2.5 Messbare Mengen und Funktionen

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "2.5 Messbare Mengen und Funktionen"

Transkript

1 1 2.5 Messbre Mengen und Funktionen Definition Eine beschränkte Menge M R n heißt messbr, flls die chrkteristische Funktion χ M integrierbr ist. Die Zhl vol n (M) := χ M dµ n nennt mn ds Volumen von M. Eine beliebige Menge M heißt messbr, flls M Q für jeden bgeschlossenen Quder messbr ist. Für ν N sei Q ν := [ ν, ν]... [ ν, ν]. Ist M messbr, so ist f ν := χ M Qν jedes ν N integrierbr, und die Folge der (f ν ) wächst monoton. Die Zhlen vol n (M Q ν ) = χ M Qν dµ n für bilden dnn ebenflls eine monoton wchsende Folge. Ist diese Folge nch oben beschränkt, so konvergieren die f ν nch Levi s Stz von der monotonen Konvergenz gegen eine integrierbre Funktion, die offensichtlich mit χ M übereinstimmt. Ds führt zu der folgenden Definition: Definition Sei M messbr. Ist die Folge der Volumin vol n (M Q ν ) nch oben beschränkt, so heißt µ n (M) := lim ν vol n (M Q ν ) ds n-dimensionle (Lebesgue-)Mß von M und M endlich-messbr. Ist M messbr, ber nicht endlich-messbr, so setzen wir µ n (M) := +. Ist M nicht einml messbr, so können wir M überhupt kein vernünftiges Mß zuordnen Stz (Eigenschften messbrer Mengen) Die Mengen M, N R n seien messbr. Dnn gilt: 1. M N, M N und M \ N sind messbr. 2. M ist genu dnn eine Nullmenge im R n, wenn µ n (M) = 0 ist. 3. Ist M N, so ist µ n (M) µ n (N). 4. Es ist µ n (M N) + µ n (M N) = µ n (M) + µ n (N).

2 2 2 Integrtion in mehreren Vriblen Beweis: 1) Ist Q ein bgeschlossener Quder, so ist Q (M N) = (Q M) (Q N), Q (M N) = (Q M) (Q N) und Q (M \ N) = (Q M) \ (Q N). Deshlb reicht es, endlich-messbre Mengen zu betrchten. Sind χ M und χ N integrierbr, so sind uch χ M N = mx(χ M, χ N ), χ M N = min(χ M, χ N ) und χ M\N = (χ M χ N ) + integrierbr. 2) Ist M eine Nullmenge, so gilt χ M = 0 fst überll. Also ist χ M integrierbr und µ n (M) = χ M dµ n = 0. Sei umgekehrt M messbr und µ n (M) = 0. Wir können o.b.d.a. nnehmen, dss M beschränkt ist (sonst behndeln wir erst die Mengen M Q ν ). Dnn ist χ M integrierbr und χ M dµ n = 0. Weil χ M = χ M ist, folgt, dss χ M = 0 fst überll gilt. Also ist M = {x R n : χ M (x) 0} eine Nullmenge. 3) Ist N nicht endlich-messbr und dher µ n (N) = +, so ist nichts zu zeigen. Ist dgegen N endlich-messbr, so ist χ N integrierbr und χ Qν M eine (durch χ N ) L-beschränkte Folge von integrierbren Funktionen, die dnn fst überll gegen die integrierbre Funktion χ M χ N konvergiert. Also ist µ n (M) = lim ν µ n (Q ν M) µ n (N). 4) Ist eine der beiden Mengen M und N nicht endlich-messbr, so steht uf beiden Seiten der Gleichung +. Seien lso M und N endlich-messbr. Dnn ist Drus folgt die gewünschte Gleichung. χ M N + χ M N = χ M + χ N Stz (σ-additivität) Die Mengen M ν, ν N, seien messbr. Dnn ist uch M := und es gilt: µ n (M) µ n (M ν ). ν=1 ) Sind die M ν prweise disjunkt, so gilt die Gleichheit. b) Ist M ν M ν+1 für lle ν, so ist µ n (M) = lim ν µ n (M ν ). ν=1 M ν messbr, Beweis: Ds (historisch bedingte) σ im Nmen des Stzes steht für Summe. Sei A m := M 1... M m. Dnn ist (A m ) eine Folge von messbren Mengen mit A m A m+1, und es ist m A m = M = ν M ν.

3 2.5 Messbre Mengen und Funktionen 3 Sei C := sup m µ n (A m ). Ist C <, so konvergiert χ Am nch dem Stz von der monotonen Konvergenz gegen eine integrierbre Funktion. Dnn ist χ M integrierbr, M messbr und µ n (M) = lim µ n(a m ). m Ist C = +, so gilt zumindest noch für jeden bgeschlossenen Quder Q, dss M Q messbr und µ n (M Q) = lim m µ n(a m Q) ist. Also ist M uch in diesem Fll messbr, und weil lle A m in M liegen, muss µ n (M) = + sein. Induktiv folgt für lle m : µ n (A m ) µ n (M 1 )+ +µ n (M m ). Sind die M ν prweise disjunkt, so gilt die Gleichheit. Lässt mn jetzt m gegen Unendlich gehen, so erhält mn die gewünschten Aussgen Stz Offene, bgeschlossene und kompkte Mengen im R n sind messbr. Beweis: Jeder offene Quder ist messbr. Ist B R n eine beliebige offene Menge, so gibt es zu jedem Punkt x B eine offene Quderumgebung U = U(x) B. Beschränkt mn sich dbei uf Punkte mit rtionlen Koordinten und Quder mit rtionler Seitenlänge, so erhält mn eine Folge von offenen Qudern, deren Vereinigung gnz B ergibt. Dmit ist uch B messbr. Abgeschlossene Mengen sind Komplemente offener Mengen und dmit ebenflls messbr. Kompkte Mengen sind spezielle bgeschlossene Mengen. Sei f L 1 und M R n messbr. Dnn sind f und χ M messbre Funktionen. Also ist uch f χ M messbr. Weil f integrierbr und f χ M f ist, ist uch f χ M integrierbr. Definition Sei f L 1 und M R n messbr. Dnn setzt mn f dµ n := f χ M dµ n. M Eine beliebige Funktion g : M R heißt integrierbr, flls die trivile Fortsetzung ĝ : R n R integrierbr ist, und dnn setzt mn g dµ n := ĝ χ M dµ n. M Ist N eine Nullmenge und f : N R eine beliebige Funktion, so ist ist f = 0 fst überll, lso integrierbr, und es ist N f dµ n = f dµn = 0.

4 4 2 Integrtion in mehreren Vriblen 5.4. Stz Sei M R n messbr und f : M R integrierbr. Ist N M ebenflls messbr, so ist uch f N : N R integrierbr, und es gilt: f dµ n = f χ N dµ n. N Beweis: Wegen der Zerlegung f = f + f reicht es, den Fll f 0 zu betrchten. Es sei f die trivile Fortsetzung von f uf den R n und g ν := min( f, ν χ N Qν ), mit Q ν = [ ν, ν] n. Dnn bilden die Funktionen g ν eine Folge von nicht-negtiven integrierbren Funktionen, die gegen f χ N f konvergiert. Weil (g ν ) durch f L-beschränkt ist, folgt us dem Lebesgue schen Konvergenzstz, dss f χ N integrierbr ist. Also ist f N = f χ N und dmit f N integrierbr Folgerung Sei M R n messbr und f : M R integrierbr. Ist N M messbr, so uch M \ N, und es gilt: f dµ n = f dµ n + f dµ n. M N M\N Beweis: M f dµ n = Es ist χ M = χ N + χ M\N, lso f χ M dµ n = f χ N dµ n + f χ M\N dµ n = N f dµ n + f dµ n. M\N Integrierbre Funktionen können sich sehr weit von stetigen oder stückweise stetigen Funktionen entfernen, ber umgekehrt gibt es viele einfche stetige Funktionen, die nicht integrierbr sind, z.b. die konstnten Funktionen. Wir bruchen eine möglichst llgemeine Funktionenklsse, die integrierbre und (stückweise) stetige Funktionen umfsst. Ds ist die Klsse der messbren Funktionen. Definition Sind, b, c reelle Zhlen mit < c, so heißt Mitt(, b, c) := mx(, min(b, c)) die Mittlere (Zhl) von, b und c.

5 2.5 Messbre Mengen und Funktionen 5 Bei drei Zhlen, b, c mit < c gibt es genu ein Element x {, b, c}, ds zwischen den beiden nderen liegt. Ds ist die Mittlere. Ist x eine reelle Zhl, so ist stets < x < +. Definition Sei M R n und f : M R eine beliebige Funktion. Sind g, h : M R zwei weitere Funktionen mit g h, so nennen wir die Funktion Mitt(g, f, h) mit Mitt(g, f, h)(x) := mx (g(x), min ( f(x), h(x) )) die Mittlere von g, f und h. Bildet mn die Mittlere der drei Funktionen g, f, h, so schneidet mn f von oben mit h und von unten mit g b. f Mitt(g, f, h) h g Ist f : R n R eine Funktion, k N und Q k := [ k, k] n, so nennen wir [f] k := Mitt( k, f, k) χ Qk = Mitt( k χ Qk, f, k χ Qk ) die k-stutzung von f. [f] C C f C Definition Eine fst überll endliche Funktion f : R n R heißt messbr, flls für lle k N die Stutzung [f] k integrierbr ist. Offensichtlich ist jede integrierbre Funktion messbr.

6 6 2 Integrtion in mehreren Vriblen 5.6. Lemm Ist f fst überll endlich, so konvergiert die Folge der Funktionen [f] k punktweise gegen f. Beweis: Ist f(x) <, so gibt es ein k 0, so dss [f] k (x) = Mitt( k, f(x), k) = f(x) für k k 0 ist. Ist f(x) = + (bzw. = ), so ist Mitt( k, f(x), k) = k (bzw. = k) für genügend großes k, so dss uch in diesem Fll [f] k (x) gegen f(x) konvergiert Stz Eine fst überll endliche Funktion f : R n R ist genu dnn messbr, wenn es eine Folge von integrierbren Funktionen f k gibt, die fst überll gegen f konvergiert. Beweis: 1) Sei f messbr. Dnn sind die Funktionen [f] k integrierbr, und sie konvergieren sogr überll gegen f. 2) Nun sei vorusgesetzt, dss es eine Folge von integrierbren Funktionen f ν gibt, die fst überll gegen f konvergiert. Es sei k N und g := k χ Qk ( 0). Dnn ist g integrierbr. h ν := Mitt( g, f ν, g) = [f ν ] k ist ebenflls integrierbr, und es ist h ν g. Die Folge (h ν ) konvergiert fst überll gegen Mitt( g, f, g) = [f] k Nch dem Lebesgue schen Konvergenzstz ist dnn uch [f] k integrierbr. Weil dies für jedes k gilt, ist f messbr Stz Die Funktionen f und g seien messbr, c eine reelle Zhl. Dnn sind uch c f, f + g, f, mx(f, g) und min(f, g) messbr. Beweis: Dss c f, f +g und f messbr sind, folgt sofort us dem vorigen Stz. Wegen der Gleichungen mx(f, g) = 1 (f + g + f g ) 2 und min(f, g) = 1 (f + g f g ) 2 sind uch mx(f, g) und min(f, g) messbr Stz Ist f : R n R stetig, so ist f messbr.

7 2.5 Messbre Mengen und Funktionen 7 Beweis: Die Stutzungen [f] k sind jeweils uf Q k stetig und dher Riemnnintegrierbr. Erst recht sind sie Lebesgue-integrierbr, und d sie gegen f konvergieren, ist f messbr Stz Sei (f ν ) eine Folge von messbren Funktionen uf dem R n, die punktweise gegen eine fst überll endliche Funktion f : R n R konvergiert. Dnn ist uch f messbr. Beweis: Bei festem k N ist [f ν ] k integrierbr und k χ Qk für lle ν. Außerdem strebt die Folge [f ν ] k gegen [f] k. Aus dem Lebesgue schen Konvergenzstz folgt, dss [f] k integrierbr ist. Weil ds für lle k gilt, ist f messbr Stz Ist f messbr und Lebesgue-beschränkt, so ist f integrierbr. Beweis: Sei g integrierbr und f g. Dnn bilden die Funktionen [f] k eine Lebesgue-beschränkte Folge von integrierbren Funktionen, und ihr Grenzwert f ist nch dem Lebesgue schen Konvergenzstz ebenflls integrierbr. Sei f : R n R messbr und nicht-negtiv. Dnn gibt es eine Folge (f ν ) von integrierbren Funktionen mit 0 f ν f, die fst überll gegen f konvergiert (mn nehme z.b. die Stutzungen [f] ν ). Konvergiert f ν dµ n, so folgt us dem Stz von Lebesgue, dss uch f integrierbr und f dµ n = lim ν fν dµ n ist. Ist die Folge der Integrle unbeschränkt, so setzen wir f dµ n := +. Auf diese Weise wird ds Integrl einer beliebigen nicht-negtiven messbren Funktion f : R n R definiert Integrierbrkeitskriterium Eine Funktion f ist genu dnn integrierbr, wenn f messbr und f dµ n < ist. Beweis: Ist f integrierbr, so ist f uch messbr und f integrierbr. Ist f messbr, so ist uch f messbr. Weil f 0 ist, bedeutet f dµ n < definitionsgemäß, dss f integrierbr ist. Als messbre und Lebesgue-beschränkte Funktion ist f dnn integrierbr Stz Eine Menge M R n ist genu dnn messbr, wenn die chrkteristische Funktion χ M messbr ist.

8 8 2 Integrtion in mehreren Vriblen Beweis: M ist genu dnn messbr, wenn M Q ν für jedes ν N endlichmessbr ist, wenn lso χ M Qν integrierbr ist. Für ν 2 ist ber χ M Qν = [χ M ] ν. Drus folgt die Behuptung. Bemerkung: Es gibt Mengen, die nicht messbr sind. Ihre Konstruktion ist nicht trivil und benötigt ds Auswhlxiom. Ist M [0, 1] nicht messbr, so ist uch M := [0, 1] \ M nicht messbr, und die Funktion f(x) := { 1 für x M, 1 für x M. ist nicht messbr (und nicht integrierbr), obwohl f integrierbr ist. Mn knn zeigen: Eine fst überll endliche Funktion f : R n R ist genu dnn messbr, wenn M c := {x R n : f(x) > c} für jedes c R eine messbre Menge ist. Dbei knn mn die Mengen M c = {x R n : f(x) > c} uch durch die Mengen {x R n : f(x) c}, {x R n : f(x) < c} oder {x R n : f(x) c} ersetzen. In Ergänzung zur Vorlesung soll hier wenigstens ein Teilresultt bewiesen werden, ds m Ende des nächsten Abschnittes gebrucht wird: Stz Sei h : R n R messbr. Dnn ist uch die Menge M := {x R n : h(x) > 0} messbr. ( Beweis: Für ν N sei h ν := ν min ( h, 1 ) ) min(h, 0). Die Funktionen h ν ν sind offensichtlich lle messbr, und es gilt: 1. Ist h(x) 0, so ist h ν (x) = 0 für lle ν. 2. Ist h(x) 1/ν, so ist h ν (x) = 1. Außerhlb M ist lso h ν (x) 0. Ist x M, so gibt es ein ν 0, so dss h ν (x) = 1 für ν ν 0 ist. Zusmmen bedeutet ds, dss die Folge der h ν überll gegen χ M konvergiert. Dmit ist χ M und deshlb uch M messbr. D lle konstnten Funktionen messbr sind, folgt nun gnz leicht, dss mit h uch lle Mengen M c := {x R n : h(x) > c} messbr sind. Die Umkehrung ist schwieriger zu zeigen. Ohne Beweis 1 soll ds folgende Resultt ngegeben werden: 1 Beweis in Anlysis 3.

9 2.5 Messbre Mengen und Funktionen Die Trnsformtionsformel Sei U R n offen, ϕ : U V ein C 1 -Diffeomorphismus uf eine offene Menge V R n. 1. Eine Funktion f : V R ist genu dnn integrierbr, wenn integrierbr ist. 2. Ist f : V R integrierbr, so ist f(y) dµ n = Beispiele V (f ϕ) det Dϕ : U R U f ϕ(x) det Dϕ(x) dµ n. A. Sei Q R n ein bgeschlossener Quder, A GL n (R) eine invertierbre Mtrix und L = L A die zugehörige (bijektive) linere Trnsformtion mit L(x) = x A. Dnn ist µ n (L(Q)) = det A µ n (Q). Ds ergibt sich sofort us der llgemeinen Trnsformtionsformel, wenn mn U = V = R n und f := χ L(Q) setzt und berücksichtigt, dss J L (x) = A für lle x ist. Sind 1,..., n die (liner unbhängigen) Splten von A, so nennt mn P ( 1,..., n ) := {λ λ n n 0 λ i 1 für i = 1,..., n} ds von den Vektoren ufgespnnte Prllelotop. z y x Es hndelt sich um ds Bild des Einheitsquders unter der Trnsformtion L A. Im Flle n = 2 ergibt sich ein Prllelogrmm, im Flle n = 3 spricht mn von einem Spt. Nun folgt us der Trnsformtionsformel:

10 10 2 Integrtion in mehreren Vriblen µ n (P ( 1,..., n )) = det( 1,..., n ). Diese Aussge liefert eine geometrische Deutung der Determinnte. Die Reihenfolge der Vektoren 1,..., n bestimmt eine Orientierung des R n. Also knn mn det( 1,..., n ) ls orientiertes Volumen von P ( 1,..., n ) uffssen. B. Ist A eine orthogonle Mtrix (lso A A )und x 0 ein fester Vektor, so nennt mn die Abbildung F (x) := x 0 + x A eine euklidische Bewegung. Im 2-dimensionlen Fll setzt sich jede Bewegung us Trnsltionen, Spiegelungen und Drehungen zusmmen. Weil J F (x) A und im Flle einer orthogonlen Mtrix det A = 1 ist, lässt jede Bewegung ds Volumen invrint, und drüber hinus ist f(x) dµ n (x) = f F (y) dµ n (y), F (M) für messbre Mengen M und integrierbre Funktionen f. Ds ist die Bewegungsinvrinz des Lebesgue-Integrls. C. Ebene Polrkoordinten Die ebenen Polrkoordinten sind durch die Abbildung f : R + (0, 2π) R 2 mit (x, y) = f(r, ϕ) := (r cos ϕ, r sin ϕ) gegeben. Beknntlich ist det J f (r, ϕ) = r. Ist nun etw K := {(r, ϕ) R 2 : r b und α ϕ β}, mit 0 < < b und 0 < α < β < 2π, sowie g stetig uf f(k), so ist f(k) g(x, y) dµ 2 (x, y) = M β b α g(r cos ϕ, r sin ϕ)r dr dϕ. Wir können ntürlich uch über Mengen integrieren, die die positive x-achse treffen, denn diese Achse ist eine Nullmenge. D. Zylinderkoordinten Im R 3 sind für r > 0, 0 < ϕ < 2π und beliebiges z die Zylinderkoordinten gegeben durch F zyl (r, ϕ, z) := (r cos ϕ, r sin ϕ, z). Dbei bezeichnet r den Abstnd von der z-achse und ϕ den Winkel gegen die positive x-achse. Für die Funktionldeterminnte ergibt sich uch hier det J Fzyl (r, ϕ, z) = r.

11 2.5 Messbre Mengen und Funktionen 11 Ist K = {(r, ϕ, z) : r b, α ϕ β und c z d}, so ist F zyl (K) g(x, y, z) dµ 3 (x, y, z) = E. Räumliche Polrkoordinten d β b c α g ( F zyl (r, ϕ, z) ) r dr dϕ dz. Für r > 0, 0 < ϕ < 2π und π/2 < θ < π/2 sind die räumlichen Polrkoordinten (Kugelkoordinten, sphärische Koordinten) gegeben durch F sph (r, ϕ, θ) := (r cos ϕ cos θ, r sin ϕ cos θ, r sin θ). Hier ist ϕ der Winkel gegenüber der positiven x-achse (in der x-y-ebene gemessen) und θ der Winkel gegen die x-y-ebene. Es sei uch hier noch einml drn erinnert, dss die Kugelkoordinten in der Litertur nicht einheitlich definiert werden! Als Funktionldeterminnte erhlten wir hier det J Fsph (r, ϕ, θ) = r 2 cos θ. Offensichtlich ist r 2 cos θ > 0 im gnzen Definitionsbereich von F sph. Ist K = {(r, ϕ, θ) : r b, α ϕ β und γ θ δ}, so ist F sph (K) g(x, y, z) dµ 3 (x, y, z) = δ β b γ α g ( F sph (r, ϕ, θ) ) r 2 cos θ dr dϕ dθ. Ds Volumen der 3-dimensionlen Einheitskugel ergibt sich z.b. jetzt so: µ 3 (B 1 (0)) = = 2π 1 dµ 3 = B 1 (0) 1 π/2 0 π/2 1 π/2 2π 0 π/2 r 2 cos θ dθ dr = 4π 0 r 2 cos θ dϕ dθ dr 1 0 r 2 dr = 4 3 π. Für ds Volumen τ n der Einheitskugel im R n knn mn folgende Rekursionsformel beweisen: τ 2k = 1 k! πk und τ 2k+1 = 2 k (2k + 1) πk Homothetieformel Sei M R n messbr und r > 0. Dnn ist uch r M := {rx : x M} messbr und µ n (r M) = r n µ n (M).

12 12 2 Integrtion in mehreren Vriblen Beweis: Wir betrchten den Diffeomorphismus Φ : R n R n mit Φ(x) := rx. Dnn ist det J Φ (x) r n und Φ(M) = r M. Setzt mn f := χ rm, so ist f Φ = χ M, und die Trnsformtionsformel ergibt µ n (r M) = χ rm dµ n = χ M r n dµ n = r n µ n (M) Folgerung Ist τ n = vol n (B 1 (0)), so ist µ n (B R (0)) = R n τ n Integrtion rottionssymmetrischer Funktionen Sei 0 < b und K,b := {x R n : < x < b}. Ist f : (, b) R integrierbr und existiert und b f(r) r n 1 dr, so ist f(x) := f( x ) über K,b integrierbr K,b f( x ) dµ n = n τ n b f(r)r n 1 dr. Dbei bezeichnet τ n ds Volumen der n-dimensionlen Einheitskugel. Beweis: 1) Der Rnd einer n-dimensionlen Kugel ist eine Nullmenge im R n, d er lokl ein Grph ist. 2) Ds uneigentliche Integrl b f(r)rn 1 dr konvergiert nch Vorussetzung bsolut, es existiert lso uch ls Lebesgue-Integrl.,b 3) Zunächst sei f(r) c eine konstnte Funktion. Dnn ist uch f konstnt und ntürlich über K,b integrierbr. Es gilt: K f(x) dx = c χ K,b dµ n = c µ n (K,b ) = c (µ n (B b (0)) µ n (B (0))) = c τ n (b n n ) = c τ n n b r n 1 dr = n τ n b f(r)r n 1 dr. 4) Ist f eine Treppenfunktion uf [, b], so ist f uf (, b) (bis uf endlich viele Punkte) stückweise konstnt, und mn rgumentiert nlog. 5) Ist f : (, b) R ein Element von L +, so gibt es eine Folge (ϕ k ) von Treppenfunktionen uf [, b], die uf (, b) fst überll monoton wchsend gegen f konvergiert. Dnn konvergiert uch ( ϕ k ) uf K,b fst überll monoton wchsend gegen f, denn wenn N [, b] eine Nullmenge ist, so gilt ds uch für die Menge Ñ := {x K,b : x N}. Also ist f integrierbr, und us dem Stz von der

13 2.5 Messbre Mengen und Funktionen 13 monotonen Konvergenz knn mn schließen, dss die Integrle über ϕ k gegen ds Integrl über f konvergieren. Die Folge der Funktionen ϕ k (r)r n 1 konvergiert monoton wchsend gegen f(r)r n 1, und nch Levi s Stz von der monotonen Konvergenz folgt: ( f(x) dµn = lim ϕ k (x) dµ n = lim K k,b K k,b b = n τ n f(r)r n 1 dr. n τ n b ) ϕ k (r)r n 1 dr 6) Ist f über (, b) integrierbr, so schreibt mn f ls Differenz zweier Elemente g, h us L +. Der Stz gilt für g und h und dnn offensichtlich uch für f Beispiel Sei f(r) := 1 1 r uf (0, 1). Ds Integrl r n 1 α dr existiert genu dnn, wenn n α < 1 ist, lso α < n. Drus folgt: Im R n 1 existiert x dµ α n genu dnn, wenn α < n ist. B 1 (0) 0 Im R 2 ist lso 1/ x bei 0 integrierbr, nicht jedoch 1/ x 2. Im R 3 sind beide Funktionen bei 0 integrierbr.

Analysis 3. Ergänzungen zur Lebesgue-Theorie. Vorlesungsausarbeitung zum WS 2001/02. von Prof. Dr. Klaus Fritzsche. Inhaltsverzeichnis

Analysis 3. Ergänzungen zur Lebesgue-Theorie. Vorlesungsausarbeitung zum WS 2001/02. von Prof. Dr. Klaus Fritzsche. Inhaltsverzeichnis Bergische Universität Gesmthochschule Wuppertl Fchbereich Mthemtik Anlysis 3 Kpitel 1 Ergänzungen zur Lebesgue-Theorie Vorlesungsusrbeitung zum WS 21/2 von Prof Dr Klus Fritzsche Inhltsverzeichnis 1 Steilkurs

Mehr

Reelle Analysis. Vorlesungsskript. Enno Lenzmann, Universität Basel. 7. November 2013

Reelle Analysis. Vorlesungsskript. Enno Lenzmann, Universität Basel. 7. November 2013 Reelle Anlysis Vorlesungssript Enno Lenzmnn, Universität Bsel 7. November 213 5 Konvergenz- und Approximtionssätze 5.1 Monotone und Dominierte Konvergenz Wir strten mit einem grundlegenden Stz der Integrtionstheorie,

Mehr

1 Metrische Räume. Sei X eine nichtleere Menge. Definition 1.1. Eine Abbildung: d : X X R heißt Metrik auf X, falls für alle x, y, z X gilt

1 Metrische Räume. Sei X eine nichtleere Menge. Definition 1.1. Eine Abbildung: d : X X R heißt Metrik auf X, falls für alle x, y, z X gilt Metrische Räume Sei X eine nichtleere Menge. Definition.. Eine Abbildung: d : X X R heißt Metrik uf X, flls für lle x, y, z X gilt (i) d(x, y) 0, (ii) d(x, y) = d(y, x), (iii) d(x, y) d(x, z) + d(z, y)

Mehr

Satz 6.5 (Mittelwertsatz der Integralrechnung) Sei f : [a, b] R stetig. Dann gibt es ein ξ [a, b], so dass. b a. f dx = (b a)f(ξ) f dx (b a)m.

Satz 6.5 (Mittelwertsatz der Integralrechnung) Sei f : [a, b] R stetig. Dann gibt es ein ξ [a, b], so dass. b a. f dx = (b a)f(ξ) f dx (b a)m. Stz 6.5 (Mittelwertstz der Integrlrechnung) Sei f : [, b] R stetig. Dnn gibt es ein ξ [, b], so dss 9:08.06.2015 gilt. f dx = (b )f(ξ) Lemm 6.6 Sei f : [, b] R stetig und m f(x) M für lle x [, b]. Dnn

Mehr

f : G R ϕ n 1 (x 1,...,x n 1 ) Das ist zwar die allgemeine Form, aber es ist nützlich sie sich für den R 2 und R 3 explizit anzuschauen.

f : G R ϕ n 1 (x 1,...,x n 1 ) Das ist zwar die allgemeine Form, aber es ist nützlich sie sich für den R 2 und R 3 explizit anzuschauen. Trnsformtionsstz von Sebstin üller Integrtion über Normlgebiete Allgemein knn mn im R n ein Normlgebiet wie folgt definieren: G : { R n 1 b, ϕ 1 ( 1 ) ψ 1 ( 1 ), ϕ ( 1, ) 3 ψ ( 1, ),... ϕ n 1 ( 1,...,

Mehr

Thema 7 Konvergenzkriterien (uneigentliche Integrale)

Thema 7 Konvergenzkriterien (uneigentliche Integrale) Them 7 Konvergenzkriterien (uneigentliche Integrle) In diesem Kpitel betrchten wir unendliche Reihen n= n, wobei ( n ) eine Folge von reellen Zhlen ist. Die Reihe konvergiert gegen s (oder s ist die Summe

Mehr

nennt man eine Zerlegung (Partition, Unterteilung) des Intervalls [a, b]. Die Feinheit der Zerlegung ist dabei

nennt man eine Zerlegung (Partition, Unterteilung) des Intervalls [a, b]. Die Feinheit der Zerlegung ist dabei Kpitel 8: Integrtion Erläuterung uf Folie 8.1 Ds bestimmte Integrl Sei f : [, b] R eine beschränkte Funktion uf einem (zunächst) kompkten Intervll [, b]. Definition: 1) Eine Menge der Form Z = { = x 0

Mehr

Uneigentliche Riemann-Integrale

Uneigentliche Riemann-Integrale Uneigentliche iemnn-integrle Zweck dieses Abschnitts ist es, die Vorussetzungen zu lockern, die wir n die Funktion f : [, b] bei der Einführung des iemnn-integrls gestellt hben. Diese Vorussetzungen wren:

Mehr

Mathematik II. Vorlesung 31

Mathematik II. Vorlesung 31 Prof. Dr. H. Brenner Osnbrück SS 2010 Mthemtik II Vorlesung 31 In den folgenden Vorlesungen beschäftigen wir uns mit der Integrtionstheorie, d.h. wir wollen den Flächeninhlt derjenigen Fläche, die durch

Mehr

Serie 13 Lösungsvorschläge

Serie 13 Lösungsvorschläge D-Mth Mss und Integrl FS 204 Prof. Dr. D. A. Slmon Serie 3 Lösungsvorschläge. Sei I := [, b] R ein kompktes Intervll und sei B 2 I die Borel-σ-Algebr. Def. Eine Funktion f : I R heisst von beschränkter

Mehr

Zum Satz von Taylor. Klaus-R. Loeffler. 2 Der Satz von Taylor 2

Zum Satz von Taylor. Klaus-R. Loeffler. 2 Der Satz von Taylor 2 Zum Stz von Tylor Klus-R. Loeffler Inhltsverzeichnis 1 Der verllgemeinerte Stz von Rolle 1 2 Der Stz von Tylor 2 3 Folgerungen, Anwendungen und Gegenbeispiele 4 3.1 Jede gnzrtionle Funktion ist ihr eigenes

Mehr

MATHEMATIK 3 FÜR EI - ÜBUNGSBLATT 2 Wintersemester 2011/2012

MATHEMATIK 3 FÜR EI - ÜBUNGSBLATT 2 Wintersemester 2011/2012 Prof. Dr. O. Junge, A. Bittrcher Zentrum Mthemtik - M3 Technische Universität München MATHEMATIK 3 FÜR EI - ÜBUNGSBLATT Wintersemester / Tutorübungsufgben (3..-4..) Aufgbe T Seien R und α positiv. Die

Mehr

Lösungsvorschläge zum 9. Übungsblatt.

Lösungsvorschläge zum 9. Übungsblatt. Übung zur Anlysis II SS 1 Lösungsvorschläge zum 9. Übungsbltt. Aufgbe 33 () A : {(x, y) R : x [ 1, 1] und y oder x und y [ 1, 1]}. (b) A : {(x, y) R : x < y < 1 + x }. (c) A : {(x, y) R : x < y < 1 + x

Mehr

Prof. Dr. Siegfried Echterhoff.. 1 HAUPTSATZ DER INTEGRAL UND DIFFERENTIALRECHNUNG

Prof. Dr. Siegfried Echterhoff.. 1 HAUPTSATZ DER INTEGRAL UND DIFFERENTIALRECHNUNG Vorlesung SS 29 Anlysis 2 HAUPTSATZ DER INTEGRAL UND DIFFERENTIALRECHNUNG Teil : Fortsetzung des Studiums von Funktionen in einer reellen Vriblen (Integrtion und Tylorreihen). Huptstz der Integrl und Differentilrechnung

Mehr

6.4 Uneigentliche Integrale

6.4 Uneigentliche Integrale 6.4 Uneigentliche Integrle 3 Beispiele : d + + d ( + ) t + d t t d t ( t + t + t ) + t + t t ln ( + t) + c + ln ( + + ) + c + t rctn + c 6.4 Uneigentliche Integrle bisher : beschränkte Funktionen uf endlichen

Mehr

Antworten auf Anfragen von Kursteilnehmern. Zu folgender Aussage aus den Multiple-Choice-Aufgaben: f (n) (a) (x a) n n! n=0

Antworten auf Anfragen von Kursteilnehmern. Zu folgender Aussage aus den Multiple-Choice-Aufgaben: f (n) (a) (x a) n n! n=0 Ferienkurs Anlysis 1 WS 11/12 Florin Drechsler Antworten uf Anfrgen von Kursteilnehmern Zu Tylorreihen Zu folgender Aussge us den Multiple-Choice-Aufgben: Es gibt Funktionen f C (R) mit konvergenter Tylorreihe

Mehr

3 Uneigentliche Integrale

3 Uneigentliche Integrale Mthemtik für Ingenieure II, SS 29 Dienstg 9.5 $Id: uneigentlich.te,v.5 29/5/9 6:23:8 hk Ep $ $Id: prmeter.te,v.2 29/5/9 6:8:3 hk Ep $ 3 Uneigentliche Integrle Mn knn die eben nchgerechnete Aussge e d =,

Mehr

VI. Das Riemann-Stieltjes Integral.

VI. Das Riemann-Stieltjes Integral. VI. Ds Riemnn-Stieltjes Integrl. Es stellt sich herus, dss der hier entwickelte Integrlbegriff strk von der Ordnungsstruktur von R bhängt. Definition. Sei [, b] ein Intervll in R. Unter einer Prtition

Mehr

Analysis II (lehramtsbezogen): Rechnen mit Integralen

Analysis II (lehramtsbezogen): Rechnen mit Integralen Anlysis II (lehrmtsbezogen): Rechnen mit Integrlen A. Ppke. November Substitution Wir wiederholen kurz die grundlegende Methode der Substitution und wenden sie im Beispiel n. Stz. (Integrtion durch Substitution).

Mehr

Klausurvorbereitungsausfgaben für die Feiertage Analysis II im WS 2013/2014

Klausurvorbereitungsausfgaben für die Feiertage Analysis II im WS 2013/2014 Institut für Mthemtik Freie Universität Berlin C. Hrtmnn, A. Ppke Wer spricht von Siegen, Überleben ist lles. Riner Mri Rilke Lösung zu Klusurvorbereitungsusfgben für die Feiertge Anlysis II im WS 23/24

Mehr

3 Uneigentliche Integrale

3 Uneigentliche Integrale Mthemtik für Physiker II, SS 2 Freitg 2.5 $Id: uneigentlich.te,v.7 2/5/2 :49:7 hk Ep $ $Id: norm.te,v.3 2/5/2 2:2:45 hk Ep hk $ 3 Uneigentliche Integrle Am Ende der letzten Sitzung htten wir ds Mjorntenkriterium

Mehr

5.1 Charakterisierung relativ kompakter und kompakter

5.1 Charakterisierung relativ kompakter und kompakter Kpitel 5 Kompkte Mengen 5.1 Chrkterisierung reltiv kompkter und kompkter Mengen X sei im weiteren ein Bnchrum. Definition 5.1. Eine Menge K X heißt kompkt, wenn us jeder offenen Überdeckung von K eine

Mehr

11. DER HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG

11. DER HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG 91 Dieses Skript ist ein Auszug mit Lücken us Einführung in die mthemtische Behndlung der Nturwissenschften I von Hns Heiner Storrer, Birkhäuser Skripten. Als StudentIn sollten Sie ds Buch uch kufen und

Mehr

Notizen zur Vorlesung Analysis 3

Notizen zur Vorlesung Analysis 3 Notizen zur Vorlesung Anlysis 3 Henrik chumcher TUHH, 26. Jnur 207 2 Integrtion über Oberflächen 2. Oberflächenintegrl einer Funktion Definition 2.37 (Metrische Fundmentlform) ei R 2 ein reguläres Gebiet

Mehr

Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 8. Übungsblatt

Höhere Mathematik II für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 8. Übungsblatt KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE INSTITUT FÜR ANALYSIS Dr. Christoph Schmoeger Heiko Hoffmnn SS Höhere Mthemtik II für die Fchrichtung Informtik Lösungsvorschläge zum 8. Übungsbltt Aufgbe 9 erechnen

Mehr

VII. Folgen und Reihen von Funktionen (Vertauschung von Grenzprozessen)

VII. Folgen und Reihen von Funktionen (Vertauschung von Grenzprozessen) VII. Folgen und Reihen von Funktionen (Vertuschung von Grenzprozessen) Definition. Sei {f n } eine Folge von Funktionen, die uf einer Menge E definiert sind. Die Folgen der Funktionswerte {f n (x)} seien

Mehr

Doppel- und Dreifachintegrale

Doppel- und Dreifachintegrale KAPITEL 6 Doppel- und Dreifchintegrle 6. Doppelintegrle................................... 74 6.. Flächeninhlt ebener ereiche.......................... 74 6..2 Definition und Eigenschften des Doppelintegrls..............

Mehr

Riemann-integrierbare Funktionen

Riemann-integrierbare Funktionen Kpitel VI Riemnn-integrierbre Funktionen 26 Ds Riemnn-Integrl ls Grenzwert von Zwischensummen 27 Der Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung nebst Folgerungen 28 Äquivlente Definitionen des Riemnn-

Mehr

2.6 Unendliche Reihen

2.6 Unendliche Reihen 2.6 Unendliche Reihen In normierten Räumen steht ds wichtige Werkzeug der Bildung von unendlichen Reihen zur Verfügung. Mn denke in diesem Zusmmenhng drn, dss mn in der Anlysis Potenz- und Fourierreihen

Mehr

Kapitel IV Euklidische Vektorräume. γ b

Kapitel IV Euklidische Vektorräume. γ b Kpitel IV Euklidische Vektorräume 1 Elementrgeometrie in der Eene Sei E die Zeicheneene In der Schule lernt mn: (11) Stz des Pythgors: Sei E ein Dreieck mit den Seiten, und c, und sei γ der c gegenüerliegende

Mehr

Musterlösung für die Nachklausur zur Analysis II

Musterlösung für die Nachklausur zur Analysis II MATHEMATISCHES INSTITUT WiSe 213/14 DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Musterlösung für die Nchklusur zur Anlysis II Aufgbe 1 Gilt folgende Aussge? Eine im Punkt x R 2 prtiell differenzierbre Funktion f : R 2 R ist

Mehr

Probeklausur Mathematik für Ingenieure C3

Probeklausur Mathematik für Ingenieure C3 Deprtment Mthemtik Dr. rer. nt. Lrs Schewe Mthis Sirvent Wintersemester 013/014 Probeklusur Mthemtik für Ingenieure C3 Anmerkungen zur Klusur: Die Arbeitszeit wird 90 Minuten betrgen. Sie können sämtliche

Mehr

2 Lineare Operatoren. T(αx + βy) = αtx + βty x,y X, α, β K. (b) Ist T linear, so heißt

2 Lineare Operatoren. T(αx + βy) = αtx + βty x,y X, α, β K. (b) Ist T linear, so heißt 2 Linere Opertoren Im Folgenden seien X,Y, Z stets normierte Räumen über dem selben Körper K = C oder K = R. 2.1. Definition. () Eine Abbildung T : X Y heißt liner, flls T(αx + βy) = αtx + βty x,y X, α,

Mehr

3 Hyperbolische Geometrie

3 Hyperbolische Geometrie Ausgewählte Kpitel der Geometrie 3 Hperbolische Geometrie [... ] Im Folgenden betrchten wir nun spezielle gebrochen-linere Abbildungen, nämlich solche, für die (mit den Bezeichnungen ϕ,b,c,d wie oben die

Mehr

Mathematik III. Vorlesung 85. Riemannsche Mannigfaltigkeiten

Mathematik III. Vorlesung 85. Riemannsche Mannigfaltigkeiten Prof Dr H Brenner Osnbrück WS 2010/2011 Mthemtik III Vorlesung 85 Riemnnsche Mnnigfltigkeiten Georg Friedrich Bernhrd Riemnn (1826-1866) Die Kugeloberfläche einer Kugel mit Rdius r besitzt den Flächeninhlt

Mehr

kann man das Riemannsche Unter- bzw. Oberintegral auch wie folgt definieren: xk+1 x k

kann man das Riemannsche Unter- bzw. Oberintegral auch wie folgt definieren: xk+1 x k Integrlrechnung Definition 1 (Treppenfunktion, Zerlegung eines Intervlls): Sei [, b] R ein Intervll. Eine Funktion g : [, b] R heißt Treppenfunktion, flls es eine Zerlegung := { =: 0 < 1

Mehr

Uneigentliche Integrale & mehrdim. Differenzialrechnung

Uneigentliche Integrale & mehrdim. Differenzialrechnung Mthemtik I für Biologen, Geowissenschftler und Geoökologen Uneigentliche Integrle & mehrdimensionle Differenzilrechnung 25. Jnur 2010 Uneigentliche Integrle Unendlich Integrnd divergiert Grenze Prtielle

Mehr

9.4 Integration rationaler Funktionen

9.4 Integration rationaler Funktionen 9.4 Integrtion rtionler Funktionen Ziel: Integrtion rtionler Funktionen R(x) = p(x) q(x) wobei p(x) = n k x k, q(x) = k=0 m b k x k. k=0 Methode: Prtilbruch-Zerlegung von rtionler Funktion R(x). Anstz:

Mehr

10 Das Riemannsche Integral

10 Das Riemannsche Integral 10 Ds Riemnnsche Integrl 50 10 Ds Riemnnsche Integrl Ziel dieses Prgrphen ist es, den Inhlt einer Fläche, die vom Grphen einer Funktion berndet wird, exkt zu definieren. f(b) f() = t 0 t1 t2 t3 t4 t5 t

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Prof. Dr. Simone Wrzel Mx Lein Husufgben 1. Flächeninhlte Teil 1 TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mthemtik Mthemtik 4 für Physik Anlysis 3 Wintersemester 9/1 Lösungsbltt 1.1.9 Wie gross ist der Flächeninhlt

Mehr

Falls die Werte von X als Ergebnisse eines Zufallsvorgangs resultieren, wird X zu einer stetigen Zufallsvariable.

Falls die Werte von X als Ergebnisse eines Zufallsvorgangs resultieren, wird X zu einer stetigen Zufallsvariable. Sttistik I für Sttistiker, Mthemtiker und Informtiker Lösungen zu Bltt 11 Gerhrd Tutz, Jn Ulbricht, Jn Gertheiss WS 7/8 Theorie: Stetige Zufllsvriblen Begriff Stetigkeit: Eine Vrible oder ein Merkml X

Mehr

Höhere Mathematik für Ingenieure , Uhr

Höhere Mathematik für Ingenieure , Uhr Studiengng: Mtrikelnummer: 3 5 6 Z Punkte Note Prüfungsklusur zum Modul Höhere Mthemtik für Ingenieure 0. 7. 05, 8.00 -.00 Uhr Zugelssene Hilfsmittel: A-Blätter eigene, hndschriftliche Ausrbeitungen ber

Mehr

$Id: kurven.tex,v /12/03 19:13:57 hk Exp hk $ K ds = F (γ(t)) γ Summation des Vektorfeldes F in Bewegungsrichtung der Kurve γ

$Id: kurven.tex,v /12/03 19:13:57 hk Exp hk $ K ds = F (γ(t)) γ Summation des Vektorfeldes F in Bewegungsrichtung der Kurve γ Mthemtik für Ingenieure III, WS 9/1 Mittwoch.1 $Id: kurven.tex,v 1. 9/1/3 19:13:57 hk Exp hk $ 3 Kurven 3.3 Kurvenintegrle zweiter Art Wir htten ds vektorielle Kurvenintegrl ls K ds F ((t Summtion des

Mehr

3 Integration. viele Teilintervalle. Z (oder Z [a, b]) sei die Menge aller Zerlegungen von [a, b].

3 Integration. viele Teilintervalle. Z (oder Z [a, b]) sei die Menge aller Zerlegungen von [a, b]. Krlsruhe Institute of Technology 3 Integrtion (3.1) ) Z = {x,...,x n } mit = x < x 1 < < x n = b heißt eine Zerlegung von [,b] in endlich viele Teilintervlle. Z (oder Z [, b]) sei die Menge ller Zerlegungen

Mehr

Bonusmaterial Integrale vom Sammeln und Bilanzieren

Bonusmaterial Integrale vom Sammeln und Bilanzieren Bonusmteril ntegrle vom Smmeln und Bilnzieren Ws unterscheidet punktweise und gleichmäßige Konvergenz? Ws besgt der Konvergenzstz von Beppo Levi?. Beweise zur Lebesgue-Theorie m Buchbschnitt. wurde uf

Mehr

Aufgaben zur Vorlesung Analysis II Prof. Dr. Holger Dette SS 2012 Lösungen zu Blatt 6

Aufgaben zur Vorlesung Analysis II Prof. Dr. Holger Dette SS 2012 Lösungen zu Blatt 6 Aufgben zur Vorlesung Anlysis II Prof. Dr. Holger Dette SS 0 Lösungen zu Bltt 6 Aufgbe. Die Funktion f : [, ) R sei in jedem endlichen Teilintervll von [, ) Riemnnintegrierbr. Für n N sei I n := f() d.

Mehr

SKRIPTUM ZUR VORLESUNG ANALYSIS III IM SOMMERSEMESTER 2006

SKRIPTUM ZUR VORLESUNG ANALYSIS III IM SOMMERSEMESTER 2006 SKRIPTUM ZUR VORLSUNG ANALYSIS III IM SOMMRSMSTR 2006 STFAN GSCHK 1. Grlgen der Mßtheorie Ziel dieses Abschnittes ist es, ds Lebesguesche Mß uf den Räumen R n zu definieren. Betrchte zunächst nur R. Wir

Mehr

Thema 13 Integrale, die von einem Parameter abhängen, Integrale von Funktionen auf Teilmengen von R n

Thema 13 Integrale, die von einem Parameter abhängen, Integrale von Funktionen auf Teilmengen von R n Them 13 Integrle, die von einem Prmeter bhängen, Integrle von Funktionen uf Teilmengen von R n Wir erinnern drn, dß eine Funktion h : [, b] R eine Treppenfunktion ist, flls es eine Unterteilung x < x 1

Mehr

2.6 Der Satz von Fubini

2.6 Der Satz von Fubini 1 2.6 Der Satz von Fubini Unser Ziel ist der Beweis des folgenden Ergebnisses. 6.1. Satz von Fubini Sei f : R n+m R integrierbar. Dann gibt es eine Nullmenge N R m, so dass gilt: 1. Für alle y R m \ N

Mehr

1.2. Orthogonale Basen und Schmistsche Orthogonalisierungsverfahren.

1.2. Orthogonale Basen und Schmistsche Orthogonalisierungsverfahren. .. Orthogonle Bsen und Schmistsche Orthogonlisierungsverfhren. Definition.. Eine Bsis B = { b, b,..., b n } heit orthogonl, wenn die Vektoren b i, i =,,..., n, prweise orthogonl sind, d.h. bi b j = fur

Mehr

9.6 Parameterabhängige Integrale

9.6 Parameterabhängige Integrale Kpitel 9: Integrtion 9.6 Prmeterbhängige Integrle Beispiel: Die Gmm-Funktion Γ(x) := f(x, t)dt = e t t x 1 dt. Zunächst: Prmeterbhängige eigentliche Integrle. Sei f : I [, b] R, I R, so dss f für festes

Mehr

Vorlesung: Analysis II für Ingenieure. Wintersemester 07/08. Michael Karow. Thema: Definition von Gebietsintegralen, Mehrfachintegration

Vorlesung: Analysis II für Ingenieure. Wintersemester 07/08. Michael Karow. Thema: Definition von Gebietsintegralen, Mehrfachintegration Vorlesung: Anlysis II für Ingenieure Wintersemester 7/8 Michel Krow Them: Definition von Gebietsintegrlen, Mehrfchintegrtion Treppenfunktionen uf Intervllen Eine Funktion f : [, b] heisst Treppenfunktion,

Mehr

Mathematik. Ingo Blechschmidt. 22. Januar 2007

Mathematik. Ingo Blechschmidt. 22. Januar 2007 Mthemtik Ingo Blechschmidt 22. Jnur 2007 Inhltsverzeichnis I Mthemtik 2 1 Anlysis 2 1.1 Stetigkeit und Differenzierbrkeit........... 2 1.1.1 Stetigkeit..................... 2 1.1.2 Differenzierbrkeit................

Mehr

Parameterabhängige uneigentliche Integrale.

Parameterabhängige uneigentliche Integrale. Kpitel 9: Integrtion Prmeterbhängige uneigentliche Integrle. F(x) := Beispiel: Die Gmm-Funktion: Γ(x) := Definition: Ds uneigentliche Integrl für x I. e t t x 1 dt. für x I heißt gleichmäßig konvergent,

Mehr

Integralrechnung. Kapitel Das Lebesgue Maß. In diesem wie auch im nächsten Abschnitt soll geklärt werden, was man unter dem Integral.

Integralrechnung. Kapitel Das Lebesgue Maß. In diesem wie auch im nächsten Abschnitt soll geklärt werden, was man unter dem Integral. Kpitel 7 Integrlrechnung 7.1 Ds Lebesgue Mß In diesem wie uch im nächsten Abschnitt soll geklärt werden, ws mn unter dem Integrl f(x)dx einer reellwertigen Funktion f : D R über einer Menge D versteht,

Mehr

10.2 Kurven und Bogenlänge

10.2 Kurven und Bogenlänge 10.2 Kurven und Bogenlänge Definition: Sei c = (c 1,..., c n ) : [, b] R n eine stetige Funktion. Dnn wird c ls Kurve im R n bezeichnet; c() heißt Anfngspunkt, c(b) heißt Endpunkt von c. c heißt geschlossene

Mehr

Kapitel II. Beschränkte Operatoren und kompakte Operatoren. 3. Beschränkte Operatoren im Hilbertraum.

Kapitel II. Beschränkte Operatoren und kompakte Operatoren. 3. Beschränkte Operatoren im Hilbertraum. Kpitel II. Beschränkte Opertoren und kompkte Opertoren. 3. Beschränkte Opertoren im Hilbertrum. 3.1. Definition. Seien H 1 und H 2 Hilberträume. Eine linere Abb. A : H 1 H 2 heißt ein (linerer) Opertor.

Mehr

Brückenkurs Lineare Gleichungssysteme und Vektoren

Brückenkurs Lineare Gleichungssysteme und Vektoren Brückenkurs Linere Gleichungssysteme und Vektoren Dr Alessndro Cobbe 30 September 06 Linere Gleichungssyteme Ws ist eine linere Gleichung? Es ist eine lgebrische Gleichung, in der lle Vriblen nur mit dem

Mehr

c a+ bzw. f(x) dx. c a bzw. 1 =

c a+ bzw. f(x) dx. c a bzw. 1 = 3. Uneigentliche Integrle Die Funktion f sei uf dem rechts oenen Intervll x < b erklrt und uf jedem bgeschlossenen Teilintervll [, c], c < b, stuckweise stetig, b R { }. Dnn der Integrlbegri erweitert

Mehr

Lösungen zu den Übungsaufgaben

Lösungen zu den Übungsaufgaben Lösungen zu den Übungsufgben Aufgbe A.2. Ist k L () mit k(x)dx = und ist f : beschränkt, Lebesgue-messbr und stetig in x, dnn gilt lim r r k(x y r )f(y)dy = f(x). Lösung A.2. Zunächst ist mit der Substitutionsregel

Mehr

$Id: integral.tex,v /04/22 11:22:04 hk Exp $

$Id: integral.tex,v /04/22 11:22:04 hk Exp $ Mthemtik für Physiker II, SS 015 Mittwoch.4 $Id: integrl.tex,v 1.35 015/04/ 11::04 hk Exp $ Integrlrechnung.1 Ds Riemn Integrl In der letzten Sitzung hben wir verschiedene vorbereitende Begriffe zur Konstruktion

Mehr

10. Riemannsche Geometrie I: Riemannsche Metrik. Variable Bilinearformen.

10. Riemannsche Geometrie I: Riemannsche Metrik. Variable Bilinearformen. 10. Riemnnsche Geometrie I: Riemnnsche Metrik Wir können in der hyperbolischen Geometrie noch nicht wirklich messen. Hierfür bruchen wir ein Riemnnsches Längen- und Winkelmß, d.h. eine Riemnnsche Geometrie.

Mehr

29 Uneigentliche Riemann-Integrale

29 Uneigentliche Riemann-Integrale 29 Uneigentlihe Riemnn-Integrle 29.2 Uneigentlihe Riemnn-Integrle bei einer kritishen Integrtionsgrenze 29.3 Zusmmenhng des uneigentlihen mit dem eigentlihen Riemnn-Integrl 29.5 Cuhy-Kriterium für uneigentlihe

Mehr

Crashkurs - Integration

Crashkurs - Integration Crshkurs - Integrtion emerkung. Wir setzen hier elementre Kenntnisse des Differenzierens sowie der Produktregel, Quotientenregel und Kettenregel vorus (diese werden später in der VO noch usführlich erklärt).

Mehr

6.1 Zerlegungen Ober- und Unterintegrale Existenz des Integrals

6.1 Zerlegungen Ober- und Unterintegrale Existenz des Integrals Kpitel 6 Ds Riemnn-Integrl In diesem Abschnitt wollen wir einen Integrlbegriff einführen. Dieser Integrlbegriff geht uf Riemnn 1 zurück und beruht uf einer nheliegenden Anschuung. Es wird sich zeigen,

Mehr

21. Das bestimmte Integral

21. Das bestimmte Integral 1. Ds bestimmte Integrl Wir betrchten eine Kurve y = f(x) mit f(x) 0 uf dem Intervll [, b]. Obwohl der Flächeninhlt eines Rechteces (und in weiterer Folge eines Dreieces und nderer elementrer geometrischer

Mehr

J.M. Sullivan, TU Berlin A: Integration Analysis II, WS 2008/09

J.M. Sullivan, TU Berlin A: Integration Analysis II, WS 2008/09 J.M. Sullivn, TU Berlin A: Integrtion Anlysis II, WS 8/9 A. INTEGRATION A1. Einleitung In diesem Semester fngen wir mit Integrtion n. Es gibt viele Möglichkeiten, ds Integrl einer Funktion genu zu definieren;

Mehr

Vektoren. Definition. Der Betrag eines Vektors. Spezielle Vektoren

Vektoren. Definition. Der Betrag eines Vektors. Spezielle Vektoren Vektoren In nderen Bereichen der Nturwissenschften treten Größen uf, die nicht nur durch eine Zhlenngbe drgestellt werden können, wie Krft, die Geschwindigkeit. Zur vollständigen Beschreibung z.b. der

Mehr

Numerische Integration

Numerische Integration Kpitel 4 Numerische Integrtion Problem: Berechne für gegebene Funktion f :[, b] R ds Riemnn-Integrl I(f) := Oft ist nur eine numerische Näherung möglich. f(x)dx. Beispiel 9. (i) Rechteckregel: Wir pproximieren

Mehr

Analysis I (HS 2016): DAS RIEMANNSCHE INTEGRAL

Analysis I (HS 2016): DAS RIEMANNSCHE INTEGRAL Anlysis I (HS 216): DAS RIEMANNSCHE INTEGRAL Dietmr A. Slmon ETH-Zürich 12. Dezember 216 Zusmmenfssung Dieses Mnuskript dient der Einführung in ds Riemnnsche Integrl für Funktionen einer reellen Vriblen.

Mehr

Multiplikative Inverse

Multiplikative Inverse Multipliktive Inverse Ein Streifzug durch ds Bruchrechnen in Restklssen von Yimin Ge, Jänner 2006 Viele Leute hben Probleme dbei, Brüche und Restklssen unter einen Hut zu bringen. Dieser kurze Aufstz soll

Mehr

Kapitel 4 Differentialrechnung in mehreren Variablen. 4.1 Topologie des R n und Stetigkeit von Funktionen

Kapitel 4 Differentialrechnung in mehreren Variablen. 4.1 Topologie des R n und Stetigkeit von Funktionen Kpitel 4 Differentilrechnung in mehreren Vriblen 4.1 Topologie des R n und Stetigkeit von Funktionen Gegenstnd dieses Kpitels sind Funktionen in mehreren Vriblen. Wir können die Definitionsbereiche solcher

Mehr

Differenzial- und Integralrechnung III

Differenzial- und Integralrechnung III Differenzil- und Integrlrechnung III Riner Huser April 2012 1 Einleitung 1.1 Polynome und Potenzfunktionen Die Polynome oder Polynomfunktionen lssen sich durch die endliche Anzhl von n+1 Prmetern i R in

Mehr

Komplexe Kurvenintegrale

Komplexe Kurvenintegrale Komplexe Kurvenintegrle nlog zu Kurvenintegrlen: Sei : [, b] D R n ein stükweiser C Weg, f : D R und F : D R n gegeben. Dnn htten wir in Anlysis II/III die beiden Kurvenintegrle. und 2. Art f (x)ds = b

Mehr

Resultat: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Resultat: Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 17 Der Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Lernziele: Konzept: Stmmfunktion Resultt: Huptstz der Differentil- und Integrlrechnung Methoden: prtielle Integrtion, Substitutionsregel Kompetenzen:

Mehr

Kriterien für starke und schwache Konvergenz in L 1

Kriterien für starke und schwache Konvergenz in L 1 Technische Universität Berlin Institut für Mthemtik Bchelorrbeit Im Studiengng Mthemtik Kriterien für strke und schwche Konvergenz in L 1 vorgelegt von Thoms Jnkuhn betreut durch Dr. Hns-Christin Kreusler

Mehr

UNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl. Sommersemester 2009

UNIVERSITÄT KARLSRUHE Institut für Analysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl. Sommersemester 2009 UNIVERSIÄ KARLSRUHE Institut für Anlysis HDoz. Dr. P. C. Kunstmnn Dipl.-Mth. M. Uhl Sommersemester 9 Höhere Mthemti II für die Fchrichtungen Eletroingenieurwesen, Physi und Geodäsie inlusive Komplexe Anlysis

Mehr

Algebra - Lineare Abbildungen

Algebra - Lineare Abbildungen Algebr - Linere Abbildungen oger Burkhrdt (roger.burkhrdt@fhnw.ch) 8 Hochschule für Technik . Der Vektorrum Hochschule für Technik Hochschule für Technik 4 Vektorrum Definition: Ein Vektorrum über einen

Mehr

π 2 r 2 r 2 sin 2 (t)r cos(t) dt π 2 cos2 (t) cos(t) dt = r 2 π dt = cos(x) sin(x) u v = cos(x) sin(x) + = cos(x) sin(x) + x

π 2 r 2 r 2 sin 2 (t)r cos(t) dt π 2 cos2 (t) cos(t) dt = r 2 π dt = cos(x) sin(x) u v = cos(x) sin(x) + = cos(x) sin(x) + x Wir substituieren x x(t) r sin(t), t [ π, π ]. Dnn ist x (t) r cos(t), lso r x dx π π r π r r sin (t)r cos(t) dt π cos (t) cos(t) dt r π π cos (t) dt Wir integrieren cos mittels prtieller Integrtion: Sei

Mehr

Präsenz-Aufgaben = i. (a) i 15 = i 14 i = (i 2 ) 7 i = ( 1) 7 i = i i 15 = 0 + ( 1)i, i (i i) = i 1 = i i 15 = 0 + 1i,

Präsenz-Aufgaben = i. (a) i 15 = i 14 i = (i 2 ) 7 i = ( 1) 7 i = i i 15 = 0 + ( 1)i, i (i i) = i 1 = i i 15 = 0 + 1i, Präsenz-Aufgben 1. 1. Schreiben Sie z in der Form z α + βi mit α,β R. Aus der Vorlesung ist beknnt: i i i 1, i 1 1 i i i i i 1 i. () i 15 i 1 i (i ) 7 i ( 1) 7 i i i 15 + ( 1)i, (b) i 15 1 i 15 () 1 i

Mehr

Vorkurs Mathematik DIFFERENTIATION

Vorkurs Mathematik DIFFERENTIATION Vorkurs Mthemtik 6 DIFFERENTIATION Beispiel (Ableitung von sin( )). Es seien f() = sin g() = h() =f(g()) = sin. (f () =cos) (g () =) Also ist die Ableitung von h: h () =f (g())g () =cos = cos. Mn nennt

Mehr

Analysis I. Vorlesung 24. Der Mittelwertsatz der Integralrechnung. b a

Analysis I. Vorlesung 24. Der Mittelwertsatz der Integralrechnung. b a Prof. Dr. H. Brenner Osnbrück WS 203/204 Anlysis I Vorlesung 24 Der Mittelwertstz der Integrlrechnung Zu einer Riemnn-integrierbren Funktion f: [, b] R knn mn f(t)dt b ls die Durchschnittshöhe der Funktion

Mehr

SBP Mathe Grundkurs 2. Differentialquotient. Namen und Schreibweisen für Differentialquotienten. Ableitung von f(x) = c.

SBP Mathe Grundkurs 2. Differentialquotient. Namen und Schreibweisen für Differentialquotienten. Ableitung von f(x) = c. SBP Mthe Grundkurs 2 # 0 by Clifford Wolf # 0 Antwort Diese Lernkrten sind sorgfältig erstellt worden, erheben ber weder Anspruch uf Richtigkeit noch uf Vollständigkeit. Ds Lernen mit Lernkrten funktioniert

Mehr

Kapitel 10. Integration. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2015/16 10 Integration 1 / 35

Kapitel 10. Integration. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2015/16 10 Integration 1 / 35 Kpitel 0 Integrtion Josef Leydold Mthemtik für VW WS 205/6 0 Integrtion / 35 Flächeninhlt Berechnen Sie die Inhlte der ngegebenen Flächen! f (x) = Fläche: A = f (x) = +x 2 Approximtion durch Treppenfunktion

Mehr

7.9A. Nullstellensuche nach Newton

7.9A. Nullstellensuche nach Newton 7.9A. Nullstellensuche nch Newton Wir hben früher bemerkt, dß zur Auffindung von Nullstellen einer gegebenen Funktion oft nur Näherungsverfhren helfen. Eine lte, ber wirkungsvolle Methode ist ds Newton-Verfhren

Mehr

1.2 Integration im Komplexen

1.2 Integration im Komplexen 26 1 Funktionentheorie 1.2 Integrtion im Komplexen Zur Erinnerung: Eine (komplexwertige) Funktion f uf einem Intervll [, b] heißt stückweise stetig, wenn es eine Zerlegung = t < t 1

Mehr

MC-Serie 12 - Integrationstechniken

MC-Serie 12 - Integrationstechniken Anlysis D-BAUG Dr. Meike Akveld HS 15 MC-Serie 1 - Integrtionstechniken 1. Die Formel f(x) dx = xf(x) xf (x) dx i) ist im Allgemeinen flsch. ii) folgt us der Sustitutionsregel. iii) folgt us dem Huptstz

Mehr

b f(x)p(x) dx = f(ξ) 2e 2 , Hess f (2, 0) =

b f(x)p(x) dx = f(ξ) 2e 2 , Hess f (2, 0) = Es seien U R n offen und ψ : U R n stetig differenzierbr. Weiter sei f : U R zweiml stetig differenzierbr. Kennzeichnen Sie whre Aussgen mit W und flsche Aussgen mit F. F Flls dψ(x) ein Isomorphismus für

Mehr

, für x 2, ax wenn x > 3. 2x+a wenn x Integralrechnung

, für x 2, ax wenn x > 3. 2x+a wenn x Integralrechnung . INTEGRALRECHNUNG 69 Aufgbe 9.3 Bestimme lle Extrem der Funktion f : [,] R, x ( x) +9x. Aufgbe 9.3 Bestimme die Extrem der Funktion f : R\{} R : x x4 5x 4 (x ) 3. Untersuche die Funktion hinsichtlich

Mehr

Musterlösung zu Blatt 9, Aufgabe 2

Musterlösung zu Blatt 9, Aufgabe 2 Musterlösung zu Bltt 9, Aufgbe Anlysis II MIIA SoSe 7 Mrtin Schottenloher Musterlösung zu Bltt 9, Aufgbe I Aufgbenstellung Es sei J [, ] und f : J R deniert durch fx x 3. Finden Sie eine Folge f n n N

Mehr

Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik

Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik Mthemtik für Wirtschftsinformtik Wintersemester 202/3 Stefn Etschberger Hochschule Augsburg Existenz von bestimmten Integrlen Mthemtik 2 Stefn Etschberger Gegeben: Reelle Funktion f : [, b] R. Dnn gilt:

Mehr

1 Koordinatentransformationen

1 Koordinatentransformationen Technische Universität München Andres Wörfel Ferienkurs Anlysis für Physiker Vorlesung Mittwoch SS 0 Them des heutigen Tges sind zuerst Koordintentrnsformtionen, dnn implizite Funktionen. Diese zwei Kpitel

Mehr

Komplexe Integration

Komplexe Integration Komplexe Integrtion Michel Hrtwig 23. April 2004 Der Unterschied zwischen reeller und komplexer Integrtion Vorbemerkung: Aus Gründen der Anschulichkeit, hbe ich weitgehend uf eine exkte mthemtische Drstellung

Mehr

1. Übungsblatt zur Analysis 3 (Lösungshinweise)

1. Übungsblatt zur Analysis 3 (Lösungshinweise) Institut für Mthemtik Universität Hnnover Dr. H. Köditz Hnnover, den 7. Oktober 3. Übungsbltt zur Anlysis 3 Lösungshinweise Aufgbe je 5 Punkte Mn zeige: Die Funktion f : N N N, fm, n := m + nm + n + +

Mehr

Funktionen. Kapitel 6. Reelle Funktion. Graph einer Funktion. Beispiel. Beispiel. Zeichnen eines Graphen. Bijektivität

Funktionen. Kapitel 6. Reelle Funktion. Graph einer Funktion. Beispiel. Beispiel. Zeichnen eines Graphen. Bijektivität Reelle Funktion Kpitel 6 Funktionen Reelle Funktionen sind Abbildungen, in denen sowohl die Definitionsmenge ls uch die Wertemenge Teilmengen von R üblicherweise Intervlle) sind. Bei reellen Funktionen

Mehr

12 Parametrisierte Kurven

12 Parametrisierte Kurven Vorlesung SS 9 Anlysis Prof. Dr. Siegfried Echterhoff 1 Prmetrisierte Kurven In diesem Abschnitt wollen wir intensiver um die Geometrie von prmetrisierten Kurven (Wegen im R n befssen. Zur Erinnerung wiederholen

Mehr

6.6 Integrationsregeln

6.6 Integrationsregeln 50 KAPITEL 6. DAS RIEMANN-INTEGRAL Beispiel 6.5.4 (Differenzierbreit und gleichmäßige Konvergenz) Die Funtionenfolge {f n (x)} n N definiert durch f n (x) = n sin(nx) onvergiert uf jedem Intervll gleichmäßig

Mehr

1 Folgen und Reihen. Schreibweise: (a n ) n N.

1 Folgen und Reihen. Schreibweise: (a n ) n N. Krlsruhe Institute of Technology 1 Folgen und Reihen (1.1) Eine Folge reeller Zhlen ist eine Abbildung N R. Schreibweise: ( n ) n N. (1.2) Sei ( n ) n N eine Folge. ) Für n j N mit 1 n 1 < n 2

Mehr

Mathematik für Anwender I

Mathematik für Anwender I Prof. Dr. H. Brenner Osnbrück WS 20/202 Mthemtik für Anwender I Vorlesung 24 Der Mittelwertstz der Integrlrechnung Zu einer Riemnn-integrierbren Funktion f :[,b] R knn mn f(t)dt b ls die Durchschnittshöhe

Mehr

Einführung in die Numerische Mathematik Vordiplomsklausur,

Einführung in die Numerische Mathematik Vordiplomsklausur, Institut für Angewndte Anlysis und Numerische Simultion Prof Dr C Eck, Dr M Schulz, Dipl- Mth J Giesselmnn Universität Stuttgrt Sommersemester 9 Einführung in die Numerische Mthemtik Vordiplomsklusur,

Mehr