bzw. komplexen Zahlenfolgen beschäftigen, werden wir den Begriff einer konvergenten) Folge etwas allgemeiner fassen. Definition.. Gegeben sei ein metrischer Raum X, d); unter einer Folge verstehen wir eine Abbildung f : N X. Jedem n N ist also genau ein a n := fn) X zugeordnet. Statt f schreiben wir auch a n ) n N, a n ) n oder a, a,...). Ist n 0 Z, so bezeichnen wir a n ) n n0 oder a n0, a n0 +,...) ebenfalls als Folge. Wir sprechen auch von einer Folge in X; ist speziell X, d) = R, d) bzw. = C, d), so sprechen wir von einer reellen bzw. einer komplexen Zahlen-)Folge. Beispiele.. a) a n = a für alle n N ergibt die konstante Folge a, a,...) in X, d). b) a n = n ergibt,, 3, 4,... ). c) a n = ) n ergibt,,,,...). d) a n = i n ergibt i,, i,, i,, i,,...). e) a 0 =, a = und a n = a n + a n für n ergibt,,, 3, 5, 8, 3,,...), die sog. Folge der Fibonacci 7 -Zahlen. ) ) ) ) ) f) a n = n, )n ergibt in R, d ) die Folge, ),,, 3,, 4,,.... g) Sei b C beliebig und a n = b n für n N 0, das ergibt die Folge, b, b, b 3,...) in C. 7 Leonardo von Pisa, auch Fibonacci genannt Sohn des Bonacci) wurde um 70 in Pisa geboren; auf einer ausgedehnten Handels- und Bildungsreise durch den Orient eignete er sich arabisches und griechisches mathematisches Wissen an. Durch ihn wurde das dekadische Stellenwertsystem in Europa bekannt. Fibonacci verstarb um 50 in Pisa

2 50 Definition.3 Eine Folge a n ) n in X, d) konvergiert gegen a X heißt konvergent gegen a X), wenn Folgendes gilt: Zu jedem ε > 0 existiert ein Nε) R derart, dass für alle n N mit n > Nε) gilt: da n, a) < ε. Wir schreiben a = lim a n oder a n a für n ; a heißt Grenzwert oder Limes der Folge a n ) n. Eine Folge konvergiert oder heißt konvergent, wenn ein a X existiert, gegen das sie konvergiert; sie heißt divergent, wenn sie nicht konvergiert. Anschaulich bedeutet die Konvergenz, dass in jeder Kugel K ε a) := { x X dx, a) < ε} das Endstück a nε), a nε)+,...) der Folge a n ) n mit nε) N und nε) Nε) liegt. Satz.4. Ist a n ) n konvergent, so besitzt a n ) n N genau einen Grenzwert. Beweis: Wir nehmen a n a und a n b für n mit a b an; dann ist ε := da, b) > 0 und jede der Kugeln K εa) bzw. K ε b) müßte ein Endstück der Folge a n ) n enthalten, was unmöglich ist. Zu ε existieren ein N ε) und ein N ε) mit da n, a) < ε für alle n > N ε) bzw. da n, b) < ε für alle n > N ε); für alle n > maxn ε), N ε)) gilt dann da, b) da, a n ) + da n, b) < ε = da, b) = da, b). Das ist ein Widerspruch.) Definition.5. Sei a n ) n eine Folge und n < n < n 3 <... eine aufsteigende Folge natürlicher Zahlen; dann heißt a nk ) k N = a n, a n,...) eine Teilfolge der Folge a n ) n.

3 5 Direkt aus Definition.3 folgt der Satz.6. Jede Teilfolge einer konvergenten Folge a n ) n konvergiert ebenfalls gegen lim a n. Definition.7. Eine reelle Zahlenfolge a n ) n heißt nach oben bzw. nach unten) beschränkt, wenn die Menge { a n n } in R nach oben bzw. nach unten) beschränkt ist. Die Folge heißt beschränkt, wenn sie nach oben und nach unten beschränkt ist, d.h. nach Satz.35: { a n n } K r 0) oder a n r für alle n N. Eine Folge a n ) n in einem metrischen Raum X, d) heißt beschränkt, wenn ein r > 0 und ein b X derart existieren, dass { a n n } K r b) = { x X dx, b) r} gilt. Satz.8. Jede konvergente Folge ist beschränkt. Beweis: Sei lim a n = a in X, d); dann existiert ein N N mit Daraus folgt für alle n N da n, a) < für alle n > N. da n, a) maxda, a),..., da N, a), ) =: r, also { a n n } K r a). Wir untersuchen nun die Beispiele aus. auf Konvergenz: Beispiele.9. a) a, a,...) konvergiert wegen da, a) = 0 gegen a. b) Es ist lim = 0, da nach dem Archimedischen Prinzip zu jedem ε > 0 ein m = n Nε) N existiert mit < ε vgl. Bemerkungen im Anschluß an Satz.). Daraus m folgt für alle n > m wegen n < m n < ε.

4 5 c) Es ist a, a 4, a 6,...) = a n ) n eine Teilfolge von a n ) n und a, a 3, a 5,...) = a n ) n eine Teilfolge von a n ) n. Nach Teil a) gilt wegen a n = und a n = für alle n N: lim a n = lim a n =. Nach Satz.6 kann a n ) n also nicht konvergieren. d) Betrachte die Teilfolgen a 4n+ ) n 0 = i, i,...), a 4n+ ) n 0 =,,...), a 4n+3 ) n 0 = i, i,...), a 4n ) n =,,...), die gegen vier verschiedene Grenzwerte konvergieren. e) Es gilt a n n für alle n N. Betrachte die Aussagen An) a n und a n n für n N und wende das Induktionsprinzip an. A) ist richtig wegen a 0 = a =. Der Induktionsschritt liefert aus der Induktionsvoraussetzung a n und a n n sofort a n und a n+ = a n + a n n +.) Also ist die Folge unbeschränkt. f) Betrachte die Teilfolgen a n = ) n, und a n = ) n,. Es gilt lim a n = 0, ), denn zu jedem ε > 0 existiert ein m N mit m < ε; daraus folgt für alle n m: d a n, 0, )) = Entsprechend folgert man: ) + 0 n = lim a n = 0, ). Satz.6 liefert die Divergenz von a n ) n in R, d ). g) i) Sei zunächst b C mit b < ; dann gilt n = n m < ε < ε. lim bn = 0. ii) Ist b C und b =, so ist b n ) n divergent für b und konvergent für b =.

5 53 iii) Für b C mit b > ist b n ) n divergent. Zu i): Für b = 0 ist nichts zu beweisen; sei also 0 < b < ; dann gilt die Behauptung nach Folgerung. b) und Satz.5 wegen b n 0 = b n = b n. Zu ii): Die Konvergenz für b = ist klar; die Divergenz für die anderen b mit b = läßt sich anhand der geometrischen Interpretation der Multiplikation komplexer Zahlen veranschaulichen. Wir werden in Beispiel.9 a) darauf noch einmal zurückkommen. Zu iii): Nach Folgerung. ist die Folge b n ) n = b n ) n unbeschränkt, also b n ) n divergent. Bemerkung.0. Eine Folge a n ) n in einem metrischen Raum X, d) ist genau dann konvergent, wenn eine Konstante K > 0 und zu jedem ε > 0 ein Nε) R existieren mit Beweis: > : Wähle K =. da n, a) < K ε für alle n > Nε). < : Zeige, dass zu jedem ε > 0 ein Mε) R mit Satz.. da n, a) < ε für alle n > Mε) existiert. Nach Voraussetzung gibt es zu ε := ε K > 0 ein Nε ) R mit da n, a) < K ε = ε für alle n > Nε ) =: Mε). Es sei a n ) n eine Folge in R m, d ) und a n = a n), an),..., an) m ). Es gilt genau dann lim a n = a,..., a m ) =: a R m, wenn für die m reellen Zahlenfolgen a n) j ) n mit j m gilt: lim an) j = a j.

6 54 Beweis: > : Aus a n a für n folgt wegen a n) j a j = a n) j a j ) m i= a n) i a i ) sofort lim an) j = a j für j m. < : Umgekehrt existiert zu jedem ε > 0 und jedem j {,..., m} ein N j ε) R mit a n) j a j < ε für alle n > N j ε). Für alle n > maxn ε),..., N m ε)) gilt dann m j= ) a n) j a j ) < m j= ε ) = m ε Bemerkung.0 liefert die Behauptung. Folgerung.. Ist a n ) n eine komplexe Zahlenfolge, so konvergiert a n ) n genau dann, wenn die beiden reellen Zahlenfolgen Re a n ) n und Im a n ) n konvergieren. Im Falle der Konvergenz gilt: lim a n = lim Re a n + i lim Im a n. Beispiel: lim ) n + i ) = lim n ) n + i lim n = 0.. Das Rechnen mit konvergenten Folgen Satz.3. Es seien a n ) n und b n ) n zwei konvergente komplexe) Zahlenfolgen mit a = lim a n und b = lim b n ; dann gilt: a) Es ist auch die Folge a n + b n ) n konvergent mit lim a n + b n ) = lim a n + lim b n.

7 55 b) Ist λ C, so konvergiert auch λa n ) n mit lim λa n) = λ lim a n. c) Die Produktfolge a n b n ) n konvergiert mit lim a n b n ) = lim a n lim b n. d) Ist b 0, so existiert ein n 0 N mit b n 0 für alle n n 0. Dann ist konvergent mit a n lim = b n lim a n lim b n. an ) b n n n 0 Beweis: Zu a): Zu ε > 0 existieren ein N ε) R mit a n a < ε für alle n > N ε), sowie ein N ε) R mit b n b < ε für alle n > N ε). Für alle n > maxn ε), N ε)) gilt dann a n + b n ) a + b) a n a + b n b < ε. Zu b): Folgt direkt aus Bemerkung.0 mit K = λ. Zu c): Nach Satz.8 ist a n ) n beschränkt, also a n r für alle n N mit r > 0. Für ε > 0 seien N ε) R und N ε) R so, dass a n a < ε für alle n > N ε) und b n b < ε für alle n > N ε) gilt. Dann erhalten wir für alle n > maxn ε), N ε)): a n b n ab = a n b n b) + a n a)b a n b n b + a n a b < r ε + b ε = r + b )ε.

8 Zu d): Wegen a n = a n ) genügt es zu zeigen, dass die Folge gegen b n b n b n n n 0 b konvergiert; Teil c) liefert dann die Behauptung. Wegen b 0 existiert zu ε := b ein Nε) mit b n b < b für alle n > Nε). Daraus ergibt sich mit Folgerung.3 bzw. Satz.33: b n b für alle n > Nε), d.h. speziell b n 0 für alle n n 0 mit einem geeigneten n 0 N. Ist weiter b n b < ε für alle n > N ε), so gilt für alle n > maxnε), N ε)): b n b = b b n bb n = b b n b n b < b ε 56 Beispiel.4. Sei a n = 3n + 3n n für n ; dann gilt auch a n = n ) n n ) = n n n. Nach Satz.3 c) gilt wegen lim = 0 auch lim = 0, Teil b) liefert lim n n n = 0, Teil a) schließlich lim n ) = 0. Entsprechend folgt lim ) = 3. n Teil d) liefert dann lim a n = 3 = 3. Satz.5. Konvergiert die komplexe Zahlenfolge a n ) n gegen a, so gilt lim a n = a. Beweis: Nach Folgerung.3 gilt: a n a a n a.

9 57 Wir halten noch einige Aussagen fest, die nur für reelle Zahlenfolgen gelten: Satz.6. a) Es seien a n ) n und b n ) n zwei konvergente reelle) Zahlenfolgen mit a = lim a n sowie b = lim b n. i) Gilt a n b n für alle n n 0, so folgt auch a b. a n < b n impliziert nicht a < b.) Vergleichssatz) ii) Ist c n ) n eine Folge mit a n c n b n für alle n n 0 und ist a = b, so konvergiert auch c n ) n mit lim c n = a. Einschnürungs- oder Sandwich-Satz) b) Ist b n ) n eine Nullfolge, d.h. lim b n = 0, a n ) n eine Folge und a R mit a n a b n für alle n n 0, so konvergiert auch a n ) n mit lim a n = a. Beweis: Zu a): i) Wäre a > b, d.h. ε := a b) > 0, so existiert ein N ε) mit und es gibt ein N ε) mit a n a < ε für alle n > N ε), b n b < ε für alle n > N ε). Für alle n > maxn ε), N ε)) gilt dann vgl. Satz.3 b) b n < b + ε = a + b = a ε < a n. Widerspruch. ii) Aus und a ε < a n < a + ε für alle n > N ε) a ε < b n < a + ε für alle n > N ε) folgt für alle n > maxn ε, N ε)): a ε < a n c n b n < a + ε d.h. c n a < ε.

10 58 Zu b) Folgt sofort aus dem Einschnürungssatz. Beispiele Nach dem Einschnürungssatz gilt oder lim lim n + = 0 n + 3 = 0. Bemerkung.7. Ist a n ) n eine komplexe) Nullfolge und b n ) n eine beschränkte komplexe) Zahlenfolge, so konvergiert auch a n b n ) n gegen Null..3 Vier Prinzipien der Konvergenztheorie Definition.8. Eine relle Folge a n ) n heißt monoton) wachsend, wenn a n+ a n für alle n N gilt. Sie heißt monoton) fallend, wenn a n+ a n für alle n N gilt. a n ) n heißt streng monoton) wachsend bzw. fallend, wenn stets a n+ > a n bzw. a n+ < a n gilt. a n ) n heißt streng) monoton, wenn sie streng) monton wächst oder fällt. Satz.9. Monotonieprinzip) Eine monotone Folge konvergiert genau dann, wenn sie beschränkt ist. In diesem Falle konvergiert sie gegen ihr Supremum, wenn sie wächst, und gegen ihr Infimum, wenn sie fällt. Beweis: Sei a n ) n monoton wachsend und beschränkt; nach Satz. existiert das Supremum a = sup{ a n n N}. Zu jedem ε > 0 existiert ein n 0 N mit a n0 > a ε sonst wäre a ε eine kleinere obere Schranke); für alle n > n 0 gilt dann ebenfalls: a n a n0 > a ε. Da außerdem für alle n N gilt: a n a, haben wir für alle n n 0 : a ε < a n a. Umgekehrt ist jede konvergente Folge beschränkt vgl. Satz.8). Beispiel.0. Eulersche Zahl) Die Folge + ) n ) ist streng monoton wachsend, die Folge n streng monoton fallend. n + ) ) n+ n n

11 59 Nach der Bernoullischen Ungleichung gilt nämlich ) n + n = n n) ) n n n, also + ) n ) n n = = n n n n ) n = n) n + n ) n und ) n + n = n n) ) n = n also + n) n+ Ferner gilt ) n n n ) n = n n + n ) n = + ) n.) n + n) n < + n) n+ für alle n N, ) + n +, n n also + n) n < + n) n+ 4. Nach dem Monotonieprinzip konvergiert also die Folge Folge + ) ) n+ n n d.h. e = lim + n. n) + ) n ) n n und ebenso die. Wir nennen den Grenzwert der ersten Folge e Eulersche Zahl), Wir zeigen, dass die zweite Folge ebenfalls gegen e konvergiert: Wegen alle n N folgt + n+ e n) Da lim n = + n+ + n) n) n + ) n + n ) n = n = 0 gilt, folgt nach Bemerkung.7 und Satz.6: lim + n+ = e. n) + n) n e für + n) n.

12 60 Leonhard Euler wurde am in Basel geboren. Als Pfarrerssohn nahm Euler das Studium 70 an der philosophischen Fakultät, 73 an der theologischen Fakultät der Universität Basel auf; 77 folgte er Daniel Bernoulli und Niklaus II Bernoulli an die neu gegründete Akademie in Petersburg. 73 wurde er dort Professor für Physik, 733 Professor für Mathematik; nach dem Tode von Zarin Anna I ging er 74 an die Berliner Akademie; Differenzen mit König Friedrich II. bewogen ihn, 766 nach St. Petersburg zurückzugehen. Kurz darauf verlor Euler nach einer Star Operation 77) auch das linke Auge; das rechte Auge hatte Euler 738 als Folge einer Krankheit verloren. Euler war zweimal verheiratet, von mit Katharina Gsell, ab 776 mit der Stiefschwester seiner ersten Frau Salome Abigail Gsell. Euler hatte mit seiner ersten Frau 3 Kinder, von denen 8 nicht älter als 4 Jahre wurden. 3 Söhne haben ihren Vater überlebt, Töchter sind im Alter von 39 Jahren bzw. 35 Jahren verstorben. Euler verstarb am in St. Petersburg. Das wissenschaftliche Werk Eulers ist das umfangreichste unter allen mathematischen gesammelten Werken. Es umfasst 73 Bände; geplant ist eine Gesamtausgabe in 8 Bänden. Euler hat insgesamt 760 Arbeiten zum Druck fertiggestellt, davon allein 70 in der Zeit ab 775. Beispiel.. Heron 8 -Verfahren) Gegeben sei a R, a > ; gesucht ist a. Definieren wir die Folge a n ) n induktiv durch a := a ) a n + aan a n+ := für n, so entsteht eine monoton fallende Folge a n ) n mit lauter positiven Gliedern, und es gilt: Beweis: lim a n = a. α) Mit dem Induktionsprinzip kann man a n > 0 für alle n N zeigen. 8 Heron von Alexandria lebte zwischen 50 v. Chr. und 50 v. Chr. in Alexandria; in den von ihm erhaltenen Werken finden sich neben Kommentaren zu den Elementen von Euklid und Sätzen, die im Stil Euklids streng bewiesen werden, rechnerische, häufig approximative Verfahren insbesondere rationale Näherungen für Quadrat- und Kubikwurzeln). Nicht alle Methoden und Formeln sind richtig.

13 6 β) Für alle n gilt: a n a. Es ist nämlich a n + aan ) a n a + aan ) a n+ a = a = = a n a n a n a + a ) = a n an a ) 0. γ) a n ) n ist monoton fallend wegen a n + aan ) a n aan ) a n a n+ = a n = a a a ) = 0. δ) Das Monotonieprinzip liefert die Konvergenz der Folge a n ) n gegen den Grenzwert g; wegen a n a ist g )) 0. Die Grenzwertsätze ergeben dann auch die Konvergenz der Folge a n + aan mit dem Grenzwert g + a ). Wegen n g lim a n+ = lim a n folgt hieraus g = g + a ) g oder g = a, d.h. g = a. Beispiel.0 läßt sich verallgemeinern zu einer Aussage, die häufig an Stelle des Supremumprinzips Satz.) zur Charakterisierung reeller Zahlen tritt. Definition.. Eine Folge abgeschlossener Intervalle I n := [a n, b n ], n N, definiert eine Intervallschachtelung, wenn Folgendes gilt: ii) I n I n+ für alle n N, d.h. a n ) n ist monoton wachsend und b n ) n monoton fallend. ii) lim a n b n ) = 0.

14 6 Satz.3. Prinzip der Intervallschachtelung) Jede Intervallschachtelung I n ) n definiert genau eine Zahl a, die in allen Intervallen I n liegt, d.h. a = I n. n= Beweis: Nach dem Monotonieprinzip existieren a = lim a n und b = lim b n ; Satz.3 liefert lim a n b n ) = a b und ii) ergibt a = b. Satz.4. Auswahlprinzip von Bolzano 9 -Weierstraß 0 ) Jede beschränkte reelle Zahlenfolge enthält eine konvergente Teilfolge. Beweis: Wir definieren induktiv eine Intervallschachtelung I n mit der Eigenschaft, dass in jedem Intervall I n = [A n, B n ] unendlich viele Glieder der Folge a n ) n liegen. Wegen der Beschränktheit von a n ) n existieren Zahlen A und B mit A < B und A a n B für alle n N. Sei nun das Intervall I n schon konstruiert; dann setze M := A n + B n ). Da in [A n, B n ] unendlich viele Glieder der Folge liegen, müssen in mindestens einem der Intervalle [A n, M] und [M, B n ] unendlich viele Folgenglieder liegen. Wir setzen { [An, M], falls in [A n, M] unendlich viele Folgenglieder liegen [A n+, B n+ ] := [M, B n ], sonst Offenbar hat [A n+, B n+ ] die geforderten Eigenschaften mit B n+ A n+ = n B A ). Induktiv definieren wir nun eine Teilfolge a nk ) k mit a nk [A k, B k ] für alle k N: Wir setzen a n := a und wählen aus dem Intervall [A k+, B k+ ] eines der unendlich vielen Folgenglieder aus, etwa a nk+ mit n k+ > n k. Nach dem Prinzip der Intervallschachtelung existiert genau eine Zahl a [A n, B n ]; nach Konstruktion gilt lim a n k = a. k n= Wähle zu ε > 0 n 0 N so, dass n 0 B A) < ε gilt; dann folgt für alle k N mit k > n 0 wegen a nk [A k, B k ] und a [A k, B k ]: a nk a B k A k = k ) B A ) < n 0 B A ) < ε.) 9 vgl. S vgl. S. 44

15 63 Definition.5. a heißt Häufungspunkt einer Zahlenfolge a n ) n, wenn eine Teilfolge von a n ) n existiert, die gegen a konvergiert. a wird auch Häufungswert der Folge a n ) n genannt.) Satz und Definition.6. Jede beschränkte Zahlenfolge a n ) n besitzt einen größten und einen kleinsten Häufungswert. Der erstere heißt Limes superior von a n ) n - wir schreiben: lim sup a n -, der letztere Limes inferior von a n ) n - wir schreiben: lim inf a n. Beweis: Gilt für alle n N : a a n b, so gilt dies auch für alle Häufungswerte von a n ) n. Die Menge H aller Häufungswerte von a n ) n ist also beschränkt und besitzt demnach Supremum α und Infimum β. Wir zeigen, dass α bzw. β) Häufungswerte von a n ) n sind. Zu jedem ε > 0 existiert ein α H mit α ε < α α. Ist α = α, so sind wir fertig; ist α < α, so existiert eine Teilfolge a nk ) k von a n ) n, die gegen α konvergiert, d.h. zu δ > 0 mit α ε < α δ < α + δ < α existiert ein Nδ) mit a nk α < δ für alle k > Nδ). Damit gilt auch für alle k > Nδ) a nk α < ε, d.h. Entsprechend zeigt man: β H. α = lim k a nk. Bernh)ard Bolzano wurde am in Prag geboren. Er studierte von 794 bis 804 Philosophie, Mathematik und Theologie in Prag. Nach der Promotion im Jahre 804 erhielt er 805 die Priesterweihe und eine Professur für Religionswissenschaft in Prag. Er wurde 89 im Rahmen der Metternichschen Demagogenverfolgung entlassen. Danach lebte er zurückgezogen auf dem Lande. Seine mathematischen Arbeiten beschäftigen sich fast ausschließlich mit der Analysis. In einer Arbeit aus dem Jahre 87 ist neben der Definition einer stetigen Funktion auch der Zwischenwertsatz und der obige Satz.4 enthalten. Außerdem gibt Bolzano ein Beispiel für eine stetige, nirgends differenzierbare Funktion an. Bolzano verstarb am in Prag. Beispiel zu Satz.6

16 64 Die Folge a n ) n mit a n = ) n besitzt die Häufungswerte und, es gilt also lim inf a n = und lim sup a n =. Definition.7. Eine Folge a n ) n in einem metrischen Raum X, d) heißt Cauchy-Folge, wenn zu jedem ε > 0 ein Nε) R existiert, so dass für alle m, n N mit m > Nε) und n > Nε) gilt: da n, a m ) < ε. Satz.8. Cauchysches Konvergenzprinzip) a) Jede konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge. b) Jede Cauchy-Folge a n ) n in R oder C) konvergiert. Eine Zahlenfolge konvergiert also genau dann, wenn sie eine Cauchy-Folge ist.) Beweis: Zu a): Sei a n ) n eine Folge in X, d) mit lim a n = a. Wähle zu ε > 0 ein Nε) R so, dass für alle n > Nε) gilt: Dann folgt für alle m, n > Nε) da n, a) < ε. da n, a m ) da n, a) + da, a m ) < ε + ε = ε. Zu b): Sei zunächst a n ) n eine reelle Folge. Zu ε = existiert ein N) R mit a n a m < für alle m, n > N). Wähle ein m 0 N mit m 0 > N) fest aus; dann gilt für alle n m 0 vgl. Folgerung.3): a n a m0 a n a m0 < oder Damit ist für alle n N: vgl. S. 43 a n < a m0 +. a n max{ a,..., a m0, a m0 + }.

17 65 Also ist die Folge a n ) n beschränkt. Das Auswahlprinzip von Bolzano-Weierstraß liefert eine konvergente Teilfolge, d.h. ein a R mit Wir behaupten: Sei dazu ε > 0 gegeben und Kε) R mit a = lim k a nk. a = lim a n. sowie Nε) R mit a nk a < ε a n a m < ε für alle k > Kε) für alle m, n > Nε). Wähle nun k 0 N mit k 0 > maxkε), Nε)) fest; dann gilt für alle n > maxnε), Kε)) wegen n k k: a n a a n a nk0 + a nk0 a < ε + ε = ε. Ist a n ) n eine komplexe Cauchy-Folge, so bilden Re a n ) n bzw. Im a n ) n wegen Satz.5 reelle Cauchy-Folgen. Diese konvergieren, also auch die Folge a n ) n nach Folgerung.. Beispiele.9. a) Wir betrachten Beispiel.9 g): b n ) n 0 für b C mit b = und b. Dann gilt b =: ε 0 > 0, also für alle n N b n+ b n = b n b = b n b = ε 0. Nach Satz.8 kann b n ) n 0 keine Cauchy-Folge und damit nicht konvergent sein. b) Mit b C können wir für jedes n N 0 die Summe s n := b k betrachten; dadurch erhalten wir eine Folge s n ) n 0. Gemäß Satz. gilt Beispiel.9 g) liefert damit für b < : s n = bn+ b. lim b n+ lim s n = b = b.

18 66.4 Reihen Beispiel.9 b) wollen wir zum Anlaß nehmen, Folgen zu betrachten, bei denen sich das n+)-te Folgenglied s n+ aus dem n-ten s n durch Addition von a n+ R oder C) ergibt. Definition.30. Sei a n ) n 0 eine Zahlenfolge. Die Folge s n := a k, n 0, der Partialsummen heißt unendliche) Reihe und wird mit a k bezeichnet. Die Zahlen a k heißen Glieder der Reihe. Konvergiert s n ) n 0 gegen s, so sagt man, die Reihe konvergiere und schreibt a k = s. Bemerkung Jede Folge a n ) n 0 läßt sich als Reihe schreiben; wir setzen b 0 = a 0 und b n = a n a n für n ; dann gilt a n = b k. Damit ist klar, dass jeder Satz über Folgen durch Reihen ausgedrückt werden kann und umgekehrt. Satz.3. Es seien a k und b k zwei konvergente Reihen und λ C. Dann konvergieren auch die Reihen a k + b k ), a k b k ) und λa k, und es gilt: a k ± b k ) = a k ± b k, λa k = λ a k. Beweis: Sei s n := a k, t n := b k ;

19 67 dann ist a k + b k ) = a k + Nach Satz.3 gilt a k + b k ) = lim s n + t n ) = Analog werden die anderen Aussagen bewiesen. b k = s n + t n. lim s n + lim t n = a k + b k. Aus den Prinzipien des letzten Abschnitts erhalten wir sofort: Satz.3. Cauchykriterium ) Die Reihe a k mit a k C konvergiert genau dann, wenn für jedes ε > 0 ein Nε) R existiert mit für alle m > n > Nε). m k=n+ a k < ε Folgerung.33. Notwendiges Konvergenzkriterium für Reihen) Konvergiert die Reihe a k, so gilt lim a k = 0 und lim a k = 0. k k=n+ m ) Beweis: Setze in Satz.3 m = n + bzw. betrachte die Folge a k Satz.34. Eine Reihe k=n+ m>n. a k mit a k 0 für alle k N 0 konvergiert genau dann, wenn die Folge der Partialsummen beschränkt ist. Beweis: Wegen a k 0 ist die Folge s n ) n 0 der Partialsummen monoton wachsend. Das Monotonieprinzip liefert dann die Behauptung. Satz.35. Leibniz 3 -Kriterium für alternierende Reihen) Es sei a n ) n 0 eine monoton fallende Folge nicht-negativer Zahlen mit lim a n = 0. Dann konvergiert die Reihe ) k a k. vgl. S vgl. S. 68

20 68 Beweis: Wir betrachten die Partialsummen s n = ) k a k für gerades und ungerades n. Es gilt und s m+ s m = a m+ a m+ 0 s m+ s m = a m+ + a m 0. Also ist s m ) m 0 monoton fallend und s m+ ) m 0 monoton wachsend. Wegen s m s m+ = a m+ 0 ist s m ) m 0 nach unten beschränkt und s m+ ) m 0 nach oben beschränkt. Damit konvergieren die Teilfolgen, d.h. es ist Die Grenzwertsätze liefern lim s m = s und lim s m+ = t. m m d.h. s = t. s t = lim m s m s m+ ) = lim m a m+ = 0, Gottfried Wilhelm Leibniz wurde am in Leipzig geboren. Als Sohn eines Leipziger Universitätsprofessors erwarb er schon früh autodidaktisch bedeutende Kenntnisse. 5-jährig wurde er Student in Leipzig und 664 Magister; 0-jährig promovierte er an der Universität Altdorf. Im diplomatischen Auftrag des Mainzer Kurfürsten kam er 67 nach Paris. Da er in Paris keine feste Anstellung finden konnte, trat er 676 als Bibliothekar und juristischer Berater in den Dienst des Herzogs von Hannover und war dort unermüdlich in vielen Wissensgebieten tätig, ohne dass die Herzöge von Hannover auch nur im Entferntesten die universelle Bedeutung seiner Ergebnisse zu würdigen wussten. Leibniz verstarb am in Hannover. Definition.36. Eine Reihe a k heißt absolut konvergent, wenn die Reihe a k konvergiert. k=

21 69 Bemerkung.37. m Wegen a k k=n+ m k=n+ a k folgt aus der absoluten Konvergenz einer Reihe sofort ihre Konvergenz. Für die Grenzwerte erhalten wir aus dem Vergleichssatz sofort die Abschätzung a k a k. Umgekehrt folgt aus der Konvergenz einer Reihe nicht die absolute Konvergenz, wie das Beispiel ) k+ k zeigt, das auf die sog. divergente harmonische Reihe k führt. k= k= Durch die direkte Anwendung von Satz.34 erhalten wir einige Konvergenz- bzw. Divergenzkriterien: Satz.38. Majorantenkriterium) Ist a k eine unendliche Reihe mit a k C, alle k N 0 und gilt für alle k n 0 : a k b k, so konvergiert b k eine konvergente Reihe mit b k 0 für a k absolut. Satz.39. Minorantenkriterium) Ist a k eine unendliche Reihe mit a k R, a k 0 für alle k N 0 und gilt für alle k n 0 : 0 b k a k und ist Beispiele. Untersuche und k= Die Reihe k= k b k divergent, so ist auch a k divergent. ) k k k 3 k auf Konvergenz bzw. Divergenz. Es ist für k k 5 + 3k + k k 3 k )k k 5 + 3k + = k3 k k 5 + 3k + < k3 k = 5 k k= konvergent nach Beispiel.4. k k= k ist divergent, da für alle k gilt k k und die harmonische Reihe divergent vgl. Beispiel.4).

22 70 Satz.40. Cauchyscher Verdichtungssatz) Es sei a k eine Reihe mit monoton fallender Folge a k ) k 0 nichtnegativer reeller Zahlen. Die Reihe a k ist genau dann konvergent, wenn die verdichtete Reihe konvergiert. Im Konvergenzfall gilt also lim k k a k = 0. Beweis: > : Sei a k konvergent und a k = a; dann gilt für jedes n : k a k a n a k = a 0 + a + a + a 3 + a 4 ) a n a n) a 0 + a + a + a 4 + 4a n a n, also a + a n a n a a 0 ). Satz.34 liefert die Konvergenz der verdichteten Reihe. < : Sei umgekehrt k 0 N so gewählt, dass k 0 n gilt; dann ist a k = a 0 + a a n a 0 + a + a + a 3 ) a k a k 0 ) + a 0 + a + a + 4a k 0 a k 0 k 0 = a 0 + k a k. Also liefert wieder Satz.34 die Behauptung. Die Aussage über die Folge k a k) k 0 ergibt sich dann aus Folgerung.33. Beispiele.4. Die Reihe k hat dasselbe Konvergenzverhalten wie die Reihe k a k = k=, ist also divergent. Die Reihen k α die verdichteten Reihen k a k = = k= ) α k = k k = k mit α sind konvergent, denn es gilt für ) α = = α α. α k ) k α

23 7 Der Grenzwert der verdichteten Reihe hat nichts mit dem der ursprünglichen Reihe zu tun. Später werden wir für nichtnegative reelle Zahlen a und α > 0 die Potenzen a α erklären vgl. Satz und Definition 3.37). Dann erhalten wir in Verallgemeinerung unserer obigen Abschätzung: Die Reihe die Reihe die Reihe k= k= k= k α divergiert für 0 < α, k α konvergiert für < α, kln k) α divergiert für 0 < α und konvergiert für α >. Dabei ist ln der natürliche Logarithmus vgl. Satz und Definition 3.36). Satz.4 Quotientenkriterium). Gegeben sei a k mit a k C, a k 0 für alle k k 0. Gilt dann mit einer festen positiven Zahl q < so ist a k absolut konvergent. Ist dagegen so ist a k divergent. a k+ a k q für alle k k 0, a k+ a k für alle k k 0, Beweis: Mittels Induktion erhalten wir für k 0 = 0 dies können wir o.b.d.a. voraussetzen, da ein Abändern endlich vieler Summanden das Konvergenzverhalten nicht ändert): a k a 0 q k für alle k N 0. Daraus folgt die Behauptung über die Konvergenz mit dem Majorantenkriterium wegen a 0 q k = a 0 q k = a 0 q. Aus a k+ a k folgt, dass a k+ a k > 0 für alle k > k 0 gilt, also a k ) k 0 keine Nullfolge ist.

24 7 Beispiele.43. Für jedes z C konvergiert die Reihe für alle k z : Die Reihe Die Reihe nach Beispiel.0. z k+ k+)! z k k! = z k, denn nach dem Quotientenkriterium gilt k! z k + < z z =. k k ist absolut konvergent, da für alle k 4 gilt: k + ) k+ k k = k + k ) ) 5 = = q <. k k k! k divergiert, denn es gilt für alle k N: k + ) k+ k! k k + )! k+ k k = k + )k! k + )! k + k ) k = + ) k k Satz.44 Wurzelkriterium). Gegeben sei a k mit a k C. Gilt dann mit einer festen positiven Zahl q < so ist a k absolut konvergent. k ak q für alle k k 0, Ist jedoch M N 0 eine unendliche Menge und gilt für alle k M k ak, so ist a k divergent. Beweis: Aus k a k q ergibt sich a k q k für k k 0 und damit die geometrische Reihe als konvergente Majorante. Aus der zweiten Bedingung folgt, dass a k ) k N0 keine Nullfolge ist. Wir können die Sätze.4 und.44 zusammenfassen zu Satz.45. Gilt lim sup a n+ a n Ist dagegen lim inf < oder lim sup a n+ a n > oder lim inf n an <, so konvergiert die Reihe a k absolut. n an >, so divergiert die Reihe a k.

25 73 ) a n+ Konvergiert die Folge a n n 0 konvergieren, sie kann auch divergieren. Beweis: Es gilt die Reihe divergiert und lim k konvergiert nach Beispiel.4. k k + = und ) n oder an k= k= n 0 ) k lim = ; k k + k k gegen, so kann die Reihe a k.5 p-adische Brüche. Überabzählbarkeit von R. Definition.46. Sei p N, p. Unter einem p-adischen Bruch versteht man eine Reihe der Gestalt ± k= n a k p k. Dabei ist n 0 und die a n sind aus N mit 0 a n < p. Ist die Basis p festgelegt, so schreibt man auch für den p-adischen Bruch ±a n a n+... a a 0, a a a Ein p-adischer Bruch heißt endlich, wenn ein k 0 N existiert mit a k = 0 für alle k k 0, andernfalls heißt er unendlich. Ist p = 0, so erhalten wir die Dezimalbrüche, ist p =, so sprechen wir von den dyadischen Brüchen. Satz.47. Jeder p-adische Bruch konvergiert gegen eine reelle Zahl. Beweis: Wir zeigen, dass die Partialsummenfolge der Reihe a k p k eine Cauchy-Folge k= n ist und wenden das Cauchy-Kriterium an. Sei m n und q N; dann gilt

26 74 m+q k=m+ a k p k m+q k=m+ q p )p k = p )p m+) < p )p m+) Folgerung. liefert die Behauptung. p = p )p m+) p p = p m = p k ) k = p )p m+) ) m. p p Umgekehrt gilt Satz.48. Jedes a ]0, ] läßt sich in einem unendlichen p-adischen Bruch p N, p ) entwickeln. Beweis: Wir definieren induktiv eine Intervallschachtelung für a. Dazu sei I 0 := [0, ]. n = : Teile I 0 in p gleiche Teile; dann existiert genau ein a {0,,..., p } mit Setze I = a p < a a + ) p. [ ] a p + ) p ; I hat die Länge. p Induktionsschritt von n auf n: Sei I n definiert und a n { 0,,..., p } mit n a k p k k= < a n a k p k + a n + )p n ) k= ) n I n habe die Länge. Unterteile p I n in p gleiche Teile und wähle a n { 0,,..., p } so, dass n a k p k + a n p n < a k= n a k p k + a n + )p n. k= Dann setze [ ] n I n := a k p k, a k p k + a n + )p n, k= k= I n hat die Länge p n. Nach Konstruktion entsteht ein unendlicher p-adischer Bruch a k p k = a. k=

27 75 Bemerkung. Eine reelle Zahl hat also immer eine unendliche Dezimalbruchentwicklung, abgesehen von der Null. So ist z.b. = = Dies ergibt sich sofort mit Hilfe der geometrischen Reihe wegen ) 0.49 = = k 0 k 0 k= = ) 0 = ) 0 0 = = 0.5. Folgerung.49. R ist überabzählbar. Beweis: Wir zeigen, dass eine Teilmenge von R, nämlich ]0, ], gleichmächtig ist wie eine überabzälbare Menge. Dazu betrachten wir die Menge F aus Satz.9 sowie die Teilmengen und Wegen F = { a n ) n a n = 0 oder a n = für alle n N} F = { a n ) n F a n = für unendlich viele n N} F = { a n ) n F a n = 0 für unendliche viele n N}. F = F F und der Überabzählbarkeit von F Satz.9) ist auch F oder F überabzählbar vgl. Satz.6). Nun ist aber F gleichmächtig wie F vermöge der bijektiven Abbildung mit g : F a n ) n b n ) n F b n = {, falls an = 0 0, falls a n =. Also sind F und F überabzählbar. Betrachte nun die Abbildung Wegen 0, 0, 0,...) F und f : F a n ) n a n n n= a n n. n= n = gilt ff ) ]0, ]. Nach Satz.48 n= besitzt jedes a ]0, ] eine unendliche Entwicklung in einen dyadischen Bruch; also ist f

28 76 surjektiv. Andererseits ist f auch injektiv. Sind nämlich a n ) n und b n ) n aus F mit a n ) b n ), so existiert ein minimales n 0 mit a n0 b n0. O.B.d.A. sei a n0 = und b n0 = 0; dann gilt f a n ) n ) f b n ) n ) = n=n 0 a n b n ) n = n 0 + n=n 0 + a n b n ) n > n 0 n=n 0 + n = 0. Das > -Zeichen erhalten wir in der obigen Abschätzung, da wegen a n ) n unendlich viele n N gilt: a n b n 0. F für.6 Umordnen und Multiplikation von Reihen Definition.50. Mit SN 0 ) bezeichnen Sie die Menge aller bijektiven Abbildungen von N 0 in sich. Ist nun a k eine Reihe mit a k R und τ SN 0 ), so heißt a τk) eine Umordnung der gegebenen Reihe. umgeordnete Reihe derart, dass a k heißt unbedingt konvergent, wenn für jedes τ SN 0 ) die a τk) konvergiert. Ist a τk) divergiert, so heißt a k konvergent und existiert ein τ SN 0 ) a k bedingt konvergent. Satz.5. Es sei a k absolut konvergent mit dem Grenzwert s; dann konvergiert jede Umordnung der Reihe ebenfalls gegen s. Beweis: Sei τ SN 0 ); wir haben zu zeigen: lim a τk) = s. Sei ε > 0 gegeben; dann existiert ein n 0 N derart, dass k=n 0 + a k < ε

29 77 gilt. Daraus folgt n0 s a k = Sei nun N N so groß gewählt, dass k=n 0 + a k k=n 0 + a k < ε. { τ0), τ),..., τn)} { 0,,..., n 0 }. Dann gilt für alle n N: a τk) s n 0 n 0 a τk) a k + a k s k=n 0 + a k + ε < ε. Wir zeigen an einem Beispiel, dass es bedingt konvergente Reihen gibt: Beispiel.5. Die Reihe a n = n, a n = n für n N) ist konvergent mit Grenzwert s. Betrachten wir jedoch die Umordnung , so gilt für die zugehörigen Partialsummen s 3n = 3 k= a τk) = n n + n damit ist die Partialsummenfolge unbeschränkt, also Allgemein gilt n n = a τk) divergent. Satz.53. Riemannscher 4 Umordnungssatz) Ist a k bedingt konvergent, so existiert zu jedem s R ein τ SN 0 ) mit Ferner gibt es ein σ SN 0 ) derart, dass die Reihe Beweis: Sei definieren 4 vgl. S. 44 a k konvergent und a + k := a k + a k k= a σk) divergiert. n ; a τk) = s. a k divergent. O.B.d.A. seien alle a k 0. Wir = { ak, falls a k > 0 0, falls a k < 0

30 78 und { 0, falls ak > 0 a k := a k a k = a k, falls a k < 0 Für jedes k 0 gilt a k = a + k a k und a k = a + k + a k. Wäre a + k oder a k konvergent, so würde wegen a k = a+ k a k bzw. a + k = a k a k nach den Grenzwertsätzen auch die Konvergenz der anderen Reihe folgen und damit die absolute Konvergenz von a k im Widerspruch zur Voraussetzung. Also sind beide Reihen a + k und divergent. Streichen wir alle Nullen aus der Folge a + k ) k 0 bzw. der Folge a k ) k 0, so erhalten wir die Teilfolge p k ) k 0 der positiven und mit q k ) k 0 die Teilfolge der negativen Folgenglieder von a k ) k 0. ) ) Es ist p k streng monoton wachsend und nach oben unbeschränkt sowie q k n 0 streng monoton fallend und nach unten unbeschränkt. Wir konstruieren induktiv eine Umordnung von a k, die gegen s konvergiert. Sei dazu n 0 N 0 die kleinste Zahl mit n=0 n N 0 die kleinste Zahl mit und n N 0 die kleinste Zahl mit n 0 n 0 n 0 p k > s, n p k + q k < s n p k + q k + n k=n 0 + a k p k > s usw.. Die dadurch entstehende Reihe ist eine Umordnung der ursprünglichen Reihe. Wegen der Minimalitätsforderung an die n k gilt n=0 n 0 n 0 p k + q k s und n 0 n p k + q k < s,

31 79 also und damit n 0 n p k + q k s q n n 0 n p k + q k + für n 0 + m < n. Für m = n ist n 0 n p k + q k + m k=n 0 + m k=n 0 + p k s q n p k s p n. Diese Abschätzung gilt für alle n m n 3. Insgesamt erhalten wir so Abschätzungen für den Abstand der Partialsummen zu s durch die Nullfolge q n, p n, q n3, p n4,...). Konstruieren wir entsprechend eine Umordnung durch die Bedingungen und n 0 n 0 n 0 p k >, n p k + q k < 0 n p k + q k + n k=n 0 + p k > überschreiten also mit den geraden Indizes n k die Zahl und unterschreiten mit den ungeraden Indizes n k+ die 0, so erhalten wir eine divergente Umordnung der gegebenen Reihe. Multipliziert man zwei endliche Summen a +...+a n ) und b +...+b n ) miteinander, so bildet man alle Produkte a i b j und summiert sie alle in einer beliebigen Reihenfolge auf; will man dieses Verfahren auf Reihen übertragen, so steht man vor dem Problem, dass sich in Abhängigkeit von der Anordnung der Produkte a i b j der Reihenwert ändern kann, also eine bedingt konvergente Reihe entsteht. Dies ist wenig sinnvoll. Dagegen gilt Satz.54. Sind die Reihen a k und b k mit a k, b k C beide absolut konvergent und ist p k ) k 0 irgendeine Anordnung der Produkte a i b j, so konvergiert p k absolut mit ) p k = a k ) b k.

32 80 Beweis: Betrachte s n := p k, etwa { p 0,..., p n } = { a ik b jk i k, j k { 0,,..., m} für k = 0,..., n}; dann gilt p k m ) m ) a k b k ) ) a k b k. Also konvergiert die Reihe p k absolut; wir können nach Satz.5 den Reihenwert ausrechnen, indem wir eine spezielle Anordnung und dann eine Teilfolge der a i b j betrachten: Aus dem Rechteckschema a 0 b 0 a 0 b a 0 b... a 0 b m... a b 0 a b a b... a b m.... a m b 0 a m b a m b... a m b m der Produkte a i b j wählen wir die Anordnung a 0 b 0 a 0 b, a b, a b 0 a 0 b, a b, a b, a b, a b 0... p 0 p p p 3 p 4 p 5 p 6 p 7 p 8 und betrachten die Teilfolge, die sich durch Summation der bis zu den Linien aufgeführten Reihenglieder ergibt. Wegen k + ) = n + ) erhalten wir s n+) = n+) p k = a a n )b 0 + b b n ), also p k = lim s n+) = ) ) a k b k. Eine spezielle Anordnung der Produkte p k erhält man, wenn man sich an der Multiplikation zweier Polynome P : R x a k x k R bzw. P : R x b k x k R

33 8 orientiert. Multipliziert man P x) mit P x) und sortiert anschließend nach den Potenzen von x, so gilt: P x)p x) = c k x k mit c k = a 0 b k + a b k a k b 0 für 0 k n. Definition.55. Sind zwei Reihen a k bzw. b k mit a k, b k C gegeben, so nennt man die Reihe mit k c k = a i b k i i=0 das Cauchy-Produktder Reihen a k und b k. c k Aus Satz.54 folgt sofort Folgerung.56. Das Cauchy-Produkt zweier absolut konvergenter Reihen a k und konvergent, und es gilt: ) ) c k = a k b k. b k ist absolut Beispiel.57. Die Exponentialfunktion) Nach Beispiel.43 konvergiert die Reihe z k k! für jedes z C absolut; den Grenzwert bezeichnen wir mit expz) oder e z ). Dadurch definieren wir eine Abbildung exp : C z expz) = z k k! C. Wir berechnen das Cauchy-Produkt der Reihen Es gilt nach dem Binomischen Lehrsatz: c k := k i=0 z i w k i i! k i)! = k! k i=0 z k k! und ) k z i w k i = i k! z + w)k, w k k!.

34 8 also c k = k! z + w)k = expz + w). Damit haben wir gemäß Folgerung.56 die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion exp bewiesen: expz + w) = expz) expw) für alle z, w C. Weiter erhalten wir Folgerung.58. a) expz) 0 und exp z) = expz)) für alle z C. b) expz) = expz) für alle z C. c) expx) > 0 für alle x R. d) expn) = e n für alle n Z. Beweis: Zu a): Aus der Funktionalgleichung folgt expz)exp z) = exp0) =. Zu b): Sei dann gilt gemäß.7: s n z) = s n z) := z k k! ; z k k! = z k k! = s nz). Zu c): Für x 0 ist expx) + x > 0; für x < 0 ist x > 0, also exp x) > 0 und nach Teil a) ist dann expx) = exp x) > 0. Zu d): Für n N 0 beweisen wir die Behauptung durch Induktion: n = 0 und n = sind klar; Induktionsschritt von n auf n + : Ist n Z \ N 0, so ist n N, also expn + ) = expn) exp) = e n e = e n+. exp n) = e n und damit expn) = exp n) = en.

35 83 Manchmal betrachtet man nur eine Teilmenge der Produktreihe; es gilt Satz.59. Cauchy-Schwarz sche Ungleichung für Reihen) Sind die Reihen a k und b k mit a k, b k C beide konvergent, so konvergiert a k b k absolut, und es gilt: a k b k a k b k ) a k b k ). Beweis: Es gilt nach der Cauchy-Schwarz schen Ungleichung für komplexe Zahlen vgl. Satz.37): ) ) a k b k a k b k a k b k. Dann liefert das Monotonieprinzip die absolute Konvergenz und der Vergleichssatz die Abschätzung für den Grenzwert. Satz.59 läßt sich auch folgendermaßen interpretieren: Ist eine Reihe gegeben, bei der sich die Reihenglieder als Produkte in der Form a k b k schreiben lassen, so ergibt sich die Konvergenz von a k b k unter den in Satz.59 angegebenen Voraussetzungen. Weitere Kriterien dieser Art liefert die Abelsche partielle Summation Satz.5): Satz.60. Gegeben sei die Reihe a k b k mit a k, b k C. Konvergiert die Folge A n b n+ ) n und die Reihe A k := k= A k b k b k+ ), so konvergiert auch die gegebene Reihe k= k= k a j. j= a k b k ; dabei ist Folgerung.6 Abelsches 5 Kriterium). Ist a k mit a k C konvergent und b k ) k mit b k R monoton und beschränkt, so k= konvergiert k= 5 vgl. S. 84 a k b k.

36 84 Beweis: Setze A k := k a j ; dann ist A k ) k konvergent, also auch beschränkt, d.h. j= A k M für alle k N. Nach dem Monotonieprinzip ist b k ) k ebenfalls konvergent. Also konvergiert A n b n+ ) n. Die Teleskop-Reihe b k b k+ ) ist wegen k= b k b k+ ) = lim k= k= b k b k+ ) = b lim b n+ ebenfalls konvergent. Wegen b k b k+ 0 für alle k N bzw. b k b k+ 0 für alle k N ist die Teleskop-Reihe sogar absolut konvergent. Damit ist A k b k b k+ M b k b k+, also k= k= A k b k b k+ ) k= absolut konvergent, und damit konvergiert die Reihe a k b k nach Satz.60. k= Niels Henrik Abel wurde am in Finnö Norwegen) geboren. Durch die Bemühungen seines Lehrers an der Kathedralschule in Christiana erhielt Abel eine Freistelle an der neugegründeten Universität in Christiana, wo er sich sprachlich auf einen Studienaufenthalt in Deutschland und Frankreich vorbereitete. 85 reiste er nach Berlin und im Frühjahr 86 nach Paris, das er tief enttäuscht Ende 86 wieder verließ, um nach Norwegen zurückzukehren. Ausschlagebend war sicherlich die Tatsache, dass Cauchy einer von ihm eingereichten großen Abhandlung keine Beachtung schenkte. Am starb Abel in Froland Norwegen) an Tuberkulose. Folgerung.6. Dirichlet sches 6 Kriterium) k Ist die Folge A k ) k mit A k = a j und a j C beschränkt und b k ) k eine monotone j= Nullfolge d.h. speziell b k R), so konvergiert 6 vgl. S. 85 a k b k. k=

37 85 Beweis: Nach Bemerkung.7 ist A k b k+ ) k eine Nullfolge. Die Reihe A k b k b k+ ) konvergiert unter diesen Voraussetzugen, wie wir beim Beweis zu Folgerung.6 gesehen haben. Satz.60 liefert die Behauptung. k= Johann Peter Gustav Dirichlet, eigentlich Lejeune-Dirichlet wurde am in Düren bei Aachen) geboren. Seine mathematische Ausbildung erhielt er 8 bis 86 in Paris, wo er ständig mit führenden französischen Mathematikern wie Fourier oder Poisson in Kontakt war. 87 erhielt er den Dr. h.c. von der Universität Bonn. Anschließend war er als Privatdozent bzw. a.o. Professor an den Universitäten Breslau und Berlin tätig. In Berlin wurde er 839 zum o. Professor ernannt. 855 folgte er einem Ruf an die Universität Göttingen als Nachfolger von Gauß. Dirichlet verstarb am in Göttingen. Beispiel.63. z k Nach dem Quotientenkriterium konvergiert die Reihe für alle z C mit z < k k= wegen z k+ k k + z k < z = q < für alle k N. Ist z >, etwa z = +ε 0 mit ε 0 > 0, so existiert wegen lim k k = ein k 0 = k 0 ε 0 ) N k mit k z k k = z k z = k + ε 0 für alle k k 0. Also divergiert die Reihe für z >. Wir überlegen uns, dass lim k k = gilt: k Ist k >, so auch k k >, etwa k k = + a k mit a k > 0; daraus folgt nach dem binomischen Lehrsatz oder d.h. k = + a k ) k = a k k ν=0 ) k a ν k + ν k ) kk ) = k a k k. kk ) a k

38 86 Ist nun ε > 0 gegeben, so folgt für k > Nε) = ε : k k = a k k < ε = ε.) ) k Ist z =, so konvergiert die Reihe nach dem Leibniz-Kriterium. Für z = k k= ergibt sich die harmonische Reihe, also Divergenz. Für z = und z {, } folgt k A k = z j = z z k+ z z ; j= ) also ist die Folge A k ) k beschränkt; da ferner n ist, ergibt das Dirichlet-Kriterium die Konvergenz von n eine monoton fallende Nullfolge k= z k k für z =, z ±. Betrachten wir die Reihe k= z k k, so ergibt sich nach dem Majorantenkriterium) Konvergenz für alle z und Divergenz für alle z >.